Apostila - Eletricidade Aplicada - Prof.Carlos Kléber da Costa Arruda (2)

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Eletricidade Aplicada - notas de aulaCarlos Kleber da Costa Arruda1- Universidade Candido Mendes13 de setembro de [email protected] Introduo 31.1 Eletricidade na prtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Os caminhos da eletricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Reviso da teoria de circuitos eltricos de corrente contnua (CC) 71.4 Elementos armazenadores de energia . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Princpios de Corrente Alternada 122.1 Porque corrente alternada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Ondas Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Entendendo as Grandezas Eltricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Representao de elementos eltricos em forma complexa . . . . 242.6 Anlise de Circuitos de Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . 262.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Potncia e energia 343.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Tipos de Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Fator de Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Medindo a potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Compensao de reativos em uma instalao . . . . . . . . . . . 414 Sistemas Trifsicos 424.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Transmisso e distribuio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Potncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Tarifao de energia eltrica 485.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Estudo de caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Instalaes Eltricas Industriais 536.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Elementos de uma subestao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Proteo de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551SUMRIO 27 Mquinas eltricas - motores 567.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Caractersticas de um motor eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3 Projeto de instalaes eltricas com motores em partida . . . . . 587.4 Partida de motores eltricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 Resumo 608.1 Questionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.3 Palavras-chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69AUso de calculadores com funes de nmeros complexos 71A.1 Texas TI-83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71BErros comuns 72B.1 Omitir unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.2 Esquecer do mltiplo/ submltiplo da unidade . . . . . . . . . . 72B.3 Mltiplo da unidade ao quadrado ou ao cubo . . . . . . . . . . . 72B.4 Confuso entre srie e paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Captulo 1Introduo1.1 Eletricidade na prticaA eletricidade uma das formas de aproveitar os recursos naturais para o desen-volvimento humano. Possui caractersticas nicas: seu armazenamento dicile caro, comparado com outras fontes como o petrleo. Pode ser transmitido comfacilidade, eaentregadestaenergiainstantnea. Suaextraodanaturezapode ser realizada de diversas formas, mas cada uma possui uma desvantagem:seja no impacto ambiental, ou nos custos elevados da tecnologia.Destaforma, acivilizaoatual dependefortementedaenergiaeltrica,aondenopossvel imaginarumdesenvolvimentosemeletricidade. Aen-genharia, de todos os campos, deve saber usar da eletricidade para a realizaode seus projetos.1.1.1 Uma ordem de grandezaAbaixo so ilustrados alguns nmeros de algumas grandezas,em potncias de10, ealgumasaplicaesnoqual soobservadasestasgrandezas. Estaparteinteressanteparailustrarotamanhodasgrandezaseltricas. Umleigoemeletricidadesabe, pelomenos, adiferenaentreummetro, umquilmetroeummilmetro. Assimcomoometro, todasasgrandezaseltricaspodemserexpressas com o auxlio dos mltiplos e submltiplos do sistema internacional1.1Osmltiplosnosoosmesmosusadoseminformtica,comoemquilobyte,megabyte.Neste caso, quilo =210= 1024, mega =220= 1024 1024.3CAPTULO 1. INTRODUO 4p pico 1012= 0, 000.000.000.001n nano 109= 0, 000.000.001 micro 106= 0, 000.001m mili 103= 0, 001- - 100= 1k quilo 103= 1.000M mega 106= 1.000.000G giga 109= 1.000.000.000T tera 1012= 1.000.000.000.000P penta 1015= 1.000.000.000.000.000Tabela 1.1: alguns mltiplos e submltiplos do Sistema Internacional (SI)Os mltiplos e submltiplos podem ser usados com qualquer unidade. Voctambm pode imaginar um exemplo mais palpvel, como a diferena entre umReal, um quiloreal" e um megareal".A seguir so ilustrados mltiplos de unidades tpicas em eletricidade, seguidopor um exemplo comum.1.1.1.1 PotnciaOs exemplos incluem potncia em geral, seja de dispositivos eltricos ou mecni-cos, geradores ou consumidores.1 W Rdio10 W Aparelho de DVD, lmpada uorescente100 W Lmpada incadescente, microcomputador1 kW Ar condicionado residencial10 kW