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Universidade Federal de São João Del Rei DEPEL - Departamento de Engenharia Elétrica
ANÁLISE DE ESTABILIDADE ANGULAR PARA SISTEMAS MULTIMÁQUINAS
Diego Henrique dos Santos – 0609004-4
Trabalho Final de Curso submetido à banca
examinadora designada pelo Colegiado do
Curso de Engenharia Elétrica da
Universidade Federal de São João del-Rei
como requisito parcial para obtenção do
Bacharelado em Engenharia Elétrica.
Orientador: Warlley Sousa Sales
São João del-Rei
Junho de 2012
2
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus por mais essa vitória.
Aos meus pais, pois deles recebi o dom da vida.
Agradeço também aos meus irmãos, Paloma, Vinícius e Flávio, enfim toda minha família
e sem deixar de mencionar, agradeço também aos amigos.
Aos professores do curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de São João
del Rei principalmente ao Warlley Sousa Sales, pela sua valiosa orientação durante a
realização deste trabalho.
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ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 5
1.1. Motivação ...................................................................................................................... 5
1.2. Contextualização........................................................................................................... 5
1.3. Estrutura do Trabalho ................................................................................................... 7
2. O PROBLEMA DA ESTABILIDADE TRANSITÓRIA ................................................. 8
2.1. Modelagem Matemática do Problema .......................................................................... 8
3. MODELOS DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS EM REGIME PERMANENTE ............ 12
3.1. Modelagem da Máquina Síncrona .............................................................................. 12 3.1.1. Modelagem Elétrica ................................................................................................... 12 3.1.2. Circuito Elétrico Equivalente da Máquina de Polos Lisos ........................................... 13 3.1.3. Potência Elétrica Fornecida pela Máquina Síncrona de Polos Lisos ........................... 15 3.1.4. Coeficiente de Potência Sincronizante da Máquina de Polos Lisos ............................ 16 3.1.5. Equações de Estado da Máquina de Polos Lisos ....................................................... 17
4. ESTUDOS DE ESTABILIDADE ANGULAR DE REGIME PERMANENTE EM
SISTEMAS MULTIMÁQUINAS ................................................................................................. 18
4.1. Modelagem .................................................................................................................. 18 4.1.1. Modelagem Estática .................................................................................................. 18 4.1.2. Modelagem Dinâmica ................................................................................................ 18
4.2. Linearização ................................................................................................................ 19
5. ESTUDO DE CASO ....................................................................................................... 22
5.1. Sistema Teste 9 Barras ............................................................................................... 22
6. CONCLUSÃO E PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS ............................... 29
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 30
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Resumo O presente trabalho busca analisar a estabilidade de sistemas elétricos de potência a
partir de ferramentas computacionais, como o MATLAB, utilizando os modelos matemáticos
simplificados dos elementos de potência como geradores, transformadores, cargas e linhas
de transmissão. Para isso é desenvolvido o modelo matemático da máquina síncrona, o
principal componente de um Sistema Elétrico de Potência, mostrando as características de
potência x ângulo e definindo algumas condições para que o sistema seja estável. Para
avaliação de estabilidade foi calculado os autovalores da matriz características do sistema, o
sistema utilizado na avaliação foi o sistema de nove barras e três geradores.
Palavras-chave: Sistemas Elétricos de Potência, Estabilidade, Máquinas Síncronas,
linearização, espaço de estados, autovalores.
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1. INTRODUÇÃO
1.1. Motivação
O Brasil caminha para consolidar-se como uma grande superpotência energética no
século XXI. Frente ao aquecimento global, os países estão se conscientizando e tomando
medidas para reduzir o consumo de petróleo, gás, carvão e outras fontes de energia
poluentes. A hidroeletricidade é a principal fonte de energia no Brasil, contudo também
apresenta algumas desvantagens, como a emissão de gases estufa devido ao corte de
árvores ou ao alagamento de áreas com árvores, por causa de sua decomposição.
Apesar de sua grande extensão territorial e sua abundância de recursos
energéticos, o Brasil apresenta uma enorme diversidade regional e forte concentração
populacional e econômica em regiões com sérios problemas de suprimento energético. Daí
surge empecilho de grande parte dos recursos energéticos do país está localizado em
regiões muito pouco desenvolvidas, distantes dos centros consumidores e com fortes
restrições ambientais. E como garantir o suprimento energético de regiões mais
desenvolvidas é um desafio da sociedade brasileira, torna-se fundamental o conhecimento
sistematizado da disponibilidade de recursos energéticos, das tecnologias e sistemas para
os seu aproveitamento e das necessidades energéticas setoriais e regionais do país.
O crescimento econômico e industrial e melhorias na qualidade de vida estão
diretamente ligados ao aumento da demanda de energia elétrica e esse aumento deve ser
satisfeito com qualidade e economicidade, ou seja, os níveis de tensão e frequência devem
ser adequados ao funcionamento dos equipamentos elétricos e garantir a entrega de
energia elétrica com o menor número de interrupção possível. Essas duas características
garantem a estabilidade do sistema. Um dos estudos mais importantes realizado para os
sistemas de potência interligados é o da avaliação de sua estabilidade o que originou a
escolha do tema deste trabalho “Análise de Estabilidade Angular para Sistemas
Multimáquinas”
1.2. Contextualização
No Brasil, um país de dimensão continental, os primeiros sistemas de potência
supriam apenas os centros de carga regionais, operando de modo isolado. A partir dos anos
60, com a construção de grandes usinas e a ocorrência de forte desenvolvimento industrial,
os sistemas de potência começaram a ser interconectados. Como decorrência das
interligações entre as redes regionais, um grande número de problemas teve de ser
analisado a fim de se obter as melhores soluções técnicas e econômicas.
