Apostila de Raciocínio Lógico - Resumida

Apostila de Lógica Resumida – Professor Joselias – [email protected]

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Professor Joselias – www.cursoprofessorjoselias.com.br

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APOSTILA DE

RACIOCÍNIO

LÓGICO PARA

CONCURSOS

PÚBLICOS (RESUMIDA)

CURSO PROFESSOR JOSELIAS www.cursoprofessorjoselias.com.br




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Professor Joselias S. da Silva.

Joselias é Bacharel em Estatística, formado pela

Escola Nacional de Ciências Estatísticas(ENCE).

Foi Diretor de Orçamentos do Tribunal Regional

Federal(TRF-3ªRegião), concursado aprovado em

primeiro lugar, e atualmente é professor em

universidades paulistas e cursinhos preparatórios

para concursos públicos.

Atividades atuais:

- Professor de matemática, lógica e estatística no Curso FMB.

- Administrador dos sites:

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LÓGICA

Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.

1 – LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1 - PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 1 Exemplo a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu. As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou podemos expressar também por “O Pedro é mais velho que o João”. Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). 2 Exemplo: Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é verdadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição, pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto também não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”. Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “ Você é professor?”. Imperativos: “Seja um bom marido.”, “ Estude para concursos.” Paradoxos: “Esta sentença é falsa”. Teremos dois princípios no caso das proposições:




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1.2 – PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO

Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor.

1.3 – PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verdadeira. b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa. As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).

1.4 - CONECTIVOS Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “ ”, para

representar a negação).

corresponde a “e” (conjunção)

corresponde a “ou” (disjunção)

corresponde a “se ... então ...” (condicional)

corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional)

⊻ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjunção exclusiva)

Assim podemos ter:

• Negações: (lê-se: não p) 3 Exemplo: Seja a proposição p = “Lógica é difícil”.

A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada por .




5

• Conjunções: p q (lê-se: p e q) 4 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Trabalho e estudo”

• Disjunções: p q (lê-se: p ou q) 5 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Trabalho ou estudo”

• Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) 6 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Se trabalho então estudo”

• Bi-condicionais: p q (lê-se: p se e somente se q) 7 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Trabalho se e somente se estudo”

• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos)

8 Exemplo: Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”

Podemos usar parênteses para evitar ambigüidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

(A prioridade mais alta)

(A prioridade mais baixa)




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2 - TABELA VERDADE

O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo.

a) Tabela verdade da negação (p) (não p)

Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q)

A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q)

A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

p p

V F

F V

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F




7

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q)

A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira.

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa.

f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q)

A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa.

p q p ⊻ q

V V F

V F V

F V V

F F F

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V




8

Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q:

TABELA VERDADE

p q p pq pq p q p q p ⊻ q

V V F V V V V F

V F F V F F F V

F V V V F V F V

F F V F F V V F

9 Exemplo Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Corre” q = ”O bicho pega” Descrever as seguintes proposições abaixo:

a) p

b) p q

c) p q

d) p q

e) p q

f) p ⊻ q

Solução:

a) p = “Não corre”

b) p q = “Corre ou o bicho pega”

c) p q = “Corre e o bicho pega”

d) p q = “Se corre, então o bicho pega”

e) p q = “Corre se e somente se o bicho pega”

f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos”




9

10 Exemplo Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo

p q p q pq pq pq pq p q p ⊻ q

V V

V F

F V

F F

Solução:

p q p q pq pq pq pq p q p ⊻ q

V V F F V F F F V F

V F F V V F F V F V

F V V F V F F V F V

F F V V F V V V V F

11 Exemplo

Determinar o valor verdade da proposição R (P Q), sabendo-se que VAL

(P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

Solução

P Q R P Q R (P Q)

V V V V V

V V F V F

V F V F F

F V V F F

V F F F V

F V F F V

F F V F F

F F F F V

Logo o VAL(R (P Q)) = V

12 Exemplo




10

(STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E). a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Solução

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma proposição simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. 13 Exemplo Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. e) A proposição A é sempre falsa.

Solução Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B




11

3 - TAUTOLOGIA

São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição composta. 14 Exemplo

a) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p p

V F V

F V V

b) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p

V V

F V

c) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

p (p) (p) (p) p

V F V V

F V F V




12

d) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre

verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q.

p q (pq) p (pq) (pq) (pq)

V V V F V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

e) A proposição (p q) (q p) é uma tautologia, pois é sempre


p q (pq) q p (qp) (pq) (qp)

V V V F F V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V V

A tautologia (p q) (q p) é conhecida como contra-positiva.

f) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre


p q (p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q)

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

A tautologia (p q) (p q) é conhecida como tautologia de Morgan.




13

g) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre


p q (p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q)

V V V F F F F V

V F V F F V F V

F V V F V F F V

F F F V V V V V

A tautologia (p q) (p q) também é conhecida como tautologia

de Morgan.

h) A proposição (pq) (p q) é uma tautologia, pois é sempre


p q (pq)

(pq)

q (p q) (pq) (p q)

V V V F F F V

V F F V V V V

F V V F F F V

F F V F V F V

3.1 – LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS

a) (p p)

b) (p p)

c) (p p) (Identidade)

d) (p q) (p q)

e) (p q) (q p) (Contra-positiva)

f) (p q) (p q) (Morgan)

g) (p q) (p q) (Morgan)

h) (p) p (Negação dupla)

i) (p q) (p q)




14

4 - CONTRADIÇÕES São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição composta. 15 Exemplo

A proposição (p p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p p

V F F

F V F

5 - CONTINGÊNCIA

São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência. 16 Exemplo

A proposição (p q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. 17 Exemplo

a) (p p) (p p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira.

b) (p p) (p p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa.

p q q (p q)

V V F F

V F V V

F V F F

F F V F




15

18 Exemplo Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira.

Solução A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos, então filosofamos”,

pois é a tautologia (p p). Resposta: A

6 - EQUIVALÊNCIA

Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas possuem a mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes devemos comparar as suas valorações. 19 Exemplo

a) A proposição (pq) é equivalente a (qp).

b) A proposição (pq) é equivalente a (qp).

p q (pq) (qp)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F F

p q (p q) (q p)

V V V V

V F F F

F V F F

F F F F




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c) A proposição (p q) é equivalente a (q p).

d) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

p q (pq) p (pq)

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

e) A proposição (p q) é equivalente a (q p).

