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Probabilidade e Estatstica - E21Prof. Priscila Pigatto Gasparin

1

A que temperatura a gua entre em ebulio? Se largarmos uma bola, com quevelocidade ela atinge o cho?

Conhecidas certas condies, perfeitamente possvel responder a essas duas

perguntas, antes mesmo da realizao desses experimentos.

Probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e incerteza, quantificao do

conhecimento de um particular evento.

Exemplo1.1 : Previso do tempo. A probabilidade de chuva em um dia 25%.

Mas o que significa os 25%, traduz a quantidade de informao que uma pessoa traz

sobre a probabilidade de chuva.

1.1 Experimento Determinstico

Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto

especificado de condies, conduz invariavelmente ao mesmo resultado, ou seja,

quando os resultados podem ser previstos. . So os experimentos chamados de

determinsticos.

Exemplo 1.2: Quando seguramos uma caneta e a soltamos de uma determinada

altura, qual o resultado esperado deste experimento? A caneta ir cair.

Entretanto, existem experimentos em que no se obtm sempre o mesmo

resultado, ainda que realizado sob condies idnticas. Tais experimentos, por

apresentarem variabilidade nos resultados, so objetos de estudo da Teoria de

Probabilidade.

1.2 Experimentos aleatrios

Se medirmos a corrente em um fio fino de cobre, estaremos conduzindo um

experimento. Entretanto, em repeties dirias da medida, os resultados podero

diferir levemente, por causa de pequenas variaes em variveis que no estejam

controladas em nosso experimento, incluindo variaes nas temperaturas ambientes,

leves variaes nos medidores e pequenas impurezas na composio qumica do fio,

se diferentes localizaes forem seleciondas e se a fonte da corrente oscilar. Desta

forma, esse experimento dito ter um componente aleatrio. Em alguns casos as

1 O que Probabilidade?


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2

variaes aleatrias que experimentamos so suficientemente pequenas, relativas aos

nossos objetivos experimentais, que podem ser ignoradas.

Experimento aleatrio: Um experimento pode fornecer diferentes resultados muito

embora seja repetido toda vez da mesma maneira, chamado de um experimento

aleatrio.

Exemplo 1.3:

a) A medio de corrente em um fio de cobre o modelo para o sistema deve

simplesmente, ser a lei de Ohm. Por causa das entradas no controlveis, so

esperadas aproximaes adequadas. Entretanto, se as variaes forem

grandes, relativas ao uso intencionado do equipamento sob o estudo, podemos

necessitar estender nosso modelo para incluir a variao.

b) Jogue uma moeda quatro vezes e observe o nmero de caras obtido;

c) Uma lmpada fabricada e em seguida ensaiada. Observe a sua durao de

vida;

d) Peas so fabricadas at que 10 peas perfeitas sejam produzidas. O nmero

total de peas observado.

Caractersticas de um experimento aleatrio:

Pode se repetir vrias vezes nas mesmas condies;

Embora o resultado preciso que ocorrer no possa ser dado, um conjunto que

descreva todos os resultados possveis para o experimento poder ser

apresentado;

Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais

parecero ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for

repetido um grande nmero de vezes, uma configurao definida ouregularidade surgir. esta regularidade que torna possvel construir um

modelo matemtico preciso atravs do qual se analisar o experimento.

A teoria da probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um

determinado resultado num experimento aleatrio.

1.3 Espao Amostral

Conjunto de todos os resultados possveis em um experimento estatstico chamado

de espao amostral e representado pelo smbolo S.


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3

Cada resultado chamado de elemento ou membro do espao amostral, ou

simplesmente um ponto amostral.

O espao amostral pode ser:

Finito: Se tem um nmero finito de elementos. S= {1, 2, 3}

Infinito Enumervel: Se tem tantos elementos quanto o conjunto dos nmeros

Naturais. S= {10, 11, 12, ...}

Infinito No enumervel: Se tem tantos elementos quanto um determinado

segmento do eixo Ox, tal como 10 x

Ento, o espao amostral S dos resultados possveis quando a moeda jogada pode

ser escrito como:

Exemplo 1.4:

a) No lanamento de uma moeda S= {cara,coroa}

b) No lanamento de um dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 1.5:Considere o experimento de jogo de dados. Se estivermos interessados

no nmero que aparecer no topo, o espao amostral ser: S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Se estivermos interessados em saber se o nmero ser par ou mpar, o espaoamostral ser simplesmente: S2= {par, mpar}

Com este exemplo temos que mais de um espao amostral pode ser usado para

descrever os resultados de um experimento. Nesse caso, S1fornece mais informaes

que S2. Se soubermos qual elemento ocorre em S1 poderemos dizer qual resultado

ocorre em S2 . Entretanto o conhecimento do que acontece em S2 de pouca ajuda

para determinar qual elemento ocorre em S1. Em geral, desejvel usar um espao

amostral que d mais informaes relacionadas aos resultados de um experimento.

Em alguns casos, adequado listar os elementos do espao amostralsistematicamente, por meio de um diagrama de rvores.

Exemplo 1.6 : Suponha que trs itens sejam selecionados em um processo industrial.

Cada um inspecionado e classificado como defeituoso D, ou no defeituoso, N. Para

listar os elementos do espao amostral que fornece o maior nmero de informaes,

construmos o diagrama de rvore.


