DERIVADAS FUNDAMENTAISVamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais:

Derivada da função constante

Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então f’(x) = 0 f(x) = c f’(x) = 0Exemplos:

f(x) = 8 f´(x) = 0 ; f(x) = f´(x) = 0 ; f(x) = f

´(x)= 0

Derivada da função potência

Se f(x) = xn, com “n” R , então f’(x) = n . x n - 1

Fórmula: f(x) = xn f’(x) = n . xn -

1

Exemplos: f(x) = x f’(x) = 1. x1 - 1 = 1.x x0 = 1 f(x) =x7 f’(x) = 7.x7 – 1 = 7 x6

- f(x) = x- 4 f’(x) = - 4.x- 4 - 1 = -4 x- 5 f’(x) =

- f(x) = x f’(x) = . x f’(x) = . x f’(x) = f’(x)

=

- f(x) = f(x) = x f’(x) = . x f’(x) = . x

f’(x) = f’(x) = -

- f(x) = f(x) = x–3 f’(x) = -3.x–3-1 f’(x) = -3.x–4

f’(x) =

Derivada do produto de uma constante por uma potência

Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então

g’(x) = c . f’(x)

Exemplos:- g(x) = 5x3 g’(x) = 5.3. x3 - 1 = 15 x2

- f(x) = g’(x) = g’(x) =

Propriedades Operatórias

Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são

válidas as seguintes propriedades:

a) Derivada da soma e da diferença de funções

Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)

De modo análogo tem-se que se:

Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x) (F)

Donde se conclui que:

“Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma

ou da diferença é igual à soma ou à diferença das derivadas de

cada uma das funções”

Vejamos alguns exemplos:

1) Dada a função: f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x, calcular f’(x).

f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x f’(x) = 4.3.x4-1+3.5.x3-1-2.x2-1+1.x1-1

f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + x0 f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + 1

2) Dada a função: f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2, calcular f’(x).

f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 f’(x) = -3.3.x-3-1 –(-5).2.x-5-1 +(-2).x-2-1

f’(x) = -9x-4 + 10x-6 - 2x-3

3) Dada a função: , calcular f’(t)

Solução:

4) Dada a função: , calcular f’(t)

Derivada de um produto de funções

Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u

De modo mais simples, podemos escrever:

y = u . v y’ = u’ . v + v’ . u (F)

Vejamos alguns exemplos:

- 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x)

Resolução:

Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos :

u = (2 + 5x), logo u’ = 5

v = (7 – 3x), temos v’ = –3

Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:

y’ = u’ . v + v’ . u y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x)

y’ = 35 – 15x – 6 – 15x y’ = –30x + 29

- 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2)

Resolução:

Preparando a função, temos

f(x) = x (3x – 1).(x + 2 f(x) = (3x2 – x).(x + 2)

Transformando, temos:

u(x) = 3x2 – x u’(x) = 6x – 1

v(x) = x + 2 v’(x) = 1

Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:

y = u . v y’ = u’ . v + v’ . u

y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2 – x) y’ = 6x2 + 12x – x – 2 + 3x2 – x

y’ = 9 x2 + 10x – 2

Derivada de um quociente de funções

Se , com v(x) 0,

então

De modo mais simples, podemos escrever:

(F)

Vejamos alguns exemplos:

- 1) Dada a função , calcular f’(x)

Resolução:

Sabemos que:

Fazendo:

u = x2 + 1 vem que: u’ = 2x

v = x – 3 vem que: v’ = 1

Aplicando-se a fórmula vem:

Efetuando-se as operações vem que:

Derivada da potência de uma função

Consideremos a função f(x) = [g(x)]n, com n R.

Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1. g’(x). De uma forma mais

simples,

podemos escrever: y = g n y’ = n . g n – 1 . g’

1º Exemplo: Dada a função , calcular f’(6)

Solução: Transformando temos:

Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1

Se

Daí vem que:

2º Exemplo:

Dada a função f(x) = (2x + 1)4, calcular f’(x)

Solução: Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se,

obteremos g’(x) = 2

Logo, temos:

y = g4 y’ = 4 . g4 – 1 . g’

y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2 y’ = 8 . (2x + 1)3