Apostila Probabilidade 2008

Estatística Prof. Claudia Sabino

PROBABILIDADE

Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-

se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou

probabilístico) que melhor o explique.

Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo

resultado, mesmo em condições normais de experimentação variam de

uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um

resultado futuro.

Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios – adota-

se um modelo matemático probabilístico. Neste caso, o modelo utilizado

será o CALCULO DAS PROBABILIDADES.

1- EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “´e provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: a) que, apesar do favoritismo, ele perca;b) que, como pensamos, ele ganhe;c) que empate.

Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos varias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

2 – ESPAÇO AMOSTRAL

Definição: Para cada experimento aleatório E, define-se Espaço Amostral S, o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.

Exemplos: a) Considere-se o experimento E= jogar um dado e observar o numero da face de cimaentão, S = 1,2,3,4,5,6

b) Seja E: jogar duas moedas e observar o resultado.então, S = (c,c), (c, k), (k,c), (k,k)Em que c = cara e k = coroa

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Observe que sendo S em conjunto, poderá ser finito ou infinito.Aqui trataremos apenas dos conjuntos finitos.

3 – EVENTO

Definição: E qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório E.

Assim, qualquer que seja E, se E S (E esta contido em S), então E e um evento de S.

Se E = S, E e chamado evento certo.Se E = , E e chamado evento impossível.Usando as operações com conjuntos, podem-se formar novos

eventos. Assim:I) A U B – e o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

ambos ocorrem;II) A B – e o evento que ocorre se A e B ocorrem;III) A – e o evento que ocorre se A não ocorre.

Exemplo 1: No lançamento de um dado, onde S = 1,2,3,4,5,6, temos:A= 2,4,6 S; logo, A e um evento de S.B= 1,2,3,4,5,6 S; logo B e um evento certo de S (B=S)C = S; logo C e um evento impossível de S.

Exemplo 2 : Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os resultados:Então: S =(c,c,c), (c,c,k), (k,c,c), (c,k,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)Seja A o evento: ocorrer pelo menos 2 caras.Então, A = (c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)

Exemplo 3: Seja o experimento E: lançar um dado e observar o numero de cima.Então S= 1,2,3,4,5,6Seja B o evento: ocorrer múltiplo de 2.Então, B = 2,4,6

Sendo S espaço amostral finito, com n elementos pode-se verificar que 2n fornece o numero total de eventos extraídos de S.

4 – EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s), isto e, A B= .

Exemplo: E = jogar um dado e observar o resultado S = 1,2,3,4,5,6 Sejam os eventos : A = ocorrer um n par, e

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B= ocorrer um n impar. Então, A = 2,4,6 e B = 1,3,5, A B =

A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um numero par e impar não pode ser verificada como decorrência da mesma experiência.

EXERCICIOS PROPOSTOS (I)

01) Lance um dado e uma moeda.

a) construa o espaço amostral

b) enumere os seguintes eventos:A= {coroa, marcado por numero par}B= {cara, marcado por numero impar}C= { múltiplos de 3}

c) Expresse os eventos:I) BII) A ou B ocorremIII) B e C ocorremIV) A U B

02)Seja o experimento E: lançar dois dados simultaneamente.a) Construa o espaço amostralb) Enumere os seguintes eventos:A= {a soma ser maior que 10}B= {o primeiro resultado ser menor que o segundo}C= { a soma ser 6}

5 – DEFINIÇAO DE PROBABILIDADE

Dado um experimento aleatório E e S o espaço amostral, probabilidade de um evento A – P(A) – e uma função definida em S que associa a cada evento de um numero real, satisfazendo os seguintes axiomas:

I) 0

II) P (S) = 1

III) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então

P(AUB) = P (A) + P (B)

6 – PRINCIPAIS TEOREMAS

1) Se e o conjunto vazio, então, P() = 0

2) Se A e o complemento do evento A, então P(A) = 1 – P(A)

3) Se A B, então P(A) P (B)

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4) Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A B)

EXERCICIOS PROPOSTOS (II)

01) Se P(A) = ; P(B) = e A e B mutuamente exclusivos, calcular:

a) P (A)b) P(B)c) P(A B)d) P (A U B)e) P (A B) =

02) Suponha que temos um espaço amostral com cinco resultados experimentais igualmente prováveis: E1, E2, E3, E4, E5. Seja: A={E1, E2}; B= {E3,E4} e C= {E2,E3,E4}.

a) Encontre P(A), P(B) e P(C)b) Encontre P(AUB). A e B são mutuamente exclusivos?c) Encontre A, C, P(A) e P(C)d) Encontre AUB e P(AUB)e) Encontre P(BUC)

03) No lançamento de dois dados, qual e a probabilidade de se obter um par de pontos iguais

7 – PROBABILIDADES FINITAS DOS ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS

Seja S um espaço amostral finito S = a1,a2,...,an. Considere-se o evento formado por um resultado simples A = ai.

