Apostila de Pontes - Anexo 1

5/26/2018 Apostila de Pontes - Anexo 1

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ANEXO 1

NOES DE CLCULO DE SUPERESTRUTURA

SUMRIO

A1.1. INTRODUO ............................................................ ............................................................... ........ 2A1.2 PONTES DE VIGAS ...................................................... ............................................................. ......... 2

A1.2.1. Processos de clculo ..................................................................... ............................................ 2

A1.2.2. Processo de vigas independentes ............................................................... ............................... 4

A1.2.3. Processo de Engesser-Courbon ........................................................... ...................................... 12

A1.2.4. Processo de Guyon-Massonnet ............................................................ ..................................... 15

A1.2.5. Seo celular ............................................................ ................................................................ 18

A1.2.6. Lajes do tabuleiro ............................................................. ........................................................ 19

A1.3. PONTES DE LAJE ............................................................... .............................................................. 20

A1.3.1. Lajes macias .......................................................... ................................................................. 20

A1.3.2. Lajes vazadas ............................................................. ............................................................. . 20

A1.4. CLCULO MEDIANTE PROGRAMAS DE COMPUTADOR ........................................................... 21

A1.4.1. Pontes de viga ............................................................... ........................................................... 21

A1.4.2. Pontes de laje ............................................................ ............................................................. .. 21

A1.4.3. Programas comerciais ................................................................... ........................................... 22

REFERNCIAS E BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .............................................................. .................. 26


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2 Anexo 1 Noes de clculo de superestrutura

A1.1. INTRODUO

Neste anexo apresentam-se noes de clculo de superestrutura de pontes de concreto,incluindo os seguintes tpicos: pontes de viga, incluindo as lajes do tabuleiro, pontes de laje e oclculo mediante programas de computadores.

A1.2. PONTES DE VIGAS

A1.2.1. Processos de clculo

No tabuleiro de uma ponte de vigas, podem-se identificar trs elementos: as vigaslongitudinais (tambm chamadas de vigas principais ou longarinas), as vigas transversais (tambmchamadas de transversinas), e a laje.

Normalmente, esses trs elementos formam um conjunto monoltico, cujo clculo exato de

tal modo complexo e laborioso, que a sua realizao utilizando processos manuais (isto , semauxlio de computadores) praticamente impossvel.

Sendo assim, para se calcular manualmente os esforos nos elementos que formam otabuleiro de uma ponte de vigas necessrio recorrer aos chamados processos aproximados, queconsiderando simplificaes adequadas, permitem realizar o clculo manual dos esforos, demaneira simples, objetiva e segura, sem o auxlio de computadores.

O procedimento empregado na maioria dos processos aproximados, conhecido comomtodo dos coeficientes de repartio, e consiste em determinar a repartio do carregamentoaplicado, entre os elementos que compem o tabuleiro. Uma vez conhecida a parcela docarregamento que cabe a cada elemento, chamada tambm de quinho de carga, faz-se o clculo

de cada elemento isoladamente com o correspondente quinho de carga.Os processos aproximados podem ser classificados em trs categorias:

Processo que considera as longarinas independentes;

Processo que considera o chamado efeito de grelha;

Processo que supe que o tabuleiro uma placa orttropa.

O processo que considera as longarinas independentes, pode ser utilizado em tabuleiros comduas longarinas, onde se obtm resultados satisfatrios, mas nos tabuleiros com mais de duas

longarinas, no recomendvel a sua utilizao pois a aproximao em geral muito grosseira.Dentre os processos que consideram o efeito de grelha, os mais conhecidos so o processo de

Engesser-Courbon e o processo de Leonhardt.

O processo conhecido como de Engesser-Courbon, atribudo a F. Engesser, e foidesenvolvido por J. Courbon e M. Mallet. Neste processo, que se caracteriza pela sua simplicidadee campo de aplicao, so adotadas as seguintes hipteses simplificadoras:

o tabuleiro monoltico transformado numa malha de vigas longitudinais e transversais;

desprezado o efeito de toro nas vigas;

a transversina suposta como tendo rigidez infinita.


