Apostila 3_TE I Slides

5/10/2018 Apostila 3_TE I Slides - slidepdf.com

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7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA

Teoria das Estruturas I

Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP



SUMÁRIOSUMÁRIO

7.1. Aplicações

7.2. Objetivos

7. Linhas de Influência

. . -

7.4. Definição

7.5. Vigas

7.6. Treliças



7.1. APLICAÇÕES

7. LINHAS DE INFLUÊNCIA7. LINHAS DE INFLUÊNCIA

a. Pontes em vigas



LINHAS DE INFLUÊNCIA

b. Pontes treliçadas

Teoria das Estruturas I 4




c. Pontes rolantes





d. Pontes rodoviária e ferroviária

Ponte rodoviária


Ponte ferroviária

6




7.2. OBJETIVOS













7.3. TREM-TIPO

Barreira

Lateral

Vigas

Principais

Veículo

Tipo

Faixa

Secundária

Faixa

Principal

15 tf15 tf15 tf

0,5 tf/m2

0,5 tf/m2 0,5 tf/m2


6,63,112,8

3,1

Projeto

q = 3,57 tf/m

14,88 tf 14,88 tf 14,88 tf

1,5 m 1,5 m Anteprojeto

q = 3,57 tf/m

44,64 tf




barre i ra

la tera l

2

0,5 t f/m 0,5 t f /m0,5 t f /m

15 t f

15 t f

15 t f

2 22


Projeto

q = 5 tf/m

12 tf 12 tf 12 tf

1,5 m 1,5 m Anteprojeto

q = 5 tf/m

36 tf

11

1 0




VP1 VP2 VP3

10 tf

10 tf10 tf

0,5 tf/m 0,5 tf/m0,5 tf/m2 2 2


4 4

q = 2,48 tf/m

7 tf 7 tf 7 tf

1,5 m 1,5 m

q = 2,48 tf/m

21 tf

Projeto Anteprojeto

12




Linha de influência de um efeito elástico em uma dada seção S é a representação

gráfica ou analítica do valor desse efeito, naquela seção S, produzido por uma carga

unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.

7.4. DEFINIÇÃO

Exemplo:


rótula

P = 1

A s B

--

+a

b

• Ms = a → P = 1 em A• Ms = - b → P = 1 em B




A seção e o efeito estudados são fixos, a posição da carga é que varia.

Não confundir: linha de Influência x diagrama Solicitante.

Efeitos elásticos: momento fletor, esforço cortante, reação de apoio e deformação

(flecha).

Considerar válido o Princípio da Superposição dos Efeitos.

Observações:


Fases de Solução do Problema:

2a FASE: Dada a estrutura, o efeito elástico E e a seção S, obter a linha de influência.

1a FASE: Definida a classe da ponte e as plantas arquitetônicas, obter o trem-tipo.

3a FASE: Conhecidos o trem-tipo e a linha de influência, obter os efeitos devido a

esse trem-tipo. Sejam os exemplos:




a. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS CONCENTRADAS

P1P

2P

iPn

η2

η1 ηi

η n

LIEs


n

s i ii 1

E P=

= η∑ ( Princípio da superposição dos efeitos)

15




LIEs

q

a

b

dz

qdz

A

b. TREM-TIPO formado apenas por CARGAS DISTRIBUÍDAS


( Princípio da superposição dos efeitos)

i

∫

∫

∫

η==

∴η=

η=

b

a

is

b

a

is

i

b

a

s

dzA,poisAqE

dzqE

,sejaou,)qdz(E

16




c. CASO GERAL (superposição dos casos 1 e 2)

n

s i ii 1

E P q A=

= η +∑

( Princípio da superposição dos efeitos)


q tf/m

P tf P tf P tf

1,5 m 1,5 m

17




►Os princípios estudados até aqui são válidos para estruturas isostáticas

e hiperestáticas.

► É fácil verificar que as unidades das linhas de influência de momentos

fletores são unidades de comprimento , e que as linhas de influência de

esfor os cortantes normais e rea ões de a oio são adimensionais .

Observações :





a. Viga Engastada-livre

s

P = 1z

A

7.5. VIGAS


• Reações de apoio

• Esforços simples

xL

19

Efeitos Elásticos




• Reações de Apoio

Representação Analítica Representação gráfica

s

P = 1z

A

x

L


RA = + 1

MA = - z

LIRA

LIMA

A

+1+1 +

A

-

L

45 o

L




• Esforços Simples


s

P = 1z

A

x

L


LIVS

LIMS

Vs =0, para z < x

+1,para z > x

Ax

s

-

45o

(L - x)

A

+1 +1+

x

s

Ms =0, para z ≤ x

- (z - x), para z > x




b. Viga Simplesmente Apoiada

s

P = 1z

A

x

B


L

22

• Reações de apoio• Esforços simples

Efeitos Elásticos




• Reações de Apoio


s

P = 1z

A

x

L

B


RA = + (L - z)/L

RB = z/L

LIRA

LIRBBA

+

1

BA

+1




• Esforços Simples


LIVSVs = -z/L (= - RB), para z < x

-+ (L - z)/L (= RA), para z > x

BA

1

1

s-

+


LIMS

A B

xL - x

++

Ms =z/L (L - x) , para z ≤ x

(L - z) x/L , para z > x




• No estudo das L.I. de esforços simples, devemos sempre examinar

separadamente as possibilidades da carga unitária estar à esquerda ou à

direita da seção em estudo.

