Capacitando Professores no Uso de Softwares Livres para o Ensino de Matemtica Apostila n 2O Winplot desenha grficos em duas ou trs dimenses. Nessa apostila vamos trabalhar apenas com duas dimenses. A principal funo desse software traar grficos de funes e efetuar algumas operaes sobre elas.

Comandos BsicosAs operaes: a+b = adio entre os valores de a e b a-b = subtrao entre os valores de a e b a*b = ab = multiplicao entre os valores de a e b a/b = diviso entre os valores de a e b a^b = a elevado a potncia b

As constantes: pi = 3,141592654 e = 2,718281828 deg = pi/180 = fator de converso de radianos para graus ninf representa menos infinito pinf representa mais infinito. abs(x) = valor absoluto de x, ou mdulo de x sqr(x) = sqrt(x) = raiz quadrada de x log(x) = logaritmo de x na base 10 log(b,x) = ln(x)/ln(b) logaritmo de x na base b ln(x) = logaritmo natural de x exp(x) = exponencial de x

Funes trigonomtricas: sin(x) = seno de x cos(x) = cosseno de x tan(x) = tangente de x csc(x) = cossecante de x sec(x) = secante de x cot(x) = cotangente de x n! = n fatorial int(x) = parte inteira do x frac(x) = x-int(x) = parte fracionria do x

Funes trigonomtricas inversas: arcsin(x) = arco seno de x arccos(x) = arco cosseno de x arctan(x) = arco tangente de x arccot(x) = arco cotangente de x

Funes hiperblicas: sinh(x) = seno hiperblico de x cosh(x) = cosseno hiperblico de x

tanh(x) = tangente hiperblica de x coth(x) = cotangente hiperblico de x

Funes hiperblicas inversas: argsinh(x) = arco seno hiperblico de x argcosh(x) = arco cosseno hiperblico de x argtahn(x) = arco tangente hiperblico de x argcoth(x) = arco cotangente hiperblico de x

Funes no to elementares: floor(x) = maior inteiro menor que x ceil(x) = menor inteiro maior que x root(n,x) = raiz n-sima de x pow(n,x) = power(n,x) = n-sima potncia de x iter(n,f(x)) = n-iterado de f(x), f(f(f(...(f(x))...))) n vezes abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y) = mdulo do vetor (x,y) abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z) = mdulo do vetor (x,y,z) arg(x,y) = ngulo polar entre -pi e pi max(a,b,..) = o valor mximo entre os elementos a, b, ... min(a,b,..) = o valor mnimo entre os elementos a, b, ... mod(x,y) = x - |y|*floor(x/|y|) = x mod y sgn(x) = x/abs(x) = sinal de x (-1, 0 ou 1) hvs(x) = funo Heaviside (1+sgn(x))/2 erf(x) = a funo erro padro , binom(n,r) = n!/r!/(n-r)! = combinao de n r a r sum(b,f(n,x)) = somatrio de f(n,x) para n=1 to n=b prod(b,f(n,x)) = produtrio de f(n,x) para n=1 to n=b rnd(x) = valor aleatrio entre -x e x gauss(x) = exp(-0.5x*x)/sqrt(2*pi) gamma(x) = funo gama de x

A janela do inventrioA janela apresenta os seguintes recursos: 1. Editar: Nesta opo possvel modificar a frmula da funo, determinar um novo intervalo, alterar a cor ou a espessura do trao. 2. Apagar: Elimina uma equao selecionada do inventrio. 3. Dupli: Duplica a funo selecionada. 4. Copiar: Copia a frmula da equao. 5. Derivar: O programa gera o grfico da derivada da funo. 6. Nome: til quando se trabalha com muitas funes. 7. Mostrar grfico: Oculta ou mostra o grfico. 8. Mostrar equao: Exibe a sentena da funo no grfico. 9. Famlia: converte a equao em uma famlia de curvas ou pontos. 10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da funo dentro do intervalo plotado.

Estudo do pontoPara criar um ponto qualquer clique em equao e depois em ponto (x,y).

Aparecer a janela:

Digite os valores para X e Y e clique em OK.

Distncia entre dois pontosPara calcular a distncia entre dois pontos deve-se plotar o primeiro ponto e clicar em Dupli para plotar um segundo ponto, mas sem apagar a fonte. Em seguida clica-se em dois e em distncias.

