Apostila de Eletricidade

1

Trabalho = fora x distncia

ELETRICIDADE

1 - ENERGIA E TRANSFERNCIA DE ENERGIA 1.1 - TRABALHO: Realiza-se trabalho quando algo movido contra uma fora resistiva. Por exemplo, realizamos trabalho quando um peso levantado contra a atrao da gravidade (figura 1), ou quando empurramos um engradado a uma determinada distncia (figura 2).

Figura 1 - Halterofilista realiza trabalho enquanto ergue o peso.

Figura 2 - Realizao de trabalho ao deslocar a caixa.

O trabalho realizado obtido atravs do produto da fora aplicada pela distncia atravs da qual a fora se move, isto : A unidade de trabalho no sistema internacional de medidas (SI) o joule usualmente abreviado por J. O joule

representa o trabalho realizado quando uma fora de um newton age atravs de uma distncia de um metro (1 J = 1 N.m). 1.2 - Energia: Energia a capacidade de realizar trabalho; o trabalho tambm pode ser visto como uma transferncia de energia. A energia mecnica medida nas mesmas unidades que o trabalho. Por exemplo, quando um peso levantado, o corpo humano ou o dispositivo de iamento que o moveu despende energia. O peso, por outro lado, adquire energia potencial, em virtude de haver sido elevado acima do cho. Essa energia potencial armazenada no peso levando pode ser utilizada, por exemplo, para levantar outro peso atravs de um sistema de polias ou pode ser deixado cair como em um bate-estaca transferindo a sua energia para a estaca no momento do impacto.

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APOSTILA DE ELETRICIDADE

Professor Mrio Goretti 2

FAETEC - ETE JOO LUIZ DO NASCIMENTO

Figura 3 - Transferncia de energia atravs de polias.

Figura 4 - Transferncia de energia em um bate-estaca.

Um princpio geral aplicvel a todos o sistemas fsicos o princpio da conservao de energia, o qual estabelece que a energia no criada nem destruda, apenas muda de forma. A energia pode ser transformada em calor, em luz ou em som; ela pode ser energia mecnica de posio ou de movimento, pode ser armazenada numa bateria ou em uma mola; mas no pode ser criada nem destruda. 1.3 - POTNCIA: Para propsitos prticos, existe muito interesse na velocidade de realizao de trabalho ou liberao de energia. Esta velocidade chamada potncia. No sistema internacional de medidas, a potncia medida em watts (abreviatura W), sendo um watt igual a um joule por segundo. Ento, a partir da definio de potncia, se W o trabalho realizado ou a energia dissipada ou liberada no tempo t, a potncia mdia neste perodo :

t

WP

Devida ntima relao entre potncia e energia, encontramos freqentemente a energia expressa em tais

unidades como watt-segundo (W.s) ou quilowatt-horas (kW h)(1kW h=1000 x 3600)

2 - CARGAS ELTRICAS

A grandeza eltrica mais elementar a carga eltrica. Um dos primeiros fatos ao estudarmos os efeitos das cargas eltricas que estas cargas so de dois tipos diferentes. Estes tipos so arbitrariamente chamados positivo (+) e negativo (-). O eltron, por exemplo, uma partcula carregada negativamente. Um corpo descarregado possui o mesmo nmero de cargas positivas e negativas. Um corpo est carregado positivamente quando existe uma deficincia de eltrons e uma carga negativa significa um excesso de eltrons.

A carga eltrica representada pela letra Q e medida em Coulombs (abreviado C). A carga de um eltron 1,6 x 10-19 C, ou seja, um Coulomb equivale carga aproximada de 6,25 x 1018

eltrons.

Um dos efeitos mais significativos de uma carga eltrica que ela pode produzir uma fora. Especificamente, uma carga repelir outras cargas de mesmo sinal e atrair cargas de sinal contrrio como apresenta a figura 5. Deve-se notar que a fora de atrao ou de repulso sentida de modo igual pelos dois corpos ou partculas carregados.

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Figura 5 - Fora entre cargas.

2.1 - CAMPOS ELTRICOS

Existe uma regio de influncia em torno de uma carga eltrica tal que uma fora tornar-se- tanto menor quanto mais afastada estiver a carga. Uma regio de influncia como est chamada Campo. O campo estabelecido pela

presena de cargas eltricas chamado de Campo Eltrico E

e quando as cargas eltricas esto em repouso esse campo ser chamado de Campo Eletrosttico. O campo eltrico pode ser representado por linhas de campo radias orientadas e a sua unidade o newton/coulomb [N/C]. Se a carga for positiva, o campo divergente, isto , as linhas de campo saem da carga e se a carga for negativa, o campo convergente, isto , as linhas de campo chegam carga conforme mostra a figura 6.

Figura 6 - Linhas de campo.

Quando duas cargas de sinais contrrios esto prximas, as linhas de campos convergem da carga positiva para a carga negativa conforme a figura 7. Em cargas prximas de mesmo sinal as linhas de campo se repelem, figuras 8 e 9.

Figura 7 - Linhas de campo entre cargas de sinais contrrios.

Figura 8 - Linhas de campo entre cargas positivas. Figura 9 - Linhas de campo entra cargas negativas.

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Quando duas placas paralelas so eletrizadas com cargas de sinais contrrios, surge entre elas um campo eltrico uniforme, caracterizado por linhas de campo paralelas.

Figura 10 - Linhas de campo entre duas placas paralelas eletrizadas com cargas contrrias.

A expresso matemtica do campo eltrico dada por: 2d

QKE

onde: K = constante dieltrica = 9x109 N.m2 / C2 (no vcuo e no ar) Q = mdulo da carga eltrica, em Coulomb [C] d = distncia, em metro [m] 2.1 - FORAS ELTRICAS

Um carga Q colocada em um campo eltrico uniforme, ficar sujeita a uma fora F

, cuja unidade de medida newton [N] e cujo mdulo :

F = Q E onde: Q = mdulo da carga eltrica, em Coulomb [C] E = mdulo do campo eltrico, em Newton/Coulomb [N/C] A amplitude da fora entre duas partculas carregadas proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. Isto , a fora F entre duas partculas carregadas com cargas Q1 e Q2 dada por:

2

21.

d

QQkF

Onde d a distncia entre as cargas e k uma constante que depende das unidades usadas e do meio que envolve as cargas. Esta equao conhecida como Lei de Coulomb ou Lei do Inverso do Quadrado

Figura 11 - Fora entre cargas de sinais contrrios.

Figura 12 - Fora entre cargas de sinais opostos.

2.3 - POTENCIAIS ELTRICOS

Dizer que uma carga eltrica fica sujeita a uma fora quando esta numa regio submetida a um campo eltrico, significa dizer que, em cada ponto dessa regio existe um potencial para a realizao de trabalho. O potencial eltrico (V) expresso em volts e dado pela expresso:

d

QKV

O potencial eltrico uma grandeza escalar, podendo ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da caga eltrica. Pela expresso acima, podemos verificar que o potencial em uma superfcie onde todos os pontos esto

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a uma mesma distncia da carga geradora, possui sempre o mesmo valor. Essas superfcies so denominadas de superfcies equipotenciais.

Figura 13 - Superfcies equipotenciais.

2.4 - DIFERENA DE POTENCIAL - DDP

Seja uma regio submetida a um campo eltrico E criado por uma carga Q positiva conforme mostra a figura 14. Colocando um eltron q no ponto A, situado a uma distncia dA da carga Q, ele se movimentar no sentido contrrio do campo, devido fora F que surge no eltron, indo em direo ao ponto B, situado a uma distncia dB da carga Q.

Figura 14 - Carga -q colocada no ponto A de uma regio submetida a um campo E.

Como dA > dB, o potencial do ponto A menor que o do ponto B, uma vez que o potencial dado pela expresso

d

QKV . Assim podemos escrever que VA < VB.

Figura 15 - Potencial no ponto A menor que no ponto B.

Conclui-se, ento, que uma carga negativa move-se do potencial menor para o maior. Se uma carga positiva +q fosse colocada no ponto B, ela se movimentaria na mesma direo do campo eltrico, indo do potencial maior para o menor.

Figura 16 - Carga +q colocada no ponto B de uma regio submetida a um campo E.

Assim, para que uma carga se movimente, isto , para que haja conduo de eletricidade, necessrio que ela esteja submetida a uma diferena de potencial ou ddp.

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Agora j estamos em condies de relacionar trabalho e transferncia de energia com foras eltricas. Suponha que movamos uma partcula carregada positivamente em sentido contrrio ao de um campo eltrico no qual esteja mergulhada, isto , contra a fora exercida sobre elas por outras cargas eltricas. Se por exemplo, o campo fosse devido presena de uma carga negativa prxima, afastaramos a carga positiva dela. Com isto, ao mover-se a carga contra foras que atuam sobre ela, seria realizado um trabalho equivalente ao levantar-se um peso no campo gravitacional terrestre. Alm disso, seria aplicvel a lei da conservao da energia; isto , a partcula estaria agora em uma posio potencial mais elevada, do mesmo modo que um peso levantado possui maior energia potencial. J estamos familiarizados com os dispositivos para realizao de trabalho til atravs de pesos que passam a posies de potencial mais baixo no campo gravitacional da terra. Talvez o dispositivo que melhor exemplifique este estudo seja uma roda hidrulica obtendo trabalho a partir de uma queda dgua. De um modo mais ou menos anlogo, podemos obter trabalho de um fluxo de cargas que se movam sob a influncia de foras eltrica para uma posio de potencial mais baixo.