Motor eltrico industrial100 kW Automvel1 MW Locomotiva a diesel10 MW Demanda mdia de um pequeno pas100 MW Usina termeltrica de grande porte1 GW Grandes usinas hidreltricas (5 GW)10 GW Usina de Itaipu (12,6 GW)100 GW Demanda mdia de eletricidade do Brasil1 TW Demanda mdia mundial de eletricidade (1,7 TW em 2001)Tabela 1.2: Ordem de grandeza de potncia.1.1.1.2 EnergiaSo ilustradas duas unidades de energia: joule (SI) e watt-hora (usada em en-genharia eltrica).CAPTULO 1. INTRODUO 5SI watt-hora Descrio1 kJ 1 Watt-hora (3,6 kJ)10 kJ Consumo de 1 g de gasolina100 kJ Energia cintica de um carro em alta velocidade1 MJ 1 kWh Mdia nutricional diria de uma pessoa (8,4 MJ = 2000 kcal)10 MJ 10 kWh100 MJ 100 kWh1 GJ 1 MWh Descarga atmosfrica, exploso de 1 ton de TNT10 GJ 10 MWh Consumo de um automvel durante 1 ano...1 GWh1 TWh Bomba nuclear10 TWh Impacto de meteoro100 TWh Consumo anual do Brasil (374,9 TWh em 2005)1 PWh Consumo anual dos Estados Unidos (3,656 PWh em 2003)Tabela 1.3: Ordem de grandeza de energia.1.1.1.3 Tenso100 mV Diodo (0,6 V)1 V Pilha (1,5 V)10 V Bateria de carro (12 V)100 V Tomada residencial (127 ou 220 V)1 kV Nvel de isolamento de equipamentos eltricos residenciais (600 V)10 kV Linha de distribuio urbana (13,8 kV)100 kV Linha de transmisso tpica (138 kV)1 MV Linhas de transmisso de Itaipu (800 kV)10 MV Geradores de impulso (6 MV)Tabela 1.4: Ordem de grandeza de tenso eltrica.1.1.1.4 Corrente10 mA Transistor100 mA Aparelho celular1 A Televiso10 A Chuveiro eltrico100 A Partida de motor eltrico1 kA Linhas de transmisso (2 kA)10 kA Curto-circuito100 kA Descarga atmosfricaTabela 1.5: Ordem de grandeza de corrente eltrica.CAPTULO 1. INTRODUO 61.2 Os caminhos da eletricidadePodemos dividir a utilizao da energia eltrica em diversos campos.1.2.1 GeraoAcaptaodosrecursosnaturaisesuatransformaoemenergiaeletrica. Aforma tradicional o gerador, no qual seu eixo pode ser acoplado a uma foramecnica, como uma turbina hidrulica ou uma turbina trmica, movida a gs,gasolina ou energia nuclear.Odesenvolvimentodenovasformasdegeraodestina-seaumfuturonoqual asfonteshidrulicasetrmicastornam-seescassas, eaomesmotempoprocurando fontes limpas, com baixo impacto ambiental.1.2.2 TransmissoOsblocosdeenergiadasusinasdevemsertransmitidosparaosncleoscon-sumidores. O Brasil, pelo seu tamanho continental, depende de longas linhas detransmisso, noqualsonecessrioslongoscaminhosdesimpedidosparapas-sagem, ou seja, com uma grande impacto ambiental. O sistema de transmissonecessitatambmdeumnmerosucientedeinterligaesparaasseguraracontinuidade do servio.1.2.3 DistribuioOsblocosdeenergiachegamemsubestaes, noqual reduzatensoesotransmitidos para os consumidores comerciais e residenciais nas malhas urbanas.Estamalhadevecontermedidasdeseguranadeformaasuportaralteraesno sistema, como mudanca de carga, tempestades ou falta de energia.1.2.4 Mquinas EltricasUma grande utilizao da energia eltrica, em termos de potncia, na sua con-verso para energia mecnica. O uso de motores de diversos tipos evidente emdiversos segmentos da indstria. Ao mesmo tempo, procura-se realizar projetosde mquinas ecientes e com alta conabilidade.1.2.5 EletrnicaCom a inveno da vlvula e do transistor, desenvolveu-se um novo campo daeletricidadeenvolvendopequenoscircuitos. ATVeordiosoosprincipaisexemplos da eletrnica, no qual atualmente desmembrou-se pela computao epelas telecomunicaes.1.2.6 ControleDestinado ao estudo da dinmica de sistemas, no necessariamente eltricos. Aengenharia de controle busca a estabilidade frente a qualquer distrbio.CAPTULO 1. INTRODUO 71.2.7 TelecomunicaesRamo da eletrnica relativo a transmisso de dados atravs de ondas eletromag-nticas. Suas aplicaes so o rdio, TV, telefonia celular e redes de computa-dores.1.2.8 ComputaoSegmentoespecializadodaeletrnicadestinadoaoprojetodecomputadoreseprogramas. Atualmentenorestritoacomputadoresdemesa, masenglobanotebooks, PDAs e celulares.1.2.9 InstrumentaoCampo especco da eletrnica no qual destina-se a medir as grandezas fsicas.Alguns exemplos so o multmetro, radares, termopares e sensores em geral.1.2.10 AutomaoA crescente complexidade dos processos industriais permitiu o desenvolvimentodeumaeletrnicaespecializada, quetrata-sedaaplicaodaengenhariadecontrole na prtica. Atualmente existe uma grande variedade de aplicaes emautomao, desde indstrias at prdios comerciais.1.2.11 ComercializaoAenergiaeletricaelementodeterminantenoscustosdeprodutos eservios.Empresasgeradoras, transmissorasedistribuidoraspodemnegociaraenergiaque lanada no sistema. As indstrias podem adquirir energia a longo prazoe revender as suas sobras. Outras rmas podem atuar como comercializadoras,mesmonopossuindogerao, atravsdeespeculaonomercadoatacadistade energia.1.3 Reviso da teoria de circuitos eltricos decorrente contnua (CC)Antes de iniciar o prximo captulo, faz-se necessria uma reviso dos conceitosde circuitos eltricos de corrente contnua. Ser visto que a anlise de circuitosCA