WINPLOTApostila elaborada para a disciplina Aplicativos para o Ensino Fundamental da turma de Terceiro Semestre de Matemtica - 2005 - UNIP - Campinas Com os a gradecimentos ao nosso colega Geraldo Tavares do Nascimento pela preocupao em juntar estas informaes. Sob a superviso da Professora Clarice Favaretto Salvador

1. Menus de AjudaMenu "Arquivo"============== Voc pode comear abrindo um arquivo antigo que j tenha sido salvo antes. Quando aberto o arquivo, este aparecer exatamente igual a quando voc o salvou. Opes adicionais como cor de fundo, nomes dos eixos, e legendas devem estar mantidas intactas. Imprimir: Esta opo faz o que o nome diz. Contudo, antes de imprimir uma figura considere dois itens do menu, a seguir: Formatar: Esta opo posiciona a imagem a ser impressa na pgina. As margens so medidas a partir do canto esquerdo e de cima, respectivamente, e esto em centmetros. A largura da imagem tambm especificada em centmetros. A altura da imagem determinada pela largura (e pelo formato da janela). Selecione "quadro" se desejar que uma linha seja desenhada ao redor da figura. Selecione "colorida" somente se a sua impressora for colorida. --Seno a impressora pode tentar colorir e tornar a impresso estranha. Selecionar Impressora: Permite mudar de impressora enquanto o programa est rodando. Uma das opes mudar para o formato "paisagem" -- Para isto, selecione o boto apropriado. Clique em "Copiar" se desejar colar a figura atual para outro programa do Windows. Para compatibilidade de documentos o tamanho da janela pode ser mudado usando "Tamanho de Imagem". Se desejar incluir cor de fundo selecione com "cor de fundo". A figura pode ser copiada como Bitmap, mas colar esta imagem em um outro documento aumentar muito o tamanho de seu arquivo.

Tamanho de Imagem: Quando imprimindo ou copiando a tela as propores so mantidas, por isso no h problema em imprimir uma janela grande a partir de uma imagem pequena. O problema com o texto, que no escalonado pelo processo de impresso, portanto pode parecer desproporcional, ao menos que ajuste o Tamanho da Janela com Tamanho o da Impresso. Estas observaes tambm se aplicam as colagens de documentos usando "clipboard". Senha: Voc pode inserir uma senha para o arquivo, antes de salv-lo. Com isso possvel controlar o que outros usurios podem fazer com seu arquivo. Por exemplo, voc pode proteger o acesso ao Inventrio, onde so guardadas as suas equaes. Autor: Esta opo est ativada se o autor do arquivo protegido incluiu informaes e seus contatos.

Menu "Equaes"=============== Existem vrios formatos de entradas . Em cada caixa de dilogo a cor da caneta selecionada clicando no boto cor e depois clicando na cor escolhida. A espessura da caneta mudada digitando um nmero (ex: 1, 2, 3,..) na caixa "espessura da linha". Notaes da maior parte das funes requerem parnteses. Por exemplo, voc deve digitar sin(x) ao invs de sin x. Da mesma forma, digite log(x), tan(x), abs(x) para obter o grfico dessas funes. No necessrio entretanto digitar "2*x". Basta digitar "2x" . Explcita: Esta caixa de dilogo aceita expresses y=f(x), que definem uma funo de x. Se voc quer restringir o domnio do grfico digite os valores mnimos e mximos de x na caixa e marque "travar intervalo" para confirmar o seu pedido. Isto definir o intervalo padro que ser toda a largura da tela. Se voc seleciona "tornar peridica", o programa assume que a funo peridica fora do intervalo traado. Ao aumentar a densidade dos pontos a velocidade de desenho do grfico diminuir, mas pode ser til para certos tipos de grficos que tm sees irregulares. Tolerncia passo: O valor de algumas funes (int, floor, ceil, por exemplo) mudam bruscamente de um nvel para outro. Para impedir que o programa ligue os pontos que deveriam estar separados, as operaes grficas so suspensas quando o passo definido est bem prximo a um ponto de descontinuidade. Se o programa est ligando pontos em uma descontinuidade, a tolerncia (que medida em pixels) est colocada muito baixa. Paramtrica: Use esta caixa para definir a curva na forma parametrica. Voc provavelmente desejar alterar a variao dos valores de t, e pode ser necessrio

