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Raciocnio Lgico

Apresentao

Este material parte integrante da Disciplina Raciocnio Lgico. Voc acessa o ambiente virtual de

aprendizagem: estuda, realiza as atividades, esclarece as dvidas com seu professor-tutor! Aqui, voc

refora o seu estudo, ainda tem a possibilidade de realizar mais atividades, aprimorando, assim, o

seu aprendizado.

Para ajud-lo a consolidar seus conhecimentos, ao longo do material, voc encontrar cones com

funes e objetivos distintos. Observe:

Fique atento: destaca alguma informao importante que no deve ser esquecida por

voc. Tambm pode acrescentar um conhecimento novo ou uma experincia ao tema

tratado.

Dica: traz novos conhecimentos em relao ao tema tratado ou pode indicar alguma fonte

de pesquisa para que voc aprofunde ainda mais seus conhecimentos no futuro.

Leitura complementar: indicao de um artigo com o objetivo de voc se aprofundar no

assunto a ser tratado.

Consolidando a aprendizagem: so listas de perguntas cujo objetivo voc confirmar,

negar ou criar um novo conhecimento ou opinio acerca do assunto que foi tratado no

material.

Objetivos da unidade: informa o que voc precisa aprender em cada unidade..

Aproveite! Voc tem em mo a chance de desenvolver ou aprofundar seus conhecimentos na rea

de Raciocnio Lgico.

Objetivo Geral

Estudar o raciocnio em seus diferentes paradigmas e suas ligaes com o afeto. Analisar o processo

de simbolizao e abstrao, naturalmente realizado por todos, na linguagem e na interpretao da

realidade.

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Sumrio Unidade I - Introduo Razo, princpios da razo e atividade racional .............................................. 5

1.1 A razo ao longo da histria ....................................................................................................... 6

1.2 - Os princpios gerais da razo: identidade, no-contradio, terceiro excludo, causalidade

(razo suficiente) ................................................................................................................................. 8

1.3 - A atividade racional: a intuio e a razo discursiva (induo, deduo, abduo) ................... 9

1.4 - Origens da razo: inatismo ou empirismo? .............................................................................. 16

1.5 - As bases fisiolgicas da razo: sensao, percepo, memria e categorizao ..................... 20

1.6 - Razo e emoo ........................................................................................................................ 20

Unidade II Categorizao e teoria dos conjuntos ................................................................................. 25

2.1 - A necessidade de numerao na humanidade ......................................................................... 26

2.2- Conjuntos numricos ................................................................................................................. 33

2.3 Subconjuntos ............................................................................................................................ 44

2.4 - Operaes com conjuntos ........................................................................................................ 46

2.6 - Diagrama de Venn ..................................................................................................................... 49

Unidade III Teorias da Verdade .......................................................................................................... 55

3.1 - Ignorncia, incerteza, dogma .................................................................................................... 56

3.3 - Dados, raciocnios e concluses / Operaes lgicas ............................................................... 65

Unidade IV - A realidade e seus modelos abstratos e as Teoria das Funes ...................................... 71

4.1 - Conceito de Funo ................................................................................................................... 72

4.2 - Funo Composta ...................................................................................................................... 78

4.3 - Tipos de funo: Funo Constante e Funo Afim .................................................................. 82

4.4 - Funo Quadrtica .................................................................................................................... 87

4.5 - Logaritmos ................................................................................................................................. 93

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Unidade I - Introduo Razo, princpios da razo e atividade racional

Nesta unidade voc ir:

Conceituar juzo e raciocnio.

Definir razo.

Identificar os princpios gerais da razo.

Conceituar atividade racional.

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1.1 A razo ao longo da histria

1.1.1. Juzo e Raciocnio

Nos dicionrios encontramos o significado de juzo como bom senso, ou como a capacidade

de distinguir o verdadeiro do falso. No entanto, filosoficamente a inteligncia no s a capacidade

de conceber ideias, mas sim de estabelecer relaes, e exatamente isso que chamamos de julgar.

O juzo se encontra em quase todas as operaes cognitivas da mente o que torna difcil determinar

uma definio exata, no entanto Aristteles, diz que juzo o ato do esprito pelo qual este afirma ou

nega uma coisa de outra.

O juzo o ato essencial da inteligncia. Supe a abstrao e a generalizao, uma vez que se

baseia em uma noo comum para estabelecer confrontos entre ideias, e assim estabelecer novas

construes.

A natureza do juzo est ligada diretamente origem do conhecimento, de como alcanada

a relao de convenincia ou no-convenincia entre as ideias, pela sensao e reflexo. E esta

relao est ligada crena.

A crena a persuaso da verdade, o elemento essencial do juzo, ou seja, aquilo que se

traduz na atitude pela reflexo da relao de convenincia ou no-convenincia entre duas ideias,

resultante de uma operao intelectual.

O raciocnio o processo mental que consiste em coordenar dois ou mais juzos

antecedentes, em busca de um juzo novo, denominado concluso. O raciocnio ocorre no ltimo

costumeiro associarmos as prticas religiosas a crenas, esta associao est correta,

mas no nica. Ao observarmos duas cdulas do nosso sistema monetrio, temos outro

exemplo prtico. Compare, por exemplo, uma cdula de cinquenta reais e outra de dois reais, o

que difere as difere? O tipo de tinta que utilizada em ambas o mesmo, o tipo de material que

forma todas as cdulas so iguais, o que realmente faz uma cdula valer mais que outra a

crena estipulada pela sociedade de que aqueles smbolos fazem com que os valores sejam

diferentes.

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avano da mente, o qual, por meio de reflexes calculadas atinge concluses distantes da ideia

inicial. O raciocnio se aproveita das convenincias (ou conexes) havidas entre os juzos, para dali

calcular concluses, as quais ficam apoiadas na validade das referidas conexes, ou seja, em sua

evidncia que uma verdade e uma certeza.

Para expressarmos um raciocnio necessrio fazer uso de argumentos (verbais ou escritos).

Argumentar expressar verbalmente um raciocnio.

Todo homem um ser racional e Eu sou um homem so exemplos de argumentaes

que justificam a concluso de que Eu sou um ser racional. Ao associarmos estas argumentaes

temos respaldo para uma concluso.

A principal diferena entre a crena e o raciocnio que na primeira no h a necessidade

de prova, uma questo de aceitao ou no; na segunda h necessidade de prova, a aceitao

depende necessariamente da argumentao.

1.1.2. Razo

A ordenao da argumentao, o raciocnio propriamente dito traz sentido para a palavra

razo, mas este no nico. Se fizermos uso de um dicionrio encontraremos razo como: modo de

pensar prprio ao Homem; faculdade de raciocinar ou de estabelecer conceitos e proposies

(argumentos) de modo discursivo (no intuitivo), segundo as regras lgicas do raciocnio; faculdade

dos princpios; faculdade de distinguir o verdadeiro do falso, o bem do mal; bom senso; justia;

dever; retido de esprito; prova por argumento; causa; motivo; ideia justificada.

Estas tantas definies de razo podem ser organizadas em quatro grupos.

1. Quando dizemos: eu tenho certeza, eu estou com a razo, identificamos razo e certeza,

uma vez que a verdade racional.

2. Quando dizemos: ela recuperou a razo, estava fora de si, identificamos razo e lucidez,

considerado o ato de estar ou no so, bom senso.

3. Quando dizemos: Joo tem as suas razes, identificamos razo e motivo, considerando que

nossas atitudes, aes esto sempre pautadas em motivos, nossa vontade racional.

4. Quando dizemos: qual a razo disso?, identificamos razo e causa, uma vez que a

realidade opera segundo as relaes causais.

Todos estes sentidos formam a nossa ideia de razo. A razo no apenas uma capacidade

moral ou intelectual, mas tambm est ligada realidade. A razo ligada capacidade moral ou

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intelectual dos seres humanos chamada de razo subjetiva, e a razo ligada realidade, sabendo

que a realidade racional em si mesma chamada de razo objetiva.

A razo de modo geral regida por regras, por leis fundamentais. Estas leis fundamentais so

quatro e chamadas de Princpios Racionais. Todos ns obedecemos estes princpios, j que somos

seres racionais.

1.2 - Os princpios gerais da razo: identidade, no-contradio, terceiro excludo,

causalidade (razo suficiente)

1.2.1. Princpio da identidade

Uma coisa, seja qual for, s pode ser conhecida e pensada se for percebida e conservada.

Para entender melhor este princpio pegue duas canetas de marcas distintas. Observe ao mximo a

aparncia delas, mesmo que voc encontre muitas diferenas elas ainda so canetas. Existe algo

mais relevante que cor, marca, escrita, que fez voc reconhec-las como canetas, estas propriedades

so conhecidas, pensadas e percebidas, o ato de conserv-las faz com que reconhea qualquer tipo

de caneta.

Observe o seguinte desenho abaixo.

Nele podemos observar dois retngulos, um tringulo e um paralelogramo. Esta observao

pode ser feita, pois reconhecemos como tringulo, por exemplo, toda linha poligonal fechada

formada por trs lados.

Estas formas nos foram apresentadas em algum momento da vida (conhecidas), ao observ-

las guardamos determinadas propriedades (pensadas, percebidas e conservadas).

O princpio da identidade se refere ao ato de definir determinada coisa ou ideia.

1.2.2. Princpio da no-contradio

impossvel que uma coisa ou uma ideia seja e no seja alguma coisa, ao mesmo tempo.

A blusa toda azul e no toda azul. A segunda frase entra em conflito com a primeira uma

vez que o conectivo e faz com que as duas ideias sejam adicionadas, e estas ideias juntas se

contradizem.

O princpio da no-contradio afirma que uma coisa ou uma ideia que se negam a si mesmas se

autodestroem, desaparecem, deixam de existir.

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1.2.3. Princpio do Terceiro-Excludo

Ou uma coisa ou ideias possui determinada propriedade ou no possui. Partindo do exemplo

anterior - A blusa toda azul ou a blusa no toda azul.

Ao associarmos o primeiro elemento com o segundo, ou seja, tomando como verdade A

blusa toda azul, necessariamente o terceiro elemento excludo, tomado como falso. Da mesma

forma, ao associarmos o primeiro elemento com o terceiro, tomando como verdade A blusa no

toda azul, necessariamente o segundo elemento tomado como falso.