• A L.I. de esforço cortante numa seção apresenta sempre uma

Observações :


escont nu a e gua a nessa seç o, con orme ver ca o nos casos

analisados.




Pontes rodoviárias e ferroviárias

7.6. TRELIÇAS





Pontes rodoviárias e ferroviárias; pontes rolantes





Aplicações:

1. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GB da ponte treliçada

mostrada na figura a seguir.





2. Obtenha a linha de influência do esforço normal na barra GC da ponte treliçada

mostrada na figura abaixo.





3. Determine o máximo esforço normal que pode ser desenvolvido na barra BC daponte treliçada mostrada a seguir, devido a uma carga acidental concentrada de

20 k e uma acidental uniformemente distribuída de 0,6 k/ft.




8. DESLOCAMENTOS EM8. DESLOCAMENTOS EM


Prof. Ricardo SilveiraDeciv/EM/UFOP



SUMÁRIOSUMÁRIO

8.1. Introdução

8.2. Causas

8. Linhas de Influência

8.3. Métodos de Análise8.3.1. Método da Integração Dupla

8.3.2. Método da Viga-Conjugada

8.3.3. Método do Trabalho Virtual8.4. Treliças: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual

8.5. Vigas e Pórticos: Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual



8.1. INTRODUÇÃO

8. DESLOCAMENTOS EM8. DESLOCAMENTOS EMESTRUTURASESTRUTURAS

a. Possíveis causas dos deslocamentos (flechas e rotações) nas estruturas:

Cargas

Temperatura

Erros de fabricação

Erros de montagem



DESLOCAMENTOS

b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:

Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de se evitar

fissuras e fraturas (concreto, plástico, madeira, etc).

Conforto: pequenas vibrações e deflexões. Método das Forças: estruturas estaticamente indeterminadas (fundamentos

baseados no método do trabalho virtual – método da carga unitária).




DESLOCAMENTOS

a. Carregamento: peso próprio + sobrecarga + acidental

8.2. CAUSAS


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS

b. Temperatura


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS

1. Método da Integração-Dupla

2. Método da Viga-Conjugada

3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)

8.3. MÉTODOS DE ANÁLISE


DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS

8.3.1. Método da Integração-Dupla

a. Equações Básicas

Hipóteses:

• Euler-Bernoulli

• Lei de Hooke


• Pequenos deslocamentos e rotações

DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS

(1)M

d dxEI

θ =

sendo M o momento atuante na seção, E o módulo de elasticidade do material e Io momento de inércia da seção.

Tem-se:

Masdx

dθ =


ρ

(2)

Então:

( )

2 2

3 / 22

1 M 1 d v dx

EI1 dv dx

= ∴ =ρ ρ +

onde v é a deflexão da viga.

DESLOCAMENTOS



DESLOCAMENTOS

( )

2 2

3 / 22

M d v dxEI

1 dv dx

= +

(3)

2

2

d v M

EIdx

=

2

2

d vEI M

dx=


Condições de contorno e continuidade Atenção !!!

DESLOCAMENTOS



b. Procedimento de Análise

1. Curva Elástica

Desenhe a configuração deformada da viga (forma exagerada).

Estabeleça as coordenadas x e v. O(s) sistema(s) x(x´s) deve(m) ser paralelo(s) à viga indeformada.

No caso de cargas descontínuas, estabeleça coordenadas x´s válidas em cada


região da viga entre as descontinuidades.

O eixo positivo da deflexão v normalmente é direcionado para cima.

2. Avaliação da Função Momento

Em cada região que existe uma coordenada x, defina a expressão do momento

M como uma função de x.

Sempre assuma que M atua na direção positiva quando aplicar a equação de

equilíbrio do momento.

DESLOCAMENTOS



3. Deflexão e Rotação

Aplique a equação , que requer duas integrações.)x(Mdx / vdEI 22 =


Para cada integração inclua uma constante de integração.

Essas constantes são avaliadas através das condições de bordo e continuidade.

DESLOCAMENTOS



c. Aplicações

Problema 1: Para a viga mostrada abaixo, submetida a um momento M0 na sua

extremidade, obtenha a curva elástica.


Solução:

i. Curva elástica (desenho aproximado)

DESLOCAMENTOS



ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre)

0M M=

iii. Deflexão e rotação

22


220

0 0 1 1 22

M xd v dvEI M EI M x C EIv C x C

dx 2dx= ∴ = + ∴ = + +

Condições de contorno:

1

2

x 0 : dv / dx 0 C 0

x 0 : v 0 C 0

= = → =

= = → =

DESLOCAMENTOS



Ou seja:

0M x

EIθ =

2

0M xv2EI

=


Problema 2: Para a viga mostrada a seguir, pede-se avaliar o deslocamento vertical

do ponto C.