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4

Observao:

Os espaos amostraiscom um nmero grande ou infinito de pontos amostrais so mais

bem descritos por um enunciado ou regra. Por exemplo: Se os resultados possveis de

um experimento so o conjunto de cidades do mundo com populao acima de um

milho de habitantes, nosso espao amostral escrito como:

habitantesdemilhoumdeacimapopulaocomcidadea/xxS

1.4 Evento

Para qualquer experimento dado, podemos estar interessados na ocorrncia de certos

eventos em vez de no resultado de um elemento especfico do espao amostral. Por

exemplo, podemos estar interessados no evento A cujo resultado, quando um dado

lanado, divisvel por 3. Isso ocorrer se o resultado for um elemento do subgrupo

6,3A do espao amostral S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento: um subconjunto de um espao amostral. Dizemos que o Evento A ocorre sequalquer um dos resultados de A ocorre.

Um evento que contenha apenas um elemento, isto , um conjunto que

consiste de um nico resultado do experimento dito evento simples ou elementar.

Em particular, dizemos que um evento A impossvel se A= e que o

prprio espao amostral o evento certeza.

Exemplo 1.7: Considere o experimento aleatrio: lanamento de dois dados, um

branco e outro vermelho. O espao amostral que descreve essa experincia :


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5

)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(

)6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(

)6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(

)6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(

)6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(

)6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(

S

O primeiro nmero de cada par acima indica o resultado no dado branco, e o segundo

nmero indica o resultado no dado vermelho. Ou seja, (3,6) 3, no dado branco e 6

no dado vermelho.

Considere agora os seguintes eventos:

1) A: A soma dos resultados nos dois dados menor que 4

)1,2(),2,1(),1,1(A

2) B: Soma dos resultados dos dois dados menor que 1

B Neste caso, quando o evento o conjunto vazio, dizemos que o

evento impossvel.

3) C: A soma dos resultados nos dois dados igual a 12 ou menor que 12.

SC Neste caso, quando o evento o prprio espao amostral S,

dizemos que o evento certo.

1) Uma urna contm 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e

observa-se o nmero indicado. Descrever de forma explcita os seguintes conjuntos e

dar o nmero de elementos de cada um:

a) O espao amostral S

b) O evento A: o nmero da bola mpar

c) O evento B: o nmero da bola maior que 6.


6/38


6

2) Em um cesto h 6 bolas de vlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto so

retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular o nmero de elementos dos seguitnes

eventos:

a) As trs bolas tm a mesma cor

b) Duas das bolas so brancas

c) As trs bolas so vermelhas

d) O nmero de bolas brancas igual ao nmero de bolas vermelhas.


7/38


7

Considere as seguintes situaes em que os eventos so eventos simples:

Exemplos:

2.1) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de cair 3?

Soluo:

Espao Amostral 6,5,4,3,2,1S

Evento A: Cair 3

3A A um evento simples

Portanto, a probabilidade de cair 3 de 1 em 6, ou seja,

6

1, ou ainda de 16,66...%.

Para cada um dos outros nmeros do espao amostral, a probabilidade continua a

mesma que de6

1

2.2) No lanamento de uma moeda, qual a probabilidade de sair cara?

Soluo:

Espao Amostral S={cara, coroa}

Evento B: Sair caraB={cara} B um evento simples

Neste caso, a probabilidade de sair cara de 1 em 2, ou seja,2

1, ou ainda de 50%

Observe que a probabilidade de sair coroa tambm de2

1.

2.3) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser um

rei de copas?

Soluo:

Neste caso, a probabilidade de 1em 52, ou de52

1, ou ainda de aproximadamente

1,9%. Tambm neste caso,a probabilidade de ser retirada ao acaso qualquer uma das

outras 51 cartas do baralho de52

1

2.1 Enfoque Estatstico

2 Probabilidade de um evento em um Espao Amostral Finito


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8

Se repetirmos um experimento aleatrio n vezes, em certo nmero m de vezes

ocorrer o evento A: m a frequncia com que ocorre o evento A e m/n a frequncia

relativa de ocorrncia de A.

Chamamos de probabilidade do evento A, P(A), ao valor limite da frequncia

relativa m/n para uma sequncia muito grande de realizaes do experimento

)( n , ou seja,n

mEP

n lim)(

Por exemplo: Considere o experimento aleatrio de jogar uma moeda honesta e

observar o resultado que ocorre. O espao amostral THS , . Sej ao Evento

HA .A medida que forem realizados os lanamentos da moeda, notamos que a

proporo (frequncia relativa) de caras se aproxima de . O abaixo ilustra esta

situao apresentando a tendncia da frequncia relativa em se aproximar do valor ,

medida em que o nmero de lanamentos cresce.

2.2 Enfoque Clssico.

Seja um experimento aleatrio e S um espao amostral associado a .

Suponha que S seja finito e que todos os resultados de S sejam igualmente provveis.

e que a probabilidade de cada evento simples den

1. Para um evento simples A,

indicamos:)(

1)(

Sn

AP


9/38


9

Considere um evento A de S, ou sejam SA . Ento, se sn e An so,

respectivamente, o nmero de elementos de S e o nmero de elementos de A, a

probabilidade de ocorrncia do evento A, P(A), um nmero real definido por:

)(

)()(

Sn

AnAP

Exemplo 2.4: No lanamento de dois dados, um branco e um vermelho, qual a

probabilidade da soma nos dois dados ser maior que 7?

