Apostila de Cisalhamento (Ns&l)

7/21/2019 Apostila de Cisalhamento (Ns&l)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

APOSTILA DE CONCRETO ARMADO II

NERES, SIRQUEIRA & LUCENA

ESTUDO DOS MODELOS DE CLCULO AO CISALHAMENTO DE UMA VIGA EM

CONCRETO ARMADO

AUTORES

DSc. JOS NERES DA SIL VA FILHO (UnB /NCSU)

MSc. TI AGO MORKIS SIQUEIRA (USP)

MSc. JUL IO CSAR TAVARES DE LUCENA (USP)

NATAL - RN2014


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RESUMO

Esse documento faz referncia ao estudo completo dos modelos de clculo de cisalhamento de

uma viga de concreto armado. Para isso buscou-se na literatura tcnica autores que tratam do

assunto, tanto a parte conceitual e do desempenho mecnico do concreto armado solicitado aos

esforos cortantes, quando a parte prtica do dimensionamento de vigas segundo a NBR

6118/2014.

Palavras Chaves:Concreto Armado; Cisalhamento.


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SUMRIO

1 - INTRODUO ....................................................................................................................... 5

2COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGNEAS NO ESTDIO I .................................... 6

3COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS FLEXOE FORA CORTANTE ............................................................................................................ 7

4MECANISMOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE .................................... 11

4.1 - Ao de Arco .................................................................................................................. 12

4.2Concreto Comprimido No Fissurado ............................................................................. 13

4.3Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas .......................................................... 13

4.4Ao de Pino da Armadura Longitudinal ........................................................................ 13

4.5Tenses Residuais de Trao .......................................................................................... 14

4.6Armaduras Longitudinal e Vertical ................................................................................. 15

5FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE .................... 16

5.1Tipo de Carregamento .................................................................................................... 16

5.2Posio da Carga e Esbeltez............................................................................................ 16

5.3Tipo de Introduo da Carga ........................................................................................... 17

5.4Armadura Longitudinal .................................................................................................. 17

5.5Forma da Seo Transversal ........................................................................................... 18

5.6Altura da Viga ................................................................................................................ 18

5.7Resistncia do Concreto.................................................................................................. 19

5.8Fora Axial ..................................................................................................................... 19

6COMPORTAMENTO DAS VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL ........................ 20

6.1Modos de Ruptura .......................................................................................................... 20

7COMPORTAMENTO DAS VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL........................ 23

7.1Funo do Estribo ........................................................................................................... 23

7.2Modos de Ruptura .......................................................................................................... 25

8TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH .................................................................... 27

9 TRELIA GENERALIZADA............................................................................................... 31

10DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03 ........................................................ 34

10.1 Modelo de Clculo I ........................................................................................................ 34

10.2 Modelo de Clculo II ....................................................................................................... 38

10.3 Armadura Mnima ........................................................................................................... 41

11DISPOSIES CONSTRUTIVAS ..................................................................................... 43

11.1 Dimetro do Estribo ........................................................................................................ 43


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11.2 Espaamento Mnimo e Mximo entre os Estribos ........................................................... 43

11.3 Espaamento Mximo entre os Ramos Verticais do Estribo ............................................. 44

11.4 Ancoragem do Estribo ..................................................................................................... 44

12CONSIDERAES SOBRE O NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DECOMPRESSO () .................................................................................................................... 46

13REDUO DA FORA CORTANTE ............................................................................... 48

14CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS............................ 50

14.1 Armadura de Suspenso .................................................................................................. 50

15EXEMPLO NUMRICO .................................................................................................... 55

15.1 Modelo de Clculo I ........................................................................................................ 55

15.2 Modelo de Clculo II com = 30 ................................................................................... 56

15.3 Detalhamento da Armadura Transversal .......................................................................... 57

16 CONSIDERAES FINAIS............................................................................................... 60

17REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 61

ANEXOS .................................................................................................................................... 62


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CAPTULO 1

1 - INTRODUO

O dimensionamento de uma viga fora cortante muito importante, pois a ruptura de

uma viga, se ocorrer, preferencialmente, no deve ser por efeito de fora cortante, por ser

normalmente muito frgil.

Para o seu dimensionamento, existem algumas teorias e modelos para anlise de vigas de

concreto sob foras cortantes, desenvolvidos geralmente com base na analogia de trelia. No

Brasil se destacam os modelos de trelia denominados Trelia Clssica e Trelia Generalizada.

No caso especfico da NBR 6118 existem dois modelos de clculo que podem ser

utilizados que diferem entre si nas hipteses que adotam de modo a dar ao projetista opo quanto

ao seu clculo, e de adotar o que considerar mais representativo da situao real.

Inicialmente procurou-se comentar sobre o desempenho mecnico de vigas de concreto

armado submetidas a esforos cortantes, para posteriormente apresentar os modelos de trelia

clssica e generalizada para, ento, introduzir o que preconiza NBR 6118 a respeito do

dimensionamento ao esforo cortante e seu detalhamento.


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CAPTULO 2

2COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGNEAS NO ESTDIO I

Considerando uma viga no fissurada, isto , no Estdio I, de seo retangular, bi-apoiada

e com carregamento uniformemente distribudo mostrada na figura 1. Sejam dois elementos

infinitesimais A1 e A2 da viga de material homogneo, elstico linear e istropo (definido como o

material que apresenta propriedades de deformao iguais para qualquer direo). De acordo com

a teoria clssica da Resistncia dos Materiais, as tenses normais de trao e de compresso,

atuantes ao nvel dos planos a1 e a2, respectivamente, assim como a variao da tenso de

cisalhamento ao longo da altura da viga, so as indicadas abaixo.

Figura 1Tenses normais e de cisalhamento em uma viga de material homogneo

As tenses normais e de cisalhamento so dadas por:

Sendo Me V, o momento fletor e o esforo cortante atuantes na seo, ya distncia

do elemento linha neutra, Sy o momento esttico da rea considerada at a linha neutra, Io

momento de inrcia e bwa largura da viga.


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CAPTULO 3

3 COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS

FLEXO E FORA CORTANTE

O comportamento resistente de vigas de concreto armado sujeitas a ao de momentos

fletores e esforos cortantes diferente do apresentado para vigas homogneas. Considere uma

viga de concreto armado, bi-apoiada, submetida a duas foras concentradas P de igual intensidade,

crescentes de zero at a fora ltima ou de ruptura (Figura 2). As armaduras consistem da

armadura longitudinal positiva resistente s tenses normais de trao da flexo, e da armadura

transversal, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas

inclinadas (cavaletes) no lado direito da viga. Nota-se que no trecho da viga entre as foras

concentradas P a solicitao de flexo pura (o cortante nulo).

Figura 2Viga bi-apoiada e diagrama de esforos solicitantes (LEONHARDT e MNNIG, 1982)

A figura 3a mostra a viga submetida s foras P de baixa intensidade, com as trajetrias

das tenses principais de trao e de compresso para a viga ainda no fissurada, no Estdio I.

Observe que, no trecho de flexo pura, as trajetrias das tenses de compresso e de trao so

paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetrias das tenses so inclinadas

devido influncia das foras cortantes. importante observar tambm que as trajetrias

apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si.


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Figura 3Comportamento resistente de uma viga bi-apoiada (LEONHARDT e MNNIG, 1982)

Com o aumento das foras P, e consequentemente das tenses principais, no instante em

que as tenses de trao atuantes no lado inferior da viga superam a resistncia do concreto

trao surgem as primeiras fissuras no trecho de flexo pura, chamadas fissuras de flexo

(Figura 3b).

As fissuras de flexo so aquelas que iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em

direo linha neutra, conforme aumenta o carregamento externo aplicado. Apresentam-se

aproximadamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e s trajetrias das tenses

principais de trao, ou seja, a inclinao das fissuras depende da inclinao das tenses principais

de trao. O trecho fissurado passa do Estdio I para o Estdio II e os trechos entre os apoios e as


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foras concentradas, sem fissuras, permanecem no Estdio I, isto , a viga apresenta trechos nos

Estdios I ou II.

