Apostila de matemática - raciocinio e operações- BOM

7/22/2019 Apostila de matemtica - raciocinio e operaes- BOM

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MATEMTICA ERACIOCNIO LGICO

Professora: Caren [email protected] Concurso: TRT 4/2010 Cargo Tcnico

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copyright 2010 CAREN - MATEMTICA citao permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.

MATEMTICA

OPERAES COM NMEROS INTEIROS:SOMA MULTIPLICAO+ com + ou - com - Soma e mantm o sinala) (+10) + (+8) = +18 b) (-10) + (-8) =-18

Mesmo sinal: +e) (+10) (+8) = +80f) (-10) (-8) = +80

+ com - Diferena e sinal do maior.c) (+10) + (-8) = +2 d) (-10) + (+8) = -2

Sinal diferente: -g) (+10) (-8) = -80

Prioridade das Operaes : Prioridade dos Parnteses :1 Raiz e Potncia 1 Parnteses ( )2 Diviso e Multiplicao 2 Colchetes [ ]3 Subtrao e Soma 3 Chaves { }ATENO:ENTRE PARNTESES E OPERAES PREVALECEM OS PARNTESES.

Observe a diferena:( ) ( )[ ] ( ) 36136594324 ++ =

SOLUO LENTA:( )[ ] ( )

[ ]

191867364247

36464428

36136594)324(

=+=+

=+

=++

SOLUORPIDA:( ) ( )[ ] ( )

[ ]191867

18464428

36136594324

=+

=+

=++

Agora sem parnteses...

2218110984

181330984

36136594324

=++

=++

=++

TABUADA:X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 455 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

01.Calcule o valor de cada uma das seguintes expresses numricas:a)31 + (- 40) : (+ 2) = b) 10 20 : (+ 4) =c)(+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) = d)(- 91) : 7 + 15 =e)7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 = f)(- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) =g)35 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) = h)81 : (- 9) 3 . (- 3) + (- 9) =

i)2 + (- 75) : (- 5) 4 . (-1) = j)46 : (- 23) + 7 4 . (+ 2) =l)8 . (- 11) + 200 : (+ 2) 12 = m)63 84 : (- 21) 3 . (+ 23) =


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MLTIPLOSNo conjunto dos NATURAIS, chamamos mltiplo de um nmero, todos os nmeros obtidos

multiplicando o nmero dado por todos os outros nmeros naturais.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }Exemplo:Mltiplos de 12 0, 12, 24, 36, ...Construindo outros conjuntos: Mltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ... Mltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ...A grande questo em multiplicidade saber se dado um nmero ele ou no mltiplo de outro...

Temos vrias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas:1) Podemos dizer que um nmero mltiplo de outro se construindo o conjunto de seus

mltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 mltiplo de 7 porque ele est noconjunto dos mltiplos de 7, como construmos acima, e sabemos tambm que 10 no mltiplo de 7porque ele no est. Porm esse mtodo muito primitivo visto que se o nmero fosse muito grandeteramos que construir o conjunto at l...

2)Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a diviso. Sabemos que se ao dividirmos doisnmeros o resto der zero ento o maior mltiplo do menor, observe:14 7 10 7

-14 2 -7 1

0 3 no

De qualquer forma esse mtodo normalmente no o mais rpido, por isso para os nmeros mais comunsdescobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqente se tornam as melhores ferramentas:

N divisvel por ... se ... Exemplo

2 for par 132, 423 a soma dos seus algarismos for mltiplo de 3 183, pois 1+8+3=12

4 os dois ltimos algarismos forem divisveis por 4 ouforem 00

97636, pois 36 divisvel por 4

5 terminar em zero ou em 5 80, 6556 for divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo 120, par e a soma 37 Regra muito difcil melhor dividir

8os trs ltimos algarismos forem divisveis por 8 ouforem 000 9480, pois 480 divisvel por 8

9 a soma dos seus algarismos for mltiplo de 9 819, pois 8 + 1 + 9 = 18

10 terminar em zero 90, 12011

a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dosalgarismos de ordem mpar der um mltiplo de 11

291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11e 22-11=11

DICA IMPORTANTE:Uma outra maneira de entender multiplicidade pensar que se um nmero N mltiplo de K, ento K

um nmero que est dentro de N. Veja um exemplo claro:60 mltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 360 mltiplo de 15 pois encontramos o 15 dentro do 60 = 15 460 mltiplo de 30 pois encontramos o 30 dentro do 60 = 30 260 mltiplo de 12 pois encontramos o 12 dentro do 60 = 12 5Daqui podemos dizer por exemplo que se um nmero mltiplo de 12, ento com certeza ele

mltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 tambm!Agora cuidado pois se um nmero for mltiplo de 3, no significa que mltiplo de 9 !


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EXERCCIOS:01.Consultando a tabela de divisibilidade de 2

at 11, os nmeros abaixo so mltiplos de quem?

a)778 b)1128 c)579d)663 e)1320 f)252g)23870 h)156 i)50402. Qual o MMC entre :a)33 e 80 b)12 e 64c)100 e 250 d)96 e 15003.Qual o MDC entre :a)240 e 780 b)65 e 156c)126 e 147 d)98 e 441e)426 e 213 f)165 e 38504.Quantos e quais so os divisores de:

a)900 b)160 c)252d)308 e)120 f)60

PERGUNTAS:01.Qual o maior mltiplo de 18 menor que 300?02.Calcular o nmero de divisores de 7000.03. Qual o menor nmero pelo qual se deve

multiplicar 480 para se obter um mltiplo de 112?04. Qual o menor nmero pelo qual se deve

multiplicar 56 para se obter um mltiplo de 88?

05. Determinar o MDC entre os nmeros 132,60 e 84.06. Determinar os dois nmeros menores

possveis pelos quais devemos multiplicar osnmeros 24 e 36, a fim de obtermos produtosiguais.07. Determinar todos os nmeros

compreendidos entre 1000 e 3000 que sejamdivisveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72.08. Trs navios fazem viagens entre dois

portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6

dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses naviospartido juntos, depois de quantos dias voltaram asair juntos novamente do mesmo local?09.Qual a diferena entre o MMC e o MDC dos

nmeros 121 e 330?10. Duas rodas de uma engrenagem tm

respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda temum dente estragado. Se num dado instante estoem contato os dois dentes quebrados, depois dequantas voltas esse encontro se repetir?11.Dois ciclistas percorrem uma pista circular

no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendopartido juntos, depois de quantos segundos seencontraro novamente no ponto de partida?

12.O MMC de dois nmeros 11352 e o MDC 6. Se um dos nmeros 264, qual o outro?13.Para a confeco de uma tela, dois rolos de

arame de 40m e 16m vo ser divididos em pedaosde mesma medida e a maior possvel, sem sobras.Quantos pedaos sero obtidos em cada rolo?14. O produto de dois nmeros naturais 875 e

o mdc entre eles 5. Determine o mmc dosnmeros.15. Numa certa Repblica, o Presidente deve

permanecer em seu cargo durante 4 anos, osSenadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em1929 houve eleies para os trs cargos, em queano se realizaro novamente juntas as eleies

para esses cargos?

QUESTES DE CONCURSOS:

01. (FUVEST 96) Qual dos cinco nmerosrelacionados abaixo, no um divisor de 1510 a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250

02. (UFRGS 92) Joo corre em uma pistacircular, dando uma volta completa a cada 36s.Pedro corre em sentido oposto, e encontra Joo acada 12s. O tempo que Pedro leva para dar umavolta completa a) 72s b) 36s c) 18s d) 12s e) 6s

03. (UFRGS 98) Se P o produto de todos osnmeros primos menores que 1000, o dgito queocupa a casa das unidades de P :a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9

04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de(610+1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7

05. (UFRGS 00) Se 1010n 7 = , ento n no mltiplo dea) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

06. (FUVEST 00) Se x e y so dois nos inteiros,estritamente positivos e consecutivos, qual dosnosabaixo necessariamente um inteiro mpar?a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2e) x + y + 1

07. (FUVEST 05) O menor nmero natural que

devemos adicionar a 987 para que a soma seja oquadrado de um nmero natural :a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33


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Determinando-se corretamente o valor dessasletras, ento, A + B C + D E igual aa) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7

21. (FCC 2007) Um tcnico judicirio foiincumbido da montagem de um manual referenteaos Princpios Fundamentais da ConstituioFederal. Sabendo que, excludas a capa e acontra-capa, a numerao das pginas foi feita apartir do nmero 1 e, ao conclu-la, constatou-seque foram usados 225 algarismos, o total depginas que foram numeradas a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126

22. (FCC 2008)O diagrama abaixo apresenta oalgoritmo da adio de dois nmeros inteiros, noqual alguns algarismos foram substitudos pelas

letras A, B, C, D e E.7 B 2 5 A+ D C B 5E 8 A 8 6

Determinando-se corretamente esses algarismos,verifica-se quea) A + C = 2 . D b) B + D = E c) B A = Dd) C = 2 . B e) C E = A

OPERAES COM NMEROS RACIONAISSo todas as fraes cujo numerador e denominador so nmeros inteiros e o denominador no zero.

NUMERADOR

DENOMINADOR

OPERANDO FRAES:

10

19

10

514

2

1

5

7=

+=+ MMC

21

10

3

2

7

5= EM LINHA

42210

6

3

20

6

10

3

20===

INVERTE O SEGUNDO EMULTIPLICA

42210

6

3

20

6

103

20

===

INVERTE O DEBAIXOE MULTIPLICA

Use sempre que possvel o cancelamento !

Um de cima com um debaixo...2

15

2

53

2

5

7

21

12

25

35

126===

126 e 12 do por 2 63 e 6 ambos do por 3 21 e 2e 35 e 25 do por 5 7 e 5 e ainda 21 d por 7 3

Comparao: Qual dos nmeros o maior?

19

1 &9

2 ? O maior 9

2 28

1 &6

1 ? O maior 6

1

310

9 &9

8 ?

Faa:90

81e90

80e compare que90

81 o maior e ento como90

81e equivalente a10

9 este o maior.

1 Se os denominadores forem iguais a maior frao aquela que tem MAIOR NUMERADOR.2 Se os numeradores forem iguais a maior frao aquela que tem MENOR DENOMINADOR.3 Se tudo for diferente, a primeira coisa IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1 regra.


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REGRAS DE POTNCIA

01. EXPOENTE ZERO

Todo n elevado a zero igual aum.