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3Anexo 1 Noes de clculo de superestrutura

O processo conhecido como de Leonhardt, foi desenvolvido por F. Leonhardt, e considera asseguintes hipteses simplificadoras:

o tabuleiro monoltico transformado numa malha de vigas longitudinais e transversais;

desprezado o efeito de toro nas vigas;

a transversina suposta flexvel.

Dentre os processos que supem que o tabuleiro uma placa orttropa, o mais conhecido oprocesso de Guyon-Massonet. A idia original do processo atribuda a Y. Guyon que elaborou umprocesso para calcular placas orttropas desprezando o efeito de toro, utilizando o mtodo doscoeficientes de repartio. Posteriormente, C. Massonnet generalizou o processo introduzindo noclculo a considerao do efeito de toro.

Na Fig. A1.1, os esquemas esquerda representam trs superestruturas, de vigas ligadas (a)apenas pela laje, ou (b) por transversinas e finalmente (c) por transversinas com essa mesma rigideze por laje inferior, configurando a viga de seo celular, ou viga-caixo.

Fig. A1.1 Tipologia da seo e processos de clculo das superestruturas de vigas.

O clculo dessas superestruturas pode ser orientado por diversas concepes, mais ou menossimplificadas, relativas ao comportamento esttico desses conjuntos monolticos. Tais concepes

podem ser caracterizadas, em primeira aproximao, pelo que se admite quanto ao que sobreessas superestruturas exerce uma carga concentrada Q, suposta atuando sobre uma das nervuras.

No processo de clculo intitulado como vigas independentes, admite-se que a vigadiretamente carregada absorva totalmente a fora Q, sem interveno da segunda viga, quecorresponde a supor, para efeito de clculo das vigas longitudinais, que o tabuleiro (laje e eventuaistransversinas) seja seccionado sobre as vigas principais e sobre elas se apie simplesmente. Essaaproximao torna-se cada vez menos satisfatria medida que as transversinas vo adquirindomaior importncia, pelo nmero e pela rigidez (a b), e totalmente inadmissvel no caso da viga

de seo celular (c).

a

b

c


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Nos dois primeiros casos (a e b) o primeiro processo de clculo (vigas independentes) eraadmitido pela NB-2/1961 (item 25: os tabuleiros com trs ou mais vigas principais devem sercalculados como grelhas, permitindo-se o emprego de processos de clculo aproximados) ecorrentemente utilizado. O segundo processo de clculo (grelha), mostra que ambas as vigascolaboram, cabendo naturalmente parcela maior viga diretamente carregada. Isto, graas

solidarizao engendrada pelas transversinas e pela prpria laje. Neste caso, quanto maior a rigidezdos elementos transversais mais acentuado o efeito de grelha e menor o valor de . O ltimocaso (c), s vezes assimilado ao de uma grelha, mais adequadamente tratado considerando-se aviga de seo celular sujeita aos efeitos da carga Q centrada e do momento Q.e, correspondente excentricidade de Q.

No texto a seguir descrito o processo de vigas independentes e apresentam-se osfundamentos bsicos dos processos de Engesser-Courbon, de Guyon-Massonnet e de clculo desees celulares.

A1.2.2. Processo de vigas independentes

Dispostas as cargas de maneira adequada sobre o tabuleiro, deve-se determinar primeiro qualo quinho dessas cargas que suportado pelas vigas principais, ou seja, h que determinar, paracada viga, um conjunto de cargas fictcias as quais, supostas atuando diretamente sobre cada umadas vigas, produzam nestas os mesmos esforos que provem das cargas reais dispostas sobre otabuleiro. Esse conjunto de cargas fictcias denominado trem-tipo da viga. Haver em geral, umtrem-tipo para cada viga principal (ou apenas dois: um para as duas vigas laterais e outro para asinternas).

No caso de haver apenas duas vigas principais, esse trem tipo determinado com suficienteexatido admitindo que uma carga disposta sobre o tabuleiro se reparta entre as duas vigas em doisquinhes inversamente proporcionais s distncias da carga s vigas. Portanto, supe-se que otabuleiro, para efeito de distribuio das cargas s duas vigas, se comporte como uma vigatransversal (geralmente com balanos) simplesmente apoiada sobre as vigas longitudinais, comomostra a Fig. A1.2.