seguir esta mesma base.1.3.1 Noo fundamental de circuitoUm circuito eltrico uma srie de caminhos no qual a carga eltrica trans-portada. Uma fonteprovocar a separao de cargas,quanto maior esta sep-arao, maior seradiferenadepotencial. Parahaver umaseparaodecargas, necessria uma energia, que pode ser obtida atravs de diversos fen-menos (reaes qumicas, transformaes eletromagnticas, efeitos fotovoltaicos,efeitos termoeltricos, etc).CAPTULO 1. INTRODUO 8Entre as cargas haverumcampoeltrico, que indicaratendnciadeatraoentreas cargas. Afonteestarforandoas cargas asesepararem,logo dever haver um caminho para que as cargas realizem a atrao.Ao se formar o caminho, estar formado um circuito eltrico. Este circuitopoder ser do mais simples e curtos, at os mais elaborados e extensos. A cargaeltrica comear a uir pelo circuito, formando a corrente eltrica.Ao longo do circuito, a carga eltrica peder energia da forma de um atrito"com os materiais. Este atrito fornecer energia aos componentes, essencialmentena forma de calor. Este o conceito de resistncia eltrica. Outras formas detroca de energia so atravs dos campos eltricos e magnticos, o que ser vistomais adiante.Aps as cargas terminarem de circular, no outro lado do plo da fonte, estacontinuar a fornecer potencial eltrico,bombeando novamente as cargas devolta ao circuito. Isto se repete at ser interrompido o circuito, ou cessar a fontede energia.Emummesmocircuitopodemhavervriasfontesdeenergia, interagindoentre si.1.3.2 TensoDenido pela relao entre a energia potencial e a carga eltrica, resumido pelaequao 1.1. Pode ser expresso porv(quando se tratar de uma funo) ouV(quando se tratar de uma tenso contnua)2. Sua unidade o volt (V).v(t) =dwdq(1.1) usual, mas errado, falar da tenso de um elemento eltrico (um gerador,pilha, resistor, etc). Naverdadeteremosumadiferenadepotencial,queadiferena entre as tenses dos terminais. Voc pode atribuir que um terminalencontra-seatensode0V,logoadiferenadepotencialdoelementocarigual tenso do segundo terminal.1.3.3 CorrenteDenida pela variao de carga que atravessa um condutor, ao longo do tempo.Pode ser expressa pori ouI. Sua unidade o ampere (A).i(t) =dqdt(1.2)1.3.4 ResistnciaA denio formal de resistncia a relao entre a corrente que atravessa umelemento e a queda de tenso entre entrada e sada.R =VI(1.3)Em geral tratamos esta relao como um nmero, cuja grandeza medidaemohm(), masestarelaopodeserno-linear, expressaporumafunoqualquer.2em alguns livros pode ser referenciado comou ouU.CAPTULO 1. INTRODUO 91.3.5 Queda de tenso (q.d.t.)Fazendo o caminho inverso, temosV= RI (1.4)Quando tratamos de um elemento fechado", a queda de tenso aparenta serabrupta, mas na verdade no ocorre desta forma. Vendo o exemplo de um ocondutor. Sua resistncia, que em geral desprezada, varia linearmente. Logo,a queda de tenso ao longo do o ser uma rampa descendente.1.3.6 Associao srieDois elementos ligados em srie compartilham a mesma corrente.Req = R1 +R2 +... +Rn(1.5)A resistncia equivalente dever ser maior que o maior elemento.Uma associao em srie divide a tenso entre seus componentes. O compo-nente com a menor resistnciacar com a menor tenso, e vice-versa.1.3.7 Associao paralelaDois elementos ligados em paralelo compartilham a mesma tenso. A resistnciaequivalente expressa por31Req=1R1+1R2+... +1Rn(1.6)Para somente dois elementos em paralelo, a seguinte frmula tambm podeser usada. Nada mais que uma manipulao da equao 1.6.Req =R1R2R1 +R2(1.7)Aresistnciaequivalente, paraqualquernmerodeelementos, deversermenor que o menor elemento.Umaassociaoemparalelodivideacorrenteentreseuscomponentes. Ocomponente com a menor resistnciacar com a maior corrente, e vice-versa.1.3.8 Resistncia de osA resistncia de um o pode ser calculada porR = lA(1.8)No qual l o comprimento,A a rea da seo transversal e a resistividadedo material (por exemplo, para o cobre, = 1, 69 108m). Algumas seestpicas de os so de 1, 5 mm2a 120 mm2.3Ao longo desta apostila ser usada a notao "", que corresponder equao 1.6.CAPTULO 1. INTRODUO 101.3.9 Resoluo de circuitosAanlisedeumcircuitoeltricometdica, eemgeral tratadosseguintesaspectos:Encontrar a corrente fornecida por uma fonte de tenso,Encontrar a corrente que atravessa um elemento,Encontrar a queda de tenso em um elemento,Calcularumelementoqueatendaumacondiodecorrente, quedadetenso, potncia, etc.O procedimento mais simples o clculo de resistncias equivalentes, agregandoelementos at encontrar um nico elemento que represente todo o circuito, noponto de vista da fonte. Este procedimento ecaz quando existe somente umafonte no circuito.Outro mtodo de anlise so as leis de Kircho, essenciais para a resoluode circuitos complexos:Lei dos ns: a soma das correntes que entram igual a soma das correntesque saem do n.Lei dasmalhas: asomadasdiferenasdepotencial (ddp)emtornodeum lao igual a zero. Supe-se neste caso que fontes, voltadas para ummesmo sentido, tenham uma ddp positiva e as cargas uma queda de