O princpio do terceiro-excludo complementa o anterior, exige uma escolha entre duas

alternativas, considera uma verdadeira e outra falsa.

1.2.4. Princpio da razo suficiente ou princpio da causalidade

Atravs da razo as conexes entre coisas ou ideias so estabelecidas. Se h um evento, ento

outro acontece.

Pense em um nmero. Se este nmero pensado terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, ento este

nmero par. A concluso dita verdadeira, considerando a ideia inicial como verdadeira.

Os princpios racionais so propriedades universais, fazem parte do nosso cotidiano

considerando que somos seres racionais.

1.3 - A atividade racional: a intuio e a razo discursiva (induo, deduo, abduo)

A Filosofia distingue duas grandes modalidades da atividade racional, realizadas pela razo

subjetiva ou pelo sujeito do conhecimento: a intuio (ou razo intuitiva) e o raciocnio (ou razo

discursiva).

A atividade racional discursiva, como a prpria palavra indica, discorre, percorre uma

realidade ou um objeto para chegar a conhec-lo, isto , realiza vrios atos de conhecimento at

conseguir capt-lo. A razo discursiva ou o pensamento discursivo chega ao objeto passando por

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etapas sucessivas de conhecimento, realizando esforos sucessivos de aproximao para chegar ao

conceito ou definio do objeto.

A razo intuitiva ou intuio, ao contrrio, consiste num nico ato do esprito, que, de uma s

vez, capta por inteiro e completamente o objeto. Em latim, intuitos significa ver.

A intuio uma viso direta e imediata do objeto do conhecimento, um contato direto e

imediato com ele, sem necessidade de provas ou demonstraes para saber o que conhece.

A intuio uma compreenso global e instantnea de uma verdade, de um objeto, de um

fato. Nela, de uma s vez, a razo capta todas as relaes que constituem a realidade e a verdade da

coisa intuda. um ato intelectual de discernimento e compreenso, como, por exemplo, quando um

mdico faz um diagnstico e apreende de uma s vez a doena, a sua causa e o modo de trat-la. Os

psiclogos se referem intuio usando o termo insight, para referirem-se ao momento em que

temos uma compreenso total, direta e imediata de alguma coisa, ou o momento em que

percebemos, num s lance, um caminho para a soluo de um problema cientfico, filosfico ou vital.

Um exemplo de intuio pode ser encontrado no romance de Guimares Rosa, Grande Serto:

Veredas. Riobaldo e Diadorim so dois jagunos ligados pela mais profunda amizade e lealdade,

companheiros de lutas e cumpridores de uma vingana de sangue contra os assassinos da famlia de

Diadorim. Riobaldo, porm, sente-se cheio de angstia e atormentado, pois seus sentimentos por

Diadorim so confusos, como se entre eles houvesse muito mais do que a amizade. Diadorim

assassinado. Quando o corpo trazido para ser preparado para o funeral, Riobaldo descobre que

Diadorim era mulher. De uma s vez, num s lance, Riobaldo compreende tudo o que sentia, todos

os fatos acontecidos entre eles, todas as conversas que haviam tido, todos os gestos estranhos de

Diadorim e compreende, instantaneamente, a verdade: estivera apaixonado por Diadorim. A razo

intuitiva pode ser de dois tipos: intuio sensvel ou emprica e intuio intelectual.

1. A intuio sensvel ou emprica o conhecimento que temos a todo o momento de nossa vida.

Assim, com um s olhar ou num s ato de viso percebemos uma casa, um homem, uma mulher,

uma flor, uma mesa. Num s ato, por exemplo, capto que isto uma flor: vejo sua cor e suas ptalas,

sinto a maciez de sua textura, aspiro seu perfume, tenho-a por inteiro e de uma s vez diante de

mim.

A intuio emprica o conhecimento direto e imediato das qualidades sensveis do objeto

externo: cores, sabores, odores, paladares, texturas, dimenses, distncias. tambm o

conhecimento direto e imediato de estados internos ou mentais: lembranas, desejos, sentimentos,

imagens.

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A intuio sensvel ou emprica psicolgica, isto , refere-se aos estados do sujeito do

conhecimento sendo um ser corporal e psquico individual - sensaes, lembranas, imagens,

sentimentos, desejos e percepes so exclusivamente pessoais.

Assim, a marca da intuio emprica sua singularidade: por um lado, est ligada

singularidade do objeto intudo (ao isto oferecido sensao e percepo) e, por outro, est

ligada singularidade do sujeito que intui (aos meus estados psquicos, s minhas experincias).

A intuio emprica no capta o objeto em sua universalidade e a experincia intuitiva no

transfervel para um outro objeto. Riobaldo teve uma intuio emprica.

2. A intuio intelectual difere da sensvel justamente por sua universalidade e necessidade. Quando

penso: uma coisa no pode ser e no ser ao mesmo tempo, sei, sem necessidade de provas ou

demonstraes, que isto verdade. Ou seja, tenho conhecimento intuitivo do princpio da

contradio. Quando digo: o amarelo diferente do azul, sei, sem necessidade de provas e

demonstraes, que h diferenas. Vejo, na intuio sensvel, a cor amarela e a cor azul, mas vejo, na

intuio intelectual, a diferena entre cores. Quando afirmo: o todo maior do que as partes, sei,

sem necessidade de provas e demonstraes, que isto verdade, porque intuo uma forma

necessria de relao entre as coisas.

A intuio intelectual o conhecimento direto e imediato dos princpios da razo

(identidade, contradio, terceiro excludo, razo suficiente), das relaes necessrias entre os seres

ou entre as ideias, da verdade de uma ideia ou de um ser.

Na histria da Filosofia, o exemplo mais clebre de intuio intelectual conhecido como o

cogito cartesiano, isto , a afirmao de Descartes: penso (cogito), logo existo. De fato, quando

penso, sei que estou pensando e no preciso provar ou demonstrar isso, mesmo porque provar e

demonstrar pensar e para demonstrar e provar preciso, primeiro, pensar e saber que se pensa.

Quando digo: penso, logo existo, estou simplesmente afirmando racionalmente que sei

que sou um ser pensante ou que existo pensando, sem necessidade de provas e demonstraes. A

intuio capta, num nico ato intelectual, a verdade do pensamento pensando em si mesmo.

A intuio da essncia a apreenso intelectual imediata e direta de uma significao,

deixando de lado as particularidades dos representantes que indicam empiricamente a significao.

assim que tenho intuio intelectual da essncia ou significao: tringulo, imaginao,

memria, natureza, cor, diferena, Europa, pintura, literatura, tempo, espao,

coisa, quantidade, qualidade etc. Intumos ideias.

Fala-se tambm de uma intuio emotiva ou valorativa. Trata-se daquela intuio na qual,

juntamente com o sentido ou significao de alguma coisa, captamos tambm seu valor, isto , com

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a ideia intumos tambm se a coisa ou essncia verdadeira ou falsa, bela ou feia, boa ou m, justa

ou injusta, possvel ou impossvel/,/ etc. Ou seja, a intuio intelectual capta a essncia do objeto (o

que ele ) e a intuio emotiva ou valorativa capta essa essncia pelo que o objeto vale.

1.3.1. A razo discursiva: deduo, induo e abduo

A intuio pode ser o ponto de chegada, a concluso de um processo de conhecimento, e

pode tambm ser o ponto de partida de um processo cognitivo.

O processo de conhecimento, seja o que chega a uma intuio, seja o que parte dela,

constitui a razo discursiva ou o raciocnio.

Ao contrrio da intuio, o raciocnio o conhecimento que exige provas e demonstraes e

se realiza igualmente por meio de provas e demonstraes das verdades que esto sendo conhecidas

ou investigadas. No um ato intelectual, mas so vrios atos intelectuais internamente ligados ou

conectados, formando um processo de conhecimento.

Um caador sai pela manh em busca da caa. Entra no mato e v rastros: choveu na vspera

e h pegadas no cho; pequenos galhos rasteiros esto quebrados; o capim est amassado em vrios

pontos; a carcaa de um bicho est mostra, indicando que foi devorado h poucas horas; h um

grande silncio no ar, no h canto de pssaros, no h rudos de pequenos animais.

O caador supe que haja uma ona por perto. Ele pode, ento, tomar duas atitudes. Se, por

todas as experincias anteriores, tiver certeza de que a ona est nas imediaes, pode preparar-se

para enfrent-la: sabe que caminhos evitar, se no estiver em condies de ca-la; sabe que

armadilhas armar, se estiver pronto para captur-la; sabe como atra-la, se quiser conserv-la viva e

preservar a espcie.

O caador pode ainda estar sem muita certeza se h ou no uma ona nos arredores e, nesse

caso, tomar uma srie de atitudes para verificar a presena ou ausncia do felino: pode percorrer

trilhas que sabe serem prprias de onas; pode examinar melhor as pegadas e o tipo de animal que

foi devorado; pode comparar, em sua memria, outras situaes nas quais esteve presente uma

ona etc.

Assim, partindo de indcios, o caador raciocina para chegar a uma concluso e tomar uma

deciso. Temos a um exerccio de raciocnio emprico e prtico (isto , um pensamento que visa a

uma ao) e que se assemelha intuio sensvel ou emprica, isto , caracteriza-se pela

singularidade ou pela individualidade do sujeito e do objeto do conhecimento.

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Quando, porm, um raciocnio se realiza em condies tais que a individualidade psicolgica

do sujeito e a singularidade do objeto so substitudas por critrios de generalidade e universalidade,

temos a deduo, a induo e a abduo.

1.3.2. A deduo

A deduo e induo so procedimentos racionais que nos levam do j conhecido ao ainda

no conhecido, isto , permitem que adquiramos conhecimentos novos graas a conhecimentos j

adquiridos. Por isso, se costuma dizer que, no raciocnio, o intelecto opera seguindo cadeias de

razes ou os nexos e conexes internos e necessrios entre as ideias ou entre os fatos.