Figura 17 - Roda hidrulica.

3 - CORRENTE ELTRICA

Usualmente estamos mais interessados em cargas em movimento do que cargas em repouso, devido transferncia de energia que pode estar associada s cargas mveis. Estamos particularmente, interessados nos casos em que o movimento de cargas esteja confinado a um caminho definido formado de materiais como cobre, alumnio, etc, devido a serem bons condutores de eletricidade. Em contraste, podemos utilizar materiais mal condutores de eletricidade, chamados de isoladores, para confinar a eletricidade a caminhos especficos formando barreiras que evitam a fuga das cargas eltrica. Os caminhos por onde circulam as cargas eltricas so chamados de circuitos. Aplicando uma diferena de potencial num condutor metlico, os seus eltrons livres movimentam-se de forma ordenada no sentido contrrio ao do campo eltrico. O movimento da carga eltrica chamado de corrente eltrica. A intensidade I da corrente eltrica a medida da quantidade de carga eltrica Q (em coulombs) que atravessa a seo transversal de um condutor por unidade de tempo t (em segundos). A corrente tem um valor constante dado pela expresso:

t

QI

tempo

coulombsemcarga

A unidade de corrente o ampre (abreviado por A). Existe um ampre de corrente quando as cargas fluem na razo de um coulomb por segundo. Devemos especificar tanto a intensidade quanto o sentido da corrente.

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Exemplo: Se a carga que passa pela lmpada do circuito da figura 21 de 14 coulombs por segundo, qual ser a corrente:

Asegundo

coulonbs

t

QI 14

1

14

Em uma corrente contnua, o fluxo de cargas unidirecional para o perodo de tempo em considerao. A figura 18, por exemplo, mostra o grfico de uma corrente contnua em funo do tempo; mais especificamente, mostra uma corrente contnua constante, pois sua intensidade constante, de valor I. Em uma corrente alternada as cargas fluem ora num sentido, ora noutro, repetindo este ciclo com uma freqncia definida como mostra a figura 19.

Figura 18 - Corrente contnua.

Figura 19 - Corrente alternada.

A utilidade prtica de uma corrente continua ou alternada o resultado dos efeitos por ela causados. Os principais fenmenos que apresentam uma grande importncia prtica e econmica so:

1. Efeito Trmico (Joule): Quando flui corrente atravs de um condutor, h produo de calor. Este fenmeno ser estudado na Lei de Ohm. Aplicaes: chuveiro eltrico, ferro eltrico.

2. Efeito Magntico (Oersted): Nas vizinhanas de um condutor que carrega uma corrente eltrica, forma-

se um segundo tipo de campo de fora, que far as foras serem exercidas sobre outros elementos condutores de corrente ou sobre peas de ferro. Este campo, chamado de Campo Magntico coexiste com o Campo Eltrico causado pelas cargas. Este fenmeno o mesmo que ocorre na vizinhana de um im permanente. Aplicaes: telgrafo, rel, disjuntor.

3. Efeito Qumico: Quando a corrente eltrica passa por solues eletrolticas ela pode separar os ons.

Aplicaes: Galvanoplastia (banhos metlicos). 4. Efeito Fisiolgico: Efeito produzido pela corrente eltrica ao passar por organismos vivos

3.1 - CORRENTE ELTRICA CONVENCIONAL: nos condutores metlicos, a corrente eltrica formada apenas por cargas negativas (eltrons) que se deslocam do potencial menor para o maior. Assim, para evitar o uso freqente de valor negativo para corrente, utiliza-se um sentido convencional para ela, isto , considera-se que a corrente eltrica num condutor metlico seja formada por cargas positivas, indo, porm do potencial maior para o menor. Em um circuito, indica-se a corrente convencional por uma seta, no sentido do potencial maior para o menor como mostra a figura, em que a corrente sai do plo positivo da fonte (maior potencial) e retorna ao seu plo negativo (menor potencial).

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Figura 20 Sentido da corrente convencional.

Exemplos: 1. Qual a intensidade da corrente eltrica que passa pela seo transversal de um fio condutor, sabendo-se que

uma carga de 3600 C leva 12 segundos para atravess-la?

As

C

t

QI 300

12

103600 6

2. Pela seo transversal de um fio condutor passou uma corrente de 2mA durante 45 segundos. Quantos eltrons atravessaram essa seo nesse intervalo de tempo?

CmCsAtIQt

QI 33 1090904510.2

carga de 1 eltron dada por q = -1,6 10-19C, utilizando somente o mdulo de q e uma simples regra de 3, temos

1 eltron = 1,6 10-19

N eltrons = 90 10-3

Fazendo o produto cruzado, temos: 1,6 10-19 N(eltrons) = 90 10-3 1(eltron)

eltronsNN 1519

3

105,562106,1

1090

3.2 - DIFERENA DE POTENCIAL ELTRICO OU TENSO ELTRICA

A figura 21 apresenta o diagrama de um circuito eltrico simples. O objetivo desse circuito conduzir energia eltrica da bateria para uma lmpada distante. Isto realizado atravs da conexo de fios para levar e trazer a corrente I da bateria at a lmpada, uma chave e um fusvel de proteo para o circuito. Assim, quando a chave esta fechada, um caminho completo de conduo proporcionado e obtm-se um circuito completo ou circuito fechado.

Figura 21 - Diagrama descritivo.

Figura 22 - Diagrama esquemtico.

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Por outro lado, se um dos fios fosse desligado, ou a chave estiver aberta, teramos um circuito aberto, sendo nula a corrente I, e, portanto, no havendo transferncia de energia. Um outro caso ocorreria se ligssemos um fio entre os pontos c e d da lmpada ou entre os pontos a e b da bateria. Neste caso, teramos um curto-circuito. A corrente de sada da fonte seria elevada (freqentemente destrutivamente elevada), mas somente uma poro insignificante passaria pela lmpada e no haveria uma transferncia eficiente de energia para a lmpada. Usualmente feita uma proteo contra esses problemas, inserindo fusveis ou disjuntores que abrem automaticamente quando ocorrem tais falhas.

No circuito da figura utilizou-se o smbolo padro para uma bateria, com linhas paralelas mais longas indicando o terminal positivo ou aquele pelo qual a corrente sai da bateria ao fornecer energia ao circuito. A figura 23 mostram outros tipos de simbologias padres para representar fontes de tenso CC.

Figura 23 - Simbologias para fontes de tenso CC.

Considerando que o circuito da figura 21 no possua nenhum tipo de problema de curto-circuito ou circuito aberto. Para que se mantenha a corrente I no circuito necessrio gastar energia da mesma forma que para manter o fluxo de gua atravs de um sistema de tubulaes. Deve-se realizar trabalho para dar s cargas eltricas a energia que elas entregam ao fluir atravs dos fios e das lmpadas. Este trabalho ou energia deve, claro, ser obtido da fonte por converso de energia qumica em energia eltrica na bateria da figura 21, por exemplo, ou converso de energia mecnica em eltrica no caso de um gerador.

O trabalho realizado ao movimentar-se uma carga positiva unitria entre dois pontos de um circuito chamado de diferena de potencial ou tenso entre dois pontos. Em outras palavras, tenso o trabalho por unidade de carga. Deve-se especificar dois pontos no circuito, uma vez que o trabalho realizado ao mover-se a carga de um ponto para outro. Se o trabalho realizado ao mover-se uma carga de 1 C de um ponto a outro for de 1 J, a diferena de potencial entre esses pontos ser de 1 Volt (abrevia-se V). O trabalho, ou energia total W associado com o movimento de Q coulombs entre dois pontos, ;

QEW quando a diferena de potencial entre dois pontos for de E volts. Quando essa diferena de potencial fornecida por uma fonte de energia eltrica, ela freqentemente chamada de fora eletromotriz (abreviada FEM). Como os circuitos contm fontes e consumidores de energia eltrica, devemos considerar cuidadosamente se o trabalho realizado sobre a carga unitria, ou pela carga unitria ao mover-se do primeiro at o segundo ponto. No primeiro caso, a energia potencial da carga aumentada; no outro caso, diminuda. Se o trabalho for realizado sobre a carga positiva e sua energia potencial aumentada ao ir do ponto a para o ponto b de um circuito, existe uma subida de tenso no sentido de a para b. Inversamente, existe uma queda de tenso no sentido de b para a, porque a carga perderia energia se fosse de b para a. Do ponto de vista de ganho ou de perda de energia, subidas de tenso so grandezas opostas a queda de tenso. O circuito da figura 22 ilustra estas declaraes. Devido bateria existe uma subida de tenso de a para b e haver uma queda de tenso de c para d. Observao: Freqentemente utilizamos uma nomenclatura do tipo VAB, para indicar um valor de tenso entre dois pontos, por isso, importante saber o seu significado. Na figura 24 a tenso VA encontra-se no potencial de maior valor (+) e a tenso VB no potencial de menor valor (-).

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Figura 24 - Diferena de potencial.