A figura 3c mostra os diagramas de deformao e de tenso nas sees a e b da viga, nos

Estdios I e II, respectivamente. No Estdio I a mxima tenso de compresso ainda pode ser

avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo no valendo mais para o Estdio II.

Continuando a aumentar as foras P outras fissuras de flexo continuam a surgir, e aquelas

j existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direo ao topo da viga (Figura 3d). Nos

trechos entre os apoios e as foras P, as fissuras de flexo inclinam-se, devido inclinao das

tenses principais de trao, I, por influncia das foras cortantes. Essas fissuras inclinadas so

chamadas de fissuras de flexo com fora cortante.

Nas proximidades dos apoios, como a influncia dos momentos fletores muito pequena,podem surgir as chamadas fissuras por fora cortante, ou de cisalhamento (Figura 3d). Com

carga elevada, a viga se apresenta no Estdio II em quase toda a sua extenso.

Observa-se ento que o carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de

tenses principais, em cada um dos seus infinitos pontos. Na altura da linha neutra, as trajetrias

das tenses principais apresentam-se inclinadas de 45 (ou 135) com o eixo longitudinal da viga,

e em pontos fora as trajetrias tm inclinaes diferentes de 45.

As tenses principais de trao inclinadas na alma exigem uma armadura denominadaarmadura transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Nota-se

que, na regio de maior intensidade das foras cortantes, a inclinao mais favorvel para os

estribos seria de aproximadamente 45, ou seja, paralelos s trajetrias das tenses de trao e

perpendiculares s fissuras. Por razes de ordem prtica os estribos so normalmente posicionados

na direo vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45.

A colocao da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, alm disso,

possibilita que as tenses principais de compresso possam continuar atuando, sem maioresrestries, entre as fissuras inclinadas prximas aos apoios.

O comportamento da regio da viga sob influncia das foras cortantes e com fissuras

inclinadas no Estdio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma trelia

(Figura 4). A analogia de trelia consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais

inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido

entre as fissuras (bielas de compresso) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo

inferior como a armadura de flexo tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido

acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo.


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Figura 4Analogia de trelia para regies prximas do apoio (LEONHARDT e MNNIG, 1982)

Quando esta trelia isosttica com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45 chamada trelia clssica de Ritter-Mrsch como ser visto adiante (Figura 5).

Figura 5Analogia de trelia clssica de Ritter-Mrsch (PINHEIRO, et. al., 2007)

Essa analogia de trelia clssica considera as seguintes hipteses bsicas: fissuras, e,

portanto as bielas de compresso, com inclinao de 45; banzos paralelos; trelia isosttica;

portanto, no h engastamento nos ns, ou seja, nas ligaes entre os banzos e as diagonais; e

armadura de cisalhamento com inclinao entre 45 e 90.

Porm, resultados de ensaios comprovam que h imperfeies na analogia de treliaclssica. Isso se deve principalmente a trs fatores: a inclinao das fissuras menor que 45; os

banzos no so paralelos, pois h o arqueamento do banzo comprimido, principalmente nas

regies dos apoios; a trelia altamente hiperesttica j que ocorre engastamento das bielas no

banzo comprimido, e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior que a das barras

tracionadas.

Para um clculo mais refinado, tornam-se necessrios modelos que considerem melhor a

realidade do problema. Por esta razo, como modelo terico padro, adota-se a analogia de trelia,

mas a este modelo so introduzidas correes, para levar em conta as imprecises verificadas.


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CAPTULO 4

4MECANISMOS DE TRANSFERNCIA DA FORA CORTANTE

Os mecanismos existentes numa viga responsveis pela transferncia da fora cortante so

complexos e difceis de identificar e medir, porque aps a fissurao ocorre uma complexa

redistribuio de tenses, influenciada por vrios fatores.

Excluindo-se a armadura transversal, so cinco os mecanismos mais importantes:

1) fora cortante na zona de concreto no fissurado (banzo de concreto comprimido Vcz);

2) engrenamento dos agregados ou atrito das superfcies nas fissuras inclinadas (V ay);

3) ao de pino da armadura longitudinal (Vd);

4) ao de arco;

5) tenso de trao residual transversal existente nas fissuras inclinadas.

Os trs primeiros mecanismos esto mostrados com suas contribuies nas Figuras 6a e 6b.

Figura 6a) Mecanismos de transferncia da fora cortante em viga com armadura transversal, b) parcela de

contribuio de cada mecanismo (MACGREGOR e WIGHT, 2005)

Os elementos submetidos fora cortante geralmente encontram-se tambm sob os

esforos de momento fletor, fora axial e toro. Por isso, alm do estudo sobre os efeitos da fora


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cortante agindo isolada, importante examinar tambm a interao com os outros esforos

solicitantes.

No caso das vigas sob flexo, os mecanismos resistentes fora cortante interagem com a

aderncia entre o concreto e a armadura longitudinal, bem como com a ancoragem dessa armadura

na sua extremidade.

A transferncia da fora cortante nas vigas de concreto armado muito dependente das

resistncias do concreto trao e compresso, e tem, por isso, a ruptura frgil por efeito da

fora cortante. Portanto, muito importante o correto dimensionamento das vigas fora cortante,

de modo sempre evitar a ruptura frgil por fora cortante.

As caractersticas dos cinco principais mecanismos de transferncia de fora cortante so

comentadas a seguir.

4.1 - Ao de Arco

Nas proximidades dos apoios o banzo comprimido inclina-se em sua direo, formando um

arco, como ilustrado na Figura 7. A formao do arco requer uma reao horizontal no apoio, que

em vigas bi-apoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser

cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para servir a esta funo.

Figura 7Ao de arco nas proximidades dos apoios (LEONHARDT e MNNIG, 1982)

A resistncia fora cortante proporcionada pela ao de arco depende muito da

possibilidade de acomodao das tenses de compresso do arco, e a intensidade dessas tenses

depende principalmente da inclinao do arco.


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A ao de arco o mecanismo dominante de resistncia de vigas-paredes fora cortante

com o carregamento aplicado na sua regio comprimida.

4.2Concreto Comprimido No Fissurado

A zona no fissurada de concreto comprimido pela flexo (banzo de concreto) contribui e

proporciona certa resistncia fora cortante atuante numa viga, ou laje, fissurada. A integrao

das tenses de cisalhamento sobre a altura desse banzo comprimido fornece uma componente de

fora cortante.

A contribuio do banzo comprimido depende principalmente da altura da zona

comprimida, consequentemente, vigas com alturas baixas sem fora axial de compresso

apresentam pequena contribuio resistncia, porque a altura do banzo relativamente pequena.A contribuio da zona do banzo comprimido de concreto alcana valores entre 20 % e 40 % de

resistncia fora cortante na seo, sendo esta variao dependente principalmente da forma e da

natureza das fissuras nas vigas.

4.3Transferncia na Interface das Fissuras Inclinadas

Devido rugosidade dos agregados ocorre um engrenamento entre eles nas superfcies das

fissuras, o que proporciona uma resistncia ao deslizamento e transferncia de fora cortanteatravs de uma fissura inclinada.

O termo engrenamento dos agregados (aggregate interlock) vem sendo substitudo por

atrito entre as superfcies (crack friction), porque os concretos de alta resistncia tm matriz com

resistncia semelhante dos agregados, contribuindo para o mecanismo da transferncia de fora

cortante, mesmo aps a propagao da fissura entre os agregados. Alm disso, o termo tambm

indica que o mecanismo no depende meramente das caractersticas do concreto.

O mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona umacontribuio significativa resistncia fora cortante de vigas de concreto armado e protendido,

chegando entre 33% e 50% da fora cortante total sobre a viga.

4.4Ao de Pino da Armadura Longitudinal

Experimentos realizados indicaram que a parcela resistente fora cortante proporcionada

pela barra de ao na ao de pino (dowel action) entre 15% e 25% da fora cortante total.

A fora cortante que pode ser transferida pela ao de pino depende de vrios parmetros,

como: quantidade de armadura; dimetro da barra; espaamento entre as barras; espessura do


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cobrimento embaixo da barra de ao; propriedades do concreto; tenses axiais na armadura; e

existncia de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal.

Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento (I), e

esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (II).

Figura 8Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino (VINTZILEOU, 1997, apud BASTOS, 2008).

O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para

grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra.

Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfcie

de concreto na regio prxima barra (ruptura tipo I), a eficincia do mecanismo reduzida

aumentando-se o dimetro da barra. Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do dimetroda barra afeta negativamente a eficincia da resistncia do mecanismo do efeito pino.

Em funo do cobrimento da barra esperado que, para pequenos espaamentos entre

barras, a resistncia oferecida diminui em funo de ruptura causada pelo aparecimento de fissuras

prematuras de fendilhamento no concreto.

Normalmente a ao de pino no muito importante em elementos sem armadura

transversal, porque a mxima fora cortante proporcionada pela ao de pino limitada pela

resistncia trao do concreto do cobrimento da barra, que apoia a barra. A ao de pino pode

ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, principalmente

quando distribuda em mais que uma camada.

4.5Tenses Residuais de Trao

Quando o concreto fissura no ocorre uma separao completa porque pequenas partculas

do concreto ligam as duas superfcies e continuam a transmitir foras de trao. Essa capacidade

do concreto contribui para a transferncia de fora cortante, importante quando a abertura da

fissura ainda pequena. Vigas grandes prximas ruptura com fissuras de grande abertura

mostram menor contribuio das tenses residuais de trao.


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CAPTULO 5

5FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTNCIA FORA CORTANTE

Diversos fatores influenciam a resistncia das vigas fora cortante, cerca de vinte, sendo

que de alguns deles no h conhecimento suficiente da sua influncia. A seguir apresentam-se

alguns dos principais fatores.

5.1Tipo de Carregamento

Para carregamento uniformemente distribudo (cargas atuando de cima, diretamente sobre

a viga), alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade

resistente fora cortante cerca de 20% a 30% maior do que para carga concentrada na posio

mais desfavorvel.

5.2Posio da Carga e Esbeltez

Para as cargas concentradas, tem grande influncia a distncia do apoio at a carga. J para

as cargas uniformes tem grande influncia a esbeltez, isto , a relao entre o vo, l, e a altura da

viga, h.

Quanto ruptura de uma viga com e sem armadura transversal por fora cortante, a

posio mais perigosa de uma carga concentrada foi determinada para relao a/h = 2,5 a 3,5,

sendo a a distncia entre o apoio e a carga concentrada. Para cargas distribudas, vigas de

rigidezes l/h = 10 a 14 so as que conduzem a maiores perigos de ruptura por fora cortante e,

consequentemente, menor capacidade resistente.

A capacidade resistente fora cortante aumenta bastante para cargas prximas ao apoio,para uma relao a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga distribuda, quando

l/h < 10. Isto ocorre porque uma parcela significativa da fora cortante transmitida diretamente

ao apoio pela ao de arco. E quanto menor a relao a/d mais pronunciada se torna a ao de

arco. As vigas-paredes so exemplos tpicos da existncia do efeito arco de forma pronunciada.

Deve-se prever para isso uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado.


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5.3Tipo de Introduo da Carga

Efetuando-se a ligao de uma viga em toda sua altura com outra viga, a viga que se apoia

distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se ento que se trata

de um carregamento ou apoio indireto. Na regio de cruzamento dessas vigas necessria uma

armadura de suspensoque deve ser dimensionada para a fora total atuante no apoio ou n.

Uma viga no Estdio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de

compresso, e as diagonais comprimidas no modelo trelia definem a necessidade de montantes

verticais de trao, ou seja, armadura de suspenso. Entretanto, fora da regio de cruzamento, a

viga no influenciada pelo tipo de introduo de carga ou de apoio, isto , o comportamento em

relao fora cortante o mesmo que para o apoio ou carregamento direto. Na regio de

cruzamento, a armadura de suspenso atende simultaneamente funo de armadura detransversal.

Cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem trao na alma e tambm

devem ser transferidas pelas barras de trao da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de

suspenso adicional armadura transversal para a fora cortante.

5.4Armadura Longitudinal

O desenvolvimento de uma fissura inclinada por fora cortante, ou seja, seu aumento atprximo da borda superior da zona comprimida de concreto depende da rigidez deformao do

banzo tracionado. Isto , quanto menor a armadura longitudinal, mais fraco o banzo tracionado, e

tanto mais ele se alonga com o aumento da carga. Assim, to mais depressa as fissuras inclinadas

se tornam perigosas j que elas tero aberturas maiores, diminuindo a resistncia fora cortante

e, alm disso, a ao de pino por existir menos armadura.

O banzo tracionado no pode, portanto, ser muito enfraquecido na regio de uma possvel

ruptura por fora cortante. Tambm um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeitoenfraquecedor. Ambas as influncias devem ser consideradas como detalhes construtivos na

execuo da armadura.

Outra influncia a qualidade da armadura longitudinal. Uma distribuio das tenses com

maior nmero de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente fora cortante.

Alm disso, barras longitudinais dispostas ao longo da altura das vigas diminuem o espaamento e

abertura das fissuras, e por isso aumentam a resistncia fora cortante de maneira significativa.


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A reduo da transferncia de fora cortante nas interfaces das fissuras pode ser explicada

devido a maior largura das fissuras que ocorrem em vigas de grande altura. Outros acreditam que,

em vigas altas, a propagao de fissuras inclinadas ocorre de maneira mais rpida, o que diminui a

resistncia fora cortante.

5.7Resistncia do Concreto

A resistncia fora cortante aumenta com o aumento da resistncia do concreto, porm,

no est definido ainda se a resistncia do concreto compresso ou a resistncia trao que

exerce maior influncia.

Normas que consideram a contribuio do concreto (Vc) como a fora cortante relativa

ao aparecimento da fissurao inclinada, como a NBR 6118/03, levam em considerao aresistncia do concreto trao, geralmente por meio de equaes em funo da resistncia do

concreto compresso elevadas a uma certa potncia.

5.8Fora Axial

Foras axiais de compresso aumentam a resistncia fora cortante porque diminuem a

largura das fissuras inclinadas, o que contribui para uma maior resistncia nas interfaces das

fissuras, e aumentam a altura do banzo de concreto comprimido, e consequentemente a suaresistncia fora cortante. Foras de trao, ao contrrio, diminuem a resistncia fora cortante.


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CAPTULO 6

6COMPORTAMENTO DAS VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL

O comportamento das vigas aps a fissurao modifica-se consideravelmente em funo

da existncia ou no de armadura transversal. Numa viga de concreto armado sob a ao de flexo

e foras cortantes, que ocasionam tenses principais, a fissura se forma quando a tenso principal

de trao excede a resistncia do concreto trao.

Existem vrios parmetros que influenciam significativamente a contribuio relativa dos

diferentes mecanismos resistentes fora cortante e consequentemente a resistncia ltima das

vigas sem armadura transversal fora cortante.

6.1Modos de Ruptura

A ruptura de vigas de concreto armado por efeito de fora cortante caracteriza-se pela

ocorrncia de fissuras inclinadas, mesmo que em alguns casos a viga ainda possa suportar

acrscimos de carga antes da ruptura.

As fissuras inclinadas podem se desenvolver na alma das vigas como uma extenso defissuras de flexo j existentes ou de maneira independente. A primeira fissura chamada fissura

por flexo e fora cortante e a segunda como fissura por fora cortante. Ainda existe a fissura

decorrente da flexo pura.

Alm dos trs tipos de fissuras bsicas podem tambm ocorrer outras fissuras secundrias,

muitas vezes em decorrncia de tenses de trao que causam fissuras de fendilhamento, com o

escorregamento relativo entre a barra de ao e o concreto, ou de foras oriundas da ao de pino

de barras longitudinais transferindo fora cortante atravs de uma fissura.A relao a/d til para ilustrar a variao entre a carga correspondente fissura inclinada

e a capacidade da viga retangular fora cortante.

a) viga muito esbelta (a/d > 6)

As vigas nesta categoria rompem por flexo geralmente antes do surgimento de fissuras

inclinadas.