Seleciona-se os pontos e clica em distncia

E o programa dar a medida

Criao de segmentosPara criar segmentos clique em Equao Segmento (X,Y).

Aparecer a seguinte caixa:

Digite os valores para x e y e o programa plotar o grfico:

ExerccioConstrua um triangulo equiltero de rea 12 unidades.

Animao de grficosOs grficos do Winplot podem ser animados desde que suas equaes estejam definidas por parmetros (A-W).Para animar o grfico preciso indicar o intervalo no qual o parmetro deve variar. Exemplo: Vamos montar a equao ax+2, fazendo o parmetro A variar de -2 a 2. Digitaremos o seguinte no quadro Equao explcita:

O Winplot plotar o grfico como A=0. Em seguida definiremos o valor do parmetro A.

Nesse caso ele ser de -2 a 2:

Digite o valor mnimo(-2) e clique em def L, em seguida digite o valor mximo(2) e clique em def R, feito isso clique em auto ver ou em auto ccl que a animao ser feita.

Para parar a animao digite S, para pausar P, para ir mais lento L e para ir mais rpido R. Voc pode fazer variar qualquer um dos coeficientes (a,b,c), basta ele estar definido por um parmetro.

Animao de pontosPodemos animar um ponto no Winplot desde que ele esteja definido por parmetros. Exemplo: Vamos fazer um ponto se deslizar sobre a funo 2x sem sair do traado. Digitaremos a equao no quadro Equao explcita, em seguida colocaremos o ponto sobre o grfico j plotado.

Observe bem os valores dados para x e y, para que o ponto no saia do traado. No incio o ponto ficar na coordenada 0,0, mas ao definirmos os parmetros ele deslizar sobre o grfico.

TranslaoTransladar um grfico significa mudar sua posio no plano cartesiano, fazendo um deslocamento na horizontal e/ ou na vertical. Para isso basta trocar, na equao, x por (x+a) e/ ou y por (y+b), onde a e b so nmeros reais. Podemos tomar tambm a e b como parmetros e fazer suas variaes.

Exerccios1-Varie o parmetro a de cada equao abaixo de -2 a 2. y=2x+3x+1 trocando x por x+a y=2x+3x+1-a trocando y por y+a x+(y+2a)=4 trocando x por x+a y=sin(x) trocando x por x+a Trocando x p (x+a) ou y por (y+b) resulta em uma translao do grfico, Trocando x por ax ou y por ay observamos uma expanso ou contrao do grfico na horizontal ou vertical. 2- Varie o parmetro a de cada equao abaixo de -2 a 2. x^2+y^2=4 x^2+y^2=4 para 0a4 para0a4 trocando y por ay trocando x por ax

y=ax+2 y=ax^2

para0a5 para0a2

trocando x por ax trocando x por ax

O Winplot tem um recurso que serve para transladar grficos mais facilmente. Basta fazer o seguinte:

Aparecer a caixa:

Atribuindo valores para a o grfico se deslocar no eixo X (valores positivos se deslocar para a direita, valores negativos para a esquerda), atribuindo valores para b o grfico se deslocar no eixo Y (valores positivos para cima e valores negativos para baixo). Obs.: para transladar um grfico voc deve primeiro plot-lo.

Funo mduloPara construir o grfico de uma funo mdulo, clique em Equao e em implcita...F1. Na caixa digite: abs(f(x)). O Winplot interpreta o camando abs como sendo para construir o grfico de uma funo mdulo (valor absoluto da funo).

Exemplo 1: Para construir o grfico da funo f(x) = |x|.

Exemplo 2: Para construir o grfico da funo f(x) = f(x) = |x|-2|x|-1.

ExerccioUtilizando o Winplot construa os seguintes grficos: a) f(x) = |x-2x+1| b) f(x) = |x-2x|+1 c) f(x) = |x|-|2x|+1 d) f(x) = |x-2| e) f(x) = |x|-2

Funes exponenciaisPara construir o grfico de uma funo exponencial, clique em Equao e Explcita...F1, na janela y = f(x) digite: a^b, onde a a base e b o expoente.

LogaritmosPara construir o grfico de uma funo logartmica, clique em Equao e Explcita...F1, na janela y = f(x) digite: log(x), considerando logaritmo de x na base 10; log(b,x), para considerar logaritmo de x na base b.