A fonte de tenso E se encontra entre os dois potenciais VA e VB, portanto, essa fonte representa a diferena entre estes dois potenciais. Matematicamente temos:

4 - FONTES DE ALIMENTAO

O dispositivo que fornece tenso para um circuito chamado genericamente de fonte de tenso ou fonte de alimentao. Exemplos de fontes de tenso so as pilhas e as baterias. Uma pilha comum, quando nova, possui tenso de 1,5V. Estas podem ser associadas em srie, para aumentar a tenso, como por exemplo, 3 pilhas de 1,5V cada fornecem 4,5V juntas. Tanto as baterias como as pilhas produzem energia eltrica a partir de energia liberada por reaes qumicas. Com o tempo de uso, as reaes qumicas dessas baterias ou pilhas liberam cada vez menos energia, fazendo com que a tenso disponvel seja cada vez menor. Hoje em dia, existem muitos tipos de baterias que podem ser recarregados por aparelhos apropriados, inclusive as pilhas comuns, o que um avano importante, sobretudo no que se refere ao meio ambiente. Outro tipo de fonte de tenso so as fontes de alimentao eletrnicas que utilizam um circuito eletrnico para converter a tenso alternada da rede eltrica em tenso contnua. Esses dispositivos so conhecidos por eliminadores de bateria, e so amplamente utilizados em equipamentos portteis como aparelhos de som, vdeo games, etc. Outro tipo de fonte de tenso muito utilizado em laboratrios e oficinas de eletrnicas, so as fontes de tenso variveis (ou ajustveis). Este tipo de fonte tem a vantagem de fornecer tenso contnua e constante, cujo valor pode ser ajustado manualmente, conforme a necessidade. Nas fontes variveis mais simples, o nico tipo de controle o ajuste de tenso. Nas mais sofisticadas, existem ainda os controles de ajuste fino de tenso e de limite de corrente. 5 - TERRA (GND = GROUND) OU POTENCIAL DE REFERNCIA

Em circuitos eltricos, deve-se sempre estabelecer um ponto cujo potencial eltrico servir de referncia para medidas das tenses. Em geral, a referncia o plo negativo da fonte de alimentao, que pode ser considerado um ponto de potencial zero, fazendo com que a tenso entre qualquer outro ponto do circuito e essa referncia seja o prprio potencial eltrico do ponto considerado. Assim, se VB a referncia do circuito da figura 24, a tenso VAB entre os pontos A e B dada por:

VAB = VA VB = VA - 0 = VA A essa referncia, damos o nome de terra, massa ou GND (ground), cujos smbolos mais utilizados so mostrado na figura 25.

Figura 25 - Simbologia do terra (GND).

E = VA - VB = VAB

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Em um circuito podemos substituir a linha do potencial de referncia por smbolos de terra, simplificando o seu circuito para um dos seguintes diagramas mostrados na figura 27. Em muitos equipamentos, o potencial de referncia do circuito ligado sua carcaa (quando esta metlica) e a um terceiro pino do plug que vai ligado tomada da rede eltrica. Esse terceiro pino para conectar o terra do circuito malha de aterramento da instalao eltrica, com o objetivo de proteger o equipamento e o usurio de uma sobrecarga eltrica. Exemplo: Dado o circuito da figura 26, represente seus dois diagramas eltricos equivalentes utilizando o smbolo de terra.

Figura 26 - Circuito eltrico.

ou

Figura 27 Outras formas de representaes de circuitos.

6 - FONTE DE CORRENTE

A fonte de corrente, ao contrrio da fonte de tenso, no um equipamento vastamente utilizado, mas seu estudo importante para a compreenso futura de determinados dispositivos e circuitos eletrnicos.

O smbolo para a fonte de corrente um crculo com uma seta dentro, que indica o sentido da corrente. Este sentido deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da fonte de tenso correspondente. Lembre-se de que uma fonte produz um fluxo de corrente que sai do terminal positivo. A fonte de corrente ideal aquela que fornece uma corrente I sempre constante, independente da carga alimentada, isto , para qualquer tenso V na sada. A figura 28 mostra a simbologia utilizada para indicar uma fonte de corrente e a sua curva caracterstica.

Figura 28 - Fonte de corrente e sua curva caracterstica.

7 - POTNCIA E ENERGIA ELTRICA

A expresso W = E Q exprime o trabalho realizado ou a energia transferida num circuito ou numa parte de um circuito eltrico, pelo produto da tenso pela carga. Se o trabalho realizado a uma velocidade constante e a carga total Q sofre uma variao de potencial de E volts, em t segundos, ento a potncia, ou o trabalho por unidade de tempo :

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t

QE

t

WP

. watts ou joule/segundo

Do ponto de vista prtico, interessa-nos mais a corrente do que a carga. Utilizando a equao I = Q/t,

obtm-se uma forma mais til para a equao P = (E Q)/t , que

Como t

QI , IEP . watts

Se E e I so constantes num intervalo de tempo de t segundos, a energia total eliminada ou absorvida

tIEW .. watt-segundo ou joules At agora j foram introduzidas as grandezas eltricas principais com as quais estaremos tratando. Um

resumo delas est apresentado na tabela 1, juntamente com suas unidades de medida e abreviaturas mais usadas. Para alguns propsitos, estas unidades so inconvenientemente pequenas ou grandes. Para expressar unidades maiores ou menores, usa-se uma srie de prefixos juntamente com o nome da unidade bsica, evitando-se assim uma aglomerao de zeros antes ou depois da vrgula decimal. Esses prefixos, com suas abreviaturas, so apresentados na tabela-2.

Tabela 1 - Resumo das principais grandezas eltricas

Grandeza eltrica

Smbolo Unidades

(Sistema SI) Equao de

definio Anlogo mecnico

Anlogo hidrulico

Carga Q Coulomb (C) . . . . . Posio Volume

Corrente I Ampre (A) t

QI Velocidade Fluxo

Tenso E ou V Volt (V) Q

WE Fora Altura ou presso

Potncia P Watt (W) IEP . Potncia Potncia

Energia ou trabalho

W Joule (J) ou Watt-segundo (W.s)

tPW . Energia ou trabalho

Energia ou trabalho

Tabela 2 - Prefixos usados com unidades eltricas

Para grandezas maiores que a unidade

Para grandezas menores que a unidade

Quilo (K) 103 unidades Mili (m) 10-3 unidades

Mega (M) 106 unidades Micro ( ) 10-6 unidades

Giba (G) 109 unidades Nano (n) 10-9 unidades

Tera (T) 1012 unidades Pico (p) 10-12 unidades

Exemplo: A lmpada do circuito da figura 21 est sujeita a uma tenso de 115 V. A corrente I do circuito 2,61 A. Qual a potncia consumida pela lmpada? Quanto se gasta ao manter acesa por 10 horas, se a energia eltrica custa 2 centavos por kWh?

P = E.I = (115).(2,61) = 300 W W = E.I.t = P.t = (300).(10) = 3000 Wh = 3,0 kWh Custo = (3,0) x (2,0) = 6 centavos

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8 - INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELTRICAS

8.1 - Multmetro:

Este instrumento muito utilizado em laboratrios e oficinas de eletrnica, e tem por finalidade medir grandezas eltricas como tenso, corrente, resistncia e outras funes. O multmetro possui dois terminais nos quais so ligadas as pontas de prova ou pontas de teste. A ponta de prova vermelha deve ser ligada ao terminal positivo do multmetro (vermelho ou marcado com sinal +) e a ponta de prova preta deve ser ligada ao terminal negativo do multmetro (preto ou marcado com sinal -). Os multmetros possuem alguns controles, sendo que o principal a chave rotativa ou conjunto de teclas para seleo da grandeza a ser medida (tenso, corrente ou resistncia) com os respectivos valores de fundo de escala. Fundo de escala o mximo valor medido, por exemplo, quando giramos a chave seletora do multmetro da figura 29 at a posio de 20 DC V, o fundo de escala de 20 volts. Em multmetros analgicos o fundo de escala a mxima deflexo do ponteiro.

Figura 29 - Multmetro digital.

Figura 30 - Multmetro analgico.

Generalidades:

Em qualquer valor medido est associado um erro. O valor estimado para esse erro pode ou no ser significante dependendo da aplicao;

erro depende no somente do equipamento, como tambm do procedimento de medida;

Qualquer aparelho de medida interfere no circuito que est sendo medido. Os termos voltmetro, ampermetro e ohmmetro correspondem ao multmetro operando,

respectivamente, nas escalas de tenso, corrente e resistncia.

8.2 - Voltmetro: o instrumento utilizado para medir a tenso (diferena de potencial) entre dois pontos de um circuito eltrico. Para que o multmetro funcione basta selecionar uma das escalas para medida de tenso (CC ou CA). A simbologia utilizada para voltmetro mostrada na figura 31.

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Figura 31 - Simbologia do voltmetro.

Para medir uma tenso, as ponteiras do voltmetro devem ser ligadas aos dois pontos do circuito em que

se deseja conhecer a diferena de potencial, isto , em paralelo, podendo envolver um ou mais dispositivos, como mostra a figura 32.

Se a tenso a ser medida for contnua (CC), o plo positivo do voltmetro deve ser ligado no ponto de maior potencial e o plo negativo no ponto de menor potencial. Assim, o voltmetro indicar um valor positivo de tenso.

Figura 32 - Exemplo de uso do voltmetro.

Cuidado! Estando a ligao dos terminais do voltmetro invertida, sendo digital, o display indicar valor negativo; sendo analgico, o ponteiro tentar defletir no sentido contrrio, o que poder danific-lo.