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b) viga esbelta (2,5 < a/d < 6)

Alm das fissuras de flexo surgem tambm fissuras com influncia da fora cortante, isto

, fissuras inclinadas na direo ao banzo comprimido. Estas podem propagar-se causando o

escoamento das armaduras e separar a viga em duas partes, o que chamado ruptura por trao

diagonal(Figura 10).

Figura 10Ruptura por trao diagonal (ACI-ASCE 426, 1973, apud BASTOS, 2008)

c) viga curta (1 < a/d < 2,5)

Uma fissura inclinada pode propagar-se pela armadura longitudinal, causando perda de

aderncia entre as barras longitudinais e o concreto, que leva ruptura da ancoragem (Figura

11). No ocorrendo falha da aderncia pode ocorrer ruptura por esmagamento do concreto

comprimido do banzo superior, devido ao prolongamento da fissura inclinada em direo ao

topo da viga, que diminui a rea do banzo (Figura 12).

Figura 11Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas (ACI-ASCE 426, 1973, apud BASTOS,

2008)

Figura 12Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas (ACI-ASCE 426, 1973, apud BASTOS,

2008)


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d) viga muito curta (a/d < 1)

As fissuras inclinadas ocorrem ao longo da linha entre o apoio e o ponto de aplicao da

carga. Nas vigas-paredes classificadas nessa categoria uma parcela significativa da fora cortante

transferida ao apoio por ao de arco, como indicado na Figura 13. H vrias formas de ruptura:

1) ruptura da ancoragem da armadura longitudinal de trao;

2) ruptura por esmagamento do concreto prximo e acima do apoio;

3) ruptura por flexo, com esmagamento do concreto do banzo comprimido ou por

escoamento da armadura de trao;

4) ruptura trao na borda superior acima do arco de compresso;

5) ruptura por esmagamento do concreto que forma a ao de arco.

Figura 13Modelos de ruptura em vigas curtas (vigas-paredes) (ACI-ASCE 426, 1973, apud BASTOS, 2008)


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23

CAPTULO 7

7COMPORTAMENTO DAS VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL

A existncia de armadura transversal modifica consideravelmente o comportamento das

vigas aps o surgimento das fissuras inclinadas. Ao ser interceptado por uma fissura, o estribo faz

a ponte de transferncia das tenses de trao entre os lados da fissura, e ao atingir a tenso de

escoamento o ao do estribo escoa. Ainda existe um ganho de resistncia proporcionado

principalmente pelo atrito entre as superfcies nas fissuras. Os estribos, ao continuarem escoando,

proporcionam uma ruptura dctil.

Em vigas com altas taxas de armadura transversal a ruptura pode ocorrer devido ao

esmagamento do concreto comprimido das diagonais inclinadas, principalmente vigas de seo

transversal I. Aps a formao de fissuras inclinadas uma parte da fora cortante passa a ser

transferida pela armadura transversal. Quando essa armadura passa a escoar qualquer fora

cortante adicional deve ser transferida pelos mecanismos citados. Quando a fissura tem a abertura

aumentada, o atrito nas interfaces diminui, o que causa um aumento de fora transferida pelo

concreto do banzo comprimido e pela ao de pino, at que rompe a ao de pino ou o concretocomprimido esmaga.

7.1Funo do Estribo

A colocao de estribos nas vigas tem trs funes bsicas:

a) resistir parte da fora cortante;

b) restringir o crescimento da abertura das fissuras, o que ajuda a manter o atrito entre as

interfaces na fissura;c) aumentar a ao de pino das barras longitudinais.

Alm disso, os estribos proporcionam uma pequena resistncia por ao de pino nas

fissuras e aumentam a resistncia da zona comprimida de concreto pelo confinamento que

promovem.

A figura 14 mostra a atuao ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de

trelia, para uma viga com trao na fibra inferior. No n inferior o estribo, entrelaa a armadura

longitudinal tracionada e, no n superior o estribo, ancora-se no concreto comprimido e naarmadura longitudinal superior.


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24

As bielas de compresso se apoiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho

final dos ramos verticais dos estribos e nos seus ramos horizontais, principalmente na interseco

do estribo com as barras longitudinais.

O ramo horizontal inferior dos estribos importante porque, alm de servir de apoio s

bielas, tambm atua para equilibrar as tenses de trao oriundas da inclinao transversal das

bielas diagonais, como indicado na Figura 14-III e 14-IV.

Na Figura 14-II mostra-se o apoio da biela na interseco do estribo com a barra

longitudinal inferior, e o acrscimo de tenso s na armadura longitudinal, entre um estribo e

outro e proveniente da atuao da tenso de aderncia b, entre a barra e o concreto.

Figura 14Atuao do estribo no modelo de trelia (FUSCO, 2000, apud BASTOS, 2008).

No n superior, os estribos se ancoram no concreto comprimido e nas barras longitudinaisa posicionadas. Barras porta-estribos tambm atuam para evitar o fendilhamento, que pode ser

provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tenses de trao num pequeno volume de concreto.

O ramo horizontal superior do estribo no obrigatrio, porm, sua disposio indicada

para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforos secundrios que

geralmente ocorrem.

Vigas largas, com larguras maiores que 40 cm, devem ter estribos com mais de dois ramos

verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que oferece a vantagem de ser

montado sobrepondo-se dois estribos idnticos de dois ramos.


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7.2Modos de Ruptura

Quando as tenses principais de trao inclinadas alcanam a resistncia do concreto

trao, surgem as primeiras fissuras devidas fora cortante, perpendiculares direo delas,

como mostrado anteriormente. medida que as fissuras vo surgindo ocorre uma redistribuio

dos esforos internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam ento a

trabalhar de maneira mais efetiva. A redistribuio de esforos depende da quantidade e da direo

da armadura transversal, o que leva a diversos tipos de ruptura por fora cortante.

Com o aumento do carregamento as fissuras de flexo na regio de maiores foras

cortantes propagam-se com trajetria inclinada, dando origem s chamadas fissuras de flexo com

cortante. Se a armadura transversal for insuficiente, o ao atinge a deformao de incio de

escoamento. As fissuras inclinadas por efeito da fora cortante prximas ao apoio desenvolvem-serapidamente em direo ao banzo comprimido, diminuindo a sua seo resistente, que por fim

pode se romper bruscamente (Figura 15). A total falta de armadura transversal tambm pode levar

a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se tambm pela armadura longitudinal de trao nas

proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 15).

Figura 15Ruptura de viga por rompimento do banzo superior comprimido de concreto (LEONHARDT e MNNIG,

1982)

Pode tambm ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido,

ou a ruptura na ligao das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 16 mostra

a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformao excessiva dos estribos.


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Figura 16Runa da viga por rompimento dos estribos (LEONHARDT e MNNIG, 1982)

Em sees com banzos reforados, como sees I, que possuam armaduras longitudinal e

transversal reforadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compresso entre as

fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistncia do concreto compresso. Tal

ruptura ocorre quando as diagonais so solicitadas alm do limite da resistncia do concreto, antes

que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 17).

As bielas de compresso delimitam o limite superior da resistncia das vigas ao esforo

cortante, o que depende da resistncia do concreto. A tenso de compresso nas bielas depende da

inclinao dos estribos, como se ver adiante.

Figura 17 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforada (LEONHARDT e

MNNIG, 1982)


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CAPTULO 8

8TRELIA CLSSICA DE RITTER-MRSCH

A trelia clssica serve de base para a deduo das equaes contidas na NBR 6118/14

para o dimensionamento das vigas fora cortante. A trelia clssica a admitida pela NBR

6118/14 para o Modelo de Clculo I (item 17.4.2.2), onde o ngulo fixo com valor de 45.

