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E-BOOK BÁSICO
SOBRE DERIVADAS
Elísio Gonzaga
CIÊNCIAS EXATAS
2
eBook: Minicurso básico sobre derivadas
por Elísio L. Gonzaga
© 2012 por ELÍSIOFÍSICO
do BLOG
(Ctrl + clique) http://elisiofisica.blogspot.com/
Você pode utilizar este estudo de várias maneiras, citá-lo na Web ou no seu blog, mas, por favor, não altere o conteúdo e não esqueça de mencionar as fontes originais.
Ofereço este minicurso a todos os meus alunos que participam nas aulas com dedicação, interesse, competência e carinho.
3
Sobre o Autor
Elísio L. Gonzaga é servidor estadual, professor de ensino médio e fundamental. Criou vários métodos de ajuda para alunos com
dificuldades em Matemática e Física através de minicursos, com questões resolvidas passo a passo.
Críticas, comentários ou sugestões sobre o conteúdo deste e-book:
Para aprender mais sobre Matemática e Física básica acesse o blog Estudando Física:
Acesse (Ctrl + clique) http://elisiofisica.blogspot.com/
4
DUAS REGRAS DE DERIVAÇÃO QUE O ALUNO NÃO DEVE ESQUECER
Neste tópico vamos estudar duas regras bem básicas
sobre derivação: a derivada de uma constante e a
derivada da função identidade. Ao longo de todo
o curso de Cálculo I, o estudante usará tais regras,
portanto não as deve esquecer. Semelhante aso
conteúdos anteriores, faremos exemplos bem fáceis e
passo a passo, pois, se o aluno gostar das técnicas, a consequência será um
bom aprendizado. Lembrando que as equações daqui são escritas em Latex.
Bons estudos!
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
REGRA DA CONSTANTE: “A derivada de uma função constante
em relação a qualquer variável é igual a uma função nula (zero).”
Matematicamente, se , então ou, como vimos na aula
anterior (COMO RECONHECER A NOTAÇÃO DE LEIBNITZ), a função pode
ser expressa na notação de Leibnitz da seguinte maneira:
equação (1)
5
Já estudamos que o símbolo , lê-se f de x, tem o mesmo significado do
. Quando é dado uma função constante, por exemplo, podemos
também escrevê-la como
Veja exemplos de funções constantes:
Podemos escrever as funções dadas como:
Vamos à prática:
6
1º) Dada a função calcule .
O valor da constante é igual a 10. Pela regra da constante, se
ou
então
Para achar o mesmo resultado podemos, também, calcular a derivada dessa
função, aplicando o operador da equação 1, na função . Normalmente
escrevemos assim:
Note que, pela regra da constante, a derivada de cada uma das funções dos
exemplos dados acima a), b) e c) será zero. Mas, vamos fazer o passo a passo
para melhor fixarmos o conteúdo.
7
2º) Dada a função calcule ou .
O valor da constante é igual a 4. Pela regra da constante, se
ou
então
ou, aplicando o operador da equação 1, obteremos
3º) Derive a seguinte função: .
O valor da constante é igual a Pela regra da constante, se
8
ou
então
ou, aplicando o operador, obtemos que
4º) Derive a seguinte função:
O valor da constante é igual a
Para facilitar a notação podemos escrever a função
9
Portanto,
Aplicando o operador na função , obtemos que
Então, já sabemos pela regra da constante, que se
Então é a função constante definida pela equação
5º) Derive a seguinte função:
10
A derivada da constante em relação a qualquer variável ( no caso, ) é igual
a zero ou seja,
6º) Derive a seguinte função:
A derivada da constante em relação a qualquer variável ( no caso, ) é igual
a zero ou seja,
11
COMO CALCULAR DERIVADAS COM TIPOS ESPECIAIS DE EXPOENTES RACIONAIS
Olá, sejam todos bem vindos ao minicurso básico
sobre derivadas. Neste tópico trataremos sobre uma
técnica muito aplicada em situações problemas e
exercícios que envolvem derivadas, ou seja, como
entender as extensões da fórmula usada na regra de
derivação, chamada de regra da potência. Se o aluno
tiver interesse em aprender sobre derivadas,
certamente este estudo contribuirá em seu aprendizado. Ao chegar nessa aula
o estudante já deve ter noções sobre COMO DERIVAR FUNÇÕES
USANDO A REGRA DA POTÊNCIA, assunto já abordado no curso.