Veja o espao Amostral S:

)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(

)6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(

)6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(

)6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(

)6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(

)6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(

S

Como S um espao equiprovvel e n(S)= 36, a probabilidade de cada evento

simples 36

1 .

Vamos chamar de E o evento a soma nos dois dados maior que 7

)6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),6,4(),5,4(),4,4(),6,3(),5,3(),6,2(S

n(E)=15

A probabilidade do evento E dado por:36

15

)(

)()(

Sn

EnEP

Ainda podemos compreender que )(EP a soma das probabilidades dos 15 eventos

simples de probabilidade36

1.

36

15

36

1...

36

1

36

1)( EP

n(A): o nmero de elementos do evento A

n(S): o nmero de elementos do espao amostral S


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10

1) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposio, duas

cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

a) As duas cartas so damas

b) As duas cartas so de ouro.

2) Considere os nmeros de trs algarismos distintos que podem ser formados

permutando-se os algarismos 2, 3 e 4. Imagine que uma dessas permutaes foi

escolhida ao acaso e considere os seguintes eventos:

A: o nmero sorteado mltiplo de 3

B: o nmero sorteado mltiplo de 5

Qual a probabilidade de ocorrer cada um desses eventos?

3) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 esto estragadas. Escolhendo

aleatriamente 2 frutas desse conjunto, determine a probabilidade de:

a) ambas no estarem estragadas

b) pelo menos uma estar estragada


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11

1) Unio

BA : o evento que contm todos os elemetos que pertecem a A ou B ou a ambos.

Exemplo 3.1: Seja cbaA ,, e dcbB ,, , ento dcbaBA ,,,

2) Interseco

BA : a ocorrncia do evento A e B, ou seja, o evento que contm todos os

elementos comuns a A e B.

Exemplo 3.2: Seja C o evento no qual uma pessoa selecionada aleatriamente em um

restaurante um estudante universitrio, e M o evento no qual essa pessoal do

sexo masculino. Ento MC o evento formado por todos os estudantes

universitrios do sexo masculino no restaurante.

3) Evento Complementar

3 Probabilidade: Operaes com Eventos


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12

A : So os resultados que no pertence ao evento considerado, ou seja, o eventocomplementar a NO ocorrncia do evento considerado.

Exemplo 3.3: Seja R o evento no qual uma carta vermelha selecionada de um

baralho comum com 52 cartas, e S o baralho inteiro. Ento R o evento no qual a

carta selecionada no baralho no vermelha, mas preta.

4) Evento Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos

BA Quando A e B no possurem nenhum resultado em comum. Siginifica que

estes eventos so mutuamente exclusivos quando um acontece o outro no pode

acontecer.

Exemplo 3.4: Dado o conjunto 7,6,4,2A e conjunto 9,8,5,3B . Ento

BA , ou seja, a interseco dos conjuntos A e B vazia, no possui nenhum

elemento em comum. Estes conjuntos so disjuntos.

Em Engenharia as decises so tomadas sobre eventos complexos a partir da

probabilidade elementar conhecida. Devemos decompor os eventos complexos em

A


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13

eventos elementares por meio de operaes de probabilidade. E cada uma dessas

operaes de probabilidade est presente nos Teoremas de Probabilidade que ir

relacionar as operaes com os eventos elementares.

Teorema da Unio

Pelo Teorema da Unio temos:

Corolrio 1

A e B so mutuamente exclusivos, ento:

Quando os Eventos so mutuamente excluivos )()()()( BAPBPAPBAP

no h possibilidade de ocorrer simultaneamente. Desta forma, temos que

0)( BAP . Assim, 0)()()( BPAPBAP

Assim, podemos escrever:

Corolrio 2

Se nAAA ,...,, 21 so mutuamente exclusivos, ento

)(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP

Uma coleo de eventos nAAA ,...,, 21 de um espao amostral S chamada de

partio de S se nAAA ,...,, 21 forem mutuamente exclusivos e SAAA n ...21

Corolrio 3

Se nAAA ,...,, 21 uma partio do espao amostral S, ento

1)()(...)()()...( 2121 SPAPAPAPAAAP nn

Teorema

Podemos ainda generalizar esse Teorema da Unio para mais eventos:

)()()()( BAPBPAPBAP

)()()( BPAPBAP

)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP


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14

1) Em uma pesquisa sobre a preferncia em relao a dois jornais, foram consultadas

470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lem o jornal A, 180 lem o jornal

B e 60 lem os jornais A e B. Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, qual a

probabilidade de qu ele seja:

a) Leitor dos jornais A e B

b) Leitor do jornal A ou do jornal B?

2) Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ocorrer

um rei ou valete?

3) Pedro vai se formar em engenharia industrial no final do semestre. Depois de ser

entrevistado por duas empresas, ele avalia que a probabilidade de conseguir uma

oferta da empresa A de 0,8 e da empresa B de 0,6. Se, por outro lado, ele cr que

a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas de 0,5 qual a

probabilidade de que ele consiga uma oferta pelo menos uma das empresas?


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15

Geralmente, mais difcil calcular a probabilidade de um evento ocorrer do que a

probabilidade de que ele no ocorra. Se este for o caso para algum evento A,

simplesmente determinamos )(AP primeiro e, ento usando o Teorema da Unio,

encontramos )(AP por meio da subtrao.

Teorema do Complementar

4) No lanamento simultneo de dois dados, vamos determinar a probabilidade de no

sair soma 4.