A deduo consiste em partir de uma verdade j conhecida (seja por intuio, seja por uma

demonstrao anterior) e que funciona como um princpio geral ao qual se subordinam todos os

casos que sero demonstrados a partir dela.

Em outras palavras, na deduo parte-se de uma verdade j conhecida para demonstrar que

ela se aplica a todos os casos particulares iguais.

Por isso tambm se diz que a deduo vai do geral ao particular ou do universal ao individual.

O ponto de partida de uma deduo : ou uma ideia verdadeira ou uma teoria verdadeira.

Por exemplo, se definirmos o tringulo como uma figura geomtrica cujos lados somados so

iguais soma de dois ngulos retos, dela deduziremos todas as propriedades de todos os tringulos

possveis. Se tomarmos como ponto de partida as definies geomtricas do ponto, da linha, da

superfcie e da figura, deduziremos todas as figuras geomtricas possveis.

No caso de uma teoria, a deduo permitir que cada caso particular encontrado seja

conhecido, demonstrando que a ele se aplicam todas as leis, regras e verdades da teoria. Por

exemplo, estabelecida a verdade da teoria fsica de Newton, sabemos que:

1. as leis da fsica so relaes dinmicas de tipo mecnico, isto , se referem a relaes de

fora (ao e reao) entre corpos dotados de figura, massa e grandeza;

2. os fenmenos fsicos ocorrem no espao e no tempo;

3. conhecidas as leis iniciais de um conjunto ou de um sistema de fenmenos, poderemos

prever os atos que ocorrero nesse conjunto e nesse sistema.

Assim, se eu quiser conhecer um ato fsico particular - por exemplo, o que acontecer com o

corpo lanado no espao por uma nave espacial, ou qual a velocidade de um projtil lanado de um

submarino para atingir um alvo num tempo determinado, ou qual o tempo e a velocidade para um

certo astro realizar um movimento de rotao em torno de seu eixo -, aplicarei a esses casos

particulares as leis gerais da fsica newtoniana e saberei com certeza a resposta verdadeira.

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A deduo um procedimento pelo qual um fato ou objeto particulares so conhecidos por

incluso numa teoria geral.

Costuma-se representar a deduo pela seguinte frmula:

todos os x so y (definio ou teoria geral);

A x (caso particular);

Portanto, A y (deduo).

Exemplos

1. Todos os homens (x) so mortais (y); Scrates (A) homem (x); portanto, Scrates (A) mortal (y).

2. Todos os metais (x) so bons condutores de eletricidade (y); o mercrio (A) um metal (x);

portanto, o mercrio (A) bom condutor de eletricidade (y).

A razo oferece regras especiais para realizar uma deduo e, se tais regras no forem

respeitadas, a deduo ser considerada falsa.

1.3.3. A induo

A induo realiza um caminho exatamente contrrio ao da deduo.

Com a induo, partimos de casos particulares iguais ou semelhantes e procuramos a lei

geral, a definio geral ou a teoria geral que explica e subordina todos esses casos particulares.

A definio ou a teoria so obtidas no ponto final do percurso. E a razo tambm oferece um

conjunto de regras precisas para guiar a induo; se tais regras no forem respeitadas, a induo ser

considerada falsa.

Por exemplo, colocamos gua no fogo e observamos que ela ferve e se transforma em vapor;

colocamos leite no fogo e vemos tambm que ele se transforma em vapor; colocamos vrios tipos de

lquidos no fogo e vemos sempre sua transformao em vapor. Induzimos desses casos particulares

que o fogo possui uma propriedade que produz a evaporao dos lquidos. Essa propriedade o

calor.

Verificamos, porm, que os diferentes lquidos no evaporam sempre na mesma velocidade;

cada um deles, portanto, deve ter propriedades especficas que os fazem evaporar em velocidades

diferentes. Descobrimos, porm, que a velocidade da evaporao no o fato a ser observado e sim

quanto de calor cada lquido precisa para comear a evaporar. Se considerarmos a gua nosso

padro de medida, diremos que ela ferve e comea a evaporar a partir de uma certa quantidade de

calor e que essa quantidade de calor que precisa ser conhecida. Podemos, a seguir, verificar um

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fenmeno diferente. Vemos que gua e outros lquidos, colocados num refrigerador, endurecem e se

congelam, mas que, como no caso do vapor, cada lquido se congela ou se solidifica em velocidades

diferentes.

Procuramos, novamente, a causa dessa diferena de velocidade e descobrimos que depende

tanto de certas propriedades de cada lquido quanto da quantidade de frio que h no refrigerador.

Percebemos, finalmente, que essa quantidade que devemos procurar.

Com essas duas sries de fatos (vapor e congelamento), descobrimos que os estados dos

lquidos variam (evaporao e solidificao) em decorrncia da temperatura ambiente (calor e frio) e

que cada lquido atinge o ponto de evaporao ou de solidificao em temperaturas diferentes. Com

esses dados podemos formular uma teoria da relao entre os estados da matria - slido, lquido e

gasoso - e as variaes de temperatura, estabelecendo uma relao necessria entre o estado de um

corpo e a temperatura ambiente. Chegamos, por induo, a uma teoria.

A deduo e a induo so conhecidas com o nome de inferncia, isto , concluir alguma

coisa a partir de outra j conhecida. Na deduo, dado X, infiro (concluo) a, b, c, d. Na induo, dados

a, b, c, d, infiro (concluo) X.

1.3.4. A abduo

O filsofo ingls Peirce considera que, alm da deduo e da induo, a razo discursiva ou

raciocnio tambm se realiza numa terceira modalidade de inferncia, embora esta no seja

propriamente demonstrativa. Essa terceira modalidade chamada por ele de abduo.

A abduo uma espcie de intuio, mas que no se d de uma s vez, indo passo a passo para

chegar a uma concluso. A abduo a busca de uma concluso pela interpretao racional de

sinais, de indcios, de signos.

O exemplo mais simples oferecido por Peirce para explicar o que seja a abduo so os

contos policiais, o modo como os detetives vo coletando indcios ou sinais e formando uma teoria

para o caso que investigam.

Segundo Peirce, a abduo a forma que a razo possui quando inicia o estudo de um novo

campo cientfico que ainda no havia sido abordado. Ela se aproxima da intuio do artista e da

adivinhao do detetive, que, antes de iniciarem seus trabalhos, s contam com alguns sinais que

indicam pistas a seguir. Os historiadores costumam usar a abduo.

De modo geral, diz-se que a induo e a abduo so procedimentos racionais que

empregamos para a aquisio de conhecimentos, enquanto a deduo o procedimento racional

que empregamos para verificar ou comprovar a verdade de um conhecimento j adquirido.

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1.3.5. Realismo e idealismo

Vimos anteriormente que muitos filsofos distinguem razo objetiva e razo subjetiva,

considerando a Filosofia o encontro e o acordo entre ambas.

Falar numa razo objetiva significa afirmar que a realidade externa ao nosso pensamento

racional em si e por si mesma e que podemos conhec-la justamente por ser racional. Significa dizer,

por exemplo, que o espao e o tempo existem em si e por si mesmos, que as relaes matemticas e

de causa-efeito existem nas prprias coisas, que o acaso existe na prpria realidade etc.

Chama-se realismo a posio filosfica que afirma a existncia objetiva ou em si da realidade

externa como uma realidade racional em si e por si mesma e, portanto, que afirma a existncia da

razo objetiva.

H filsofos, porm, que estabelecem uma diferena entre a realidade e o conhecimento

racional que dela temos. Dizem eles que, embora a realidade externa exista em si e por si mesma, s

podemos conhec-la tal como nossas ideias a formulam e a organizam e no tal como ela seria em si

mesma. No podemos saber nem dizer se a realidade exterior racional em si, pois s podemos

saber e dizer que ela racional para ns, isto , por meio de nossas ideias.

Essa posio filosfica conhecida com o nome de idealismo e afirma apenas a existncia da

razo subjetiva.

A razo subjetiva possui princpios e modalidades de conhecimento que so universais e

necessrios, isto , vlidos para todos os seres humanos em todos os tempos e lugares. O que

chamamos realidade, portanto, apenas o que podemos conhecer por meio das ideias de nossa

razo.

1.4 - Origens da razo: inatismo ou empirismo?

De onde vieram os princpios racionais (identidade, no-contradio, terceiro-excludo e

razo suficiente)? De onde veio a capacidade para a intuio (razo intuitiva) e para o raciocnio

(razo discursiva)? Nascemos com eles? Ou nos seriam dados pela educao e pelo costume? Seriam

algo prprio dos seres humanos, constituindo a natureza deles, ou seriam adquiridos atravs da

experincia?

Durante sculos, a Filosofia ofereceu duas respostas a essas perguntas. A primeira ficou

conhecida como inatismo e a segunda, como empirismo.

O inatismo afirma que nascemos trazendo em nossa inteligncia no s os princpios

racionais, mas tambm algumas ideias verdadeiras, que, por isso, so ideias inatas.

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O empirismo, ao contrrio, afirma que a razo, com seus princpios, seus procedimentos e

suas ideias, adquirida por ns atravs da experincia.

Em grego, experincia se diz: empeiria donde, empirismo, conhecimento emprico, isto ,

conhecimento adquirido por meio da experincia.

1.4.1. O inatismo

Vamos falar do inatismo tomando dois filsofos como exemplo: o filsofo grego Plato

(sculo IV a.C.) e o filsofo francs Descartes (sculo XVII).

Inatismo platnico

Plato defende a tese do inatismo da razo ou das ideias verdadeiras em vrias de suas

obras, mas as passagens mais conhecidas se encontram nos dilogos Mnon e A Repblica. Nelas

Plato explicita que as verdades vo surgindo no esprito de um indivduo medida que o Mestre vai

lhe fazendo as perguntas certas e assim raciocinando com ele. Expe que nascemos com a razo e as

ideias verdadeiras, e a Filosofia nada mais faz do que nos relembrar essas ideias.

Inatismo cartesiano

Descartes discute a teoria das ideias inatas em vrias de suas obras, mas as exposies mais

conhecidas encontram-se em duas delas: no Discurso do mtodo e nas Meditaes metafsicas.