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Atualmente há duas grandes redes interligadas em operação no Brasil: os sistemas
interligados Sul/Sudeste/Centro-Oeste e Norte/Nordeste, tendo este último, linhas de
transmissão de mais de 2000 km, em 500 kV. No passado, foram estudadas diversas
alternativas de interligações entre essas duas redes, envolvendo distâncias da ordem de
2500 km e tensões de até 1200 kV CA e ± 800 kV CC. Recentemente, uma linha de
transmissão em 500 kV, com mais de 1000 km de extensão, passou a interligar o N/NE com
o S/SE-CO,interligação denominada Norte-Sul.
Um dos estudos mais importantes realizado para os sistemas de potência
interligados existentes na atualidade é o da avaliação da sua estabilidade. Dentre os
aspectos a considerar no estudo dos Sistemas Elétricos Potência (SEP) está o da
estabilidade das máquinas síncronas pertencentes ao sistema. Se uma máquina síncrona
tende a afastar-se da velocidade de sincronismo, há forças de sincronismo que a “forçam” a
manter-se a funcionar à velocidade de sincronismo. Porém, há condições de funcionamento
dos Sistemas Elétricos de Potência em que as forças de sincronismo não são suficientes
para que após a ocorrência de um distúrbio, as máquinas síncronas continuem a funcionar
em sincronismo. Em estudos de “Estabilidade de Sistemas Elétricos de Potência” procura-se
conhecer exatamente o comportamento das máquinas síncronas depois de o sistema ter
sido perturbado (saída de linhas de transmissão ou grande alteração nas cargas, por
exemplo). O Sistema é dito estável se após a ocorrência destas perturbações continuar a
funcionar em sincronismo.
O desempenho dinâmico de um SEP é influenciado por uma vasta gama de
equipamentos e dispositivos de diferentes características. Praticamente todo elemento de
um sistema tem um efeito na sua estabilidade. Assim, mesmo sendo um problema global,
não é prático estudar estabilidade de um SEP de forma unificada. O estudo da estabilidade
é, então, dividido em categorias em função das diferentes formas de instabilidade, do tipo de
distúrbio, do tempo de duração e do melhor método de análise aplicável [1].
O estudo da estabilidade de SEP divide-se em duas grandes classes conforme se
mostra na figura 1.1[6]. Esta classificação tem por base os seguintes fatores: o fenômeno
que caracteriza o tipo de instabilidade e as causas físicas que conduzem à sua ocorrência.
Assim, para o desenvolvimento de métodos de análise é necessária a segmentação do
problema em estudo de acordo com o tipo e a amplitude da perturbação, as variáveis
necessárias, as ferramentas matemáticas, o período de tempo sob análise e as ações de
controle corretivo a implementar.
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Figura 1.1 – Classificação do estudo de estabilidade
Conforme ilustrado na Figura 1.1, o problema da estabilidade desses sistemas pode
ser classificado como sendo de estabilidade de ângulo ou de estabilidade de tensão. No
primeiro caso a estabilidade é regida, essencialmente, pelas dinâmicas dos rotores dos
geradores síncronos e seus sistemas de controle, enquanto que no segundo a mesma é
regida, essencialmente, pelo comportamento dinâmico das cargas do sistema. Em ambos os
casos o problema pode ser abordado segundo dois aspectos: pequenas e grandes
perturbações.
1.3. Estrutura do Trabalho
No capítulo 2 é apresentado o problema de estabilidade transitória onde é feita a
modelagem matemática do problema chegando até as equações de oscilação da máquina
síncrona.
No capítulo 3 é desenvolvido o modelo em regime permanente da máquina síncrona
de polos lisos, apresentando suas respectivas características referentes à potência e ângulo
de carga.
O capítulo 4 apresenta a análise por meio da técnica dos autovalores e autovetores
no estudo de estabilidade angular em regime permanente para sistemas multimáquinas.
No capítulo 5 são apresentados os resultados das simulações utilizando a técnica
apresentada no capítulo 4.
Por fim, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões obtidas ao longo do
desenvolvimento deste trabalho.
Estabilidade de Sistemas de
Potência
Estabilidade Angular
Estabilidade Transitória
Estabilidade a Pequenos Sinais
Estabilidade de Tensão
Estabilidade de Tensão a grandes
disturbios
Estabilidade de Tensão a pequenos
distúrbios
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2. O PROBLEMA DA ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
Um sistema de potência é constituído basicamente por máquinas síncronas, cargas
e linhas de transmissão que interligam estes dispositivos. Quando as grandezas de um
sistema não variam com o tempo, as diferenças entre os ângulos de fase devem
permanecer constantes para que o fluxo de potência também permaneça constante.
Se os distúrbios forem pequenos, como variações normais de cargas nos
barramentos, o estudo de estabilidade é conhecido como estabilidade dinâmica. Nesse tipo
de estudo, as equações do sistema são linearizadas em torno de um ponto de operação
estável, e o modelo matemático utilizado para sua análise é um conjunto de equações
diferenciais lineares invariantes no tempo, sendo empregadas as técnicas de sistemas
lineares diretamente associadas ao estudo dos autovalores.
Diante de perturbações de grande impacto, como desligamento de linhas de
transmissão, a análise linearizada não é apropriada, visto que as não linearidades inerentes
aos sistemas de potência não podem ser desprezadas, e o estudo da estabilidade é
conhecido como estabilidade transitória, sendo que o modelo matemático utilizado para sua
análise é um conjunto de equações diferenciais não lineares.