( ) 13 0 = ( ) 12 0 =

13

10

=

ATENO!! 130 =

02. EXPOENTE UMTodo n elevado a um, igual a ele mesmo.

( ) 33 1 = ( ) 33 1 =

2

1

2

11

=

( ) xx 1 =

03. EXPOENTE PARTRS CASOS(1) ( ) 93 2 +=+

(2) ( ) 93 2 +=

(3) 932 =

sem parnteses somente o n elevado ao expoente.

04. EXPOENTE MPARMANTM O SINAL!

( ) 823

= ( ) 823

=

05. EXPOENTE DE FRAES

16

9

4

32

=

8

1

2

13

=

06. EXPOENTE NEGATIVODeve-se inverter o n.

2121 = 913

2 =

33

11

=

4

9

3

22

=

07. EXPOENTE DE EXPOENTECOM PARNTESES

( ) 8224

2 =

+

MULTIPLICA OS EXPOENTES

08. EXPOENTE DE EXPOENTESEM PARNTESES

162422 =

09. BASES IGUAISMULTIPLICAO

Soma os expoentes nmnm aa.a +=

DIVISOSubtrai os expoentes

nmnm aaa =

POTNCIAS DE 10 (dez)

1000 =3

10 100 =2

10 10=1

10 1 =0

10 0,1 = 110 0,01 = 210 0,001 = 310 0,0001 = 410

QUANDO MAIOR QUE 1A potncia igual ao nmero de zeros

QUANDO MENOR QUE 1A potncia igual ao nmero de casas depois da vrgula (inclui o 1)

EXERCCIOS:01.Calcule:

a) ( )29+ = b) ( )29 = c) ( )39+ = d) ( )39 = e) ( )52+ =

f) ( )52 = g) ( )62 = h) ( )62+ = i) ( )101 = j) ( )43 =l) ( )37 = m) ( )0100 = n) ( )1011 = o) ( )225 = p) ( )610+ =q) ( )91 = r) ( )2001 = s) ( )030+ = t) ( )991+ = u) 1001 =

02.Calcule o valor das expresses:a) ( ) ( ) ( )1659 2 ++ = b) ( ) ( ) ( )74 1162 + =c) ( ) ( ) 022 1376 + = d) ( ) ( )232 435 + =e) ( ) ( )23 2054 + = f) ( ) 022 105411 + =

g) ( ) ( ) ( )722 162317 = h) ( ) ( )202 22064341 + =

i) ( ) ( ) 232 102527 = j) ( ) ( ) ( ) 132253 23 + =

03.Calcule o valor das seguintes expresses:

a)32

2

1

4

1

+

= b)23

3

2

3

1

= c)32

10

1

10

1

2

3

+ = d)

024

4

3

4

1

2

1

=


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04.Vamos calcular:a) 23 = b) 310 = c) 62 = d) 28 = e) ( ) 34 =

f) ( ) 210 = g) ( ) 19 = h)1

5

2

+ = i)

2

4

3

= j)

3

2

3

=

l)5

2

1

= m)

2

4

5

+ =

05.Escreva na forma de potncia com expoente inteiro negativo:a)0,01 b)0,00001 c)0,001


27.O valor de100

](0,1)2.[0,02 2 :

a) 0,0002 b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2

28.O valor numrico da expresson

nmn 2 para

m = 0,2 e n = -0,6 :

a)5

2 b)5

4 c)

5

2 d)

5

4 e)2

5

29. (UFRGS) O valor de n na igualdade

n3

33)(0

22

=+ :

a) 0 b) 1 c) 4 d) 12 e) 18

30.Se n um nmero inteiro positivo a expresso1nn 1)(1)( ++ tem por valor numrico:

a) 2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

31. Considerando as expresses108642 x.x.x.x.xA= e 97531 x.x.x.x.xB= e fazendo x

= -1 em ambas, ento BA igual aa) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

32.A representao decimal de 3)01,0( :a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001 d)0,000001 e) 0,0000001

33.(UCS) O valor de 35 105104y = :a) 202 b) 220 c) 3102 d) 151020 e) 4102

34.A expresso936

754

1.)1.(1

)1.(3)1.()1(

vale:

a) 2 b) -1 c) 0 d ) 1 e) 3

35.O valor da expresso 32

)2(3

2

+

:

a)8

17 b)178 c)

976 d)

769 e)

32

36.A expresso110.5

54

3

2

30

+

+

equivale a

a) 25 b)25

24 c) 24 d)25

1 e)24

25

37.O valor da expresso1

1

022

2

1)4(

3)2(2

+

+

a) -4

7 b) -4 c)4

7 d) 4 e) 0

38. (PUC) A expresso igual a

3/2

02222

8

18)3.(22.2 ++

a) 164 b) 83 c) 82 d) 45 e) 41

39.A metade de 444 a) 224 b) 222 c) 434 d) 442 e) 872

40. Substituindo x por -1 na expresso1003210 x.....xxxx +++++ , a mesma equivale a

a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100

41. (FUVEST 98) Qual desses nmeros igual a0,064?

a)2

80

1

b)2

8

1

c)3

5

2

d)2

800

1

e)3

10

8


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Exemplo 1: Dada a sucesso com moldura, decida, quais das sucesses seguintes so diretamenteproporcionaisa da moldura:

1

a)6, 8, 10, 12, 14b)9, 12, 15, 18, 21

c)7, 6, 5, 4, 3

d)3

1 ,4

1 ,5

1 ,6

1 ,7

1

e)3, -4, -5, -6, -7f)3, 4, 5, 6, 7

S N O cara 2

S N O cara 3

3, 4, 5, 6, 7S N

S NS N O cara -1S N

2 1, 2, 6, 10a)1, 4, 36, 100

b)0,1 ; 0,2 ; 0,6 ; 1c)5, 10, 30, 50

S N

S N O cara 10

S N O cara 5

Exemplo 2: Dada a sucesso com moldura, decida quais das sucesses seguintes so inversamenteproporcionaisa da moldura:

3

a)60, 20, 12, 6b)10, 5, 3, 1c) 30, 10, 6, 3

d)1,3

1 ,5

1 ,10

1

e)1, -3, -5, -10f)1, 3, 5, 10

S N O cara 60 Valor fixo!

S N

1, 3, 5, 10S N O cara 30 Valor fixo!

S N O cara 1 Valor fixo!S NS N

4 2, 4, 7

a)2, -4, -7

b) 21

, 41

, 71

c)0,2; 0,4; 0,7

S N

S N O cara 1 Valor fixo!S N

TTccnniiccaappaarraaeeffeettuuaarrddiivviisseesspprrooppoorrcciioonnaaiiss::Exemplo 3. Divida 420 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 :

Quantas so as partes? 3 + 5 + 6 = 14

Tenho 420 para dividir entre elas 3014

420=

30 representa o fator de proporcionalidade ou o quinho, o pedao que refaz a conta para ns.

Construindo a proporo temos:3 5 630

90 150 180Fazendo a prova real temos: 90 + 150 + 180 = 420.

Exemplo 4. Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 :Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 a mesma coisa que dividir 80 em partes

diretamente proporcionais a2

1 ,5

1 e10

1 , daqui repetimos o raciocnio anterior. Quantas so as partes?

2

1 +5

1 +10

1 =5

4

10

8

10

125==

++

Tenho 80 para dividir entre elas 1004

580

5

4

80==


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70. (UFRGS 92) Uma estrada de 315 km foi

asfaltada por 3 equipes; A, B e C, cada uma delasatuando, respectivamente, em um trechoproporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada quecoube equipe C foi dea) 70 km b) 96 km c) 105 km d)126 km e) 140 km

71. (FCC-2004) Num dado momento, noalmoxarifado de certa empresa, havia dois tiposde impressos: A e B. Aps a retirada de 80unidades de A, observou-se que o nmero de

impressos B estava para o de A na proporo de 9para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidadesde B e a proporo passou a ser de 7 de B paracada 5 de A. Inicialmente, o total de impressosdos dois tipos eraa)) 780 b) 800 c) 840 d) 860 e) 920

72. (FCC-2007) Dos 343 funcionrios de umaUnidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se queo nmero de homens est para o de mulheresassim como 5 est para 2. Assim sendo, nessaUnidade, a diferena entre o nmero de homens eo de mulheres a) 245 b) 147 c) 125 d) 109 e) 98

73. (FCC-2007) Dois tcnicos judiciriosdeveriam redigir 45 minutas e resolveram dividiresta quantidade em partes inversamenteproporcionais s suas respectivas idades. Se oprimeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, aidade do segundo, em anos, a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30

74. (FCC-2001) Dois funcionrios de umaRepartio Pblica foram incumbidos de arquivar164 processos e dividiram esse total na razo

direta de suas respectivas idades e inversa deseus respectivos tempos de servio pblico. Se umdeles tem 27 anos e 3 anos de tempo de servio eo outro 42 anos e est h 9 anos no serviopblico, ento a diferena positiva entre osnmeros de processos que cada um arquivou a) 48 b) 50 c)) 52 d) 54 e) 56

75. (FCC-2008) Certa noite, dois tcnicos emsegurana vistoriaram as 130 salas do edifcio deuma unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa

em partes inversamente proporcionais s suasrespectivas idades: 31 e 34 anos. O nmero desalas vistoriadas pelo mais jovem foia) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 6076. (FCC-2003) Dois funcionrios receberam aincumbncia de catalogar 153 documentos e osdividiram entre si, na razo inversa de suasrespectivas idades: 32 e 40 anos. O nmero dedocumentos catalogados pelo mais jovem foia) 87 b)) 85 c) 70 d) 68 e) 65

77. (FCC-2001) No quadro abaixo, tm-se asidades e os tempos de servio de dois tcnicosjudicirios do Tribunal Regional Federal de umacerta circunscrio judiciria.

Idade(em anos)

Tempo de Servio(em anos)

Joo 36 8Maria 30 12

Esses funcionrios foram incumbidos de digitar aslaudas de um processo. Dividiram o total de laudasentre si, na razo direta de suas idades e inversade seus tempos de servio no Tribunal. Se Joodigitou 27 laudas, o total de laudas do processoeraa) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44


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Regra de Trs Composta:ATENO: No caso da regra de trs composta para fazer as perguntas muito

importante pensar que o resto (o que fica fora da pergunta) deve ser considerado fixo!

Exemplo 1:Para alimentar 12 porcos durante 20 dias so necessrios 400kg de farelo. Quantos porcospodem ser alimentados com 600kg de farelo durante 24 dias?

Porcos Dias Farelo

12 20 400

x 24 6001 Pergunta: Considere farelo fixo, se tivermos que alimentar os porcos por mais dias,

alimentaremos mais ou menos porcos? MENOS+ DIAS - PORCOS IP2 Pergunta: Considere dias fixos, se tivermos mais farelo alimentaremos mais ou menos porcos?