Q

s

a b

Viga 1 Viga 2

Q

s

a b

Viga 1 Viga 2Simplificao

Q1=Q.b / s

s

Q2=Q.a / s

Viga 1 Viga 2

Reaes nas vigasQuinhes de carga

Q1 + Q2 = Q

Fig. A1.2 Distribuio transversal das cargas considerando vigas independentes.


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Corresponde isto a admitir para o quinho Q1da viga 1 uma linha de influncia retilnea, detal forma que a carga Q igual a 1 aplicada sobre a viga 1 corresponda, na prpria viga 1, umquinho igual prpria carga e, a carga Q igual a 1 aplicada sobre a viga 2, ainda na viga 1, umquinho nulo, como indica a Fig. A1.3.

Viga 1 Viga 2

Seo transversal

Linha de influncia dos

quinhes de carga da viga 1

Linha de influncia dos

quinhes de carga da viga 2

1

s

Q

y1=b/sa b

Viga 1 Viga 2Simplificao

1

Q

y2=a/s

Fig. A1.3 Linhas de influncia dos quinhes de carga para vigas independentes.

Suponha-se ento uma ponte com duas vigas principais contnuas em trs ramos, carregadapor uma carga Q disposta distncia ada viga 1(Fig. A1.3), e distnciaxde um dos apoios. Tudose passa como se a viga 1estivesse sujeita a uma carga Q1, disposta mesma distnciaxdo apoio e,

portanto, como se a viga 2estivesse suportando o quinho Q2=Q-Q1, situado ainda distnciaxdoapoio considerado (Fig. A1.4)

Fig. A1.4 Exemplo de ponte com duas vigas contnuas de trs ramos com uma carga Q mvel.

Considerando agora uma ponte, com estrutura principal constituda por duas vigas que, porexemplo, sejam simplesmente apoiadas (Fig. A1.5), o carregamento normalda ponte ser compostode um veculo e de uma carga distribuda de multido, posta ao lado, adiante e atrs do veculo.

x

x


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Para o clculo de cada uma das vigas deve-se determinar os quinhes de carga que so suportadospelas vigas, ou seja, deve-se determinar o trem-tipo das vigas principais.

Considerando a viga 1, a fim de obter os mximos esforos da viga, posiciona-se as cargassobre o tabuleiro de maneira que resultem os maiores quinhes sobre a viga 1: o veculo deve ser

posicionado na regio onde esto as maiores ordenadas da linha de influncia dos quinhes,portanto no limite esquerda da pista de rolamento (Fig.A1.5); a carga distribuda deve ocupar orestante da pista de rolamento, exceto a regio onde as ordenadas da linha de influncia dosquinhes so negativas. Todas as cargas devem ser majoradas pelo coeficiente de impacto .

Com essa linha de influncia, conclui-se que tudo se passa como se atuassem, diretamentesobre a viga 1, as cargas indicadas na Fig. A1.5com a designao trem-tipo da viga 1. Com essetrem-tipo calculam-se ento os momentos fletores e as foras cortantes em qualquer seo da vigaem estudo, mediante as respectivas linhas de influncia.

Viga 1 Viga 2

Seo transversal Planta do tabuleiro

1

Linha de influncia dosquinhes da viga 1

qVeculo

Q

q

q

q

Q Q q

Nos trs eixos do veculo

q

Adiante ou atrs do veculo

Q1

Q1

Q1

q1

q1

q2

V

iga1

Trem-tipo

Q1= Q (y1 + y2) q1= q (A1 + A2) q2= q A2

y1

y2

a

b

A1A2

Fig. A1.5 Ponte de duas vigas simplesmente apoiadas sem passeios clculo do trem-tipo da viga 1.

Para tabuleiros de pontes com passeios deve-se acrescentar o carregamento do passeioconstitudo pela carga distribuda q como apresentado na Fig. A.1.6.


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Fig. A1.6 Clculo do trem-tipo da viga em pontes com passeios.


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Tendo em vista uma simplificao no carregamento da viga com o trem-tipo, pode-seconsiderar a carga q1 em toda a viga e descontar do valor de Q1 a diferena entre q1 e q2 comomostra a Fig. A.1.7.