Se A e A so eventos complementares ento 1)()( APAP

4 Probabilidade: Condicional


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16

A probabilidade de um evento B ocorrer quando sabemos que algum evento A

ocorreu chamada probabilidade condicional e denotada por )|( ABP . O smbolo

)|( ABP normalmente lido como a probabilidade de que B ocorra dado que A

ocorre, ou simplesmente a probabilidade de que B ocorra dado que A j ocorreou

simplesmente a probabilidade de B dado A.

Definio: A probabilidade condicional de B dado A, denotada por )|( ABP , definida

por:

)(

)()|(

AP

BAPABP

desde que 0)( AP

Exemplo 4.1: Suponha que o espao amostral S seja a populao adulta de uma

pequena cidade a qual completou os requerimentos para o nvel universitrio.

Devemos categoriz-los de acordo com gnero e status empregatcio. Os dados so

apresentados na tabela:

Empregados Desempregados Total

Homem 460 40 500

Mulher 140 260 400

Total 600 300 900

Um desses indivduos selecionado aleatoriamente para uma turn pelo pas para

divulgar as vantagens de novas indstrias se estabelecerem na cidade. Devemos nos

preocupar com os seguintes eventos:

M: um homem escolhido

E: o escolhido est empregado

Usando o espao amostral reduzido, descobrimos que:30

23

600

460)|( EMP

Seja n(A) a denotao para o nmero de elementos em qualquer conjunto A. Usando

essa notao, podemos escrever:

)(

)(

)(/)(

)(/)(

)(

)()|(

EP

MEP

SnEn

SnMEn

En

MEnEMP

onde )( MEP e )(EP so

encontrados no espao amostral original S. Para verificar o resultado note que:


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17

3

2

900

600)( EP e

45

23

900

460)( MEP . Ento

30

23

3/2

45/23

)|( EMP

1) Numa classe com 60 alunos, 40 estudam s Matemtica, 10 estudam s Fsica e 5

estudam Matemtica e Fsica. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda

Matemtica estudar tambm Fsica.

2) Numa caixa h os seguintes cartes:

Retirando-se dois cartes, sucessivamente, sem reposio do primeiro. Determine a

probabilidade de que os dois nmeros retirados sejam mpares.

3) Considere o processo industrial em uma indstria txtil, no qual tiras de

determinado tipo de tecido esto sendo produzidas. Essas faixas de tecido podem ter

dois tipos de defeitos, no comprimento ou na natureza de sua textura. No caso do

segundo, o processo de identificao bastante complicado . Sabe-se, de dados

histricos do processo que 10% dos tecidos falham no teste de comprimento, 5%falham no teste de textura, e somente, 0,8% falham em ambos os testes. Se uma faixa

de tecido for selecionada aleatoriamente do processo e uma rpida medio indicar

que tal faixa falhou no teste de comprimento, qual a probabilidade de que haja

defeito na textura?


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18

Considere a situao na qual temos eventos A e B e )()|( APBAP . Em

outras palavras, a ocorrncia de B no teve impacto nas chances de ocorrncia de A.

Neste caso a ocorrncia de A independente da ocorrncia de B.

Definio: Dois eventos A e B so independentes se e somente se )()|( BPABP

ou )()|( APBAP desde que as probabilidades condicionais existam. Caso contrrio

A e B sero dependentes.

5.1 REGRAS MULTIPLICATIVAS

Ento a probabilidade de que ambos A e B ocorram igual probabilidade de que A

ocorra multiplicada pela probabilidade condicional de que B ocorra, dado que A ocorre.

J que os eventos BA e AB so equivalentes, ou seja,

)|()()()( BAPBPABPBAP . Em outras palavras, no importa qual evento

atribudo a A e qual atribudo a B.

Exemplo 5.1: Suponha que temos uma caixa com 20 fusveis, dentre os quais cinco

apresentam defeito. Se dois fusveis so selecionados aleatoriamente e removidos da

caixa, sucessivamente, sem reposio do primeiro, qual a probabilidade de que

ambos apresentem defeito?

Soluo: Devemos considerar que A seja o evento no qual o primeiro fusvel

apresenta defeito e B o evento no qual o segundo apresenta defeito, ento

interpretamos BA como o evento em que A ocorre, e ento B ocorre aps A ter

ocorrido. A probabilidade de remover primeiro um fusvel defeituosos de4

1, e ento

a probabilidade de se remover o segundo com defeito do restante dos quatro fusveis

de19

4. Portanto:

19

1

19

4.4

1

19

4.

20

5)(

BAP

5 Eventos Independentes

Teorema: Se em um experimento ambos os eventos A e B podem ocorrer, ento

)|().()( ABPAPBAP desde que 0)( AP


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19

Desta forma, se o primeiro fusvel for reposto e os fusveis forem totalmente

reorganizados aps o segundo ser removido, ento a probabilidade de um fusvel

defeituoso na segunda seleo continua sendo de 4

1

, ou seja, )()|( BPABP e os

eventos A e B so independentes. Quando isso verdadeiro, podemos substituir

)(BP por )|( ABP para obter a seguinte regra multiplicativa especial:

Exemplo 5.2:Uma pequena cidade tem um caminho de bombeiros e uma ambulncia

para as emergncias. A probabilidade de que o caminho de bombeiros esteja

disponvel quando necessrio de 0,98 e a da ambulncia de 0,92. No caso de um

ferimento causado por um incndio em um prdio, determine a probabilidade de a

ambulncia e o caminho de bombeiros estarem disponveis.