MAIS+ FARELO + PORCOS DP

1 Soluo (frmula) : x = 1540024

6002012=

REGRA DA 2 SOLUO:1) Endireite todas as setas.2) Isole a frao do x e iguale ao produto de todas as outras.

2 Soluo : 400

600

24

20

12

x= x = 15

40024

6002012=

Exemplo 2:Se 4 operrios, trabalhando 8 horas por dia, levantam um muro de 30m de comprimento em

10 dias, qual o comprimento do muro (com a mesma largura e altura que o anterior) que 6 operrioserguero em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia ?

Operrios Horas/dia Comp. Dias

4 8 30 10

6 9 x 81 Pergunta: Considere horas/dia e dias fixos, se tiver mais operrios construiro um muro maior

ou menor? MAIOR+ OPERRIOS + MURO DP2 Pergunta: Considere operrios e dias fixos, se trabalharem mais horas todos os dias construiro

um muro maior ou menor? MAIOR+ HORAS/DIA + MURO DP3 Pergunta: Considere operrios e horas/dia fixos, se trabalharem menos dias construiro um

muro maior ou menor? MENOR- DIAS - MURO DP

1 Soluo ( frmula ) : x = 50,401084

89630=

2 Soluo : 10

8

8

9

4

6

30

x= x = 50,40

1084

89630=


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03.Uma adega de vinho abastece 35 homens por um ms, dando a cada um deles5

3 de litro por dia. Se

os homens ficassem reduzidos a 20 e se cada um deles recebesse4

3 de litro, quantos dias a adega

poderia abastec-los?04. Se 10 operrios, trabalhando 8h por dia, levam 5,5 dias para levantar uma parede de 22m decomprimento por 0,45m de espessura, em quanto tempo 16 operrios, trabalhando 12h por dia levantamoutra parede de 18m de comprimento 0,30m de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?05. Num livro de 200 pginas h quarenta linhas em cada pgina. Se cada pgina tiver 50 linhas, onmero de pginas do livro ser?

06.Usei 250 ladrilhos de 20cm X 60cm em4

3 de uma sala. Quantos usarei de 40cm X 10cm, para

ladrilhar o resto ?07.Um automvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 85km. Quantos quilmetros percorrer

com 45 litros de gasolina?08.Vinte operrios fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operrios seriam necessrios para fazer omesmo servio em 12 dias?09. Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o nmero dereprovados?10.Para equilibrar uma carga, colocam-se 25 objetos pesando 3kg cada um. Quantos objetos seriamnecessrios colocar, se eles pesassem 5kg ?11. Um operrio recebeu R$ 3.400,00 por 40 dias de trabalho; quanto teria recebido se tivessetrabalhado 11 dias a menos?12.Uma torneira despeja 1200 litros de gua em 8 horas. Quantos litros despejar se permaneceraberta 3 horas somente?13.Se 18 homens abrem um valo em 60 dias, quantos homens seriam necessrios para abrir o mesmovalo em 15 dias?14. Em um forte isolado, 75 soldados tm vveres para 168 dias. Se receberem um reforo de 25homens, para quantos dias daro os vveres, sem reduzir a rao diria?15. Para alimentar uma famlia de 6 pessoas, durante 2 dias, so necessrios 3 litros de leite. Paraaliment-la durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas, quantos litros de leite sero necessrios?16.Trabalhando 10 horas por dia, 6 operrios fizeram em 12 dias, 200 metros de corda. Quantos dias4 operrios levaro para fazer 320 metros, trabalhando 12 horas dirias, se a dificuldade do primeirotrabalho est para o segundo assim como 4 para 7?17. Um automvel percorre um certo trecho em 8h a velocidade de 60 km/h. Se sua velocidade fosse

90 km/h quanto tempo levaria para percorrer o mesmo trecho?18.Doze torneiras enchem 240m de gua em 12 horas. Quantas torneiras sero necessrias paraencher 170m em 34 horas?19.Cinco operrios realizam um trabalho em 72 dias. quantos dias levaro 8 operrios se o trabalho for3 vezes mais difcil?20.Quatro operrios fizeram 480 metros de um trabalho com um grau de dificuldade 1,2 em 24 dias.Quantos operrios devero ser contratados a mais, para fazerem 720 metros do mesmo trabalho, em 6dias a menos com um grau de dificuldade de 3?21.Por estar mal fechada a torneira de um reservatrio, perde-se 3 gotas de lquido por segundo. Quala quantidade de lquido perdida entre 7h e 45 min e 16h e 15 min, se 15 gotas desse lquido formam 1ml.22.Um relgio adianta-se por dia 1min e 10 s. Qual a correo a fazer aps 7 dias e 6 horas da ltima

realizada?23.Qual a razo entre 3 horas e 45 minutos?24.Qual a razo entre 5 minutos e 20 segundos e 10 minutos e 30 segundos?


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78. (UFRGS 95) Um ciclista, pedalando a umavelocidade constante v, percorreu 6km em 30min.

Se sua velocidade fosse5

3 de v, percorreria essa

mesma distncia ema) 20min b) 25min c) 35mind) 40min e) 50min

79. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veiculotm 4,25 metros de circunferncia cada uma.Enquanto as rodas dianteiras do 15 voltas, astraseiras do somente 12 voltas. A circunfernciade cada roda dianteira medea) 2,125 metros b) 2,25 metrosc) 3,4 metros d) 3,75 metrose) 5 metros

80. (UFRGS 07) Em 2006, segundo notciasveiculadas na imprensa, a dvida interna brasileirasuperou um trilho de reais. Em notas de R$50,00, um trilho de reais tem massa de 20.000toneladas. Com base nessas informaes, pode-seafirmar corretamente que a quantidade de notas

de R$ 50,00 necessrias para pagar um carro deR$ 24.000 tem massa, em quilogramas, dea) 0,46 b) 0,48 c) 0,50 d) 0,52 e) 0,54

81.(FUVEST 99) Um nadador, disputando a provados 400 metros, nado livre, completou osprimeiros 300 metros em 3 minutos e 51segundos. Se este nadador mantiver a mesmavelocidade mdia nos ltimos 100 metros,completar a prova ema) 4 minutos e 51 segundos

b) 5 minutos e 8 segundosc) 5 minutos e 28 segundosd) 5 minutos e 49 segundose) 6 minutos e 3 segundos.

82.(UFRGS 00) Considerando que um dia equivalea 24 horas 1,8 dias equivalem aa) 1 dia e 8 horas b) 1 dia e 18 horasc) 1 dia e 19 horasd) 1 dia, 19 horas e 2 minutose) 1 dia, 19 horas e 12 minutos

83.(UFRGS 01) 0,3 semanas corresponde aa) 2 dias e 1 hora

b) 2 dias , 2 horas e 4 minutosc) 2 dias, 2 horas e 24 minutosd) 2 dias e 12 horas e) 3 dias

84.(UFRGS 02) Os50

3 de um dia correspondem a

a) 1 hora, 4 minutos e 4 segundosb) 1 hora, 26 minutos e 4 segundosc) 1 hora, 26 minutos e 24 segundosd) 1 hora, 40 minutos e 4 segundose) 1 hora e 44 minutos

85. (UFRGS 04) Durante os jogos Pan-Americanos de Santo Domingo, os brasileirosperderam o ouro para os cubanos por 37centsimos de segundo nas provas de remo.Dentre as alternativas, o valor mais prximodesse tempo, medido em horas, a) 1,03 410 b) 1,3 410 c) 1,03 310 d) 1,3 310 e) 1,03 210

86. (FCC 2007) Em uma grfica, foramimpressos 1200 panfletos referentes direo

defensiva de veculos oficiais. Esse material foiimpresso por trs mquinas de igual rendimento,em 2 horas e meia de funcionamento. Paraimprimir 5000 desses panfletos, duas dessasmquinas deveriam funcionar durante 15 horas,(A) 10 minutos e 40 segundos.(B) 24 minutos e 20 segundos.(C) 37 minutos e 30 segundos.(D) 42 minutos e 20 segundos.(E) 58 minutos e 30 segundos.

87. (FCC 2003) Um funcionrio de umaRepartio Pblica iniciou seu trabalho s7h50min, executando ininterruptamente trstarefas que tiveram a seguinte durao: 1 hora e

15minutos,5

3 de uma hora e 95 minutos. Nessas

condies, ele terminou a execuo das trstarefas sa)) 11h16min. b) 11h12min. c) 10h48min.d) 10h46min. e) 10h18min.


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88. (FCC 2007)Durante todo o ms de marode 2007, o relgio de um tcnico estavaadiantando 5 segundos por hora. Se ele s foi

acertado s 7h do dia 2 de maro, ento s 7h dodia 5 de maro ele marcavaa) 7h5min b) 7h6min c) 7h15mind) 7h30min e) 8h

89. (FCC 2001)Certo dia, um tcnico judiciriotrabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50minutos na digitao de um texto. Se ele concluiu

essa tarefa quando eram decorridos16

11 do dia,

ento ele iniciou a digitao do texto s

a)) 13h40min b) 13h20min c) 13hd) 12h20min e) 12h10min

90. (FCC 2008) Sabe-se que, juntos, trsfuncionrios de mesma capacidade operacional socapazes de digitar as 160 pginas de um relatrio

em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessascondies, o esperado que dois deles sejamcapazes de digitar 120 pginas de tal relatrio se

trabalharem juntos durantea) 4 horas e 10 minutos.b) 4 horas e 20 minutos.c) 4 horas e 30 minutos.d) 4 horas e 45 minutos. e) 5 horas.

91. (FCC 2003) Suponha que quatro tcnicosjudicirios sejam capazes de atender, em mdia,54 pessoas por hora. Espera-se que seis tcnicos,com a mesma capacidade operacional dosprimeiros, sejam capazes de atender, por hora, a

quantas pessoas?a) 71 b) 75 c) 78 d)) 81 e) 85

QUESTES DE TORNEIRAS :Considere o seguinte problema:

H duas torneiras que podem ser abertas para encher um tanque com gua. Se abrirmos apenas aprimeira torneira, o tanque estar cheio aps 10 minutos. A segunda torneira, sozinha, enche o tanque

em 15 minutos.a)Qual das torneiras despeja mais gua por minuto? Primeirab)Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanqueestar cheio em menos de 10 minutos. Certo ou errado?

Sim, porque a primeira sozinhaconsegue isso.

c)Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanqueestar cheio em exatamente 5 minutos. Certo ou errado?