Q

q

q

q

Q1

Q1

Q1

q1

q1

q2

Viga1

6m

Q2

Q2

Q2

q1

q1

Viga1

Trem-tipo simplificadoQ2 = Q1 (q1 q2) x 6m / 3

Fig. A1.7 Simplificao do trem-tipo da viga.

Determinados os esforos nas vigas principais, resta obt-los para as transversinas.A transversina uma viga ligada monoliticamente nas extremidades s vigas principais, e o

conjunto se deforma de formas diferentes em funo da posio da carga mvel.

Para a carga mvel centrada na transversina (Fig. A1.8), isto , posicionada simetricamente naseo transversal, as duas vigas se deformam igualmente e ocorrero momentos fletores negativosnas extremidades da transversina.

M-M-

Seo transversal da ponte de duas vigas

Carga mvel centrada sobre a transversina

Deformao da transversina e das vigas

Momentos fletores nas extremidades da transversina

Fig. A1.8 Deformao da transversina e das vigas para carga mvel centrada


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Para a carga mvel excntrica (Fig. A1.9), as vigas se deformam de formas diferentes eocorrero momentos fletores de sinais contrrios nas extremidades da transversina.

M+

M-

M+

M-

Fig. A1.9 Deformao da transversina e das vigas para carga mvel excntrica

Tendo em vista a complexidade do clculo exato da transversina para levar em conta osefeitos mostrados nas figuras anteriores, a antiga NB-2/1961 recomendava um procedimentosimplificado no qual os esforos na transversina eram calculados considerando-a como se fossesimplesmente apoiada, e acrescentando momentos fletores positivos e negativos nas suasextremidades conforme mostra a Fig. A1.9.

Como viga simplesmente apoiada

+

- -

+Mmax

Mmax / 4Mmax / 4

Mmax / 3 Mmax / 3

Fig. A1.9 Clculo simplificado da transversina conforme NB-2/1961

O carregamento da transversina para o caso da carga permanente pode ser feito a partir darea de influncia, considerada-a como uniformemente distribuda ao longo da transversina, comomostra a Fig. A1.10.

Eixo da viga principal VP1


EixodatransversinaVT1

VT2

VT3

VT4

VT5

rea de influncia datransversina VT3

45 4

5

45 45

Fig. A1.10 Procedimento para o clculo do efeito da carga permanente na transversina.


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No caso da carga mvel, os seguintes passos devem ser executados, como sistematiza a Fig.A1.11.

Construir a linha de influncia dos quinhes de carga; Posicionar a carga mvel na situao mais desfavorvel; Determinar o trem-tipo da transversina, com:

Q1 = Q (y1+ 1 + y2)q1 = q (A1+ A2+ A3)q2 = q (A1+ A3) = 1,4 0,007 l

q Q

q1

q1

q2Q1

Q1



Eixodatra

nsversinaVT1

VT2

VT3

VT4

VT5

l

Trem-tipo datransversina VT3

nas faixas lateraisao veculo

nas rodas do veculo

linha de influncia dosquinhes de carga da

transversina VT3

1y1 y2

a bA1 A3

A2

q

q

q

q

q

q

Q Q Q

Fig. A1.11 Procedimento para o clculo do efeito da carga mvel na transversina.

Tabuleiros de pontes com maior nmero de longarinas, como mostra a Fig. A1.12, so tambmfreqentes, principalmente no caso de vigas principais protendidas pr-fabricadas.

Fig. A1.12 Tipologia da seo e processos de clculo das superestruturas com elevado nmero de vigas.