A equivalência entre (p q) e (q p) é chamada de contra-positiva.

p q (p q) q p (q p)

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

p q (p q) (q p).

V V V V

V F F F

F V F F

F F V V




17

f) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equivalência de Morgan.

p q (p q) (p q) p q (p q)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

g) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equivalência de Morgan.

p q (p q) (p q) p q (p q)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

LISTA DE ALGUMAS EQUIVALENCIAS COMUNS

a) (p q) é equivalente a (q p)

b) (p q) é equivalente a (q p)

c) (p q) é equivalente a (q p)

d) (p q) é equivalente a (p q)

e) (p q) é equivalente a (q p)

f) (p q) é equivalente a (p q)

g) (p q) é equivalente a (p q)

h) (p) é equivalente a p

i) (p q) é equivalente a (p q)




18

20 Exemplo Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

Solução (Se Pedro é economista, então Luisa é solteira)

p q

é equivalente(contra-positiva) a

q p

(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) Resposta: E 21 Exemplo

Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a ( p q) é

a) (p q)

b) (p q)

c) (p q)

d) (p q)

e) (~p q) Solução

(p q) é equivalente a (p q) é a equivalência de Morgan. Resposta: A 22 Exemplo Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Solução (André é artista ou Bernardo não é engenheiro) A expressão acima é equivalente a:

(Bernardo não é engenheiro ou André é artista)

p q

é equivalente a

p q

(Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista) Resposta: D




19

23 Exemplo Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Solução (Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista)

p q

é equivalente a

p q

(Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista) Resposta: A 24 Exemplo (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: (A) não sabe matemática e sabe português. (B) não sabe matemática e não sabe português. (C) sabe matemática ou sabe português. (D) sabe matemática e não sabe português. (E) sabe matemática ou não sabe português.

Solução

(não sabe matemática ou sabe português)

é equivalente a (Morgan)

(sabe matemática e não sabe português)

Resposta: D 25 Exemplo A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: (A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. (B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. (D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. (E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Solução “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris”

Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)

Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)

Não é verdade que p q

é equivalente a




20

Não é verdade que p q

é equivalente a Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”

Resposta: D 26 Exemplo Dizer que “João não é honesto ou José é alto” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se João é honesto, então José não é alto. b) se João não é honesto, então José é alto. c) se José é honesto, então João é alto d) se João não é alto, então José não é honesto e) se João é honesto, então José é alto.

Solução “João não é honesto ou José é alto” é equivalente a “Se João é honesto então José é alto” Resposta: E 27 Exemplo A negação de “se correr, o bicho pega” é: (A) corre ou o bicho pega. (B) corre e o bicho pega. (C) se não corre, bicho não pega (D) corre e o bicho não pega. (E) se o bicho pegar então corre.

Solução A negação de “se correr, o bicho pega” é “corre e o bicho não pega” Resposta: D

7 – NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta

com n proposições simples é 2n.

28 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 21 = 2 linhas.

p

V

F




21

29 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas. 30 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 23 = 8 linhas.

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

7.1 – NÚMERO DE PROPOSIÇÕES NÃO-EQUIVALENTES

O número de proposições não equivalentes, tabelas-verdade distintas, com n

proposições simples é

22n

. 31 Exemplo O número de valorações, tabelas distintas, com uma proposição simples é

.

p q

V V

V F

F V

F F




22

Observe que:

P1 é equivalente a (p p). P2 é equivalente a p.

P3 é equivalente a p.

P4 é equivalente a (p p). 32 Exemplo O número de valorações, tabelas distintas, com duas proposições simples é

.

p q P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V F

8 - PROPOSIÇÃO CONDICIONAL

(p q)

8.1 – CONDIÇÕES NECESSÁRIAS E SUFICIENTES

Na condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição consequente q é chamada de condição necessária para p. 33 Exemplo Sejam as proposições:

p P1 P2 P3 P4

V V V F F

F V F V F




23

p = “João é paulista”. q = “João é brasileiro”.

Temos que a proposição (p q) representa a seguinte sentença: “Se João é paulista, então João é brasileiro”.

Podemos dizer que a sentença “João é paulista” é condição suficiente para a sentença “João é brasileiro”. Por outro lado a sentença “João é brasileiro” é condição necessária para a sentença “João é carioca”.

A proposição (p q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como segue: a) Se p, então q. b) Se p, q. c) q, se p d) p implica q. e) p acarreta q. f) p é suficiente para q. g) q é necessário para p. h) p somente se q. i) p apenas se q.

34 Exemplo A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” pode ser lida como: a) Se João é paulista, então João é brasileiro. b) Se João é paulista, é brasileiro. c) João é brasileiro, se é paulista. d) João ser paulista implica João ser brasileiro. e) João ser paulista acarreta João ser brasileiro. f) João ser paulista é suficiente para João ser brasileiro. g) João ser brasileiro é necessário para João ser paulista. h) João é paulista somente se é brasileiro. i) João é paulista apenas se é brasileiro.

8.2 – RECÍPROCA, CONTRÁRIA E CONTRA-POSITIVA

Se p e q são proposições então:

Recíproca

Chamamos de recíproca de (p q) a proposição (q p).