tenso(ddp negativa).1.3.10 Potncia e energiaPotnciadenidacomoavariaodeenergiaaolongodotempo. Podeserexpresso porp ouP, e sua unidade watt (W). Lembrando que potncia umconceito mais amplo, podendo ser de origem eltrica, mecnica, etc.Se multiplicarmos tenso e corrente, teremos a potncia consumida ou pro-duzida pelo elemento:v(t) i(t) =dwdqdqdt=dwdt= p(t) (1.9)Logo, quando tenso e corrente so grandezas contnuas, a potncia tambmser:P= VI (1.10)A energia eltrica ser a integral da potncia ao longo do tempo.w(t) =_p(t) dt (1.11)Para um circuito de corrente contnua, se no houver nenhuma pertubao,a integral torna-seW= P t (1.12)Ser visto mais adiante que, a partir de algumas consideraes, ser possvelcalcular circuitos de corrente alternada de forma muito similar aos circuitos decorrente contnua.CAPTULO 1. INTRODUO 111.4 Elementos armazenadores de energiaO resistor um elemento de sada da energia eltrica, transformando-a em calor,movimento, luz, etc. Podemos ter elementos que armazenam provisoriamente aenergia. Assim como o resistor relaciona tenso e corrente pela sua resistncia,esteselementospossuemsuasrelaes, quesoessenciaisparaaresoluodecircuitos.1.4.1 IndutorArmazena a energia em seu campo magntico. Sua relao tenso-corrente vL = LdiLdt(1.13)Oefeitodoindutoragircomoumamortecedor decorrente, captandoaenergiaecarregando ocampomagntico. Nafaltadecorrente, oindutordescarregaresta energia de volta ao circuito.A equao 1.13 pode ser interpretada da seguinte forma:Variao muito pequena de corrente (contnua): tenso nula.Variao muito grande de corrente (degrau): tenso innita".1.4.2 CapacitorArmazena a energia em seu campo eltrico. Sua relao tenso-corrente iC = CdvCdt(1.14)O efeito do capacitor agir como um amortecedorde tenso, o que podeser visto, a grosso modo, a uma bateria de carro. O capacitor ir carregar apartir da tenso do circuito, armazenando a energia no campo eltrico. Na faltade tenso, o capacitor descarregareste energia de volta ao circuito.A equao 1.14 pode ser interpretada da seguinte forma:Variao muito pequena de tenso (contnua): corrente nula.Variao muito grande de tenso (degrau): corrente innita.Captulo 2Princpios de CorrenteAlternada2.1 Porque corrente alternada?Nonal dosc. XIXcomocrescimentoeconmicoeasnovasinvenesemmquinas eltricas, foram propostas duas formas de distribuio de eletricidade:corrente contnua e corrente alternada.O uso de corrente contnua foi proposto por Thomas Edison,contra a dis-tribuio de corrente alternada de Nikola Tesla. Ganhou a corrente alternada,por se mostrar mais eciente,basicamente pela possibilidade do uso de trans-formadores.Apsasdiscussesiniciais, estabeleceu-seumparadigmabaseadoemcor-rente alternada, no qual o sistema baseado nas principais mquinas eltricas.Este o sistema que persiste at hoje, em todos os pases.2.1.1 O TransformadorO transformador permite a transferncia de energia entre dois circuitos atravsde um acoplamento magntico. So duas bobinas enroladas sobre um ncleo fer-romagntico em comum, aonde a primeira bobina produz o uxo magntico, queatravessar a segunda bobina. Pela Lei de Faraday (equao 2.3), haver umatenso induzida na segunda bobina proporcional variao do uxo magnticoe o nmero de espiras (voltas) da bobina.12CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 13Figura 2.1: Esquema de um transformador (fonte: Wikipedia)Esta transferncia de energia pode ser manipulada,de forma que se alteretenses e correntes, sem alterar a potncia total.Procura-seusarostransformadoresparaelevaratenso, possibilitandoatransmisso de energia por longas distncias, enquanto a baixa corrente permitediminuir as perdas nos condutores. A relao dada porN1N2=V1V2=I2I1(2.1)SendoN1eN2o nmero de espiras no primrio e no secundrio,respectiva-mente.A principal vantagem neste sistema evitar as perdas nos condutores, quevariam com o quadrado da corrente:P= RI2(2.2)O transformador pode ser visto como uma engrenagem, que tambm trans-mite energia atravs de uma relao entre as rodas.2.1.2 O GeradorO gerador de corrente alternada tambm funciona pelo princpio descrito pelaLei deFaraday: umaforaeletromotriz(tenso)induzidapelavariaodouxo magntico:e = NdBdt(2.3)Noqual ouxomagnticoBtorna-sevarivel pelarotaodoeixo. Asbobinas captam uma tenso senoidal, no qual fornecida ao sistema. A rotaodo eixo o que determina a freqncia da onda.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 14B = BA (2.4)Sejaa eb as dimenses do plo do gerador, que determina a rea do uxomagntico. O rotor em um dado instante estar a um nguloem relao aocampo magntico produzido pelo estator1. Este ngulo ser determinado pelafrequncia angular de rotao da mquina:A = a b cos (2.5) = t (2.6)A = a b cos t (2.7)BA = Ba b cos t (2.8)1Pode tambm haver a montagem inversa: o rotor produz o campo magntico e o estatorcapta a energia.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 15Figura 2.2: O rotor recebe um uxo magntico de acordo com seu ngulo emrelao ao eixo dos plos. Na gura acima, o uxo mximo quando o ngulozero, vistopelalarguraa. Naguraabaixo, ouxomenorpoisabobinadorotorestrecebendoumaparcelaa