Quando se estuda um sistema constituído de duas ou mais máquinas, geralmente
chamado de sistema multimáquinas, a sustentação do sincronismo entre as várias máquinas
em um curto período de tempo, após a ocorrência da perturbação, tem sido a preocupação
nos estudos de estabilidade transitória, onde a ação dos controladores não causa efeitos
significativos no comportamento do sistema, em geral, sendo desprezados para efeito de
análise nos estudos de estabilidade transitória.
2.1. Modelagem Matemática do Problema
Para analisar o comportamento das máquinas síncronas, quando da ocorrência de
um impacto ou de uma perturbação no sistema de potência, podem ser adotadas como
variáveis de estado as posições angulares dos rotores dessas máquinas, com relação a
uma referência que gira com velocidade síncrona. Dessa forma, por meio dos
deslocamentos angulares ( ), é possível verificar o sincronismo das máquinas. Uma
equação associada, que permite determinar as evoluções do ângulo , é denominada
equação de oscilação da máquina síncrona, sendo o seu desenvolvimento apresentado a
seguir.
As equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema
podem ser obtidas através de um balanço de potência em cada máquina do sistema.
Seja então J o momento de inércia da máquina e o ângulo do rotor em relação ao
eixo de referência. Pelas leis físicas temos que:
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. ² ( ) ² = [2.1]
em que é o torque resultante da diferença entre o torque mecânico e o torque elétrico.
Como neste caso a máquina funciona como gerador, o torque mecânico atua no sentido de
acelerar o rotor do gerador, e o torque elétrico gerado através dos campos magnéticos pela
potência elétrica exigida pelas cargas, desacelera o mesmo. Portanto, em um gerador, tanto
o torque mecânico como o elétrico serão positivos, ou seja: = − [2.2]
Pode-se tomar como referência angular um eixo girando à velocidade síncrona , ou seja: ( ) = ( + ) + ( ) [2.3]
em que:
• ( + ) é a referência girante à velocidade síncrona;
• é o ângulo de defasagem entre a referência fixa e a referência girante no tempo
t=0;
• ( ) é ângulo mecânico formado entre o rotor e a referência girante.
Derivando-se a equação (2.3) em relação ao tempo, obtém-se a velocidade angular
mecânica: ( ) = + ( ) [2.4]
e derivando-se esta equação, tem-se: ² ( ) ² = ² ( ) ² [2.5]
onde se pode notar que independentemente da referência utilizada, a aceleração angular é
exatamente a mesma. Assim, a equação diferencial que descreve o comportamento de em
relação ao tempo é a mesma que descreve o comportamento de , isto é: . ² ( ) ² = − [2.6]
Em regime permanente, o rotor gira à velocidade síncrona, de forma que é uma
constante. Com esta mudança de variáveis, transforma-se o problema de soluções de
equilíbrio em um problema de pontos de equilíbrio de um conjunto de equações diferenciais.
Em sistemas elétricos de potência é mais conveniente trabalhar com potências do
que torques. Assim, multiplicando-se ambos os lados da equação pela velocidade angular
mecânica ( ), obtém-se uma equação diferencial em função das potências envolvidas no
sistema, ou seja:
² ( ) ² = − [2.7]
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Supondo-se que a velocidade mecânica não se afasta significativamente da
velocidade síncrona, caso contrário, ocorreria perda de sincronismo rapidamente, a seguinte
simplificação é realizada:
em que é a constante de inércia da máquina.
Desta forma, a equação diferencial anterior em termos de potência é:
A potência elétrica entregue à rede é uma função dos ângulos elétricos da rede.
Considerando-se que p é o número de polos da máquina, a relação entre os ângulos
mecânicos das máquinas com os ângulos elétricos da rede é a seguinte:
que é obtida derivando-se a equação que relaciona as velocidades:
em relação ao tempo.
Logo, a equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico da máquina
em termos dos ângulos elétricos é:
Dividindo-se a equação anterior pela potência base , obtém-se sua
representação em p.u.:
Para simplificação, considere-se:
em que M é uma nova constante de inércia em p.u. corrigida pelo número de polos da
máquina. Assim, tem-se para cada máquina do sistema uma equação diferencial de
segunda ordem. Para um sistema multimáquinas, obtém-se um conjunto de n equações
diferenciais de segunda ordem:
≅ = [2.8]
² ( ) ² = − [2.9]
= 2 [2.10]
= 2 [2.11]
2 ² ( ) ² = − [2.12]
2 ² ( ) ² = − [2.13]
= 2 [2.14]
² ( ) ² = − [2.15]
11
em que
• é a potência injetada na máquina , em p.u.; • é a potência elétrica entregue à rede pela máquina , em p.u. .
Estas equações são conhecidas como equações de oscilação do sistema.
A constante de inércia é também muito utilizada em estudos de estabilidade e
também será adotada neste trabalho. Ela é definida como sendo a razão entre a energia
cinética da máquina e a potência base do sistema, isto é:
A relação entre as constantes de inércia e é obtida através do seguinte
procedimento:
Portanto:
Assim:
e a equação de oscilação do sistema tem a seguinte forma:
Até agora, expressou-se a equação de oscilação quando a potência mecânica é
igual a potência elétrica. Contudo, as máquinas estão sujeitas aos efeitos de amortecimento,
ou seja, efeitos de perda de energia resultantes do movimento do rotor em atrito com os
mancais ou até mesmo o ar para promover ventilação. Admitindo-se que as potências de
atrito são proporcionais à variação de velocidade da máquina, e desprezando os
amortecimentos ocorridos devido a torques assíncronos entre máquinas, que é proporcional
à diferença de velocidade entre as mesmas, a equação diferencial que descreve o
comportamento dinâmico de cada máquina é:
= [2.16]
= 12 ² = 12 [2.17]
= 12 [2.18]
= 12 2 = 4 2 2 = [2.19]
= = 2 [2.20]
² ( ) ² = 2 ( − ) [2.21]
12
em que é a constante de amortecimento correspondente à máquina do sistema, e são, respectivamente, a velocidade da máquina i sujeita a variações, e velocidade síncrona
da máquina i em regime permanente, fornecidos em p.u. .