Figura 33 - Ponteiras do voltmetro ligadas invertidas.

Se a tenso a ser medida for alternada (CA), os plos positivo e negativo do voltmetro podem ser ligados

ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva. Observao: Um voltmetro ideal tem resistncia interna infinita. Isto para que a corrente do circuito no

circule pelo voltmetro e este no interfira no comportamento do circuito. Um voltmetro real possui uma resistncia interna muito alta, mas no infinita, que causa um pequeno erro. Porm, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois geralmente menor que as tolerncias dos componentes do circuito. 8.2 - AMPERMETRO: Este instrumento utilizado para medir a corrente eltrica que atravessa um condutor ou um dispositivo. Para que o multmetro funcione como um ampermetro, basta selecionar uma das escalas para medida de corrente (CC ou CA). A simbologia utilizada para ampermetro mostrada na figura 34.

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Figura 34 - Simbologia do ampermetro.

Para medir uma corrente, o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando o ampermetro em srie, para que a corrente eltrica passe por ele. A corrente que passa por um dispositivo pode ser medida antes ou depois dele, j que a corrente que entra num bipolo a mesma que sai.

Se a corrente a ser medida for contnua (CC), o plo positivo do ampermetro deve ser ligado ao ponto pelo qual a corrente convencional entra, e o plo negativo ao ponto pelo qual ela sai.

Figura 35 - Exemplo de uso do ampermetro.

Cuidado! Se a ligao dos terminais do ampermetro for invertida, sendo digital, o display indicar valor negativo; sendo analgico, o ponteiro tentar defletir no sentido contrrio, podendo danific-lo.

Cuidado! Caso a corrente a ser medida for alternada (CA), os plos positivo e negativo do ampermetro podem ser ligados ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva.

Observao: Um ampermetro ideal tem resistncia interna zero. Isto para que o ampermetro no fornea resistncia passagem de corrente do circuito e este no interfira no comportamento do circuito. Um ampermetro real possui uma resistncia interna muito baixa, mas no zero, que causa um pequeno erro. Porm, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois geralmente menor que as tolerncias dos componentes do circuito.

ATENO! NUNCA UTILIZE A ESCALA DE CORRENTE DO MULTMETRO PARA MEDIDAS DE TENSO! ISSO DANIFICAR O

APARELHO.

8.3 - OHMMETRO: O instrumento que mede resistncia eltrica chamado de ohmmetro. Os multmetros possuem escalas apropriadas para a medida de resistncia eltrica.

Para medir a resistncia eltrica de uma resistncia fixa ou varivel, ou ainda, de um conjunto de resistores interligados, preciso que eles no estejam submetidos a qualquer tenso, pois isso poderia acarretar em erro de medida ou at danificar o instrumento. Por isso, necessrio desconectar o dispositivo do circuito para a medida de sua resistncia.

Para a medida, os terminais do ohmmetro devem ser ligados em paralelo com o dispositivo ou circuito a ser medido, sem importar-se com a polaridade dos terminais do ohmmetro. Cuidado! Nunca segure os dois terminais do dispositivo a ser medido com as mos, pois a resistncia do corpo humano pode interferir na medida, causando um erro.

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O ohmmetro analgico bem diferente do digital, tanto no procedimento quanto na leitura de uma medida. No ohmmetro digital, aps a escolha do valor de fundo de escala adequado, a leitura da resistncia feita diretamente no display.

No ohmmetro analgico, a escala graduada invertida e no linear, iniciando com resistncia infinita (R = ) na extremidade esquerda (correspondendo aos terminais do ohmmetro em aberto e ponteiro na posio de repouso) e terminando com resistncia nula (R = 0) na extremidade direita (correspondendo aos terminais do ohmmetro em curto e ponteiro totalmente defletido). Assim sendo, o procedimento para a realizao da medida com o ohmmetro analgico deve ser:

1. Escolhe-se a escala desejada, que um mltiplo dos valores da escala graduada: x1, x10, x100, x10k e

x 100k. 2. Curto-circuitam-se os terminais do ohmmetro, provocando a deflexo total do ponteiro. 3. Ajusta-se o potencimetro de ajuste de zero at que o ponteiro indique R = 0. 4. Abram-se os terminais e mede-se resistncia. 5. A leitura feita multiplicando-se o valor indicado pelo ponteiro pelo mltiplo da escala selecionada.

Observaes:

Por causa da no-linearidade da escala, as leituras mais precisas no ohmmetro analgico so feitas na regio central da escala graduada.

No procedimento de ajuste de zero (item 3), caso o ponteiro no atinja o ponto zero, significa que a bateria do multmetro est fraca, devendo ser substituda.

O procedimento de ajuste de zero deve ser repetido a cada mudana de escala.

CUIDADOS!

1. Ateno ao medir tenses elevadas: - Maiores escalas do aparelho de medio (1000VDC 750VAC); - No tocar na parte metlica; - Verificar AC ou DC.

2. Nunca medir circuitos com alta tenso. - Equipamentos e treinamentos especiais

3. Colocao correta dos conectores e ponteiras. 4. No colocar os dedos (ou qualquer outra parte do corpo) nas partes metlicas. 5. JAMAIS MEDIR A RESISTNCIA DA REDE ELTRICA. 6. Na dvida, iniciar pelas maiores escalas.

9 - RESISTORES E CDIGOS DE CORES

Os resistores so componentes que tem por finalidade oferecer uma oposio (resistncia) passagem de corrente eltrica, atravs de seu material. A essa oposio damos o nome de resistncia eltrica, que possui como

unidade o ohm ( ). A resistncia de um condutor qualquer depende da sua resistividade do material, do seu comprimento e

da sua rea da seo transversal, de acordo com a frmula:

A

lR (2 Lei de Ohm)

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onde, R = resistncia do condutor, ohm [ ] l = comprimento do condutor, metro [m] A = rea da seo transversal, m2

= resistividade, m

Outro fator que influencia na resistncia de um material a temperatura. Quanto maior a temperatura do material, maior a sua agitao molecular. Devido a essa maior agitao molecular os eltrons tero mais dificuldade para passarem pelo condutor. Os resistores so classificamos em dois tipos: fixos e varireis. Os resistores fixos so aqueles cujo valor da resistncia no pode ser alterada, enquanto que os variveis podem ter sua resistncia modificada dentro de uma faixa de valores, atravs de um cursor mvel. Os resistores fixos so especificados por trs parmetros:

1. O valor nominal da resistncia eltrica. 2. A tolerncia, ou seja, a mxima variao em porcentagem do valor nominal. 3. A sua mxima potncia eltrica dissipada.

Exemplo: Tomemos um resistor 100 5% - 0,33 W.

1. O seu valor nominal de 100 . 2. A sua tolerncia de 5%, isso , o seu valor pode ter uma diferena de at 5% para mais ou para

menos do seu valor nominal. Como 5% de 100 igual a 5 , o menor valor que este resistor

pode ter 95 , e o maior valor 105 . 3. Esse componente pode dissipar uma potncia de at 0,33 watts.

Nomenclatura usual para resistores: 2500 = 2,5k = 2k5 Dentre os tipos de resistores fixos, destacamos os de fio, de filme de carbono e o de filme metlico.

9.1 - RESISTOR DE FIO: Consiste basicamente em um tubo cermico, que servir de suporte para enrolarmos um determinado comprimento de fio, de liga especial para obter-se o valor de resistncia desejado. Os terminais desse fio so conectados s braadeiras presas ao tubo. Alm desse, existem outros tipos construtivos, conforme mostra a figura 36.

Figura 36 - Resistores de fio.

Os resistores de fio so encontrados com valores de resistncia de alguns ohms at alguns kilo-ohms, e so aplicados onde se exige altos valores de potncia, acima de 5 W, sendo suas especificaes impressas no prprio corpo.

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9.2 - RESISTOR DE FILME DE CARBONO (DE CARVO): Consiste de um cilindro de porcelana recoberto por um filme (pelcula) de carbono. O valor da resistncia obtido mediante a formao de um sulco, transformando a pelcula em uma fita helicoidal. Sobre esta fita depositada uma resina protetora que funciona como revestimento externo. Geralmente esses resistores so pequenos, no havendo espao para impresso das suas especificaes, por isso so impressas faixas coloridas sobre o revestimento para a identificao do seu valor nominal e da sua tolerncia. A sua dimenso fsica identifica a mxima potncia dissipada.

Figura 37 - Resistor de filme de carbono.

9.3 - RESISTOR DE FILME METLICO: Sua estrutura idntica ao de filme de carbono. A diferena que este utiliza liga metlica (nquel-cromo) para formar a pelcula, obtendo valores mais precisos de resistncia, com tolerncias de 1% a 2%. O custo dos resistores est associado a sua tolerncia, sendo que resistores com menores tolerncias tm custo mais elevado. Um bom projeto eletrnico deve considerar a tolerncia dos resistores a fim de diminuir o seu custo final. O cdigo de cores utilizado nos resistores de pelcula, visto na tabela 3.

