Joo Batista
Revises deRevises de TrigonometriaTrigonometriaNovembro de
2000No tenho aqui espao suficiente para dar a explicao
completa.Pierre de Fermat (1601-1665), matemtico francsREVISES DE
TRIGONOMETRIA Joo Batista ndice
PREMBULO........................................................................................................................................................41.
NGULOS...........................................................................................................................................................51.1.
ngulo
trigonomtrico.................................................................................................................................51.2.
Classificao de
ngulos..............................................................................................................................61.3.
Arcos de
circunferncia................................................................................................................................72.
TRINGULOS....................................................................................................................................................82.1.
Semelhana de
tringulos.............................................................................................................................82.2.
Classificao de
tringulos...........................................................................................................................93.
TRIGONOMETRIA E RELAES
TRIGONOMTRICAS....................................................................103.1.
Teorema de
Pitgoras.................................................................................................................................103.2.
Relaes trigonomtricas de
ngulos.........................................................................................................113.3.
Frmula fundamental da
trigonometria......................................................................................................123.4.
Um problema de
trigonometria..................................................................................................................134.
SENO, COSENO E TANGENTE COMO FUNES REAIS DE VARIVEL
REAL().........................155. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS
FUNES TRIGONOMTRICAS.......................................175.1.
Valores das funes trigonomtricas para alguns
ngulos-chave..............................................................175.2.
Paridade das funes
trigonomtricas........................................................................................................185.3.
Sinal das funes
trigonomtricas..............................................................................................................185.4.
Monotonia das funes
trigonomtricas.....................................................................................................195.5.
Reduo ao primeiro
quadrante..................................................................................................................225.6.
Periodicidade das funes
trigonomtricas................................................................................................235.7.
Resumo das propriedades das principais funes
trigonomtricas............................................................246.
RELAES IMPORTANTES DE FUNES
TRIGONOMTRICAS...................................................276.1.
Frmulas de adio e
subtraco................................................................................................................276.2.
Frmulas de
duplicao..............................................................................................................................286.3.
Frmulas de
bisseco................................................................................................................................286.4.
Frmulas de
transformao........................................................................................................................287.
FUNES TRIGONOMTRICAS
INVERSAS..........................................................................................317.1.
Arco seno:
arcsen(a)...................................................................................................................................317.2.
Arco coseno:
arccos(a)...............................................................................................................................327.3.
Arco tangente:
arctg(a)...............................................................................................................................327.4.
Arco co-tangente:
arccotg(a)......................................................................................................................327.5.
Resumo: domnio e contradomnio das funes trigonomtricas
inversas................................................328.
RESOLUO DE ALGUMAS EQUAES
TRIGONOMTRICAS......................................................338.1.
Resoluo de equaes de funes trigonomtricas do tipo f(x) =
y.........................................................338.2.
Exemplo......................................................................................................................................................348.3.
Funes trigonomtricas
inversas..............................................................................................................349.
DERIVADAS DE FUNES CIRCULARES E RESPECTIVAS
INVERSAS.........................................359.1. Estudo do
...................................................................................................................................................359.2.
Derivadas de funes
trigonomtricas.......................................................................................................369.3.
Derivadas de funes trigonomtricas
inversas.........................................................................................379.4.
Resumo das derivadas de funes trigonomtricas e trigonomtricas
inversas.........................................3810. EXERCCIOS
RESOLVIDOS......................................................................................................................39
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................................................423REVISES
DE TRIGONOMETRIA Joo Batista PrembuloEste texto resume os assuntos
respeitantes a trigonometria e geometria do plano leccionada no
ensino pblico secundrio, do 9 ao 12 ano. Como tal, no se discutem
neste texto funes trigonomtricas hiperblicas seno hiperblico,
coseno hiperblico, etc. que so abordadas em contextos adequados,
mais especificamente aonvel decursos superiores deMatemticaeFsica.
Pressupe-sequeoleitor possui jconhecimentos razoveis sobre as
matrias abordadas. Para um maior aprofundamento, recomenda-se a
consulta de livros de texto aprovados e usados nas escolas, tais
como os indicados na
bibliografia.Estaumasegundaversodotextooriginal,datadodeSetembrode1997.Foramfeitasrevisese
acrscimos relativamente primeira verso essencialmente, esta reviso
consistiu numa profunda remodelao do aspecto visual. Foi includo um
captulo com alguns exerccios resolvidos, no final, dos quais se
recomenda umareflexo adequada compreensodos passos envolvidos.