Contrária

Chamamos de contrária de (p q) a proposição (p q).

Contra-positiva

Chamamos de contra-positiva de (p q) a proposição (q p).




24

35 Exemplo Considere a sentença condicional “Se João é paulista, então João é brasileiro”. Podemos dizer que: A recíproca é “Se João é brasileiro então João é paulista”. A contrária é “Se João não é paulista então João não é brasileiro”. A contra-positiva é “Se João não é brasileiro então João não é paulista”.

8.3 - EQUIVALÊNCIA DE (p q)

Algumas equivalências da condicional surgem com muita freqüência, conforme listamos abaixo:

8.3.1 - (p q) é equivalente a (p q) (Se p então q) é equivalente a (não p ou q).

36 Exemplo A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é equivalente a “João não é paulista ou João é brasileiro”.

8.3.2 - (p q) é equivalente a (q p) (Se p então q) é equivalente a (Se não-q então não-p).

(Contra-positiva) 37 Exemplo A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é equivalente a “Se João não é brasileiro, então João não é paulista”.

8.3.3 - (p q) é equivalente a (p q) A negação de (Se p, então q) é (p e não-q)

38 Exemplo A negação da sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é equivalente a “João é paulista e João não é brasileiro”.

9 – BI-CONDICIONAL (IMPLICAÇÃO DUPLA)

(p q)




25

Na bi-condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada de condição necessária e suficiente para p. 39 Exemplo Sejam as proposições: p = “Estuda”. q = “Trabalha”.

Temos que a proposição (p q) representa a seguinte sentença: “Estuda se e somente se trabalha”. Podemos dizer que a sentença “Estuda” é condição necessária e suficiente para a sentença “Trabalha”. Por outro lado a sentença “Trabalha” é condição necessária e suficiente para a sentença “Estuda”.

A proposição (p q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como segue: a) p se e somente se q. b) p se e só se q. c) p é condição necessária e suficiente para q e p é equivalente a q 40 Exemplo A proposição “Estuda se e somente se trabalha”pode ser enunciada também das seguintes maneiras: a) “Estuda se e somente se trabalha” b) “Estuda se e só se trabalha”. c) “Estudar é condição necessária e suficiente para trabalhar”. d) “Estudar é equivalente a trabalhar”.

9.1 – EQUIVALÊNCIA DE (p q)

Algumas equivalências da proposição (p q) são muito freqüentes.

9.1.1 - (p q) é equivalente a (p q) (q p) Portanto (p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q então p).

9.1.2 - (p q) é equivalente a (q p) (contra-positiva)

Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se não p).

9.1.3 - (p q) é equivalente a (q p) (recíproca)

Portanto (p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p).




26

9.1.4 - (p q) é equivalente a (p q) (contrária)

Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se não q).

9.1.5 - (p q) é equivalente a (p q) Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se somente se não q).

10 – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU EXCLUSIVO)

p q

A proposição p q representa a disjunção exclusiva (ou exclusivo), e

significa “ou p, ou q, mas não ambos”. A tabela verdade desta proposição composta será F quando ambos p e q forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade:

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

41 Exemplo Sejam as proposições: p = “Trabalho” q = “Estudo”

A proposição p q significa “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”.

10.1 – EQUIVALÊNCIA DE p q

Entre as equivalências da proposição p q destacamos algumas das

mais freqüentes:

10.1.1 - p q É EQUIVALENTE A (p q) (p q)




27

Portanto (ou p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não-q) ou (não-p e q)”.

10.1.2 (p q) É EQUIVALENTE A p q Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (ou p ou q, mas não ambos).

11 - NEGAÇÃO

(, ~)

A proposição p representa a negação da proposição p. Se a

proposição p é verdadeira então a proposição p é falsa. Se a proposição p é

falsa então a proposição p é verdadeira.

Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é p = “Eu não estudo”. Negamos as proposições compostas conforme o quadro abaixo:

PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO

p p

(p) p

(p q) (p q)

(p q) (p q)

(p q) (p q )

(p q) (p q)

(p q) p q

42 Exemplo A negação da sentença “Eu trabalho” é “Eu não trabalho” 43 Exemplo A negação da sentença “Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo” 44 Exemplo A negação da sentença “Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”. 45 Exemplo




28

A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não estudo”. 46 Exemplo A negação da sentença “Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se somente se não estudo”. 47 Exemplo A negação da sentença “Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”.

12 - SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS GERAIS

As proposições são declarações que podem ser verdadeiras ou falsas, mas não podem receber ambos valores. Portanto as sentenças abaixo são proposições: a) João é um médico. b) 10 é um número natural. c) 10+ 10 > 20 Considere agora as seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributo verdadeiro ou falso: 1) X é um médico. 2) n é um número natural. 3) x + y >20 Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentenças abertas acima, teremos as proposições dos casos anteriores a, b e c respectivamente. Há outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.

Quantificador universal

- Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”.

Quantificador Existencial

- Significa “Existe ...”, “Há um ...”. Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas em proposições falsas ou verdadeiras, por exemplo: 48 Exemplo

A sentença “ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira. 49 Exemplo




29

A sentença é uma proposição falsa. As proposições que utilizam quantificadores são chamadas de sentenças gerais.

12.1 – NEGAÇÕES DE SENTENÇAS GERAIS Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x. A negações de algumas sentenças gerais podem ser da forma abaixo:

x Px é equivalente a x Px

x Px é equivalente a x Px

x Px Qx é equivalente a x Px Qx



50 Exemplo Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições compostas quatro átomos é: a) 3 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

Solução O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n

proposições simples é 2n. Logo o número de linha será 24=16 linhas.