ExemploVamos construir o grfico de f(x) = log2(2x-1): Na caixa y = f(x) devemos digitar: log(2,2x-1) para considerarmos a funo logaritmo de (2x-1) na base 2.

E o programa plotar o grfico:

Exerccio1- Utilizando o Winplot, construa os seguintes grficos:x

a) f(x) = 2x

b) f(x) = (1/2)x+1

c) f(x) = 2x

d) f(x) = xx

e) f(x) = 2 +1 f) f(x) = log 3 (x) g) f(x) = log 1/3 (x) h) f(x) = log (x+1) i) f(x) = log (x) -1

Estudo qualitativo de grficosVoc pode verificar atravs do Winplot a raiz (ou zero(s)) da funo e os valores mximos e mnimos, basta plotar o grfico e fazer o seguinte: Para ver a raiz:

Aparecer o valor:

Caso o grfico corte o eixo x em mais de um lugar, clique em prximo para ver os outros valores. Para ver os extremos:

Aparecer o valor:

Caso haja mais de um extremo, clique em prximo extremo de para ver os outros valores.

Funes pares e mparesFuno par: Uma funo real f par se, para todo x do domnio de f, tem-se que f(-x) = f(x). Uma funo par possui o grfico simtrico em relao ao eixo vertical Y. Ex:

Funo mpar: Uma funo real f mpar se, para todo x do domnio de f, tem-se que f(-x)= - f(x). Uma funo mpar possui o grfico simtrico em relao origem do sistema cartesiano. Ex:

ExerccioUtilizando o Winplot ache as razes, os extremos e diga se as seguintes funes so pares ou mpares: a) b) c) d) f(x) = 2x+2 f(x) = 4x-3 f(x) = x-4x+2 f(x) = 6x-3x+2x

Funes trigonomtricasEm matemtica, as funes trigonomtricas so funes angulares, importantes no estudo dos tringulos e na modelao de fenmenos peridicos. Podem ser definidas como razes de dois lados de um tringulo retngulo, contendo o ngulo ou, de forma mais geral, como razes de coordenadas de pontos no crculo unitrio. Funo Seno Grfico de f(x) = sen x f(x) = sen x Associa a cada nmero real x o nmero y = sen (x) Domnio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como seno possui valor mximo e mnimo, que so respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Grfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo denominado senide. Para construir o grfico basta escrever os pontos em que a funo nula, mxima e mnima no eixo cartesiano. Perodo: sempre o comprimento da senide. No caso da funo , a senide caracterza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o perodo 2. Sinal da Funo: Como seno x a ordenada do ponto-extremidade do arco: f(x) = sen x positiva no 1 e 2 quadrantes (ordenada positiva). f(x) = sen x negativa no 3 e 4 quadrantes (ordenada negativa). Funo Cosseno Grfico de f(x) = cos x f(x) = cos (x) Associa a cada nmero real x o nmero y = cos(x). Domnio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor mximo e mnimo, que so respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Grfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2. Esse intervalo denominado cossenide. Para construir o grfico basta escrever os pontos em que a funo nula, mxima e mnima no eixo cartesiano. Perodo: sempre o comprimento da cossenide. No caso da funo f(x) = cos x , a cosenide caracterza-se pelo intervalo de 0 a 2, portanto o perodo 2. Sinal da Funo: Como o cosseno x a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x positiva no 1 e 4 quadrante (abscissa positiva). f(x) = cos x negativa no 2 e 3 quadrante (abscissa negativa). Funo Tangente Grfico de f(x) = tg x Domnio: A funo da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela no existe quando o valor de cosx = 0 (no existe diviso por zero), portanto o domnio so todos os nmeros reais, exceto os que zeram o coseno. Conjunto Imagem: ] -, [ Grfico: Tangentide. Perodo: Sinal da Funo: Como tangente x a ordenada do ponto T interseo da reta que passa pelo centro de uma circunferncia trigonomtrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes ento: f(x) = tg x positiva no 1 e 3 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva). f(x) = tg x negativa no 2 e 4 quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).

Sistemas de equaesPara construir um sistema devemos primeiro construir duas funes na mesma tela de grficos, para isso construiremos a primeira funo e usaremos o comando dupli do inventrio para construirmos a segunda, mas sem apagar a fonte. Para encontrar os pontos de interseo dos grficos de duas funes entre em dois e a seguir em intersees, desta maneira:

Aparecer a seguinte caixa:

Caso haja mais de um ponto de interseo basta clicarmos em prox interseo. No grfico aparecer a marcao no ponto correspondente. Para marcar os pontos de interseo nos grficos, devemos clicar em marcar ponto

ExemploVamos encontrar as intersees das funes f(x) = x+2x-1 e f(x) = x+1

Verificando o tipo de sistemaUtilizamos os mesmos passos acima.