Cor 1 Faixa 2 Faixa 3 Faixa 4 Faixa

1 Algarismo 2 Algarismo Fator Multiplicador Tolerncia

preto 0 0 x 100

marrom 1 1 x 101 1%

vermelho 2 2 x 102 2%

laranja 3 3 x 103

amarelo 4 4 x 104

verde 5 5 x 105

azul 6 6 x 106

violeta 7 7

cinza 8 8

branco 9 9

ouro x 10-1 5%

prata x 10-2 10%

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Tabela 3 - Cdigo de cores

Observao:

1. A ausncia da faixa de tolerncia indica que esta de 20% 2. Para os resistores de preciso encontramos cinco faixas, onde as trs primeiras representam o

primeiro, segundo o terceiro algarismo significativos e as demais, respectivamente, fator multiplicativo e tolerncia.

Valores padronizados para resistores de pelcula.

1 Srie: 5%, 10% e 20% de tolerncia

10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82

2 Srie: 2% e 5% de tolerncia

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

3 Srie: 1% de tolerncia

100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 127 130 133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174 178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309 316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549 562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976

A seguir, so apresentados alguns exemplos de leitura, utilizando o cdigo de cores: 1) 2)

3) 4)

5)

ouro vermelho violeta amarelo

47 x 100 5% = 4,7k 5% = 4k7 5%

prata preto preto marrom

10 x 1 10% = 10 10%

ouro ouro vermelho vermelho

22 x 0,1 5% = 2,2 5%

ouro verde azul verde

56 x 105 5% = 5,6M 5% = 5M6 5%

marrom preto cinza amarelo laranja

348 x 1 1% = 348 1%

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Alm da resistncia e da tolerncia, o resistor recebe uma capacidade nominal em watts. Isto ir indicar quanto calor este resistor pode suportar em uso normal sem queimar. A figura 38 mostra a capacidade em watts de resistores de carbono. Observe que a capacidade determinada pelo tamanho fsico.

Figura 38 - Tamanho fsico dos resistores de carbono em relao a sua potncia nominal.

9.5 - SIMBOLOGIA: Os smbolos de resistncia eltrica utilizados em circuitos so mostrados na figura 39.

Figura 39 - Simbologia para resistores fixos.

9.6 - RESISTNCIAS VARIVEIS: A resistncia varivel aquela que possui uma haste varivel para o ajuste manual da resistncia. Comercialmente, podem ser encontrados diversos tipos de resistncias variveis, tais como os potencimetros de fio e de carbono (com controle rotativo e deslizante), trimpot, potencimetro multivoltas (de preciso), reostado (para altas correntes) e a dcada resistiva (instrumento de laboratrio). Os smbolos usuais para essas resistncias variveis esto mostrados na figura 40.

Figura 40 - Simbologia para resistores variveis.

As resistncias variveis possuem trs terminais. A resistncia entre as duas extremidades o seu valor nominal (RN) ou resistncia mxima, sendo que a resistncia ajustada obtida entre uma das extremidades e o terminal central, que acoplado mecanicamente haste de ajuste, conforme mostra a figura 41.

Figura 41 - Resistncia varivel.

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A resistncia varivel, embora possua trs terminais, tambm um bipolo, pois, aps o ajuste, ele se comporta com um resistor de dois terminais como o valor desejado. Uma resistncia varivel pode ser linear, logartmica, exponencial ou outra conforme a variao de seu valor em funo da haste de ajuste. Os grficos da figura 42 mostram a diferena de comportamento da resistncia entre um potencimetro rotativo linear e um potencimetro rotativo logartmico.

Figura 42 - Curvas de um potencimetro linear e um logaritmo.

Exerccios: 1. Determine a seqncia de cores para os resistores abaixo:

a) 10k 5%

b) 390 10%

c) 5,6 2%

d) 715 1%

e) 0,82 2% 2. O que determina o valor hmico em um resistor de filme de carbono? 3. Qual o parmetro que definido atravs das dimenses fsicas de um resistor? 4. Cite um exemplo de aplicao que voc conhece do resistor de fio.

10 - LEIS DE OHM

A primeira Lei de Ohm diz: A tenso aplicada atravs de um bipolo hmico igual ao produto da corrente pela resistncia. Esta afirmao resulta em trs importantes equaes que podem ser utilizadas para calcular qualquer um dos trs parmetros tenso, corrente e resistncia a partir de dois parmetros. Essa lei representada pela expresso: 10.1 - 1A LEI DE OHM

IRV . (1 Lei de Ohm) onde, V = tenso aplicada, volts [V]

R = resistncia eltrica, ohm [ ] I = intensidade de corrente, ampre [A] Levantando-se, experimentalmente, a curva da tenso em funo da corrente para um bipolo hmico, teremos uma caracterstica linear, conforme a figura 43.

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Figura 43 - Curva caracterstica de um bipolo hmico.

Dessa curva, temos tg = V/ I, onde conclumos que a tangente do ngulo representa a resistncia eltrica

do bipolo, portanto, podemos escrever que: tg = R. Notar que o bipolo hmico aquele que segue esta caracterstica linear, sendo que qualquer outra no linear, corresponde a um bipolo no hmico. Para levantar a curva caracterstica de um bipolo, precisamos medir a intensidade de corrente que o percorre e a tenso aplicada aos seus terminais, para isso montamos o circuito da figura 44, onde utilizamos como bipolo um resistor R.

Figura 44 - Circuito para levantar a caracterstica de um bipolo hmico.

O circuito consiste de uma fonte varivel, alimentando o resistor R. Para cada valor de tenso ajustado, teremos um respectivo valor de corrente, que colocamos numa tabela, possibilitando o levantamento da curva conforme mostra a figura 45.

V(V) I(mA)

0 0

2 20

4 40

6 60

8 80

10 100

Figura 45 - Tabela e curva caracterstica do bipolo hmico.

Da curva temos:

1001060100

6103I

VRtg

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10.2 - CONDUTNCIA

Chama-se de condutncia (G) o inverso da resistncia (R): R

1G

G = condutncia, siemens [S] ou mho [ -1]

R = resistncia [ ] Exerccios:

1. Qual a intensidade da corrente eltrica que passa por uma resistncia de 1k submetida a uma tenso de 12 V?

2. Por uma resistncia de 150 passa uma corrente eltrica de 60 mA. Qual a queda de tenso que ela provoca no circuito?

3. Por uma resistncia passa uma corrente de 150 A, provocando uma queda de tenso de 1,8 V. Qual o valor dessa resistncia?

11 - POTNCIA ELTRICA

Aplicando-se uma tenso aos terminais de um resistor, estabelecer-se- uma corrente que o movimento de cargas eltricas atravs deste. O trabalho realizado pelas cargas eltricas, em um determinado intervalo de tempo, gera uma energia que transformada em calor por Efeito Joule e definida como Potncia Eltrica. Numericamente, a potncia igual ao produto da tenso e da corrente, resultando em uma grandeza cuja unidade o watt (W). Assim sendo, podemos escrever:

IVPt

onde: = trabalho

t = intervalo de tempo (s) P = potncia eltrica (W) Utilizando a definio da potncia eltrica juntamente com a Lei de Ohm, obtemos outras relaes usuais:

IVP IRV Substituindo, temos:

IIRP 2IRP Analogamente:

R

VI

R

VVP

R

VP

2

O efeito trmico, produzido pela gerao de potncia, aproveitado por inmeros dispositivos, tais como: chuveiro, secador, ferro eltrico, soldador, etc. Esses dispositivos so construdos basicamente por resistncias, que alimentadas por tenses e conseqentemente percorridas por correntes eltricas, transformam energia eltrica em trmica. Exerccios: 1. No circuito da figura abaixo, sabendo que a lmpada est especificada para uma potncia de 900 mW quando

alimentada por uma tenso de 4,5 V, determine:

a) A corrente consumida pela lmpada.

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b) A resistncia da lmpada nessa condio de operao.

2. Considere um resistor com as seguintes especificaes: 1k - W a) Qual a corrente Imx e a tenso Vmx que ele pode suportar? b) Que potncia P ele dissipa caso a tenso aplicada V fosse metade de Vmx? c) Quanto vale a relao Pms/P e qual concluso podem ser tiradas?

12 - CIRCUITOS SRIE E PARALELO

12.1 - CIRCUITO SRIE: Neste tipo de associao os resistores esto ligados de forma que a corrente que passa por eles seja a mesma, e a tenso total aplicada aos resistores se subdivida entre eles proporcionalmente aos seus valores. Pela Lei de Kirchhoff das Tenses, a soma das tenses nos resistores igual tenso total aplicada E, conforme mostra a figura 54.

Figura 46 - Associao srie de resistores.

E = V1 + V2 + ... + Vn Substituindo as tenses nos resistores pela Lei de Ohm (V = R.I), tem-se:

E = R1 I + R2 I + + Rn I E = I (R1 + R2 + + Rn)

Dividindo a tenso E pela corrente I, chega-se a: nRRRI

E21

O resultado E/I corresponde resistncia equivalente Req da associao srie, isto , a resistncia que a fonte de alimentao entende como sendo a sua carga. Caso particular: Se os n resistores da associao srie forem todos iguais a R, a resistncia equivalente pode ser calculada por: Em um circuito srie, a potncia total PE fornecida pela fonte ao circuito igual soma das potncias dissipadas

pelos resistores. Portanto, a potncia total PE = E I fornecida pela fonte igual potncia dissipada pela

resistncia equivalente Peq = Req I2

Exemplo: 1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por quatro resistores ligados em srie, determine:

Req = R1 + R2 + + Rn

Req = n R

PE = P1 + P2 + + Pn = E I = Req I2

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a) A resistncia equivalente do circuito srie.