No porque a primeira enche meiotanque em 5 minutos, mas a outrano o faz.

d) Que frao do tanque a primeira torneira enche em umminuto? E a segunda? 10

1 ;15

1

e)Que frao do tanque as duas torneiras juntas enchemem um minuto? 10

1 +15

1 =6

1

f)Em quanto tempo, exatamente, as duas torneiras juntasenchem o tanque?

6 minutos.

TCNICA PARA ESTA QUESTO:

Exemplos:01.Uma torneira enche um tanque em 5h e outraem 7h. Em quanto tempo o tanque estar cheio,estando as duas torneiras abertas?Primeiro calcule a frao do tanque cheia em 1h

por torneira: 1) 51

do tanque em 1 hora; e a 2,

7

1 . Depois somar as fraes:5

1 +7

1 =35

12 .

Traduzindo, acabamos de saber que juntas as

duas torneiras enchem35

12 do tanque a cada hora.

Enfim, agora falta s a regra de trs:

35

12 1h

1 ?h

?h =12

35 =2,916666h =

2h + 0,916666 de h =2h + 0,916666 60 minutos =

2horas e 55 minutos

02. (UFRGS) Duas torneiras abertas ao mesmotempo enchem uma piscina em 6 horas.Separadamente uma delas demora 5 horas a mais


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que a outra. Chamando de x o tempo em horas emque enche a piscina de maior vazo tem-se :

a)6

5x

1

x

1=

++

b) x + ( x + 5 ) = 6c)

6

15

x

1

x

1=

++ d)

6

1

5

1

x

1

x

1=

++

e)6

1

5x

1

x

1=

++

Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchemuma piscina em 6 horas, portanto em 1 hora, elas

enchem6

1 da piscina. Sozinha, a torneira de

maior vazo enche a piscina em x horas, logo, em 1

hora enche x1

da piscina e a torneira de menorvazo demora 5 horas a mais para encher a

piscina, assim, em 1 hora ela enche5x

1

+ da

piscina. Montando a equao, temos:

6

1

5x

1

x

1=

++ . LETRA E

PERGUNTAS:01.Uma torneira enche um reservatrio em 2h

e outra o esvazia em 3h. Estando as duastorneiras abertas, em quanto tempo oreservatrio estar cheio?

02. Uma torneira enche um tanque em trshoras; outra o vazaria em quatro horas. Abertasas duas torneiras em quanto tempo ficaria otanque cheio ?

03.A primeira torneira enche um tanque em 3horas; a segunda torneira enche em 4 horas e aterceira enche em 5 horas. Abrindo-se as trssimultaneamente em quanto tempo o tanque ficar

cheio?04. Duas torneiras podem encher um tanque

em 3 e 4 horas respectivamente e uma vlvulapode esvazi-lo em 6 horas. Com as 3 abertas, em

quanto tempo ficam cheios8

5 do tanque?

05. Duas pessoas fariam, juntas um trabalhoem 4 dias. Uma delas, sozinha, levaria 6 dias. Emque tempo a outra faria o trabalho, s?

06. Um operrio tinha executado 1/3 de umtrabalho em 6 dias, quando chega um segundooperrio para auxili-lo, e juntos concluem oservio com mais 4 dias de trabalho. Em quanto

tempo executaria o segundo sozinho todo o mesmoservio?

07. Um reservatrio alimentado por duas

torneiras. A primeira pode ench-lo em 15 horas ea segunda em 12 horas. Conservando-se abertas asduas torneiras, a primeira durante 24 minutos e asegunda durante 20 minutos, que parte doreservatrio ficar cheia?


92. (UFRGS 91) (N3) Dois homens, trabalhandojuntos, podem fazer um trabalho em 20 dias. Se

trabalhassem sozinhos, um deles levaria 9 diasmais do que o outro para fazer o mesmo trabalho.Se o mais lento leva x dias para fazer o trabalhosozinho, o valor de x a soluo da equao

a) x + ( x + 9 ) = 20 b) 209x

1

x

1=

++

c)20

19

x

1

x

1=

++

d)20

1

9x

1

x

1=

++ e)

20

1

9x

1

x

1=

+

93. (FCC 2007) s 10 horas do dia 18 de maiode 2007, um tanque continha 9 050 litros de gua.Entretanto, um furo em sua base fez com que agua escoasse em vazo constante e, ento, s 18horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litrosde gua em seu interior. Considerando que o furono foi consertado e no foi colocada gua dentrodo tanque, ele ficou totalmente vazio sa) 11 horas de 02/06/2007.b) 12 horas de 02/06/2007.c) 12 horas de 03/06/2007.

d) 13 horas de 03/06/2007.e) 13 horas de 04/06/2007.

94. (FCC 2007) Trabalhandoininterruptamente, dois tcnicos judiciriosarquivaram um lote de processos em 4 horas. Se,sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9horas de trabalho ininterrupto, o esperado que ooutro fosse capaz de realiz-la sozinho setrabalhasse ininterruptamente por um perodo dea) 6 horas. b) 6 horas e 10 minutos.c) 6 horas e 54 minutos.d) 7 horas e 12 minutos. e) 8 horas e meia.


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PORCENTAGEM (%)

FAZENDO RAPIDAMENTE CONTAS QUE ENVOLVEM %

Pense que 10% = um dcimo da coisa e 1% um centsimo da coisa. A coisa 100%.Da para 20% pense que so dois 10%, 50% metade de 100% e assim por diante.

a) 10% de 37 = 3,7b) 1% de 12 = 0,12c) 5% de 15 = 1,5 2 = 0,75d) 20% de 42 = 2 4,2 = 8,4e) 17% de 52 = 5,2 (10%) + 2,6 (5%) + 1,04 (2%) = 8,84f) 100% de 25 = 25

g) 200% de 21 = 2 21 = 42h) 312% de 31 = 93 (300%) + 3,1 (10%) + 0,62 (2%) = 96,72

Podemos tambm trabalhar com noscom vrgula, por exemplo podemosdizer que 20% de x = 0,2x. Quandofizermos essa substituio (5% =0,05) dizemos que usamos taxa

unitriaao invs de porcentagem (%).Isso porque 100% = 1.

Saiba que x% de y a mesma coisa que y% de x. Procure a sempreverso mais simples da conta, compare:Fizemos 17% de 52... Agora faamos 52% de 17...Veja que fica bem mais fcil!!!!

EXEMPLOS DE PROBLEMAS COMUNS DE PORCENTAGEM

IMPORTANTE: O preo que equivale ao 100% aquele que sofrer alterao, normalmente o preo decusto, mas pode ser o preo da etiqueta...

01.Uma mercadoria comprada pelo dono de uma loja por R$ 30,00, mas a essa mesma mercadoria acrescido o lucro do dono da loja de 30%. Por quanto essa mercadoria vendida.Calcular 30% de R$30,00 = R$9,00 e acrescentar ao preo R$ 39,00

02.Uma loja vende uma mercadoria por R$ 253,00, sabendo que a loja tem um ganho de 15% nessamercadoria, qual o preo de custo dela? importante pensar que os R$ 253,00 equivalem 115%, visto que o preo de custo que sofreu oaumento de 15% era o 100%.

115% 253100% x x = 220115

25300

=

03.Um produto sofre, em cima do seu preo de custo, um reajuste de 30% e uma semana depois outrode 10%. No fim do ms o dono do atacado faz uma promoo dando desconto de 20%. Ao final de tudoisso o lucro deste comerciante de?Inventar quero preo R$ 100,00.

40,114143130100%20%10%30 ++

40,114100?LUCRO Lucro de 14,40%

CUIDADO:04.Suponha que o dono da loja da questo 01. faa uma promoo de 30% em qualquer mercadoria,

ento ele vender essa mercadoria:* pelo preo de custo ? * com lucro ? * com prejuzo ?


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Suponha um produto cujo preo de custo seja R$ 100,00, o dono da loja acrescenta lucro de 30% queequivale neste caso a R$30,00, ento o preo na prateleira de R$130,00, o consumidor que sabe queter um desconto de 30% faz a conta a partir do preo da etiqueta (que o 100% para ele), ento

ele calcula que ter um desconto de R$ 39,00 pagando por fim ( 130 39 ) R$ 91,00. Agora podemosobservar que o dono da loja ter um prejuzo de R$ 9, 00 que representa 9% j que toda a conta estbaseada em 100.CUIDADO: +30% -30% PREJUZO!!!!!!!!!!!!!!

05. O dono de uma loja compra uma mercadoria por R$ 100,00 e coloca um lucro de 30%. Qual odesconto mximo ( aproximadamente ) que ele pode dar sem que tenha prejuzo?

100130100%??%30 +

R$ 30,00 o mximo desconto em dinheiro que ele pode dar. O que queremos saber em porcentagemquando equivale os R$ 30,00.

130 100%

30 x x = 07,231303000

= O desconto mximo que pode dar de aproximadamente 23,07%.

Observao: Em problemas que pedirem o aumento, lembre-se de diminuir 100%.

CASO O PROBLEMA NO TENHA VALORESINVENTE VALORES! POR EXEMPLO DIGA QUE ERA 100.


99. Um lojista compra de seu fornecedor umartigo por x reais e o revende com lucro de 50%.A seguir, ao fazer uma liquidao, ele d, aoscompradores, um desconto de 35% sobre o preode venda desse artigo. Pode-se afirmar que essecomerciante tem, sobre x,a) prejuzo de 2,5% b) prejuzo de 15%c) lucro de 2,5% d) lucro de 10%e) lucro de 15%

100. Um comerciante aumentou o preo de suamercadoria de tal forma que, aps um desconto de20% no preo final, o preo resultante seria oinicial. O aumento foi dea) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

101. Num final de semana de vero, havia3.024.000 pessoas no litoral norte do Rio Grandedo Sul. Se no inverno a populao dessa regio de 270.000 habitantes, nesse final de semana oaumento da populao foi dea) 10,2% b) 102% c) 1000% d) 1020% e) 1120%

102.Um artigo de R$ 100,00 pode ser comprado, vista, com desconto de 10% ou, a prazo, com umpagamento de R$ 50,00 no ato da compra e outro,

tambm de R$ 50,00, um ms aps a compra. Quala taxa, ao ms, de juros pagos por quem opta pela

compra a prazo?a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%

103.O salrio bruto de uma pessoa dobrou, mas opercentual descontado sobre tal salriopermaneceu o mesmo. Dessa forma, o aumento dosalrio lquido foi:a) de 50% b) entre 50% e 100% c) de 100%d) entre 100% e 200% e) de 200%

104.Numa caixa de 120 frutas, 30 frutas esto

estragadas. A porcentagem de frutas boas :a) 25% b) 75% c) 85% d) 90% e) 100%

105.Com 20% de desconto, paguei R$ 640,00 porum livro. O preo sem desconto :a) R$ 900 b) R$ 768 c) R$ 800d) R$ 660 e) R$ 880

106. (UFRGS) A cada balano uma firma temapresentado um aumento de 10% em seu capital. Arazo da proporo formada pelos capitais nosbalanos :

a) 10 b)1011 c)

1110 d)

109 e)

101


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133. (UFRGS 99) Uma mercadoria que custa Rreais sofre um desconto de 60%. Um aumento de60% sobre o novo preo far com que a

mercadoria fique custando, em reais,a) 0,36R b) 0,40 R c) 0,60R d) 0,64R e) R

134.(UFRGS 99) Num semestre a inflao foi de32%, e, ao final dele, um trabalhador teve reposi-o salarial de 20%. Para que o poder de compradesse trabalhador fosse mantido no mesmo pata-mar do incio do semestre, o salrio j reajustadoem 20% deveria, ainda, sofrer um reajuste dea) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32%

135. (UFRGS 00) Considere os dados da tabelaabaixo referentes Populao EconomicamenteAtiva (PEA) de uma determinada regio.