desejvel queoleitor tenteresolver os exercciosantes deler
aresoluopossvelapresentada(porqueemgeral, comoem muitasoutras
coisasna Matemtica, existehabitualmentemaisqueumaresoluo). Defacto,
identificarmaisqueumaresoluo, e comparar as vrias possveis, pode
revelar-se til no desenvolvimento de tcnicas de soluo de
problemas.Alguns pargrafos so de leitura opcional em virtude da sua
utilizao pouco frequente na maior parte das aplicaes em
Trigonometria, e foram introduzidos apenas com o intuito de
providenciar uma reviso dos conceitos neles abordados.Assim, os
seguintes pargrafos podero ser ignorados sem grande prejuzo para a
reviso de conhecimentos fundamentais:1.2.b. Classificao de ngulos
quanto ao posicionamento (relativamente a outros ngulos)1.3. Arcos
de circunferncia2.1. Semelhana de
tringulosDeclaraoEstetextododomniopblico,
epodeserdistribudolivrementedesdequeasseguintescondiessejam
respeitadas:1. O meu nome e elementos de contacto no podero ser
removidos, substitudos, alterados, ou de outro modo deliberada ou
acidentalmente omitidos por terceiros ao divulgar, modificar ou
corrigir este texto.2. Eventuais correces a este texto por parte de
terceiros devero ser devidamente assinaladas pelos respectivos
autores. A eles cabe acrescentar numa pgina nova no texto, que em
momento algum poder ser omitida, o(s) seu(s) nome(s), pelo menos um
contacto, a data, e onde foi feita a correco.3. Nenhuma compensao,
monetria, em gneros, ou qualquer outra, poder ser obtida a partir
da divulgao deste texto, salvo para cobrir as despesas necessrias
cpia e distribuio do texto (e.g. fotocpias, suporte informtico como
disquetes , ou outro meio que sirva para armazenar e permitir a
leitura deste texto).Consciente de que estas condies so razoveis,
espero que sejam respeitadas integralmente. O conhecimento um
patrimnio que no tem dono e como tal deve ser divulgado sem
restries.Joo Miguel Nobre BatistaSetbal, Novembro de 2000Como
contactar o autorPode contactar o autor deste texto pelo endereo,
telefone, endereo de correio electrnico ou pgina de Internet
seguintes:Joo Miguel Nobre BatistaAvenida Lusa Tdi, 110,
2Esq.2900-450 SetbalTel. 265 228 384/91 427 0853email:
[email protected]: www.geocities.com/jmnbpt4REVISES DE
TRIGONOMETRIA Joo Batista 1. ngulosOs ngulos de que se fala dizem
respeito a ngulos no plano. (Existe os chamadosngulos slidos,
definidos no espao, mas esto fora do mbito desta Reviso.)Assim,
temos que o ngulo ao centro definido pela duas semi-rectas da
figura 1. Este o ngulo mais pequeno definido pelas duas semi-rectas
(repare que tm a mesma origem, o vrtice no centro da figura). Outro
ngulo definido pelas semi-rectas o ngulo , que de abertura
visivelmente maior que o ngulo . Por definio, uma volta completa no
plano define o ngulo de 360, isto ,+ = 360 .No plano, o sentido
positivo atribudo aos ngulos contrrio ao dos ponteiros do relgio.
Na figura 2 est indicado o sentido de crescimento de um ngulo. O
ngulo aumenta se a abertura aumentar no sentido indicado pela seta.
O sentido negativo definido pela semi-recta OA movendo-se no
sentido horrio.Emtrigonometria, especialmente quandose usam funes
trigonomtricas, definidas mais adiante, costume usar outra unidade
para os ngulos em vez da indicada: o radiano. definido de tal forma
que um ngulo de radianos igual a 180: radianos = 180,em que o nmero
irracional =3,1415927..., definido pelo quociente entre o permetro
de uma circunferncia e o seu dimetro. usual no indicar a unidade
radianos quando nos referimos a um ngulo nestas unidades, quando no
h perigo de confuso. Assim teremos, por exemplo, que = /4 = 45.
Para ngulos em unidades de grau de arco, necessrio indicar o smbolo
" " para distinguir da unidade radiano. H mais outra unidade de
ngulo no plano, o grado, definida tal que 90 = 100 grados, mas
menos utilizada que qualquer das anteriores.1.1. ngulo
trigonomtricoUm ngulo pode ter o valor real que se desejar. No
entanto, a semi-recta que d o ngulo (com outra semi-recta, fixa,
dereferncia)completaumavoltaaps360, duasvoltasaps720, etc.,
ouumavoltano sentidocontrrio,
enessecasodiz-sequedescreveuumngulode360. Omenorngulo descritopela
semi-recta o ngulo trigonomtrico, e para o ngulo descrito pela
semi-recta tem-se:= + k 360, (1.1)em que k um nmero inteiro. O
ngulo o de maior interesse em trigonometria, em particular no que
toca s funes trigonomtricas, abordadas posteriormente. Por exemplo,
se x = + m 360 e y = + n 360 (m e nnmeros inteiros), para igualar
os ngulosxe y necessrio que m=0 e n=0 (por exemplo), uma condio
trivial.Arazoparaaexistnciadestaperiodicidadeparangulosprende-secomocarcter
dasfunes trigonomtricas, o qual ser discutido adiante. No entanto,
necessrio definir univocamente a aplicao que d o ngulo definido por
duas rectas que se intersectam. Portanto, e para esse efeito,
medem-se os ngulos num domnio que vai de 0 a 360 (ou, o que
equivalente, de 0 a 2 radianos), para que no haja lugar para
dvidas; no caso de um ngulo no plano, ser de 0 a 180, visto que
para ngulos entre 180 e 360 j haver outro ngulo mais pequeno
definido pelas duas rectas dadas e que ser inferior a 180.5Figura
1. ngulo . Figura 2. O ngulo definido no sentido horrio.
vrticeAOREVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista 1.2. Classificao de
ngulos1.2.a. quanto abertura1) ngulo nulo: = 0 figura 3.a.2) ngulo
agudo: 0 < < 90 figura 3.b.Reparar que um ngulo agudo toma
sempre um valor entre 0 e 90, nunca tomando qualquer destes
valores. Exemplos: = 30 , = 75,4 , = 89,99 (nunca igual a 90 ou 0
!).3) ngulo recto: = 90 figura 3.c.4) ngulo obtuso: 90 < <
180 figura 3.d.Novamente,o ngulo obtuso apenas toma os valores
intermdios,nunca os dos extremos que o define.5) ngulo raso: = 180
figura 3.e.6) ngulo giro: = 360 figura 3.f.Quando se chega a um
ngulo 360, j se descreveu uma volta completa no plano pelo que a
abertura definida por um ngulo giro (de 360) a mesma que definida
pelo ngulo raso. Na verdade, e por essa razo, muitos autores
identificam o ngulo de 0 (ou 360, o que equivalente como acabmos de
ver) como ngulo raso ou giro. Para ngulos superiores a 360,
voltamos novamente ao princpio da a definio peridica para o ngulo
dada pela expresso (1.1). Assim sendo, um ngulo de 390 ser
equivalente a outro de 30:390 = 30 + 1 360 .6Figura 3.d. ngulo
obtuso. Figura 3.e. ngulo raso. Figura 3.f. ngulo giro.(90 <
< 180) (= 180) (= 360) Figura 3.a. ngulo nulo. Figura 3.b. ngulo
agudo. Figura 3.c. ngulo recto.(= 0) (0 < < 90) (= 90)Figura
3.g. ngulos complementares. Figura 3.h. ngulos suplementares.Figura
3.i. ngulos vertic. opostos.(+ = 180) (+ = 90) (+ + + = 360)
REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista 1.2.b. quanto ao
posicionamento (relativamente a outros ngulos)1) ngulos
complementares: + = 180 figura 3.g.Diz-se que e socomplementares,
ou que complementar de , e vice-versa. Naturalmente, 0 < <
180, e tambm (com + = 180)!2) ngulos suplementares: + = 90 figura
3.h.Diz-se que e so suplementares, ou que suplementar de , e
vice-versa. Naturalmente, 0 < < 90, e tambm (com + = 90)!3)
ngulos verticalmente opostos: + + + = 360 figura 3.i.Os ngulos e
dizem-se verticalmente opostos. Temos que = , e tambm = , que tambm
so verticalmente opostos.1.3. Arcos de circunfernciaUm arco de
circunferncia definido de uma maneira semelhante que foi feita para
um ngulo no plano. Desta feita, define-se um arco sobre uma
circunferncia.Sobreumacircunferncia, umpontopode-semover
emdoissentidos. Osentidopositivoparaos ngulos , por conveno,
anti-horrio, e o negativo osentidohorrio.Dessa forma,quandoum ponto
da circunferncia se desloca sobre ela do ponto A para B, diz-se que
esse ponto da circunferncia descreveu o arco AB.7REVISES DE
TRIGONOMETRIA Joo Batista 2. TringulosSo figuras geomtricas
definidas numa superfcie plana, constitudas
portrssegmentosderectacujasextremidadesseunem. Sejamentotrs
segmentos de recta, de comprimentos x, y e z. Quando unidas as
extremidades, definem ngulos internos , e . Seja o ngulo mais
pequeno definido pelos segmentos de comprimentosxe y. Abusivamente,
designarei de agora em diante x e y os segmentos de recta de
comprimento dado pelos valores de x e y,
respectivamente.Propriedade 1: Todosostringulos, quaisquerquesejam,
queasoma dos ngulos internos seja 180, isto ,+ + = 180 .Isto
verifica-se sempre para todos os tringulos constitudos sobre uma
superfcie plana(1).Propriedade 2: A soma do comprimento de dois
lados quaisquer sempre maior que o comprimento do terceiro
lado.Porexemplo: seoGabriel (novrticedengulo
)quiserircasadaAlexandra (vrtice de ngulo ), percorrer um caminho
menor, de comprimentox, indo
directamenteparaldoquepassandoprimeiropelacasadaBeatriz(ngulo
)eindo depois at casa da Alexandra (num percurso total dado por y +
z).2.1. Semelhana de tringulosDois tringulos dizem-se semelhantes
quando so homotticos, isto , quando existe umahomotetia entre os
dois tringulos os lados dos tringulos so proporcionais entre si.
Das seguintes relaes de semelhana, conclui-se que os dois tringulos
a considerar so homotticos:a) trs lados proporcionais [LLL], outrs
ngulos iguais entre si [AAA];Estecasotrivial, eresulta dadefiniode
homotetia quefoi agora apresentada.O efeito produzido por [LLL] ou
por [AAA] o mesmo, e equivalem-se entre si: dois tringulos com
ngulos iguais entre si tm lados correspondentes com comprimento de
igual proporo, e vice-versa ver figura 5.b) dois lados
proporcionais e um ngulo igual [LLA];Aqui, dois lados dos tringulos
so proporcionais, e um dos ngulos de um tringulo tem igual abertura
ao do ngulo correspondente no outro tringulo: = e x/x = y/y.
Consequncias: z/z obedece mesma proporo entre os comprimentos dos
lados, e os ngulos correspondentes nos dois tringulos so iguais
entre si.c) dois ngulos iguais e um lado proporcional [LAA];Dois
ngulos quaisquer so iguais. Tem-se = , = , e um valor para x/x.
Ento resulta que o terceiro ngulo igual para os dois tringulos, e
que os lados so proporcionais.Naturalmente, se nenhuma das trs
situaes anteriores se verificar,o par de tringulos considerados no
so semelhantes.Estas classificaes no devem ser confundidas com as
de tringulo equiltero, issceles e escaleno, definidos a seguir.