ExemploVamos verificar de que tipo e sistema se trata: 12x - y = 7 x + 5y = -2 Podemos usar na forma de equao implcita ou isolar o y e usar na forma de equao explcita. Neste exemplo utilizaremos a forma explcita. y = 2x 7 y = (-1/5)x (2/5) Resoluo grfica:

O sistema possvel e determinado, pois tem uma nica soluo (uma nica interseo). 2x+y=5 x+y=2 Isolando o y: y = -x + 5 y = -x + 2 Resolu ogrfica:

Observe que as retas so paralelas, donde podemos concluir que no hever interseo entre elas. Portanto o sistema impossvel. 36x + 6y = 12 4x + 4y = 8 Isolando o y: y = - (6/6)x + 12/6 y = - (4/4)x + 8/4 Resoluo grfica:

Observe que as duas retas so sobrepostas (coincidentes), donde podemos concluir que existem infinitas solues. Portanto o sistema possvel e indeterminado.

ExerccioCom o auxlio do Winplot, classifique os sistemas abaixo (SPD, SPI, SI) a) x + 2y = 5 2x 3y = - 4 b) 3x 4y = 1 x + 3y = 9 c) x + 2y = 7 13x + 16y = 9 d) x + 2y = 18 3x + 6y = 54 e) x+y=-1 x+y=1 f) xy=0 x+y=0

Funes definidas por mais de uma leiPara visualizar a grfico de uma funo definida por mais de uma lei basta digitar no campo f(x) = joinx(lei 1| a, lei 2| b,..., lei n). O Winplot interpreta lei 1 no intervalo x < a, a lei 2 no intervalo a < x < b e assim sucessivamente. 2, se x 2 Colocaremos o seguinte no inventrio:

E o programa plotar o grfico

CnicasAs cnicas tm como equao geral ax + by +cxy +dx + ey + f = 0

ExemploVamos plotar a cnica x + y +xy +x + y = 0 (equao implcita)

CircunfernciaA circunferncia tem como equao geral (x - a) + (y - b) = r, onde C = (a,b) o centro e r o raio da circunferncia.

ExemploVamos plotar uma circunferncia de raio 2 e centro no ponto (2,1)

ElipseA elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados, tem como equao geral [(x - m)/a] + [(y - n)/b] = 1, onde C = (m,n) o centro e a e b dois parmetros que definem os eixos maior e menor da elipse.

ExemploVamos plotar uma elipse de centro de origem no ponto (-1,2), raio menor 2 e raio maior 3.

HiprboleA hiprbole com eixos paralelos aos eixos coordenados, tem como equao geral [(x - m)/a] - [(y - n)/b] = 1, onde C = (m,n) o centro e a e b dois parmetros que definem os eixos maior e imaginrio da hiprbole.

ExemploVamos plotar uma hiprbole de centro no ponto (-2,-1) e eixos 3.

InequaesPara plotar o grfico de uma inequao deve-se primeiro plotar uma curva na forma implcita.

ExemploVamos plotar o grfico das inequaes x + y/2 > 1 e x + y/2 < 1. Primeiro passo: Plotar na forma de equao implcita.

Segundo passo: Para plotar a inequao faa o sequinte.

Aparecer a caixa:

Para x + y/2 > 1 clique em alterar = a >, para obter x + y/2 < 1 clique em alterar = a 1

SombreamentoPara usar esse recurso preciso primeiro plotar o grfico na foram explcita.

ExemploVamos sombrear a rea do grfico que fica entre as equaes 2x + 1 e 2x - 1. Primeiro passo. Vamos plotar as duas equaes. Devemos plotar uma, clicar em Dupli, escolher no apagar a fonte e ploatar a segunda.

Segundo passo: Faa o seguinte.

Aparecer a caixa:

Voc pode escolher sombrear acima do grfico da funo, abaixo ou caso haja duas equaes sombrear entre elas. Escolha a cor que desejar e clique em sombrear. No nosso exemplo vamos sombrear entre as duas equaes.