Req = R1 + R2 + R3 + R4 = 1k + 2k2 + 560 + 1k5 Req = 5260 = 5k26

b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito.

mAR

EI

eq

56,41056,400456,05260

24 3

c) A queda de tenso provocada por cada resistor.

ER1 = R1 I = 1k 4,56 10-3 ER1 4,56 V

ER2 = R2 I = 2k2 4,56 10-3 ER2 10,03 V

ER3 = R3 I = 560 4,56 10-3 ER3 2,55 V

ER4 = R4 I = 1k5 4,56 10-3 ER4 6,84 V

2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Tenses (LKT) se os resultados do item 1c esto corretos.

LKT: A soma algbrica das tenses que elevam o potencial do circuito igual soma das tenses que causam a queda de potencial, logo:

E = ER1 + ER2 + ER3 + ER4 = 4,56 + 10 + 2,55 + 6,84 = 23,98

3) Mostre que: PE = P1+ P2 + P3 + P4 = PReq.

PE = E I = 24 4,56 10-3 = 109,44 mW

PReq = Req I2 = 5260 (4,56 10-3)2 = 109,37 mW

Pi = P1 + P2 + P3 + P4 = R1 IR12 + R2 IR2

2 + R3 IR32 + R4 IR4

2

Pi = 1k (4,56 10-3)2 + 2k2 (4,56 10-3)2 + 560 (4,56 10-3)2 + 1k5 (4,56 10-3)2=

Logo, PE PReq Pi 12.2 - CIRCUITO PARALELO: Neste tipo de associao os resistores esto ligados de forma que a tenso total E aplicada ao circuito seja a mesma em todos os resistores, e a corrente total do circuito se subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus valores. Pela Lei de Kirchhoff para Correntes, a soma das correntes nos resistores igual corrente total I fornecida pela fonte:

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Figura 47 - Associao paralela de resistores.

I = I1 + I2 + + In Substituindo as correntes nos resistores pela Lei de Ohm (I = E/R), tem-se:

nn RRREI

R

E

R

E

R

EI

111

2121

Dividindo a corrente I pela tenso E, chega-se a: nRRRE

I 111

21

Chama-se de condutncia o inverso da resistncia: R

G1

O resultado I/E corresponde condutncia equivalente da associao paralela. Invertendo esse valor, obtm-se, portanto, a resistncia equivalente REQ que a fonte de alimentao entende como sendo a sua carga.

Isso significa que, se todos os resistores dessa associao forem substitudos por uma nica resistncia de valor Req, a fonte de alimentao E fornecer a mesma corrente ao circuito.

Assim, a relao entre as potncias envolvidas : PE = P1 + P2 + + Pn = PReq Casos particulares:

1 - Se os n resistores da associao paralela forem todos iguais a R, a resistncia equivalente pode ser calculada por:

2 No caso especfico de dois resistores ligados em paralelo, a resistncia equivalente pode ser calculada por uma equao mais simples:

21

21

1

2

111

RR

RRR

RRReq

eq

Observao: Em textos sobre circuitos eltrico, comum representar dois resistores em paralelos por: R1//R2. Exemplo: 1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por trs resistores ligados em paralelo, determine:

a) A resistncia equivalente do circuito paralelo.

neq RRRR

1111

21

n

RReq

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neq RRRR

1111

21

74

1

1

1

33

11

kkkREq 72,659eqR

b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito.

mAR

EI

eq

19,1801819,072,659

12

A corrente que passa por cada resistor:

mAkR

EI R 64,300364,0

33

12

11

mAkR

EI R 12012,0

1

12

22

mAkR

EI R 55,200255,0

74

12

33

2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) se os resultados do item 1c esto corretos. LKT: A soma algbrica das correntes que chegam a um n igual soma das correntes que saem desse

n, logo: I = I1 + I2 + I3

333 105,21012106,374

12

1

12

33

12

kkkI I = 18,1mA

3) Mostre que: PE = P1 + P2 + P3 = PReq

PE = E I = 12 18,19 10-3 = 218,28 mW

PReq = Req I2 = 659,72 (18,19 10-3)2 = 218,28 mW

74

12

1

12

33

12 222

3

2

2

2

1

2

321kkkR

V

R

V

R

VPPPPi

Logo, PE PReq Pi 12.3 - CIRCUITO MISTO: Este tipo de associao formado por resistores ligados em srie e em paralelo, no existindo uma equao geral para a resistncia equivalente, pois ela depende da configurao do circuito. Assim, o clculo deve ser feito por etapas, conforme as ligaes entre os resistores. Exemplo: Considerando o circuito da figura abaixo, formado por diversos resistores ligados em srie e em paralelo, resolva os itens seguintes:

1) Determine RA = R6 // R7: 2) Determine RB = R4 + R5 + RA: 3) Determine RC = R3 // RB: 4) Determine RD = R2 + RC: 5) Determine Req = R1 // RD:

12.4 - CONFIGURAES ESTRELA E TRINGULO (Y- )

Existem certas configuraes de circuitos que no podem ser resolvidas somente pelas combinaes srie-

paralela. Estas configuraes podem ser freqentemente manuseadas pelo uso de uma transformao Y- . Esta

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transformao permite que trs resistores que formam uma configurao Y sejam substitudos por outros trs em

configurao , ou vice-versa. Os circuitos das figuras 56 e 57 so redes e Y, respectivamente.

Figura 48 - Configurao estrela.

Figura 49 - Configurao tringulo.

Se estas redes so equivalentes, a resistncia entre qualquer par de terminais deve ser a mesma, tanto

em Y como em . Trs equaes simultneas podem ser escritas expressando estas equivalncias de resistncias terminais, conforme mostra a tabela abaixo. A rede da Figura abaixo (a) chamada de rede em T ou rede em Y em virtude de sua forma. A rede da Figura (b) chamada de rede em p (pi) ou em D (delta) pela sua forma. Ao se analisar as redes muito til converter o tipo Y em D e vice-versa, para simplificar a soluo.

Converso Y- Converso -Y

3

32312112

R

RRRRRRR

231312

13121

RRR

RRR

2

32312113

R

RRRRRRR

231312

23122

RRR

RRR

1

32312123

R

RRRRRRR

231312

23133

RRR

RRR

Exemplos: 1. Converter a configurao abaixo de estrela para tringulo:

2. Determine a resistncia equivalente nica que substituir a rede da figura abaixo entre os terminais b e d.

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Soluo: No circuito da figura acima, nenhuma resistncia est diretamente em paralelo ou diretamente em srie.

Observe, todavia, que as sees bac e dac formam ambas uma rede ; qualquer uma delas pode ser convertida, numa equivalente Y, mostrada, na figura, por resistncias cinzas para o caso da seo bac. Os valores equivalentes so:

2844

841R 1

844

442R 2

844

483R

A rede que resulta da substituio da rede bac por uma equivalente Y mostrada na figura abaixo. Nesta rede, Rea e Rad esto ligadas em srie, como tambm as resistncias Rec e Rcd. Logo,

Read = 1 + 5 = 6 e Recd = 2 + 10 = 12 As resistncias Read e Recd esto ligadas em paralelo, logo;

4126

126edR

A resistncia de b para d uma combinao srie de Rbe e Red, portanto;

Rbd = 2 + 4 = 6 12.5 - CIRCUITO PONTE DE WHEATSTONE A ponte de Wheatstone (circuito da Figura 8) pode ser usada para se medir uma resistncia desconhecida Rx. A chave S2 aplica a tenso da bateria aos quatro resistores da ponte. Para equilibrar a ponte, o valor de R3

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varivel. O equilbrio ou balanceamento indicado pelo valor zero lido no galvanmetro G quando a chave S1 estiver fechada. Para a ponte equilibrada, os pontos B e C tm o mesmo potencial. Logo, IxRx=I1R1 (1) e IxR3=I1R2 (2) Dividindo (1) por (2):

Figura 8 - Circuito da ponte de Wheatstone.

13 - ANLISES DE CIRCUITOS CC

13.1 - INTRODUO As tcnicas de anlise de circuitos CC so de grande valia quando se quer calcular parmetros de circuitos que possuem mais de uma fonte de energia, como o caso de vrios sistemas eletrnicos e eltricos de potncia. Um circuito genrico possui NS E RAMOS. Um n um ponto de juno de dois ou mais elementos de circuitos. O n principal aquele que conecta pelo menos trs elementos de circuitos e possui uma equao nodal considervel (BARTKOWIAK, 1994). O n secundrio conecta apenas dois elementos e um n trivial. Qualquer caminho entre dois ns chamado de ramo.

Ento, baseados nas definies acima, ns podemos dizer que um circuito complexo se h duas ou mais fontes

Figura 50 - Exemplo de n.

13.1.3 - MALHA: Qualquer parte de um circuito eltrico cujos ramos formam um caminho fechado para a corrente.

Figura 51 - Exemplo de malha.

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13.2 - PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF

A primeira lei conhecida como Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ou Lei dos Ns ou Lei das Correntes e esta diz que:

1.A soma algbricas de todas as correntes em um n deve ser Zero. Quando esta lei utilizada, adota-se, arbitrariamente, as correntes que entram no n como positivas e as correntes que saem do n como negativas (ou vice-versa, desde que se seja consistente). Na figura 49 a equao para o n a :

Figura 52 Correntes entrando e saindo de um n.