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O procedimento de vigas independentes descrito anteriormente para o caso de duas vigaspode tambm ser aplicado para o caso de mais de duas vigas, devendo-se porm notar que nestecaso a hiptese de vigas independentes , em geral, muito grosseira, recomendada apenas paraavaliao preliminar de esforos. importante lembrar que com o maior nmero de vigas, por serhiperesttica a estrutura principal, maior ser a distribuio transversal dos esforos, logo qualquer

alterao das dimenses inicialmente adotadas altera a distribuio dos esforos.Quando existem mais do que duas vigas principais, a antiga norma NB 2/1961 recomendava o

clculo da superestrutura como grelha, porm em fase de pr-dimensionamento comum o clculoainda admitindo que as vigas sejam independentes. Supe-se ento, como mostra a Fig. A1.13, que otabuleiro distribua as cargas para as vigas longitudinais como se sobre estas houvesse, em toda aextenso da ponte, transversinas simplesmente apoiadas. Desta forma, para o clculo da viga 1interessam apenas as cargas colocadas entre (1) e (2); no clculo da viga 2, intervm apenas ascargas que atuam entre (1) e (3), e assim por diante.

Fig. A1.13 Linha de influncia dos quinhes de carga para pontes com mais de duas vigas principais.

Feita essa hiptese, procede-se determinao dos diversos trens-tipos, um para cada vigalongitudinal, de forma absolutamente anloga ilustrada no caso de duas vigas longitudinais.

Pode-se ter noo do erro que se comete ao se utilizar para o clculo o esquema de vigasindependentes, observando os resultados experimentais da Fig. A1.14, cuja legenda os esclarece.

Note-se que no h transversinas nos tramos, mas apenas nos apoios.

Fig. A1.14Resultados experimentais.


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A1.2.3. Processo de Engesser-Courbon

Como conseqncia das hipteses simplificadoras adotadas, este processo de clculo fornecebons resultados quando o tabuleiro de ponte analisado apresenta a dimenso longitudinalpredominando sensivelmente sobre a dimenso transversal.

As hipteses simplificadoras so:

transformao do tabuleiro monoltico numa malha de vigas longitudinais etransversais;

no considerao do efeito de toro das vigas;

suposio de rigidez infinita para a transversina.

A segunda hiptese implica no fato de que a reao mtua nos cruzamentos das vigaslongitudinais com as transversais seja unicamente uma fora vertical.

Na Fig. A1.15, apresenta-se a esquematizao grfica das hipteses simplificadoras doprocesso.

Fig. A1.15Esquematizao grfica do processo de Engesser-Courbon.


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A determinao dos quinhes de carga q i pode ser feita a partir da compatibilizao dasflechas das vigas, como se mostra a seguir.

A flecha da viga i proporcional ao quinho de carga qi e pode ser expressa pelaexpresso:

i

ii E

qI

=

onde: = constante que depende do esquema esttico da viga e do seu vo;

E= mdulo de elasticidade do concreto da viga;

Ii= momento de inrcia da seo transversal da viga.

Se a carga Q estiver aplicada no centro elstico da seo transversal (Fig. A1.16) todas asvigas tero o mesmo valor da flecha, porque por hiptese, a transversina tem rigidez infinita:

n

ni

2

2

1

1

ni21

qqqqIIII i

=====

=====

Ento pode-se escrever:

==

ii

i

i

i Qqq

III

E portanto:

=

i

ii Qq

I

I

Fig. A1.16Quinhes de carga para a carga no centro elstico.

O centro elstico da seo transversal pode ser determinado conforme mostrado a seguir:

==+++ 0iinn2211 xQxqxqxqxq Portanto:

Q

xqx ii0

=

Substituindo q i pela expresso deduzida anteriormente obtm-se:

=

i

ii0

xx

I

I

Portanto, o centro elstico o baricentro dos momentos de inrcia da seo transversal dasvigas.

Se a carga Q estiver aplicada fora do centro elstico da seo transversal (Fig. A1-17) pode-sedeterminar o valor de q i como soma de duas parcelas:

q i0= quinho de carga para a carga Q aplicada no centro elstico;

q i1= quinho de carga para o momento (Q.e) relativo excentricidade e da carga Q emrelao ao centro elstico.


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Fig. A1.17Quinhes de carga para a carga fora do centro elstico.