Nelas, Descartes mostra que nosso esprito possui trs tipos de ideias que se diferenciam segundo

sua origem e qualidade:

1. ideias adventcias (isto , vindas de fora): so aquelas que se originam de nossas sensaes,

percepes, lembranas; Por exemplo, a ideia de rvore, de pssaro, de instrumentos

musicais etc. So nossas ideias cotidianas e costumeiras, e que podem ser enganosas ou

falsas.

2. ideias fictcias: so aquelas que criamos em nossa fantasia e imaginao, compondo seres

inexistentes com pedaos ou partes de ideias adventcias que esto em nossa memria. Por

exemplo, cavalo-alado, fadas, elfos, duendes, drages, Super-homem etc.

3. ideias inatas: so aquelas que no poderiam vir de nossa experincia sensorial porque no h

objetos sensoriais ou sensveis para elas, nem poderiam vir de nossa fantasia, pois no

tivemos experincia sensorial para comp-las a partir de nossa memria.

4. A tese central dos inatistas a seguinte: se no possuirmos em nosso esprito a razo e a

verdade, nunca teremos como saber se um conhecimento verdadeiro ou falso, isto ,

18

nunca saberemos se uma ideia corresponde ou no realidade a que ela se refere. No

teremos um critrio seguro para avaliar nossos conhecimentos.

1.4.2. O empirismo

Contrariamente aos defensores do inatismo, os defensores do empirismo afirmam que a

razo, a verdade e as ideias racionais so adquiridos por ns atravs da experincia.

Antes da experincia, dizem eles, nossa razo como uma folha em branco, onde nada foi

escrito; uma tbula rasa, onde nada foi gravado. Somos como uma cera sem forma e sem nada

impresso nela, at que a experincia venha escrever na folha, gravar na tbula, dar forma cera.

Os empiristas ingleses

No decorrer da histria da Filosofia muitos filsofos defenderam a tese empirista, mas os

mais famosos e conhecidos so os filsofos ingleses dos sculos XVI ao XVIII, chamados, por isso, de

empiristas ingleses: Francis Bacon, John Locke, George Berkeley e David Hume.

Os empiristas defendem que nossos conhecimentos comeam com a experincia dos

sentidos, isto , com as sensaes. Os objetos exteriores excitam nossos rgos dos sentidos e vemos

cores, sentimos sabores e odores, ouvimos sons, sentimos a diferena entre o spero e o liso, o

quente e o frio etc.

As sensaes se renem e formam uma percepo; ou seja, percebemos uma nica coisa ou

um nico objeto que nos chegou por meio de vrias e diferentes sensaes.

As percepes, por sua vez, se combinam ou se associam. A associao pode dar-se por trs

motivos: por semelhana, por proximidade ou contiguidade espacial e por sucesso temporal. A

causa da associao das percepes a repetio. Ou seja, de tanto algumas sensaes se repetirem

por semelhana, ou de tanto se repetirem no mesmo espao ou prximas umas das outras, ou,

enfim, de tanto se repetirem sucessivamente no tempo, criamos o hbito de associ-las. Essas

associaes so as ideias.

As ideias, trazidas pela experincia so levadas memria e, de l, a razo as apanha para

formar os pensamentos.

A experincia escreve e grava em nosso esprito as ideias, e a razo ir associ-las, combin-

las ou separ-las, formando todos os nossos pensamentos. Segundo Hume a razo o hbito de

associar ideias, seja por semelhana, seja por diferena.

1.4.3. Problemas do inatismo

19

1. A prpria razo pode mudar o contedo de ideias que eram consideradas universais e

verdadeiras.

2. A prpria razo pode provar que ideias racionais tambm podem ser falsas.

Se as ideias so racionais e verdadeiras, porque correspondem realidade. Ora, a realidade

permanece a mesma e, no entanto, as ideias que a explicam perderam a validade. Ou seja, o

inatismo se depara com o problema da mudana das ideias, feita pela prpria razo, e com o

problema da falsidade das ideias, demonstrada pela prpria razo.

1.4.4. Problemas do empirismo

O empirismo, por sua vez, se defronta com um problema insolvel. Se as cincias so apenas

hbitos psicolgicos de associar percepes e ideias por semelhana e diferena, bem como por

contiguidade espacial ou sucesso temporal, ento, as cincias no possuem verdade alguma, no

explicam realidade alguma, no alcanam os objetos e no possuem nenhuma objetividade.

A cincia, mero hbito psicolgico ou subjetivo, torna-se afinal uma iluso, e a realidade tal

como em si jamais poder ser conhecida por nossa razo. Basta, por exemplo, que um belo dia eu

ponha um lquido no fogo e, em lugar de v-lo ferver e aumentar de volume, eu o veja gelar e

diminuir de volume, para que toda a cincia desaparea, j que ela depende da repetio, da

frequncia, do hbito de sempre percebermos uma certa sucesso de fatos qual, tambm por

hbito, demos o nome de princpio da causalidade.

Assim, do lado do empirismo, o problema colocado o da impossibilidade do conhecimento

objetivo da realidade.

Resumindo

Do lado do inatismo, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: como so inatos,

as ideias e os princpios da razo so verdades intemporais que nenhuma experincia nova poder

modificar. Ora, a Histria (social, poltica, cientfica e filosfica) mostra que ideias tidas como

verdadeiras e universais no possuam essa validade e foram substitudas por outras. Mas, por

definio, uma ideia inata sempre verdadeira e no pode ser substituda por outra. Se for

substituda, ento no era uma ideia verdadeira e, no sendo uma ideia verdadeira, no era inata.

Do lado do empirismo, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: a racionalidade

ocidental s foi possvel porque a Filosofia e as cincias demonstraram que a razo capaz de

20

alcanar a universalidade e a necessidade que governam a prpria realidade, isto , as leis racionais

que governam a Natureza, a sociedade, a moral, a poltica.

Ora, a marca prpria da experincia a de ser sempre individual, particular e subjetiva. Se o

conhecimento racional for apenas a generalizao e a repetio para todos os seres humanos de seus

estados psicolgicos, derivados de suas experincias, ento o que chamamos de Filosofia, de cincia,

de tica etc. so nomes gerais para hbitos psquicos e no um conhecimento racional verdadeiro de

toda a realidade, tanto a realidade natural quanto a humana.

Problemas dessa natureza, frequentes na histria da Filosofia, suscitam, periodicamente, o

aparecimento de uma corrente filosfica conhecida como ceticismo, para o qual a razo humana

incapaz de conhecer a realidade e por isso deve renunciar verdade. O ctico sempre manifesta

explicitamente dvidas toda vez que a razo tenha pretenso ao conhecimento verdadeiro do real.

1.5 - As bases fisiolgicas da razo: sensao, percepo, memria e categorizao

SENSAO: a reao fsica do corpo ao mundo fsico, sendo regida pelas leis da fsica, da

qumica, da biologia etc., que resulta na ativao das reas primrias do crtex do crebro.

PERCEPO: o processo atravs do qual o ser humano conhece o mundo sua volta de

forma total e complexa.

MEMRIA: o processo de reteno de informaes no qual nossas experincias so

arquivadas e recuperadas quando as chamamos.

CATEGORIZAO: o processo pelo qual ideias e objetos so reconhecidos, diferenciados e

classificados. Em linhas gerais, a categorizao consiste em organizar os objetos de um dado

universo em grupos ou categorias, com um propsito especfico.

1.6 - Razo e emoo

A Filosofia se realiza como conhecimento racional da realidade natural e cultural, das coisas e

dos seres humanos. Dissemos que ela confia na razo e que, hoje, ela tambm desconfia da razo.

Mas, at agora, no dissemos o que a razo, apesar de ser ela to antiga quanto a Filosofia.

Em nossa vida cotidiana usamos a palavra razo em muitos sentidos. Dizemos, por exemplo, eu

estou com a razo, ou ele no tem razo, para significar que nos sentimos seguros de alguma

coisa ou que sabemos com certeza alguma coisa.

Tambm dizemos que, num momento de fria ou de desespero, algum perde a razo,

como se a razo fosse alguma coisa que se pode ter ou no ter, possuir e perder, ou recuperar, como

na frase: Agora ela est lcida, recuperou a razo.

21

Assim, usamos razo para nos referirmos a motivos de algum, e tambm para nos

referirmos a causas de alguma coisa, de modo que tanto ns quanto as coisas parecemos dotados

de razo, mas em sentido diferente.

Esses poucos exemplos j nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razo possui:

certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia.

Por identificar razo e certeza, a Filosofia afirma que a verdade racional; por identificar razo e

lucidez (no ficar ou no estar louco), a Filosofia chama nossa razo de luz e luz natural; por

identificar razo e motivo, por considerar que sempre agimos e falamos movidos por motivos, a

Filosofia afirma que somos seres racionais e que nossa vontade racional; por identificar razo e

causa e por julgar que a realidade opera de acordo com relaes causais, a Filosofia afirma que a

realidade racional.

muito conhecida a clebre frase de Pascal, filsofo francs do sculo XVII: O corao tem

razes que a razo desconhece. Nessa frase, as palavras razes e razo no tm o mesmo

significado, indicando coisas diversas. Razes so os motivos do corao, enquanto razo algo

diferente de corao; este o nome que damos para as emoes e paixes, enquanto razo o

nome que damos conscincia intelectual e moral.

Falamos tambm frases como: Se voc me disser suas razes, sou capaz de fazer o que voc

me pede, querendo dizer com isso que queremos ouvir os motivos que algum tem para querer ou

fazer alguma coisa. Fazemos perguntas como: qual a razo disso?, querendo saber qual a causa de

alguma coisa e, nesse caso, a razo parece ser alguma propriedade que as prprias coisas teriam, j

que teriam uma causa.

Assim, usamos razo para nos referirmos a motivos de algum, e tambm para nos

referirmos a causas de alguma coisa, de modo que tanto ns quanto as coisas parecemos dotados

de razo, mas em sentido diferente.

Esses poucos exemplos j nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razo possui:

certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia.