Enquanto que aquelas dizem respeito a relaes entre dois tringulos,
as ltimas referem-se caracterizao de um nico tringulo.1 (() Para
demonstrar esta propriedade dos tringulos, necessrio recorrer aos
axiomas de Euclides enunciados no seu tratado de geometria, os
Elementos. Em particular, necessrio o 5 axioma, que afirma que duas
rectas do mesmo lado de uma terceira recta, e que lhe sejam
perpendiculares, nunca se cruzam. Os ngulos assim formados, do lado
de dentro definido pela duas rectas, fazem o ngulo 90 + 90 = 180. A
cruzarem-se, a soma dos dois ngulos seria menor que 180, e a
quantidade que falta seria o terceiro ngulo, indo formar um
tringulo. No caso das rectas paralelas, o terceiro ngulo no existe,
pois as rectas no se intersectam. A partir daqui, a propriedade
pode-se tornar mais ou menos intuitiva.8zx yFigura 4. Um tringulo.
' = ' ' 'Figura5.Semelhanade tringulos.REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo
Batista 2.2. Classificao de tringulos2.2.a. quanto aos ngulos
internos1) Tringulo acutnguloTodos os ngulos internos so agudos,
isto , tm um valor inferior a 90 (mas nunca igual).2) Tringulo
rectnguloUm dos ngulos internos recto; no caso da figura 6 o ngulo
, e portanto temos = 90. Os restante ngulos internos so
necessariamente agudos, pois a sua soma tem de ser igual a 90,
visto asomados ngulos internos deumtringuloter deser 180. Logo,
esses dois ngulos so suplementares.3) Tringulo obtusnguloUm dos
ngulos internos obtuso, isto , tem entre 90 e 180; o caso do ngulo
90 < < 180. A soma dos restantes ngulos internos inferiora
90, visto ser condio obrigatria que a soma dos trs ngulos 180.
Claro, os restantes ngulos internos so agudos, pois no ultrapassam
90: a sua soma at inferior a 90.2.2.b. quanto ao nmero de
lados/ngulos iguais1) Tringulo equilteroTodos os lados so iguais.
Todos os ngulos internos so iguais: = = . Como a soma dos ngulos
internos sempre 180, forosamente = = = 60. um tringulo agudo, pois
todos os ngulos so menores que 90. Como o nome indica, equiltero
todos os lados medem o mesmo: x = y =z .2) Tringulo isscelesTemos
dois lados iguais (ye z, por exemplo), e dois ngulos iguais. Caso y
= z, temos = ; ou seja, so iguais os ngulos no comuns aos lados
iguais (e no so comuns aos lados x e y, que so iguais).3) Tringulo
escalenoTodos os lados e ngulos respectivos so diferentes.No dever
confundir estas classificaes com as de semelhana de tringulos (seco
2.1), que dizem respeito a relaes entre dois tringulos!9REVISES DE
TRIGONOMETRIA Joo Batista 3. Trigonometria e relaes
trigonomtricasAquandoda sua criaopelos matemticos gregos, a
trigonometria dizia respeito exclusivamente medio de tringulos, e
tal como as funes e relaes trigonomtricas apresentadas aseguir,
aplicadaexclusivamenteaoestudode tringulos rectngulos. Porm, as
funes trigonomtricas resultantes, eapresentadas mais adiante,
encontramaplicaes mais vastas e de maior riqueza noutras reas como
a Fsica (por exemplo, no estudo de fenmenos peridicos) ou a
Engenharia.Limitarmo-nos-emos trigonometria no plano. Assuntos mais
elaborados (alguns dos quais leccionados em cursos universitrios),
comodesenvolvimentos emsriedeTaylor de funes trigonomtricas, nmeros
complexos e funes trigonomtricas hiperblicas no sero abordados
neste texto. Aindanointuitodemanter ageneralidadedestetexto, quese
pretende uma simples reviso sobre trigonometria leccionada no
ensino secundrio, no falarei tambm sobre trigonometria esfrica.Em
trigonometria,os ladosdos tringulosrectngulos assumemnomes
particulares,apresentadosna figuraaolado. Oladomaiscomprido,
opostoaongulorecto, chama-sehipotenusa; osladosrestantes, ligados
ao ngulo recto, chamam-se catetos.3.1. Teorema de PitgorasO gemetra
grego Pitgoras (570501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem
hoje o seu nome, e que relaciona a medida dos diferentes lados de
um tringulo rectngulo: a soma do quadrado dos catetos igualao
quadrado da hipotenusa. Ou seja,sexeyforem o comprimento dos dois
catetos eho comprimento da hipotenusa, ter-se-:x + y = h .A
demonstrao deste teorema pode ser efectuada atravs do clculo de
reas de tringulos rectngulos e de quadrados ver figura 7. A rea de
um quadrado com comprimento do lado de valor l dada por l2. Para um
rectngulo de comprimento de base a e de altura b a rea dada pelo
produto destes dois comprimentos, isto ,ab. Se dividirmos esse
rectngulo com uma diagonal, teremos dois tringulos rectngulos, com
catetos de comprimento a e b; a rea de cada um , ento, metade da
rea do tringulo ab/2.10 cateto hipotenusay h xcatetoFigura 6. Um
tringulo rectngulo.l bl area: l l = l2rea: a bbabarea do rectngulo:
a brea do tringulo: a b/2Figura 7. reas do quadrado com comprimento
l do lado, e do rectngulo com comprimentos a e b dos lados. A
partirdareadorectngulofcilverqueareadeumtringulorectngulocomcomprimentodabaseae
altura b (direita) metade da rea do rectngulo com os mesmos
comprimento dos lados; ou seja, a rea desse tringulo a b/2.REVISES
DE TRIGONOMETRIA Joo Batista Observe agora a figura 8. O tringulo
rectngulo tem lados de comprimento x e y. Pelo que se disse no
pargrafo anterior, a rea deste tringulo xy/2. O quadrado que est
junto ao tringulo foi escolhido de modo a ter comprimento do lado
precisamente igual ao comprimento da hipotenusa do tringulo, ou
seja,h. A rea do quadrado, naturalmente,h2. Orabem,
otringulopodeser copiadoecoladoaos restantes ladosdo quadrado de
modo que se juntem as hipotenusas dos tringulos copiados aos lados
do quadrado. Isto produz uma nova figura, um quadrado, no qual se
inscrevem o quadrado e os tringulos o original e as cpias. Este
novo quadrado tem lado com comprimento x+y canto inferior direito
da figura 8.Ora, a rea do novo quadrado (x+y)2, ou seja, x2 + 2xy +
y2. Por outro lado, a rea deste novo quadrado igual ao espao
ocupado pelas figuras anteriores o quadrado e os quatro tringulos.