Conforme deduzido anteriormente o quinho de carga para a carga no centro elstico vale:

=

i

i0i Qq I

I

A expresso para q i1 pode ser determinado como se mostra a seguir:

i

1

i

1

x

x

=

sendo:1

11

1 E

q

I= e

i

1i

i E

q

I=

obtm-se:i

1i

111

i

1

q

q

x

x

I

I=

portanto: ii11

111

i xx

qq

= I

I

Fazendo o equilbrio de momentos em relao ao centre elstico, pode-se escrever:


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eQxq i1i =

Substituindo q i1 pela expresso deduzida anteriormente obtm-se:

=

eQx

x

q 2ii

11

11 I

I

E portanto:

=

211

1111

x

xeQq

I

I

Generalizando pode-se escrever:

=2ii

ii1i

x

xeQq

I

I

E assim a expresso final de q i= q i0+ q i

1 ser:

+=

2iiii

i

ii

xxeQq

II

II

A1.2.4. Processo de Guyon-Massonnet

No processo de Guyon-Massonnet para o clculo de tabuleiro de pontes so consideradas asseguintes hipteses simplificadoras:

o tabuleiro transformado numa placa orttropa que apresenta as mesmas rigidezes mdiasde flexo e toro;

o carregamento real substitudo por um carregamento equivalente que tem a formasenoidal na direo longitudinal;

a placa orttropa calculada utilizando o mtodo dos coeficientes de repartiotransversal.

A justificao da primeira hiptese conseqncia da semelhana de comportamento da placaorttropa e da grelha, como se mostra a seguir atravs das respectivas equaes diferenciais.

No caso de placa orttropa retangular apoiada em dois lados opostos (Fig. A1.18):

Fig. A1.18Placa orttropa.


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( )y,xqy

w

yx

wH2

x

w4

4

y22

4

4

4

x =

+

+

w= deslocamento transversal

12hE

3'x

x = 12hE

3'

yy =

+= 2H xy 12hE 3"

xy

= 12

hG 3=

x

x'x 1

EE

=

yx

y'y 1

EE

=

yx

xy

yx

yx"

1

E

1

EE

=

=

Ex e Ey = mdulos de elasticidade nas direes x e y

x e y = coeficientes de Poisson nas direes x e y

G = mdulo de elasticidade transversal

h = espessura da placa

2.b = largura da placa

l = vo entre os apoios da placa

No caso de grelha (Fig. A1.19):

Fig. A1.19 Grelha.

( ) ( )y,xqy

w

yx

w

x

w4

4

E22

4

EP4

4

P =

+

++

0P b

E PI= 0

EE

E

l

I=

0P b

G tPI= 0

tE

E

G

l

I=


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IP= momento de inrcia flexo das vigas principaisItP= momento de inrcia toro das vigas principaisIE= momento de inrcia flexo das transversinasItE= momento de inrcia toro das transversinasb0= espaamento das vigas principaisl0= espaamento das transversinas

As equaes diferenciais da placa orttropa e da grelha so formalmente idnticas,significando que, as placas orttropas podem ser calculadas como grelhas e vice-versa.

A transformao do carregamento real em um carregamento equivalente de forma senoidaltem como objetivo possibilitar a resoluo da equao diferencial.

O tabuleiro de ponte de vigas, constitudo pelas vigas longitudinais, transversinas e laje, uma estrutura cujo comportamento intermedirio entre a placa orttropa e a grelha.

Para definir o comportamento do tabuleiro de uma ponte de vigas, Guyon criou doisparmetros adimensionais: ( referente toro) e (associado ao travamento).

O parmetro de toro calculado pela expresso:

EP

EP

2

+= com 10

Onde = 0 significa grelha sem toro e = 1 significa placa orttropa.

O parmetro de travamento calculado pela expresso:

4

E

Pb = l

Salienta-se que quanto maior o valor de , mais fraco o travamento.

Na aplicao do processo para clculo de pontes, deve-se determinar o coeficiente derepartio transversal definido como:

)(w

)(wK

0 yx,

yx,=

onde: w(x,y) = deslocamento da placa orttropa;

w0(x,y) = deslocamento da placa orttropa calculada como viga de largura (2.b).

O valor de K funo dos parmetros e , e tendo em vista a complexidade daexpresso, resultante da resoluo da equao diferencial, que permite calcul-lo, os seus valoresforam tabelados por Bares e Massonnet.

O procedimento prtico para aplicao do processo consiste em utilizar os coeficientes K,como se fossem os quinhes de carga das vigas, pois os dois valores so diretamente proporcionais.


