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8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
1/62
Captulo 7
INTEGRAODEFINIDA
7.1 Intoduo
Neste captulo introduziremos a noo de integral definida, cuja origem foi a formalizaomatemtica da idia do clculo de reas de regies planas delimitadas pelos grficos de fun-es. Observemos que somente "sabemos"calcular, efetivamente, a rea de regies limitadaspor segmentos de retas como retngulos, tringulos ou composies destes. Como motivao,comearemos com um problema.
Problema: Sejam
funes contnuas.. Calcule a rea da regio plana
delimitada pelo grfico das funes contnuas ! # % '
, ! # % '
, ) % )
.
a b
f
g
Figura 7.1: rea da regio dada no problema.
Soluo do Problema: O subconjunto4 ! 6
% 8 % B E E E E E E % H P Q
chamado de partiode ordem
Sdo intervalo
se:
!
% 8U T % B T % W T E E E E E E E EG E T % H X BV T % H
!
E
Subdividamos o intervalo
emS
subintervalos, escolhendo os pontos da partio4
. For-memos os seguintes subintervalos:
% 8 % B % B %W
E E E E E E E E % H X B % H E
271
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
2/62
272 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Denotemos qualquer destes subintervalos por % X B %
,
variando de
atS
. Seja
%
!
% % X B
o comprimento do subintervalo % X B %
,
variando de
atS
. Note que estes su-bintervalos no tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada
, variando de at S ,
consideremos o retngulo
limitado pelas retas%
!
% X B
,%
!
%
, !
$ # '
e !
# '
, onde % X B % .
Figura 7.2: Subdiviso da regio.
Obtemos assimS
retngulos
. intuitivo que a soma das reas dosS
retngulos uma"aproximao"da rea da regio
. Se
S muito grande ou, equivalentemente, se
Scresce,
ento
%
ou seja a base do retngulo correspondente muito pequena e a soma das reas dosS
retngulos aproxima-se cada vez mais da rea da regio
.
Figura 7.3: Subdiviso da regio.
A rea de cada
$ # ' # '
%
(base por altura); a soma H
das reas dos S retngulos:
H
!
H
B
# ' # '
% E
H
chamada soma de Riemann da funo
. Denotemos por
%
o maior dos
%
. Area de uma regio plana
delimitada pelo grfico das funes contnuas
!
# % '
, !
# % '
definidas no intervalo
e pelas retas%
!
e%
!
:
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
3/62
7.1. INTODUO 273
#
'
!
8
H
! B
# ' # '
% E
possvel provar, com rigor matemtico que este limite sempre existe e igual a rea de
;mais ainda, este limite no depende da escolha da partio do intervalo
ou da escolha dospontos
. Para mais detalhes veja a bibliografia intermediria e avanada.
Exemplo 7.1.
[1] Calcule a rea da regio limitada pelo grfico da funo !
# % '
!
%
W
, o eixo dos%
e pelas
retas%
!
e%
!
.
1
1
1
1
Figura 7.4: rea limitada por !
# % '
!
%
W
.
O intervalo de integrao
, # % '
!
%
W
e # % '
! ; ento
# % '
!
# %9 ' # % '
!
%
W
.
a) Consideremos a seguinte partio de ordem de
:
% 8
!
T% B
!
T% W
!
T%
!
!
T% "
! #
%
!
B
" , para cada
. Os subintervalos so:
B
"
,
B
"
B
W
,
B
W
"
e
"
. Se escolhemos B
! ,
W
!
B
" ,
!
B
W e
"
!
" , ento, #
B'
! ,
# W '
!
B
B & , #
'
!
B
" , #
"
'
! (
B & ; logo:
"
!
1
3
1
1
4
3
!
5
!
E
Se escolhemos B
!
B
" ,
W
!
B
W ,
!
" e "
! :
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
4/62
274 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
0.25 0.5 0.75 1
1
Figura 7.5: Partio da regio.
# B '
!
B
B &
,
# W
'
!
B
"
,
# '
! (
B &
,
# " '
!
; logo:
"
!
3
1
1
4
3
1
!
!
E
intuitivo que
5
!
)
#
' )
!
E
b) Consideremos a seguinte partio de ordemS
:
% 8
!
T% B
!
S
T%
W
!
S
T%
!
!
S
TE E E E E E E E E E E E E E E E E E
T% H
!
S
S
!
E
%
!
B
H . Se escolhemos B
!
B
H ,
W
!
W
H ,
!
H ,............, H
!
H
H :
H
!
S
S
W
1
S
W
S
W
1
S
!
W
S
W
1
E E E E E E E E E E
1
S
S
W
S
W
!
S
#
W
1
W
1
!
W
1
E E E E E E E E E E
1S
W
'
!
#
S1
' #
S1
'
3S
W
E
Se escolhemos
B
! ,
W
!
B
H ,
!
W
H ,............,
H
!
H X B
H :
H
!
S
#
W
1
W
1
!
W
1
E E E E E E E E E E
1
#
S
'
W
'
!
#
S
' #
S
'
3S
W
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
5/62
7.1. INTODUO 275
1
1
Figura 7.6: Nova partio da regio.
Ento,
H X B
WH X B
&H
)
#
' )
H B
WH B
&H
E
Por outro lado:
H
#
S
' #
S
'
3S
W
!
H
#
S1
' #
S1
'
3S
W
!
!
#
ento,
#
'
!
B
.
[2] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das funes # % '
!
%
, # % '
!
4
%
e pelasretas
%
! e
%
!
!
.
33
Figura 7.7: rea limitada por # % '
!
%
, # % '
!
4
%
e pelas retas%
!
e%
!
!
.
O intervalo de integrao
!
; ento, # % '
!
$ # %9 ' # % '
!
4
% %
, se%
!
.
a) Consideremos a seguinte partio de ordem 3 de
!
:
% 8
!
T% B
!
T% W
!
T%
!
!
T%
"
!
T%
!
T%
&
!
!
#
%
!
B
W , para cada
. Se escolhemos B
! ,
W
!
B
W ,
! ,
"
!
W ,
!
e &
!
W , obtemos:
# B
'
! ,
# W '
!
, #
'
! ,
#
"
'
!
B
, #
'
! e
#
&
'
!
e,
&
!
#
!
1 1
1
1
'
!
!
3
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
6/62
276 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
b) Consideremos a seguinte partio de ordemS
:
% 8
!
T% B
!
!
S
T% W
!
3
S
T%
!
4
S
TE E E E E E E E E E E E E E E E E E
T% H
!
!
S
S
!
!
E
%
!
H . Seja
!
H , para todo
!
E E E E E
S. Logo:
# B '
!
!
B
H
B
H , #
W'
!
!
W
H
H ,
# '
!
!
H
W
H ,
# " '
!
!
"
H
& "
H . Em geral:
# '
!
!
S
S
e:
H
!
H
B
# '
%
!
H
B
!
S
S
!
S
!
H
B
!
"
S
W
S
W
E
Lembrando que
H
B
!
S
#
S1
'
e
H
B
!
S
W
#
S1
'
W
, temos
H
!
S
W
. Ento, a
rea procurada :
#
'
!
H
H
!
H
#
S
W
'
!
E
7.2 Definio e Clculo da Integral Definida
Definio 7.1. Sejam
uma funo definida no intervalo
, 4 uma partio qualquer do intervalo
e
um ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partio. A integral definida de
de
at
denotada por:
# % ' %
e definida por:
# % ' %
!
8
H
! B
# '
%
se o limite existe.
Se o limite da definio existe, independente das escolhas feitas, como no caso da definiode rea. Portanto, deve ter sempre um nico valor.
Se
contnua e no negativa em
a definio de integral definida coincide com a defini-o de rea da regio
delimitada pelo grfico de
, pelas retas%
!
,%
!
e pelo eixo dos%
(
! ):
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
7/62
7.2. DEFINIO E CLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 277
Figura 7.8: A regio
.
! 6
# %
' @ ) % )
)
) # % ' P
Neste caso teremos:
#
'
!
# % ' %
Os nmeros
e
so chamados limites inferior e superior de integrao.
Definio 7.2. Uma funo
definida em
dita integrvel em
se sua integral definidaexiste.
Algumas das provas deste captulo sero omitidas, pois fogem do objetivo destas notas. Um
leitor interessado pode recorrer bibliografia indicada.