Lembrando que nossas equações são escritas em Latex. Bons estudos!
EXTENSÕES DA FÓRMULA DA REGRA DA POTÊNCIA
Já estudamos e aplicamos em aulas anteriores uma regra muito importante e
usada sempre no curso de Cálculo I, a chamada regra da potência. Ei-la:
Se , onde n é um número positivo e é diferente de zero,
então
Nesta aula vamos aprender sobre as extensões da fórmula acima, ou seja,
vamos tentar substituir o por qualquer expoente racional (positivo ou
negativo).
Para o melhor entendimento do exposto acima, vamos à prática.
12
EXERCÍCIOS SOBRE EXTENSÕES DA FÓRMULA DA REGRA DA
POTÊNCIA
1º) Dada a função , calcule .
Note que
Veja que o expoente é negativo. Derivando a função em relação a , temos
que
2º) Dada a função , calcule .
Fazendo
13
Note que o expoente é positivo. Derivando a função em relação a , temos
que
3º) Dada a função , calcule .
Fazendo as devidas substituições, temos que
O é negativo. Derivando a função com respeito a , temos que
4º) Dada a função , calcule .
Fazendo
14
Observe que o expoente é fracionário positivo. Derivando a função em
relação a , temos que
5º) Dada a função , calcule .
Fazendo
Agora, note que o expoente é fracionário negativo. Derivando a função em
relação a , temos que
6º) Dada a função , calcule .
Fazendo
O expoente é fracionário positivo. Derivando a função em relação a ,
temos que
15
DESAFIOS PARA VOCÊ
USANDO AS REGRAS ESTUDADAS, CALCULE AS SEGUINTES
DERIVADAS:
1º )
2º )
3º )
4º )
5º )
Foi fácil observar que podemos, a partir da fórmula da regra da potência,
substituir o por um expoente racional, seja ele positivo ou negativo. Se você
conseguiu entender esse idéia, certamente conseguirá ter bom proveito nas
próximas aulas. Subscreva com seu e-mail, na barra lateral do site CIÊNCIAS
EXATAS PARA PRINCIPIANTES, para receber nossas próximas aulas.
16
DICAS PARA DERIVAR UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Neste tópico vamos estudar a regra de derivação
para funções que contêm o número de Euler (e),
assim denominado em homenagem ao matemático
suíço Leonhard Euler (1707-1789). O número de
Euler é pronunciado como óilã e é chamado de
número exponencial, número de Napier, constante
de Néper, constante de Euler ou número
neperiano. O número e, calculado por Leonhard
Euler, é um número irracional e um dos mais importantes da Matemática. É
comum o seu uso em Ciências Naturais, Física, Química, Engenharia e
Economia. Bons estudos!
EXEMPLOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
17
O VALOR DO NÚMERO DE EULER
Leonhard Euler
O número de Euler possui muitos dígitos. Veja alguns:
e=2.718281828459045235360287471352662497757247093699959
5749669676277240766303535475945713821785251664274274663
9193200305992181741359662904357290033429526059563073813
2328627943490763233829880753195251019011573834187930702
1540891499348841675092447614606680822648001684774118537
4234544243710753907774499206955170276183860626133138458
300075204493382656029760673711320070932870912744374704
7230696977209310141692836819025515…
REGRA DE DERIVAÇÃO PARA FUNÇÃO EXPONENCIAL
“A derivada de uma função exponencial é igual a própria função exponencial
vezes a derivada do expoente da função.”
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE DERIVADAS DE FUNÇÕES
EXPONENCIAIS
1º) Dada a função , calcule .
Podemos escrever a função dada da seguinte maneira:
.
Aqui temos a função exponencial dada e o expoente da função .
A regra de derivação diz que a derivada de uma função exponencial é igual a
própria função exponencial vezes a derivada do expoente da função, ou seja,
.
Veja que na expressão acima, depois da última igualdade, aparece a função
identidade, enfatizada no estudo intitulado: DUAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
QUE O ALUNO NÃO DEVE ESQUECER.
Sabemos que a derivada de uma função identidade é a função constante 1,
portanto,
19
2º) Calcule a derivada da função em relação a t.