A cada evento simples ai associa-se um numero pi denominado probabilidade de ai satisfazendo as seguintes condições:

a) pi 0 i= 1,2,...,nb) p1 + p2 + p3 +...+ pn = 1

A probabilidade P(A) de cada evento composto (mais de um elemento) e então definida pela soma das probabilidades dos pontos de A.

Exemplo: Três cavalos A,B,C estão em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Quais são as probabilidades de vitoria de cada um, isto e, P(A), P(B) e P(C)

Faça P( C) = p, desde que B tem duas vezes mais probabilidades de ganhar que C, P(B) = 2p e assim P(A) = 2 P(B) = 4p. Como a soma das probabilidades e 1, então:

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P + 2p + 4p = 1 ou 7p = 1 ou

Logo, temos:

P(A) = 4p = ; P(B) = 2p= e P(C) = p = .

Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar:

P(BUC) = P(B) + P(C) =

8- ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVAVEIS

Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular, se S

contem n pontos, então, a probabilidade de cada ponto será .

Por outro lado, se um evento A contem r pontos, então: P(A) =

Este método de avaliar P(A) e freqüentemente enunciado da seguinte maneira:

ou

Exemplos:

1) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:S= {c,k} n (S) = 2A = {c} n (A) = 1

Logo: P(A) =

2) Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular:

a) a probabilidade do evento A “obter um numero par na face superior”.Temos:S= {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6A = { 2,4,6} n(A) = 3

Logo: P(A) =

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P(A) = n de vezes em que o evento A pode ocorrer n de vezes em que o Espaço Amostral S ocorre

P(A) = N.C.F.(n de casos favoráveis) N.T.C.(n total de casos)


b) A probabilidade do evento B “obter um numero menor ou igual a 6 na face superior”.Temos:S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6B= {1,2,3,4,5,6} n(B) = 6

Logo: P(B) =

c) A probabilidade do c “obter um numero 4 na face superior”Temos:S= {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6C = {4} n(C) = 1

Logo: P(C) =

d) A probabilidade do evento D “obter um numero maior que 6 na face superior”

Temos: S= {1,2,3,4,5,6} n(S) =6D= n (D) = 0

Logo: P(D) =

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (III)

01) Escolha aleatoriamente (a expressão “aleatória” nos indicara que o espaço e equiprovavel) uma carta de um baralho com 52 cartas.Seja A = {a carta e de ouros)

B = { a carta e uma figura}Calcular P(A) e P(B).

02) Determine a probabilidade de cada evento:

a) Um numero par aparece no lançamento de um dado

b) Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas

c) Uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho

d) Uma só coroa aparece ao se extrair uma carta de um baralho.

03) Um numero inteiro e escolhido aleatoriamente dentre os números 1,2,3...49,50. Qual a probabilidade de:

a) o numero ser divisível por 5

b) terminar em 3

c) ser primo

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04) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) Construa o espaço amostral S do experimento

b) a soma ser menor que 4c) a soma ser 9d) o primeiro resultado ser maior do que o segundo.

05) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas

06) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.b) a probalbilidade de essa peça não ser defeituosa.

07) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

08) Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso:a) Qual a probabilidade de que este número seja impar?b) Qual a probabilidade de que este número seja impar e divisível por

3?

9- PROBABILIDADE CONDICIONAL

Seja E: lançar um dado e o evento A = {sair o n 3}. Então:

P (A) =

Considere agora o evento B = {sair um n ímpar}= {1,3,5}.

É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular a probabilidade condicional. No exemplo, pode-se estar interessado em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. Em símbolos designa-se P(A/B); lê-se: “probabilidade do evento A condicionada à ocorrência B”, ou ainda, “probabilidade de A dado B”.