Teorema 7.1. Se a funo
contnua em
, ento integrvel em
.
Observemos que a recproca deste teorema falsa. Por exemplo, considere a funo:
# % '
!
se
%
se%
#
E
1 2
1
1 2
1
Figura 7.9: Grfico de
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
8/62
278 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
descontnua, mas a regio limitada pelo grfico de
, possui rea igual a
no intervalo
e zero no intervalo#
; logo,
integrvel.
Proposio 7.1. Se
e
so funes integrveis em
, ento:
1. Linearidade da Integral.
1
funo integrvel em
, para todo
e:
# % '
1
# % '
%
!
$ # % ' %
1
# % ' %
2. Monotonicidade da Integral. Se # % ' # % '
em
; ento,
# % ' %
# % ' %
3.
integrvel e:
# % ' %
)
# % '
%
4. Sejam
T
T
e
uma funo integrvel em
e
respectivamente. Ento
integrvelem
e:
# % ' %
!
# % ' %
1
# % ' %
Para a prova, veja o apndice. At agora conhecemos a definio e as propriedades mais im-portantes da integral definida. Mostraremos, a seguir, como calcul -la.
Teorema 7.2. Fundamental do Clculo.
Se
uma funo integrvel em
e admite uma primitiva
# % '
em
, ento:
# % ' %
!
# '
# '
O teorema nos diz que para calcular a integral definida de uma funo, basta procurar umaprimitiva da funo e avali-la nos limites de integrao. A integral definida um nmeroreal. Para a prova do teorema, veja o apndice.
Notao:
# % '
!
# '
# '
.
Corolrio 7.3. Na hiptese do teorema 7.2 temos:
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
9/62
7.2. DEFINIO E CLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 279
1.
# % ' %
!
# % ' %
.
2.
# % ' %
! .
Exemplo 7.2.
Calcule as seguintes integrais definidas:
[1]
B
8
1
%
%
. Usando a linearidade, podemos escrever a integral como:
W
B
1
%
%
!
W
B
%
1
W
B
%
%
E
Como:
B# % '
!
%
!
e
W # % '
!
%
%
!
%
X B "
%
!
%
!
Logo,
W
B
1
%
%
!
W
B
%
1
W
B
%
%
!
B # % '
W
B
1
W# % '
W
B
!
B#
'
B#
'
1
!
W #
'
W #
'
!
#
W
'
1
!
#
' E
[2]
S
# % ' %
. Utilizamos integrao por partes:
!
S
# % '
!
%
!
!
%
#
ento: # % '
!
S
# % ' %
!
%
S
# %( ' %
; logo:
S
# % ' %
!
# % '
!
W
E
[3]
B
X B
S
# % '
%
. Observamos que S
# % '
se ) % )
e
S
# % ' )
se
) % )
.
S
# % ' %
!
# % '
1
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
10/62
280 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Logo,
# % '
!
, ento:
B
X B
S
# % '
%
!
B
8
S
# % ' %
8
X B
S
# % ' %
!
# % '
B
8
# % '
8
X B
!
#
#
'
#
' ' #
#
'
#
' '
!
E
[4]
B
8
%
%
W
1
!
%
. Se !
%
W
1
!
, ento
"
!
% %
.
%
%
W
1
!
%
!
!
3
!
#
%
W
1
!
'
3
1
E
Logo, # % '
!
W
&
; ento,
B
8
%
%
W
1
!
%
!
#
'
#
'
!
3
!
E
[5] Seja
# % '
!
se%
!
S
se%
!
E
Verifique se
contnua em
. Calculando diretamente:
!
B
%
1
1
. Logo,
# % '
! " $
B ; ento:
!
# '
# '
!
B
B
%
1
E
Por outro lado, aplicando LHpital:
X B
$ # % '
!
X B
#
B
S
# '
B
S
# ' '
!
$ #
'
#
logo,
contnua em
.
7.3 Mtodos para Calcular Integrais Definidas
Mtodo de Substituio
Se !
# % '
, ento
!
& # % ' %
; logo,
$ # # % ' '
&
# % ' %
!
(
(
#
'
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
11/62
7.3. MTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 281
Integrao por Partes
# % '
&
# % ' %
!
# % ' # % '
# % '
&
# % ' %
Exemplo 7.3.
[1] No exemplo [4] da pgina anterior, fizemos !
%
W
1
!
; logo,
"
!
% %
. Se:%
! , ento
!
!
; se%
! , ento
! . Assim:
B
8
%
%
W
1
!
%
!
!
3
!
3
!
E
[2] Calcule
B
8
%
W
1
1
.
Fazamos
!
, ento W
1
1 !
W
1
1 !
#
1
'
W
. Se%
! , ento
! ; se%
! ,ento
! . Utilizando fraes parciais:
B
8
%
W
1
1
!
B
#
1
'
W
!
1
B
!
!
#
1
'
E
[3] Calcule
"
8
%
1
% .
Se !
%
1, ento
%
!
e
!
W
; logo,
#
'
!
%
. Se:%
! , ento,
! ; se
%
! , ento,
!
!
. Assim:
"
8
%
1
%!
B
#
'
!
S
#
'
B
!
S
#
!
' E
[4] Calcule
"
B
%
S
# % ' %
.
Usando o mtodo de integrao por partes temos: !
S
# % '
e
!
% %
; ento,
!
B
%
e
!
W . Assim
%
S
# % ' %
!
H
W
" . Logo:
"
B
%
S
# % ' %
!
%
W
S
# % '
%
W
"
B
! 3
S
#
'
E
[5] Calcule
8
S
#
'
H
.
Como S#
'
!
S
#
'
#
'
, fazemos%
! S
#
'
; logo, %
!
#
'
. Se
! , ento
%
! ;se
!
W , ento%
! . Assim:
8
S
#
'
H
!
B
8
%
% E
Integrando por partes: !
%
e
!
%
, ento
!
%
e
!
; logo:
8
S
#
'
H
!
B
8
%
%
!
%
B
8
B
8
%
!
%
B
8
!
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
12/62
282 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
[6] Calcule
%
%
%
W
1
4
.
Usaremos o mtodo de substituio trigonomtrica. Seja%
!
!
# '
; observamos que!
# '
!
!
!
e!
# '
!
!
, implicam em
!
&
e
!
"
; %
!
!
W
# '
; ento,
(
!
.
%
%
%
W
1
4
!
!
# '
!
!
S
1
!
1
E
[7] Verifique que
8
# % '
# % '
1
# % '
%
!
, sendo
tal que o integrando seja definido.
Seja !
8
# % '
$ # % '
1
$ # % '
%
. Fazendo !
%
, ento
!
%
:
!
8
$ #
'
$ #
'
1
$ #
'
!
8
$ # % '
$ # % '
1
# % '
%
#
logo,
!
8
# % '
# % '
1
$ # % '
%
1
8
# % '
# % '
1
# % '
%
!
8
%
!
E
[8] Usemos [7] para calcular
W
8
%
W
%
W
%
1
%
.
W
8
%
W
%
W
%
1
%
!
W
8
%
W
%
W
%
1
%
!
W
8
%
W
%
W
1
# %
'
W
%
!
E
Consideramos # % '
!
%
W
em [5].[9] Calcule
B
8
%
# % ' %
.
Integrando por partes !
# % '
,
!
% %
; ento,
!
B e
!
W ;
B
8
%
# % ' %
!
%
W
# % '
B
8
B
8
%
W
%
W
1
% E
Agora calculamos
B
8
B
%
. Integramos a funo racional. Logo,
B
8
%
W
%
W
1
%
!
B
8
%
W
1
%
!
%
# % '
B
8
!
E
Ento:
B
8
%
# % ' %
!
%
W
# % '
B
8
!
#
' E
Aplicao : Seja
uma funo integrvel sobre
. Se
uma funo par:
X
# % ' %
!
8
# % ' %
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
13/62
7.3. MTODOS PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS 283
Se
uma funo mpar:
X
# % ' %
!
De fato:
X
# % ' %
!
8
X
# % ' %
1
8
$ # % ' %
!
X
8
# % ' %
1
8
# % ' % E
Faamos a seguinte substituio !
%
, ento:
X
8
$ # % ' %
!
8
$ #
'
E
Se
uma funo par, segue a) e se
uma funo mpar, segue b).