Distribuio da PEA por Anos de Estudo, segundo SexoPEA

MasculinaPEA

FemininaAt 4 anos de estudo 60% 50%5 ou mais anos de estudo 40% 50%

100% 100%Se os homens so 60% da PEA dessa regio,homens e mulheres com 5 anos ou mais de estudo

representama) 36% da PEA da Regiob) 40% da PEA da Regioc) 44% da PEA da Regiod) 45% da PEA da Regioe) 54% da PEA da Regio

136. (FUVEST 01) Um comerciante deu umdesconto de 20% sobre o preo de venda de umamercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de20% sobre o preo que pagou pela mesma. Se o

desconto no fosse dado, seu lucro, emporcentagem, seria:a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60%

137. (UFRGS 01) Uma loja instruiu seusvendedores para calcular o preo de umamercadoria nas compras com carto de crdito,dividindo o preo vista por 0,80. Dessa forma ,pode-se concluir que o valor da compra com cartode crdito, em relao ao preo vista, apresentaa) um desconto de 20%

b) um aumento de 20%c) um desconto de 25%d) um aumento de 25%e) um aumento de 80%

138.(PUCRS 02) Em uma fbrica com 100 empre-gados, 1% do sexo masculino. O nmero demulheres que devem ser dispensadas para que a

mesma quantidade de homens represente 2% dototal a) 1 b) 2 c) 49 d) 50 e) 51

139. (FUVEST 02) Numa barraca de feira, umapessoa comprou mas, bananas, laranjas e peras.Pelo preo normal da barraca, o valor pago pelasmas, bananas, laranjas e peras correspondia a25%, 10%, 15% e 50% do preo total,respectivamente. Em virtude de uma promoo,essa pessoa ganhou um desconto de 10% no

preo das mas e de 20% no preo das peras. Odesconto assim obtido no valor total de suacompra foi de:a) 7,5% b) 10% c) 12,5% d) 15% e) 17,5%

140.(UFRGS 03) Se num determinado perodo odlar sofrer uma alta de 100% em relao ao real,no mesmo perodo o real, em relao ao dlar,sofrer uma

a) queda de100

1 %. b) alta de100

1 %.

c) queda de 50%.d) queda de 100%. e) queda de 200%.

141. (UFRGS 05) Uma pessoa gastava, em julhode 1994, apenas 100 reais para comprar o que , em

julho de 2004, custava 270 reais. De acordo comessa informao, o percentual mais prximo daperda do poder de compra de real nesse perodode 10 anos o da alternativaa) 37% b) 63% c) 80% d) 170% e) 270%

142. (FCC-2008) Do total de X veculos queentraram no estacionamento de um Tribunal emcerto dia, 25% transportavam somente omotorista, 30% transportavam exatamente 2passageiros e os 54 restantes transportavam maisdo que 2 passageiros. O nmero X igual aa) 180 b) 150 c) 140 d) 120 e) 100

143. (FCC-2008) Certo ms, um tcnico eminformtica instalou 78 programas noscomputadores de um Tribunal. Sabe-se que: na

primeira semana, ele instalou 16 programas; nasegunda, houve um aumento de 25% em relao semana anterior; na terceira semana houve umaumento de 20% em relao semana anterior.


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Assim sendo, se a tarefa foi concluda na quartasemana, o nmero de programas que foraminstalados ao longo dela foi

a) 28 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18144. (FCC-2008) Sobre o total de 45 tcnicos

judicirios e auxiliares que trabalham em umaunidade de um Tribunal, sabe-se que: 60% do nmero de tcnicos praticam esporte; 40% do nmero de auxiliares no praticamesporte; 10 tcnicos no praticam esporte.Nessas condies, o total dea) tcnicos que praticam esporte 10.

b) auxiliares que no praticam esporte 12.c) pessoas que praticam esporte 30.d) tcnicos 28. e) auxiliares 20.

145.(FCC-2001)Para o transporte de valores decerta empresa so usados dois veculos, A e B. Sea capacidade de A de 2,4 toneladas e a de B de 32 000 quilogramas, ento a razo entre ascapacidades de A e B, nessa ordem, equivale aa) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 %d) 6,5 % e)) 7,5 %

146.(FCC-2001)A impressora X capaz de tirarum certo nmero de cpias de um texto em 1 horae 15 minutos de funcionamento ininterrupto. Aimpressora Y, que tem 75 % da capacidade deproduo de X, tiraria a metade do nmero decpias desse texto, se operasse ininterrup-tamente durantea)) 50 minutos. b) 1 hora.c) 1 hora e 10 minutos.d) 1 hora e 20 minutos.

e) 1 hora e 30 minutos.147. (FCC-2001) Denis investiu, uma certaquantia, no mercado de aes. Ao final do primeiroms ele lucrou 20% do capital investido. Ao finaldo segundo ms, perdeu 15% do que havia lucradoe retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantiaque Denis investiu foia) R$ 3200 b) R$ 3600 c) R$ 4000d) R$ 4200 e)) R$ 4500

148. (FCC-2006) Em agosto de 2006, Josu

gastava 20% de seu salrio no pagamento doaluguel de sua casa. A partir de setembro de2006, ele teve um aumento de 8% em seu salrio eo aluguel de sua casa foi reajustado em 35%.

Nessas condies, para o pagamento do aluguelaps os reajustes, a porcentagem do salrio queJosu dever desembolsar mensalmente

a) 22,5% b) 25% c) 27,5%d) 30% e) 32,5%

149. (FCC-2004) Uma pessoa aplicou certocapital a juro simples de 4% ao ms. Ao final de 1ano, retirou o montante e dividiu-o entre seustrs filhos, a razo direta de suas respectivasidades: 9, 12 e 15 anos. Se o mais jovem recebeuR$ 333,00 a menos que o mais velho, o capitalaplicado foia) R$1200 b) R$1250 c) R$1300

d)) R$1350 e) R$1400150. (FCC-2007) Do total de processos querecebeu certo dia, sabe-se que um tcnico

judicirio arquivou 8% no perodo da manh e 8%do nmero restante tarde. Relativamente aototal de processos que recebeu, o nmerodaqueles que deixaram de ser arquivadoscorresponde aa) 84,64% b) 85,68% c) 86,76%d) 87,98% e) 89,84%

151. (FCC-2007) Certo dia, devido a forteschuvas, 40% do total de funcionrios de certosetor de uma Unidade do Tribunal RegionalFederal faltaram ao servio. No dia seguinte,devido a uma greve dos nibus, compareceram aotrabalho apenas 30% do total de funcionriosdesse setor. Se no segundo desses dias faltaramao servio 21 pessoas, o nmero de funcionriosque compareceram ao servio no dia da chuva foia) 18 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12

152. (FCC-2007) Uma pessoa comprou ummicrocomputador de valor X reais, pagando porele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-ocom lucro de 20% sobre o preo pago e nasseguintes condies: 40% do total como entrada eo restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00cada. O nmero X igual aa) 2200 b) 2150 c) 2100d) 2050 e) 2000

153. (FCC-2007) Sobre os 55 tcnicos eauxiliares judicirios que trabalham em uma


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unidade do Tribunal Regional Federal, verdadeque:I. 60% dos tcnicos so casados;

II. 40% dos auxiliares no so casados;III. o nmero de tcnicos no casados 12.Nessas condies, o total de(A) auxiliares casados 10.(B) pessoas no casadas 30.(C) tcnicos 35.(D) tcnicos casados 20.(E) auxiliares 25.

154. (FCC-2001)Durante dois dias consecutivos,um tcnico judicirio foi designado para prestar

informaes ao pblico. Sabe-se que: o total de pessoas que ele atendeu nos dois diasfoi 105; o nmero de pessoas que ele atendeu no primeirodia era igual a 75% do nmero atendido nosegundo; a diferena positiva entre os nmeros depessoas atendidas em cada um dos dois dias eraigual a um nmero inteiro k.Nessas condies, k igual aa) 19 b) 18 c) 15 d) 12 e) 10

155. (FCC-2001)Uma pesquisa de opinio feita,com um certo nmero de pessoas, sobre suapreferncia em relao a algumas configuraes

de microcomputadores, resultou no grficoseguinte.

De acordo com o grfico, a melhor alternativa

para a porcentagem, de entrevistados quepreferem a configurao do tipo E :a) 35% b) 38% c) 42% d) 45% d) 48%

156. (FCC-2003) Paulo digitou5

1 das X pginas

de um texto e Fbio digitou4

1 do nmero de

pginas restantes. A porcentagem de X quedeixaram de ser digitadas a) 20% b) 25% c) 45%d) 50% e)) 60%

JUROS SIMPLES :

ESTUDO DE CASO: C = R$100,00 e taxa de 10% ao ms. Montando temos:

( 100, 110, 120, 130, ... )so os montantes a cada ms

A frmula100

tiCJ

= , s calcula o juro acumulado. Para saber o montante fazemos M = C + J. O maior

cuidado que devemos ter que a taxa deve estar de acordo com o tempo: taxa ms tempo em

meses... Legenda: J = juros C = capital i = taxa t = tempo M = montante

JUROS COMPOSTOS :ESTUDO DE CASO: C = R$100,00 e taxa de 10% ao ms. Montando temos:

( 100, 110, 121, 133,10 ... )so os montantes a cada mst)i1(CM += , cuidado i = taxa unitria.

Para calcular o juro acumulado calcula-se: J = M CVeja que para calcular montante no JC necessrio fazer vrias multiplicaes, j que o tempo est na potncia isso faz com quea questo fique limitada a pequenos tempos, ou simplesmente que se deixe indicada a frmula do montante sem que sejanecessrio calcular.