Soluo: A e B representam os respectivos eventos nos quais o caminho e a

ambulncia esto disponveis. Ento: 9016,0)92,0).(98,0()()()( BPAPBAP

Exemplo 5.3:Seja uma produo de vinte peas agrcolas em que 12 so defeituosas

e 8 so perfeitas, so inspecionadas uma aps a outra. Se essas peas forem

extradas ao acaso, qual ser a probabilidade de que:

a) As duas primeiras peas sejam defeituosas

b) As duas primeiras peas sejam perfeitas

c) As duas primeiras peas inspecionadas uma seja perfeita e a outra defeituosa.

Soluo:

a) D= defeituosa

95

33

380

132

19

11.

20

12)|().()( DDPDPDDP

b) P= perfeitas

95

14

380

56

19

7.

20

8)|().()( PPPPPPPP

Teorema: Dois eventos A e B so independentes se, e somente se,

)()()( BPAPBAP . Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os

eventos ocorrero, simplesmente determinamos o produto de suas probabilidades

individuais.


20/38


20

c)95

48

380

96

380

96

19

12

20

8

19

8.

20

12)|().()|().( PDPPPDPPDP

1) Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposio, de um baralho de 52 cartas,

qual a probabilidade do naipe da primeira ser de paus e o da segunda ser de copas?

2) Se do lote de artigos em que 10 so artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com

defeitos graves. Se dois artigos forem escolhidos (sem reposio) ache a

probabilidade de que:

a) Ambos sejam perfeitos

b) Ambos tenham defeitos graves

c) Ao menos um seja perfeito

d) No mximo um seja perfeito

e) Exatamente um seja perfeito

f) Nenhum tenha defeitos graves

g) Nenhum deles seja perfeito


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21

Figura Partio do espao amostral S.

Exemplo: Em uma certa linha de montagem trs mquinas1

B ,2

B e3

B produzem

30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se de experincias anteriores

que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada mquina so respectivamente

defeituosos. Agora, suponha que um produto j acabado, seja selecionado

aleatoriamente. Qual a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito?

Soluo:

Considere os seguintes eventos:

:A o produto tem defeito

:1B o produto feito pela mquina 1B



Aplicandose a regra da eliminao, temos:

)|()()|()()|()()( 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP

6 Regra de Bayes

Teorema

Se os eventoskBBB ,...,, 21 constituem uma partio do espao amostral S, de

modo que 0)( BP para ki ,...,2,1 ento para qualquer evento de S.

k

i

ii

k

i

i BAPBPABPAP11

)|().()()(


22/38


22

Temos que:

006,0)02,0)(3,0()|()( 11 BAPBP

0135,0)03,0)(45,0()|()( 22

BAPBP 005,0)02,0)(25,0()|()( 33 BAPBP

Ento:

0245,0)(

005,00135,0006,0)(

)|()()|()()|()()( 332211

AP

AP

BAPBPBAPBPBAPBPAP

Mas, se pedissemos )(AP , pela regra de eliminao suponha que, agora,

queremos determinar a probabilidade condicional )|( BAP , ou seja, suponha que um

produto foi selecionado aleatoriamente e apresentou defeitos. Qual a probabilidade

de que esse produto tenha sido produzido pela mquina iB ?

Questes desse tipo podem ser respondidas usando-se o seguinte Teorema,

chamado Regra de Bayes:

Pelo Exemplo 6.1 temos:

Se um produto for selecionado aleatoriamente e descobrir-se que apresenta defeitos,

qual a probabilidade de que o produto tenha sido fabricado pela mquina3

B ?

Soluo:

Usando a regra de Bayes escrevemos:

4910

0245,0005,0

005,00135,0006,0005,0)|(

)|()()|()()|()(

)|()()|(

3

332211

33

3

ABP

BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

Teorema(Regra de Bayes):

Se os eventos kBBB ,...,, 21 constituem uma partio do espao amostral S, de

modo que 0)( iBP para ki ,...,2,1 , ento, para qualquer evento A em S, tal

que 0)( AP temos que:

)|()(

)|()(

)(

)()|(

11

i

k

i

i

rr

k

i

i

r

r

BAPBP

BAPBP

ABP

ABPABP

para ki ,...,2,1


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23

Como o produto selecionado apresentava defeitos, esse resultado sugere que ele,

provavelmente, no foi fabricado pela mquina3

B

Exemplo 6.2: Uma indstria emprega trs planos analticos para criar e desenvolver

certo produto. Devido aos custos, os trs planos so usados em momentos variados.

Na verdade, os planos 1, 2 e 3 so usados para 30%, 20% e 50% dos produtos

respectivamente. O ndice de defeitos diferente para os trs procedimentos:

01,0)|( 1 PDP 03,0)|( 2 PDP 02,0)|( 3 PDP , onde )|( jPDP a

probabilidade de um produto apresentar defeitos, dando o plano j . Se selecionarmos

um produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi

provavelmente o plano usado e, em consequncia, responsvel pelo defeito?

Soluo:

Da afirmao do problema:

30,0)( 1 PP 20,0)( 2 PP 50,0)( 3 PP

Devemos determinar )|( DPP j para 3,2,1j . A regra de Bayes mostra que:

158,0019,0

003,0)|(

)02,0)(50,0()03,0)(20,0()01,0)(3,0()01,0)(30,0()|(

)|()()|()()|()(

)|()()|(

1

1

332211

111

DPP

DPP

PDPPPPDPPPPDPPP

PDPPPDPP

Da mesma forma:

316,0019,0

)20,0)(03,0()|( 2 DPP

526,0)019,0(

)50,0)(02,0()|(

3

DPP

Logo, a probabilidade condicional de um defeito, dado o plano 3, a maior dos

trs. Portanto, um produto com defeito , mais provavelmente, resultado do uso do

plano 3.