A equação diferencial anterior pode ser decomposta nas seguintes equações de
estado:
sendo estas as equações que descrevem o movimento mecânico das máquinas síncronas.
3. MODELOS DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS EM REGIME PERMANENTE
3.1. Modelagem da Máquina Síncrona
Para modelar a máquina síncrona é necessário representá-la como um sistema
eletromecânico. O sistema mecânico produz o torque mecânico fornecido pelas turbinas ao
eixo girante. O sistema elétrico tem seu desempenho expresso em função de correntes e
tensões geradas e fornecidas aos enrolamentos da máquina síncrona, conforme mostrado
na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Representação elétrica da máquina síncrona.
3.1.1. Modelagem Elétrica
Os modelos matemáticos das máquinas de polos lisos são mais simples de serem
desenvolvidos. Na verdade, pode-se dizer que a representação matemática dessas
2 ² ( ) ² + ( − ) = ( − ) [2.22]
( ) = ( − ) [2.23] ( ) = 2 [ − − ( − )] [2.24]
13
máquinas é uma simplificação, ou um caso particular, da representação das máquinas de
polos salientes [3]. Por esse motivo, é interessante iniciar o desenvolvimento dos modelos
considerando as máquinas de polos lisos.
3.1.2. Circuito Elétrico Equivalente da Máquina de Polos Lisos
Para a análise do circuito elétrico equivalente da máquina síncrona de polos lisos é
suficiente considerar um sistema simples do tipo gerador ligado diretamente a um
barramento infinito, conforme mostrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Gerador síncrono ligado a um barramento infinito
Um circuito equivalente muito útil e simples, que representa o comportamento em
regime permanente de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico em condições polifásicas
equilibradas, pode ser obtido se o efeito do fluxo de reação de armadura for representado
por uma reatância indutiva. O fluxo de entreferro resultante na máquina pode ser
considerado como a soma fasorial dos fluxos componentes criados pelas ’ do campo e
da reação da armadura, respectivamente, como mostrado pelos fasores , e na
Figura 3.3.
Figura 3.3 - Diagrama fasorial simplificado da máquina síncrona de pólos lisos.
Do ponto de vista dos enrolamentos de armadura, estes fluxos se manifestam como ’ geradas. A tensão de entreferro resultante pode então ser considerada como fasor
soma da tensão de excitação gerada pelo fluxo do campo e a tensão gerada pelo fluxo
de reação da armadura. As ’ componentes da excitação e são proporcionais às
correntes de campo e armadura respectivamente, e cada uma se atrasa em relação ao fluxo
14
que a produz de 90º. O fluxo de reação de armadura está em fase com a corrente de
armadura , e consequentemente a fem de reação de armadura se atrasa em relação à
corrente de armadura em 90º. Assim, = − [3.1]
onde é a constante de proporcionalidade, que relaciona os valores eficazes de e . A
Equação 3.1 também se aplica à porção do circuito da Figura 3.9a a esquerda de . O
efeito da reação de armadura, portanto, é simplesmente o de uma reatância indutiva
representando a tensão componente gerada pelo fluxo espacial fundamental criado pela
reação da armadura. Esta reatância é comumente chamada reatância magnetizante, ou
reatância da reação de armadura.
A tensão de entreferro difere da tensão terminal pelas quedas de tensão na
resistência de armadura e na reatância de dispersão, como mostrado à direita de na
Figura 3.4a, onde é a resistência da armadura, é a reatância de dispersão da
armadura, e é a tensão terminal. Todas as grandezas são por fase (de linha a neutro em
uma máquina ligada em Y). A reatância de dispersão da armadura leva em conta as tensões
induzidas pelos fluxos componentes que não estão incluídas na tensão de entreferro . Estes fluxos incluem não somente aqueles de dispersão através das ranhuras da armadura
e ao redor das extremidades da bobina, mas também aqueles associados aos campos
espaciais harmônicos por ser a onda real de de armadura diferente de uma senóide
perfeita.
Finalmente, o circuito equivalente para uma máquina de rotor cilíndrico não saturado
sob condições polifásicas equilibradas se reduz à forma mostrada na Figura 3.4b, na qual a
máquina é representada, em uma base por fase, pela tensão de excitação em série com
uma impedância simples. Esta impedância é chamada impedância síncrona. A reatância
é chamada a reatância síncrona.
(a) (b)
Figura 3.4 – Circuitos equivalentes
Em termos das reatâncias magnetizante e de dispersão = + [3.2]
15
A reatância síncrona leva em conta todo o fluxo produzido por correntes de
armadura polifásicas equilibradas, enquanto a tensão de excitação leva em conta o fluxo
produzido pela corrente de campo.
Considerando as definições realizadas da Figura 3.4b é possível escrever a seguinte
equação: = + . + . [3.3]
Com o intuito de simplificar alguns tipos de análise é costume desprezar a
resistência da armadura da máquina síncrona. Portanto, em regime permanente, a máquina
síncrona de polos lisos pode ser representada por um modelo de fonte de tensão constante
( ), atrás de uma impedância ( + ), ou reatância ( ), correspondendo a um
equivalente de Thévenin.
3.1.3. Potência Elétrica Fornecida pela Máquina Síncrona de Polos Lisos
Nos estudos de estabilidade angular, e para operação em regime permanente, é de
fundamental importância considerar a equação da potência elétrica fornecida pela máquina
síncrona. Para tanto, pode-se admitir uma máquina síncrona de pólos lisos, operando como
gerador, ligada diretamente a um barramento infinito, como mostrado na Figura 3.2.