A analogia de uma viga fissurada com uma trelia foi introduzida por RITTER (1899), e

serviu para o entendimento do comportamento das vigas fora cortante durante o incio do

sculo 20. Cada barra da trelia, indicada na figura 36, representa uma parte de uma viga simples:

o banzo inferior a armadura longitudinal de trao, o banzo superior o concreto comprimido

pela flexo, as diagonais inclinadas de 45 representam o concreto comprimido entre as fissuras

(bielas de compresso) e as diagonais tracionadas inclinadas do ngulo os estribos. Essa trelia

a chamada Trelia Clssica. Para estribos verticais imagina-se as diagonais tracionadas

dispostas na vertical, com ngulo de 90. Este modelo de Ritter foi melhorado por Mrsch,

assumindo que as diagonais comprimidas estendem-se por mais de um estribo.

O modelo de trelia tradicional assume que as bielas de compresso so paralelas direodas fissuras inclinadas e que nenhuma tenso transferida atravs as fissuras. No entanto, existem

dois mecanismos que no so considerados no modelo de trelia tradicional: as tenses de trao

que existem no concreto transversalmente s bielas de compresso; e as tenses de cisalhamento

que so transferidas nas faces das fissuras inclinadas pela ao do engrenamento dos agregados ou

atrito.

Esses mecanismos resultam: o ngulo da tenso principal de compresso na alma menor

que o ngulo de inclinao das fissuras; uma componente vertical da fora ao longo da fissura quecontribui para a resistncia fora cortante, sendo esse mecanismo resistente chamado como

Contribuio do Concreto (Vc). Geralmente, a tenso de trao no concreto entre as fissuras no

considerada nos modelos de trelia.

A Trelia Clssica despreza a resistncia do concreto trao e mesmo aps a fissurao

da viga, as diagonais de compresso mantm-se inclinadas de 45. A Contribuio do Concreto

considerada por meio da parcela Vc, com diferentes valores para cada norma.

Considere uma viga bi-apoiada, com o carregamento de uma fora concentrada P, e comfora cortante constante. A analogia dessa viga fissurada (Estdio II) com a trelia clssica, com


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ngulo de inclinao das diagonais comprimidas (bielas de compresso) de 45 e com diagonais

tracionadas inclinadas de um ngulo qualquer, est mostrada na Figura 18.

Sendo a trelia isosttica, as foras nas barras podem ser determinadas considerando-se

apenas as condies de equilbrio dos ns, a partir da fora cortante. Considerando a seo 1-1 da

trelia sob atuao da fora cortante V, a fora na diagonal comprimida (biela de compresso -

Rcb) :

Figura 18Trelia clssica de Ritter-Mrsch para vigas (BASTOS, 2008)

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas:

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto

(rea da biela):


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30

O ngulo de inclinao da armadura transversal pode variar teoricamente de 45 a 90,

sendo que na maioria dos casos da prtica o ngulo adotado de 90, com a armadura transversal

consistindo de estribos na posio vertical. Porm, interessante fazer algumas comparaes com

o ngulo assumindo os valores de 45 e 90, o que mostrado na tabela 1.A equao que determina a tenso na diagonal comprimida (cb) mostra que o ngulo de

inclinao da armadura transversal influencia o valor da tenso na diagonal comprimida. Quando a

armadura transversal colocada na posio vertical, com = 90, como a armadura fica inclinada

com relao s tenses principais de trao, a tenso na diagonal comprimida (biela de

compresso) resulta o dobro da tenso para quando a armadura colocada inclinada a 45.

Conclui-se que, quanto mais inclinada for a armadura, at o limite de 45, menor ser a

tenso nas bielas de compresso.

Tabela 1 - Resumo das relaes para a trelia clssica em funo do ngulo de inclinao das diagonais tracionadas

O fato da armadura transversal inclinada de 45 ser mais eficiente, por acompanhar a

inclinao das tenses principais de trao, fica evidenciado ao se comparar as equaes da tenso

na armadura transversal (sw). Nota-se que a armadura a 45 resulta 2 vezes menor que a armadura

a 90. No entanto, a armadura a 45 apresenta comprimento 2 vezes maior que a armadura a 90, o

que acaba levando a consumos de armadura praticamente iguais.


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CAPTULO 9

9TRELIA GENERALIZADA

Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificou-se no sculo

passado que a inclinao das fissuras geralmente inferior a 45, e consequentemente as bielas de

compresso tm inclinaes menores, podendo chegar a ngulos de 30, ou at menores, com a

horizontal, em funo principalmente da quantidade de armadura transversal e da relao entre as

larguras da alma e da mesa. Alm disso, a trelia no considera a ao de arco nas proximidades

dos apoios. Por no fazer essas consideraes a trelia clssica de Ritter-Mrsch conservadora e

conduz armadura transversal um pouco exagerada.

Figura 20Trelia generalizada (CEB, 1979, apud. BASTOS, 2008)

Para levar em conta a menor inclinao das fissuras surgiu, na dcada de 60, a chamada

trelia generalizada, com ngulos menores que 45 para a inclinao das diagonais comprimidas

(Figura 21). A determinao correta do ngulo para uma viga muito complexa, porque depende

de inmeros fatores.

A deduo das foras na trelia generalizada semelhante quela j apresentada para a

trelia clssica. Sendo V a fora cortante que atua na seo 1-1 da trelia (Figura 21), a fora na

diagonal comprimida (Rcb) :


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Figura 21 - Trelia generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ngulo e armadura transversalinclinada com ngulo (BASTOS, 2008)

A distncia entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direo perpendicular a elas,

:

A fora em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na rea de concreto

(rea da biela):

Onde o ngulo de inclinao das diagonais tracionadas. A tenso mdia de compresso

na biela ento dada por:

A fora na diagonal tracionada (Rs,) pode ser determinada fazendo o equilbrio da seo 1-

1 da trelia:


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33

Cada diagonal de trao com fora Rs, relativa a um comprimento da viga, a distncia

z(cotg + cotg ), medida na direo do eixo longitudinal da viga, e deve ser resistida por uma

armadura transversal composta por barras (estribos) espaadas num comprimento s e inclinadas de

um ngulo .

Considerando Aswa rea de ao de um estribo, a rea total de armadura no comprimentoz(cotg + cotg ) dada por:

Onde z (cotg + cotg ) / s representa o nmeros de estribos nesse comprimento. A tenso

swna armadura transversal resulta:


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CAPTULO 10

10DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/14

A norma dividiu o clculo segundo dois modelos, os Modelos de Clculo I e II. O Modelo

de Clculo I admite a chamada trelia clssica, com ngulo de inclinao das diagonais

comprimidas () fixo em 45. J o Modelo de Clculo II considera a chamada trelia generalizada,

onde o ngulo de inclinao das diagonais comprimidas pode variar entre 30 e 45. Aos modelos

de trelia foi associada uma fora cortante adicional Vc, proporcionada por mecanismos

complementares ao de trelia.

A condio de segurana do elemento estrutural satisfatria quando so verificados os

Estados Limites ltimos, atendidas simultaneamente as duas condies seguintes:

Onde:

VSd= fora cortante solicitante de clculo na seo;

VRd2= fora cortante resistente de clculo, relativa runa das diagonais comprimidas de

concreto;

VRd3= Vc+ Vsw= fora cortante resistente de clculo, relativa runa por trao diagonal;

Vsw= parcela absorvida pela armadura transversal.

Vc= parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares ao de trelia.

10.1 Modelo de Clculo INo Modelo de Clculo I a NBR 6118/14 (item 17.4.2.2) adota a trelia clssica de Ritter-

Mrch, ao admitir o ngulo de 45 para as diagonais comprimidas de concreto (bielas de

compresso), e a parcela complementar Vc tem valor constante, independentemente do esforo

cortante VSd.

10.1.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

A equao que define a tenso de compresso nas bielas de concreto para a trelia clssica(= 45) definida por:


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A norma limita a tenso de compresso nas bielas ao valor fcd2. O valor fcd2atua como um

fator redutor da resistncia compresso do concreto, quando h trao transversal por efeito de

armadura e existem fissuras transversais s tenses de compresso (Figura 22). O valor fcd2

definido por:

Figura 22Tenso de compresso com trao transversal

A NBR 6118/14 (item 17.4.2.2) chama o fator (1 fck/250) de v2. Na equao que define

cb, substituindo z por 0,9 d, cb por fcd2e fazendo V como a mxima fora cortante resistente

(VRd2) correspondente runa das diagonais comprimidas de concreto, tem-se:

Fazendo igual a 90 para estribo vertical, tem-se:

Portanto, para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas deve-se ter:


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10.1.2 Clculo da Armadura Transversal

Da equao VSd VRd3, fazendo a fora cortante de clculo (VSd) igual mxima fora

cortante resistente de clculo, relativa ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal),

tem-se:

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos

complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo:

Vc= 0

b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo:

Com fckem Mpa.