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24

1) Suponha que temos duas urnas I e II, cada urna tem duas gavetas. A urna I contm

uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra; enquanto a urna

II contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida ao acaso, a

seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada

nessa gaveta ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna II?


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25

Definio 1:uma varivel aleatria uma funo que associa um nmero real a cada

elemento do espao amostral.

Usamos uma letra maiscula, digamos X, para denotar a varivel aleatria e sua letra

minscula correspondente, nesse caso x, para denotar um de seus valores.

Exemplo 7.1: Duas bolas so retiradas, sucessivamente, de uma urna que contm

quatro bolas vermelhas e trs pretas sem serem repostas. Os resultados possveis e

os valores y da varivel aleatria Y, onde Y o nmero de bolas vermelhas so:

Espao Amostral y

VV 2

VP 1

PV 1

PP 0

Exemplo 7.2:Considere a situao simples na qual componentes esto saindo de uma

linha de produo e so classificados como defeituosos ou no defeituosos. A varivelaleatria X definida por:

defeitoapresentarNocomponenteose,0

defeitoapresentarcomponenteose,1X

A varivel aleatria na qual 0 e 1 so escolhidos para descrever os dois valores

possveis chamada de varivel aleatria de Bernoulli.

Definio 2: Se o espao amostral contm um nmero finito de possibilidades ou uma

sequncia infinita com tantos elementos quanto so os nmeros inteiros, ele

chamado de espao amostral discreto.

Os resultados de alguns experimentos estatsticos podem no ser finitos nem

enumerveis. Esse o caso, por exemplo, quando se conduz uma investigao por

exemplo para medir a distncia que certo tipo de automvel percorrer em um teste

prescrito com cinco litros de gasolina. Ao assumir que a distncia a varivel medida

para qualquer grau de preciso, ento, claramente, temos um nmero infinito de

possveis distncias no espao amostral, que no podem ser associadas ao conjunto

dos nmeros inteiros.

7- Variveis aleatrias e Distribuio de Probabilidade


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26

Se registrassemos o tempo que uma reao qumica leva para acontecer, mais

uma vez, os valores de tempo possveis que constituem nosso espao amostral

seriam em nmero infinito e no enumerveis.

Definio 3: Se um espao amostral contm um nmero infinito de possibilidades

igual ao nmero de pontos em um segmento de linha, ele chamado de espao

amostral contnuo.

Exemplo 7.3: H certo interesse na proporo de pessoas que respondem a certa

solicitao de vendas por catlogo. Considere X esta proporo. X a varivel

aleatria que aceita todos os valores x tais que 10 x .

Exemplo 7.4:Considere X a varivel aleatria definida pelo tempo de espera, em

horas, entre motoristas flagrados por um radar de velocidade. A varivel aleatria

aceita todos os valores x nos quais 0x

Uma varivel aleatria chamada de varivel aleatria discreta se seu

conjunto de resultados possveis for enumervel. As variveis aleatrias nos exemplos

7.1 e 7.2 so variveis aleatrias discretas. Mas, se a varivel aleatria tiver comoconjunto de valores possveis um intervalo contnuo de nmeros, ento ela no ser

discreta. Quando uma varivel pode assumir valores em uma escala contnua, ela

chamada de varivel aleatria contnua.

OBSERVA O:

Distribuies de probabilidade discretas: conveniente representar todas as

probabilidades de uma varivel aleatria X por uma frmula. Tal frmula seria,

necessariamente, uma funo dos valores numricos x , denotamos esta funo por)(xf , )(xg , )(xr entre outras. Portanto, escrevemos )()( xXPxf , ou seja,

)3()3( XPf . O conjunto de pares ordenados ))(,( xfx chamada de funo de

probabilidade ou distribuio de probabilidade da varivel aleatria discreta X .

Definio 4: O conjunto de pares ordenados ))(,( xfx a funo de probabilidade,

funo massa de probabilidade ou distribuio de probabilidade da varivel discreta

X , se para cada resultado possvel x :1) 0)( xf


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27

2) 1)(xf

3) )()( xfxXP

OBSERVA O:

Distribuies de probabilidade contnuas: A distribuio de probabilidade de uma

varivel aleatria no possa ser apresentada na forma de tabela, ela pode ser

expressa como uma frmula. Tal frmula seria, necessriamente, uma funo de

valores numricos da varivel aleatria contnua X , e como tal representada pela

notao de funo )(xf . Ao lidar com variveis contnuas, f(x) usualmente chamada

de funo de densidade de probabilidade, ou simplesmente de funo de densidade

de X . J que X definida sobre um espao amostral contnuo, possvel que

)(xf tenha um nmero finito de descontinuidade. Entretanto, a maioria das funes de

densidade que tm aplicaes prticas na anlise de dados estatsticos contnua e

seus grficos assumem vrias formas. Como as reas sero usadas para representar

as probabilidades, e probabilidades so valores numricos positivos, a funo de

densidade deve estar inteiramente acima do eixo x.