Estas cinco figuras tm reas dadas por h2 e xy/2. Como temos quatro
tringulos, a rea que todos eles ocupam 4xy/2 = 2xy. Ento, as cinco
figuras dentro do quadrado maior ocupam uma rea que totaliza h2 +
2xy. Mas esta rea igual do quadrado maior, como se v na figura 8.
Portanto, temosx2 + 2xy + y2 = h2 + 2xyx2 + y2 = h2 ,que justamente
a anterior frmula para o teorema de Pitgoras.3.2. Relaes
trigonomtricas de ngulosNa esmagadora maioria das aplicaes
trigonomtricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um
tringulo recorrendo a determinadas relaes dependentes de ngulos
internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relaes
trigonomtricas com esse fim. No captulo 5 discutir-se- o intervalo
de aplicabilidade (j sob o ponto de vista de funes reais de varivel
real) de algumas das seguintes relaes trigonomtricas.11hxyh
hxyPorqueumquadrado, oscomprimentosdos lados so iguais (h) !yxy
xx+yx+yFigura 8. O teorema de Pitgoras pode ser demonstrado atravs
de relaes de reas de tringulos e de quadrados. No fim, a rea
ocupada pelo quadrado mais pequeno e pelos quatro tringulos
rectngulos
igualreadoquadradomaior(duasltimasfiguras,embaixodireita).Aequaodoteorema
obtida da relao das reas ocupadas pelas figuras ver texto.REVISES
DE TRIGONOMETRIA Joo Batista a) Seno de o quociente do comprimento
do cateto oposto ao ngulo pelo comprimento da hipotenusa do
tringulo, ou seja,hy hipotenusaoposto cateto) sen( .O seno de pode
aparecer com uma das seguintes representaes: sen , sin , sen( ),
sin( ).b) Coseno de oquocientedocomprimentodocatetoadjacenteaongulo
pelocomprimentodahipotenusado tringulo, ou seja,hx
hipotenusaadjacente cateto) cos( .Em geral, o coseno de aparece com
uma das duas representaes: cos , cos( ).c) Tangente de o quociente
dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou
seja,xyxhhyh xh y //adjacente catetooposto cateto) tan( . usual
representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan
,tan( ), tg , tg( ).d) Co-tangente de definida como o recproco da
tangente de :oposto catetoadjacente cateto) tan(1) cotan( yx
.Aco-tangente deapodeaparecer representada deumadas maneiras
seguintes: cotan( ), cotg( ), cotan , cotg .Pelas definies em c) e
d), e segundo as definies em a) e b), podemos ver ainda que:) cos()
sen() tan(e) sen() cos() cotg( .e) Secante e co-secante de
Definem-se ainda as funes secante de e co-secante de como,
respectivamente:xh ) cos(1) sec( e yh ) sen(1) cosec(.A secante
pode ser representada por: sec( ), sec . A co-secante pode ser
representada por: cosec( ), cosec , csc( ), csc .3.3. Frmula
fundamental da trigonometriaA frmula fundamental da trigonometria
surge como um caso particular do teorema de Pitgoras.122222 2 2 +
+hyhxh y x .Pela definio de seno e de coseno de um ngulo, dadas
acima por a) e b), temos que:1 ) ( cos ) ( sen2 2 + .
(3.1)12REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista A equao (3.1) a frmula
fundamental da trigonometria. Nela, sen2( ) = sen( ) sen( ), e o
mesmo se sucede para cos2( ). Da frmula fundamental da
trigonometria ainda possvel extrair outras frmulas importantes; por
exemplo, dividindo-a por cos2( ), vem:) ( cos11 ) ( tan22 +;ou,
dividindo por sen2( ):) ( sen11 ) ( cotan22 +.3.4. Um problema de
trigonometriaPor vezes no nos possvel (por quaisquer razes)
encontrar os valores dos comprimentos dos lados e dos ngulos a
partir dos dados disponveis chama-se a isto resolver um tringulo.