AB C

DESLOCAMENTOS



Solução:

i. Curva elástica (desenho aproximado) e definição do sistema de coordenadas

AB

C

P

vC

x1

x

2a a


ii. Avaliação da função momento (diagrama de corpo livre)

Trecho x1: 1 1

PM x

2= −

Trecho x2:

2 2 2 2

P 3PM x (x 2a) Px 3Pa

2 2= − + − = −

M2

2a

x2

P/2

3P/2

DESLOCAMENTOS



Aplique a equação

iii. Deflexão e Rotação

)x(Mdx / vdEI 22 =

Trecho x1:

22 31 1

1 1 1 1 1 1 2211

d v dvP P PEI x EI x C EIv x C x C

2 dx 4 12dx= − ∴ = − + ∴ = − + +


Trecho x2:

222 2

2 2 2 3222

d v dv PEI Px 3Pa EI x 3Pax C

dx 2dx= − ∴ = − +

3 22 2 2 3 2 4

P 3EIv x Pax C x C

6 2= − + +

DESLOCAMENTOS



Condições de contorno:

1 1Em x 0, v 0= = 20 0 0 C= + +∴

1 1Em x 2a, v 0= = 31 2

P0 (2a) C (2a) C

12

= − + +∴

2 2Em x 2a, v 0= = 3 23 4

P 30 (2a) Pa(2a) C (2a) C

6 2= − + +∴


1 2

1 2dx dx

= 2 21 3(2a) C (2a) 3Pa(2a) C

4 2

− + = − +∴

Solução do sistema:

2 2 31 2 3 41 10C Pa ; C 0; C Pa e C 2Pa

3 3= = = = −

DESLOCAMENTOS



Para o trecho x2 (v2):

Finalmente, fazendo x2 = 3a:

2 33 2

2 2 2 2

P 3 Pa 10 Pa Pav x x x 2

6EI 2 EI 3 EI EI= − + −

3

C

Pav

EI= −


8.3.2. Método da Viga-Conjugada

a. Considerações Iniciais

• Idealizado por Otto Mohr em 1860

• Base do método: princípios da estática

DESLOCAMENTOS



1. Esforço Cortante <=> Rotação

• Base do método: similaridade entre as equações

dVw

dx= −

d M

dx EI

θ=


2. Momento Fletor<=>

Deslocamento2

2

d Mw

dx= −

2

2d y MEIdx

=

DESLOCAMENTOS



• Integrando...

1. Esforço Cortante <=> Rotação

V wdx= −∫

Mdx

EI

θ = − ∫


2. Momento Fletor <=> Deslocamento

M wdx dx = − ∫ ∫

M

y dxdxEI

= ∫ ∫

DESLOCAMENTOS



Viga Real Viga-Conjugada

b. Viga Conjugada


Teorema 1: A inclinação de um ponto na viga real é igual ao esforço cortante

no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.

Teorema 2: O deslocamento de um ponto na viga real é igual ao momento fletor

no mesmo ponto da viga-conjugada correspondente.

55

DESLOCAMENTOS



pin pin

roller roller

fixed free

Viga Real Viga Conjugada

θ

∆ = 0

VM = 0

θ

∆ = 0V

M = 0

θ = 0∆ = 0

V = 0M = 0

c. Condições de apoio (viga conjugada)


fixedfree

hinge

hinge

hinge roller

internal pin

internal roller

θ

∆

VM

θ

∆ = 0V

M = 0

θ

∆ = 0

V

M = 0

θ

∆

VM

56

DESLOCAMENTOS



Viga Real Viga Conjugada


DESLOCAMENTOS



1. Viga-Conjugada

Desenhe a viga-conjugada para a viga real.

A viga-conjugada deve ter o mesmo comprimento da viga real. Se um apoio na viga real permite uma inclinação, o apoio correspondente

na viga-conjugada deverá desenvolver um esforço cortante.

d. Procedimento de análise


Se um apoio na viga real permite um deslocamento, o apoio correspondente

na viga-conjugada deverá desenvolver um momento fletor.

A viga-conjugada é carregada com o diagrama M/EI da viga real.

Esse carregamento é assumido ser distribuído sobre a viga conjugada e é

direcionado para cima quando M/EI é positivo e é direcionado para baixoquando M/EI é negativo.

58

DESLOCAMENTOS



2. Equilíbrio

Avalie as reações nos apoios da viga-conjugada.

Usando as equações de equilíbrio, avalie o esforço cortante (V’) ou o

momento fletor (M’) na viga conjugada onde a inclinação (θθθθ) ou o

deslocamento (∆∆∆∆) deve ser determinado na viga real. Se esses valores são positivos, a inclinação acontece no sentido contrário

ao do ponteiro do relógio e o deslocamento é para cima .


DESLOCAMENTOS



e. Aplicações

Problema 1. Determine a inclinação e o deslocamento no ponto B da viga metálica

mostrada na figura abaixo. As reações já foram calculadas.

Assuma: E = 29 (103) ksi e I = 800 in4.

A

B 75 kft5 k

5 k


Solução:

i. Viga-Conjugada

15 ft15 ft

15 ft 15 ft

B’

75/(EI)

A

DESLOCAMENTOS



ii. Equilíbrio da viga-conjugada

Diagrama de corpo-livre:

25 ft5 ft

VB’

MB’


2

y B'

562.5 k ftF 0 V 0

EI

⋅+ ↓ = ∴ + =∑

2 2

B B' 3 2 2 2 4 4 4 4

562.5 k ft 562.5 k ftV

EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )

⋅ ⋅θ = = − =

⋅ ⋅ ⋅

B B'V 0.00349 radθ = = −

562.5/(EI)

DESLOCAMENTOS



3 3

B B' 3 2 2 2 4 4 4 4

14062.5 k ft 14062.5 k ftM

EI 29(10 ) k/in (144 in /ft ) 800 in (1 ft 12 in )

⋅ ⋅∆ = = − =

⋅ ⋅ ⋅

B B'M 0.0876 ft 1.05 in∆ = = − = −

( )2

B' B '562.5 k ftM 0 M 025 ftEI

⋅+ = ∴ + =∑


∆B = -14062.5/(EI)

θB = -562.5/(EI)B

A

DESLOCAMENTOS



Problema 2: Determine a deflexão máxima da viga metálica mostrada na figura

abaixo. As reações já foram calculadas.