aumentar a densidades dos pontos caso a curva parea muito "poligonal". Marque "polar" para entrar com equaes paramtricas no sistema polar, dadas por equaes que definem r e theta em funo de um parmetro t. Implcita: Funes definidas implicitamente so desenhadas por um mtodo especial. O programa procura randomicamente por um ponto inicial que se encaixa na equao dada. Uma vez que este ponto encontrado, a curva a partir deste ponto desenhada ao se calcular numericamente certas equaes diferenciais. Tendo em vista que o grfico desenhado pode no ser conexo (no ter um s pedao), o programa demora mais tempo procurando por mais pontos iniciais. Se voc desejar continuar a busca at pressionar Q para parar, selecione a caixa "procura longa" . Este modo s funciona para desenhos que so realizados aps voc clicar OK -- no se aplica se a tela tem que ser redesenhada (depois de uma mudana de tamanho, por exemplo). Se voc quer ver o andamento do processo de desenho na tela (que ser mais lento, se voc escolher isto), selecione "ver". Este modo permanece ativo sempre que a janela atualizada. Polar: Use esta caixa para curvas polares e use a letra t para representar o ngulo polar teta, que dado em radianos. O domnio padro de 0 a 2pi. Se voc no quiser representar valores de r negativos selecione a caixa. ________________________________________________________________________ Reta: Use este item para descrever uma reta ax + by = c na tela. Digite os coeficientes a, b, e c nos espaos correspondentes. Se voc est desenhando uma linha utilizando a espessura 1 (normal) voc poder desenh-la pontilhada ou tracejada. Segmentos de um ponto (a,b) a outro (c,d) tambm podem ser pontilhados, tracejados ou de espessuras diferentes. Entre com as coordenadas (a, b) e (c, d) nos espaos correspondentes e clique Ok. Ponto: Pode-se marcar pontos individuais na tela, com diferentes tamanhos e cores. Clique em "ncoras" para ver as projees ortogonais sobre os eixos coordenados. Clique "Lista" para extrair uma lista de pontos do clipboard. Cada campo numrico interpretado como uma coordenada. Esta caixa de dialogo "Lista" tambm pode ser usada para obter uma coleo de pontos cujas coordenadas esto definidas em funo de um parmetro (no caso, um numero inteiro). O programa plota os pontos e os acrescenta ao Inventrio. Por exemplo, ao digitar x=a, y=2a, e escolhendo o parmetro "A" variando "de 1" "at 3" , voc obter trs pontos no plano. ________________________________________________________________________ Polinmios: Cria equaes polinomiais (de grau no mximo 8) que passa por determinados pontos. Inicialmente so plotados trs pontos arbitrariamente (parbola) e exibida a janela no modo "editar-polinmio". O mouse (boto esquerdo) usado para arrastar pontos pela tela, ou ento para adicionar/deletar pontos (boto direito).

Os pontos que definem o polinmio esto sempre visveis no modo edio, mas podem ser ocultados -- ver o caixa de dilogo Editar/ Atributo. Clique Editar/Terminar para retornar para o menu 2D. Grficos criados desta maneira iro aparecer no Inventrio como "polinmio". Exceto pelo fato de suas equaes no estarem visveis, elas podem ser usadas do mesmo modo que exemplos do tipo y=f(x). ________________________________________________________________ Desigualdades explcitas: Esta opo pode ser usada caso se tenha alguma funo y=f(x) no Inventrio. Essas curvas so usadas para definir regies sombreadas. Cada uma dessas regies so obtidas sombreando "acima" ou "abaixo" de uma determinada curva, ou "entre" duas curvas selecionadas -- os botes selecionam apenas um dos trs casos. Para restringir os valores de x entre dois extremos, selecione "definir intervalo" e digite os valores extremos no espao apropriado. O sombreamento feito por um padro de pequenos pontos, cuja cor poder ser selecionada. Uma vez descrita a regio clique "sombrear" para ver o resultado e para adicionar na lista de regies. Cada clique no boto "sombrear" aumentar a densidade do sombreamento. Para reduzir ou retirar todo sombreamento, clique em "deletar" ou "del tudo", respectivamente. Desigualdades implcitas: Esta opo est disponvel se existirem exemplos de curvas implcitas no inventrio. Tais exemplos podem ser convertidos em inequaes (basta selecionar cada uma das equaes da primeira caixa de e clicar num dos botes "mudar = para " ). Voc poder definir ento uma regio plana, que ser definida pelas inequaes escolhidas, na segunda caixa (tomadas conjuntamente). Para sombrear esta regio, clique em "mostrar regio". Se ao invs disso voc clicar em "mostrar pontos", clique tambm em "lanar pontos" para gerar o nmero indicado de pontos aleatrios uniformemente distribudos, nesta regio. Somente os pontos dessa regio sero mostrados (e temporariamente). Se a regio for completamente visvel, a mdia dessas coordenadas desses pontos uma aproximao do centride dessa regio. _______________________________________________________________ Recursiva: Isto proporciona uma maneira de desenhar um seqncia de pontos. A recursividade diz como cada ponto obtido atravs do anterior. Voc digita duas funes na caixa de edio -- uma diz como obter o novo valor de x a partir do x e y atuais e a outra diz como obter o novo valor de y a partir do x e y atuais. Como uma sucesso de pontos pode ultrapassar a tela, se voc quiser que o programa interrompa o processo quando isto acontecer, selecione "limite da tela". Quando voc clicar "Ok" nada ir mudar na tela porque a recursividade no definida at que um ponto inicial seja definido. Ver "IVP" (problema de valor inicial) no menu "Uma" mais abaixo. Existem dois formatos de equaes de primeira ordem: Diferencial dy/dx = F(x,y): Use este item para definir um campo de direes. Para