A máquina síncrona considerada fornece uma potência ativa (P) e uma potência
reativa (Q), portanto, a potência complexa correspondente tem a seguinte expressão: = + = . ∗ [3.4]
Desprezando a resistência de armadura, analisando o circuito elétrico da Figura
3.4b, tem-se: = − = ∡ − ∡0o ∡90° [3.5]
Considerando o conjugado da Equação (3.4) e levando posteriormente, nessa
mesma equação, a corrente do estator definida por (3.5), obtém-se: − = . ( ∡ )− ² ∡90o = . ∡ − 90o − ²∡− 90° [3.6]
Da Equação (3.6) podem ser extraídos os valores das potências ativa e reativa
fornecida pela máquina, bastando considerar as partes real e imaginária. Assim, tem-se
para a potência ativa: = { } = . cos( − 90o) − ² cos (90°) [3.7]
ou ainda, = . sen( ) [3.8]
Para potência reativa, tem-se:
16
= { } = − . sen − 90° + ² sen (90°) [3.9]
ou ainda, = . cos( )− ² [3.10]
As Equações (3.8) e (3.10) correspondem às equações de potência ativa e de
potência reativa fornecidas pela máquina síncrona de pólos lisos, na operação de regime
permanente. Por meio das mesmas, é possível analisar duas condições operativas distintas,
ou seja, máquina operando como gerador e máquina operando como compensador
síncrono.
Figura 3.5 - Característica - e - da maquina síncrona de polos lisos.
3.1.4. Coeficiente de Potência Sincronizante da Máquina de Polos Lisos
Por meio da característica potência-ângulo, vista anteriormente, é possível definir um
importante índice de avaliação de desempenho de sistemas elétricos de potência, que é
denominado por coeficiente de potência sincronizante. Com base nesse índice é possível
analisar os sistemas de potência, observando suas margens operativas e condições limites
de operação.
Suponha que a potência mecânica de entrada do gerador sofre uma pequena
perturbação em relação ao seu valor de regime permanente , ou seja: = + [3.11]
Em consequência, o ângulo do rotor sofrerá uma perturbação , o que provocará
por sua vez uma variação na potência elétrica em relação ao seu valor de regime
permanente, . Esta variação pode ser determinada via expansão em série de Taylor da
Equação 3.8 truncada no termo linear da série: ≈ + = + cos [3.12]
17
O coeficiente entre parênteses na segunda parcela da expressão acima é conhecido
como Coeficiente de Potência de Sincronização (ou Sincronizante) e é denotado por . Assim: = cos
e = + [3.13]
Pode-se observar que o coeficiente de potência sincronizante corresponde à
derivada da equação de potência elétrica, em relação ao ângulo de carga, no ponto de
equilíbrio. Ou ainda, o coeficiente de potência sincronizante corresponde à tangente da
característica - na condição de equilíbrio.
Adicionalmente, da característica potência-ângulo, pode-se observar que:
• Para 0 < < 90°, a máquina apresenta uma condição adequada de
operação;
• Para = 90°: = 0, a máquina apresenta uma condição limite de
operação ( ); • Para > 90°: < 0, a máquina apresenta uma condição inadequada de
operação.
3.1.5. Equações de Estado da Máquina de Polos Lisos
Como definido anteriormente, a equação diferencial de segunda ordem denominada
equação de oscilação pode ser decomposta nas duas equações diferenciais de primeira
ordem, definidas pelas Equações (3.14) e (3.15). = − [3.14] = 2 − . sen( ) [3.15]
onde, = velocidade síncrona da máquina (em radianos mecânicos/s);
f – frequência (em Hertz);
H – constante de inércia da máquina síncrona; - posição angular do rotor (em radianos elétricos);
w – velocidade angular do rotor (em radianos/s). Quando a máquina opera em regime
permanente w = Note que as equações anteriores são obtidas pela decomposição da equação de
oscilação da máquina síncrona, que é de segunda ordem, ou seja:
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= 2 − . sen( ) [3.16]
4. ESTUDOS DE ESTABILIDADE ANGULAR DE REGIME PERMANENTE EM SISTEMAS MULTIMÁQUINAS
4.1. Modelagem
O estudo de estabilidade de SEP requer uma modelagem matemática completa e
detalhada conforme o tipo do problema estudado, a fim de permitir análises confiáveis do
sistema.
4.1.1. Modelagem Estática
Nos SEP, os pontos de equilíbrio em regime permanente são atingidos quando a
demanda total das cargas se iguala à potência total gerada. O problema de encontrar esse
ponto é conhecido como fluxo de potência.
As equações podem ser representadas em termos de injeções de corrente e das
tensões das barras. A formulação matricial do problema (Equação 4.1) implica na
construção da matriz de admitância nodal , que representa a relação matricial entre
essas grandezas.
⋮ = ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ . ⋮ [4.1]
Em geral, essa matriz é altamente esparsa em SEP de grande porte, ou seja, tem
uma grande proporção de elementos nulos, pois = 0 sempre que duas barras e não
houver um circuito direto formado por linhas, FACTS ou transformadores. Essa propriedade
favorece o uso dos métodos numéricos para solução do problema.
4.1.2. Modelagem Dinâmica
O estudo dos transitórios do sistema, só é possível por meio de uma modelagem
dinâmica dos componentes do SEP, envolvendo as equações algébricas da modelagem
estática.
O conjunto de equações algébricas representa o ponto de operação do sistema
(topologia e suas admitâncias). Já as equações diferenciais descrevem o comportamento
dinâmico de componentes tais como as máquinas síncronas e seus controles.