Aqui temos a função exponencial dada e o expoente da função .
A regra diz que a derivada de uma função exponencial é igual a própria função
exponencial vezes a derivada do expoente, ou seja,
Aplicando A REGRA DA HOMOGENEIDADE na expressão acima, temos que
Aplicando A REGRA DA POTÊNCIA na expressão acima, resulta que
Portanto,
20
3º) Calcule a derivada da função .
A regra diz que a derivada de uma função exponencial é igual a própria função
exponencial ( ) vezes a derivada do expoente ( ) , ou seja,
4º) Calcule a derivada da função .
Podemos escrever a função assim:
A regra diz que a derivada de uma função exponencial é igual a própria função
exponencial ( ) vezes a derivada do expoente ( ) , ou seja,
21
5º) Calcule a derivada de em relação a variável .
Podemos escrever a função assim:
A regra diz que a derivada de uma função exponencial é igual a própria
função exponencial ( ) vezes a derivada do expoente ( ) , ou seja,
22
6º) Calcule a derivada de .
Podemos escrever a função dada da seguinte maneira:
A regra diz que a derivada de uma função exponencial é igual a própria função
exponencial vezes a derivada do expoente , ou seja,
Na derivação do resultado acima, vamos aplicar três conhecidas regras de
derivação, ou seja, a regra da potência, a regra da identidade e a regra para a
função constante, veja:
Portanto,
23
DESAFIOS PARA VOCÊ:
7º) Calcule as derivadas das seguintes funções exponenciais:
a)
b)
c)
d)
Bons estudos!
24
NOCÕES SOBRE A REGRA DA CADEIA
Neste tópico daremos noções acerca de uma das
regras de diferenciação mais importantes do
cálculo diferencial, desenvolvida por Leibnitz, a
chamada regra da cadeia. A metodologia para obtê-
la consistirá, inicialmente, apenas em derivar uma
dada função com expoente positivo e, a seguir,
aplicar sua fórmula nas situações propostas.
Lembrando a todos os leitores que as equações trabalhadas aqui são escritas
em Latex. Bons estudos!
O QUE NOS DIZ A REGRA DA CADEIA
“A regra da cadeia estabelece que se v é uma função de u, (v(u)), e u
é uma função de x, (u(x)), então existe a derivada da função de v em
relação a x, (v(x)), que equivale ao produto da derivada da função v
em relação a u, (v(u)), pela derivada da função ( u(x) ).”
NOTAÇÃO FUNCIONAL PARA A REGRA DA CADEIA
Na notação funcional podemos escrever a regra da cadeia da seguinte
maneira:
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NOTAÇÃO DE LEIBNITZ PARA A REGRA DA CADEIA
Na notação de Leibnitz a regra da cadeia pode ser escrita como
FUNÇÕES NAS QUAIS APLICAREMOS A REGRA DA CADEIA
MODELO DE FUNÇÕES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A REGRA DA CADEIA
1º) Derive a seguinte função:
Vamos escrever a função acima da seguinte forma:
26
ou melhor,
Inicialmente, expandiremos o termo
veja como:
Em seguida, multiplicaremos o resultado acima por
Assim:
27
Portanto,
Então
Existe uma maneira menos trabalhosa para obter esse resultado? Sim. Veja
como:
Dada a função
Queremos achar
28
Para que isso aconteça, chamaremos a parte que está dentro do parêntesis
pela variável u, ficando na forma:
que, quando for substituída na função, a mesma torna-se da forma
Agora é só derivar as duas formas acima: derivando a expressão acima em
relação a , temos
derivando a primeira forma em relação a , temos
29
Portanto, para obtermos a derivada da função dada, ou seja, de
multiplica-se
por
veja como:
Substituindo o valor de na expressão acima, resulta que
Pronto, eis a derivada da função. Com esse exemplo, chegamos a uma das
mais importantes regras de diferenciação do Cálculo, a chamada regra da
cadeia:
30
Agora, precisamos provar se o resultado encontrado é mesmo que obtivemos
pelo primeiro método, onde usamos a expansão e multiplicação dos termos da
função dada. Veja abaixo:
Já obtemos, no início da aula, que
Portanto, multiplicando esse resultado por
resulta em
Multiplicando o resultado acima por 3, chegamos a:
31
Portanto,
Está provado que o resultado é o mesmo obtido na primeira tentativa de
derivarmos a função dada.