. Quandoorotorgirar180o, atensoinduzida ser no sentido contrrio.A variao do uxo ser a variao desta rea.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 16dBdt= Ba b sin t (2.9)e(t) = N BA sin t (2.10)Logo a tenso induzida depender diretamente de1. Rotao da mquina2. Fluxo magntico produzido3. Nmero de espirasA frequncia do sistema tambm determinada pelos geradores, que no nossocaso igual a 60 Hz, ou aproximadamente 377 radianos por segundo.OsgeradoresCAsoemgeral maiseconmicosqueseusequivalentesemcorrentecontnua. MaisafrenteservistoqueosgeradoresCApodemsertrifsicos (captulo 4), o que aumenta o rendimento deste tipo de mquina.2.1.3 O MotorOs motores em corrente alternada possuem uma construo mais simples, o quetambmostornamaiseconmicosqueosmotoresdecorrentecontnua. Suadesvantagem ,em geral,no ter um controle de velocidade. Mesmo assim,amaioria das aplicaes justica o uso de corrente alternada.2.1.4 Outras aplicaesEventualmente, outras aplicaes demandam o uso de corrente contnua, o quepode ser realizado a partir de conversores CA-CC (tambm chamados de reti-cadores). A rea de eletrnica de potncia responsvel para a converso entresistemas e controle de potncia.2.1.5 O sistema eltricoCom os equipamentos descritos anteriormente, pode-se vislumbrar um sistemaeltrico de grande porte. Seguindo o sentido do uxo de energia, temos:1. Agerao, captandoenergiadediversas fontes, realizadacomtensesrelativamente baixas, devido limitaes das mquinas.2. O transformador elevador, instalados prximos dos geradores, aonde consegue-setensesquepodemchegara750kV,comoocasodoBrasil, epro-porcionalmentereduzindoascorrentes, possibilitandoatransmissodaeletricidade.3. A rede de transmisso, que interliga os diversos ncleos geradores e con-sumidores.4. O transformador abaixador, instalados prximos as centros consumidores,permite reduzir as tenses para nveis de utilizao urbanos.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 175. A rede de distribuio, que adentra os centros urbanos, em geral da ordemde 13,8 kV.6. Os transformadores abaixadores dos consumidores,reduzindo as tensespara 127 ou 220 V.7. As cargas dos consumidores.O sistema eltrico pressupe o uso de dispositivos de proteo, controle e tari-fao, entre outros, que permitem assegurar a qualidade do servio.2.2 Ondas SenoidaisA corrente alternada,devido construo dos geradores,origina aproximada-mente uma senide. A onda senoidal2 expressa pela funof(t) = Fsin(t +) (2.11)Aonde F o valor mximo da senide, ou amplitude, a freqncia angulare o ngulo de fase.Figura 2.3: Funo senoidal2A abreviatura de seno pode ser sen de senoidal ou sin de sinusoidal. A forma sin tambm usada na lngua inglesa.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 18Figura 2.4: Ondas com diferentes ngulos de faseFigura 2.5: Ondas com diferentes frequnciasO ngulo de fase importante quando comeamos a realizar operaes entresenides. Ao somarmos duas ondas com o mesmo ngulo de fase (ou simples-mente, em fase) teremos o valor mximo.Se somarmos duas ondas com ngulosde fase opostos (diferena de 180o) teremos o valor mnimo.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 19Aoperaoentresenidesrealizadaponto-a-ponto: paracadavalordasfunes, em um mesmo instante de tempo, feita a operao.Figura 2.6: Operaes com duas ondas em faseFigura 2.7: Operaes com duas ondas defasadasCAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 202.3 Entendendo as Grandezas Eltricas2.3.1 O sentido do uxo de energiaTeremos as grandezas em formal senoidal, no s a corrente mas tenso. Comoa energia transmitida, se tanto a corrente como a tenso vai e volta?Pararesponderestadvidacomum, bastalembrarqueoqueimportaapotncia, queexpressapor P=VI . Semultiplicarmosasondasdeten-soecorrente, seestiverememfase, teremossemprevalorespositivos. Logo,percebemos que a potncia transmitida pulsante.Conforme vamos deixando a onda de tenso defasada da onda de corrente, oque comum de ocorrer, pode-se perceber que a potncia deixa de ser totalmentetransmitida. Experimente calcular a onda de potncia para uma onda de tensodefasada em 180oda onda de corrente.2.3.2 Valor efetivoEsta forma de onda pulsante indica que a potncia no transmitida de formaconstante, como feita em corrente contnua.Defato. Comadeniodeenergiaaintegraldapotnciaaolongodotempo, vemos que podemos chegar a um valor mdio (considerando que as ondasde tenso e corrente so senoidais).Logo, falamos de valores efetivos em grandezas de tenso e corrente os valoresnoqualteremosamesmaenergiaemumcircuitodecorrentecontnua, comopor exemplo, para aquecer um resistor de um chuveiro.Figura 2.8: Valor efetivo e comparao com corrente contnua. [1]Este valor, para ondas senoidais, expresso porVef=Vmax2(2.12)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 21ouVef= 0, 707Vmax(2.13)O valor efetivo tambm