Exemplo 7.4.
[1] Calcule
X
# % '
%
&
1
%
"
1
%
.
A funo # % '
!
(
"
B mpar, logo:
X
# % '
%
&
1
%
"
1
%
!
E
-0.75 0.75
-0.3
0.3
-0.75 0.75
-0.3
0.3
Figura 7.10: Grfico da funo$ # % '
!
(
"
B .
[2] Calcule
B
X B
# %
W
1
# % '
1
' %
.
A funo # % '
!
%
W
1
# % '
1
par, logo:
B
X B
# %
W
1
# % '
1
' %
!
B
8
# %
W
1
# % '
1
' %
!
!
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
14/62
284 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
-1 1
2
-1 1
2
Figura 7.11: Grfico da funo # % '
!
%
W
1
# % '
1.
7.4 Construo de Primitivas
Seja2
uma funo contnua. Definamos a funo:
# % '
!
#
'
E
Por exemplo, se # % '
!
# % '
, ento # % '
!
8
#
'
! S
# % '
; por outro lado,
% '
!
# % '
!
# % '
. Este fato pode ser generalizado. o que estabelece o seguinte teorema.
Teorema 7.4.
Seja
uma funo contnua. A funo # % '
!
#
'
derivvel e:
&
# % '
!
# % '
ou
&
# % '
!
%
#
'
!
# % '
Este resultado implica que toda funo contnua possui uma primitiva. Veja o apndice paraa prova. Existem funes integrveis que no possuem primitivas (no podem ser contnuas).Por exemplo, a funo definida por
# % '
! se
%
! e
#
'
! ;
no derivada de nenhumafuno (
# % '
!
#
'
! para todo
%
).
Corolrio 7.5.
Seja # % '
!
#
'
, onde
contnua e
derivvel;
e
so intervalos
tais que # ' Q
. Ento
derivvel e:
&
# % '
!
#
# % ' '
&
# % '
De fato. Seja
!
tal que
# % '
!
#
'
. Pelo teorema
uma funo derivvel.
Utilizando a regra da cadeia e o teorema novamente
&
# % '
!
%
#
# % ' '
&
# % '
!
#
# % ' '
&
# % ' E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
15/62
7.4. CONSTRUO DE PRIMITIVAS 285
Exemplo 7.5.
[1] Calcule
%
8
#
W
1
'
. A funo #
'
!
W
1 contnua em
, pelo teorema
anterior:
%
8
#
W
1
'
!
%
W
%
1
E
[2] Calcule
% se !
#
1
5'
W
.
Como #
'
!
#
1
5 '
W
contnua em
; # % '
!
%
W
derivvel em
e #
' Q
# c '
. Pelocorolrio anterior:
%
!
#
# % ' '
&
# % '
!
% # %
W
'
!
% #
%
W
1
5'
W
E
[3] Calcule
&
se !
8
X
W
1
1
W
8
W
1
.
Como #
'
!
W
1 contnua em
, B # % '
!
%
e W # % '
!
!
%
1
so funes derivveistais que
#
B '
#
W' Q
# '
, pelo corolrio anterior:
&
!
#
B # % ' '
&
B
# % '
1
#
W # % ' '
&
W
# % '
!
%
W
1
1
!
#
!
%
1
'
W
1
E
[4] Seja
# % '
!
8
1
W
1
$
8
1
W
%
!
E
Mostre que
# % '
constante em#
'
e em#
1
'
. Calcule tais constantes.
i) Seja
# % '
!
8
1
W ; ento,
# % '
!
# % '
1
B
. Pelo Teorema Fundamental do Clculo,
& # % '
!
B
B
e
& # % '
!
& # % '
B
&
B
!
# %
!
'
. Logo
& # % '
! e
# % '
!
B
se%
e
# % '
!
W
se%
T
.
ii) B
!
#
'
!
B
8
1
W
!
; analogamente,
W
!
W
E
[5] A funo :
# % '
!
8
S
W
chamada de Fresnel e aparece no estudo da difrao de ondas de luz: Calcule
8
# % '
%
.
O limite apresenta uma indeterminao do tipo#
8
8
'
; aplicamos LHpital,
&
# % '
! S
%
W
# logo
8
# % '
%
W
!
8
% '
!%
W
!
3
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
16/62
286 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
3 2 1 1 2 3
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
Figura 7.12: Grfico de
# % '
.
[6] A funo:
# % '
!
8
X
chamada funo erro. Calcule a derivada de:
i)%
# % '
.
ii)
#
% '
.
i) Pela regra do produto:
%
%
# % '
!
$ # % '
1
%
%
# % '
!
$ # % '
1
%
X
E
ii) #
'
!
X
e # % '
!
%
; ento, #
# % ' '
!
X
e &
# % '
!
B
W
. Logo:
%
#
'
!
$ #
# % ' '
&
# % '
!
X
%
E
3 2 1 1 2 3
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 7.13: Grfico de
# % '
.
[7] Calcule &
se # % '
!
8
X
.
Denotemos por #
'
!
X
e
# % '
!
%
W
; ento,$ #
# % ' '
!
# %
W
'
!
X
; logo: & # % '
!
%
X
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
17/62
7.5. APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDA 287
2 1 1 2
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 7.14: Grfico de
e &
.
[8] Se
%
S
# % '
!
8
#
'
, onde
uma funo contnua, calcule
#
'
. Derivando a ambosos lados da igualdade:
%
%
S
# % '
!
%
8
$ #
'
# S
# % ' %
# % '
!
$ # %
W
' % E
Para%
!
, temos: S
#
'
#
'
!
#
'
, logo
!
#
'
. Ento, #
'
!
W .
7.5 Aplicaes da Integral Definida
7.5.1 Acelerao, velocidade e posio
A relao entre acelerao, velocidade e a posio de uma partcula pode ser obtida utilizandodiretamente o Teorema Fundamental do Clculo.
Suponhamos que uma partcula move-se ao longo do grfico da funo com segunda derivadacontnua
%
!
% #
'
com velocidade
!
#
'
, de classe
B
e acelerao,
!
#
'
em cada instante
. A acelerao da partcula : #
'
!
. Pelo Teorema:
#
'
!
!
#
' #
8 '
#
ento:
#
' #
'
!
#
'
1
#
8 ' E
Logo, conhecendo a acelerao e a velocidade inicial da partcula, podemos obter a velocidadeem cada instante
. A velocidade da partcula : #
'
!
. Pelo Teorema:
#
'
!
%
!
% #
' % #
8 '
#
ento:
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
18/62
288 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
#
' % #
'
!
#
'
1
% #
8 ' E
#
'
!
% #
' % #
8'
chamado o deslocamento da partcula. Logo, conhecendo a velocidadee a posio inicial da partcula, podemos obter sua posio em cada instante
. Um dos movi-mentos mais simples quando a partcula tem acelerao constante:
#
'
!
8
, para todo
. comum nas aplicaes considerar que o tempo inicial seja
8
! . Denotando a velocidade e
posio inicial respectivamente por #
'
!
8
e% #
'
!
% 8
, obtemos:
De (1): #
'
!
8
8
!
8
1
8
e de#
'
:% #
'
!
8
#
'
1
% 8
!
8
# 8
1
8 '
1
% 8
.
Logo,
% #
'
!
8
W
1
8
1
% 8 E
Neste caso, conhecendo a velocidade e a posio inicial da partcula obtemos sua trajetria.
No deslocamento vertical de uma partcula, escolhemos o eixo dos
do sistema de coordenadaspara a posio. Consideramos para cima a parte positiva do eixo dos
. O efeito da gravidade
na partcula diminuir a altura bem como a sua velocidade. Desprezando a resistncia doar, a acelerao constante
#
'
!
, onde
!
4
E
W
a acelerao gravitacional nasuperfcie da terra. Ento:
#
'
!
4
E
1
8
e% #
'
!
E
4
W
1
8
1
% 8
% #
'
medido em metros.
Exemplo 7.6.
[1] A velocidade de um foguete de
aps os primeiros!
de seu lanamento.Determine a distncia percorrida pelo foguete. Primeiramente, fazemos a converso de
para
multiplicando pela fraoB 8 8 8
& 8 8 , donde obtemos:
8
!
!
!
3
W
!
4
E
4
W
E
8
! ; logo #
'
!