Ao dizer que o corao tem suas prprias razes, Pascal est afirmando que as emoes, os

sentimentos ou as paixes so causas de muito do que fazemos, dizemos, queremos e pensamos. Ao

dizer que a razo desconhece as razes do corao, Pascal est afirmando que a conscincia

intelectual e moral diferente das paixes e dos sentimentos e que ela capaz de uma atividade

prpria no motivada e causada pelas emoes, mas possuindo seus motivos ou suas prprias

razes.

22

Assim, a frase de Pascal pode ser traduzida da seguinte maneira: Nossa vida emocional

possui causas e motivos (as razes do corao), que so as paixes ou os sentimentos, e

diferente de nossa atividade consciente, seja como atividade intelectual, seja como atividade moral.

A conscincia a razo. Corao e razo, paixo e conscincia intelectual ou moral so

diferentes. Se algum perde a razo porque est sendo arrastado pelas razes do corao. Se

algum recupera a razo porque o conhecimento intelectual e a conscincia moral se tornaram

mais fortes do que as paixes. A razo considerada como conscincia moral, a vontade racional

livre que no se deixa dominar pelos impulsos passionais, mas realiza as aes morais como atos de

virtude e de dever, ditados pela inteligncia ou pelo intelecto.

Alm da frase de Pascal, tambm ouvimos outras que elogiam as cincias, dizendo que elas

manifestam o progresso da razo. Aqui, a razo colocada como capacidade puramente

intelectual para conseguir o conhecimento verdadeiro da Natureza, da sociedade, da Histria e isto

considerado algo bom, positivo, um progresso.

Por ser considerado um progresso, o conhecimento cientfico visto como se realizando no

tempo e como dotado de continuidade, de tal modo que a razo concebida como temporal

tambm, isto , como capaz de aumentar seus contedos e suas capacidades atravs dos tempos.

Algumas vezes ouvimos um professor dizer a outro: Fulano trouxe um trabalho irracional;

era um caos, uma confuso. Incompreensvel. J o trabalho de Beltrano era uma beleza: claro,

compreensvel, racional. Aqui, a razo, ou racional, significa clareza das ideias, ordem, resultado de

esforo intelectual ou da inteligncia, seguindo normas e regras de pensamento e de linguagem.

Todos esses sentidos constituem a nossa ideia de razo. Ns a consideramos a conscincia

moral que observa as paixes, orienta a vontade e oferece finalidades ticas para a ao. Ns a

vemos como atividade intelectual de conhecimento da realidade natural, social, psicolgica,

histrica.

Ns a concebemos segundo o ideal da clareza, da ordenao e do rigor e preciso dos

pensamentos e das palavras.

Para muitos filsofos, porm, a razo no apenas a capacidade moral e intelectual dos

seres humanos, mas tambm uma propriedade ou qualidade primordial das prprias coisas,

existindo na prpria realidade. Para esses filsofos, nossa razo pode conhecer a realidade (natureza,

sociedade, histria) porque ela racional em si mesma.

Fala-se, portanto, em razo objetiva (a realidade racional em si mesma) e em razo

subjetiva (a razo uma capacidade intelectual e moral dos seres humanos). A razo objetiva a

afirmao de que o objeto do conhecimento ou a realidade racional; a razo subjetiva a

afirmao de que o sujeito do conhecimento e da ao racional.

23

Para muitos filsofos, a Filosofia o momento do encontro, do acordo e da harmonia entre as duas

razes ou racionalidades.

Leia o artigo Razo e Emoo - O imaginrio humano, suas interligaes e

implicaes nas organizaes sociais da Prof Maria Cludia Tardin Pinheiro - Mestra e

Doutoranda em Psicologia; Professora Assistente do Curso de Administrao da FMJ, cujo link

est disponvel no ambiente virtual de aprendizagem para refletir um pouco mais sobre os

assuntos tratados na Unidade I.

1. O que razo?

2. Quais os sentidos da palavra razo? D exemplos.

3. Quais so os princpios gerais da razo (racionais)?

4. A razo subjetiva divide-se em razo intuitiva e razo discursiva,

qual a diferena entre elas? Exemplifique.

5. Qual a diferena entre deduo e induo?

6. D exemplos de deduo.

7. O que abduo? D um exemplo.

8. O que inatismo?

9. O que empirismo?

24

25

Unidade II - Categorizao e teoria dos conjuntos

Nesta unidade voc ir:

Compreender a necessidade da numerao.

Conceituar conjuntos.

Identificar os diferentes tipos de conjuntos.

Estabelecer as relaes entre conjuntos.

Conhecer as propriedades dos conjuntos.

26

2.1 - A necessidade de numerao na humanidade

Conta a histria que a Matemtica surgiu com a necessidade dos homens de contar. Na

poca em que os agrupamentos humanos retiravam tudo de que necessitavam diretamente da

natureza por meio da caa, da pesca e da coleta no havia necessidade de contar, fato este que se

alterou quando o homem passou a fixar-se em territrios, dedicando-se agricultura, produo de

alimentos, construo de abrigos, domesticao de animais etc.

Datam de cerca de dez mil anos, na regio que hoje leva o nome de Oriente Mdio, as

primeiras formas de agricultura, que passaram a exigir o conhecimento sobre o clima, as estaes, as

fases da Lua, ensejando a criao dos primeiros calendrios.

Um dos primeiros processos de contagem foi aplicado no pastoreio. Os pastores precisavam

conferir seus rebanhos quando do recolhimento, aps a soltura na pastagem. Ento desenvolveram

um mtodo, utilizando uma correspondncia entre pequenas pedras colocadas num saco e cada rs.

Quando do retorno, para cada rs uma pedra era retirada do saco, podendo o pastor constatar se

faltavam cabeas ou se alguma rs de outro rebanho se agregara ao seu. Por isso que a palavra

com a qual designamos operaes matemticas clculo, derivada do latim calculus, que significa

pedrinha. Mas, a correspondncia de unidades no era feita somente por meio de pedras.

Tambm eram utilizados ns em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas

cavernas e outros tipos de marcao.

Esse embrio primitivo da Matemtica surgido da necessidade humana da contagem pode

ser um ponto de partida para o questionamento que permeia este trabalho. Afinal, a Matemtica, os

nmeros, as contagens, tudo isso e o que mais se seguiu nessa frtil rea do conhecimento,

constituem uma descoberta ou uma criao da humanidade?

Aqueles que se debruaram sobre o tema enfocado chegaram a duas concluses bsicas

divergentes:

para alguns a Matemtica obra da humanidade, uma vez que se assenta na intuio do

homem. Portanto, no passa de uma nossa construo ou inveno. A esse pensamento

tem-se dado os nomes de intuicionismo, construtivismo ou convencionalismo.

para outros a Matemtica um campo objetivo existente por si mesmo. Trata-se de uma

rea infinitamente prenhe de verdades objetivas que no criamos, mas que nos confrontam

objetivamente, podendo ser descobertas. A essa concepo da Matemtica tem-se

conferido a nomenclatura de platonismo.

27

O debate sobre a questo vem tendendo a apresentar as duas concepes acima

mencionadas como antagnicas e inconciliveis. No obstante, Karl Popper apresenta uma

interpretao conciliadora ou ecltica que nos parece bastante adequada.

O autor em destaque aponta, por exemplo, a sequncia infinita dos nmeros naturais. Ela

realmente uma nossa inveno lingustica; nossa conveno; nossa construo. Mas, isso no

inconcilivel com o fato de que ela reflita uma realidade que passou pelo intelecto humano para ser

manifestada. Observe-se que o processo de contagem produto exclusivo humano, mas o

chamado senso numrico, ou seja, a percepo de falta ou acrscimo de elementos em um

conjunto, est presente mesmo entre os chamados seres irracionais, conforme demonstram

fartamente os estudos de etologia.

Assim sendo, os nmeros no so criados sem assento em uma realidade, ou seja, sem

correspondncia com fatos. Tanto isso verdade que no desenvolvimento da Matemtica surgem

inmeros problemas que emergem em um mundo objetivo, sem nem mesmo precisarem do

concurso da vontade humana. Eles no so criados, mas efetivamente descobertos no seio de um

mundo objetivo, que, de fato, inventamos ou criamos, mas que (como toda inveno) se objetiva, se

liberta de seus criadores e se torna independente de sua vontade.

Retomando a srie infinita de nmeros naturais, podemos com Popper constatar que ela

um produto da linguagem e do pensamento humano. Mas, ao mesmo tempo fato que existe um

infinito de nmeros inteiros que supera em muito, muitssimo, aquilo que um dia poderia ser sequer

pronunciado por um homem ou mesmo utilizado atravs dos recursos da informtica mais avanada.

Tambm h um infinito de equaes e relaes verdadeiras e falsas entre esses nmeros e elas so

muito mais do que podemos ou poderemos designar como verdadeiro ou falso. Surgem,

independentemente do concurso da criao humana, problemas novos e inesperados, como, por

exemplo, os problemas sem soluo da Teoria dos Nmeros Primos. So problemas autnomos,

independentes da criao humana, mas descobertos pelos homens. Esses problemas existem ocultos

antes que os matemticos os descubram e podem ser no somente no - solucionados, mas at

mesmo insolveis.

Euclides, por meio de seu conhecido Teorema, demonstrou que existe uma quantidade

infinita de nmeros primos. Por outro lado, a chamada Conjectura de Goldbach permanece no

comprovada, no demonstrada de forma cabal.

28

Em 7 de julho de 1742, Christian Goldbach enviou uma carta ao matemtico suo Leonard

Eler, onde propunha a seguinte questo: qualquer nmero inteiro maior do que seis a soma de

trs nmeros primos? Eler, por seu turno, verificou que tal afirmao deveria ser decomposta em

outras duas: todo nmero par, maior que dois, a soma de dois primos e todo nmero mpar a

soma de trs primos Embora em meados dos anos 1930 Vinogradov tenha conseguido comprovar a

segunda afirmativa para nmeros mpares suficientemente grandes, a primeira segue ainda por

demonstrar.

Outro problema refere-se ao zero, nmero que precede o inteiro positivo um, e todos os

nmeros positivos, e sucessor do um negativo (-1), e todos os nmeros negativos, sendo definido

como a cardinalidade de um conjunto vazio. A descoberta do zero tem sua ancestralidade nos

povos babilnicos, hindus e maias. Sua incorporao na Europa, na Idade Mdia, se deu pela

introduo dos algarismos arbicos, desenvolvidos pelos matemticos rabes.