chamado de valor RMS pela sua abreviatura emingls (root mean square- valor mdio quadrtico). A rigor, o valor efetivo deuma funo a mdia da integral do quadrado da funo.Quando falamos que a tomada de nossas casas de 127 V, estamos falandono seu valor RMS. Na verdade o valor de pico igual aVmax = Vef 2 = 127 1, 414 = 179, 6 V (2.14)E se a freqncia na rede eltrica do Brasil de 60 Hz: = 2f= 2 3, 14159 60 377 rad/s (2.15)Logo, a funo da onda de tenso residencial igual av(t) = 179, 6 sin(377t ) (2.16)Lembrando que a razo 2 vlida somente para ondas senoidais3.2.4 FasoresRealizar operaes entre senides pode se tornar um processo muito cansativo.Uma forma alternativa e que demanda muito menos tempo o chamado mtodofasorial. O fasor um nmero complexo que representa uma onda senoidal.2.4.1 Base tericaUma onda senoidal tambm pode ser expressa pela seguinte forma:f(t) = Asin t +Bcos t (2.17)Noqual dependendodosvaloresdeAeBaondapossuirumngulodefase. Sendo a freqncia igual para ambas as parcelas, a onda pode ser expressasomente porA eB.Estesdoisnmerospodemserinterpretadoscomocoordenadasdeumve-tor. De fato, se visualizarmos este vetor em rotao, ele descrever um crculo.Deste crculo podemos extrair o seno e cosseno, que correspondem exatamente funof(t).Este vetor em rotao chamado de fasor. Sua notao matemtica Z = a +j b (2.18)No qual trata-se de um nmero complexo. Sendo quej =1 (2.19)3Estadvidanoassolasomenteoestudante. Existamparavendermultmetrosquesu-postamente medem o valor RMS, mas que somente usavam a razo 2. Atualmente existemmedidores chamados true RMS, que realizam o clculo exato do valor RMS atravs de inte-grao.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 22A gura ?? ilustra que o complexo,assim como um vetor,tambm possuiuma representao polar, indicada pela formaZ = r/ (2.20)Esta representao, no por acaso, corresponde forma da funo senoidalf(t) = r sin(t +) (2.21)A freqncia angular no explicitada na notao complexa pois se pressupe-se que o sistema inteiro encontra-se na mesma freqncia.Figura 2.9: Rotao do fasor descrevendo uma circunferncia.Ocasionalmente pode ser usada a notaoZ = Z/, no qualZcorrespondeao mdulo deZ.2.4.2 Alguns nmeros complexosTodos os nmeros reais, em notao complexa, possuem ngulo zero, por exem-plo:1 = 1/0o(2.22)Os imaginrios puros possuem ngulo de 90 graus, por exemplo:j = 1/90o(2.23)Um nmero real negativo tambm pode ser expresso por um mdulo positivoe um ngulo de 180 graus:1 = 1/180o(2.24)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 232.4.3 Converso entre notao polar e retangularr =_a2+b2(2.25) = tan1ba(2.26)a = r sin (2.27)b = r cos (2.28)2.4.4 Funes tpicasParte real:( Z) = a (2.29)Parte imaginria:( Z) = b (2.30)Mdulo:mod( Z) = Z = r (2.31)Argumento (ou ngulo):arg( Z) = (2.32)Conjugado:conj( Z) = a j b (2.33)2.4.5 Operaes entre nmeros complexosSoma e subtrao: realizar na forma retangular.SendoY= a +j b eZ = c j d :Y+Z = (a +c) +j(b +d) (2.34)Y Z = (a c) +j(b d) (2.35)Multiplicao e diviso: realizar na forma polar.SendoY= r/ eZ = s/ :Y Z = (r s)/ + (2.36)YZ=rs/ (2.37)Curiosamente, o imaginrio negativo igual ao inverso do imaginrio:j = 1/ 90o= 1/270o=1j(2.38)1/360o= 1/0o(2.39)j2= 1CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 242.5 Representao de elementos eltricos em formacomplexa2.5.1 Fontes de tensoAs fontes produziro tenso de forma complexa. Estas fontes podem estar ouno defasadas. Caso exista somente uma fonte no circuito, por conveno, seungulo de fase ser zero.2.5.2 ImpednciaEm uma anlise de circuitos CA, a grande facilidade no mtodo fasorial emunir resistncias, capacitncias e indutncias em um nico elemento genrico,no qual chamamos de impedncia. A impedncia um valor em nmero com-plexo, no qual tambm relaciona as tenses e correntes de um circuito. Logo, aimpedncia tambm pode ser expressa em ohms.O smbolo usual de impedncia Z, incluindo o indicador de nmero com-plexo. A Lei de Ohm em forma complexa torna-seV=ZI (2.40)2.5.3 ResistnciaA resistncia no altera a fase de tenses e correntes. Logo, possuir somente aparte real, o que indica que o resistor consome energia.V=ZRI = RI (2.41)Figura 2.10: Relao entre tenso e corrente em um resistor.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 252.5.4 CapacitnciaOcapacitorpossuiacaractersticadearmazenartenso, ecorrentepropor-cional variao de tenso. Caso a alimentao seja igual av = Vmax sin(t) (2.42)A corrente no capacitor seri = Cdvdt= CVmax cos(t) = CVmax sin(t + 90o) (2.43)Logo o capacitor atrasa a tenso em relao corrente, conforme ilustra agura 2.11.Figura 2.11: Relao entre tenso e corrente em um capacitor.Em notao fasorial, teremosV=IC/90o=IC/ 90o= jIC=IjC(2.44)Logo a impedncia de um capacitor possuir somente uma parte imaginria,o que indica que armazena energia.Esta parcela de capacitncia pura tambm pode ser chamada de reatnciacapacitiva:XC = 1C(2.45)V= jXC I (2.46)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 262.5.5 IndutnciaDe forma similar, o indutor armazena corrente, e a tenso ser proporcional variao de corrente:i = Imax sin(t) (2.47)v = Ldidt= LImax cos(t) = LImax sin(t + 90o) (2.48)Logooindutoratrasaacorrenteemrelaotenso. conformeilustraagura 2.12.Figura 2.12: Relao entre tenso e corrente em um indutor.Em notao fasorial:V= LI/90o= j LI (2.49)Esta parcela de indutncia pura tambm pode ser chamada de reatnciaindutiva:XL = L (2.50)V= jXC I (2.51)2.6 Anlise de Circuitos de Corrente AlternadaA partir da aplicao da anlise fasorial, o clculo de circuitos CA torna-se maisprtico. Lembrando-se que este mtodo vlido somente para circuitos lineares,com grandezas senoidais na mesma freqncia.