A fora Vc0representa a resistncia fora cortante de uma viga sem estribos, ou seja, a

fora cortante que uma viga sem estribos pode resistir.

c) na flexo-compresso

Onde:

bw= menor largura da seo, compreendida ao longo da altura til d;

d= altura til da seo, igual distncia da borda comprimida ao centro de gravidade da

armadura de trao;

s = espaamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo

longitudinal do elemento estrutural;

fywd= tenso na armadura transversal passiva, limitada ao valor fydno caso de estribos e a

70 % desse valor no caso de barras dobradas, no se tomando, para ambos os casos, valores

superiores a 435 MPa;

= ngulo de inclinao da armadura transversal em relao ao eixo longitudinal do

elemento estrutural, podendo-se tomar 45 90;

M0 = momento fletor que anula a tenso normal de compresso na borda da seo

(tracionada por Md,max), provocada pelas foras normais de diversas origens concomitantes com

VSd, sendo essa tenso calculada com valores de fe piguais a 0,9, os momentos correspondentes


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a essas foras normais no devem ser considerados no clculo dessa tenso pois so considerados

em MSd, apenas os momentos isostticos de protenso;

MSd,max= momento fletor de clculo, mximo no trecho em anlise, que pode ser tomado

como o de maior valor no semitramo considerado, (para esse clculo, no se consideram os

momentos isostticos de protenso, apenas os hiperestticos).

Com o valor de Vc conhecido, da Eq. 24 calcula-se a parcela da fora cortante a ser

resistida pela armadura transversal:

A equao que define a tenso na diagonal tracionada para a trelia clssica ( = 45)

definida por:

Substituindo z por 0,9 d, V por V sw, e fazendo sw, igual mxima tenso admitida na

armadura (fywd), tem-se:

A NBR 6118/14 (item 17.4.2.2) limita a tenso fywd ao valor de fyd para armadura

transversal constituda por estribos, e a 70 % de fyd quando forem utilizadas barras dobradas

inclinadas, no se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Portanto, para

estribos tem-se:

A tenso mxima imposta pela norma refere-se ao ao CA-50, pois fyd= 500/1,15 = 435

MPa. No caso do dimensionamento do estribo ser feito com o ao CA-60, esta tenso mxima

tambm deve ser obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o ao fosse o CA-50.

A inclinao dos estribos deve obedecer condio 45 90. Para estribo inclinado a

45 e a 90, tem-se respectivamente:


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No caso de serem utilizados os aos CA-50 ou CA-60 e armadura transversal somente

na forma de estribos, fywdassume o valor de 43,5 kN/cm, que aplicado s equaes acima

encontram-se:

com: Asw= cm/cm, Vk= kN e d = cm.

importante observar que Asw/s a armadura transversal por unidade de comprimento da

viga e Asw a rea de todos os ramos verticais do estribo.

Para estribo de dois ramos, que o tipo aplicado na grande maioria das vigas, A swequivale

rea dos dois ramos verticais do estribo. Para estribos com trs ou quatro ramos, A sw a rea de

todos os trs ou quatro ramos verticais do estribo (Figura 23).

Figura 23Ramos dos Estribos

10.2 Modelo de Clculo II

No Modelo de Clculo II a NBR 6118/14 (item 17.4.2.3) admite que o ngulo de

inclinao das diagonais de compresso () varie livremente entre 30 e 45 e que a parcela

complementar Vcsofra reduo com o aumento de VSd. Ao admitir ngulos inferiores a 45 a

norma adota a chamada trelia generalizada.

10.2.1 Verificao da Diagonal Comprimida de Concreto

A expresso para a tenso nas bielas de concreto para a trelia com diagonais comprimidasinclinadas de um ngulo dada por:


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A norma limita a tenso nas bielas comprimidas ao valor fcd2, que definido por:

Chamando o fator (1- fck/250) de v2 e substituindo z por 0,9 d, cb por fcd2 e V pela

mxima cortante resistente de clculo (VRd2), tem-se:

Isolando VRd2fica:

Para no ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas, deve-se ter:

10.2.2 Clculo da Armadura Transversal

Fazendo a cortante de clculo (VSd) igual mxima cortante resistente de clculo, relativa

ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:

A parcela Vc referente parte da fora cortante absorvida pelos mecanismos

complementares ao de trelia definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seo:

Vc= 0

b) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo:

Vc= Vc1

c) na flexo-compresso:

Para a determinao de Vcem funo de Vc1, a seguinte lei de variao para Vc1deve ser

considerada:

Vc1

= Vc0

para VSd

Vc0

e

Vc1 = 0 para VSd= VRd2


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40

Como j se se foi definido, tem-se a parcela Vc0:

Quando VSdfor maior que Vc0, Vc1pode ser calculada segundo a equao:

Com o valor de Vc1 conhecido, nas vigas submetidas flexo simples faz-se Vc = Vc1,

calcula-se a parcela Vswda fora cortante a ser resistida pela armadura transversal:

A equao que define a tenso na diagonal tracionada para a trelia com ngulo de

inclinao das diagonais comprimidas igual a , definida como:

Limitando sw,

mxima tenso admitida na armadura (fywd

) e fazendo V = Vsw

e z = 0,9d,

tem-se:

Isolando Asw/sencontra-se a equao para clculo da armadura transversal:

onde:

s = espaamento dos estribos;

Asw, = rea de todos os ramos verticais do estribo;

= ngulo de inclinao dos estribos, 45 90 ;

= ngulo de inclinao das bielas de compresso 30 45 ;

fywd= tenso mxima no estribo:


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42

A resistncia fct,m deve ser aplicada em kN/cm calculada como:


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CAPTULO 11

11DISPOSIES CONSTRUTIVAS

As armaduras destinadas a resistir aos esforos de trao provocados por foras cortantes

podem ser constitudas por estribos, combinados ou no com barras dobradas ou barras soldadas.

Os estribos para cortantes devem ser fechados atravs de um ramo horizontal, envolvendo

as barras da armadura longitudinal de trao, e ancorados na face oposta. Quando essa face

tambm puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa regio.

11.1 Dimetro do Estribo

As prescries para o dimetro do estribo so:

5 mm tbw/10

- para barra lisa, o dimetro deve ser inferior a 12,5 mm;

- para estribos formados por telas soldadas, o dimetro mnimo pode ser reduzido para 4,2 mm,

desde que sejam tomadas precaues contra a corroso dessa armadura.

11.2 Espaamento Mnimo e Mximo entre os Estribos

O espaamento mnimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento

estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom

adensamento da massa (NBR 6118/14, item 18.3.3.2). Adotando-se uma folga de 1 cm para a

passagem do vibrador, o espaamento mnimo fica:

s vibr+ 1 cm

A fim de evitar que uma fissura no seja interceptada por pelo menos um estribo, osestribos no devem ter um espaamento maior que um valor mximo, estabelecido conforme as

seguintes condies:


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11.3 Espaamento Mximo entre os Ramos Verticais do Estribo

O espaamento transversal (st) entre os ramos verticais sucessivos dos estribos no deve

exceder os seguintes valores:

O espaamento transversal (st) serve para definir qual o nmero de ramos verticais deve ser

especificado para os estribos, principalmente no caso de estribos de vigas largas.

Nas vigas correntes das construes, com larguras geralmente at 30 cm, o estribo mais

comum de ser aplicado o de dois ramosverticais, que simples de ser feito e amarrado com as

barras longitudinais de flexo. Porm, em vigas largas, como vigas de equilbrio em fundaes de

edifcios, vigas de pontes, vigas com grandes vos, etc., se a distncia entre os ramos verticais do

estribo supera o espaamento mximo permitido, a soluo aumentar o nmero de ramos,

geralmente fazendo ramos pares, pois assim os estribos podem ser idnticos.