A descoberta do zero representou o maior avano no sistema de numerao decimal,

mas trazia consigo uma perplexidade, pois era difcil imaginar a quantificao e a representao do

nada, do inexistente.

O melhor resultado at hoje obtido ocorreu em 1995 por Olivier Ramar, que conseguiu

demonstrar que todo nmero par a soma de at 6 nmeros primos. Portanto, a primeira questo,

formulada no decorrer do sculo XVIII, permanece indemonstrada, embora sua procedncia tenha

sido verificada para nmeros da ordem de 4 x 1014. Tambm se indaga se seriam infinitos os nmeros

primos que terminam com o dgito 7 e se h infinitos pares de nmeros chamados primos gmeos,

ou seja, nmeros primos que se distanciam uns dos outros por apenas duas unidades, como, por

exemplo, (3; 5), (71;73) ou (1000000007; 1000000009). Nenhum desses problemas foi solucionado.

29

Ser que isso tornaria o zero mero produto de uma conveno?

Uma criao do gnio humano apartada da realidade, mera abstrao?

Na verdade o zero se imps na Matemtica, assim como o nada no pde passar

despercebido na Filosofia. Como aduz Sartre, citando Hegel, no h nada no cu e na terra que no

contenha em si o ser e o nada.

Mas, o nada tem sido um problema filosfico, chegando a ser negada sua existncia como

uma grande contradio. Dentre os chamados naturalistas ou filsofos da phisis, Parmnides,

por exemplo, afirmava que o ser existe e no pode no ser e o no ser no existe e no pode ser.

Por seu turno o existencialista Sartre concebe o nada em indissolvel conjuno com o ser. Para

ele o nada, no sustentado pelo ser, dissipa-se enquanto nada, e recamos no ser. O nada no pode

nadificar-se a no ser sobre um fundo de ser: se um nada pode existir, no antes ou depois do ser,

mas no bojo do ser, em seu corao, como um verme.

Note-se que por controversa que seja a existncia do nada, assumindo que ele exista, de

qualquer forma a razo assiste afirmao de que o homem o ser pelo qual o nada vem ao

mundo. E vem com ele a sua representao matemtica, o zero, descoberto pelo homem no bojo

do ser da Matemtica.

O fato de que o homem descobre o zero em um ser que em parte produto de sua

formulao lingustica, no torna o nada inexistente e nem o zero um mero smbolo matemtico

sem correspondncia com a realidade.

O homem no um espectador passivo que se deixa levar pelas regras da natureza, apenas

observando-as e compilando-as. Deve-se ter em mente que o homem se apercebe sensorial e

intelectualmente das coisas e suas relaes, impondo a elas uma ordem e uma normatizao de

acordo com o seu prprio entendimento, pois nosso cosmos traz o selo de nosso intelecto.

Se pretendermos considerar como realidade objetiva existente por si mesma somente

aquilo que independa de qualquer interferncia humana, chegaremos concluso de que nada pode

satisfazer a essa condio. No ato do conhecimento o homem fatalmente se apropria da realidade, a

interpreta, a traduz e a molda de acordo com sua percepo.

Por isso Heisenberg alegava que no h nada que se possa, por exemplo, designar como

cincia da natureza. H sim uma cincia do conhecimento do homem sobre a natureza, pois no

vivemos numa realidade, vivemos numa srie de descries de realidade.

O homem descobre a Matemtica, se apropria dela, a traduz e a expressa em sua linguagem

e, nessa medida tambm a cria, mas ela no perde sua caracterstica de autonomia, a qual se

apresenta claramente nos desenvolvimentos subsequentes de novas descobertas de problemas,

solues e de problemas no -solucionados e at mesmo insolveis.

30

2.1.1. Conjuntos como categorias

Conjuntos e elementos

Os conceitos de conjunto, elementos e relao de pertinncia so considerados conceitos

primitivos, isto , no aceitam definio.

Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleo (agrupamento, classe, sistema) bem

definida de objetos.

Cada um dos membros que entra na formao do conjunto denominado elemento do

conjunto.

Vejamos alguns exemplos:

o conjunto dos livros de uma biblioteca.

o conjunto das vogais do alfabeto portugus.

o conjunto dos mltiplos de 2 entre 9 e 21.

Notao dos Conjuntos

Representamos um conjunto por uma letra maiscula do alfabeto, os elementos ficam entre

chaves e separados por vrgulas.

Exemplos:

conjunto das vogais do alfabeto portugus

conjunto dos mltiplos de 2 entre 9 e 21

Relao de Pertinncia

O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relao de pertinncia.

Sendo, assim, podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b no pertence ao conjunto A.

Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se:

x pertence a A ou x um elemento de A.

y no pertence a A ou y no um elemento de A.

31

2.1.2. Tipos de Conjuntos

Conjunto Universo

Para resolver uma equao, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemtica,

devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse conjunto

chamado de Conjunto Universo e representado por U.

Conjunto Unitrio

Todo conjunto constitudo de um nico elemento chamado de Conjunto Unitrio.

Exemplo:

Conjunto Vazio

O conjunto que no tem elementos chamado de Conjunto Vazio e representado por { }.

Exemplo: M o conjunto formado pela capital de Braslia. Como no existe a capital de

Braslia, o conjunto vazio.

2.1.3. Determinao de um Conjunto

Diz-se que um conjunto A definido num universo quando se conhece um critrio que

permita sempre saber se h um elemento ou, devendo verificar-se apenas uma destas duas

hipteses.

Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:

I Por enumerao

A = {janeiro, fevereiro, maro, ...}

B = {5, 10, 15, 20}

II Por compreenso, isto , atravs de um critrio de pertinncia que satisfeito por todos os

elementos do conjunto e somente por esses elementos.

32

Conjuntos finitos e infinitos

Diz-se que um conjunto A finito e contm n elementos quando existe um nmero natural n

tal que se pode estabelecer uma correspondncia entre os elementos do conjunto A e

Um conjunto no finito diz-se infinito.

O nmero de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A).

Exemplos:

Conjunto finito com 0 elemento

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B so iguais se e somente se

Notao

Exemplos:

Propriedades

Relao de incluso

Diz-se que um conjunto A est contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A

tambm elemento de B.

BxAxxBA AyeByyouBxeAxxBA

1) 5,7,67,6,5 2) b,d,ab,c,a 3) 3,2,02,1,0 4) v,r,t,v,tr,v,t

1) Reflexiva: AA 2) Simtrica: ABBA

3) Transitiva: CACBeBA

Notao: BA : A est contido em B.

ABBA , isto , B contm A.

BA : A no est contido em B.

33

Exemplos:

Propriedades

1) Reflexiva:

2) Transitiva:

3) Antissimtrica

4) O contedo vazio est contido em qualquer conjunto A, isto ,

5) Qualquer que seja o conjunto A num universo U

Exemplos:

2.2- Conjuntos numricos

Os conjuntos numricos so compreendidos como os conjuntos dos nmeros que possuem

caractersticas semelhantes. A concepo dos conjuntos numricos recebeu maior rigor em sua

construo com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do nmero infinito. Cantor iniciou diversos

estudos sobre os conjuntos numricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos.

1) 5,2,12,1 2) b,ab,a 3) 3,2,14,2

A est contido em U, isto , UA,A

Obs.: relao entre elemento e conjunto.

relao entre conjuntos.

3,2,11

3,2,11

AA ,

34

Temos os seguintes conjuntos numricos:

Conjunto dos nmeros Naturais ( );

Conjunto dos nmeros Inteiros ( );

Conjunto dos nmeros Racionais ( );

Conjunto dos nmeros Irracionais ( );

Conjunto dos nmeros Reais ( );

Conjunto dos nmeros Complexos ( );

Conjunto dos Nmeros Naturais ( )

O conjunto numrico mais simples, e o primeiro ao qual temos contato conjunto dos

nmeros naturais, que representado por , existem algumas variaes para esta notao, no

entanto a letra N sempre est presente.

O conjunto dos nmeros naturais constitudo por nmeros inteiros positivos mais o zero.

= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}

Quanto construo do conjunto dos nmeros naturais, temos que:

a) todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vem logo depois do nmero dado),

considerando tambm o zero. Seja n um nmero natural, o sucessor de n n+1.

Exemplos: o sucessor de

0 1.

1 2.

99 100.

Nas primeiras construes do conjunto dos nmeros Naturais o zero no fazia

parte do conjunto, atualmente para denotarmos a ausncia do elemento zero

neste conjunto adotamos a notao .

= {1,2,3,4,5,6,7,8...}

35

b) se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros

consecutivos.

Exemplos:

0 e 1 so nmeros consecutivos.

7 e 8 so nmeros consecutivos.

c) vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor

do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim

sucessivamente.

Exemplos:

1, 2, 3, 4, 5 e 6 so consecutivos.

1, 2 e 3 so consecutivos.

25, 26, 27 e 28 so consecutivos.

d) todo nmero natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem antes do

nmero dado). Seja n um nmero natural diferente de zero, o antecessor de n n-1.

Exemplos:

O antecessor de 2 1.

O antecessor de 6 5.

O antecessor de 1514 1513.

Conjunto dos Nmeros Inteiros ( )

Os nmeros inteiros esto presentes at hoje em diversas situaes do cotidiano da

humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas etc.

O conjunto dos nmeros inteiros constitudo por nmeros inteiros positivos, o zero e

nmeros inteiros negativos. Logo, o conjunto dos nmeros naturais parte do conjunto dos nmeros

inteiros.

= {..., -4, -3, -2, -1 , 0 ,1, 2, 3, 4, 5...}

A notao para o conjunto dos nmeros inteiros sem o zero anloga a do conjunto dos

nmeros Naturais, fazendo uso assim do asterisco.

= {..., -4, -3, -2, -1 ,1, 2, 3, 4, 5...}

36

Tambm h uma notao especfica para o conjunto formado pelos elementos no negativos

(equivalente ao conjunto dos Nmeros Naturais).