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A1.2.5. Seo celular

O caso da seo celular composta apenas de uma clula, apresentado na Fig. A1.20, pode ser svezes assimilado ao caso de uma grelha, porm mais adequadamente tratado considerando-se a

viga-caixo sujeita aos efeitos da carga Q centrada e do momento Q.e, correspondente excentricidade de Q.

QQ

eQ.e

Fig. A1.20 Caso da seo celular composta apenas de uma clula.

No caso da seo celular, os esforos dependem basicamente de duas situaes de projeto:

carregamento de todo o tabuleiro (Fig. A1.21): para obteno do momento fletor mximo,e da respectiva fora cortante (mxima), com ou sem momento de toro;

carregamento de metade do tabuleiro (Fig. A1.22): para obteno do momento de toromximo, e dos respectivos momento fletor e fora cortante.

Carregamento centrado de todo o tabuleiroMomento fletor mximo

Fora cortante respectiva (mxima)No h momento de toro

Carregamento excntrico de todo o tabuleiroMomento fletor mximo

Fora cortante respectiva (mxima)H momento de toro, mas no o mximo

Fig. A1.21 Carregamento de todo o tabuleiro

Carregamento de metade do tabuleiro

Momento de toro mximo

Momento fletor respectivo (no o mximo)

Fora cortante respectiva (no a mxima)

Fig. A1.22 Carregamento de metade do tabuleiro


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Para sees com mais de uma clula, como a mostrada na Fig. A1.23, valem todas asconsideraes indicadas anteriormente.

Fig. A1.23 Caso da seo celular composta por mais de uma clula

Um alternativa pode ser o clculo como grelha como mostrado na Fig. A1.24.

Fig. A1.24 Clculo como grelha da seo celular com mais de uma clula

A1.2.6 Lajes do tabuleiro

As lajes do tabuleiro apresentam sempre certo grau de engastamento nas vigas, longitudinaisou transversais. O clculo dessas lajes feito mediante processos baseados na teoria das placaselsticas ou elastoplsticas (teoria das charneiras plsticas), ou ainda, por processo misto, indicadona antiga NB-2/1961 no item 24.

Calcula-se cada painel isoladamente, admitindo de incio apoios livres ou engastamentosperfeitos, em seguida, os momentos so corrigidos de maneira aproximada, levando em conta acontinuidade em cada direo.

No processo misto, arbitra-se desde o incio o momento de engastamento parcial sobre asvigas, dispensando-se a posterior correo de continuidade (a no ser quanto eventual necessidadede harmonizar os momentos arbitrrios em painis adjacentes).

Em quaisquer desses processos, supe-se que as vigas forneam apoio irrecalcvel s lajes; considerao da deformabilidade das transversinas pode-se chegar, por exemplo, mediante assuperfcies de influncia de momentos de apoio construdas por Hoeland.

Contrariamente ao que habitualmente sucede em edifcios, as lajes de pontes devem serverificadas fora cortante.

Cabe ressaltar que as tabelas de Rsch (lajes retangulares) e de Rsch, Hergenrder eMungan (lajes esconsas), baseadas na teoria elstica, tornam o clculo bastante rpido,dispensando-se os critrios aproximados. Embora nem sempre seus resultados conduzam adimensionamento econmico, so certamente adequados em fase de anteprojeto. O emprego das

tabelas de Rsch apresentado no Anexo 5.


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A1.3. PONTES DE LAJE

A1.3.1. Lajes macias

Um dos tipos construtivamente mais simples de superestrutura de pontes o que utiliza comoestrutura principal a laje macia, de concreto armado ou de concreto protendido. Confundem-se aestrutura principal e o tabuleiro numa nica pea, de grande simplicidade de execuo, quer quantos formas e s armadura, quer quanto concretagem.

O clculo de solicitaes realizado pela teoria das placas istropas, onde a rigidez igualnas duas direes, como mostra a Fig. A1.25.No caso das lajes macias tambm se utiliza para oclculo as tabelas de Rsch, apresentadas no Anexo 5.

Fig. A1.25 Lajes macias: clculo pela teoria das placas istropas.