Resposta: E 51 Exemplo Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposições não equivalentes de três átomos é: a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

Solução




30

O número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de n

proposições simples é 22

n

. Logo o número de proposições não equivalentes

de três átomo é 32 82 2 256 .

Resposta: E

52 Exemplo Sabe-se que se 4x então 2y . Podemos daí concluir que:

a) Se 4x então 2y .

b) Se 4x então 2y .

c) Se 2y então 4x .

d) Se 2y então 4x .

e) Se 2y então 4x .

Solução 4x então 2y

p q

é equivalente(contra-positiva) a

q p

é equivalente

Se 2y então 4x

Resposta: D 53 Exemplo

A negação da proposição " 3 2"x y é:

a) " 3 2"x y

b) " 3 2"x y

c) " 3 2"x y

d) " 2 3"x y

e) " 3 2"x y

Solução

( 3 2)x y

é equivalente a (Morgan)

( 3 2)x y

Resposta: C

Texto para os itens de 54 a 57. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os

símbolos , e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro (V)




31

ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

54 Exemplo

P Q é verdadeira. Solução

P Q

V V

F V

V

Resposta: Certo. 55 Exemplo

[(P Q) (R S)] é verdadeira. Solução

[(V V) (V V)]

[(F V) (F V)]

[V V]

V

F

Resposta: Errado.

56 Exemplo

[P (QS) ] ([(R Q) (P S)] ) é verdadeira.

Solução

[P (QS) ] ([(R Q) (P S)] )

[V (VV) ] ([(V V) (V V)] )

[V V ] ([V V] )

V (V )

V F

F

Resposta: Errado.




32

57 Exemplo

(P (S)) (Q (R)) é verdadeira.

Solução

(P (S)) (Q (R))

(V (V)) (V (V))

(V F) (V F)

V V

V

Resposta: Certo. 58 Exemplo (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: (A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. (B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. (D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.

Solução Pela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e. Logo é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. Resposta: D 59 Exemplo

A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y é:

a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

Solução

( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

( ) ( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

( )( ) ( 2 ( 0 0))x y x y x y

( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

Resposta: C




33

13 - ARGUMENTO

É um conjunto de proposições em que algumas delas implicam outra proposição. Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os argumentos da seguinte maneira:

p1 p2 p3 . . .

pn

q 60 Exemplo Se chover então fico em casa. Choveu. Fico em casa. 61 Exemplo Todas as mulheres são bonitas. Maria é mulher. Maria é bonita. 62 Exemplo João ganha dinheiro ou João trabalha João ganha dinheiro. João não trabalha

13.1 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos são divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos. A noção de argumento dedutivo gera a idéias de transportar o geral ao particular, isto quer dizer que a conclusão apenas ratifica o conteúdo das premissas. 63 Exemplo O argumento abaixo é dedutivo, pois o conteúdo da conclusão é conseqüência apenas das premissas. Todas as mulheres são princesas. Todas as princesas são bonitas. Todas as mulheres são bonitas.




34

A noção de argumento indutivo gera a idéia de transportar o particular para o geral, portanto a conclusão não é derivada apenas das premissas. 64 Exemplo O argumento abaixo é indutivo, pois o conteúdo da conclusão não é conseqüência apenas das premissas. Segunda-feira choveu. Terça-feira choveu. Quarta-feira choveu. Quinta-feira choveu. Amanhã vai chover. Para os argumentos dedutivos haverá uma classificação como válidos ou não válidos. Os argumentos dedutivos válidos são raciocínio corretos, e os não válidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica aos argumentos indutivos.

ã

Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras implica que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. 65 Exemplo No exemplo 63 observamos não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido.




35

Vamos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos A é B. Todo B é C.

Todo A é C

13.2 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS

Sabemos que a classificação de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposições do argumento. Sabemos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Veremos agora alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

13.2.1 - Afirmação do antecedente(modus ponens)

O argumento válido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte estrutura:

Se p, então q. p

q Ou

Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da condição necessária. 66 Exemplo

Se ama, então cuida. Ama.

Cuida.




36

67 Exemplo Se é divisível por dois, então é par.

É divisível por dois.

É par.

13.2.2 - Negação do consequente(modus tollens)

O argumento válido chamado de negação do consequente possui a seguinte estrutura:

q

Nesse argumento a negação da condição necessária garante a negação da condição suficiente. 68 Exemplo

Se ama, então cuida. Não cuida.

Não ama.

69 Exemplo

Se é divisível por dois, então é par. Não é par.

Não é divisível por dois.

13.2.3 - Dilema Outro argumento válido é o dilema. Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opções levam a algumas consequências, e nesse caso a conclusão será pelo menos uma das consequências.

p ou q.

Se p então r. Se q então s. r ou s




37

70 Exemplo João estuda ou trabalha.

Se João estudar será feliz. Se João trabalhar será rico.

João será feliz ou rico.

13.3 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO-VÁLIDOS Chamaremos de falácias aos argumentos com estruturas não válidas. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão.

13.3.1 - Falácia da negação do antecedente Negando o antecedente em uma condicional não podemos obter conclusão, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da negação do antecedente possui a seguinte estrutura:

71 Exemplo Se ama, então cuida.

Não ama.

Não cuida.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não amar não garante que não cuida. 72 Exemplo

Se chover, ficarei em casa. Não está chovendo

Não ficarei em casa.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de está chovendo não garante se ficarei ou não em casa.




38

73 Exemplo

Se eu for eleito, acabará a miséria. Não fui eleito.

A miséria não acabará

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não ser eleito não implica que a miséria não acabará.

13.3.2 - Falácia da afirmação do consequente Afirmando o consequente em uma condicional não podemos obter conclusão sobre a afirmação do antecedente, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da afirmação do consequente possui a seguinte estrutura:

74 Exemplo Se ele ama, então cuida.

Ele cuida.