2º) Derive a seguinte função:
Vamos escrever a função acima da seguinte forma:
Queremos encontrar
Chamaremos a parte que está dentro do parêntesis de
Substituindo o valor de
32
por na função dada, teremos
Derivando a expressão acima em relação a , temos
A seguir, vamos derivar a expressão
em relação a . Veja como:
Portanto,
33
Substituindo o valor de na expressão acima, resulta que
ou
ou
Observação importante: baseado nos exemplos expostos, podemos observar
que, se a função é da forma
sua derivada pode ser calculada usando a regra da cadeia de outra maneira,
ou seja, com a seguinte regra equivalente:
A seguir, aplicaremos esta tática de resolução.
3º) Derive a seguinte função
34
A função dada pode ser representada por
Sendo
a função dada torna-se
A seguir, vamos calcular a derivada da função com relação a u:
Em seguida, calculamos a derivada de u em relação x:
Substituindo os valores achados na regra da cadeia, resulta que
35
Obs: note que a regra acima é a mesma que
Continuando na resolução do problema, vamos substituir o valor de u para
acharmos a derivada da função, veja:
4º) Derive a seguinte função
Obs: a função dada é da forma
Portanto, vamos aplicar a técnica
36
para acharmos a derivada da função dada.
Sendo
a função dada torna-se
Veja que n = 10.
Em seguida, calculamos a derivada de u em relação x:
A seguir, calculamos a derivada da função dada aplicando a regra
veja:
37
A seguir, vamos substituir o valor de u na expressão:
5º) Derive a seguinte função
A função dada é da forma:
Veja que n = 4.
Em seguida, calculamos a derivada de u em relação x:
A seguir, calculamos a derivada da função dada aplicando a regra
38
veja:
A seguir, vamos substituir o valor de u na expressão acima:
6º) Use a regra da cadeia para derivar
Já sabemos a regra para derivar uma função exponencial, porém, sua
derivada também pode ser obtida usando a regra da cadeia. Observe abaixo:
A função dada é da forma:
A seguir, calculamos a derivada da função com relação a u:
Em seguida, calculamos a derivada de u em relação x: Note que u = 5x.
39
A seguir, calculamos a derivada da função dada aplicando a regra da cadeia
A seguir, vamos substituir o valor de u = 5x na expressão:
USE A REGRA DA CADEIA E DERIVE AS SEGUINTES FUNÇÕES:
DESAFIO PARA VOCÊ
Com os exemplos expostos neste tópico, certamente você adquiriu um bom
fundamento para encarar maiores desafios envolvendo regra da cadeia. Nos
40
próximos tópicos sempre usaremos a regra da cadeia, portanto, subscreva
com seu e-mail para receber nossas próximas aulas. Muito grato e bons
estudos.
A REGRA DA INVERSA ARITMÉTICA
Nesta aula sobre derivadas para principiantes, o aluno
aprenderá como usar a regra da inversa aritmética, uma
bela regra de derivação. Esse tópico foi elaborado com
muito esforço e carinho para pessoas que possuem pouco
tempo para estudar, devido às suas atividades
profissionais. Nossa intenção é passar dicas básicas ao aluno principiante
para que possa melhor usar a regra da inversa aritmética em várias situações
no Cálculo. Aplicaremos as regras básicas e dicas de derivação, já estudadas
em tópicos anteriores, tais como: a regra para derivar funções exponenciais,o
reconhecimento de uma função identidade, regra da homogeneidade, da
potência, o uso das notações de Leibnitz e de Lagrange. A metodologia
empregada na aula é bem simples e Inicia com exemplos de formatos de
funções a serem tratadas no tópico, recordaremos sobre inverso de um
número, vamos tentar entender a inversa aritmética de uma função para
poder enunciar a regra da inversa aritmética e expressá-la na notação de
Leibnitz e Lagrange, exercitá-la por meio de execícios resolvidos e, por
último, lançar uns desafios básicos para o estudante trabalhador tentar
resolver. No final da aula o leitor deverá ser capaz de saber como usar a regra
da inversa aritmética para derivar funções. Lembrando todos os leitores que
as equações trabalhadas no site são escritas em Latex e podem ser melhores
visualizadas com o navegador Firefox. Se você receber essa aula via E-mail,
gmail (do google) e quiser visualizar suas equações, clique onde tem escrito
“Exibir imagens abaixo”, dentro do seu próprio email. Bons estudos!