4
E
4
e obtemos: #
!
'
!
4
E
4
(
8 8
W
! 3 3
E
. O foguete nos primeiros!
percorre uma distncia de
3 3
E
.
[2] Se uma bola jogada diretamente para cima a partir do cho com velocidade inicial de4
3
. Determine seu deslocamento. Primeiramente,% 8
! e
8
!
4
3 ; logo, #
'
!
4
E
1
4
3 . A bola atinge sua altura mxima quando
! ; ento, a altura mxima atingida no tempo:
!(
&
(
!
4
E5
4
. Logo,
% #
4
E5
4
'
!
E
4
#
4
E5
4
'
W
1
4
3
4
E5
4
!
5
E
E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
19/62
7.6. CLCULO DE REAS 289
7.6 Clculo de reas
O clculo da rea de uma regio plana pode ser feito via integral definida. A seguir, estudare-
mos as situaes mais comuns.Teorema 7.6.
Sejam
funes contnuas. A rea de uma regio plana delimitada pelo grfico dasfunes contnuas
!
# % '
, !
# % '
e pelas retas%
!
e%
!
:
#
'
!
$ # %9 ' # % '
%
Se # % '
e # % '
! , para todo
%
, ento:
#
'
!
# % ' %
onde: ! 6
# %
' ) % )
)
) # % ' P
b
R
a
y=f(x)
Figura 7.15: ! 6
# %
' ) % )
)
) # % ' P
.
Se # % ' )
e # % '
! , para todo
%
, ento:
#
'
!
# % ' %
onde ! 6
# %
' ) % ) # % ' )
)
P
a
R
b
Figura 7.16: ! 6
# %
' )1 % ) # % ' )
)
P
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
20/62
290 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Se$ # % ' # % '
, para todo%
, ento:
#
'
!
# %9 ' # % '
%
onde ! 6
# %
' )1 % ) # % ' )
) # % ' P
a b
f
g
R
Figura 7.17: ! 6
# %
' )1 % ) # % ' )
) $ # % ' P
.
Se$ # % ' # % '
, ) % )
e # % ' $ # % '
, ) % )
; ento, ! B
W
, onde:
B
! 6
# %
' ) % ) # % ' )
) # % ' P
e
W
! 6
# %
' ) % ) # % ' )
) # % ' P
#
'
!
# %9 ' # % '
%
1
# % '$ $ # % '
%
a b
f
c
g
Figura 7.18: !
B
W
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
21/62
7.6. CLCULO DE REAS 291
Exemplo 7.7.
[1] Se em 1970, foram utilizados 20.3 bilhes de barris de petrleo no mundo todo e se a deman-
da mundial de petrleo cresce exponencialmente a uma taxa de
4
ao ano, ento a demanda
#
'
anual de petrleo no tempo
#
'
!
E
!
8
8
(
(
! em 1970). Se a demanda continua
crescendo a uma taxa de4
ao ano, qual ser a quantidade de petrleo consumida entre osanos de 1970 e 2005?
A quantidade de petrleo utilizada nesse perodo de tempo a rea sob a curva de demandaentre
! e
!
!
.
E
!
8
8
8
(
!
E
3
8
8
(
8
!
!
E
E
Logo, foram consumidos 5038.02 barris de petrleo.
5 10 15 20 25 30 35
100
200
300
400
5 10 15 20 25 30 35
100
200
300
400
Figura 7.19: A regio do exemplo [1].
[2] Calcule a rea da regio limitada pelo eixo dos%
e pelo grfico de !
%
W
. Neste problema
! e no so dados claramente os intervalos de integrao; mas, as intersees com os eixos
so os pontos:#
'
,#
'
e#
'
.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 7.20: A regio do exemplo [2].
Logo, ! 6
# %
'
W
) % )
)
)
%
W
P
. Usando o fato de que a funo par:
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
22/62
292 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
!
W
X W
#
%
W
' %
!
W
8
#
%
W
' %
!
#
%
%
!
'
W
8
!
!
!
E E
[3] Calcule a rea da regio limitada pelo eixo dos%
e pelo grfico de !
%
"
%
W
1
.Determinemos a interseo da curva com os eixos coordenados:
i) Fazendo%
! ; ento, ! ; o ponto de interseo #
'
.
ii) Fazendo !
; ento, %
"
%
W
1 !
, clarametente%
!
e
%
! so raizes do
polinmio; logo, %
"
%
W
1 !
# %
' # %
1
' #
%
W
'
; os pontos de interseo so#
'
,#
'
,#
B
W
'
e#
B
W
'
.
fcil verificar que%
! ponto de mximo local e
%
!
so pontos de mnimo local de
. Logo, !
B
W
onde:
B
! 6
# %
'
W
) % )
%
"
%
W
1
)
)
P
#
W
! 6
# %
'
W
) % )
)
)
%
"
%
W
1
P
e
! 6
# %
'
W
) % )
%
"
%
W
1
)
)
P E
-0.5-1 10.5
1
-0.5
-0.5-1 10.5
1
-0.5
Figura 7.21: Grfico de ! B
W
.
Logo,
!
X
$
X B
#
%
"
%
W
1
' %
1
$
X
$
#
%
"
%
W
1
' %
B
$
#
%
"
%
W
1
' %
.
A funo
par. Usando a simetria da regio, calculamos a rea da regio no primeiro e quartoquadrantes e multiplicamos o resultado por
:
!
$
8
#
%
"
%
W
1
' %
B
$
#
%
"
%
W
1
' %
!
E E
[4] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de !
%
W
e !
%
1
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
23/62
7.6. CLCULO DE REAS 293
-2 -1 1 2
1
2
-2 -1 1 2
1
2
Figura 7.22: A regio do exemplo [4].
Novamente neste problema no so dados, claramente, os intervalos de integrao.
i) Calculemos as intersees dos grficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equaes:
!
%
1
!
%
W
ou seja, resolvamos%
W
%
! ; temos:
%
!
e
%
!
. Os pontos de interseo so#
'
e#
'
.ii) Notemos que
%
1
%
W
se%
; logo:
!
W
X B
# %
1
%
W
' %
!
%
W
1
%
%
!
W
B
!
5
3
E E
[5] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de !
%
W
%
"
e !
%
W
.
-1 1
-1
-1 1
-1
Figura 7.23: A regio do exemplo [5].
i) Calculemos as intersees dos grficos; em outras palavras, resolvamos o seguinte sistemade equaes:
!
%
W
%
"
!
%
W
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
24/62
294 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
ou seja, resolvamos%
"
! ; temos:
%
!
e
%
! . Os pontos de interseo so
#
'
e#
'
.
ii) Notemos que%
W
%
"
%
W
se
%
; utilizando a simetria da regio:
!
B
X B
# %
"
1
' %
!
B
8
# %
"
1
' %
!
E E
[6] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: W
!
%
,
!
%
W
,
W
!
%
e
!
%
W
se
. As curvas so parbolas.
Figura 7.24: A regio do exemplo [6].
Pela simetria da regio, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado por .
i) Observemos primeiro que
W
!
%
no funo de%
.
ii) Calculemos a interseo das curvas, resolvendo o sistema: 5
W
!
%
%
W
!
E
Ento,
%
"
!
W
W
; logo
%
"
%
!
, cujas razes:
%
!
e
%
!
so os limites de integrao.iii) A regio no primeiro quadrante, cuja rea queremos calcular limitada superiormente pelafuno
!
%
e inferiormente por !
%
W
, logo:
!
8
%
%
W
%
!
W
%
W
%
!
8
!
W
!
E E
[7] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas: !
# % '
e !
W
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
25/62
7.6. CLCULO DE REAS 295
-1-1
Figura 7.25: A regio do exemplo [7].
i) Calculemos as intersees das curvas:
!
# % '
!
W
E Se%
! , ento ! , se
%
!
W
, ento
! e se
%
!
, ento !
; logo, temos os pontos
#
'
e
W
e#
'
.
ii) Pela simetria da regio, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrante emultiplicar o resultado po
.
#
'
!
8
# % '
1
%
%
!
S
# % '
1
% # % '
W
8
!
E E
Observao Importante
Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relao a
e noem relao a
%
. Podemos repetir o processo de partio num intervalo que fica no eixo dos
ea obteno das somas de Riemann.
Seja
a regio plana limitada pela direita pela funo%
!