Assuma: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4.

A

9 m

8 kN

3 m

B


Solução:

i. Viga-Conjugada

2 kN6 kN

A’ B’

18/(EI)

9 m 3 m

DESLOCAMENTOS



ii. Equilíbrio da viga-conjugada

Diagrama de corpo-livre:

Análise: A deflexão máxima da viga real ocorre no ponto onde a inclinação é

nula. Portanto, nesse mesmo ponto, o esforço cortante é nulo na viga conjugada.

Assim:

81/EI 27/EI 18 2xx=

EI EI9


45/EI 63/EI 45/EI

V = 0

M’

y45 1 2xF 0 x 0 x 6.71 m (0 x 9 m) OKEI 2 EI

+ ↓ = ∴ − + = ∴ = ≤ <

∑

DESLOCAMENTOS



Usando esse valor de x:

3 3

máx 6 4 4 3 4 46 2

201.2 kNm 201.2 kNmM'

EI 60(10 ) mm (1 m (10 ) mm200(10 ) kN/ m

0.0168 m 16.8 mm

−∆ = = − = =

= − = −

( )45 1 12(6.71)

M 0 (6.71) 6.71 M ' 06.71EI 2 3EI

+ = ∴ − + − = ∑


DESLOCAMENTOS



8.3.3. Método do Trabalho Virtual (Método da Carga Unitária)

a. Considerações Iniciais

• Métodos anteriores: eficientes para vigas submetidas a carregamentos simples.

• Métodos energéticos: eficientes para vigas, treliças e pórticos sujeitos a

carregamentos quaisquer.

• Base dos métodos ener éticos: Princí io da Conserva ão de Ener ia


e iU U=

onde:

Ue : trabalho realizado pelas forças que atuam na estrutura.

Ui : trabalho interno (energia de deformação) armazenado quando a estrutura

se deforma.

DESLOCAMENTOS

b. Fundamentos



b. Fundamentos

Trabalho Externo: Força P

∆= P2

1U

e


Trabalho Externo: Força P (aplicada primeiro) + Força P’

'''e F

2

1PP

2

1U ∆+∆+∆=

DESLOCAMENTOS



Trabalho Externo: Momento M

θ= M2

1Ue


Trabalho Externo: Momento M (aplicado primeiro) + Momento M’

'''e M

2

1MM

2

1U θ+θ+θ=

DESLOCAMENTOS



Trabalho Interno (Energia de Deformação): Força Axial S

Material elástico linear

Lei de Hooke: σ = Eε

Deformação: ε = ∆ /L

Hipóteses:


Tensão: σ = S/A

Deslocamento ∆:AE

SL=∆

Trabalho Interno: AE2

LSS2

1U

2

i =∆=

DESLOCAMENTOS



Trabalho Interno (Energia de Deformação): Flexão (Momento Fletor M)

Rotação dθ (elemento diferencial):

dxEIMd =θ


i

1dU Md

2= θ

dx

EI2

MU

L

0

2

i ∫ =

DESLOCAMENTOS

c. Princípio da Conservação da Energia



Nesse caso:

∆= P1

U


71

2

EI

LP

6

1dx

EI2

)Px(dx

EI2

MU

32L

0

2L

0

2

i =−== ∫ ∫

ie UU =Como, :

2 3 31 1 P L 1 PLP

2 6 E I 3 E I∆ = ∴ ∆ =

DESLOCAMENTOS

d. Princípio do Trabalho Virtual (PTV)



• Baseado no princípio da conservação de energia: Ue = Ui .

• Foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717.

• Conhecido também como o Método da Carga Unitária.

• Considere uma estrutura deformável submetida a uma série de cargas P que irãocausar o aparecimento de forças internas u ao longo de toda a estrutura. Essas

forças estão relacionadas por Equações de Equilíbrio .


72

• Considere também que deslocamentos externos ∆∆∆∆ irão acontecer nos locais de

aplicação das cargas P e deslocamentos internos δδδδ irão ocorrer nos locais da

forças internas u. Esses deslocamentos não precisam ser elásticos, podem não

ser relacionados com as cargas, e ∆∆∆∆ e δδδδ estão relacionados por Equações de

Compatibilidade .• Princípio do Trabalho Virtual (PTV):

)TVCI()TVCE(

uP δ=∆ ∑∑

DESLOCAMENTOS

Considere: Cargas reais P1, P2 e P3 aplicadas na estrutura (deseja-se avaliar ∆∆∆∆)



g 1 2 3 p ( j )

Considere a ora a car a virtual P’ = 1 a licada na dire ão de ∆∆∆∆

P1

P2

P3∆


73

Princípio do Trabalho Virtual (PTV): 1 u dL

(TVCE) (TVCI)

× ∆ = ∑P’ = 1

A

DESLOCAMENTOS



Se a rotaçãoθ

em um determinado ponto da estrutura é para ser determinada,um momento fletor virtual de magnitude unitária (M’ = 1) é aplicado nesse

ponto. Como conseqüência da aplicação de M’ = 1 na estrutura, forças internas

uθθθθaparecerão no sistema. Assim, o PTV pode ser escrito como:

Forças virtuais


dLu1 θ∑=θ×

Deslocamentos reais

74

DESLOCAMENTOS

8.4. TRELIÇA (Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual)



a. Efeito: Carregamento externo

Expressão Geral: dLn1 ∑=∆×

nNL1AE

× ∆ = ∑onde:


75

1 = força virtual unitária aplicada na direção de∆

n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária

∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelas forças externas reais

N = forças normais reais atuantes nas barras causadas pelas forças externas reais

L = comprimento de uma barraA = área da seção transversal de uma barra

E = módulo de elasticidade

DESLOCAMENTOS

b Efeito: Temperatura



b. Efeito: Temperatura


LTn1 ∆α=∆× ∑

onde:


76

= orça v r ua un r a ap ca a na reç o e

n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária∆ = deslocamento a ser avaliado causado pela mudança de temperatura

α = coeficiente de dilatação térmica (depende do material)

L = comprimento de uma barra

∆T = variação de temperatura da barra

DESLOCAMENTOS

c Efeito: Erros de fabricação e montagem



c. Efeito: Erros de fabricação e montagem


Ln1 ∆=∆× ∑

onde:


77

1 = força virtual unitária aplicada na direção de ∆

n = forças normais virtuais atuantes nas barras causadas pela força unitária

∆ = deslocamento a ser avaliado causado pelo erro de fabricação e montagem

∆L = diferença de comprimento da barra (comprimento projetado – comprimento

observado após a montagem ou fabricação da peça)

DESLOCAMENTOS





1. Forças Normais Virtuais n

• Coloque a força unitária na junta e na direção do deslocamento que se deseja

determinar.

• Resolva a treliça para essa carga unitária atuante (método das juntas ou seções).

• Assuma as for as normais de tra ão como ositivas.


2. Forças Normais Reais N

• Resolva a treliça para as forças externas reais atuantes (método das juntas ou

seções).

• Assuma as forças normais de tração como positivas.

DESLOCAMENTOS

3 Equação do Trabalho Virtual



3. Equação do Trabalho Virtual

• Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado.

• Mantenha o sinal de u e N obtidos nos passos anteriores.

• No caso de atuar simultaneamente forças externas, temperatura e erros de

fabricação:

LnLTnNL

n1 ∆+∆α+=∆×


AE

DESLOCAMENTOS

e. Aplicações



p ç

Problema 1: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica

mostrada na figura abaixo. Considere: E = 29 (103) ksi e A = 0.5 in2.

E F

10 ft


Solução:

i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na

direção do deslocamento vertical procurado)

A

10 ft

4 k

2 kN

B

4 k

C D

10 ft 10 ft

DESLOCAMENTOS

- 0.333 k



ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)

+ 0.333 k + 0.667 k + 0.667 k

0.667 k1 k0.333 k

+ 0 .

3 3 3 k

+ 1 k

C


- 4 k

+ 4 k + 4 k + 4 k4 k4 k4 k4 k

+

4

k

+

4

k

0

DESLOCAMENTOS

iii. Aplicação da equação do PTV: ∑=∆×NL

n1



∑AE

Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)

AB

BCCDDEFEEB

0.333

0.6670.667-0.943-0.333-0.471

4

44-5.66

-40

10

101014.14

1014.14

13.33

26.6726.6775.4713.33

0


BFAFCE

0.333-0.4711.000

4-5.66

4

1014.14

10

13.3337.70

40

Σ 246.50

Assim:

v

2 2

C 2 3 2

nNL 246.50 k ft (246.50 k ft)(12 in/ft)1k

AE AE (0.5 in )(29(10 ) k/in )

⋅ ⋅⋅ ∆ = = =∑ vC 0.204 in∴ ∆ =

DESLOCAMENTOS

Problema 2: Considere para a treliça mostrada abaixo, cada barra com E = 200 GPa



p ç

e A = 400 mm2. Pede-se:

a. O deslocamento vertical no ponto C se uma força horizontal de 4 kN

for aplicada nesse mesmo ponto.

b. Se nenhuma carga for aplicada, qual seria o deslocamento vertical emC se a barra AB for 5 mm menor do que o tamanho definido em

projeto?


A

5 m

B

4 kNC

4 m 4 m

3 m 5 m

DESLOCAMENTOS

Solução:



a.i. Avaliação dos esforços normais virtuais n (P = 1 posicionada na junta C e na

direção do deslocamento vertical procurado).


ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes).

DESLOCAMENTOS

iii. Aplicação da equação do PTV: ∑=∆×NL

n1



AE

Membro n (k) N (k) L (ft) nNL (k2.ft)

AB

ACCB

0.667

-0.833-0.833

2

2.5-2.5

8

55

10.67

-10.4110.41

Σ 10.67


Assim:

v

2 2

C -6 2 6 2

nNL 10.67 kN m (10.67 kN m)1kN

AE AE 400(10 ) m (200(10 ) kN/m )

⋅ ⋅⋅ ∆ = = =∑

vC 0.133 mm∆ =

DESLOCAMENTOS

b.






ii. Note que apenas a barra AB é deformada (tem o tamanho diferente daquele de

projeto)

m005.0LAB −=∆

DESLOCAMENTOS

iii. Aplicação da Equação do PTV (no caso: erro de fabricação ou montagem)



1 n L× ∆ = ∆∑

No caso:

vC1 (0.667kN)( 0.005m)× ∆ = −


vC 0.00333 m 3.33 mm∆ = − = −

DESLOCAMENTOS

Problema 3: Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica



mostrada na figura abaixo. Devido ao calor radiante da parede, a

barra AD é submetida a um aumento da temperatura de ∆T = +120º F.