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FORMATOS DE FUNÇÕES NAS QUAIS APLICAREMOS A REGRA
DA INVERSA ARITMÉTICA
É importante visualizarmos o tipo, a forma das funções que vamos estudar e
trabalhar. Quando o estudante se deparar, por exemplo, no livro didático ou
no quadro verde com tais funções, certamente se lembrará da sua forma e as
relacionará com a técnica de como usar a regra da inversa aritmética.
Portanto, aplicaremos a regra da inversa aritmética nas funções que possuem
os seguintes formatos:
MODELO DE FUNÇÕES QUE SERÃO TRABALHADAS
RECORDANDO COMO SE CALCULA O INVERSO DE UM NÚMERO
Na Matemática do nível fundamental, tivemos a oportunidade de estudar
como se calcula o inverso de um número e de uma fração. Eu escrevi algo
sobre isso no estudo sobre Divisão de frações, acesse-o se tiver instalado no
seu computador o Adobe Flash player. É importante recordarmos tal assunto,
pois aplicaremos esse mesmo raciocínio para podermos saber como usar a
regra da inversa aritmética para derivar uma função.
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Para se calcular o inverso de um número basta dividir o 1 por este número.
Exemplos:
a) Qual é o inverso de 3?
Divide-se 1 por 3, veja como:
b) Qual é o inverso de 2/5?
Divide-se 1 por 2/5, veja como:
Note que para dividir um número por uma fração, multiplicamos o número
(no caso, 1) pelo inverso da fração (no caso, 5/2).
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A INVERSA ARITMÉTICA DE UMA FUNÇÃO
Antes de enunciarmos a regra de derivação deste tópico, precisamos
entender, inicialmente, o que é a inversa aritmética de uma função.
Considere a função
A sua inversa aritmética é escrita, de modo análogo à inversa de um número,
da seguinte maneira:
Observe que, neste e nos próximos exemplos, para se calcular o inverso de
uma função basta dividir o 1 por esta função.
Vejamos outro exemplo: a função dada por tem como inverso
aritmético
44
Mais um exemplo: a função tem como inverso aritmético
Portanto, o inverso aritmético de uma função é dada por .
O QUE NOS DIZ A REGRA DA INVERSA ARITMÉTICA
Para derivar esses tipos de funções precisamos enunciar a regra da inversa
aritmética. Ei-la:
“Sendo uma função f diferenciável em relação a x, então a
derivada da inversa aritmética da função f é a razão negativa
entre a derivada da função f e o quadrado da função ( f 2 ).”
Podemos expressar essa regra por meio das notações a seguir.
NOTAÇÃO DE LEIBNITZ PARA A REGRA DA INVERSA
ARITMÉTICA
Na maioria dos livros de Física de nível superior e em diversas disciplinas de
Física e Engenharias são usadas a Notação de Leibnitz. Nas aulas, no quadro
45
verde, os nossos mestres sempre usam com maestria essa maravilhosa
notação. Portanto, é bom que o aluno, futuro cientista, se acostume logo com
a Notação de Leibnitz. Ei-la para a regra da inversa aritmética:
NOTAÇÃO FUNCIONAL PARA A REGRA DA INVERSA
ARITMÉTICA
É muito importante o uso da notação de Lagrange, pois ela é mais compacta,
economiza espaço em livros, no quadro verde, no caderno e também aqui, na
tela do computador. Ei-la para a regra da inversa aritmética:
Para nosso melhor entendimento sobre essa regra, vamos à pratica:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A REGRA DA INVERSA
ARITMÉTICA
1°) Encontre a derivada do inverso aritmético da seguinte função:
Passos: inicialmente, ache o inverso aritmético da função. Veja como:
Dirija sua atenção para o denominador, que é a nossa função, no caso a
função x, e encontre sua derivada em relação a x, ou seja,
46
Observação: reconheça que o resultado é uma Função identidade.