Ele ama.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de ele cuidar não garante que ele ama. 75 Exemplo

Se chover, ficarei em casa. Fiquei em casa

Choveu.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que choveu. 76 Exemplo

Se eu for eleito, acabará a miséria. Acabou a miséria.

Fui eleito




39

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a miséria não implica que fui eleito.

14 - PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES

Podemos classificar algumas sentenças como proposições universais ou particulares. Nas proposições universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto. 77 Exemplo “Todas as mulheres são vaidosas” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

78 Exemplo “A mulher é s bia” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. 79 Exemplo “Algumas mulheres são vaidosas” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

14.1 - Proposições afirmativas e negativas As proposições podem ser classificas como afirmativas ou negativas. 80 Exemplo “Nenhuma mulher é vaidosa” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”. 81 Exemplo “Algumas mulheres não são vaidosas” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”. Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.




40

Silogismo categórico de forma típica

O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será argumento formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: • Termo menor – sujeito da conclusão. • Termo maior – predicado da conclusão. • Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. 82 Exemplo Todos os brasileiros são alegres. Todos os alegres são felizes. Todos os brasileiros são felizes. Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo médio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres. Premissa maior: Todos os alegres são felizes.

15 – DIAGRAMAS LÓGICOS a) Universal afirmativa (A)

“Todo S é P”

Observação: - A negação de “Todo S é P” é “Algum S não é P”.




41

b) Universal negativa (E) “Nenhum S é P”

Observação: - “Nenhum S é P” é equivalente a ” Nenhum P é S”. - A negação de “Nenhum S é P” é “Algum S é P”. c) Particular Afirmativa (I)

“Algum S é P”

Observação: - “Algum S é P” é equivalente a ” Algum P é S”. - “Algum S é P” é equivalente a ” Pelo menos um S é P”. - A negação de “Algum S é P” é “Nenhum S é P”. d) Particular negativa (O)

“Algum S não é P”

Observação: - A negação de “Algum S não é P” é “ Todo S é P”. 83 Exemplo A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é: a) nenhuma criança é levada. b) existe pelo menos uma criança que não é levada. c) não existem crianças levadas. d) algumas crianças são levadas. c) existe pelo menos uma criança levada.




42

Solução A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é “Algumas crianças não são levadas”, que é equivalente a “existe pelo menos uma criança que não é levada”. Resposta B. 84 Exemplo A negação da proposição “Todo A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B.

Solução A negação da proposição “Todo A é B” é “Algum A não é B”. Resposta A. 85 Exemplo A negação da proposição “Nenhum A é B” é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B.

Solução A negação da proposição “Nenhum A é B” é “Algum A é B”. Resposta A. 86 Exemplo A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas.

e) Todas as mulheres não são bonitas Solução

A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é “Algumas mulheres não são bonitas”. Resposta D. 87 Exemplo Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco.

Solução




43

A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta que “Algum matemático não seja louco”. Resposta: E 88 Exemplo Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

Solução Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo:

Assim concluímos que algum A é C. Resposta: C 89 Exemplo Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele é pobre mas me ama. b. Ele é rico mas é pão duro. c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e. Ele não me ama e não casa comigo.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:

Ele me ama ele casa comigo (V)

Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)




44

Como a terceira premissa é verdadeira temos:

F

V



Vou trabalhar (V)

Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V



Vou trabalhar (V)

Conseqüentemente obtemos:

F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)


Vou trabalhar (V)

Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:

F F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)


Vou trabalhar (V)

Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão as conclusões: Vou trabalhar.(V) Ele não casa comigo.(V) Ele não me ama.(V) Resposta: E




45

90 Exemplo (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Solução Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras.

Homero não é honesto Júlio é justo (V)

Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)

Beto é bondoso Júlio não é justo (V)

Beto não é bondoso Homero é honesto (V)

Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos uma proposição com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hipótese sobre alguma delas. Se a hipótese for correta encontraremos a resposta final, se não for correta chegaremos a um absurdo e nesse caso trocamos a hipótese e teremos a resposta. Suponhamos que a proposição “Homero não é honesto” é verdadeira. Então pela hipótese teremos:

V

F




Beto não é bondoso Homero é honesto

F

(V)

Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição “Beto não é bondoso” tem que ser verdadeira. Então teremos:

V

F F

F

V




Beto não é bondoso

F

Homero é honesto (V)




46

Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição “Júlio não é justo” tem que ser verdadeira. Então teremos:

V F

F FF

F V




B

V F

eto não é bondoso Homero é honesto (V)

Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas e a premissa é verdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a proposição “Homero não é honesto” deve ser falsa. Mudando a nossa hipótese inicial teremos que a proposição “Homero não é honesto” é falsa. Sendo assim vamos refazer o exercício com a nova hipótese correta:

F

V




Beto não é bondoso Homero é honesto

V

(V)

Temos pela primeira premissa que “Júlio é justo” tem que ser verdadeira.

F V

V V

F




Beto não é bondos

V

o Homero é honesto (V)

Temos pela primeira premissa que “Beto é bondoso” tem que ser verdadeira.




47

F V

V VV

V F




B

F V

eto não é bondoso Homero é honesto (V)

Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto é bondoso. Resposta: C

(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por , então obtém-se a forma

P Q , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso

contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por , então obtém-se a forma P Q , lida como “P ou Q” e

avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue item abaixo.

91 Exemplo Considere as seguintes proposições: P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganha dinheiro”.

Solução Argumento: ¬P Q (V) ¬P (V) ¬Q Suponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então: ¬P Q (V) ¬P (V) ¬Q Temos que a proposição ¬Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento é NÃO VÁLIDO Resposta: Errado




48

(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma

proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma AB, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.