19
O comportamento de qualquer sistema pode ser formulado por sua representação
em espaço de estados. Ordenando-se adequadamente as equações diferenciais em função
de um vetor de variáveis de estado devidamente escolhido, obtêm-se um sistema de
equações diferenciais de 1ª ordem, onde a solução descreve o comportamento do modelo
naquele ponto de operação.
Na avaliação de estabilidade de regime permanente de um sistema de potência é
suficiente considerar a ocorrência de pequenos impacto, que produzem pequenas variações
em torno do estado inicial operativo do sistema (ponto de equilíbrio). Nessas condições é
possível admitir a linearização das equações de estado que descrevem o comportamento
dinâmico do sistema.
O estudo de estabilidade transitória dos SEP compreende simulações no domínio
do tempo obtidas pela solução conjunta das equações de estado, algébricas e de saída não
lineares:
= ( , , )0 = ( , , ) = ℎ( , , ) [4.2]
onde representa o vetor de estado, o vetor de variáveis algébricas e e os vetores de
entrada e saída, respectivamente.
4.2. Linearização
Antes de prosseguir com técnica de linearização é preciso definir melhor o conceito
de equilíbrio e estabilidade local do ponto de vista da representação em espaço de estados
de um sistema dinâmico não linear.
Um sistema é dito estar num ponto de equilíbrio se a velocidade do estado nesse
ponto do espaço for nula, isto é, todas as variações de estado são constantes e não variam
com o tempo nesse ponto [1]: = ( ) = 0 [4.3]
Define-se estabilidade local como sendo a vizinhança de um ponto de equilíbrio do
sistema não linear, que quando submetido a uma pequena perturbação permanece nessa
região. A técnica de linearização de sistemas não lineares é precisa somente na região de
estabilidade local [5]. A Figura 4.1 apresenta um exemplo de linearização de uma curva,
destacando sua região de estabilidade local ao redor do ponto de operação.
20
Figura 4.1 – Curva de potência linearizada no ponto de operação.
Sejam , e os vetores de estado de variáveis algébricas e de entradas de
dimensões , e , respectivamente, de um sistema dinâmico não linear na posição de
equilíbrio: = ( , , ) = 0 [4.4]
Quando o sistema é submetido a uma pequena perturbação, ele permanece na
região de estabilidade local: = + = ( + , + , + ) [4.5]
Como a perturbação é pequena, cada função do conjunto de funções pode
ser expandida na série de Taylor. Os termos de ordem maiores que 1 são desprezados: = + = ( + , + , + ) [4.6] = ( , , ) + + ⋯ + + + ⋯ + + + ⋯+ [4.7]
Sendo a velocidade do estado nula no novo ponto de equilíbrio (Equação 4.4), a
equação anterior pode ser reescrita como: = 1 1 + ⋯ + + 1 1 + ⋯ + + 1 1 + ⋯ + [4.8]
onde todas derivadas parciais são calculadas no ponto de equilíbrio. De maneira
semelhante, obtêm-se a expressão das equações algébricas e de saída, gerando o conjunto
de equações do sistema linearizado:
⎩⎪⎨⎪⎧ = + + 0 = + + = ℎ + ℎ + ℎ
[4.9]
Usando-se todas as equações diferenciais e algébricas linearizadas tem-se o
modelo da seguinte forma:
21
0 = . [4.10]
em que é o vetor de estados e é o vetor das variáveis algébricas, e = é a matriz Jacobiano.
O símbolo significa uma variação incremental a partir do regime permanente.
A matriz de estado do modelo do Sistema de Potência pode ser obtida pela
eliminação do vetor de variáveis algébricas na Equação 4.10. = ( − ) [4.11] = [4.12]
De acordo com a técnica de autovalores e autovetores, o produto de um escalar
por um vetor tem como resultado o mesmo valor do produto de uma matriz pelo vetor .
Dessa forma: . = . [4.13]
O escalar é definido como autovalor da matriz e o vetor é o autovetor
associado ao autovalor .
Da Equação 4.13 tem-se que: ( − . ). = 0 [4.14]
Além da solução trivial = 0, a Equação 4.14 apresenta a seguinte condição de
singularidade: ( − . ) = 0 [4.15]
Desta forma pode-se analisar a estabilidade dinâmica de Sistemas de Potência
através do posicionamento dos autovalores da matriz de estado :
• Sistemas cujos autovalores, sem exceção, possuem parte real negativa são
assintoticamente estáveis;
• Sistemas com pelo menos um autovalor com parte real positiva são instáveis;
• Sistemas com pelo menos um autovalor com parte real nula e os demais com parte
real negativa possuem estabilidade relativa (marginal).
A Figura 4.2 ilustra como a posição dos autovalores no plano influencia a
estabilidade do sistema.
22
Figura 4.2 – Relação entre a posição dos autovalores no plano e a estabilidade do sistema.
5. ESTUDO DE CASO
5.1. Sistema Teste 9 Barras
O estudo da estabilidade a pequenas perturbações de sistemas elétricos
multimáquinas fornece informações sobre o comportamento dinâmico de cada máquina
geradora e também sobre as interações das oscilações eletromecânicas entre essas
máquinas, após a ocorrência de uma pequena perturbação em qualquer parte do sistema.