ver o campo clique no boto "inclinao". Para ajustar o tamanho dos segmentos entre com uma pequena porcentagem na caixa "comprimento". Para mudar a densidade dos segmentos entre com nmero diferente na caixa "linha". O boto "cor" se aplica ao campo de direes. Cores para as trajetrias (as curvas solues da equao) so selecionadas no item "IVP" descrito abaixo. A curva soluo, que desenhada da esquerda para a direita, pode ultrapassar o limite da tela. Se voc quiser que o programa interrompa o processo quando isto acontecer selecione "limite da tela". Diferencial dx/dt = f(x,y,t) e dy/dt = g(x,y,t): Estas equaes definem um campo de vetores, que dependem de t assim como de x e y. Se o parmetro t est presente na equao de definio, marque a caixa "dependente do tempo". Isto afeta como o programa reage quando a curva soluo retorna ao seu ponto inicial. Se voc quiser que o campo de inclinaes ou o campo de vetores estejam visveis clique no boto correspondente. Para ver as curvas solues, use o item "IVP" descrito abaixo. Para abortar clculos em curvas que ultrapassam o limite da tela marque "limite da tela". Para melhorar a eficincia da curva soluo (fazendo mais clculos intermedirios) aumente a densidade de plotagem. Voc pode restringir a curva ao impor uma condio na forma 0 < r(x,y,t); a soluo ser interrompida quando no satisfazer essa condio. Selecione "restringir" para ativar esta condio. ___________________________________________________________________________ __ Em adio aos tipos acima voc tambm pode criar ciclides e integrais indefinidas. Para informaes sobre estes tipos veja o menu "Um". ___________________________________________________________________________ __ Inventrio: Esta caixa de dilogo que aparece automaticamente depois que o primeiro exemplo criado, permite que voc inspecione e edite exemplos existentes e faa outras modificaes e construes. Para selecionar um item clique sobre o exemplo com o mouse. Somente um exemplo pode ser selecionado por vez. A capacidade do inventrio pode ser ajustada --- clique em Tamanho do Inventrio. "editar" - este boto abre a caixa de dilogo que usada para criar os exemplos e permite fazer mudanas. "apagar" - este boto faz o que o nome diz. O exemplo desaparece do inventrio e da tela No existe "voltar" para esta operao. Todas ao equaes que dependem do exemplo apagado tambm sero apagadas (derivadas, por exemplo). "duplicar" - este boto copia um exemplo e abre uma caixa de dilogo. Voc pode criar um exemplo similar sem mudar o original. "clip" - a descrio do exemplo colocado na prancheta (clipboard como texto).