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 272.6.1 Uma consideraoDa forma como foi explicado anteriormente, pressupe-se que o mdulo do fasorsejaoseuvalordepico. Porm, comumusarosvaloresecazes(RMS)detenso e corrente, pois desta forma podemos calcular diretamente a potncia nocircuito (conforme ser visto adiante).2.6.2 Circuitos resistivosUmaresistncianoalteraafasedeumagrandeza, logoseuclculodireto,seguindo a lei de Ohm.2.6.3 Circuitos indutivos2.6.3.1 Indutncia pura4Ao aplicar uma tenso no indutor, a corrente ser defasada em -90, ou seja, ematraso. Logo, o indutor estar segurandoa corrente.2.6.3.2 Circuito RL srieNeste caso a corrente no resistor e no indutor ser a mesma.Z = R jXL = R jL (2.52)I =VZ=V /0oZ/=VZ/ = I/ (2.53)O ngulo depender da relao entre o resistor e o indutor. = tan1XLR= tan1LR(2.54)Agora, calculada a corrente, determinamos as tenses em cada componente:VR = RI = RI/ (2.55)VL = j XLI = XL/90o_I/ _ = I XL/ + 90o(2.56)Perceba que as tenses do resistor e do indutor noestoemfase. O dia-grama fasorial ilustra o resultado,conclundo queV =VR +VLe esta umasoma fasorial.4Trata-se de um circuito hipottico, pois toda indutncia possui, pelo menos, a resistnciado prprio o.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 282.6.3.3 Circuito RL paraleloNeste caso a tenso igual nos dois componentes. Calcula-se a corrente em cadaum:IR =VR=VR/0o(2.57)IL =VZL=Vj XL=V /0oXL/90o=VXL/ 90o(2.58)A corrente total ser a soma fasorial das correntes:I =IRIL =VR/0oVXL/ 90o=VR jVXL(2.59)I = V_ 1R j1XL_(2.60)A corrente ter um ngulo igual a = tan11/XL1/R= tan1RXL(2.61)2.6.4 Circuitos capacitivos2.6.4.1 Capacitncia puraUm circuito hipottico, pois toda capacitncia possui, pelo menos, uma resistn-cia do prprio o.Ao aplicar uma tenso no capacitor, a corrente ser defasada em 90, ou seja,em avano. Ou seja, a corrente aparece antes de haver tenso no capacitor, poisele ainda estar carregando.2.6.4.2 Circuito RC srieSeguindo a mesma analogia do circuito RL:Z = R +j XC = R j1C(2.62)I =VZ=V /0Z/=VZ/ = I/ (2.63) = tan1XCR= tan1 1/CR= tan11 RC(2.64)O nguloser negativo,logo o ngulo da corrente ser positiva,ou seja,em avano.Calcula-se as tenses:VR = RI = RI / (2.65)VC = j XCI =_XC/90o_I/ (2.66)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 29VC =_1C/90o_I/ =IC/90o (2.67)2.6.4.3 Circuito RC paraleloParaoparalelo, segue-seamesmalosoa. Agoraatensoconhecida, eprocura-se as correntes em cada elemento.IR =VR=VR/0 (2.68)IC =VZC=Vj XC=V /0XC/ 90o=VXC/90o(2.69)A corrente total ser a soma fasorial das correntes:I =IR +IC =VR/0 +VXC/90o=VR +jVXC(2.70)I = V_ 1R +j1XC_(2.71)A corrente ter um ngulo igual a = tan11/XC1/R= tan1RXC(2.72)2.6.5 Associao de impednciasA associao de impedncias segue a mesma regra da associao de resistoresem um circuito CC, mas utilizando-se de lgebra de nmeros complexos:2.6.5.1 Srie:Zeq =Z1 +Z2 +... +Zn(2.73)2.6.5.2 Paralelo:1Zeq=1Z1+1Z2+... +1Zn(2.74)O inverso da impedncia chamado de admitncia. O inverso da reatncia chamado de susceptncia. Ambos tem como medida o siemens (smbolo S).2.6.6 Circuitos RLCA combinao dos trs elementos bsicos permite o estudo de oscilaes.CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 302.6.6.1 Circuito LC srie (hipottico)Suponha um indutor e um capacitor em uma associao srie. As reatncias doindutor e do capacitor so variveis pela freqncia:XC = 1C(2.75)XL = L (2.76)Haverumadeterminadafreqncianoqual asreatnciasiroseigualar,logo:ZL = j XL(2.77)ZC = j XC(2.78)Zeq =ZC +ZL(2.79)ZC = ZL(2.80)Zeq = 0 (2.81)Neste ponto dizemos que o circuito est em ressonncia. O que signica queoindutorestemumatrocadeenergiadiretocomocapacitor, noqual umanula o outro no circuito. Este estado pode ou no ser desejvel. Um exemplode uso de ressonncia na transmisso de ondas eletromagnticas (rdio, TV,celular).A freqncia de ressonncia de um circuito pode ser calculada:XL = XC(2.82)L =1C(2.83)2=1LC(2.84) =1LC(2.85)ouf=12LC(2.86)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 312.6.6.2 Circuito LC paralelo (hipottico)Neste caso ocorre o contrrio:1Zeq=1ZC+1ZL=ZC +ZLZCZL(2.87)Zeq =ZCZLZC +ZL(2.88)ZC = ZL(2.89)Logo ocorre uma diviso por zero:Zeq (2.90)Neste caso as energias so trocadas entre o indutor e o capacitor, mas agoraimpedindo que haja corrente circulando!2.6.6.3 Circuito RLC