Neste trabalho será utilizado o sistema multimáquinas de nove barras e três
geradores [2]. O diagrama unifilar do sistema é representado na figura abaixo:
Figura 5.1- Diagrama Unifilar do Sistema Multimáquinas [2]
23
Para obter o resultado do fluxo de potência do sistema é necessário se ter os dados
das interligações e das barras. Foi desenvolvida uma rotina em MATLAB para cálculo do
fluxo de potência, tais dados são apresentados nas tabelas 5.1 e 5.2. Na tabela 5.3 temos
os dados dos geradores. Tabela 5.1 - Dados de linhas e transformadores (pu)
Ramo número
Barra inicial
Barra final
Resistência série (pu)
Reatância série (pu)
Susceptância shunt (pu) (B/2)
1 1 4 0,0 0,0576 -
2 2 7 0,0 0,0625 -
3 3 9 0,0 0,0586 -
4 4 5 0,010 0,085 0,088
5 4 6 0,017 0,092 0,079
6 5 7 0,032 0,161 0,153
7 6 9 0,039 0,170 0,179
8 7 8 0,0085 0,072 0,0745
9 8 9 0,0119 0,1008 0,1045
Nota: Valores em pu na potência base de 100 MVA. A freqüência nominal do sistema é 60 Hz.
Tabela 5.2 – Dados de barra (potências e tensões)
Barra número
Potência Gerada Potência Consumida Módulo da tensão
(pu)
Ângulo da tensão
(graus) Ativa (MW) Reativa
(MVAR) Ativa (MW) Reativa
(MVAR)
1 71,6 27,0 1,040 0,0
2 163,0 6,7 1,025 9,3
3 85,0 -10,9 1,025 4,7
4 1,026 -2,2
5 125,0 50,0 0,996 -4,0
6 90,0 30,0 1,013 -3,7
7 1,026 3,7
8 100,0 35,0 1,016 0,7
9 1,032 2,0
Tabela 5.3 – Dados e parâmetros das máquinas síncronas Máq No
Potência (MVA)
Rotação (rpm)
X’d
(pu) X’q (pu)
Xd (pu)
Xq (pu)
T’d0 (s)
T’q0 (s)
Energia armazenada à velocidade nominal (MWs)
1 247,5 180 0,0608 0,0969 0,1460 0.0969 8,96 0.0 2364
2 192,0 3600 0,1198 0,1969 0,8958 0,8645 6,00 0,535 640
3 128,0 3600 0,1813 0,25 1,3125 1,2578 5,89 0,600 301
Nota: O valores em pu são relativos à potência nominal de cada máquina. Resistência da armadura e saturação
foram desconsiderados.
24
A tensão interna dos geradores é calculada com os dados do fluxo de carga. ∡ = 1,0566∡2,2717 ∡ = 1,0502∡19,7315 ∡ = 1,0170∡13,1752
Podemos agora obter a matriz reduzida do sistema. A matriz resultante da redução
é a matriz em que todas as barras em que não há geração foram equivalentadas. Esse
método analítico para obtenção do sistema equivalente reduzido só pode ser utilizado
quando as cargas são modeladas como impedâncias constantes.
= 0,8455 – 2,9883 0,2871 + 1,5129 0,2096 + 1,22560,2871 + 1,5129 0,4200 – 2,7239 0,2133 + 1,08790,2096 + 1,2256 0,2133 + 1,0879 0,2770 – 2,3681 [5.1]
A Figura 5.2 apresenta o sistema de potência equivalentado, que possui 3 barras.
Figura 5.2- Diagrama Unifilar do Sistema Equivalente
A análise da estabilidade angular de regime permanente pode ser realizada por
meio da determinação dos autovalores da matriz característica do referido sistema. O passo
inicial é a determinação da equação matricial de estado, que nesse caso tem ordem seis,
pois são três máquinas, sendo cada uma delas representadas por duas equações de
estado.
Para cada uma das barras escrevem-se as equações de potência ativa, segundo a
equação geral mostrada a seguir [4]: = + +
[5.2]
Sendo assim, tem-se: = + ( + ) + ( + ) [5.3]
G1
G2 G3
1
2 3
25
= + ( + ) + ( + ) [5.4] = + ( + ) + ( + ) [5.5]
Para cada barra (máquina) escrevem-se as equações de oscilação linearizadas.
Barra 1: ∆ = ∆ [5.6] ∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.7]
Sendo: ∆ = ∆ + ∆ + ∆ [5.8]
Barra 2: ∆ = ∆ [5.9] ∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.10]
Sendo: ∆ = ∆ + ∆ + ∆ [5.11]
Barra 3: ∆ = ∆ [5.12] ∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.13]
Sendo: ∆ = ∆ + ∆ + ∆ [5.14]
As equações anteriores podem ser postas na forma matricial, como mostrado a
seguir:
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎤ =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎡∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎦⎥⎥
⎥⎥⎤
[5.15]
26
sendo = − 2 = − 2 = − 2
O próximo passo é escolher uma barra para ser a referência angular do sistema,
neste caso a barra 1 ( = 0). Como = 0, a primeira coluna da matriz anterior é eliminada.
Além disso, a diferença de velocidade angular da barra 1 em relação própria barra 1 é nula.
Desse modo, elimina-se a primeira linha da matriz anterior.
Para as demais equações são feitas as seguintes alterações: − = − − + = − [5.16] = − [5.17] − = − − + = − [5.18] = − [5.19]
As equações para variação da velocidade angular continuam as mesmas: ∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.20]
∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.21]
∆ = − 2 ∆ − 2 ∆ [5.22]
Também são feitas as seguintes substituições: ∆ → ∆ ∆ → ∆ ′
Após a eliminação da linha e da coluna correspondentes à barra de referência,
chega-se à matriz característica mostra a seguir:
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡∆ ∆ ′ ∆ ∆ ′ ∆ ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎤
=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0 0−1 0 1 0 00 0−1 0 0 0 10 0 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡∆ ∆ ′ ∆ ∆ ′ ∆ ⎦⎥⎥
⎥⎤ [5.23]
Por fim, deve-se aplicar {( − )} = 0 para determinar os autovalores da matriz
característica do sistema.