#
'
, pela esquerda por%
!
#
'
e pelas retas !
e !
.
c
M(y)N(y)d
Figura 7.26: .
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
26/62
296 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
No difcil provar que se as funes
#
'
e
#
'
so contnuas em
, ento:
!
#
'
#
'
Por isso, para resolver os problemas de rea sempre indicado fazer o desenho da regio cor-respondente.
Exemplo 7.8.
[1] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas
W
!
%
e !
%
.
i) As intersees das curvas so#
'
e#
'
.
ii) Sejam%
!
#
'
! 1 e
%
!
#
'
!
W .
-2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
-2 2 4 6 8 1 0
-4
-2
2
4
Figura 7.27: A regio do exemplo [1].
Ento:
!
"
XW
1
W
!
W
1
3
"
XW
!
E E
Sugerimos ao aluno fazer este problema integrando em relao a%
, para "sentir"as dificuldades.
[2] Calcule a rea da regio limitada pelas curvas
W
!
%
1 e
W
!
%
.
i) As intersees das curvas so#
'
e#
'
.
ii) Sejam%
!
#
'
!
W
e%
!
#
'
!
W
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
27/62
7.6. CLCULO DE REAS 297
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 7.28: A regio do exemplo [2].
Ento, pela simetria:
!
W
XW
W
!
W
8
W
!
!
!
E E
Exemplos Diversos
[1] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos de ! S
# % '
e ! S
#
% '
,
) % )
.
3
-1
1
3
-1
1
Figura 7.29: A regio do exemplo [1].
Resolvendo S
# % '
! S
#
% '
!
S
# % '
# % '
para%
, temos que%
!,
%
!
e%
!
. A interseo das curvas ocorre em
#
'
,
#
W
'
e
#
'
. Dividamos a regio em duas:
B
! 6
# %
'
) % )
!
S
# % ' )
)
S
#
% ' P
W
! 6
# %
'
!
) % )
S
#
% ' )
)
S
# % ' P E
Ento,
!
8
S
#
% '
S
# % '
%
1
S
# % '
S
#
% '
%
!
E
.
[2] Calcule a rea da regio limitada pelo grfico das curvas: !
%
W
%
"
e !
% %
"
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
28/62
298 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
1
0.5
1
0.5
Figura 7.30: A regio do exemplo [2].
Determinemos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:
!
%
W
%
"
!
%
W
#
%
W
'
!
% %
"
!
% #
%
' E
Logo,%
! e
%
! ; ento, o intervalo de integrao
.
!
B
8
% %
"
%
W
%
"
%
!
B
8
% %
W
%
!
%
W
%
!
B
8
!
3
E E
[3] Calcule a rea comum a%
W
1
W
)
%
e%
W
1
W
)
.
-2 1 2 4
-2
2
Figura 7.31: A regio do exemplo [3].
Determinamos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:
%
W
1
W
!
%
W
1
W
!
% E
Ento,%
! e
!
!
. A equao%
W
1
W
!
%
corresponde a um crculo de raio
centradoem
#
'
; de fato, completando os quadrados obtemos:# %
'
W
1
W
!. Pela simetria da
regio, calculamos somente a rea da regio:
6
# %
'
)
)
!
) % )
%
W
P
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
29/62
7.6. CLCULO DE REAS 299
no primeiro quadrante (em verde) e multiplicamos o resultado por quatro. Integrando emrelao a
:
!
8
#
W
'
!
W
8
!
!
!
E E
[4] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das curvas:%
!
W
e
%
! .
Determinemos o intervalo de integrao, resolvendo o sistema:
%
1
W
!
%
!
E
Ento, !
e !
. A interseo das curvas ocorre em#
!
'
e#
'
.
!
W
X B
#
W
1
'
!
W
!1
W
X B
!
4
E E
-3 -2 -1 1
-1
1
2
-3 -2 -1 1
-1
1
2
Figura 7.32: A regio do exemplo [4].
[5] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: !
5 %
W
3
% %
e !
%
.
!
5 %
W
3
% %
!
% #
% ' # %
3
'
; a curva intersecta o eixo dos%
nos pontos#
'
,#
'
e#
3
'
. Por outro lado, considerando !
5 %
W
3
% %
, temos
&
!
%
3
!
%
W
e
& &
!
3
%
;ento, os pontos crticos
e X
so, respectivamente, de mximo local e de mnimo local.Para obter as intersees das curvas, resolvemos o sistema:
!
5 %
W
3
% %
!
%
#
logo,5 %
W
% %
!
% # %
' # %
'
! ; as curvas se intersectam nos pontos de abscissas
%
! ,
%
!
e%
! .
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
30/62
300 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
2 52 5
Figura 7.33: A regio do exemplo [5].
A regio subdividida em duas regies
B
e
W
, onde:
B
! 6
# %
'
) % )
5 %
W
3
% %
)
)
% P
W
! 6
# %
'
) % )
% )
)5
%
W
3
% %
P E
Logo:
!
W
8
#
% 5
%
W
1
%
' %
1
W
5%
W
% %
%
!
%
W
5 %
!
1
%
"
W
8
%
W
1
5 %
!
%
"
W
!
3
!1
3
!
!
!
E E
[6] Calcule a rea da regio limitada pelos grficos das seguintes curvas: !
%
W
%
1
e !
%
W
.
-1 2 31
1
10
-1 2 31
1
10
Figura 7.34: A regio do exemplo [6].
As curvas se intersectam nos pontos de abscissas%
!
e
%
!
!
; ento:
!
X B
#
%
W
%
W
1
%
' %
!
X B
#
3 1
%
%
W
' %
!
3
!
E E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
31/62
7.6. CLCULO DE REAS 301
[7] Calcule a rea limitada pela curva#
'
W
!
%
, pela tangente a esta curva no ponto de
ordenada !
!
e pelo eixo dos%
.
-4 -2 2 4
1
2
3
-4 -2 2 4
1
2
3
Figura 7.35: A regio do exemplo [7].
Se
8
!
!
, ento% 8
!
. A equao da reta tangente no ponto#
!
'
a equao da retatangente !
& # % 8 ' # %
'
1
!
; para obter &
, derivamos implicitamente em relao a%
aequao
#
'
W
!
%
; temos:
#
'
&
! . No ponto
#
!
'
, temos:
'
!
B
W ; logo,
%
!
. Integrando em relao a
, teremos:%
!
#
'
!
#
'
W
1
,%
!
#
'
!
e
!
8
# #
'
W
1
#
' '
!
8
#
W
3
1
4
'
!
4
E E
[8] Determine a rea da regio limitada pela curva:
W
1
W
! ;
.
Figura 7.36: A regio do exemplo [8].
As intersees com os eixos so#
'
,#
'
,#
'
e#
'
. Como a curva simtrica em re-lao aos eixos coordenados, podemos calcular a rea da regio situada no primeiro quadrantee multiplicar o resultado por . Ento, consideramos:
!
#
W
%
W
'
no primeiro quadrante. A rea desta regio :
!
8
#
W
%
W
'
%
#
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
32/62
302 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
fazendo a mudana de variveis:%
!
S
#
'
, temos )
)
W e %
!
#
'
:
!
8
#
W
%
W
'
%
!
8
"
#
'
#
usando a identidade
"
#
'
!
1
W
W
1
"
,
!
8
"
#
'
!
8
!
1
#
'
1
#
'
!
!
3
E E
A rea pedida :
!
!
!
E E
[9] Calcule a soma das reas limitadas pela curva !
%
S
%
e o eixo dos%
, sabendo que%
S
, sendoS
.
Figura 7.37: A regio do exemplo [9].
!
8
%
S
%
%
W
%
S
%
%
1
E E E E E E
1
#
'
H B
H
H X B
%
S
%
% E
Vemos que
!
8
1
E E E E E E E E
1
H X B
, onde
a rea limitada pela curva, o eixo dos%
, se
) % ) #
1
'
e !
E E E
S
, ou seja,
!
B
%
S
%
%
considerando:
!
B
%
S
%
, se mpar. Integrando por partes temos:
!
B
%
S
%
%
!
#
1
'
W
#
' E
Logo,
!
W
#
1
!
1
1
E E E E E
1
#
S
' '
!
W
S
W
E E
, pois,
1
!
1
1
E E E E E
1
#
S
'
somade termos de uma P.A.