srieA insero de um elemento resistivo indica o ponto de sada da energia.Zeq =ZR +ZL +ZC(2.91)Aqui o circuito pode estar em trs situaes:Predominantemente capacitivo: |XC| > |XL|Predominantemente indutivo:|XL| > |XC|Resistivo ou em ressonncia: |XC| = |XL|, e em consequncia:Zeq =ZR(2.92)Este estado varia conforme a freqncia varia:quanto maior a frequncia, maior a reatncia indutiva e menor a reatnciacapacitiva,quanto menor a frequncia, menor a reatncia indutiva e maior a reatnciacapacitiva.Pode-se perceber que a corrente ser mxima quando o circuito encontra-se emressonncia.2.6.6.4 Circuito RLC paraleloDe forma anloga:1Zeq=1ZR+1ZL+1ZC(2.93)CAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 322.6.6.5 Circuitos mistosA partir destas conguraes vistas nas sees anteriores, possvel compreenderocomportamentodecircuitosmistos. Comousodomtodofasorial, bastarealizar o clculo da impedncia equivalente da mesma forma que na correntecontnua. Os efeitos de cada congurao so totalmente diversicados!Defato, espera-sequeoalunonosepreocupeemdecorarcadatipodecircuito, basta entender o mtodo fasorial e a lgebra complexa, que sero vlidospara qualquer circuito em CA.2.7 Exemplos2.7.1 Primeiro exemploCalcule a corrente fornecida pela fonte no circuito da gura 2.13, considerandouma frequncia de 60 Hz.Figura 2.13: Primeiro exemploConsideraes: oindutorde1 Hserdevalordesprezvela60Hz, pertodos outros elementos do circuito (calcule e conra). = 2 f= 377 rad/sZR = R = 90 ZL = j L = j 377 0, 5 = j 188, 5 ZC = j1 C= j1377 20 106= j 132, 62 Zeq1 =ZR +ZL = 90 +j188, 5 = 208, 88/64, 48oCAPTULO 2. PRINCPIOS DE CORRENTE ALTERNADA 33Lembrando que para somar e subtrair, usar os complexos em forma retan-gular, e para multiplicar e dividir, usar os complexos em forma polar.Zeq =Zeq1 ZC =Zeq1ZCZeq1 +ZC=208, 88/64, 48o 132, 62/ 90o90 +j188, 5 j 132, 62Zeq =27702/25, 52o90 +j55, 88=27702/25, 52o105, 94/31, 84o= 261, 49/ 57, 36oI =VZ=220/0o261, 49/ 57, 36o= 0, 8413/57, 36oAComo desprezamos o indutor de 1 H, a tenso sobre o capacitor ser iguala220V.Casocontrrio, deveramoscalcularaquedadetensonoindutoreverica o que sobra para o resto do circuito.VC = 220/0oVPodemos calcular a corrente no capacitor:IC =VCZC=220/0o132, 62/ 90o= 1, 6589/90oAA tenso sobre o brao RL tambm ser de 220 V, pois est em paralelo como capacitor. Podemos calcular a corrente, apelidando-a deI1.I1 =VZeq1=220/0o208, 88/64, 48o= 1, 0532/ 64, 48oAComo forma de vericao, assim como temos na corrente contnua, a relaoI=IC +I1deve ser verdadeira! Verique, lembrando de passar para a formaretangular.Para completar a anlise, temos as quedas de tenso no resistor e no indutor.Eles compartilham a mesma correnteI1.VR =I1ZR = 1, 0532/ 64, 48o 90 = 94, 7898/ 64, 48oVVL =I1ZL = 1, 0532/ 64, 48o 188, 5/90o= 198, 5319/25, 52oVNovamente, como vericao, a relaoV=VR +VL deve ser verdadeira.Captulo 3Potncia e energia3.1 IntroduoApotnciaaquestodamaioriadoscircuitoseltricos. Percebe-sequeso-mentearesistnciaconsomeenergia, osoutroselementos, capacitoreseindu-tores,armazenam energia em um momento,lanando de volta para o circuitono instante seguinte.3.1.1 Potncia em circuitos resistivosJ sabemos que, em uma resistncia, tenso e corrente esto em fase:v(t) = Vsin t (3.1)i(t) = Isin t (3.2)p(t) = v(t) i(t) = VIsin2t (3.3)Analisando, percebe-se que a potncia sempre ser positiva.34CAPTULO 3. POTNCIA E ENERGIA 35Figura 3.1: Potncia em um circuito resistivo3.1.2 Potncia em circuitos reativosNeste caso, tenso e potncia possuem uma diferena de fase:v(t) = Vsin t (3.4)i(t) = Isin(t +) (3.5)p(t) = VIsin(t) sin(t +) (3.6)Esta diferena de fase far com que parte da potncia seja negativa, ou seja,parte da energia retorna ao circuito. Quanto maior for o ngulo de fase, maiorser o retorno. No caso extremo, uma diferena de fase de 90o, toda a potnciaretornae nada consumido.Apotnciareativaindesejvel, mas elaparteintegrantedequalquercircuito magntico, aonde est incluso a grande maioria dos motores eltricos,largamente utilizados na indstria. um fenmeno que devemos conviver.CAPTULO 3. POTNCIA E ENERGIA 36Figura 3.2: Potncia com defasagem de 45oentre tenso e correnteFigura 3.3: Potncia com defasagem de 90oentre tenso e correnteCAPTULO 3. POTNCIA E ENERGIA 37Figura 3.4: Potncia com defasagem de 90oentre tenso e correnteFigura 3.5: Potncia com defasagem de 180oentre tenso e correnteCAPTULO 3. POTNCIA E ENERGIA 383.2 Tipos de PotnciaPara simplicar os estudos e compatibilizar com o mtodo fasorial, a potnciaem um circuito pode ser dividida em trs partes:Potnciaativa: apotnciaconsumidaporresistores, expressaemwatt(W).P= RI2(3.7)Potncia reativa: a potncia que retorna dos indutores e capacitores, ex-pressaemvoltamperereativo(Var). Aequaosimilar,trocandoso-mente a resistncia pela reatncia (capacitiva ou indutiva).Q = X I2(3.8)Neste caso teremos uma potncia reativa positiva, proveniente dos circuitosindutivos(X>0)eumapotnciareativanegativa, provenientedoscircuitoscapacitivos(X