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167. Um capital de R$ 5000,00 aplicado taxade juros simples de 7,5% a.a obteve umrendimento de R$ 843,75. O tempo

correspondente aplicao foi de:a) 2 anos e 2 meses b) 1 ano e 11 mesesc) 2 anos e 1 ms d) 1 ano e 5 mesese) 2 anos e 3 meses

168. Se aplicarmos R$ 25000,00 a juroscompostos de 6% ao trimestre, teremos aps 3anos, em real, a importncia correspondente a:a) 25000 (1,12)6 b) 25000 (1,02)36

c) 25000 (1,06)12

d) 25000 (1,24)3 e) 25000 (1,06)3

169. (FCC-2003) A que taxa anual de jurossimples deve-se aplicar um capital para que, aofinal de 20 meses, o seu valor seja triplicado?

a) 10% b) 60% c) 100% d) 120% e) 150%

170. (FCC-2003) Um capital produzir juros

simples correspondentes a 163 de seu valor se foraplicado, durante 9 meses, taxa anual dea) 25% b) 24% c) 20% d) 18% e) 15%

171. (FCC-2008) Um tcnico judicirio aplicouR$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, taxaanual de 30%. O montante obtido nessa aplicaofoi aplicado a juros compostos por 2 meses, taxa de 3% ao ms. Dos valores abaixo, o que maisse aproxima do montante obtido na segundaaplicao a) R$ 333,00 b) R$ 326,22 c) R$ 334,18d) R$ 324,00 e) R$ 315,00

RACIOCNIO LGICOSEQNCIAS NUMRICAS: Nesse tipo de questo uma seqncia de nmeros apresentada ese solicita que a continuao da seqncia com um ou dois nmeros prximos. So muitos os tipos deargumentos usados nesse tipo de questo. Quanto mais familiarizado voc estiver com as famosasseqncias (primos, mltiplos, quadrados, cubos, potncias...) e quanto mais rpido voc fizer contas desoma, subtrao, multiplicao e potncia), mais chance ter de acertar. Abaixo comentaremos algumasseqncias e sobre o que podemos pensar.

S1 909,99,808,88,707, 77 606S2 3,2,9,2,45,2,315, 2 2835S3 25,27,29,31,34,37,40, 44 48S4 87,95,104,114,125, 137 150S5 9,81,10,100,11,121,12, 144 13S6 2,10,12,16,17,18,19, 200 201S7 1,2,2,4,8,32, 256 213

S8 1,2,5,14,41, 122 365S9 51,56,61,67,73,80, 88 96S10 1,5,8,15,25,42, 69 113S11 10,21,43,87, 175 351S12 9765,981,99,18, 9 xS13 10,17,13,22,16,27,19, 32 22S14 19,23,29,31,37, 41 43S15 10,11,15,24,40, 65 101S16 1,4,9,16,25, 36 49S17 1,8,27,64,125, 216 343

S18 1,1,2,3,5,8,13,21, 34 55S19 0,1,3,4,12,13, 39 40S20 2,12,23,35,48, 62 77


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Explicaes:S1: Tira o zero e diminui de 1 o algarismo.

S2: Intercala sempre o dois nas posies parese para aas posies mpares: n da posio imparanterior vezes a posio atual.S3: Se turma dos 20s soma 2, se turma dos30s soma 3 e ...S4: Soma 9, soma 10, soma 11, soma 12 ...S5: N e seu quadrado, soma 1 e segue...S6: Os nmeros que comeam com a letra D.S7: Produto dos dois anteriores.S8: O triplo menos 1.S9: Se turma dos 50s soma 5, se turma dos60s soma 6 e ...S10: Soma dos dois anteriores mais dois.

S11: Dobro mais um.S12: Tira o ltimo algarismo e soma com o

restante: 976 + 5, 98 + 1, ...S13: Nos de posio impar soma 3, nos deposio par soma 5.S14: Os primos.S15: Soma 1, soma 4, soma 9, soma 16 ... somaos quadrados.S16: Os quadradosS17: Os cubosS18: A soma dos dois anteriores.S19: Um nmero e seu sucessor, multiplica por3, ele e o seu sucessor...S20: Mais 10, mais 11, mais 12 ...

Diagramas numricos:So as mesmas seqncia s que no apresentadas em lista mas sim em diagramas, veja exemplos:

Soma 2, depois 4, ; 6; 8; 10; 12.Prximo 64 + 14 = 84

Multiplica por 4, por 4 outravez; e assim por diante. Oltimo 4 384 = 1536.

As potncias de 3. A prxima 729.

Soma 3, depois 4; 5; 6.Prximo 28 + 7 = 35


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RELACIONANDO LETRAS E NMEROS:H relao numrica entre as letras do alfabeto e o lugar que elas ocupam.Seguem as duas possveis tabelas:

Alfabeto Oficial Brasileiro at valer a nova regra ortogrfica.(23 letras, exclui K, W, Y) O mais comum!

A B C D E F G H I1 2 3 4 5 6 7 8 9

J L M N O P Q R S10 11 12 13 14 15 16 17 18

T U V X Z19 20 21 22 23

Alfabeto Completo que passa a valer com a nova ortografia. (26 letras, inclui K, W, Y):A B C D E F G H I1 2 3 4 5 6 7 8 9

J K L M N O P Q R10 11 12 13 14 15 16 17 18

S T U V W X Y Z19 20 21 22 23 24 25 26

Exemplos:1) Complete a seqncia: B, D, G, L, Q Veja, trocando por nmeros obtemos: 2, 4, 7, 11, 16 pela lgicao prximo nmero seria 22 ( +2, +3, +4, +5, +6); a letra 22 X. Resposta X.2) Complete a seqncia: D4, 6G, M10, Uma letra, um nmero; um nmero uma letra, e assim pordiante. Esperamos ento um nmero e uma letra. Sobre os nmeros: 4, 6, 10... prximo 16 (porque +2,+4, +6) e sobre as letras (em nmeros) 4, 7, 12, a prxima ser a letra equivalente a 19 (porque +3, +5,+7) que T. Resposta: 16T3) Complete a seqncia: 1, U, 2, D, 3, T, 4, Q, 5, C, 6 resposta S. Porque os nmeros esto listadosde um em um e a letra depois do nmero se refere a letra pela qual o nome do nmero comea, portanto6 (SEIS).

4) Complete a seqncia: 2 E 8 LB 5 H 11Porque nmero embaixo e letra em cima e mais a sequncia associada 2, 5, 8.. (sempre +3) e a letraacompanha: B 2, E 5.... Enfim o prximo nmero 11 e a letra L.


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SEQUNCIAS NUMRICAS ESPECIAIS:

P. A. - PROGRESSOARITMTICA

( )n321 a...aaa ( )...12963

( )r)1n(a...r2araa 1111 +++ & ( )...rxxrx +

use este ltimo para PAs comtrs termos.

P. G. - PROGRESSO

GEOMTRICA( )n321 a...aaa ( )...241263

( ))1n(12111 qa...qaqaa

&

...xqx

q

x

use este ltimo para PGs comtrs termos.

1a Primeiro termo

na Qualquer termo

n Nmero de termosr RazoUm exemplo de PA ( )...12963

Frmula do termo geral:( ) r1naa 1n +=

1a Primeiro termo

na Qualquer termo

n Nmero de termosq Razo (quociente)Um exemplo de PG ( )...241263

Frmula do termo geral:1n

1n qaa =

REGRA DA RAZO PA( )...aaa 321 ou( )...rxxrx +

ento : ( )( ) rxrxaa

rrxxaa

23

12

=+===

assim sendo : 1223 aaaa =

REGRA DA RAZO - PG

( )321 aaa ou

xqx

q

x

ento :

==

==

qx

xq

a

a

qx

a

a

2

3

qx1

2

assim sendo1

2

2

3

a

a

a

a=

TERMO MDIO:Em seqncias com um nmero impar de termos temos que:

Em PA, o termo mdio :

2

aaT n1m

+=

Em PG, o termo mdio :n1m aaT =

SOMA FINITA DOS TERMOSDE UMA PA:

n2

aaS n1n

+=

SOMA FINITA DOS TERMOSDE UMA PG:

1q

1qaS

n1

n

=

Estas seqncias so especiais porque possvel determinar um termoem funo do seu lugar e tambm possvel determinar a soma de

uma quantidade finita de termos.


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OUTRAS SEQNCIASSEQNCIAS INTERCALADAS:

So seqncias que no so nem PA nem PG, mas se as olharmos de forma intercaladaencontraremos PAs, PGs ou at as duas. Veja exemplos:

1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5, 32 ...Calcule: a) a20 b) a17 c) S20 d) S15Observe que nessa seqncia os termos cujo n impar so da PA e os de n par so da PG.1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5, 32 ...Ento agora podemos calcular:

a) a20 o 10 da PG. Ento a10PG= 2 x 29= 1024b) a17 o 9 da PA. Ento a9PA= 1 + 8 x 1 = 9

c) S20 S10PA + S10PG. Ento S10PA= 55102

101=

+ e S10PG= 204612

)12(2 10=

e somando as somas: 55 +

2046 = 2101.

d) S15 S8PA + S7PG. Ento S8PA= 3682

81=

+ e S7PG= 25412

)12(2 7=

e somando as somas: 36 + 254 =

290.Ainda temos que as seqncias podem ser intercaladas no de 2 em 2 e sim de 3 em 3 e assim

por diante...1, 0, 5, 2, 3, 20, 4, 6, 35, 8, 9, ...

1, 0, 5, 2, 3, 20, 4, 6, 35, 8, 9, ...Como para saber se uma seqncia uma PA ou PG precisamos de 3 temos , se a seqncia for

intercalada de 2 em 2 precisamos de no mnimo 6 termos , de 3 em 3 , 9 termos e assim por diante.

SEQUNCIAS SOMAS

So seqncias que no so nem PA nem PG nem intercaladas. O que verificaremos mais adiante que as razes estariam em PA ou PG. Cuidado porque a palavra razo no a palavra maisadequada.

Veja alguns exemplos de seqncias somas:7, 10, 16, 25, ... veja o que est por trs...

...2516107963 +++

Nessas sequncias s possvel determinar um an e nunca a soma.

Dispositivo para encontar um anqualquer:Passo 1: Colha o a1e reserve.Passo 2:Monte a sequncia das razes ( Rna )Passo 3:Decida o que esta seqncia PA ou PG e ento calcule R 1nS Passo 4:Para finalizar faa: an= a1+ R 1nS

As contas para encontrar o a11no exemplo so:P1) a1= 7 P2) 3, 6, 9, ...