[10] Calcule a rea da regio limitada pela astride
%
W
1
W
!
W
,
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
33/62
7.6. CLCULO DE REAS 303
As intersees da curva com os eixos coordenados so#
'
,#
'
,#
'
e#
'
. Pela sime-tria da curva, calculamos a rea da regio no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor .
Figura 7.38: A regio do exemplo [10].
Seja !
W
%
W
; logo,
!
8
W
%
W
% E
Fazendo a mudana%
!
S
#
'
, obtemos !
#
'
, %
!
!
S
W
#
'
#
'
; ento,
W
%
W
%
!
!
W
"
#
'
S
W
#
'
!
!
W
"
#
' #
W
#
' '
#
logo:
!
!
W
8
#
'
1
#
'
1
#
3
'
!
!
W
E E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
34/62
304 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
7.7 Volume de Slidos de Revoluo
Se giramos uma regio plana em torno de uma reta, obtemos o que chamado um slido de
revoluo. A reta em torno da qual a regio girada chama-se eixo de revoluo. Por exemplo,considere a seguinte regio no plano:
Figura 7.39:
Girando a regio em torno do eixo dos%
, obtemos:
Figura 7.40: Slido gerado pela regio.
Exemplo 7.9.
[1] Seja
a regio limitada pelas curvas !
%
,%
!
e o eixo dos%
. Se giramos a regio
em torno do eixo dos%
, obtemos:
-1 1
-1
1
-1 1
-1
1
Figura 7.41: A regio e o slido, respectivamewnte.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
35/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 305
[2] Seja
a regio limitada pelas curvas !
%
W
e !
. Se giramos a regio
em torno do eixodos
, obtemos
-1 1
1
-1 1
1
Figura 7.42: A regio e o slido, respectivamente.
[3] Seja a regio limitada pelo grfico de ! S# % '
para%
e o eixo dos%
.Se giramos a regio
em torno do eixo dos
%
obtemos o slido do desenho esquerda e segiramos a regio
em torno do eixo dos
, obtemos o slido do desenho direita:
1 3 6
-1
1
1 3 6
-1
1
Figura 7.43: A regio e os slidos, respectivamente.
[4] Seja
a regio limitada pelos grficos de !
%
W
,%
! ,
%
!
e pelo eixo dos%
. Se giramosa regio
em torno do eixo dos
%
, obtemos:
1 2
1
4
1 2
1
4
Figura 7.44: A regio e o slido, respectivamente.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
36/62
306 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
7.7.1 Clculo do Volume dos Slidos
Sejam
uma funo contnua tal que # % '
em
e a regio:
! 6
# %
' ) % )
)
) # % ' P
Figura 7.45: A regio e o slido, respectivamente.
Fazendo girar a regio
aoredordoseixodos%
, obtemos um slido de revoluo
. Considere
a seguinte partio do intervalo
:
!
% 8T
% BT
% WT
E E E E ET
% H
!
. Como antes,
%
!
% % X B
o comprimento de cada subintervalo % X B %
,
variando de
atS
. Emcada subintervalo
% X B %
, escolha
,
variando de
atS
. Seja
o retngulo de altura # '
e base
%
,
variando de
atS
.
a b
f(x)
x xc ii-1 i
Ri
Figura 7.46:
Girando
em torno do eixo dos%
obtemos um cilindro circular reto
de volume # '
W
%
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
37/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 307
R i
i
Ci
x
Rj
Cj
xj
Figura 7.47:
A soma dos volumes dosS
cilindros :
H
!
H
! B
# '
W
% E
H
uma aproximao do volume do slido de revoluo, quando
%
aproxima-se de , ou,equivalentemente, se
Scresce. Intuitivamente estamos preenchendo o slido de revoluo
por cilindros de altura pequena, dos quais sabemos efetivamente calcular o volume. Seguindoo mesmo raciocnio utilizado quando definimos rea de uma regio plana, temos:
#
'
!
8
H
B
# '
W
%
!
# % '
W
%
se o limite existe. possvel demonstrar que este limite sempre existe e independente das escolhas feitas. Se afuno
negativa em algum subconjunto de
, o slido de revoluo obtido a partir daregio limitada pelo grfico de
, o eixo dos%
e as retas%
!
e%
!
coincide com o slido derevoluo obtido a partir da regio limitada pelo grfico de
, o eixo dos
%
e as retas%
!
e%
!
. O fato de que o integrando # % '
W
, implica em que seja vlida a mesma frmula paraambos os casos.
11
11
Figura 7.48:
Proposio 7.2. Sejam
uma funo contnua tal que # % '
em
e a regio:
! 6
# %
' ) % )
)
) # % ' P
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
38/62
308 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Considere o slido de revoluo
obtido girando a regio ao redor do eixo dos%
. Ento o volume
#
'
do slido
:
#
'
!
# % '
W
%
Em geral, este processo, pode ser feito para qualquer regio limitada pelos grficos de funescontnuas.Sejam
funes contnuas tais que$ # % ' # % '
para todo%
e aregio:
! 6
# %
' )1 % ) # % ' )
) # % ' P
a b
f
g
R
Figura 7.49: ! 6
# %
' )1 % ) # % ' )
) $ # % ' P
.
O volume do slido de revoluo
obtido girando
em torno do eixo dos%
:
#
'
!
$ # % '
W
# % '
W
%
De forma anloga, sejam
funes contnuas tais que
#
'
#
'
paratodo
e a regio:
! 6
# %
' )
)
#
' ) % )
#
' P
c
d
M(y)
N(y)
R
Figura 7.50: ! 6
# %
' )
)
#
' ) % )
#
' P
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
39/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 309
O volume do slido de revoluo obtido girando
ao redor dos eixo dos
:
#
'
!
#
'
W
#
'
W
Em particular, para a reta%
!
#
'
! , ou seja, o eixo dos
.
#
'
!
#
'
W
Exemplo 7.10.
[1] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%
a regio
limitada pela curva ! S
# % '
,
%
e o eixo dos
%
.
1 3 6
-1
1
1 3 6
-1
1
Figura 7.51: Regio e o slido do exemplo [1].
Pela simetria do slido, calculamos o volume da metade do slido e multiplicamos o resultadopor 2:
#
'
!
8
S
W
# % '
%
!
W
E E
[2] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%
a regiolimitada pela curva
!
,%
e o eixo dos%
, (
).
Figura 7.52: Regio e o slido do exemplo [2].
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
40/62
310 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Pela simetria do slido, calculamos o volume da metade do slido e multiplicamos o resultadopor 2:
#
'
!
W
8
W
%
%
!
W
8
W
1
XW
1
%
!
W
1
S
E E
[3] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%
a regiolimitada pela curva
!
W
%
W
, )1 % )
e o eixo dos%
.
#
'
!
X
W
%
W
W
%
!
!
E E
Observe que o volume de revoluo o de uma esfera de raio
.
-1 1
1
-1 1
1
Figura 7.53: Regio e o slido do exemplo [3].
[4] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%
a regiolimitada pelos grficos de
!
!
%
W
e
!
%
1
.
1-1 2-3
1
4
1-1 2-3
1
4
Figura 7.54: Regio e o slido do exemplo [4]
Os limites de integrao so%
!
!
e%
! .
#
'
!
B
X
!
%
W
W
%
1
W
%
!
3
B
X
3
4
!
%
W
1
%
"
% %
!
3
E E
[5] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos
a regiolimitada pelo grfico de
# % '
W
1
W
!
W
, T T
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
41/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 311
b
a
y
a
-a
Figura 7.55: Regio e o slido do exemplo [5].
Sejam
#
'
!
1
W
W
e
#
'
!
W
W
. Os limites de integrao so !
e !
; ento:
#
'
!
X
#
'
W
#
'
W
!
X
W
W
E
Note que
X
W
W
a rea da regio limitada por um crculo de raio
; logo,
#
'
!
W
W
. A superfcie de revoluo obtida chamada toro.
[6] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos%
a regiolimitada pelo grfico de
!
,
) % )
e o eixo dos
%
.
1-1
1
4
1-1
1
4
Figura 7.56: Regio e o slido do exemplo [5].
#
'
!
B
X B
W
%
!
#
W
XW
'
E
.