A funo densidade de probabilidade construda de moda que a rea abaixo

de sua curva at o eixo x seja igual a 1, quando calculada para a amplitude de Xparaa qual )(xf foi definida. Se essa amplitude de X for um intervalo finito, sempre

possvel estender o intervalo para incluir o conjunto inteiro dos nmeros reais,

definindo-se )(xf como sendo zero em todos os pontos nas pores estendidas do

intervalo.

A probabilidade de que Xassuma um valor entre a e b igual a rea

sobreada abaixo da funo de densidade entre as ordenadas ax bx , e do

clculo integral dada por:

b

a

dxxfbXaP )()(


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28

Definio 5:A funo )(xf a funo de densidade de probabilidade para a varivel

aleatria contnua X , definida no conjunto de nmeros reais , se,

1) 0)( xf para todo x

2) 1)(

dxxf

3) b

a

dxxfbXaP )()(

Definio 6:Seja uma varivel aleatria X , discreta que assume valores no conjunto

,...,, 321 xxx . Chama-se valor mdio ou esperana matemtica de X ao valor)(XE onde:

1

)()(i

iXi xXPxXE se X uma varivel aleatria discreta;

dxxfxXE i )()( se X uma varivel aleatria contnua;

Definio 7:Chama-se varincia (ou desvio mdio quadrtico) da varivel aleatria

X (centrada na mdia) ao valor: 2 tal que 22 )]([)( XEXEXVar Assim:

1

2)()(i

ixXVar se X uma varivel aleatria discreta;

dxxfxXVar )(.)()( 2 se X uma varivel aleatria contnua;

A quantidade denominada de desvio padro.

importante observar que a varincia mede a disperso (espalhamento) dos dados

em torno da mdia e o desvio padro tambm faz isso, mas na mesma unidade de

grandeza de medida dos valores da varivel aleatria.


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29

8.1 DISTRIBUIES DE VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS

8.1.1 Distribuio de Bernoulli

Uma varivel aleatria X tem uma distribuio de Bernoulli com parmetro quando

assume apenas os valores 1 e 0, com probabilidade e )1( respectivamente. O

nmero 1, em geral representa sucesso e 0 o fracasso.

Exemplos 8.1

a) Face de uma moeda: cara (sucesso) ou coroa (fracasso);b) Sexo de uma criana: Masculino (sucesso) ou feminino (fracasso);

c) Qualidade de uma pea: Perfeita (sucesso) ou defeituosa (fracasso)

Uma varivel aleatria X chamada de varivel de Bernoulli com sendo a

probabilidade de sucessose sua funo probabilidade for dada por:

xx

xx xXPxP 1)1()()( 1,0x 10

O parmetro de uma varivel de Bernoulli ser: (probabilidade de sucesso em uma

tentativa)

Observao:

Notao: );1(~ BX ;

0)( XE ;

)1()( XVar

Exemplo 8.2 Qual a esperana e a varincia da v.a

4

1,1~BX ?

8- DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE


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30

8.1.2 Distribuio Binomial

Uma v.a Y tem distribuio binomial com parmetros n (nmero de tentativas) e

(probabilidade de sucessos em uma tentativa) quando assume valores no conjunto

n,...,3,2,1,0 e sua f.p dada pela expresso:

yny

YYy

nyYPyP

)1()()( ny ,...,1,0 10

Essa varivel corresponde ao nmero de sucessos em n provas independentes, cada

uma com distribuio do tipo Bernoulli.

Observao:

Notao: );(~ nBX ;

.)( nXE ;

)1(.)( nXVar

Exemplo 8.3 Se a probabilidade de um estabelecimento de material eltrico possuir

resistncias eltricas top de 0,4, e se pesquisarmos 5 estabelecimentos, qual a

probabilidade de:

a) Exatamente dois possurem resistncias eltricas topb) No mximo dois possurem resistncias eltricas top

c) No mnimo trs possurem resistncias eltricas top

Exemplo 8.4 Com os dados do Exemplo 8.3, calcule o nmero esperado de

estabelecimento de material eltrico com resistncias eltricas top, a varincia e o

desvio padro.


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31

8.1.3 Distribuio de Poisson

A distribuio de Poisson largamente empregada quando se deseja contar o nmero

de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfcie ou

volume, tais como:

1) nmero de chamadas telefnicas recebidas por uma central de emergncia durante

um intervalo pequeno;

2) Nmero de falhas de um computador em um dia de operao

3) Nmero de relatrios de acidentes enviados a um companhia de seguros em uma

semana;

4) Nmero de pacientes atendidos por planto.

Em muitos casos conhecemos o nmero de sucessos, porm se torna difcil e,

s vezes, sem sentido, determinarmos o nmero de fracassos ou o nmero total de

provas.

De modo geral, dizemos que uma v.a X tem uma distribuio de Poisson,

com parmetro 0 , se:!

)(x

exXP

x ,...2,1,0x

Observao:

Notao: )(~ PX ; (X tem distribuio de Poisson com parmetro ) )(XE ;

)(XVar ;

A mdia (esperana) e a varincia so iguais a , pois X tem distribuio de Poisson

com parmetro .

Embora a distribuio de Poisson tenha outras aplicaes, aqui ela nos proporciona uma boa

aproximao da distribuio binomial para n grande desde que p seja pequeno, caso em que

pn.

Exemplo 8.5Uma central PS recebe em mdia 5 chamadas por minuto. Supondo que

as chamadas que chegam constituam uma distribuio de Poisson, obtenha a

probabilidade de que o PS no receba chamadas durante o intervalo de um minuto.