"nome" - permite preceder a equao por uma pequena descrio. "tabela" - abre uma janela de texto que mostra valores da funo selecionada. Voc pode alterar o contedo do tabela clicando em "parmetros" na sua barra de menu, e voc pode ver tabelas para um exemplo diferente clicando em "Arquivo|prximo" na mesma barra de menu. A janela texto tem outras caractersticas j observadas acima. "derivar" - clique neste boto para calcular a derivada de um item selecionado. Esta opo de clculo s se aplica para certos exemplos. O resultado desenhado e adicionado no inventrio. Uma derivada tambm pode ser selecionada depois. Voc pode editar uma derivada, mas s os seus atributos, (cor, espessura, etc), nunca a definio. "equao" -- clique esta opo para mostrar a equao (os primeiros 60 caracteres) de um exemplo selecionado; clique uma segunda vez para remover a equao. "grfico" -- clique para esconder o grfico do exemplo selecionado, sem remover o exemplo do inventrio; clique uma segunda vez para restaurar. "famlia" -- clique para converter o exemplo em uma famlia de curvas (ou pontos). Para isto funcionar, o exemplo deve ser definido por uma equao que tem um parmetro extra. Por exemplo, y = axx + bx + c define uma funo quadrtica que depende de trs parmetros a, b, e c . Cada um dos trs podem ser usados para criar uma famlia de curvas. Digite "c" na caixa "parmetro", coloque o intervalo dos valores ao preencher as caixas "min" e "max" e diga quantas curvas devem estar na famlia ao preencher a caixa "passo". Clique "definir" para completar o processo e ver o grfico. Note a mudana na entrada do inventrio para o exemplo. Para desfazer esta construo, selecione o exemplo e clique "indefinir". O procedimento acima uma maneira de "animar" um exemplo. Ver menu "animao" para maiores informaes sobre este tpico. "web" -- traa um diagrama em rede (web diagram) em um exemplo do tipo y=f(x). O valor inicial pode ser animado, associando-o a um dos parmetros A, B, ..., W da lista do menu Anim. O segmento inicial cruzar o eixo x se voc selecionar "segmento inicial". Nas linhas da rede sero colocadas setas, caso voc opte por isso no box. "Passos" se refere ao nmero de vezes que a funo aplicada no valor inicial (isto : x, f(x), f(f(x)), ...etc ). Para desfazer o traado, feche a caixa de dilogo com "desdefinir" . ___________________________________________________________ Fonte: Esta opo permite mudar a fonte usada para mostrar equaes na tela. Biblioteca: Este arquivo de ajuda lista todas as funes padres que o Winplot reconhece, assim como algumas poucas regras de composio. Limpar tela: Apaga todos os textos e grficos da tela.

Definir funo: este item permite que voc defina sua prpria biblioteca de funes, que so salvas com o arquivo. Quando o Winplot analisa uma expresso, ele olha para a sua lista de funes primeiro. Para fazer uma entrada nova na lista, digite o nome na primeira caixa de edio e uma frmula que a defina (em termos de x) no segundo. Clique "enter" para terminar. Ocultar equaes: Remove todas os equaes da tela simultaneamente. Clique novamente para por todas na tela novamente. Ocultar pontos: Remove todos os pontos da tela simultaneamente. Clique novamente para por todos na tela novamente.

Menu "Ver"========== Visualizao: Este menu define uma janela em duas maneiras: "extremidades" : especifica os valores extremos para as duas variveis independentemente (as escalas dos eixos so independentes) "centro" : especifica as coordenadas para o centro. A escala do eixo vertical associada a escala do eixo horizontal. Zoom afastar: Expande o domnio de viso dos dois eixos coordenados na mesma proporo. Mais aproximar: Diminui o domnio de viso dos dois eixos coordenados na mesma proporo. Zoom Quadrado: Somente ativo quando os eixos esto em escalas diferentes. Ele estabelece uma mesma escala para os dois eixos e deixa o grfico mais em foco. Voltar Janela: Retorna a janela imediatamente anterior. Enquadrar Tudo: Tenta enquadrar todos os exemplos ativos na tela. Isto pode no ser possvel, os resultados so imprevisveis.