7.7.2 Outros Eixos de Revoluo
Sejam
uma funo contnua tal que # % '
,%
e
a regio limitada pelogrfico de
, pelas retas%
!
,%
!
e !
. Considere o slido de revoluo
obtido girandoa regio ao redor da reta
!
. Ento, o volume
#
'
do slido
:
#
'
!
# # % '
'
W
%
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
42/62
312 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Analogamente, se a regio
determinada pelo grfico da funo contnua%
!
#
'
,
e pelas retas !
, !
e%
!
, ento o volume do slido de revoluo obtidogirando ao redor da reta
%
!
:
#
'
!
#
'
W
Exemplo 7.11.
[1] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta !
, a regiolimitada pela curva
!
%
W
,
) % )
e pela reta !
.
1 2
2
4
1 2
2
4
Figura 7.57: Regio e o slido do exemplo [1].
#
'
!
W
B
%
W
1
W
%
!
5
E E
[2] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta%
!
a regio
limitada pelo grfico de%
!
W
1 e pelas retas !
.
1 2
-1
1
1 2
-1
1
Figura 7.58: Regio e o slido do exemplo [2].
Os limites de integrao so !
.
#
'
!
W
XW
W
1
#
'
W
!
W
XW
W
1
W
!
1
!1
W
X W
!
E E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
43/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 313
[3] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno da reta%
!3 a regio
limitada pelo grfico de %
!
W
e pela reta%
! .
1 4 6
-4
4
1 4 6
-4
4
Figura 7.59: Regio e o slido do exemplo [3].
Os limites de integrao so ! .
#
'
!
"
X"
#
W
3
'
W
#
3
'
W
!
3
"
X"
"
W
1
!
5
3
E E
[4] Determine o valor de
tal que se a regio limitada pelas curvas !
1
%
, !
e%
!
, girar em torno da reta !
, o slido gerado tenha volume igual a
.Para obter
, devemos resolver a equao:
!
8
%
W
% # ' E
Fazendo !
%
W
,
!
% %
em (*), obtemos:
!
W
8
!
W
donde4
!
W
e
!
S
#
!
' E
1
4
1
4
Figura 7.60: A regio do exemplo [4].
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
44/62
314 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
7.7.3 Mtodo das Arruelas
Sejam
funo contnua tal que$ # % '
em
e a regio:
! 6
# %
'
) ) % )
)
) # % ' P E
Fazendo girar a regio ao redor dos eixo dos , obtemos um slido de revoluo . Se
,o slido possui um espao vazio internamente.
b
y=f(x)
R
xa
y
Figura 7.61:
Como antes, considere a seguinte partio do intervalo
:
!
% 8T
% BT
%W
TE E E E E
T% H
!
.
%
!
% % X B
o comprimento de cada subintervalo % X B %
,
variando de
atS
. Em
cada subintervalo % X B %
, escolha
!
%
1
% X B
, o ponto mdio do subintervalo
% X B %
,
variando de
atS
. Seja
o retngulo de altura # '
e base
%
,
variando de
atS
.
Fazendo girar
em torno do eixo dos
obtemos uma arruela cilndrica
de raio mdio
ealtura # '
.
R
y
i
Figura 7.62:
O volume de
$ # '
%
. A soma dos volumes dosS
cilindros :
H
!
H
B
$ # '
% E
H
uma aproximao do volume do slido de revoluo, quando
%
aproxima-se de , ouequivalentemente, se
Scresce. Intuitivamente estamos fatiando o slido de revoluo por
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
45/62
7.7. VOLUME DE SLIDOS DE REVOLUO 315
inmeras arruelas de altura pequena, das quais sabemos efetivamente calcular o volume. Se-guindo o mesmo raciocnio anterior, temos:
#
'
!
8
H
B
#
'
%
!
% # % '
%
se o limite existe. possvel demonstrar que este limite sempre existe e independente dasescolhas feitas. Em geral, este processo pode ser feito para qualquer regio limitada pelosgrficos de funes contnuas. Sejam
funes contnuas tais que # % '
# % '
para todo%
,
e a regio ! 6
# %
' ) % ) # % ' )
) # % ' P
.
a b
f
g
R
Figura 7.63: ! 6
# %
' ) % ) # % ' )
) $ # % ' P
O volume do slido de revoluo
obtido girando
em torno do eixo dos
:
#
'
!
% # # %9 ' # % ' ' %
Exemplo 7.12.
[1] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos
a regiolimitada pelo grfico de
! S
# % '
, ) % )
e o eixo dos%
.
3
1
3
1
Figura 7.64: Regio e o slido do exemplo [1].
O volume :
!
8
%
S
# % ' %
!
W
E E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
46/62
316 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
[2] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos
a regiolimitada pela curva
!
# % '
;
W
) % )
e o eixo dos%
.
1 2 6 9 12
-1
1
1 2 6 9 12
-1
1
Figura 7.65: Regio e o slido do exemplo [2].
O volume
!
B
, onde:
B
!
%
# % ' %
1
%
# % ' %
%
# % ' %
1
"
%
# % ' % E
Como
%
# % ' %
!
# % '
1
%
S
# % '
1
, ento,
!
#
1
B
W
'
E E
[3] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos
a regio
limitada pelas curvas !
%
&
e !
%
"
,
) % )
.
1
-1
1
1
-1
1
Figura 7.66: Regio e o slido do exemplo [3].
!
B
8
% #
%
&
%
"
' %
!
5
E E
[4] Calcule o volume do slido de revoluo obtido girando em torno do eixo dos
a regiolimitada pela curva
!
# %
'
W
, ) % )
e o eixo dos%
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
47/62
7.8. CLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 317
1 2
1
1 2
1
Figura 7.67: Regio e o slido do exemplo [4].
!
W
8
% # %
'
W
%
!
!
E E
7.8 Clculo do Comprimento de Arco
Seja
uma funo derivvel. A poro
do grfico de
, comprendida entre ospontos:
!
# # ' '
e
!
# # ' '
chamado arco. Nosso interesse medir o comprimentodeste arco. Se a curva uma reta, para calcular o comprimento de arco
da reta, compreendido
entre os pontos#& % B # % B ' '
e# %
W $ # %
W' '
, usamos o Teorema de Pitgoras e obtemos:
# %W
% B '
W
1
# # %W
' $ # % B ' '
W
E
Generalizando esta idia para o grfico da funo contnua
, fazemos uma partio de ordemS
do intervalo
:
!
%9 8 T %c B T E E E E EG E T % H
!
; denotamos por
!
# % $ # % ' '
,
)
)
S.
x b=0 i-1 i n
n
i
i-1
1
Q
Q
0Q
a=x x x
Q
Q
Figura 7.68:
Ligando cada
X B
a
(
)
)
S) por um segmento de reta, obtemos uma linha poligonal
formada pela reunio dos segmentos de reta. Como sabemos calcular o comprimento de cadasegmento de reta, sabemos calcular o comprimento da poligonal. Intuitivamente, o compri-mento da poligonal bastante prximo do comprimento do arco da curva; ento:
H
!
H
B
# % % X B '
W
1
# $ # % ' $ # % X B ' '
W
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
48/62
318 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
o comprimento da poligonal. Aplicando o Teorema do Valor Mdio a
em cada subintervalo % X B %
, vemos que existe
# % X B % '
tal que # % ' # % X B '
!
&
# ' # % % X B '
, para cada
de at S ; logo,
H
!
H
B
# %
% X B
'
W
1
#
&
#
' # %
% X B
' '
W
!
H
! B
1
#
&
#
' '
W
# %
% X B
'
!
H
B
1
#
&
# ' '
W
%
onde
%
!
% % X B
. Novamente observamos que quandoS
cresce muito,
%
aproxima-sede zero e
H
aproxima-se do comprimento do arco. Se para cada partio do intervalo
, os
so escolhidos como antes, temos que o comprimento do arco
da curva :
!
8
H
B
1
#
&
# ' '
W
% E
Se
% '
uma funo contnua em
, possvel provar que o limite anterior sempre existee igual a
, para qualquer escolha da partio e dos
. Em tal caso, temos que:
!
1
#
&
# % ' '
W
%
Se a curva o grfico de uma funo%
!
#
'
definida no intervalo
, com as hiptesesanteriores, temos que:
c
g(y)
d
Figura 7.69:
!
1
#
&
#
' '
W
Exemplo 7.13.