92 Exemplo Uma expressão da forma ¬(A¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição AB.

Solução Basta saber que ¬ (A B) é equivalente a (A¬ B) Resposta: Correto.

93 Exemplo Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.

Solução Trata-se da falácia conhecida como negação do antecedente. Resposta: Errado.

94 Exemplo A proposição simbolizada por (AB) (BA) possui uma única valoração

F.

Solução Vamos fazer a tabela verdade de (AB) (BA)

A B (AB) (BA) (AB)(BA)

V V V V V

V F F V V

F V V F F

F F V V V

Resposta: Correto.




49

95 Exemplo Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.

Solução Podemos ter a proposição verdadeira de modo que:

FV

V

Silvia ama Joaquim Silvia ama Tadeu

Resposta: Errada.

16 - ANÁLISE COMBINATÓRIA

16.1 - PROBLEMA DA CONTAGEM

A análise combinatória surge como uma ferramenta eficiente para problemas de contagem, conforme os exemplos abaixo: - (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada — entre salada verde, salpicão e mista —, um prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente? - As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições? Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamos começar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge a análise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem.

16.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrência de B é m x n. 96 Exemplo (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada — entre salada verde, salpicão e mista —, um




50

prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente?

Solução Vamos dividir a formação da refeição em três acontecimentos: Primeiro acontecimento: Escolher a salada – 3 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher o prato principal – 4 maneiras distintas. Terceiro acontecimento: Escolher a sobremesa – 2 maneiras distintas. Aplicando o princípio fundamental da contagem teremos: 3 x 4 x 2 = 24 maneiras distintas de refeições completas. 97 Exemplo As chapas dos automóveis são formadas por três letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições?

Solução Como as placas são formadas por três letras e quatro algarismos, vamos seguir a configuração abaixo, onde L representa uma letra escolhida no alfabeto de vinte e seis letras e N representa uma algarismo do sistema decimal.

L L L N N N N Primeiro acontecimento: Escolher a primeira letra – 26 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher a segunda letra – 26 maneiras distintas. Terceiro acontecimento: Escolher a terceira letra – 26 maneiras distintas. Quarto acontecimento: Escolher o primeiro algarismo - 10 maneiras distintas. Quinto acontecimento: Escolher o segundo algarismo – 10 maneiras distintas. Sexto acontecimento: Escolher o terceiro algarismo – 10 maneiras distintas. Sétimo acontecimento: Escolher o quarto algarismo – 10 maneiras distintas. Aplicando o princípio fundamental da contagem temos: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas.




51

98 Exemplo (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: a. 54 b. 56 c. 58 d. 60 e. 64

Solução Com um algarismo temos 4 números. Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números. Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números. Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números. Logo o total de números com os algarismos distintos é 64. Resposta: E 99 Exemplo Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9 ?

Solução Seja o esquema:

Observamos que os números m ser deve ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares. Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la em primeiro lugar” Sendo assim, temos: Posição C - 2 possibilidades (algarismos 2, 6) Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números.

16.3 - FATORIAL

Seja n um número natural maior que um. Chamamos de n fatorial a:




52

100 Exemplo a) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 b) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 c) 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5040. 101 Exemplo

Simplificar:

10!

7!

Solução

10! 10 9 8 7!10 9 8 720

7! 7!

16.4 - ARRANJOS SIMPLES

Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p n. Chamamos de arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos de A. Como o subconjunto é ordenado, temos que os arranjos são distintos quanto a ordem.

Chamaremos de p

nA ao número de arranjo de n objetos, p a p.

A fórmula ( 1)( 2)...( 1)p

nA n n n n p também pode ser escrita

como !

( )!

p

n

nA

n p

.

102 Exemplo Quais são os arranjos dos objetos a, b e c tomados 2 a 2?

Solução ab, ba, ac, ca, bc e cb. São seis arranjos tomados 2 a 2. 103 Exemplo

a) 3

5 5 4 3 60A




53

b) 4

7 7 6 5 4 840A

c) 2

6 6 5 30A

104 Exemplo Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos significativos?

Solução Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Então teríamos: Para a primeira posição - 9 possibilidades Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades Para a terceira posição, após preencher duas primeiras posições - 7 possibilidades. Daí pelo princípio da multiplicação

3

9 9 8 7 504A

16.5 - PERMUTAÇÃO SIMPLES

Chamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses n elementos tomados em qualquer ordem.

O número de permutação de n objetos distintos, denotamos por Pn a:

Logo

( 1)( 2)( 3)....1

!

n

n

P n n n n

P n




54

105 Exemplo Quais são as permutações simples dos objetos a, b e c?

Solução abc, acb, bac, bca, cab e cba. São seis permutações simples. 106 Exemplo Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra ESTUDO?

Solução

P6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas. 107 Exemplo Calcular quantos números de cinco algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?.

Solução P5= 5! = 120 anagramas.

17 - PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO




55

108 Exemplo Quantos anagramas possui a palavra BANANA?

Solução

anagramas.

109 Exemplo Quantas anagramas possui a palavra ARROZ?

Solução

anagramas.

110 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL?

Solução

anagramas.

111 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL começando com consoante?

Solução Primeira posição: 3 maneiras distintas de uma consoante. Nas outras cinco posições teremos:

maneiras distintas.

Aplicando o princípio fundamental da contagem temos 3 x 60 = 180 anagramas começando com consoante. 112 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL começando com vogal?

Solução Pelos dois exemplos anteriores temos 360 – 180 = 180 anagramas começando com vogal. 113 Exemplo (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? a) 4! 3! b 2! 4! 3! c. 24 d. 12 e. 7

Solução




56

Podemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa. Logo temos 4 x 3 + 3 x 4 = 24 modos. Resposta: C

18 - COMBINAÇÕES SIMPLES Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A. Indicamos o número de combinações dos n elementos tomados k a k por:

!