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32

8.2 DISTRIBUIES DE VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

A varivel aleatria X uma varivel aleatria contnua, se o conjunto de

valores que X pode assumir um conjunto um intervalo da reta real, como por

exemplo: );,( X );,0[ X etc.

8.2.1 Distribuio Normal

A distribuio Normal uma das distribuies de probabilidade mais

importantes na anlise de fenmenos reais e de grande utilidade na Inferncia

Estatstica e em Amostragem.

Dizemos que uma varivel aleatria X tem distribuio normal com mdia(esperana) e varincia 2 se sua funo de probabilidade dada por:

;)(2

1exp

2

1)(

2

2

xxf x com e

02

Notao: ),(~ 2NX L-seX tem distribuio Normal com mdia e varincia

2

8.2.2 Representao Grfica da Curva Normal

Para calcularmos uma probabilidade qualquer, a partir da distribuio normal,

devemos trabalhar com intervalos, pois a distribuio contnua.

Se queremos, por exemplo )( bXaP ou )( aXP ou )( bXP devemos

procurar pelas seguintes reas respectivamente:

Note que a curva simtrica

em torno da mdia


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33

Para calcular tais reas teramos que usar o clculo de integrais. Como

complicado, esse clculo foi feito para todas as reas possveis e foi tabelado. Mas o

clculo s foi feito para a Distribuio Normal com 0Mdia e 1Varincia . Essa

Normal chamada de Normal Padro, e a varivel aleatria , em geral, representada

pela letra Z .

Pela notao anterior temos: )1,0(~ NZ l-se: Z tem distribuio Normal Padro

8.2.3 Como transformar uma Normal qualquer em Normal Padro

Se a v.a X tal que ),(~ 2NX , ento a varivel Z obtida como uma

transformao linear da v.a. X da seguinte forma:

X

Z

Dizemos que a v.a Z tem distribuio normal co mdia 0 e varincia 1: )1,0(~ NZ . A

curva normal padro tambm conhecida como normal reduzida ou normal zero-um.

A vantagem de transformarmos um curva ),( 2N em uma curva )1,0(N

est no fato de encontrarmos, na forma de tabela todas as probabilidades referentes

curva normal padro.

Na definio da v.a Z , quando fazemos )( X estamos mudando a origem

da v.a Xpara a sua mdia, e quando dividimos pelo desvio- padro de X , estamos


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34

mudando a escala, ou sejam a diferena entre a v.a X e a sua mdia passa a ser

medida em unidades do desvio- padro de X .

8.2.4 Uso da tabela da distribuio Normal Reduzida

Normalmente as tabelas sobre a curva normal padro informam apenas a rea sob a

funo (ou a probabilidade) definida por um intervalo de zero a um valor0

z qualquer

positivo.

H vrios tipos de tabelas que nos fornecem as reas (probabilidades) sob a

curva normal. O tipo mais frequente a tabela da Faixa Central, sendo justamente

dela que faremos uso. Os elementos dessa tabela esto a seguir:

A primeira coluna da tabela refere-se ao valor da abscissa de Z ,considerando-se a parte inteira de

0z , e sua primeira casa decimal;

A primeira linha da tabela refere-se segunda casa decimal do valor de0

z ;

As probabilidades so encontradas no cruzamento das linhas com as colunas.

Graficamente, a probabilidade fornecida pela tabela a seguinte:

A rea sobreada no grfico corresponde seguinte probabilidade

0

0

00 )()0(

z

dzzfzzP . Como a curva normal uma funo simtrica em relao

sua mdia: )()( 00 zfzf as probabilidades entre 0z e zero sero iguais as

probabilidades entre 0 e0

z . Isto : )0()( 000 zZPzZzP .

A rea total sob a curva vale um pois esta rea representa a soma das

probabilidades. Como a curva simtrica, cada metada vale 0,5, ou seja:


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35

Exemplos 8.1: reas Simples


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36

Exemplos 8.2:reas Duplas

Exemplos 8.3:reas Complementares


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37

Exemplos 8.4reas Intermedirias


38/38


Exemplo 8.5: Determinao de um ponto

8.2.5 Clculo de probabilidade sob uma curva Normal Qualquer

Considere a seguinte condio ),(~ 2NX , com 0 e 12 .

Dada uma v.a. X com distribuio ),( 2N , para calcularmos uma probabilidade

referente a esta distribuio basta procedermos reduo da v.a. X para a v.a. Z . A

rea definida sob a curva normal padro ser idntica a rea definida sob a curva

),( 2N , isto , as probabilidades sero as mesmas.

Exemplo 8.6: Se )16,0;1(~ NX , ento a )8,12,0( XP ?

Soluo:

9544,04772,04772,022

4,0

18,1

4,0

12,08,12,0)8,12,0(

ZP

ZPX

PXP

1 A altura de uma determinada classe uma varivel aleatria normal com mdia 175

cm e varincia 225 cm2. Qual a probabilidade de encontrarmos alunos com altura entre

165 e 187 cm?

Para encontrar o ponto0

z que corresponda

probabilidade 395,0)0( 0 zZP vamosprocurar no meio da tabela da curva normalpadro o valor da rea exata ou o maisprximo possvel da requerida. Neste caso, oponto que d origem a esta rea 1,25. Logo

25,10 z

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apostila de probabilidade.pdf