P3) PA. 102aa

S

R

10

R

1R10

+= ; 30393r9aa R1R10 =+=+=

165102

303SR10 =

+=


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P4) an= a1+ R 1nS a11 = a1+ R10S = 7 + 165 = 172Vamos ver se est certo???

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117 10 16 25 37 52 70 91 115 142 172

Esse roteiro independe se as razes esto em PA ou PG, s o que muda so as frmulas.O primeiro termo da sequncia deve ser sem-pre pensado em separado da sequncia das

razes.Para serem mais criativos, os autores de questes lanam os mesmo problemas mas ou em forma

de desenhos ou de diagramas numricos, veja abaixo:

D1 Calcule a20:

1, 3, 6, 10, 15 .....P1) a1= 1 P2) 2, 3, 4, 5, ...

P3) PA. 192

aaS

R19

R1R

19 +

= ; 201182r18aa R1R19 =+=+=

209192

202SR19 =

+=

P4) an= a1+ R 1nS = a20 = a1+ R19S = 1 + 209 = 210

D2 Calcule a30:

1, 3, 7, 15 .....P1) a1= 1 P2) 2, 4, 8, 16, ...

P3) PG. ( ) ( ) 2212

122

)1q(

1qaS 30

2929R1R

29 =

=

=

P4) an= a1+ R 1nS = a30 = a1+ R29S = 1 + 2230 = 1230 302 = 102 102 102 > 310 310 310 = 1 bilho

EXERCCIOS:Complete as seqncias com mais um termo:

a) 3,6,10,15,21,28, i) 0, 1, 16, 36, 64, 81,b) 0,4,16,36,64,100,144, j) 0, 10, 25, 45, 70,c) 8, 12, 24, 60, l) 343, 216, 125, 64,d) 360, 180, 120, 90, 72, m) 5,32,4,81,3,64,2,e) 3, 10, 19, 30, 43, 58, n) 4, 6, 13,23,41,

f) 11, 101, 1001, o) 13, 27, 55, 111,g) 1,2,3,2,15,2, p) 64, 4, 16, 216, 6,h) 23,27,31,37,43, q) 47, 43, 41, 37,


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210. O termo que completa a seqncia

49

64

36

25

9

16

4

1 :

a)90

82 b)100

81 c)72

100 d)72

99 e)81

100

211. Dos grupos de letras apresentados nasalternativas abaixo, apenas quatro apresentamuma caracterstica comum. Considerando que aordem alfabtica usada exclui as letras K, W e Y,ento o nico grupo que no tem a caractersticados outros o:a) ZTUV b) TPQR c) QMNO

d) LGHI e) FCDE212. (UFRGS 04) Considere a disposio denmeros abaixo.

O primeiro elemento da quadragsima linha

a) 777 b) 778 c) 779 d) 780 e) 781213. (UFRGS 00)Os nmeros inteiros de 1 a 600so escritos na disposio abaixo.

..................

181716151413

121110987

654321

A escrita se repete na mesma disposio, a cadavez que se atinge o valor de 600. O nmeroescrito na 5 coluna da 143 linha

a) 243 b) 245 c) 248 d) 257 e) 258214. Os nmeros inteiros maiores ou iguais a 1so dispostos de acordo com a tabela abaixo:

Coluna1

Coluna2

Coluna3

Coluna4

Coluna5

1 2 3 48 7 6 5

9 10 11 1216 15 14 13

17 18 19 20

21

Podemos afirmar que os nmeros 1992 e 1997ocuparo, respectivamente, as colunas:a) 1 e 4 b) 3 e 4 c) 3 e 2

d) 1 e 2 e) 5 e 2215.Determine o nmero que fica imediatamenteacima de 142 na disposio triangular seguinte:

12 3 4

5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16

a) 120 b) 130 c) 110 d) 115 e) 125

216.Na seqncia de algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3,2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, ...; o 2007algarismo :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

217. (FCC 2006)Assinale a alternativa quecompleta a srie seguinte: C3, 6G, L10,...a) C4 b) 13M c) 9I d) 15P e) 6Y

218.Observe a lei de formao usada paraconstruir a seqncia de malhas quadriculadasabaixo.

1 2 3 41 2 3 5 6 7 8

1 2 4 5 6 9 10 11 123 4 7 8 9 13 14 15 16

1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Segundo essa lei, a posio que o nmero 169ocuparia em uma malha de 15 x 15 :a) 9 linha e 14 colunab) 10 linha e 8 colunac) 11 linha e 6 colunad) 12 linha e 4 colunae) 13 linha e 5 coluna

219. (FCC 2006) Assinale a alternativa quecompleta a srie seguinte: 9, 16,25, 36,...a) 45 b) 49 c) 61 d) 63 e) 72


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PROBLEMAS DE CONJUNTOS:Exemplo 01: Numa comunidade constituda de 1800 pessoas h trs programas de TV favoritos:

Esportes (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a essesprogramas:Programas Nmero de Telespectadores

E 400N 1220H 1080

E e N 220N e H 800E e H 180

E, N e H 100

Atravs destes dados, verifica-se o nmero de pessoas da comunidade que no assistem a nenhum dostrs programas:a) 200 b) 900 c) 100 d) 400 e) Os dados do problema esto incorretos

Observe a resoluo que utiliza o diagrama abaixo ...E N

100 120 300

80 100700

200 200H

1800

Algumas consideraes sobre o diagrama acima:Quantos assistem humorismo? 1080Quantos assistem s humorismo? 200Quantos assistem novela e esporte ? 220Quantos assistem novela ou esporte ? 1400Quantos assistem ou novela ou esporte ? 1180Quantos assistem a dois programas? 1000Quantos assistem apenas dois programas? 900Quantos assistem a mais de dois programas? 100Quantos assistem dois ou mais programas? 1000Quantos assistem apenas um programa? 600Quantos no assistem novela? 580

EXEMPLO 02:Analisando-se as carteiras de vacinao das 84 crianas de uma creche, verificou-se que 68

receberam a vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 no foram vacinadas. Quantasreceberam as duas vacinas ?Sabin Sarampo

68 x x 50 x 1284 Da 68 x + x + 50 x + 12 = 84 x = 46.


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EXERCCIOS:01. Numa pesquisa realizada verificou-se que

das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150

liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 noliam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foramconsultadas?

02. Numa pesquisa de mercado, verificou-seque 2000 pessoas , usam os produtos A ou B. Oproduto B usado por 800 pessoas e 320 pessoasusam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantaspessoas usam apenas o produto A?

03. Numa pesquisa sobre a preferncia emrelao a dois jornais, foram consultadas 470

pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delaslem a revista A, 180 lem a revista B e 60 lemas duas, ento:a)quantas pessoas lem apenas a revista A?b)quantas pessoas lem apenas a revista B?c)quantas pessoas lem revistas?d)quantas pessoas no lem revistas?

04. Uma cidade que tem 10.000 habitantespossui dois clubes de futebol: A e B. Numapesquisa feita com todos os habitantes, consta-tou-se que 1200 pessoas no apreciavam nenhum

dos clubes, 1300 pessoas apreciavam os doisclubes e 4500 pessoas apreciam o clube A, ento :a)quantas pessoas apreciam s o clube A?b)quantas pessoas apreciam o clube B?c)quantas pessoas apreciam s o clube B ?

05. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogamvlei; 20 jogam vlei e xadrez; 22 jogam xadrez etnis; 18 jogam vlei e tnis; 11 jogam as trsmodalidades. O nmero de pessoas que jogam sxadrez igual ao nmero de pessoas que jogam stnis. Pergunta-se:

a)quantos jogam tnis e no jogam vlei ?b) quantos jogam xadrez ou tnis e no jogamvlei ?c)quantos jogam vlei e no jogam xadrez ?

06.Numa cidade so consumidos trs produtosA, B e C. Feito um levantamento do mercado sobreo consumo destes produtos, obteve-se o seguinteresultado disposto na tabela abaixo:

PRODUTOS NMERO DE CONSUMIDORESA 150B 200C 250

A e B 70A e C 90

B e C 80A, B e C 60Nenhum 180

a)quantas pessoas consomem apenas o produto A?b)quantas pessoas consomem o produto A ou B ou C?c)quantas pessoas consomem o produto A ou o B?d)quantas pessoas consomem apenas o produto C?e)quantas pessoas foram consultadas ?


227. (PUCRS) Se A, B e A e B so conjuntos com90, 50 e 30 elementos, respectivamente, ento onmero de elementos A ou B a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170

228. Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56alunos lem o jornal A, 21 lem os jornais A e B,106 lem apenas um dos dois jornais e 66 nolem o jornal B. O valor de n :a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

229.Foi realizada uma pesquisa numa indstria Xtendo sido feitas a seus operrios apenas duasperguntas. Dos operrios, 92 responderam sim primeira, 80 responderam sim segunda, 35responderam sim a ambas e 33 no responderamas perguntas feitas. Pode-se concluir ento que onmero de operrios da indstria :a) 170 b) 172 c) 205 d) 174 e) 240

230. (UFRGS 94) Em uma pesquisa de mercadosobre o uso de novos artigos de consumo, obteve-se a seguinte amostragem de dados:

Artigos deconsumo A B C A e B B e C

Nenhumdos artigos

N de respostaspositivas 400 1200 900 200 500 200

Foram consultadas mpessoas, verificando-se quen pessoas NO utilizam o artigo A e p pessoasSOMENTE utilizam o artigo B. Sabendo que osusurios de A no so usurios de C, os valorespara m, ne pso, respectivamente,a) 2000, 1800 e 1200 b) 2000, 1600 e 500c) 2700, 1600 e 500 d) 2700, 1800 e 1200e) 3400, 1600 e 1200

231. (PUCRS 95) Numa empresa de 90funcionrios, 40 so os que falam ingls, 49 os quefalam espanhol e 32 os que falam espanhol e nofalam ingls. O nmero de funcionrios dessaempresa que no falam ingls nem espanhol a) 9 b) 17 c) 18 d) 27 e) 89


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DIAGRAMAS LGICOS:

ENVOLVENDO DOIS CONJUNTOS:

DIAGRAMA 01: DIAGRAMA 02:

DIAGRAMA 03: DIAGRAMA 04:

ENVOLVENDO TRS CONJUNTOS:

DIAGRAMA 05: DIAGRAMA 06: DIAGRAMA 07:





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TODO, ALGUM, NENHUM ...

DADOS OS DESENHOS, SO VERDADES...