Considere: E = 29 (103) ksi e α = 0.6 (10-5)/ oF. A seção A de todas as

barras é indicada na figura.


A B

60 kC

8 ft

D

80 k

parede

2 in2

2 in2

2 in2

2 in2

1.5 in2

DESLOCAMENTOS






ii. Avaliação dos esforços normais reais N (forças externas reais atuantes)

DESLOCAMENTOS

iii. Aplicação da equação do PTV (efeitos: forças externas + temperatura, barra AD)



vC

NL1 n n T L

AE× ∆ = + α ∆ =∑ ∑

3 3 3

5

(0.75)(120)(6)(12) (1)(80)(8)(12) ( 1.25)( 100)(10)(12)

2 2 1.529(10 ) 29(10 ) 29(10 )

(1) (120)(8)(12)0.6(10 )−

− −

= + + +

+ tem eratura barra AD


in658.0vC =∆

DESLOCAMENTOS

8.5. VIGAS E PÓRTICOS (Aplicação do Princípio do Trabalho Virtual)



Expressão Geral: dxEI

mM1

L

0

∫ =∆×

Objetivo : avaliar o deslocamento ∆

a. Energia de Deformação Virtual: Momento Fletor


Cargas reais

Cargas virtuais

DESLOCAMENTOS

Expressão Geral: dx

EI

mM1

L

0∫=∆×



EI0∫ onde:

1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de ∆

m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pela forçaunitária externa virtual

∆ = deslocamento a ser avaliado causado elas for as externas reais


M = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças

externas reais


I = momento de inércia da seção transversal da barra

L = comprimento da barra

DESLOCAMENTOS

Objetivo : avaliar o deslocamento θ



Expressão Geral: dxEI

Mm1

L

0

∫ θ=θ×

onde:

1 = força unitária externa virtual aplicada na viga ou pórtico na direção de θ

m = momento interno virtual (função de x) na viga ou pórtico, causado pelo


momento unitária externo virtual

θ = rotação a ser avaliada causada pelas forças externas reaisM = momento interno (função de x) na viga ou pórtico causado pelas forças

externas reais


I = momento de inércia da seção transversal da barra


DESLOCAMENTOS

Casos Cuidado !!!• Forças ou momentos concentrados atuantes

• Carga distribuídas descontínuas atuantes



`

Cargas reais Cargas virtuais

• Carga distribuídas descontínuas atuantes


o uç o : sco er coor ena as x s para aque as reg es que n o apresen am

descontinuidade no carregamento e avaliar a integral paracada região. ∫ dx)EI / mM(

Solução 2: Forma TABULAR (Método TABULAR)

Os diagramas de momentos são avaliados (cargas reais e virtuais). Os

diagramas para m e M são comparados com aqueles da tabela e assim a

integral pode ser determinada através de fórmula apropriada.∫ dx)mM(

DESLOCAMENTOS

Avaliação deL

0

mm' dx∫



L

0

mm' dx∫

mm'L1

mm'L

2

( )' '1 2

1m Lm m

2

+ 2mm'L

3

1mm'L

2

1mm'L

3( )' '

1 2

1m Lm 2m

6+

5mm'L

12


( )1 2

1m' L

m m2 + ( )1 2

1

m' Lm 2m6 +

( )'1 1 2

1 6 m 2m m ++

( )'2 1 2

m Lm 2m + + ( )1 2

1

m' L3m 5m12 +

1mm'L

2

1mm'L

2

( )1mm' L a

6+

1mm'L

6( )' '

1 2

1m L2m m

6+

1mm'L

4

( )'1 1

1 6m m L b ++( )

2m L a + +

2

2

1 3a amm' 3 L

12 L L

+ −

DESLOCAMENTOS

Procedimento de Análise



1. Momentos Virtuais m ou mθ

Aplique a força unitária na viga ou pórtico na direção do deslocamento que se

deseja determinar. Caso se deseje determinar a rotação de um ponto, deve-se aplicar um momento


Estabeleça de forma apropriada as coordenadas x`s (objetivo: evitar

descontinuidade do carregamento).

Resolva a viga ou pórtico para essa força ou momento unitário atuante (obtenha os

momentos internos m ou mθ).

DESLOCAMENTOS

2. Momentos Reais M



Usando as mesmas coordenadas x`s usadas para avaliar m ou mθ, calcule os

momentos internos M causados pelas forças reais atuantes.

Assuma a mesma convenção de sinal da etapa anterior.

3. Equação do Trabalho Virtual


Aplique a equação do trabalho virtual para determinar.

O deslocamento ou a rotação desejada.

Mantenha o sinal de m (ou mθθθθ) e M obtidos nos passos anteriores.

∑∫ =∆× dxEI

mM1 ∑∫

θ=θ× dxEI

Mm1ou

DESLOCAMENTOS

Aplicações

Problema 1: Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo.



Problema 1: Determine o deslocamento do ponto B da viga metálica mostrada abaixo.

Considere: E = 200 GPa e I = 500 (106) mm4.