Restaurar: Retorna aos valores padres da janela. Redesenhar: redesenha os grficos, o que til quando se deseja criar animaes com famlias de grficos (trajetrias de pontos, curvas em sucesso, etc.). Redesenhar implcitas: se este item estiver marcado, todos os grficos implcitos sero recalculados sempre que houver uma mudana na tela. (O programa procura por novos pontos de partida em cada componente do grfico.) ___________________________________________________________

Menu eixos:Eixos: Faz aparecer (ou no) os eixos coordenados. Ao imprimir as linhas de grade numa impressora de alta resoluo, os eixos precisaro ter maior espessura para que ressaltem das demais linhas. Clique em "Espessura". Os smbolos usados para nomear os eixos podem ser trocados em "rtulos". Os smbolos usados para nomear os eixos podem mudados. Clique em "Nomes". Os rtulos dos eixos podem selecionados "opacos", desde que seja escolhida esta opo no menu Ver|Grade. ___________________________________________________________ Grade: Esta opo controla muitos detalhes relacionados ao sistema de coordenadas subjacente. Eixos: Quando est selecionado existem quatro possveis estados: os dois eixos visveis, somente o eixo x, somente o eixo y ou somente o raio polar; Marca: Quando selecionado este item, os eixos tero pequenas marcas. Intervalo: a distncia entre as marcas; Escala: Se selecionado, habilita a escala numrica juntamente com as marcas; Decimais: quantidade de decimais utilizados na escala; freqncia: determina a freqncia que ir mostrar a escala (Ex:1- cada marca, 3-de trs em trs) pi: Quando selecionado, significa que a escala ser expressa em mltiplos de pi. Para ver o smbolo de pi, voc deve selecionar a fonte da escala dos eixos (veja menu Misc) para uma fonte que tenha o smbolo para pi, e entrar

com o cdigo do caracter para ele (por exemplo, use 112 na fonte Symbol). Seta: Quando selecionado coloca setas ao fim dos eixos pontos: este padro de fundo determinado pelo intervalo das marcas. Legenda: coloca "x" e "y" ao final dos eixos. Comprimento de marca: definido como uma porcentagem do comprimento da tela de seu computador. Grade retangular: este plano de fundo determinado pelo intervalo das marcas; marque os quadrantes que voc deseja que aparea as linhas de grade. Setores polares: determinado pelo intervalo de marcas no eixo x. O nmero de setores obtido do menu de edio. Note que a grade polar pode estar ativa ao mesmo tempo que a grade retangular. Quando tiver selecionado tudo que desejou clique "aplicar" para ver as mudanas. ___________________________________________________________ Pontos conectados: Desmarque este item para ver como fica o grfico quando os pontos no esto conectados. A aparncia pode depender de outro fatores, como densidade do ponto e a inclinao da curva.

Menu "Botes"============= Existem cinco opes para o mouse, a saber: "BE arrastar box" significa que um novo quadro pode ser criado ao dar um clique no boto esquerdo e arrastando um retngulo no quadro atual. Isto desvincula a escala nos dois eixos. "BD zoom recenter" significa que um clique com o boto direito do mouse em qualquer ponto da janela ir recentralizar o quadro naquele ponto e o tamanho do quadro ser reduzido a um mltiplo do tamanho atual (o fator definido usando o item de menu Ver|Fator. Isto no desvincula a escala dos eixos. "Modo texto" significa que o boto direito do mouse usado para criar e editar um caixas de texto e o boto esquerdo usado para arrastar o texto pela tela. Uma sesso de edio de texto abre uma caixa na qual se pode selecionar a fonte, a cor, o tamanho e decidir se voc quer calcular a posio do texto referente ao quadro do grfico (de maneira que no se altere com operaes de zoom, etc), ou ter o sistema de coordenadas como ponto de referncia, o que pode exceder o campo de viso. Voc tambm pode selecionar um fundo opaco para o texto ou um transparente. Se voc no gostar do visual dos hfens estes podem ser

substitudos por linhas mais largas, mas voc ter que dar o valor do caracter em cdigo ASCII na fonte atual. Para a maioria dos casos o valor 150 funciona. "XY coordenadas BE" significa que um clique esquerdo mostra as coordenadas do pixel, relativas ao sistema de coordenadas atual. "recentrar BD" significa que um clique direito recentra a janela do grfico no ponto do clique, sem mudar o tamanho da janela. "Colar" significa que um clique direito colocar grficos do "clipboard" na tela, e o boto esquerdo pode ser usado para mover o grfico pela tela. Se o "clipboard contm" algo a mais que um grfico, um clique direito pode produzir resultados estranhos. Para remover um item, clique nele com o boto direito e responda "no" para a pergunta "conservar". Sempre que voc der um clique direito aparecer uma pergunta sobre a escolha da cor do fundo, opaco ou transparente. "Trajetria": Voc pode iniciar uma soluo de uma equao diferencial clicando com o mouse, mas somente quando a caixa IVP estiver aberta (ver ajuda do menu "Uma").