!( )!

k

n

nC

k n k

ou

!

!( )!

n n

k k n k

Exemplo Quais são as combinações dos objetos a,b e c, tomados 2 a 2?

Solução ab, ac e bc. São três combinações tomadas 2 a 2. 114 Exemplo

a) 2

3

3! 3! 3 2! 33

2! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!C

b) 3

7

7! 7! 7 6 5 4! 7 6 57 5 35

3!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!C

c) 5

8

8! 8! 8 7 6 5! 8 7 68 7 56

5!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!C

115 Exemplo Com seis alunos, quantas comissões com dois alunos podemos formar?

Solução

2

6

6! 6! 6 5 4! 6 515

2!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!C

comissões.




57

116 Exemplo Quantas diagonais possui o pentágono regular?

Solução

Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir dois

vértices; como possuo 5 vértices teremos 2

5C modos

de unir dois vértices, isto é, 10 modos. Por outro lado, quando unimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos contando os lados do pentágono, logo, o número de diagonais é 10 – 5 = 5 diagonais.

117 Exemplo (OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de salgadinhos dos quais só 4 seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só dois tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

Solução

4 quentesTipos de salgadinhos

6 frios

Travessa 2 2

4 6 6 15 90C C modos.

118 Exemplo (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos os triângulos distintos que se podem formar é: a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 15

Solução

O numero de triângulos que podemos formar è 3

5 10C triângulos.

Resposta: D 119 Exemplo (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada elemento é zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam ser representadas é: a) 5




58

b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Solução Com um elemento podemos representar 21 = 2 letras. Com dois elementos podemos representar 22 = 4 letras. Com três elementos podemos representar 23 = 8 letras. Com quatro elementos podemos representar 24 = 16 letras. Com cinco elementos podemos representar 25 = 32 letras. Resposta: A 120 Exemplo (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B, deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?

a) 126 b) 858 c) 326 d) 954 e) 386

Solução Cada caminho terá quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para a direita (D). Logo o número de caminhos será o número de permutações de nove elementos, sendo 4 iguais a C e 5 iguais a D.

4,5

9

9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6126

4!5! 4!5! 4!P

caminhos.

Resposta: A

19 - SEQUÊNCIAS RECCORRENTES OU RECURSIVAS Chamamos de sequência recursiva (ou recorrente) quando um determinado termo pode ser calculado em função de termos antecessores. 121 Exemplo




59

A sequência dos números naturais pares 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... pode

ser definida pela seguinte equação de recorrência: ,

para , com .

122 Exemplo

A progressão aritmética de razão igual a 5 e primeiro termo igual a

1 (1, 6, 11, 16,...) pode ser definido pela seguinte equação de recorrência:

, para , com .

123 Exemplo

A sequência de números triangulares, cujos termos são 1, 3, 6, 10,

15, ... pode ser definida pela seguinte equação de recorrência: : , para , com .

124 Exemplo A sequência {an} de Fibonacci, cujos termos são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

pode ser definida pela seguinte equação de recorrência: , para , com e .

A ordem da recorrência é o maior deslocamento na equação de recorrência. Assim temos que as equações dos exemplos 121, 122 e 123 são de primeira ordem, e a equação do exemplo 124 é de segunda ordem. A equação de recorrência será dita linear se um determinado termo é função do primeiro grau nos termos anteriores. 125 Exemplo

a) é linear.

b) é linear.

c) é linear.

d) é linear.

e) não é linear.

f)

não é linear.

A equação de recorrência homogênea é aquela em que o termo independente é zero. 126 Exemplo

a)




60

b)

20 - VERDADES E MENTIRAS – ASSOCIAÇÕES 127 Exemplo Um julgamento envolveu três réus. Cada um dos três acusou um dos outros dois. Apenas um deles é culpado. O primeiro réu foi o único que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusação) tivesse acusado alguém diferente, mas não a si mesmo, o segundo réu teria sido o único a dizer a verdade. Conclui-se que: a) O primeiro réu é inocente e o segundo é culpado b) O primeiro réu é inocente e o terceiro é culpado c) O segundo réu é inocente e o primeiro é culpado d) O terceiro réu é inocente e o primeiro é culpado e) O terceiro réu é inocente e o segundo é culpado

Solução: No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o único que disse a verdade, concluímos que o primeiro é inocente. No segundo caso, concluímos analogamente que o segundo réu é inocente. Logo, o culpado é o terceiro réu. Opção correta: B 128 Exemplo (FGV) – Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos? a) Zero b) Um c) Dois d) Três e) Quatro

Solução Primeiramente observe que um político nunca fala que ele é político, e que um não político sempre responde que é não político. Logo, a resposta do primeiro nativo só pode ter sido não político. Como o segundo nativo informou que o primeiro nativo negou ser um político, então o segundo nativo disse a verdade, portanto, o segundo nativo é não político. Quanto ao terceiro nativo, temos: Se o nativo III é político então o nativo I é não político Se o nativo III é não político então o nativo I é político




61

Logo, teremos sempre um político. Resposta: B 129 Exemplo Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado” Edu: “Tarso é o culpado” Juarez: “Armando disse a verdade” Tarso: “Celso mentiu” Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso

Solução Observe que temos uma contradição entre as declarações de Celso e Tarso, portanto um deles diz a verdade e outro diz mentira. Como há apenas uma declaração falsa, temos que é a declaração do Celso ou Tarso. Logo as outras declarações são verdadeiras. Conseqüentemente a declaração do Edu(Tarso é o culpado) é verdadeira. Concluímos que o Tarso é o culpado. Resposta: E 130 Exemplo Sabe-se que um dos quatro indivíduos Marcelo, Zé Bolacha, Adalberto ou Filomena cometeu o crime da novela “A próxima Vítima”. 0 delegado Olavo interrogou os quatro obtendo as seguintes respostas: - Marcelo declara: Zé Bolacha é o criminoso. - Zé Bolacha declara: O criminoso é Filomena. - Adalberto declara: Não sou o criminoso. - Filomena protesta: Zé Bolacha está mentindo. Sabendo que apenas uma das declarações é verídica, as outras três são falsas, quem é o criminoso?