AB

12 kN/m

10 m


Solução:

i. Avaliação do momento virtual m

xm −=

10 m

1 kN

A B

x

1 kN

xv

DESLOCAMENTOS

ii. Avaliação do momento real M

12 kN/m12x



2x6M −=

iii. Aplicação da equação do PTV

A B

12 kN/m

10 m

x

x/2

xV


dxEI

mM1

L

0

B ∫ =∆×

( )( )10

2

B

0

1x 6x1 dxEI

− −×∆ = ∴∫ ( )3 2 3

B

15 10 kN m1 kN

EI×∆ =

( )

( ) ( )( )

3 3

B 6 2 6 4 12 4 4

15 10 kNm0.150 m 150 mm

200 10 kN/m 500(10 ) mm 10 m /mm−∆ = = =

DESLOCAMENTOS

Problema 2: Determine a inclinação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo.

Considere: E = 200 GPa e I = 60 (106) mm4.



( )

Solu ão:

A

B

3 kN

5 m 5 m

C


i. Avaliação do momento virtual mθθθθ

1m 0θ =

2m 1θ =

A

B C 1 kNm

x1 x2

5 m x2

x1

1 kNm v2

v1

DESLOCAMENTOS

ii. Avaliação do momento real M3 kN

V1



1 1M 3x= −

( )2 2M 3 5 x= − +

A

B

3 kN

C

x1 x2

x1

V2

1

3 kN



( )( ) ( ) ( )5 10L

21B 1 2

0 0 5

3 5 x3x 1m M 01 dx dx dx

EI EI EIθ

− +− × θ = = +∫ ∫ ∫ 2

B

112.5 kNm

EI

−θ =

2

DESLOCAMENTOS

Observação : Método Tabular

1 Construção dos diagramas:



1. Construção dos diagramas:

M (kNm)m (kNm)

x (m) x (m)5 10

1 5 10

-15


2. Da apropriada linha e coluna da tabela:

( ) ( )( )( )10

2 31 2

5

1 1m Mdx m L 112.5 kN mM M 15 30 51

2 2θ = = = −+ − −∫

-30

DESLOCAMENTOS

Assim:

Que é o mesmo valor obtido anteriormente.



( )2 2

B 6 2 12 4 46 4

112.5 kN m0.00938 rad1 kNm

200(10 ) kN/m (10 m /mm )60(10 ) mm−

−× θ = = −


.

Considere: E = 29(103) ksi e I = 800 in4.

A

B

80 kft

C D

6 k

10 ft 10 ft 10 ft

DESLOCAMENTOS

Solução:




1 k

0.75 k 1.75 kx1x2x3

1 k


1 1m 1x= −

2 2m 0.75x 15= −

3 3m 0.75x= −

1 k

v1 x1

x2

1.75 k

x2 +15

v2

v3

0.75 k

x3

DESLOCAMENTOS


6 k



1M 0=

1 k 7 k

x1x2x3

80 kft

V1


2 2M 7x=

3 3M 80 1x= −

x2

x3

V2

V3

80 kft

7 k

1 k

DESLOCAMENTOS




( )( ) ( )( ) ( )( )15 10 10L

3 31 2 2D 1 2 3

0 0 0 0

0.75x 80 1x1x 0 0.75x 15 7xmM1 dx dx dx dx

EI EI EI EI

−− −× ∆ = = + +∫ ∫ ∫ ∫

3

D0 3500 2750 6250 k ft

EI EI EI EI⋅∆ = − − = −

33 3 3


( ) ( )D 3 2 4

0.466 in

29 10 k/in 800 in

⋅∆ = − = −

DESLOCAMENTOS

Problema 4. Determine a rotação θ no ponto C do pórtico metálico a seguir.

Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4.




DESLOCAMENTOS

Solução:

i. Avaliação do momento virtual mθθθθ



Barra BC Barra AB


DESLOCAMENTOS




M 2.5x= −2M 7.5=



( )( ) ( )( )3L 2 2

1C 1 2

0 0 0

2.5xm M 11.25 15 26.25 KN m1 7.511 dx dx dx

EI EI EI EI EI EI

θ − ⋅−× θ = = + = + =

∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )

2

C 6 2 6 4 12 4 4

26.25 KN m0.00875 rad

200 10 KN / m 16 10 mm 10 m /mm−

⋅θ = =

DESLOCAMENTOS

Problema 5: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálico

mostrado abaixo. Considere: E = 200 GPa e I = 15(106) mm4.



B

4 k/ft

C 8 ft

x2


A

10 ft

x1

DESLOCAMENTOS

Solução:




2 2m 1.25x=

1 k

8 ft

x2

1 k

n2

v2

1.25 k


1 1m 1x=

10 ft

x1

1.25 k

1.25 k1.25 k

1 k1 k

n1

v1

DESLOCAMENTOS


V2



2 2M 25x=

8 ft

x2

N2

2

25 k

25 k


21 1 1M 40x 2x= −

5 ft

25 k25 k

N1

V1

40 k

4x140 k

40 k

DESLOCAMENTOS


( )( ) ( )( )10 8L 2

1 1 1 2 2C 1 2

1x 40x 2x 1.25x 25xmM1 dx dx dx

−× ∆ = = +∫ ∫ ∫



hC 1 2

0 0 0

1 dx dx dxEI EI EI

× ∆ = = +∫ ∫ ∫

h

3

C

8333.3 5333.3 13666.6 k ft

EI EI EI

⋅∆ = + =

Observação: Método Tabular


1. Construção dos diagramas

Força Virtual Força Real

10 kft10 kft

10 ft

8 ft

10 ft

8 ft

200 kft

200 kft

DESLOCAMENTOS

2. Das apropriadas linhas e colunas da tabela

( )( )( ) ( )( )( ) 2 35 1mMdx 10 200 10 10 200 8 8333.3 5333.3 13666.6 k ft

12 3= + = + = ⋅∫



12 3∫

Que é o mesmo valor obtido anteriormente. Assim:

3

C

13666.7 k ft0.113 ft 1.36 in

⋅∆ = = =


29 10 k / in 12 in / ft 600 in ft / 12 in

DESLOCAMENTOS

b. Energia de Deformação Virtual: Força Axial (Esforço Normal)

∑nNL

U



∑=AE

Ua

onde:

n = forças normais virtuais internas atuantes nas barras causadas pela força


externa virtual unitária

N = forças normais internas atuantes nas barras causadas pelas forças reaisL = comprimento da barra

A = área da seção transversal da barra

E = módulo de elasticidade do material

DESLOCAMENTOS

c. Energia de Deformação Virtual: Esforço Cortante

dxGA

VKU

L

0

s ∑∫

ν=



0

onde:

n = forças cisalhantes virtuais internas atuantes nas barras, expressas como

funções de x, causadas pela força externa virtual unitária


= orças c sa an es n ernas a uan es nas arras, pressas como unç es e

x, causadas pelas forças reais

K = fator dependente da forma da seção transversal

(K = 1.2 : seção transversal retangular)

(K = 10/9 : seção transversal circular)

(K = 1.0 : seção transversal I, perfil I)A = área da seção transversal da barra

G = módulo de elasticidade transversal do material

DESLOCAMENTOS

d. Energia de Deformação Virtual: Torção

∑=GJ

TLtUt



GJ

onde:

t = momentos de torção virtuais internos atuantes nas barras causados pela

força externa virtual unitária


T = momentos de torção internos atuantes nas barras, causados pelas forças

reaisL = comprimento da barra

J = momento de inércia polar da seção transversal

(J = πc4 /2, onde c é o raio da seção transversal)

G = módulo de elasticidade transversal do material

DESLOCAMENTOS

d. Energia de Deformação Virtual: Temperatura

Efeito: Variação uniforme de temperatura ∆T



LTnUTemp ∆α= ∑

Efeito: Diferença de temperatura ao longo da seção transversal do perfil


dxc

TmU

0

mTemp ∑∫

∆α=

c

dxTd m∆α=θ

dx

T1

T2

T1 > T2

T1

T2

c

c

dxδx

δ

x

c

c

M

∆Tm

∆Tm

1 2m

T TT

2

+=

Rotaçãopositiva

dθ

DESLOCAMENTOS

onde:

m = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa

unitária



unitária

α = coeficiente de dilatação térmica

∆

Tm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou baseda seção da viga

c = metade da altura da seção



DESLOCAMENTOS

Aplicações

Problema 1: Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico metálicomostrado abaixo. Considere: E = 29(103) ksi, G = 12(103) ksi, I = 600 in4,



e A = 8 0 i n2 para ambos os membros.

B C 8 ft


A

4 k/ft10 ft

x1

x2

DESLOCAMENTOS

Solução:




2 2m 1.25x=

1 k

8 ft

x2

1 k

n2

v2

1.25 k


1 1m 1x=

10 ft

x1

1.25 k

1.25 k1.25 k

1 k1 k

n1

v1

DESLOCAMENTOS


N

V2



2 2M 25x=

8 ft

x2

N2

25 k

25 k


21 1 1M 40x 2x= −

5 ft

25 k25 k

N1

V1

40 k

4x140 k

40 k

DESLOCAMENTOS


Deformação de Flexão:

( )



Deformação Axial:

( )

( ) ( )

2 3 3 3 3

b 3 2 4

mM 13666.6 k ft 12 in / ftU dx 1.357 in k

EI 29 10 k / in 600 in

⋅= = = ⋅

∫


Deformação Cisalhante:

( ) ( )a 2 3 2 2 3 2

.U 0.001616 in k

AE 80 in 29 10 k / in 80 in 29 10 k / in= = + = ⋅

( )

( ) ( )

2

3 2 2

540 k ft 12 in / ft0.00675 in k

12 10 k / in 80 in

⋅= = ⋅

( )( ) ( )( )10 8L

1s 1 2

0 0 0

1.2 1 40 4xV 1.2 1.25 25U K dx dx dx

GA GA GA

−υ − − = = + =

∫ ∫ ∫

DESLOCAMENTOS

hC1 k 1.357 in k 0.001616 in k 0.00675 in k× ∆ = ⋅ + ⋅ + ⋅

hC 1.37 in∆ =



Problema 2: A viga mostrada abaixo é usada num sistema estrutural sujeito a duas

temperaturas diferentes. Se a temperatura do topo da seção é 80º F ea da base é 160º F, determine o deslocamento vertical no meio da viga

= -6 o


. . .

80º F

160º F

10 ft

10 in

DESLOCAMENTOS

Solução:


1 lb



1m x

2=

1/2 lb 1/2 lb

5 ft 5 ft

x x x

1/2 lb

v


ii. Aplicação da equação do PTV

Temperatura média no centro da viga:

F1202 80160T o

oo

m =+=

DESLOCAMENTOS

Assim:

F4080120T 0oo

m =−=∆

( ) ( ) ( )60 inL 6 o o1 2 6 5 10 F 40 FT



( ) ( ) ( )v

60 inL 6 o om

C

0 0

1 2 6.5 10 F 40 Fm T1 lb dx 2 dx

c 5 in

−α∆× ∆ = =∫ ∫

vC 0.0936 in∆ =


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