= {0,1, 2, 3, 4, 5...}

E de forma anloga, h uma notao para o conjunto formado pelos elementos no

positivos.

= {..., -4, -3, -2, -1, 0}

O conceito de sucessor e consecutivo para o conjunto dos nmeros inteiros so exatamente

equivalentes ao do conjunto dos nmeros naturais. O conceito de antecessor que mais amplo, j

que no conjunto dos nmeros inteiros valido para qualquer elemento pertencente ao conjunto.

Seja n um nmero inteiro, ento dizemos o antecessor de n n-1.

Exemplos:

(a) 3 sucessor de 2 (e) 0 antecessor de 1

(b) 2 antecessor de 3 (f) 1 sucessor de 0

(c) -5 antecessor de -4 (g) -1 sucessor de -2

(d) -4 sucessor de -5 (h) -2 antecessor de -1

Todo nmero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto -n

e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto n como -n esto mesma distncia da origem

do conjunto que 0.

Exemplos: o oposto de

(a) +3 -3.

(b) -2 +2.

(c) -1 1.

Conceitos como desigualdade e valor absoluto tambm so vlidos para os nmeros inteiros,

no entanto sero abordados mais frente nesta aula.

37

Conjunto dos Nmeros Racionais ( )

Imagine que colocou para ferver um litro de gua que originalmente estava a 30 C, quando a

gua comear a evaporar isso significa que a gua atingiu 100 C, no entanto a temperatura no

subiu abruptamente, e to pouco de 1 em um 1. Se durante o processo de fervura parssemos em

um momento especfico para efetuarmos a medio da temperatura, provavelmente no

encontraramos um nmero inteiro. Desta forma, no nosso cotidiano os nmeros no inteiros

tambm esto presentes.

Nmeros racionais so todos aqueles que podem ser expressos na forma de frao. O

numerador e o denominador desta frao devem pertencer ao conjunto dos nmeros inteiros e

obviamente o denominador no poder ser igual a zero, pois no h diviso por zero.

Observe que o conjunto dos nmeros racionais pode ser representado de formas diferentes.

Decimal Exata:

Dzimas Peridicas:

Nesta dzima peridica dizemos que o perodo igual a 6 (nmero que se repete

infinitamente)

Exemplos: Dzimas peridicas

a)

b)

c)

d)

Uma dzima peridica simples se a parte decimal formada apenas pelo perodo. Alguns

exemplos so:

a)

b)

Uma dzima peridica composta se possui uma parte que no se repete entre a parte

inteira e o perodo. Por exemplo:

a)

b)

38

Uma dzima peridica uma soma infinita de nmeros decimais. Alguns exemplos:

Para representarmos uma frao em um nmero decimal, basta efetuarmos a diviso do

numerador pelo denominador.

Exemplos:

Dado um nmero decimal exato ou uma dzima peridica, podemos representar esse nmero

na forma fracionria. A frao que d origem a uma dzima dita geratriz da dzima peridica.

Nmeros decimais exatos:

(a)

, observe que este nmero possui apenas uma casa decimal, logo sua representao

fracionria o nmero sem a vrgula, sobre 10.

(b)

, observe que este nmero possui duas casas decimais, logo sua representao

fracionria o nmero sem a vrgula, sobre 100.

(c)

, observe que este nmero possui trs casas decimais, logo sua representao

fracionria o nmero sem a vrgula, sobre 1.000.

(d)

, sempre que possvel a frao deve ser simplificada, neste caso foi simplificada por

Dzimas peridicas

No caso das dzimas peridicas, precisamos primeiro identificar o perodo e identificarmos

quantos algarismos formam este perodo e para cada algarismo representarmos no denominador um

nove.

(a)

, observe que o perodo (nmero que se repete infinitamente) igual a 2, e

este nmero formado por um algarismo, logo temos no denominador um nove.

Mas por que devemos usar o nove?

39

Podemos observar que:

Para que o mtodo de converso fique mais claro, veja a seguinte construo:

1) desejamos encontrar a razo entre dois nmeros inteiros, logo queremos encontrar

Desta forma, se , ento

Substituindo por , temos:

Simplifique a frao sempre que possvel.

(b)

, observe que o perodo igual a 14, e este nmero formado por dois

algarismos, logo temos no denominador dois noves.

Observe a seguinte construo:

1) desejamos encontrar a razo entre dois nmeros inteiros, logo queremos encontrar

Desta forma, se , ento

Observe que o perodo neste caso foi alterado e no faz correlao com o perodo original,

no entanto se adotarmos

40

Substituindo por , temos:

Veja mais alguns exemplos.

(c)

(d)

(e)

s vezes algumas manipulaes numricas so necessrias.

Exemplo 1:

, pois

Dessa forma:

(a)

(b)

(c)

(d)

Exemplo 2:

O nmero dito nmero misto, pois possui uma parte exata e outra infinita

(dzima peridica) . Existem algum mtodos que podem converter o decimal

em uma frao, observe um deles:

41

Dessa forma:

(a)

(b)

Conjunto dos Nmeros Irracionais ( )

A primeira descoberta de um nmero irracional geralmente atribuda a Hipaso de

Metaponto, um seguidor de Pitgoras. Ele teria produzido uma demonstrao (provavelmente

geomtrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o nmero de ouro) irracional.

Existem dois tipos de nmeros irracionais:

1. Nmeros reais algbricos irracionais: so razes de polinmios com coeficientes inteiros.

Todo nmero real que pode ser representado atravs de uma quantidade finita de somas,

subtraes, multiplicaes, divises e razes de grau inteiro a partir dos nmeros inteiros

um nmero algbrico.

2. Nmeros reais transcendentes: no so razes de polinmios com coeficientes inteiros.

Vrias constantes matemticas so transcendentes, como e o nmero de Euler (e).

Conjunto dos Nmeros Reais ( )

O conjunto dos nmeros reais surge para designar a unio do conjunto dos nmeros racionais e o

conjunto dos nmeros irracionais.

Os nmeros reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta

horizontal chamada eixo numrico ou reto numrico.

Exemplo: 1415926,3;41421,12

42

Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o nmero a est esquerda do

ponto que representa o nmero b.

N conjunto dos nmeros Reais conceitos como antecessor, sucessor e consecutivos, por

exemplo, so desconsiderados, permanecendo conceitos como maior que, menor que e suas

variaes.

Lembrete:

Desigualdades

Uma expresso da forma a < b uma desigualdade

Desigualdades estritas

a > b se, e somente se, a b positivo

a < b se, e somente se, b a positivo

Desigualdades no estritas

se, e somente se, a < b ou a = b

se, e somente se, a > b ou a = b

LEMBRETE: (1) Regra de Sinais

Soma ou Subtrao: o Sinais iguais: soma e repete o sinal; o Sinais diferentes: subtra e d o sinal do maior;

Multiplicao ou Diviso: o Sinais iguais: positivo; o Sinais diferentes: negativos;

(2) Operaes Bsicas com Fraes:

Sejam d c, b, a, :

Soma ou subtrao, onde b 0 e d 0;

bd

cbad

d

c

b

a

Multiplicao, onde b 0 e d 0;

d.b

c.a

d

c.

b

a

Diviso, onde b 0, d 0 e c 0;

c.b

d.a

c

d.

b

a

d

c:

b

a

Obs.: Sempre que possvel simplifique as fraes.

43

Propriedades

1) Se a > b e b > c, ento a > c

2) Se a < b, ento c em IR, a + c < b + c

3) Se a > b e c > d, ento a + c > b + d

4) Se a > b e c > 0, ento a.c > b.c

5) Se a > b e c < 0, ento a.c < b.c

6) Se a > b > 0 e c > d > 0 ento a.c > b.d

Valor Absoluto

Chama-se valor absoluto (mdulo) de um nmero real x ao nmero real no negativo, que satisfaz

as seguintes condies:

Teorema

Intervalos

Intervalo Aberto

Se a < b, o conjunto de todos os nmeros entre a e b chamado intervalo aberto e denotado por

ou

Ou seja,

Intervalo Fechado

Se juntarmos ao intervalo aberto (a, b) os pontos extremos a e b, temos um intervalo

fechado denotado por [a, b].

Ou seja,

.

axouaxax

eaxaaxento0aSe

Exemplo: 55;22

)b,a(

44

Outros intervalos

Semiaberto esquerda:

Semiaberto direita:

Ilimitado fechado esquerda:

Ilimitado aberto esquerda:

Ilimitado fechado direita:

Ilimitado aberto direita:

2.3 Subconjuntos

Todo conjunto A que est contido num conjunto B , diz-se subconjunto ou parte de B.

Se e , ento diz-se que A subconjunto prprio de B.

Exemplos:

1) {1,2,3} subconjunto prprio de {1,2,3,5,7}

2) {x | x = 2k, k } subconjunto N

3) N subconjunto Z

4) Z subconjunto de Q

Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem subconjuntos.

45

Conjunto das partes de um conjunto

Chama-se conjunto das partes de um conjunto E, o conjunto cujos elementos so todas as

partes de C, inclusive a parte cheia E e a parte vazia .

Representao: P(E) = {X | X E

Propriedades

Observao: Se E um conjunto finito com n elementos, ento P(E) tambm um conjunto finito

com elementos.

Exemplos:

P({a}) = {, {a}}

P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}

P () = {}

Complementar de um conjunto

Seja A uma parte (subconjunto) de D.

Chama-se complementar (complemento) de A em relao a D, o conjunto de todos os

elementos de D que no pertencem a A.

Representao:

Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A,

ficando subentendido que se trata do complementar em relao a U, e representa-lo por A ou .

Exemplo: Sejam os conjuntos

46

Propriedades do Complementar

Sejam A e B partes de um conjunto E

Observao: Sejam A e B conjuntos quaisquer num universo U, ento:

2.4 - Operaes com conjuntos

2.4.1. lgebra dos conjuntos

Interseo de dois conjuntos

Chama-se interseo de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que

pertencem simultaneamente a A e a B.

Representao:

Exemplos:

(a) {1,2,3,4}{2,4,6,8}={2, 4}

Os elementos 2 e 4 pertencem simultaneamente aos conjuntos.

(b) {1,2,3,4}{5,6,7,8,9}={ }=

No h elementos comuns aos conjuntos.