Mas se conhecermos, por exemplo, um ngulo (que no seja o ngulo
recto, porque obviamente j conhecido) e um lado de um tringulo
rectngulo, podemos encontrar os valores dos ngulos e lados que
faltam. Para isso necessitamos de dispor de
umatabelatrigonomtricaoudeumacalculadora, parapodermosobter
osvalores quetomamas funes trigonomtricas para diferentes
ngulos.Suponhamos, por exemplo, que queramos medir a altura h de
uma torre de farol que nos inacessvel, ou para a qual era incmodo e
difcil efectuar directamente uma medio sobre a torre com fita
mtrica. Como fazer?Em primeiro lugar, mediu-se, no ponto A, o ngulo
a que a extremidade mais alta da torre faz com a linha de
horizonte, e mediu-se = 20. Depois, afastamo-nos uma distncia
apropriada 10 metros, no caso presente(2). Faz-se uma nova medio do
ngulo que o cimo da torre faz com a linha de horizonte, e obteve-se
o valor = 18.Consultemosumatabela,
ouusemosumacalculadoracientficaparaobter osvalores das funes
trigonomtricas paraosngulos mencionados.
Natabelaseguinteestotranscritos osvalores paraosdois ngulos
relevantes. sen() cos() tan()18 0,309 0,951 0,32520 0,342 0,940
0,367Que funes trigonomtricas utilizar? Pretende-se obter a altura
da torre, h. No sabemos a distncia no solo at torre,mas possumos um
dado parecido: a distncia entre dois pontos de observao.O problema
2 () importante admitir aqui que os dois pontos, A e B, esto ao
mesmo nvel. De outro modo, seria necessrio introduzir uma correco
para compensar a diferena de alturas mais uma vez usando relaes
trigonomtricas. No abordarei o problema aqui; na verdade, apela-se
ao leitor para que tente resolver este outro problema aps
compreender bem o formalismo por detrs do primeiro problema. De
facto, teramos de usar mais tringulos (e obter relaes entre eles)
para se levar em linha de conta tal desnvel.13= 20 = 18h = ?
A Ba
10mbFigura9.Umproblemamuitoconcreto,envolvendoatrigonometria.Qualaalturah
datorre,conhecendo-seapenasa distncia entre os pontos A e B, e os
ngulos e ?REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista sugere-nos ento que
usemos a funo tangente para calcular a altura da torre sabemos uma
distncia sobre um cateto, e queremos saber o comprimento de outro
cateto. Assim, teremos:bh ) tan( e ah )
tan(.Talvezpossamosusaratangente, vistohsercomumatan( )eatan( ),
comosevpelasduas frmulas acima. Assim, ficamos com:h = b tan( ) = a
tan( ) .E como b = a + 10,[ ]metros 83,20) 18 tan( ) 20 tan() 18
tan( 10) tan( ) tan() tan( 10) tan( ) tan( ) tan( 10 ) tan( ) tan(
) 10 ( + aa a aPor fim, temos que a altura da torre :h = a tan( ) =
a tan(20) = 30,3 metros .14REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista 4.
Seno, coseno e tangente como funes reais de varivel
real(3)Anteriormente definimos as funes trigonomtricas atendendo a
que os seus argumentos, ongulo , erainferior a90e superior a 0 pois
caso contrrio no teramos umtringulorectngulo. Se =0, teramos um
segmento de recta, e se = 90, teramos duas semi-rectas comos pontos
de origem ligados por um segmento de recta, com o qual so
perpendiculares. Temos, pois, que as funes trigonomtricas, tal como
anteriormente definidas para o tringulo rectngulo, tm o domnio
restringido a 0 < < 90, ou se usarmos radianos, 0 < <
2.Aextensododomniosdas funes trigonomtricas a toda a recta real
faz-se recorrendo aocrculotrigonomtrico. Ele definido por uma
circunferncia de raio unitrio (isto, igual a um) centrada na
origemdos eixos coordenados.Otringulo[OPx] rectngulono ngulo com o
eixo das abcissas o eixo dos XX como se pode ver pela figura. Visto
a circunfernciater raior=1, todosospontos distam da origem da mesma
distncia,r. Logo, o segmento [OP] tem comprimento1 OP . Assim
sendo, o quociente y/r representa o seno de , sendo r a hipotenusa.
Da mesma forma, x/r representa o coseno do ngulo .Desta forma,
posso definir o seno e o coseno do ngulo para todos os valores de ,
e no somente para aqueles entre 0 (ou 0 radianos) e 90 (ou /2
radianos), como anteriormente. Temos ento que:ry sen erx cos.Como
no crculo trigonomtrico o raio r= 1, temos ento que as coordenadas
do ponto P(x,y) so: P(x,y) =(x,y) =(cos , sen ).