+ I1 + I2 - I3 - I4 = 0 I1 + I2 = I3 + I4 Exemplo: No circuito da figura 50, so conhecidos os valores de I1, I2 e I4. Determine I3, I5 e I6.

Figura 53 Circuito exemplo para LKC.

I1 + I3 - I2 = 0 2 + I3 - 6 = 0 I3 = 4 A

I2 - I4 - I5 = 0 6 - 3 - I5 = 0 I5 = 3 A

I5 - I1 - I6 = 0 3 - 2 - I6 = 0 I6 = 1 A

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13.3 - SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF

A segunda lei conhecida como Lei de Kirchhoff das Tenses (LKT) ou simplesmente, Lei das Tenses, porm, antes de enunciar essa lei necessrio analisar um outro comportamento possvel para as fontes de tenso num circuito eltrico. Num circuito eltrico formado por mais de uma fonte de alimentao, possvel que em alguma fonte a corrente entre pelo plo positivo e saia pelo plo negativo. Nesse caso, ao invs de elevar o potencial do circuito, a fonte estaria provocando a sua queda, isto , ao invs de gerador, ela estaria funcionando como um receptor ativo.

A Lei de Kirchhoff das Tenses diz que:

"A soma algbrica de todas as tenses tomadas num sentido determinado, em torno de um caminho fechado,

deve ser nula". A segunda lei uma conseqncia do princpio de conversao da energia e equivale igualar a energia de entrada de sada. Ao escrever as equaes LKT, podemos seguir o caminho em qualquer sentido (horrio ou anti-horrio) e somar as subidas ou as quedas de tenso (considerando positivas as que vo de - para + ou vice-versa desde que se seja consistente).

Figura 54 - Lei de Kirchhoff das Tenses.

+ E2 + E3 - V2 - V3 - E1 - V1 = 0 E2 + E3 = V2 + V3 + E1 + V1 Exemplo: 1- No circuito abaixo, so conhecimentos os valores de E1, E2, V3 e V4. Determine V1 e V2.

Equaes: + E1 V2 V1= 0 (I) + E1 + V3 E2 + V4 V1 = 0 (II) + V3 E2 + V4 + V2 = 0 (III)

Substituindo os valores em (II), temos: + 10 + 5 20 + 8 V1 = 0 V1 = 3 V

Substituindo os valores em (I), temos: + 10 V2 V1 = 0 V2 = 7 V - Fazendo uma confirmao de resultados

Substituindo os valores em (III), temos: + 5 20 + 8 + V2 = 0 V2 = 7 V

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2 No circuito abaixo so conhecidos os valores de E1, E3, V1, V2 e V4. Determine E2 e V3 para que a Lei de Kirchhoff para Tenses seja vlida.

Figura 55 - Circuito exemplo.

Obs. As polaridades de V1, V2 e V4 no so conhecidas. Equaes: + E1 - V1 V2 + E2 = 0 (I) - E3 + V3 - E2 + V2 + V4 = 0 (II) - E1 V3 + E3 V4 + V1 = 0 (III) Substituindo os valores em (I), temos: + 15 17 - 8 + E2 = 0 E2 = 10V Substituindo os valores em (II), temos: - 25 + V3 - 10 + 8 + 5 = 0 V3 = 22 V 13.4 - MTODO DAS MALHAS

Uma malha qualquer percurso fechado de um circuito (GUSSOW, 1996). Ao se resolver um circuito utilizando as correntes nas malhas, preciso escolher previamente os percursos que formaro as mesmas. Em seguida, para cada malha designada a sua corrente, sendo utilizado, por convenincia, o sentido horrio. Aplicando-se a LKT ao longo dos percursos de cada malha, encontra-se as equaes que determinaro as correntes de malha desconhecidas.

Na Figura 2 tem-se um circuito com duas malhas (1 e 2). O procedimento para se determinar as correntes I1 (malha 1) e I2 (malha 2) :

Figura 2 - Um circuito CC com duas malhas.

1 passo: escolher as malhas e mostrar as correntes respectivas no sentido horrio, indicando a polaridade de tenso para cada resistor, de acordo com o sentido adotado para a corrente. O fluxo convencional de corrente num resistor produz uma polaridade positiva onde a corrente entra.

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- 2o passo: aplicar a LKT ao longo de cada malha, percorrendo cada malha no sentido da corrente da malha. Pelo fato de haver duas correntes diferentes que fluem em sentidos opostos num mesmo resistor, aparecem dois conjuntos de polaridades para o mesmo (no caso da Figura 1, no resistor R2).

Percorrendo a malha 1 no sentido abcda e aplicando a

tem-se:

Equao geral

+ VA I1R1 I1R2 + I2R2 = 0 + VA I1.(R1 + R2) + I2R2 = 0

I1.(R1 + R2) - I2R2 = VA (4)

Para a malha 2, percorrendo a mesma no sentido adefa:

- I2R2 + I1R2 I2R3 VB = 0

I1R2 I2.(R2 + R3) = VB (5)

- 3o passo: calcular as correntes I1 e I2 atravs das Equaes (4) e (5).

- 4o passo: com as correntes conhecidas, calcular todas as quedas de tenso atravs dos resistores utilizando a Lei de Ohm.

- 5o passo: verificar a soluo das correntes das malhas percorrendo a malha abcdefa (malha mais externa que engloba as malhas 1 e 2):

VA I1R1 I2R3 VB = 0 (6)

13.5 - CONSIDERAES PARA SISTEMAS DE MALHAS GENRICAS Tenha em mente que circuitos com duas ou mais fontes de tenso isolada no podem ser resolvidos usando os mtodos vistos at aqui. Estudaremos um mtodo para analisar circuitos como o da figura abaixo.

A abordagem sistemtica descrita a seguir deve ser seguida quando se aplicar este mtodo.

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Primeiro passo:

a) Associe uma corrente no sentido horrio a cada malha fechada independente do circuito. b) No absolutamente necessrio escolher o sentido horrio para todas as correntes de malha. c) De fato, podemos escolher qualquer sentido para cada uma dessas correntes sem alterar o

resultado, enquanto todos os outros passos so seguidos corretamente. d) Entretanto, escolhendo o sentido horrio como um padro podemos desenvolver um mtodo

mais rpido para escrever as equaes necessrias, o que poupar tempo e possivelmente evitar alguns dos erros mais comuns.

O primeiro passo realizado com mais eficcia quando colocamos uma corrente de malha dentro de cada janela do circuito, para assegurar que todas sejam independentes. No importa como sejam escolhidas suas correntes de malha, o nmero de correntes deve ser igual ao nmero de janelas do circuito plano (sem intersees).

A corrente no resistor de 4 F no I1, pois ele tambm percorrido pela corrente I2. Como elas possuem sentidos opostos, I de 4 F a diferena entre I1 e I2. Em outras palavras, uma corrente de malha coincide com uma corrente de ramo somente

quando ela a nica corrente que percorre este ramo. Segundo passo:

Indique as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente postulado para esta malha.

Observe a necessidade de que sejam assinaladas polaridades para todos os componentes de todas as malhas.

Terceiro passo: Aplique a Lei de Kirchhoff para tenses em todas as malhas, no sentido horrio. Novamente, o sentido horrio foi escolhido para manter a uniformidade e tambm com o intuito

de nos preparar para o mtodo a ser introduzido na prxima seo.

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a) Se um resistor percorrido por duas ou mais correntes, a corrente total que o atravessa dada pela corrente da malha qual a lei de Kirchhoff est sendo aplicada mais as correntes de outras malhas que o percorrem no mesmo sentido e menos as correntes que o atravessam no sentido oposto. b) A polaridade de uma fonte de tenso no afetada pela escolha do sentido das correntes nas malhas.

Quarto passo: Resolva as equaes lineares simultneas resultantes para obter as correntes de malha.

O sinal negativo indica que as correntes possuem sentido oposto ao escolhido para as correntes de malha. A corrente no resistor de 4 determinada pela seguinte equao do circuito original:

Para a primeira figura apresentada temos as equaes:

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13.6 - MTODO DOS NS

Um outro mtodo para se resolver um circuito com correntes de malhas utiliza as quedas de tenso para determinar as correntes num dado n. Escreve-se as equaes dos ns para as correntes, satisfazendo a LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes). A cada n, num circuito, se associa uma letra ou um nmero.

Na Figura 3, A, B, G e N so ns, e G e N so ns principais ou junes. Uma tenso de n a tenso de um dado n com relao a um determinado n chamado de n de referncia, o qual o n onde est representada o terra do circuito.

Assim:

VAG a tenso entre os ns A e G; VBG a tenso entre os ns B e G e VNG a tenso entre os ns N e G. Como o n G um n de referncia comum, pode-se identificar simplesmente estas tenses como VA, VB e VN.

Figura 3 Os ns num circuito com duas malhas.

O nmero de equaes necessrias igual ao nmero de ns principais (n) menos 1, isto :

Equaes necessrias = n 1.

Os passos necessrios para se escrever as equaes tendo como base a Figura 3 so:

- 1o passo: adotar o sentido das correntes como mostrado e indicar os ns (A, B, N e G). Identificar a polaridade da tenso em cada resistor de acordo com o sentido considerado para a corrente.