Menu "Um"========= Coisas que voc pode fazer com um exemplo por vez: Trao: Use esta opo para percorrer com um cursor ao longo de uma curva. A barra de rolagem que aparece permite voc mover o cursor ao longo da curva em questo. Voc pode tambm posicionar o cursor digitando qualquer valor na caixa de texto e pressionar Enter. O alcance dos valores da barra de rolagem determinado pela janela atual, que pode ser mudada ao selecionar na lista ao topo da caixa de dilogo (e alterar os "cantos" da sua janela). Clique "marcar ponto" para salvar a posio do cursor no inventrio. Clique "aprox Taylor" para acrescentar uma reta tangente ao inventrio. Nos exemplos do tipo y=f(x) o "grau" da aproximao pode ser aumentado do seu padro 1 (clique na seta para ver a lista de opes). Se voc seleciona "demo secantes" o programa ir exibir retas secantes a partir do "ponto base" que voc definir. Se voc selecionar "demo tangentes" o programa exibir retas tangentes a partir do seu ponto base, que se mover ao longo do grficos com o cursor. Para esses exemplos y=f(x) o programa tambm mostra o coeficiente angular da reta tangente correspondente (ou da reta secante), bem como a curvatura do grfico no ponto de tangncia. Para os exemplos de

curvas na forma polar ou paramtricas, as tangentes e secantes so substitudas por vetores velocidades, cujas componentes so mostradas na caixa de dilogo, onde a preferncia dada para as tangentes. Quando o vetor tangente est na tela, o programa exibe tambm seu mdulo, bem como a curvatura do caminho no ponto de tangncia. Zeros: Vlido somente para curvas do tipo y = f(x). Acha e mostra as coordenadas da interseo do grfico com o eixo Ox. Clique "prximo" para mover o cursor para direita. Se no houver intersees direita (de sua janela), ele comea novamente o processo. Os valores de x podem ser salvos para uso posterior; clique "salvar como" aps voc ter selecionado uma letra para se referir ao valor salvo. Por exemplo, se voc salvou um valor como "k" ento voc pode inserir este valor em uma frmula ou em uma caixa de edio bastando digitar "k". Os valores tambm esto salvos como "dados" ... ver "Misc|Dados". Os pontos de tangncias de curvas o eixo x tambm so encontrados, juntamente com o pontos de interseo que so transversais. Entretanto, para detectar "zeros absolutos", o passo (step) da tolerncia deve ser colocado igual a zero. Extremos: Acha pontos em um grfico que so extremos de algum tipo de curva: "valor extremo y", "valor extremo x" e "valor extremo r". Digite a varivel desejada na caixa de edio "valores extremos" e clique no boto "prximo" repetidamente para ver todos os extremos. Para selecionar uma curva diferente, use a lista mais acima. O algoritmo usa derivadas, e ignora as extremidades do intervalo. para detectar "zeros absolutos", o passo (step) da tolerncia (Ver menu Misc) deve ser colocado igual a zero. Todo extremo adicionado lista de "dados" (Ver Misc|Dados|Inspecionar) para o exemplo em questo. Clique "salvar" para colocar o valor da varivel como um parmetro na listagem "como" . _____________________________________________________________________ Submenu de Medidas: Integrao: Pode ser usado para o clculo numrico e tambm para ilustrar uma srie de mtodos simples. Clique em "definida" para calcular um valor aproximado para a integral indicada usando os mtodos listados pelas caixas de seleo e o nmero de sub-intervalos que voc deseja dividir o domnio. Selecione "visualizar" para o programa exibir os retngulos (ou trapezides, ou arcos de parbolas) que correspondem ao primeiro item selecionado na lista. Esta visualizao s til se o nmero de subintervalos razoavelmente pequeno (Ex:10,20,50,100,etc). Se voc clicar em "indefinida", a antiderivada de f, que corresponde ao "limite inferior" adicionada ao inventrio (no h frmula simblica, s uma indicao que o novo grfico uma antiderivada da funo). O mtodo parablico requer