Escrevodestaformaas coordenadas dopontoP(x,y) pois situa-senuma
circunferncia de raio r = 1. Se fosse r 1, teria de dividir as
coordenadas por r, sendo r2 = x2 + y2, pelo teorema de
Pitgoras(4).Prestando ateno figura, veremos que12sen e 02cos .De
igual forma, para o ngulo = radianos (meia-volta no crculo), temos
sen() = 0 e cos() = 1, obtemos o ponto P(x,y) = (0,1). Quando temos
= 2 radianos (uma volta completa comeando em = 0, isto , sobre o
eixo dos XX), voltamos a ter o ponto (0,1) logo sen(2) = 0 e cos(2)
= 1. Prosseguindo para outrosvalores,
verificamosqueasfunesserepetemcadavezqueadicionamos2radianosaoargumento
(ngulo). Damesmaformaquetemosvalorespossveisparaosenoeocosenoquando
>0, tambm possvel atribuir valores s funes trigonomtricas quando
< 0. Nesses casos, temos ngulos descritos no sentido dos
ponteiros do relgio. As duas funes ficam ento definidas para todos
os valores da recta real.Comosepassaroas coisas comas funes
tangente eco-tangente? Recordemos adefiniode tangente de :3 (()
Daqui em diante, e sempre que no hajam riscos de interpretao
duvidosa, escrever-se- sen( ) como sen , e cos( ) como cos .4 (()
Na verdade, as coordenadas so geralmente divididas por r. Porm, e
no caso do crculo trigonomtrico, para o qual r = 1, portanto no
necessrio introduzir a diviso por r nas frmulas para as
coordenadas.15YY'y P(x,y)O x XXFigura 10. O crculo trigonomtrico e
um ponto P sobre ele.REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista xy tan.
Prestemos agora ateno aos tringulos [OPx] e [OPx]. So tringulos
semelhantes, com trs ngulos iguais: os ngulos nos pontos Pe Pso
iguais pois OP e OP so colineares (tm a mesma direco), bem como Px
e Px; logoongulo 1. Como x = 1 em P, temos que(6):1 tan 1 tan 1 tan
> > > x y x.Nesse caso, a altura do ponto P d-nos uma
medida de tan .O mesmo se passa para cotg . O seu valor vai
corresponder ao afastamento, distncia do ponto P, situado sobre o
trao horizontal tangente circunferncia no seu ponto mais alto.
Quanto mais alto estiver o ponto P, maior ser o ngulo , e mais a
semi-recta definida pelo ngulo com o eixo XX se aproxima do eixo
YY, logo cotgdiminui bem como a abcissa do ponto P.Estas duas
funes, no entanto, no podem ser definidas para todos os valores
reais. De facto, quando = /2, a altura de P infinita (ou seja, tan
= ), e nesse caso a funo no fica bem definida nesse ponto(7). O
mesmo se passa para 3/2, 5/2, e assim por diante ou seja, qualquer
ponto na forma = /2 + k, sendo k um nmero inteiro. Pelas mesmas
razes cotgfica indefinida nos pontos = 0, = , = 2 isto , qualquer
ponto na forma = k. Portanto, o domnio destas funes deve
necessariamente excluir todos estes pontos em que as funes no ficam
bem definidas; os restantes pontos, obviamente, so permitidos.5 (()
O raio r = 1. Se assim no fosse, teramos de recorrer definio: sen =
y / r, e cos = x / r.6 (() Temos x tan> 1, e no x tan> x,
porque x=1 no ponto P.7 (() Alm disso os limites da funo tangente
esquerda e direita de /2 so diferentes: antes de /2 +8 e depois 8,
pelo que existe uma descontinuidade que torna a funo indefinida
nesse ponto.16YY'P''PP'yO xXX'x'Figura 9. Novamente o crculo
trigonomtrico (de raio unitrio). A ordenada (altura) do ponto P
representa a tangente de , e a abcissa do ponto P representa a
co-tangente de .REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista 5.
Propriedades importantes das funes trigonomtricasNeste captulo sero
apresentadas algumas importantes propriedades das funes
trigonomtricas seno, coseno, tangenteeco-tangente, nomeadamente:
paridade, sinal, monotonia, periodicidade, eoresultadode reduo ao
primeiro quadrante. J de seguida, sero dados tambm os valores
dessas funes trigonomtricas para alguns ngulos do primeiro
quadrante: 0, 30, 45, 60, e 90.5.1. Valores das funes
trigonomtricas para alguns ngulos-chaveExistem alguns ngulos do
primeiro quadrante para os quais possvel determinar facilmente os
valores tomadospelasfunestrigonomtricas.