27
Para garantir a estabilidade a pequenas perturbações é necessária a verificação da
existência de fontes naturais de amortecimento para o sistema, caso contrário faz-se
necessária a introdução de fontes suplementares de amortecimento. Atualmente, devido às
crescentes interligações entre sistemas nacionais e até mesmo internacionais tem-se notado
o surgimento de oscilações de baixa frequência fracamente amortecidas por fontes naturais.
Tais oscilações são conhecidas como modos eletromecânicos de oscilação, pois
são originadas pela interação das oscilações dos rotores das diversas máquinas geradoras
do sistema elétrico. O efetivo amortecimento dessas oscilações tornou-se, portanto, decisivo
para a estabilidade dos sistemas elétricos de potência.
Considerando a não existência de fontes naturais de amortecimento no sistema 9
barras. A tabela 5.4 mostra os resultados do sistema considerando os valores de = = = 0. Tabela 5.4 – Autovalores e frequência de oscilação do sistema de 9 barras.
Grandezas Autovalor 1 Autovalor 2
λ ± 8,6371 ± 13.3331 / 8,6371 13.3331 1,3746 2,1220 0,7275 0,4712
Assim, duas frequências, cerca de 1,3 Hz e 2,1 Hz, são observadas nas
oscilações intermáquinas do sistema. Os modos eletromecânicos de oscilação podem ser
classificados de acordo com sua frequência de ocorrência. Os modos eletromecânicos de
maior interesse são os modos locais e modos interárea. Modos locais de oscilação se
encontram na faixa de 0,7 a 2,0 Hz e estão associados às oscilações dos rotores de um
grupo de geradores próximos, fisicamente ou eletricamente. Modos interárea de oscilação
localizam-se na faixa de 0,1 a 0,8 Hz e são relacionados com as oscilações de grupos de
geradores de uma área contra outro grupo de geradores de outra área [1 e 2].
A figura 5.3a e 5.3b mostra a posição dos autovalores e a estabilidade do sistema em
relação aos autovalores calculados, respectivamente. Temos que os autovalores possuem
parte real nula o que caracteriza que o sistema está no limiar da estabilidade, fato explicado
devido ao fato de termos considerado a inexistência de amortecimentos naturais.
28
(a) (b)
Figura 5.3- Influência dos autovalores na estabilidade do sistema para simulação com coeficiente
de amortecimento igual a zero.
Considerando agora existência de fontes naturais de amortecimento. Podemos
avaliar a estabilidade do sistema uma vez que os geradores possuem coeficientes de
amortecimentos com grandezas de cerca de 1 pu. A figura 5.4 mostra o comportamento do
sistema considerando os valores de = = = 1 .
(a) (b)
Figura 5.4- Influência dos autovalores na estabilidade do sistema para simulação com coeficiente
de amortecimento igual a um.
A figura 5.4a mostra que todos os autovalores possuem parte real negativa
demonstrando que o sistema 9 barras é estável, uma vez que as máquinas possuem
amortecimentos naturais.
0 10 20 30 40 50 60-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
-4 Resposta ao Degrau)
t(s) (sec)
Saida
(Am
plitu
de)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-6 Resposta ao Degrau)
t(s) (sec)
Said
a (A
mpl
itude
)
29
6. CONCLUSÃO E PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS
Neste trabalho foram realizadas análises quanto à estabilidade angular de sistemas
multimáquinas. Foi verificada a influência do posicionamento dos autovalores da matriz de
estado na estabilidade dinâmica de Sistemas de Potência.
Para esta análise foi utilizado o sistema teste 9 barras [2], aplicaram-se os modelos
matemáticos desenvolvidas ao longo deste trabalho com objetivo de avaliar a estabilidade
do sistema por meio do cálculo dos autovalores do sistema. Avaliou-se a estabilidade do
sistema simulando diversos valores de coeficiente de amortecimento das máquinas e
concluí-se que para garantir a estabilidade a pequenas perturbações é necessária a
verificação da existência de fontes naturais de amortecimento para o sistema, caso contrário
faz-se necessária a introdução de fontes suplementares de amortecimento.
Atualmente, devido às crescentes interligações entre sistemas nacionais e até
mesmo internacionais tem-se notado o surgimento de oscilações de baixa frequência
fracamente amortecidas por fontes naturais.
Tais oscilações são conhecidas como modos eletromecânicos de oscilação, pois são
originadas pela interação das oscilações dos rotores das diversas máquinas geradoras do
sistema elétrico. O efetivo amortecimento dessas oscilações tornou-se, portanto, decisivo
para a estabilidade dos sistemas elétricos de potência.
Para trabalhos futuros pode-se avaliar a introdução de amortecimento adicional
(FACTS – Flexible Alternating Current Transmission System) a sistemas de potência com
oscilações de baixa frequência.
30
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Kundur, P. Power System Stability and Control. New York: McGraw-Hill, 1994.
[2] P.M. Anderson and A.A. Fouad. Power System Control and Stability. New York: IEEE Press, 1994;
[3] FITZGERALD, A.E., KINGLEY, C. & UMANS, S.D., “Electric Machinery”, Fourth Edition,
McGraw Hill Book Company, USA, 1983.
[4] A. Monticelli, Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Edgar Blucher, 1983.
[5]OGATA, K. Modern Control Engineering, 3nd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.1998. [6] Kundur P., Paserba J., Ajjarapu V., G. ; Bose A. ; Canizares C., Hatziargyriou N., D.;
Stankovic A. , Taylor C. , Van Cutsem T. , Vittal V., “Definition and Classification of Power
System Stability”, IEEE/CIGRE Joint Task Force on Stability Terms and Definitions,
IEEE/CIGRE Task Force, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 19, No 2, May 2004,
pg. 1387- 1401.