11.4 Ancoragem do Estribo

A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou

barras longitudinais soldadas (NBR 6118/14, item 9.4.6).

Os ganchos dos estribos podem ser (NBR 6118/14, item 9.4.6.1):

a) semicirculares ou em ngulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 t,

porm no inferior a 5 cm;

b) em ngulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t, porm no inferior a

7 cm (este tipo de gancho no deve ser utilizado para barras e fios lisos).

O dimetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mnimo igual ao ndice dado na

tabela abaixo.

Tabela 1Dimetro dos Pinos


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Figura 24Tipos de ganchos para estribos


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CAPTULO 12

12CONSIDERAES SOBRE O NGULO DE INCLINAO DAS DIAGONAIS DE

COMPRESSO ()

Investigaes experimentais mostraram que, aps iniciado o processo de fissurao na

viga, ocorre uma redistribuio dos esforos internos, proporcional rigidez, principalmente das

diagonais de compresso e do banzo comprimido. No caso de seo retangular, por exemplo, as

diagonais de compresso so rgidas em relao ao banzo comprimido, o qual inclina-se em

direo ao apoio, criando o efeito de arco atirantado na viga. O banzo comprimido, ao inclinar-se

em direo ao apoio pode at mesmo absorver toda a fora transversal, por meio de sua

componente vertical, ver figura abaixo.

A rigidez das barras da trelia depende das quantidades de armaduras longitudinal e

transversal, mas principalmente das reas de concreto que formam o banzo comprimido e as

diagonais de compresso, expressa simplificadamente pela relao b/bw. Com a diminuio da

relao b/bwocorre um aumento da inclinao da fora no banzo comprimido e uma diminuio

da inclinao das diagonais comprimidas (diminuio de ) e, como consequncia, os esforos detrao na alma diminuem progressivamente em comparao queles calculados segundo a trelia

clssica.


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Aps constataes feitas em diversos ensaios experimentais pode-se concluir que

adequado considerar ngulos inferiores a 45 quando do dimensionamento de vigas de seo

retangular, isto , segundo LEONHARDT e MNNIG (1982) devem ou podem ser adotados

valores para em torno de 30.

No caso de sees com banzos comprimidos mais rgidos, como sees em forma de T, I,

etc., a fora no banzo comprimido inclina-se pouco, e o ngulo de inclinao das fissuras de

cisalhamento tende a crescer para 45. Recomenda-se neste caso adotar variando de 38 a 45,

conforme a relao b/bw, com b e bw.


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CAPTULO 13

13REDUO DA FORA CORTANTE

Ensaios experimentais com medio da tenso nos estribos mostram que o modelo de

trelia desenvolvido para as vigas efetivamente vlido aps uma pequena distncia dos apoios,

pois se constatou que os estribos muito prximos aos apoios apresentam tenso menor que os

estribos fora deste trecho. Em funo desta caracterstica, na regio junto aos apoios, a NBR

6118/14 (item 17.4.1.2.1) permite uma pequena reduo da fora cortante para o dimensionamento

da armadura transversal.

No caso de apoio direto, com a carga e a reao de apoio aplicadas em faces opostas

(comprimindo-as), valem as seguintes prescries:

a) a fora cortante oriunda de carga distribuda pode ser considerada, no trecho entre o

apoio e a seo situada distncia d/2 da face de apoio, constante e igual desta seo;

b) a fora cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distncia a 2d do eixo

terico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/2d.

Esta reduo no se aplica s foras cortantes provenientes dos cabos inclinados de protenso.As redues indicadas neste item no se aplicam na verificao da resistncia

compresso diagonal do concreto (bielas de compresso). No caso de apoios indiretos, essas

redues tambm no so permitidas.


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A reduo da fora cortante junto aos apoios, como descrito acima, no feita na prtica

por muitos engenheiros estruturais, por questo de simplicidade e a favor da segurana.


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CAPTULO 14

14CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS

A analogia de trelia com as vigas implica na aplicao do carregamento no lado superior

da viga, nos ns do banzo superior da trelia. Quando o carregamento aplicado no lado inferior

da viga, deve ser prevista uma armadura transversal para transferir o carregamento para a borda

superior da viga, sendo chamada Armadura de Suspenso, e que deve ser somada armadura

transversal destinada a resistir s foras cortantes atuantes.

Vigas invertidas e vigas I com o carregamento aplicado na parte inferior devem ter uma

armadura de suspenso projetada e detalhada.

14.1 Armadura de Suspenso

Segundo a NBR 6118/14 (item 18.3.6), Nas proximidades de cargas concentradas

transmitidas viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiam ao longo ou em

parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspenso.

Os apoios das vigas so geralmente os pilares e outras vigas, com preponderncia para ospilares. Quando o apoio um pilar o apoio chamado direto e quando uma outra viga o apoio

chamado indireto.

As vigas de concreto armado transmitem as cargas aos apoios principalmente por meio das

bielas de compresso, na parte inferior da viga. Por isso, quando uma viga apoia-se sobre outra, h

a necessidade de suspender a carga para a parte superior da viga que serve de apoio outra.


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A fora que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a zona

comprimida da viga de apoio, o que geralmente feito por meio de estribos.

Em funo de diferenas entre as alturas e o nvel das duas vigas os seguintes casos podemocorrer:

a) Vigas com faces inferiores no mesmo nvel

A figura abaixo mostra duas vigas com alturas iguais e as faces inferiores no mesmo nvel.

Neste caso, a rea de armadura de suspenso calculada pela equao:

Onde Vd a fora de clculo aplicada pela viga apoiada naquela que lhe serve de apoio, e

fyd a resistncia de clculo de incio de escoamento do ao.


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A armadura de suspenso As,suspdeve ficar distribuda nas regies de encontro das duas

vigas, conforme as distncias indicadas na figura abaixo.

b) Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio

A armadura de suspenso funo das alturas das duas vigas, sendo dada por:

A distribuio dessa armadura segue o indicado na figura abaixo.


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c) Face inferior da viga apoiada abaixo da face inferior da viga de apoio

A figura abaixo mostra o caso de viga com face inferior apoiada abaixo da face inferior da

viga de apoio. Esse tipo de arranjo entre as duas vigas deve ser evitado tanto quanto possvel nas

estruturas de concreto armado.

A fora que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a parte

superior da viga de apoio, com rea de armadura:

Essa armadura pode ser colocada na forma de estribos, que devem estar distribudos na

largura da viga de apoio.


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Na viga que serve de apoio deve ser colocada uma armadura para reforar a regio que

recebe a fora da viga apoiada, com rea de armadura de:


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CAPTULO 15

15EXEMPLO NUMRICO

A figura abaixo mostra uma viga bi-apoiada sob flexo simples para a qual deve-se

calcular e detalhar a armadura transversal, composta por estribos verticais.

Dados: concreto C20 ;

ao CA-50

c= f= 1,4

s= 1,15

d = 46 cm

c = 2,0 cm

Por simplicidade e a favor da segurana a fora cortante solicitante no apoio no ser

reduzida, conforme permitido pela NBR 6118/14, de tal forma que:

Vk= 100,0 kN VSd= fx Vk= 1,4 x 100,0 = 140,0 kN

15.1 Modelo de Clculo I

a) Verificao da Compresso nas Bielas

Da Tabela 3 (ver anexo), para concreto C20, determina-se a fora cortante ltima oumxima que a viga pode resistir:


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VRd2= 0,35 bwd = 0,35 x 12 x 46 =193,2 kN

VSd=140,0 < VRd2=193,2 kN no ocorrer esmagamento das diagonais de concreto.

b) Clculo da Armadura Transversal

Da Tabela 3 (ver anexo), para concreto C20, a equao para determinar a fora cortante

correspondente armadura mnima :

VSd,mn= 0,101 bwd = 0,101 x 12 x 46 = 55,8 kN

VSd=140,0 > VSd,mn= 55,8 kNportanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd

Da equao para Aswna Tabela 3 (concreto C20):

Como Asw= 5,72 cm/m > Asw,mn= 1,06 cm/m, deve-se dispor a armadura calculada.