[1] Calcule o comprimento de arco da curva !
%
W
entre os pontos#
'
e#
5
4
'
.Temos que:
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
49/62
7.8. CLCULO DO COMPRIMENTO DE ARCO 319
30 20 10 10 20 30
2
4
6
8
10
Figura 7.70: Grfico de !
%
W
.
Ento:
# % '
!
%
W
&
# % '
!
!
% e
1
#
&
# % ' '
W
!
4
%
1
!
%#
logo:
!
!
W
4
%
1
%
%
. Seja !
4
%
W
1 ; logo,
!
&
%
.
!
"8
!
5
#
5
3
'
E E
( E E
unidades de comprimento.)
[2] Calcule o comprimento de arco da curva !
"
1
B
tal que
) % )
.
Primeiramente:
&
!
& # % '
!
%
B
"
; logo,
1
#
& '
W
!
# %
1
B
"
'
W
e
1
#
&
'
W
!
%
1
B
"
;
ento:
!
W
B
%
1
%
%
!
%
&
%
W
W
B
!
!
!
E E
[3] Calcule o comprimento de arco da catenria !
no intervalo
, tal que(
).
Figura 7.71: Grfico da catenria.
&
! S
; logo,
1
&
W
!
; ento:
!
X
%
%
!
S
E E
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
50/62
320 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
[4] Calcule o comprimento de arco da curva !
S
#
# % ' '
tal que ) % )
" .
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
Figura 7.72: Grfico de !
S
#
# % ' '
.
&
!
# % '
. Logo,
1
#
&
'
W
!
# % '
. Ento:
!
8
# % ' %
!
S
#
# % '
1
# % ' '
8
!
S
#
1
'
E E
7.9 Definio de Logaritmo Natural
Definio 7.3. A funo
S
#
1
'
definida por:
S
# % '
!
B
S
# % '
chamado logaritmo natural de%
.
Proposio 7.3. Das propriedades da integral definida e do Teorema Fundamental do Clculo, segueque:
1.
S
#
'
!
2.
S
# % ' T
se T % T
3.
S
# % '
se%
4.
S
# % ' &
!
%
5. A funo logartmica crescente.
7.9.1 Logaritmo como rea
Seja
a regio limitada pelo grfico da funo #
'
!
B
, o eixo dos x e as retas
! e
!
%
.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
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7.10. TRABALHO 321
11 11
Figura 7.73: A regio
.
Geometricamente,
S
# % '
definido por
S
# % '
!
rea#
'
se ) %
rea#
'
se T
%T
E
Se%
! ,
um segmento de reta; logo, a rea#
'
! e
S
#
'
! . Por outro lado,
verefiquemos que
S
# %
'
!
S
# % '
1
S
#
'
, para todo%
#
1
'
. De fato:
S
# %
'
!
B
!
B
1
!
S
# % '
1
E
Fazendo
!
%
, tem-se,
!
%
e:
!
B
!
S
#
' E
S
# %
'
!
S
# % '
#
%
e
. De fato
S
# %
'
!
B
. Fazendo
!
, tem-se,
!
X B
e:
B
!
B
!
S
# % ' E
Em particular,
S
!
S
# % '
S
#
'
;%
.
S
%
!
S
%
X B
!
S
# % '
1
S
#
X B
'
!
S
# % '
S
#
' E
Podemos agora definir a funo exponencial assim: !
se, e somente se%
!
S
#
'
. Todas as
propriedades da funo exponencial podem ser demonstradas a partir desta definio.
7.10 Trabalho
Consideremos uma partcula de massa que se desloca ao longo de uma reta sob a influnciade uma fora
. Da segunda lei de Newton, sabemos que
dada pelo produto da massa pelasua acelerao
: !
. Se a acelerao constante, ento a fora tambm constante. Otrabalho
realizado pela partcula para deslocar-se ao longo de uma reta, percorrendo umadistncia
dado pelo produto da fora pela distncia:
!
,
medido em
(Joule).
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
52/62
322 CAPTULO 7. INTEGRAO DEFINIDA
Se uma fora varivel !
$ # % '
(
funo contnua ) atua sobre um objeto situado no ponto%
do eixo dos%
, o trabalho realizado por esta fora quando o objeto se desloca de
at
ao longodeste eixo, dado por:
!
# % ' %
medido em
(Joule).
De fato, suponhamos que a partcula desloca-se ao longo do eixo dos%
de%
!
at%
!
.Consideremos a funo contnua
. Subdividamos o intervalo
efetuandouma partio de ordem
Stal que os subintervalos
% X B %
tem o mesmo comprimento
%
!
% % X B
, para
)
)
S. Seja
% X B %
; a fora no ponto
# '
. Se
%
, a funocontnua
restrita ao subintervalo % X B %
quase constante (varia muito pouco); ento otrabalho
realizado pela partcula para mover-se de% X B
at%
:
!
# '
%
e otrabalho total
H
,
H
!
H
B
$ #
'
%
. possvel provar, com rigor matemtico, que o
seguinte limite sempre existe e igual ao trabalho
realizado pela partcula:
!
H
H
!
8
H
B
# '
% E
E mais ainda, este limite no depende da escolha da partio do intervalo ou da escolha dospontos
.
Exemplo 7.14.
[1] Uma partcula localizada a uma distncia de%
da origem. Uma fora de
# %
"
1
%
1
!
%
W
'
age sobre a partcula quando a mesma se move de%
! at
%
!
. Qual o trabalhorealizado pela partcula para deslocar-se?
!
W
B
%
"
1
%
1
!
%
W
%
!
5
E
[2] Qual o trabalho realizado ao se esticar uma mola em
sabendo que a fora de
a
estica em
? (
=Newton)
De acordo com a lei de Hooke, a fora de
que estica em%
a mola dada por
!
%
,onde
uma constante. Como%
!
E
e !
, temos !
e !
%
. O trabalhorealizado ser:
!
8
8
8
% %
!
E
!
E
[3] Energia Cintica: O trabalho realizado por uma fora
atuando sobre uma partcula demassa
que se move de
% B
at%
W
. Usando a segunda lei de Newton, a regra da cadeia e
considerando que B
e
W
so as velocidades da partculas em% B
e%
W
, obtemos:
!
$
# % ' %
!
W
$
!
#
W
W
W
B
'
pois,
!
!
!
. A expresso
W chamada energia cintica do corpo emmovimento com velocidade
. Logo, o trabalho realizado por uma fora
igual variao daenergia cintica do corpo e o clculo desta variao dar o trabalho realizado.Qualquer fenmeno que possa ser estudado utilizando parties pode ser modelado por inte-grais definidas. Outras aplicaes da integral definida podem ser encontradas nos exerccios.
8/14/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 07 Integrao Definida
53/62
7.11. EXERCCIOS 323
7.11 Exerccios
1. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de substituio:
(a)
X B
%
1
!
%
(b)
W
# % '
# % '
%
(c)
8
W
1
# % '
W
1 S
# % '
%
(d)
8
W
#
% '
1
#
% '
%
(e)
8
S
# % '
# % ' %
(f)
B
8
W
W
1
%
(g)
8
S
# % '
S
#
# % ' ' %
(h)
8
W
# % '
(
%
(i)
"
B
%
%
(j)
B
8
#
%
'
B 8 8
%
(k)
8
%
%
1
!
(l)
W
%
%
S
# % '
(m)
W
8
%
W
%
1
%
(n)
B
8
S
#
' %
(o)
B
%
#
!
%
W
%
1
'
"
%
(p)
B
8
%
W
%
(q)
W
B
%
%
W
1
%
(r)
B
8
S
# % '
%
W
%
(s)
B
8
%
1
%
(t)
S
#
%
1
'
%
1
%
(u)
8
# %0 '
% %
W
%
#
!
(v)
8
# % '
3
S
# % '
1 S
W
# % '
%
(w)
W
B
S
#
S
# % ' '
%
%
(x)
B
8
%
W
%
&
1
%
2. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de integrao por partes:
(a)
B
8
%
X
%
(b)
8
W
S
#
!
% ' %
(c)
8
!
# % ' %
(d)
B
8
%
"
X
%
(e)
"
W
%
S
#
% ' %
(f)
B
8
# % ' %
(g)
$
8
%
%
W
%
(h)
%
W
# % ' %
(i)
B
8
%
#