Parangulosdeoutrosquadrantes, torna-senecessrioefectuar em primeiro
lugar uma reduo ao primeiro quadrante. Finalmente, os restantes
ngulos cuja reduo ao primeiro quadrante (discutida mais adiante) no
devolve um destes ngulos, e tambm para ngulos do primeiro quadrante
quenosejamosdescritos,
necessriorecorreratabelastrigonomtricasouumacalculadoracientficaou
computador.Para os ngulos 0 e /2radianos (ou, 0 e 90,
respectivamente), de imediato se encontram os valores dasfunes
trigonomtricas.Para =0, a semi-recta que define o
ngulocomosemi-eixopositivodosXXcoincidecomeste. Logo, sendo r= 1 e
cos = x/r= x, vem que cos = 1 e sen = 0. Daqui decorre que tan=
sen/ cos= 0 , e cotg= 1 / tan= +. Para = /2 radianos,temos que a
semi-recta coincide com o semi-eixo positivo dos YY, fazendo com
que sen = 1 e cos = 0. Daqui vem que tan= + e cotg=
0.Comecemosporconsiderarumtringuloequilterocomoo da figura 12,
cujos lados tm comprimento1 CA BC AB . O ponto H ponto mdio do
segmento [BC], logo CH BH . E como AC CH / cos e 1 AC , vem: ) 60
cos( cos CH . Da aplicao do teorema de Pitgoras resulta que:23) 60
sen( 1 ) 60 ( cos ) 60 ( sen2 2 +.Pela definio de tangente de ,
vem: 3 ) 60 tan( . Observando a figura, ainda possvel concluir
que:21) 60 cos( ) 30 sen( ACCH, 23) 60 sen( ) 30 cos( ACAH,33312 32
1) 30 cos() 30 sen() 30 tan(
.Consideremosagoraumtringulo(rectngulo) issceles
=45comoodafigura13. Comoa ngulos iguais se opem lados iguais,NP MN
. Seja 1 MP. Ento,) 45 cos( ) 45 sen( MPMNMPNP.Sabendo ento que
sen(45) = cos(45), e aplicando a frmula fundamental da
trigonometria, vem:17A30 =60C H BFigura12.Otringulo[ABC]
issceles;ostringulos[CHA]e [BHA] so equilteros.P =45N
MFigura13.Umtringulo rectngulo issceles.REVISES DE TRIGONOMETRIA
Joo Batista ) 45 cos(2221) 45 sen( 1 ) 45 ( sen 2 ) 45 ( cos ) 45 (
sen2 2 2 +Pela definio, 1) 45 cos() 45 sen() 45 tan( .Em resumo,
temos o seguinte quadro:Valores do argumento (radianos)0 /6 /4 /3
/2sen0 1/22 / 2 2 / 31cos 12 / 3 2 / 21/2 0tan03 / 313cotg 313 /
300 30 45 60 90Valores do argumento (graus)5.2. Paridade das funes
trigonomtricasDas quatrofunes trigonomtricas atagoradiscutidas
(seno, coseno, tangente e co-tangente), todas tm uma paridade bem
definida.a) O seno mparSeja = , isto, =| |, e =| | = . Ora, sen
=y/r. Projectando o ngulo sobre o eixo dos YY, ento vem que sen=
y/r < 0, pois y < 0. V-se facilmente que: sen= y/r < 0, e
por conseguinte sen= y/r = y/r = sen= sen( ) sen( ) = sen( ). Logo,
a funo seno mpar.b) O coseno parSeja = . Ora, cos= x/r, e cos= x/r.
Na projeco para a figura acima, facilmente se ver que x = x. Logo,
cos= x/r = x/r = cos= = cos( ). Portanto, a funo coseno par.c) A
tangente mparSeja = . Ora, tan= y/x, e tan= y/x, pela figura
anterior alis, basta dividir seno por coseno. Analogamente,
prova-se que tan( ) = tan ou seja, a tangente mpar.d) A co-tangente
mparA demonstrao anloga a c). Sendo = , y = y e x = x, como se pode
concluir do grfico acima, vem que cotg( ) = cotg : a co-tangente
mpar.5.3. Sinal das funes trigonomtricas5.3.a. SenoEsta funo mpar,
e como tal sen( ) = sen( ). Logo, para um ngulo situado no 1Q,
teremos que o seno do ngulo , situado no 4Q, tem um valor simtrico.
Como no 1Q sen > 0, ento para 4Q, temos sen< 0.Um ponto
P(x,y) do 2Q tem coordenadas tais que x0. Por definio sen = y/r
relembrar que o seno se marca no eixo dos YY, correspondente altura
do ponto P(x,y) a considerar, caso r=1. Ora r>0, pois trata-se
de uma distncia, sendo sempre um nmero no negativo. Como r>0
sempre, e nessa regio particular (2Q), temos que y>0; ento sen
>0 no segundo quadrante.18yy'Figura14.Acercada paridadedasfunes
trigonomtricas.REVISES DE TRIGONOMETRIA Joo Batista O que se sucede
no 3Q? Seja um ngulo positivo pertencente ao 2Q (ou seja, tem-se /2
< < ); o ngulo = pertence ao 3Q. De facto, e como a funo seno
tem perodo 2 (isto , repetem-se os valore e a monotonia da funo em
intervalos de largura 2), o ngulo +2 ainda se situa na mesma regio
do plano (3Q), e = + 2 = 2 . Resolva-se ento a desigualdade que
resulta da localizao de no 2Q:/2 < < /2 > > 2 /2 > 2
> 2 3/2 > 2 > 3/2 > 2 + > .Ento: + 2 > , e ainda
3/2 > + 2 + 2 < 3/2, ou ainda: < 2 + < 3/2.Com a
aplicao dada pelo ngulo no plano com o eixo dos XX uma aplicao de
perodo 2 (isto ,os ngulos voltam a ser iguais ao fim de um arco de
360 = 2 radianos), ento b situa-se no 3Q pois maior que e menor que
3/2, como queramos demonstrar.A funo seno mpar verifica-se que sen(
) = sen( ), IR. De facto,se 2Q ento 3Q (como vimos), e sen= sen( )
= sen( ). No 2Q o seno toma valores positivos (recordar que
y>0), logo tomavaloresnegativos no 3Q.Deresto,um
pontoP(x,y)3Qtem ordenaday0 a distncia de um ponto do plano origem
do sistema de eixos, e x a distncia da projeco do ponto sobre o
eixo dos XX, temos cos( ) = x/r.No primeiro quadrante, x>0. Logo
cos( )>0, para todo o 1Q.Tambm no 4Q se tem x>0, embora y0
para 4Q. De facto, e como vimos acima, se = e 1Q, ento 4Q.No 2Q e
3Q, x0, logo tan >0. No 2Q,x0 e cos