Assim: P(A/B) =

Observe: Dada a informação da ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço amostral; no exemplo S = {1,2,3,4,5,6} foi reduzido

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para S*= {1,3, 5} e é neste espaço amostra reduzido que se avalia a probabilidade do evento.

Definição: Dados dois eventos, A e B, denota-se P(A/B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, por:

Com P(B) 0, pois B já ocorreu.

Pode-se constatar que P(A/B), assim definida, satisfaz os axiomas das probabilidades já mencionadas/

Para aplicações convém encontrar uma fórmula mais prática para o cálculo da probabilidade condicional, assim:

P(A/B) =

Dessa maneira, para avaliar a probabilidade de A dado B, basta contar o número de casos favoráveis do evento A B: {NCF (A B) e dividir esse número pela quantidade de casos favoráveis ao evento B: [NCF(B)].

Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:A= {(x1,x2)/x1+x2=10} e B= {x1,x2)/x1x2}Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do dado 2. Avaliar P(A); P(B); P(A/B) e P(B/A).

TEOREMA DO PRODUTO

A partir da definição de probabilidade condicional pode-se enunciar o teorema do produto:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.”

Assim:

P(A/B) = P( A B)= P(B) P(A/B)

P(B/A) = P(A B) = P(A) P(B/A)

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Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

Solução: A= {a primeira peça é boa} B= {a segunda peça é boa} P(A B) = P(A).P(B/A) =

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (IV)

01) Dado P(A) = ; P(B )= ; P(A B) = , calcular:

a) P(AUB)b) P(A/B)c) P(B/A)d) P[(AuB)/B]

INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA

Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é, se

P(A) = P(A/B)

É evidente que, se A é independente de B, B é independente de A, assim:

P(B) = P(B/A)

Considerando o teorema do produto, pode-se afirmar que: se A e B são independentes, então:

P(A B) = P(A). P(B)

Exemplo 1: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.

Solução: A= {a primeira peça é boa}

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B= {a segunda peça é boa}Notem: A e B são independentes, pois P(B) = P(B/A)

Logo, P(A B)= P(A) . P(B) =

Exemplo 2: Lançamos dois dados. Qual a probabilidade de obtermos simultaneamente 1 no primeiro e 5 no segundo dado?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (V)

01)Considere a situação do gerente de um posto de gasolina que sabe, a partir de experiências passadas, que 80% dos clientes usam cartão de crédito quando compram gasolina. Qual é a probabilidade de que os próximos dois clientes que compram gasolina usarão cada um deles um cartão de crédito?

02)De um baralho de 52 cartas retiram-se ao acaso, duas cartas com reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?

03)Suponha que temos dois eventos A e B, com P(A)= , P(B)= e P(A

B)= .

a) Ache P(A/B)

b) Ache P(B/A)

c) A e B são independentes? Por quê?

04)Um grupo de 100 elementos apresenta de acordo com o sexo e a filiação partidária, a seguinte composição:

Partido X Partido YHomens 21 39Mulheres 14 26

Calcular:a) a probabilidade de ser escolhido homem?b) a probabilidade de um escolhido ser mulher do partido Y?c) a porcentagem dos partidários do Y.d) a porcentagem dos homens filiados à X.

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e) se o sorteado for da X, qual a probabilidade de ser mulher?

05)Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1,2,3,4...,20}. Verificar se são independentes os eventos:

a) X: o número é múltiplo de 3Y: o número é par.

b) M: o número é primoN: o número é impar.

06)Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?

LISTA DE EXERCÍCIOS PARA ESTUDO

ASSUNTO: PROBABILIDADE

01) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; a urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; a urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

02) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

03) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de soma ser 10 ou maior que 10.

04) Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1,2,3,...,50. Determine a probabilidade de:

a) obtermos um número impar maior que 25b) o número ser divisível por 2 ou por 5c) o número ser divisível por 3 e por 5

05) Em um lote de 15 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas uma após a outra,sem reposição. Calcule:

a) a probabilidade de que ambas sejam boasb) a probabilidade da primeira ser boa e a segunda ter defeito

06) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:

a) todas pretas

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b) exatamente uma pretac) ao menos uma preta

07) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?

08) Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1,2,3...,30}. Verifique se são independentes os eventos:A: o número é primoB: o número é múltiplo de 5

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