"Inspirado na novela da Rede Globo - A PRÓXIMA VÍTIMA"

a) Zé Bolacha b) Filomena c) Adalberto d) Marcelo e) Joselias

Solução Observe que temos uma contradição entre as declarações de Zé Bolacha e Filomena, portanto um deles diz a verdade e outro diz mentira. Como há apenas uma declaração verdadeira, temos que é a declaração do Zé Bolacha ou da Filomena. Logo as outras declarações são falsas. Conseqüentemente a




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declaração do Adalberto( Não sou o criminoso) é falsa. Concluímos que o criminoso é o Adalberto. Resposta C 131 Exemplo Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:

um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; − André esqueceu um objeto na casa da namorada;

Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa. É verdade que (A) Carlos foi a um bar. (B) Bruno foi a uma pizzaria. (C) Carlos esqueceu a chave de casa. (D) Bruno esqueceu o guarda-chuva. (E) André esqueceu a agenda.

Solução Como André foi à casa da namorada, então Bruno e o Carlos foram para o bar ou pizzaria. Como o Bruno não esqueceu a agenda, então só pode ter esquecido o guarda-chuva. Resposta D Bibliografia 1. Veloso, E. e Viana, J.P. – Desafios - Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, Vol. 4, Vol. 5, Vol. 6 – Edições Afrontamento – Lisboa – Portugal 2. Eysenck, H.J. – Faça seu Teste – Editora Mestre-Jou – São Paulo - Brasil. 3. Silva, J.S. da – Raciocínio Lógico Matemático – Curso Pré-Fiscal – R.A. Editora – São Paulo – Brasil. 4. Morgado, A.C. e Cesar B. – Raciocínio Lógico – Editora Campus – Brasil. 5. Provas de Vestibulares – FUVEST, CESGRANRIO, VUNESP, FGV e outros. 6. Lociks, J. – Raciocínio Lógico e Matemático – Editora Vestcon. 7. Provas da ANPAD – Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em Administração. 8. James, B.R. – Probabilidade em um nível intermediário – IMPA – CNPQ. 9. Morgado, A. C. – Progressões e Matemática Financeira – SBN. 10. RPM - Revista dos Professores de Matemática - SBM. 11. Morgado, A. C. – Análise Combinatória e Probabilidade – SBM. 12. Lopes, L. – Manual de Progressões – Editora Interciência. 13. Arithmetic Geometric Mean – The American Mathematical Monthly. 14. Eves, H. – Great Moments in Mathematics – MAA 15. Melo e Souza – O Homem que Calculava - 16. Copi, I. – Introdução a Lógica Matemática – Mestre Jou 17. Provas da ESAF. 18. CARRAHER, D. W. – “Senso Crítico” – Ed. Pioneira, 1983. 19. FLEW, A. – “Pensar Direito” – Cultrix-Edusp, 1979. 20. SALMON, C. W. – “Lógica”, 3ª Edição, Prentice/ Hall do BrasilBibliografia




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1. Veloso, E. e Viana, J.P. – Desafios - Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, Vol. 4, Vol. 5, Vol. 6 – Edições Afrontamento – Lisboa – Portugal 2. Eysenck, H.J. – Faça seu Teste – Editora Mestre-Jou – São Paulo - Brasil. 3. Silva, J.S. da – Raciocínio Lógico Matemático – Curso Pré-Fiscal – R.A. Editora – São Paulo – Brasil. 4. Silva, J.S. da – 480 Questões de Raciocínio Lógico Matemático e Português – Curso Pré-Fiscal – R.A. Editora – São Paulo – Brasil. 5. Provas de Vestibulares – FUVEST, CESGRANRIO, VUNESP, FGV e outros. 6. Lociks, J. – Raciocínio Lógico e Matemático – Editora Vestcon. 7. Provas da ANPAD – Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em Administração. 8. James, B.R. – Probabilidade em um nível intermediário – IMPA – CNPQ. 9. Morgado, A. C. – Progressões e Matemática Financeira – SBN. 10. RPM - Revista dos Professores de Matemática - SBM. 11. Morgado, A. C. – Análise Combinatória e Probabilidade – SBM. 12. Lopes, L. – Manual de Progressões – Editora Interciência. 13. Arithmetic Geometric Mean – The American Mathematical Monthly. 14. Eves, H. – Great Moments in Mathematics – MAA 15. Melo e Souza – O Homem que Calculava - 16. Copi, I. – Introdução a Lógica Matemática – Mestre Jou 17. Provas da ESAF. 18. CARRAHER, D. W. – “Senso Crítico” – Ed. Pioneira, 1983. 19. FLEW, A. – “Pensar Direito” – Cultrix-Edusp, 1979. 20. SALMON, C. W. – “Lógica”, 3ª Edição, Prentice/ Hall do Brasil. 21. SMULLYAN, RAYMOND – “O Enigma de Sherazade” – Jorge Zahar Editor. 22. SMULLYAN, RAYMOND – “Alice no País dos Enigmas” – Jorge Zahar Editor. 23. ROCHA, ENRIQUE – “Raciocínio Lógico” – Editora Campos.

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Apostila de Raciocínio Lógico - Resumida