A1.3.2. Lajes vazadas

No caso das lajes vazadas, o clculo das solicitaes feito pela teoria das placas orttropas,onde a rigidez diferente nas duas direes (Fig. A1.26). Tambm podem ser calculadas pelo

processo de Guyon-Massonnet. A simplificao para placa istropa, com o emprego das tabelas deRsch, uma aproximao que pode ser usada, mas com bastante critrio.

Fig. A1.26 Lajes vazadas: clculo pela teoria das placas orttropas.


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A1.4 CLCULO MEDIANTE PROGRAMAS DE COMPUTADOR

Em funo da quantidade de clculos numricos, muitas vezes repetitivos, as solicitaes novigamento principal (longarinas) e tambm nas transversinas podem ser determinadas utilizando-se

programas de computador.A modelagem do tabuleiro pode ser feita com elementos de barra, criando uma grelha, ou

com elementos de placa e de barra, para clculo pelo mtodo dos elementos finitos.

A1.4.1. Pontes de viga

No caso de pontes de viga de seo T recorre-se a modelagem como grelha com elementos debarra. Em funo da geometria da seo transversal dos elementos, determina-se a rigidez das

barras do modelo. Na Fig. A1.27mostram algumas possibilidades.

Fig. A1.27 Modelos de grelha para pontes de viga.

A1.4.2. Pontes de laje

As pontes de laje podem ser modeladas tambm como grelhas, conforme mostrado na Fig.A1.28e, no caso de tabuleiro no ortonormais, conforme os exemplos de malhas das Fig. A1.29e Fig.A1.30.


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Malha pouco espaada Malha muito espaada

Fig. A1.28 Pontes de laje modelagem como grelha.

Fig. A1.29 Exemplos de malhas para pontes de laje esconsas.

Fig. A1.30 Exemplo de malha para pontes de laje com largura varivel.

A1.4.3. Programas comerciais

O Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC possui uma verso para usoeducacional do STRAP (Structural Analysis Program), que um dossoftwaresutilizado no Brasil

por vrias empresas da rea de projetos de pontes.

Resultados da utilizao do programa no clculo de uma ponte de duas vigas simplesmenteapoiadas so mostrados nas Fig. A1.31a A1.37.


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Fig. A1.31 Discretizao da superestrutura em ns, barras e elementos de placa.

Fig. A1.32 Definio das propriedades de barras e elementos.


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Fig. A1.33 Resultado de momento fletor da carga permanente para as longarinas.

Fig. A1.34 Diviso do tabuleiro em seis faixas de rolamento para clculo dos efeitos da carga mvel.


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Fig. A1.35 Linhas de influncia do momento fletor no meio do vo de uma longarina.

Fig. A1.36 Posio da carga mvel para momento fletor mximo no meio do vo de uma longarina.


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Fig. A1.37 Posio da carga mvel para fora cortante mxima junto ao apoio de uma longarina.

REFERNCIAS E BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

ABNT. NB 2 - Clculo e execuo de pontes de concreto armado. Rio de Janeiro, 1961.

BARES, R., MASSONNET, C. Le calcul des grillages de pouters et dalles orthotropes. Paris,Dunod Editeur, 1966.

HAMBLY, E.C. Bridge deck behaviour. London, E & FN Spon. 1991.

MARTINELLI, D.A.O. Pontes de concreto Notas de aula. So Carlos, EESC-USP, 1978.

MONTANARI, I. Clculo de pontes de vigas Notas de aula. So Carlos, EESC-USP, 1975.PFEIL, W. Pontes em concreto armado. Rio de Janeiro, Livros Tcnicos e Cientficos Editora,

1979.

RSCH, H. Berechnungstafeln fr rechtwinklige Fahrbahnplatten von Straenbrken. Berlim,Wilhelm Ernst & Sohn, 1965.

RSCH, H., HERGENRDER, A., MUNGAN, I. Berechnungstafeln fr schiefwinkligeFahrbahnplatten von Straenbrken. Berlim, Wilhelm Ernst & Sohn, 1965.

SAN MARTIN, F. J. Clculo de tabuleiros de pontes. So Paulo, Livraria Cincia e TecnologiaEditora, 1981.

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Apostila de Pontes - Anexo 1