Agora, eleve a função dada ao quadrado:
Substituindo os resultados obtidos (a derivada da função e o quadrado da
função) na regra
obtemos que
Obs: na notação funcional (ou de Lagrange) essa resposta pode ser
representada de maneira mais compacta:
47
2°) Encontre a derivada da inversa aritmética da função
Passos: ache o inverso aritmético da função, assim:
Dirija sua atenção para o denominador que é a nossa função. Encontre a derivada dessa função em relação a x, ou seja,
Eleve a função ao quadrado e substitua os resultados (a derivada da função e o quadrado da função) obtidos na regra
para encontrar:
48
Note que o sinal negativo (acima) é oriundo da definição da regra da inversa aritmética.
Na notação de Lagrange, mais compacta, a derivada da função pode ser expressa como,
3°) Encontre a derivada da inversa aritmética da função dada por
Passos: ache o inverso aritmético da função, assim:
Dirija sua atenção para o denominador que é uma função exponencial. Aplique o que você já aprendeu sobre como derivar uma função exponencial e encontre a derivada dessa função em relação a x, ou seja,
Ache o quadrado da função:
49
Substitua os resultados obtidos (a derivada da função e o quadrado da função) na regra
para encontrar:
Observe que o sinal negativo (acima) é oriundo da definição da própria regra.
Na notação de Lagrange, mais compacta, a derivada da função pode ser expressa como
4°) Calcule
Neste caso, já temos o inverso aritmético da função, veja:
Dirija sua atenção para o denominador que é uma função exponencial. Já estudamos Como derivar uma função exponencial, portanto, encontre a derivada dessa função em relação a x, ou seja,
50
Ache o quadrado da função:
Substitua os resultados obtidos (a derivada da função e o quadrado da função) na regra
para encontrar:
Observe que o sinal negativo (acima) é oriundo da definição da própria regra e explicitamos os detalhes do cálculo da derivada, para mostrar como foi útil nosso estudo sobre função exponencial.
Na notação de Lagrange, mais compacta, a derivada da função exposta pode ser expressa como
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USE A REGRA DA INVERSA ARITMÉTICA PARA DERIVAR AS
SEGUINTES FUNÇÕES:
FAÇA SUA PARTE
Com relação a última questão podemos adotar o seguinte procedimento: transforme essa função na forma
e aplique os conhecimentos adquiridos nesse tópico, trabalhando com a inversa do aritmético da função, achando como resultado
Nos próximos estudos tentaremos relacionar a técnica do inverso aritmético com outras regras, tais como A regra da cadeia, a derivada do quociente e a derivada do produto. Portanto, subscreva o seu e-mail, na barra lateral do site, para receber nossas próximas aulas. Muito grato e bons estudos!
52
OBTENHA O EBOOK COMPLETO
O que foi estudado até aqui é uma pequena amostra de coletânea das aulas
que fazem parte do meu Ebook intitulado: MINICURSO BÁSICO SOBRE
DERIVADAS (tem um pequeno preço). Se você gostou da metodologia que
apliquei aqui e deseja receber o Ebook completo pelo seu E-mail, com mais de
100 exercícios e explicações nesse estilo metodológico, escreva-me:
Algumas vantagens em obter o Ebook:
O professor pode ministrar suas aulas pelo Ebook, como
estudo dirigido e pré-requisito para leitura dos livros mais
avançados de Cálculo;
Ter um livro impresso é bom. Às vezes os computadores
apresentam problemas e, consequentemente, o estudo em
questão não pode ser acessado;
O aluno pode estudar e exercitar seu conteúdo para melhor
entendimento das aulas de Cálculo I na sua universidade;
Você pode fazer do Ebook, seu próprio livreto impresso (pois
vai o seu nome na contra-capa) e levá-lo para a sala de aula;
53
Você pode ajudar seu colega, que não tem muito tempo para
estudar em sala de aula, presenteando-o com o Ebook.
As equações estarão mais nítidas, pois serão transformadas
para o Ebook diretamente do editor Latex;
É um bom pré-requisito para estudar o nosso próximo
trabalho: MINICURSO BÁSICO SOBRE INTEGRAIS.
Se você gostou do ebook e estiver interessado em obtê-lo,
compre-o. Escreva-me: ([email protected]).
Acesse
CIÊNCIAS EXATAS PARA PRINCIPIANTES
e subscreva seu e-mail, assinando a nossa newsletter, para obter as
próximas aulas.
Bons estudos! Obrigado.
Elísio.