- 2o passo: aplicar a LKC para o n principal e resolver as equaes para resolver VN.

(7)

Pela Lei de Ohm, as correntes I1, I2 e I3 so facilmente encontradas por:

Substituindo-se I1, I2 e I3 em (7) encontra-se:

(8)

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Outro mtodo para resolver um circuitos com correntes de malhas utiliza as quedas de tenso para determinar as corrente em um n. Escreve-se, ento, as equaes dos ns para as correntes, de forma a satisfazer a lei de Kirchhoff para a corrente, de forma a satisfazer a lei de Kirchhoff para a corrente. Resolvendo as equaes dos ns, podemos calcular as tenses desconhecidas dos ns. Um n uma conexo comum a dois ou mais componentes. Um n principal possui trs ou mais conexes. Num circuito, associa-se uma letra ou um nmero a cada n

Uma tenso de n a tenso de um determinado n com relao a um n em particular, denominado de n de referncia.

Substituindo na primeira equao, temos:

Se VA, VB, R1, R2 e R3 forem conhecidos, V pode ser calculado a partir da equao acima. Assim, todas as quedas de tenso e as correntes do circuito podem ser determinadas. 13.7 - DIVISORES DE TENSO

Na associao srie de resistores, vimos que a tenso da fonte de alimentao se subdivide entre os resistores, formando um divisor de tenso.

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Podemos deduzir uma equao geral para calcular a tenso Vi no resistor Ri dada por:

Vi = Ri I (I) Mas a corrente I que passa pelos resistores em srie vale:

eqR

EI (II)

Substituindo a equao (II) na equao (I), obtm-se a equao geral do divisor de tenso: No caso de um divisor de tenso formado por dois resistores, conforme a figura 58, as expresses de V1 e V2 so:

Figura 56 - Circuito divisor de tenso.

ERR

RV

21

11 e E

RR

RV

21

22

13.8 - DIVISORES DE CORRENTE

Em uma associao paralela de resistores, vimos que a corrente fornecida pela fonte de alimentao se subdivide entre os resistores, formando um divisor de corrente.

Figura 57 Circuito divisor de corrente.

Podemos deduzir uma equao geral para calcular a corrente Ii num determinado resistor Ri da associao em funo da corrente total I ou da tenso E aplicada. Como os resistores esto em paralelo, a tenso E da fonte de alimentao aplicada diretamente em cada resistor. Assim, a equao geral do divisor de corrente em funo de E :

ii

R

EI (I)

Mas a tenso E aplicada associao paralela vale: IRE eq (II)

Substituindo a equao (II) na equao (I), obtm-se a equao geral do divisor de corrente em funo de I:

IR

RI

i

eq

i .

No caso de um divisor de corrente formado por dois resistores, podem-se deduzir facilmente as equaes de I1 e I2, que ficam como segue:

ER

RV

eq

ii

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Figura 58 Circuito divisor de corrente formado por 2 resistores.

IRR

RI

21

21 e I

RR

RI

21

12

14 - TCNICAS GERAIS DE ANLISE DE CIRCUITOS

No presente texto sero abordados alguns teoremas de circuitos eltricos empregados freqentemente em anlises de circuitos. Esses teoremas tm como objetivo principal simplificar a anlise de circuitos. Os teoremas relatados neste captulo so: Thevenin, Norton, superposio, e mxima transferncia de potncia e Millman 14.1 - TEOREMA DE THVENIN

RTH: a resistncia vista por trs dos terminais da carga quando todas as fontes so curto-circuitadas.

VTH: a tenso que aparece nos terminais da carga (AB) quando se desconecta o resistor RL. chamada tambm de tenso de circuito aberto.

O teorema de Thevenin consiste num mtodo usado para transformar um circuito complexo num circuito simples equivalente. Esse teorema afirma que qualquer rede linear de fontes de tenso e resistncias, se considerarmos dois pontos quaisquer da rede, pode ser substituda por uma resistncia equivalente RTh em srie com uma fonte equivalente VTh. A figura 64a mostra a rede linear original com os terminais a e b; a figura 64b mostra o equivalente Thevenin RTh e VTh, que pode ser substitudo na rede linear nos terminais a e b. A polaridade de VTh escolhida de modo a produzir uma corrente de a para b no mesmo sentido que na rede original. RTh a resistncia Thevenin vista atravs dos terminais a e b da rede com cada fonte de tenso interna curto-circuitada (se existirem fontes de correntes, estas so consideradas como circuitos abertos). VTh a tenso Thevenin que apareceria atravs dos terminais a e b com as fontes de tenso (e/ou corrente) no lugar e sem nenhuma carga ligada atravs de a e b.

Figura 59 - Equivalente Thevenin.

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Exemplo: Calcule o equivalente Thevenin visto dos terminais a e b do circuito da figura 65.

Figura 60 - Circuito linear.

Soluo: Para o clculo de RTh devemos curto-circuitar a fonte de tenso e calcular o resistncia equivalente vista dos terminais a e b.

Figura 61 - Clculo de RTh.

A tenso equivalente Thevenin a tenso vista a partir dos terminais a e b. Portanto;

Vkk

kVTh 7,8

5110

1010

Figura 62 - Circuito linear e seu equivalente Thevenin.

Exerccio 1

Calcule o circuito equivalente de Thevenin responsvel pela alimentao do resistor RL da Figura abaixo.

Exerccio 2

Obter o equivalente de Thevenin entre os terminais A e B do circuito da abaixo:

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Exerccio 3

Determine a potncia dissipada no resistor de 10 do circuito da figura abaixo utilizando o equivalente de Thevenin.

14.2 - TEOREMA DE NORTON

O teorema de Norton utilizado para simplificar uma rede em termos de correntes em vez de tenses.

A Resistncia RN obtida da mesma forma que RTH. O teorema Norton usado para simplificar uma rede em termos de corrente em vez de tenso. Para a anlise de correntes, este teorema pode ser usado para reduzir uma rede a um circuito simples em paralelo com uma fonte de corrente, que fornece uma corrente de linha total que pode ser subdividida em ramos paralelos. O teorema de Norton afirma que qualquer rede ligada aos terminais a e b da figura 68a pode ser substiuda por uma nica fonte de corrente IN em paralelo com uma nica resistncia RN, figura 68b. IN igual a corrente de curto-circuito atravs dos terminais ab (a corrente que a rede produziria atravs de a e b com um curto-circuito entre esses dois terminais). RN a resistncia nos terminais a e b, olhando por trs, a partir dos terminais abertos ab. O valor desse resistor nico o mesmo para os dois circuitos equivalentes: Norton e Thevenin.

Figura 63 - Equivalente Norton.

Exemplo: Calcule o equivalente Norton visto dos terminais a e b do circuito da figura 69. O primeiro passo para a soluo do problema fazer um curto-circuito entre os terminais a e b e aps calcular a corrente que passa por esse curto. Observe pela figura que a resistncia R2 foi curto-circuitada.

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Figura 64 - Curto-circuito entre os terminais a e b.

O circuito fica reduzido a uma fonte de tenso e um resistor. Logo, a corrente IN dada por:

mAIk

VI NN 67,6

51

10

A resistncia RN calculada da mesma forma que no teorema Thevenin, logo:

Figura 65 - Clculo de RN.

O equivalente Norton apresentado na figura 71.

Figura 66 - Circuito linear e seu equivalente Norton.

Exerccio: Acrescente uma carga de 4k7 entre os terminas ab do circuito do equivalente Thevenin (figura 72) e calcule a corrente IL que passa pela carga. Repita o exerccio para o circuito do equivalente Norton (figura 73).

Figura 73 - Equivalente Thvenin Figura 73 - Equivalente Norton

mAIkK

VI LL 45,1

6000

7,8

7431

7,8

mAI

kk

kI

RR

RI

L

NLN

NL

45,1

1067,67431

31 3

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Observando os resultados do exerccio acima (mesma corrente IL em ambos casos), conclumos que o circuito equivalente Thevenin (figura 72) corresponde ao circuito Norton equivalente (figura 73). Logo, uma fonte de tenso qualquer com uma resistncia em srie pode ser transformada em uma fonte de corrente equivalente com a mesma resistncia em paralelo e vice-versa, como mostra a figura 74.

Figura 67 - Circuitos equivalentes.

Para transformar um circuito formado por uma fonte de tenso em srie com uma resistncia em um circuito equivalente com uma fonte de corrente em paralelo com uma resistncia, devemos dividir a fonte de tenso pela resistncia. O inverso conseguido multiplicando-se a fonte de corrente pela resistncia, conforme mostra a figura 75.

Figura 68 - Transformao de circuitos equivalentes.

14.3 - TEOREMA DA MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA

Esse teorema trata da potncia mxima que se pode obter de um circuito linear qualquer. Sabe-se que qualquer circuito pode ser representado pelo circuito equivalente de Thevenin, ou seja:

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Ento, pode-se determinar o valor de resistncia RC que dissipar a mxima potncia da seguinte maneira:

Equao 1 Equao 2 Equao 3

Considerando Vth e Rth constantes, a equao 3 resulta no grfico da Figura abaixo.

Como se pode ver o grfico possui um ponto de mximo e isso coerente, pois:

Logo,

A mxima transferncia de potncia ocorre quando a carga tem resistncia igual resistncia de Thevenin do circuito. Logo, o valor da potncia mxima que pode ser dissipada pela carga ser

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