47

Conjuntos disjuntos

Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se no tm elementos comuns.

A e B disjuntos

Exemplo:

so disjuntos, porque

Propriedades da Interseo

Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.

Unio de conjunto

Chama-se unio de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertenam a

A ou a B.

Representao:

Exemplos:

Propriedades da Unio

Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.

48

Diferena de dois conjuntos

Chama-se diferena entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que

no pertencem a B.

Representao:

Se A e B so conjuntos num universo U temos

Exemplos:

Sejam os conjuntos:

Note que

Isto , a diferena no comutativa.

Propriedades da diferena

Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U.

49

2.6 - Diagrama de Venn

Os diagramas de Venn que se devem ao filsofo ingls John Venn (1834-

1883) servem para representar conjuntos de maneira grfica mediante desenhos ou diagramas que

podem ser crculos, retngulos, tringulos ou qualquer curva fechada.

O diagrama habitualmente usado para a soluo de problemas que envolvem at trs

conjuntos. Ele ajuda a esmiuar o problema.

Observe os seguintes diagramas:

Todo o retngulo representa o conjunto universo, a regio cinza representa

o conjunto e a regio branca representa (complementar de em

relao ao universo).

A regio cinza com listras horizontais representa o conjunto A. A regio cinza com listras

verticais representa o conjunto B, observe que h uma regio que pertence aos dois conjuntos. Esta

regio a interseo.

Exemplo: Em um conjunto A h 56 elementos em um universo de 100 elementos, neste

universo h mais um outro conjunto B e na interseo entre A e B h 16 elementos. Determine

quantos elementos h no conjunto B, sabendo que h 10 elementos que no pertencem ao

conjuntos A e B:

Se h 56 elementos no conjunto A ento h 44 elementos no complementar de A.

50

Ao inserirmos o conjunto B no diagrama podemos observar que o conjunto A foi dividido em

duas regies: uma dos elementos exclusivos de A e dos elementos que fazem parte da interseo.

Observe que 10 elementos no pertencem aos conjuntos A e B, logo, foram representados

fora desses conjuntos. Apenas uma regio no est com a sua quantidade de elementos

representada, a referente aos elementos exclusivos de B.

No entanto, sabemos que o conjunto universo possui 100 elementos, e para que tal

afirmao seja verdadeira necessrio que a quantidade de elementos exclusivas de B seja igual a

34.

Logo o conjunto B possui 50 elementos.

No caso da unio a simultaneidade no necessria, basta que um elemento

pertena a A ou a B.

Exemplo: Em um universo de 80 elementos, o conjunto A possui 38

elementos, A interseo B possui exatamente 16 elementos, h 12 elementos

que no pertencem aos conjuntos A e B. Quantos elementos fazem parte da unio de A com B? E

quantos elementos so exclusivos de B?

Os 38 elementos pertencentes ao conjunto A foram organizados em duas partes: elementos

que s pertencem a A (22 elementos); elementos pertencentes a A e a B simultaneamente (16

elementos).

51

Para que o universo totalize 80 elementos necessrio que haja 42 elementos pertencentes

exclusivamente a B.

Logo, A unio B possui 68 elementos

No caso da diferena entre dois conjuntos, se refere naquilo que pertence a A e

no pertence A (sendo A B)

Exemplo: Uma pequena cidade do interior possua dois candidatos a

prefeito: Ricardinho, concorrendo pelo PD (partido da direita) e Andr,

concorrendo pelo PE (partido de esquerda). Foi feita uma pesquisa, uma semana antes da eleio,

com 500 eleitores, que deveriam indicar em uma cdula em quem votariam. Os pesquisadores

poderiam votar nos dois candidatos se assim desejassem, em apenas um deles ou ento votar em

branco. No era permitido anular o voto. Os resultados foram os seguintes:

200 eleitores votaram em branco

170 eleitores votaram em PE

320 eleitores no votaram em PE

Determine o nmero de eleitores que votaram exclusivamente em PE e o nmero de

eleitores que votaram em PD e PE simultaneamente:

Observe o diagrama, nosso universo constitudo de 500 eleitores e 200 votaram em branco,

isso significa que 300 votaram em pelo menos um dos candidatos.

Desses 300 eleitores que votaram em pelo menos um dos candidatos, 170 votaram em PE,

logo 130 votaram exclusivamente em PE.

Como 320 eleitores no votaram em PE, temos que 120 eleitores votaram exclusivamente

em PD e 50 eleitores votaram simultaneamente em PE e PD.

52

Dessa forma, 130 votaram exclusivamente em PE e 50 eleitores votaram simultaneamente

em PE e PD.

Exemplo: Uma sala de aula tem 40 alunos, 25 praticam natao e 30 futebol. Quantos alunos

praticam natao e futebol, sabendo que todos os alunos praticam pelo menos uma das

modalidades?

Observe que o objetivo da questo determinar a interseo entre os dois conjuntos. E

inicialmente j podemos afirmar que todos os elementos pertencem a pelo menos um conjunto, j

que todos os alunos praticam pelo menos uma das modalidades.

Dessa forma, x a interseo (o que desejamos definir). Ao somarmos cada regio definida

encontramos o nmero de elementos do conjunto universo. Assim:

25 + + 30 = 40

55 = 40

55 40 =

15 =

= 15

Logo, 15 alunos praticam natao e futebol.

Exemplo que envolve trs conjuntos: Uma populao consome trs marcas de sabo em p:

A, B e C. Feita uma pesquisa do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:

Marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhuma delas

Consumidores 100 200 150 40 30 50 10 20

Pede-se:

a) Nmero de pessoas consultadas

b) Nmero de pessoas que s consomem a mesma marca

c) Nmero de pessoas que no consomem as marcas A e no consomem a marca C

d) Nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas

53

Para podermos responder s questes, vamos montar um diagrama com trs conjuntos A, B

e C. Observe que o cada conjunto composto por quatro regies (O conjunto A est destacado para

tal observao).

Logo, para a organizao do diagrama iniciaremos pela interseo entre os trs conjuntos, j

que esta determina uma nica regio, assim como o nmero de elementos que no pertencem a

nenhum conjunto.

Observe a seguinte informao A e C equivale a 50 consumidores. A regio destacada a

seguir ilustra esta informao, portanto temos que 40 indivduos consomem A e C e no consomem

B.

Levando esta ideia para cada interseo dois a dois, temos:

O prximo passo est ligado a quantidade total de consumidores de cada marca, o total de

cada conjunto. O conjunto A deve totalizar 100 elementos (consumidores), o conjunto B, 200 e o

conjunto C, 100. Para que tais afirmaes sejam verdadeiras, temos que:

Exclusivo de A => 100 -30 -10 40 = 20

Exclusivo de B => 200 -30 -10 20 = 140

Exclusivo de C => 150 -20 -10 40 = 80

54

Agora que temos o diagrama montado, podemos determinar o que foi solicitado:

Nmero de pessoas consultadas => 20 + 30 + 10 + 40 + 140 +20 + 80 + 20 = 360

Nmero de pessoas que s consomem a mesma marca => 20 + 140 + 80 = 240

Nmero de pessoas que no consomem as marcas A e no consomem a marca C => 140 + 20 = 160

Nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas => 10 + 40 + 20 + 30 = 100

1. Defina conjunto.

2. Defina elemento.

3. O que estabelece uma relao de pertinncia?

4. Quais so os tipos de conjunto?

5. Que nome se d aos nmeros expressos pelas fraes decimais infinitas no

peridicas?

55

Unidade III Teorias da Verdade

Nesta unidade voc ir:

Conhecer os conceitos de ignorncia, verdade e dogma.

Definir incerteza.

Descrever insegurana.

Exemplificar as trs teorias da verdade.

56

3.1 - Ignorncia, incerteza, dogma

3.1.1. Ignorncia e verdade

A verdade como um valor

No se aprende Filosofia, mas a filosofar, j disse Kant. A Filosofia no um conjunto de

ideias e de sistemas que possamos apreender automaticamente, no um passeio turstico pelas

paisagens intelectuais, mas uma deciso ou deliberao orientada por um valor: a verdade. o

desejo do verdadeiro que move a Filosofia e suscita filosofias.

Afirmar que a verdade um valor significa: o verdadeiro confere s coisas, aos seres

humanos, ao mundo um sentido que no teriam se fossem considerados indiferentes verdade e

falsidade.

Ignorncia, incerteza e insegurana

Ignorar no saber alguma coisa. A ignorncia pode ser to profunda que sequer a

percebemos ou a sentimos, isto , no sabemos que no sabemos, no sabemos que ignoramos. Em

geral, o estado de ignorncia se mantm em ns enquanto as crenas e opinies que possumos para

viver e agir no mundo se conservam como eficazes e teis, de modo que no temos nenhum motivo

para duvidar delas, nenhum motivo para desconfiar delas e, consequentemente, achamos que

sabemos tudo o que h para saber.

A incerteza diferente da ignorncia porque, na incerteza, descobrimos que somos

ignorantes, que nossas crenas e opinies parecem no dar conta da realidade, que h falhas naquilo

em que acreditamos e que, durante muito tempo, nos serviu como referncia para pensar e agir.

Na incerteza no sabemos o que pensar, o que dizer ou o que fazer em certas situaes ou

diante de certas coisas, pessoas, fatos etc. Temos dvidas, ficamos cheios de perplexidade e somos

tomados pela insegurana.

Outras vezes, estamos confiantes e seguros e, de repente, vemos ou ouvimos alguma coisa

que nos enche de espanto e de admirao, no sabemos o que pensar ou o que fazer com a

novidade do que vimos ou ouvimos porque as crenas, opinies e ideias que possumos no do

conta do novo. O espanto e a admirao, assim como antes a dvida e a perplexidade, nos fazem

querer saber o que no sabemos, nos fazem querer sair do estado de insegurana ou de

encantamento, nos fazem perceber nossa ignorncia e criam o desejo de superar a incerteza.

Quando isso acontece, estamos na disposio de esprito chamada busca da verdade.

57

O desejo da verdade aparece muito cedo nos seres humanos como desejo de confiar nas

coisas e nas pessoas, isto , de acredi