A EP

Todo professor arquiteto.Todo arquiteto engenheiro.Todo professor engenheiro.Existem engenheiros que no so arquitetos.Existem arquitetos que no so professores.Alguns engenheiros so arquitetos e professores.

EP A

Todo professor engenheiro.Alguns professores so arquitetos.Alguns engenheiros so arquitetos.Nem todo professor engenheiro arquiteto.

H engenheiros que no so arquitetos, nem professores.Para ser professor necessrio que o arquiteto sejaengenheiro.

E AP

Nenhum arquiteto professor.Todo professor engenheiro.Existem engenheiros que so arquitetos.Se o engenheiro for professor ele no arquiteto.Alguns arquitetos so engenheiros.Nem todo engenheiro professor.

QUANTIFICADORES:Existem smbolos chamados quantificadores, so eles:

Quantificador Universal(): cada, para todo, para qualquer, qualquer, todo, para cada.Quantificador Existencial(): certo, algum, existe algum, existe pelo menos um, existe.

OBSERVAO: Negao do Quantificador Universal: = = = = Negao do Quantificador Existencial: = = = =

Em portugus: Se digo que todos gostam de Maria, o contrrio disso seria dizer que existe pelo menos umapessoa que no gosta de Maria. exagero dizer que ningum gosta de Maria e no seria uma

informao precisa! Se digo algum gosta de Maria, o contrrio disso seria dizer que ningum gosta de Maria. Se digo Ningum gosta de Maria, o contrrio disso seria dizer que existe pelo menos uma pessoaque gosta dela. Mas dizer que todos gostam de Maria seria um exagero.

AFIRMAO NEGAOTodos P Algum ~PAlgum P Nenhum P

Nenhum P Algum P


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PROBLEMAS DE IMPLICAO:

CONDICIONAL ():

Exemplos:Joo prometeu ao seu filho Jnior:

4444 34444 21444 3444 21qp

vocaemprestooeuentocarro,olavarvocSe .

p q : Voc lavar o carro eu o empresto a voc

Possibilidades:I) Jnior lavou o carro ento voc emprestou o carro.II) Jnior no lavou o carro ento nada podemos concluir.III) Voc emprestou o carro nada se pode concluir

IV) Voc no emprestou o carro ento Jnior no lavou o carro.

Propriedade Contrapositiva da Condicional: p q q pDesta propriedade podemos concluir que escrevendo p q ou escrevendo q p estamosdizendo a mesma coisa, ou seja o valor lgico das duas proposies compostas exatamente omesmo.

Um resumo em portugus do que vale em Condicional:

Se chover, ento no viajarei.

Verdades: Se chover, ento no viajarei. Viajei, ento no choveu.Falsidades: Se chover, ento viajarei. No viajei, ento no choveu.Incertezas: No choveu, ento viajei. No viajei, ento choveu.

Um resumo com operadores lgicos:Verdades: C ~V V ~CFalsidades: CV ~V~CIncertezas: ~CV ~VC

Leituras da Condicional:1) Se antecedente ento conseqente.2) Se antecedente, conseqente.3) Antecedente somente quando conseqente.4) Antecedente somente se conseqente.5) Antecedente condio suficiente para conseqente.6) Antecedente suficiente para conseqente7) Conseqente, se antecedente.8) Conseqente sempre que antecedente.9) Conseqente condio necessria para antecedente.10) Conseqente necessrio para antecedente.Exemplos:

1) Se Carlos passou de ano ento Carlos passou em matemtica.2) Carlos passar de ano condio suficiente para Carlos ter passado em matemtica.

3) Carlos passar em matemtica condio necessria para Carlos passar de ano.4) Carlos passou de ano somente se Carlos passou em matemtica.5) Se Carlos passou de ano, passou em matemtica.


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Exemplos de questes:Q01. (ESAF) Se no durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, no estou furioso. Se noestou furioso, no bebo. Logo,a) no durmo, estou furioso e no bebo.b) durmo, estou furioso e no bebo.c) no durmo, estou furioso e no bebo.d) durmo, no estou furioso e no bebo.e) no durmo, no estou furioso e bebo.Resoluo:D BF D ~F (contradio ignore)D ~F ~B ~D (de 1) (contradio ignore)F D B ou ~B ~D ~F logo letra A

Q02. (ESAF) Se Beto briga com Gloria, ento Gloria vai ao cinema. Se Gloria vai ao cinema,ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raul no briga comCarla. Logo:a) Carla no fica em casa e Beto no briga com Glria.b) Carla fica em casa e Gloria vai ao cinema.c) Carla no fica em casa e Gloria vai ao cinema.d) Gloria vai ao cinema e Beto briga com Gloria.e) Gloria no vai ao cinema e Beto briga com Gloria.

Resoluo:B X G G no cinema C em casa R X CPela propriedade contra-positiva (voltando)R C C ~ em casa G ~ no cinema B GIsso dito na letra A.

Q03.(ESAF) Se Ana no advogada, ento Sandra secretria. Se Ana advogada, ento Paulano professora. Ora Paula professora. Portanto:a) Ana advogada;b) Sandra no secretria;

c) Ana advogada, ou Paula no professora;d) Ana advogada e Paula professora;e) Ana no advogada e Sandra secretria.Resoluo:Ana ~ Adv Sandra SecAna Adv Paula ~Prof Paula Prof Ana ~Adv e Ana ~adv Sandra Sec. Letra E


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Como negar conjuno , disjuno e disjuno exclusiva :

Considere verdadeira a afirmao: Se chover e ventar, ficarei triste. (C

V

T)Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T ~(C V), mas em portugus o que seria isso?O contrrio de chover e ventar pode ser ou s chover ou s ventar (C V), ou nada dissoacontecer; no chover e no ventar. (~C ~V). Isso equivale a dizer: No chove ou no venta. (~C ~V). Por fim ser verdadeira a frase: No fiquei triste, ento no choveu ou no ventou.

Considere verdadeira a afirmao: Se chover ou ventar, ficarei triste. (C VT)Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T ~(C V), mas em portugus o que seria isso?O contrrio de chover ou ventar significa nada disso acontecer; no chover e no ventar. (~C ~V).Isso equivale a dizer: No chove e no venta. (~C ~V). Por fim ser verdadeira a frase: No fiqueitriste, ento no choveu e no ventou.

Considere verdadeira a afirmao: Se ou chover ou ventar, ficarei triste. (C VT)Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T ~(C V), mas em portugus o que seria isso?O contrrio de ou chover ou ventar pode ser chover e ventar (C V) , ou no chover e noventar (~C ~V). Isso equivale a dizer: No chove e no venta. (~C ~V), ou chove e venta (C V).Por fim ser verdadeira a frase: No fiquei triste, ento ou no choveu e no ventou, ou choveue ventou.

Resumindo:Afirmao Negao

Conjuno C VT ~C ~VDisjuno C VT ~C ~VDisjuno exclusiva C V T (~C ~V) (C V)

Exemplos de questes:Q01. (ESAF) Considere a seguinte proposio. Se chove ou neva ento o cho fica molhado.Sendo assim, pode-se afirmar que:a) Se o cho est molhado, ento choveu ou nevou.b) Se o cho est molhado, ento choveu e nevou.c) Se o cho est seco, ento choveu ou nevou.

d) Se o cho est seco, ento no choveu ou no nevou.e) Se o cho est seco, ento no choveu e no nevou.Resoluo:C ou N Cho molhado Cho seco ~C e ~N. Letra E.

Q02. (ESAF) Investigando uma fraude bancria, um famoso detetive colheu evidncias que oconvenceram da verdade das seguintes afirmaes:1) Se Homero culpado, ento Joo culpado.2) Se Homero inocente, ento Joo ou Adolfo so culpados.3) Se Adolfo inocente, ento Joo inocente.

4) Se Adolfo culpado, ento Homero culpado.As evidncias colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:a) Homero, Joo e Adolfo so inocentes.b) Homero, Joo e Adolfo so culpados.


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c) Homero culpado, mas Joo e Adolfo so inocentes.d) Homero e Joo so inocentes, mas Adolfo culpado.e) Homero e Adolfo so culpados, mas Joo inocente.

Resoluo:H culp J culp J ino H inoH ino J ou A culp J e A ino H culpA ino J ino J culp A culpA culp H culp H ino A ino.

Juntando temos:A ino J ino H ino contradio, pois se A e J ino H culpA culp H culp J culp a resposta: Todos culpados. Letra B

PROBLEMAS CORRELACIONAIS:

Veja exemplos abaixo:

Exemplo 01:(ESAF) Trs amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o deoutra preto e o da outra branco. Elas calam pares de sapatos dessas mesmas trs cores, massomente Ana est com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Jlia sobrancos. Mariza est com sapatos azuis. Desse modo,a) o vestido de Jlia azul e o de Ana preto.b) o vestido e o sapato de Jlia so pretos.c) os sapatos de Jlia so pretos e os de Ana so brancos.

d) os sapatos de Ana so pretos e o vestido de Mariza branco.e) O vestido de Ana preto e os sapatos de Mariza so Azuis.Resoluo:

Nome Vestido SapatoAna Branco BrancoJlia Azul PretoMariza Preto Azul

Se Mariza com sapatos azuis Mariza com vestido Preto, porque s Ana usa uma s cor.Sobra o Branco para Ana, e para Jlia vestido azul e sapato preto.

Exemplo 02: (ESAF) Quatro casais renem-se para jogar xadrez. Como h apenas um tabuleiro,eles combinam que:

a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas.b) marido e esposa no jogam entre si.

A ordem das partidas foi a seguinte:Rodadas P1 X P2

1 Celina X Alberto2 Ana X Marido de Jlia3 Esposa de Alberto X Marido de Ana4 Celina X Carlos5 Esposa de Gustavo x Alberto

A esposa de Tiago e o marido de Helena so , respectivamente:


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a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Jlia e Gustavod) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo

Ce An J HCa x7 x6 8 x5Al x1 x3 x2 4G x9 x8 x5T 10 x8 x5

1. Celina no esposa de Alberto porque jogaram juntos.2. Alberto no marido de Jlia porque no joga partidas seguidas.3. Ana no esposa de Alberto no joga partidas seguidas.4. Sobra Alberto casado com Helena.5. Helena no pode ser casada com mais ningum.

6. Carlos no marido de Ana porque no joga partidas seguidas.7. Celina no esposa de Carlos porque jogaram juntos.8. Jlia esposa de Carlos porque sobrou, e no esposa dos outros.9. Celina no esposa de Gustavo porque no joga partidas seguidas.10. Celina esposa de Tiago, porque sobrou e obrigatoriamente Ana esposa de Gustavo.

78. (ESAF) Trs meninos, Zez, Zoz e Zu

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