15.2 Modelo de Clculo II com = 30

a) Verificao da Compresso nas Bielas

Da Tabela 4(ver anexo), para concreto C20, a fora cortante ltima ou mxima :

VRd2= 0,71 bwd sen .cos = 0,71x12 x 46 x sen 30 x cos 30 =169,7 kN

VSd=140,0 < VRd2=169,7 kN no ocorrer esmagamento das diagonais de concreto.

b) Clculo da Armadura Transversal

Antes de se calcular a armadura deve-se verificar se no vai resultar a armadura mnima.

Para isso deve-se determinar a fora cortante mnima (VSd,mn). Da Tabela 4 tem-se:

VSd,mn = 0,035 bwd cot g + Vc1

Antes necessrio determinar a parcela Vc1, definida pela equao abaixo:

Da equao abaixo tem-se Vc0:

Assim, das expresses da Tabela 4 para VSd,mne Asw:


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VSd=140,0 > VSd,mn= 41,7 kNportanto, deve-se calcular a armadura transversal para VSd.

A rea de armadura transversal :

15.3 Detalhamento da Armadura Transversal

Para efeito de detalhamento, os estribos verticais so mostrados conforme definidos pelo

Modelo de Clculo II, com ngulo de 30.

a)Dimetro do estribo: 5 mm t bw/10 =120/10 = 12 mm t= 5 mmb)Espaamento mximo entre os estribos:

0,67 VRd2= 0,67 x 169,6 = 113,6 kN

VSd= 140,0 > 113,6 kN s 0,3 d 20 cm

0,3 d = 0,3 x 46 = 13,8 cm Portanto, s 13,8 cm

c)Espaamento transversal entre os ramos verticais do estribo:

0,20 VRd2= 0,20 x 169,6 = 33,9 kN

VSd= 140,0 > 33,9 kN st 0,6 d 35 cm

0,6 d = 0,6 x 46 = 27,6 cm Portanto, s 27,6 cm

d)Escolha do dimetro e espaamento dos estribos

A escolha do dimetro e do espaamento dos estribos pode ser feita de duas maneiras

muito simples: por meio de clculo ou com o auxlio de uma tabela de rea de armadura por metro

linear (cm/m). Na sequencia so apresentados os dois processos.

Para a armadura calculada segundo o modelo de clculo II, de 4,23 cm/m nos apoios,

considerando estribo vertical com dimetro de 5 mm (1 5 mm = 0,20 cm2) composto por dois

ramos verticais (2 5 mm = 0,40 cm), tem-se:

Para a escolha do dimetro e do espaamento dos estribos com o auxlio da Tabela A-1

(ver a tabela anexa em Anexos) deve-se determinar a rea de apenas um ramo do estribo. Portanto,

para a rea de armadura de 4,23 cm/m e estribo com dois ramos:


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Com a rea de um ramo na Tabela A-1 encontram-se:

5 mm c/9,5 cm = 2,11 cm/m

6,3 mm c/15 cm = 2,10 cm/m

Como o espaamento mximo 13,8 cm, no possvel adotar 6,3 mm c/15 cm, sendo

escolhido ento estribo 5 mm c/9,5 cm, ou c/9 cm.

Para a armadura mnima de 1,06 cm/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

Fazendo com o auxlio da Tabela A-1 (ver anexo), considerando-se a rea de um ramo

apenas do estribo:

Na Tabela A-1(ver anexo) verifica-se que o espaamento para 5 mm resulta superior a 33

cm (mximo espaamento permitido para os estribos). Como o espaamento mximo de 13,8

cm, deve ser feito 5 c/13 cm, o que na Tabela A-1 (ver anexo) resulta 1,54 cm2/m, rea de

armadura imposta pelo espaamento mximo e superior armadura mnima.


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Para a distribuio dos estribos ao longo do vo livre da viga necessrio desenhar o

diagrama de foras cortantes de clculo e posicionar a fora cortante mnima (VSd,mn). Geralmente,

os vos das vigas podem ter os estribos distribudos segundo trs trechos diferentes, os dois

prximos aos apoios e o do centro, delimitado pela fora VSd,mn , que recebe a armadura

transversal mnima. Dividir o vo livre em mais de trs trechos s deve ser feito quando houver

justificativas.

A armadura calculada para os cortantes nos apoios deve se estender at a posio da fora

VSd,mn , e aps esses trechos colocada a armadura mnima.

O espaamento dos estribos no deve ser inferior a 6-7 cm para no dificultar a penetrao

do concreto lanado na viga. Espaamentos superiores a 8 cm devem ter preferncia. Os

espaamentos so adotados geralmente valores inteiros em cm, e ocasionalmente valores mltiplosde 0,5 cm.

O estribo deve ter uma numerao, como o N1 da Figura 57. Sendo a viga simtrica, nas

proximidades dos apoios os estribos foram distribudos na extenso de 162 cm, que somados aos

10 cm at o eixo do pilar, representa a distncia de 172 cm, que cobre aproximadamente a

distncia de 176 cm at a fora VSd,mn . Com a distncia de 162 cm pode ser calculado o nmero

de estribos nesse trecho, fazendo 162 9 = 18 estribos.

O nmero de estribos no trecho central do vo calculado fazendo o comprimento dotrecho (480162162 = 156 cm) dividido pelo espaamento dos estribos: 156 13,5 = 11,6 12

estribos.

As dimenses do estribo so determinadas fazendo a largura e a altura da viga menos duas

vezes o cobrimento da armadura:

Largura = 12(2 . 2,0) = 8 cm

Altura = 50(2 . 2,0 ) = 46 cm

Os estribos devem ter obrigatoriamente ganchos nas pontas, com comprimento de nomnimo 5 t 5 cm quando o gancho direcionar a ponta do estribo para o concreto da parte interna

da viga. Para estribo com dimetro de 5 mm o gancho deve ter o comprimento mnimo de 5 cm,

em cada ponta do estribo. Portanto, o comprimento do estribo calculado como: C = 2 (8 + 46 +

5) = 118 cm.


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CAPTULO 16

16CONSIDERAES FINAIS

Observando o que foi exposto percebe-se que o estudo do cisalhamento em vigas de

concreto armado bastante complexo e depende de diversos fatores, o que abre ainda campo de

estudo na rea.

Em relao aos modelos de clculo pode-se observar que o Modelo I da NBR 6118/14, que

baseado na trelia clssica de Ritter-Mrsch, bastante conservador e fornece uma rea de

armadura transversal superior ao Modelo II, especialmente quando neste adotado ngulo de

inclinao das bielas de compresso do concreto de 30, o menor permitido.

Assim, pode-se perceber que esta verso da norma brasileira evoluiu no sentido de permitir

aos projetistas utilizarem da sua experincia e conhecimento para adotar o modelo que julguem ser

mais representativo da situao real e tambm que fornea resultados mais econmicos

comparados com os modelos anteriormente utilizados.


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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS. Projeto de estruturas de concretoProcedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, ABNT, 2014.

BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado Fora Cortante. UNESP.Bauru, So Paulo, 2008.

CARVALHO, R.C., FIGUEIREDO FILHO, J.R. Clculo e Detalhamento de Estruturas Usuaisde Concreto Armado. Volume 1. So Carlos, 3 edio, EdUFSCar, 2010.

LEONHARDT, F. MNNIG, E. Construes de Concreto - Princpios bsicos da construode pontes de concreto. Volume 1. Rio de Janeiro. Editora Intercincia, 1982.

MACGREGOR, J.G. ; WIGHT, J.K. Reinforced concrete Mechanics and design. 4a ed.,Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 2005.

PINHEIRO, L.M, MUZARDO, C.D., SANTOS, S.P. Fundamentos do Concreto e Projeto deEdifciosCisalhamento em Vigas. UFSCAR, So Carlos, 2007.


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ANEXOS


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Documents

Apostila de Cisalhamento (Ns&l)