um nmero par de intervalos, por isso o programa completa os quadrados calculando um ponto extra para cada um dos intervalos pedidos. rea do setor: Estima a rea do setor (centralizado na origem) definida por um arco selecionado. A resposta exibida sempre positiva, mas a rea produzida por movimento no sentido horrio se cancela com as produzidas por aquelas do sentido anti-horrio. Comprimento do Arco: Selecione uma curva atravs da lista de funes (drop down list). Os pontos inicial e final so definidos digitando-se os valores mnimos e mximos de x (ou t, se a curva for paramtrica) nas caixas de edio. Clique "comprimento" para ver a resposta. O valor aproximado obtido afetado pelo nmero de subintervalos que voc usa. Volume de revoluo: Selecione um eixo ax + by = c digitando os coeficientes a, b, c, e selecione uma curva da lista. Voc pode clicar "eixo x" ou "eixo y" para uma seleo automtica. Selecione os pontos inicial e final da curva. Cada ponto na curva determina um segmento perpendicular ao eixo de rotao. Este segmento, ao girar em torno desse eixo, define um disco circular. Clique em "volume" para obter o valor do volume do slido resultante. A preciso da integrao numrica influenciada pelo nmero de "sub-intervalos". rea da superfcie de revoluo: Similar ao item anterior. Superfcie de revoluo: Esta opo exatamente como a de "volume de revoluo" e "superfcie de revoluo, exceto pelo fato que o resultado um grfico 3D que mostra um objeto em 3D. Toda nova solicitao adicionada mesma janela 3D e, portanto voc pode ver vrios exemplos simultaneamente. _________________________________________________________________________

Problemas de Valor Inicial (IVP's):Seqncias: Esta opo s est disponvel se existirem exemplos recursivos no inventrio. Escolha o ponto inicial digitando as coordenadas (x,y) na caixa de edio. Voc pode clicar "desenhar" para ver a seqncia resultante. O nmero de pontos plotados depende de quantos "termos" foram pedidos, e se a caixa "limite da tela" estava selecionada quando a recurso foi definida (ver "Equa"). Se voc clicar em "olhar" ao invs de "plotar", voc ver os pontos assim que estes forem calculados, ao invs de v-los somente quando a lista estiver completa. Em algum momento voc pode precisar pressionar Q para parar o processo. "Olhar" torna o processo mais lento. Clique "tabela" para ver a lista de pontos na janela texto. O ndice do termo inicial

O. Quando cada seqncia completada ela adicionada ao inventrio para aquele exemplo e mostrada na lista despregvel (drop down). Clique "deletar" para remover exemplos que voc no queira. Trajetria dy/dx: Similar ao anterior, com exceo que agora este se aplica a curvas (curvas solues) que so definidas por pontos em um campo de direes. As coordenadas do ponto inicial x e y so digitadas nas caixas de edio. Para obter uma soluo numrica de uma equao diferencial voc deve selecionar tambm o "tamanho do passo", o mtodo, e o nmero de passos. Um nmero positivo na caixa "tamanho do passo" significa que a curva prossegue para direita. Analogamente para o que um nmero negativo faz. Escolha entre "Euler", "Euler modificado" e "Runge-Kutta" clicando no boto correspondente e digitando um valor positivo na caixa "passos". Se a cor for importante clique "cor" antes de desenhar a trajetria ela no pode ser mudada depois disso. Se voc escolher "olhar" a trajetria voc pode escolher a velocidade" - quanto maior o nmero na caixa "retardo", mais lento ser o processo de desenho. Cada curva adicionada lista do inventrio para equaes diferenciais. Remova as trajetrias indesejveis clicando em "deletar". Trajetria (dx/dt,dy/dt): Similar ao anterior, com exceo que voc no escolhe o mtodo de integrao, o tamanho do passo, o nmero de passos, e no existe sada tabular. Uma trajetria parametrizada interrompida quando: (1) ultrapassa o limite da tela (se "limite de tela" foi selecionado, quando o exemplo foi definido); (2) diminui a velocidade at parar (encontra um vetor nulo); (3) interrompida quando voc pressiona Q ; (4) quando ela retorna ao ponto inicial ; (5) a "durao" da trajetria (tempo t decorrido) atinge o limite preestabelecido. A direo "Adiante" da curva definida pelos vetores que definem o campo, mesmo que eles no estejam visveis. Se o campo for "dependente do tempo", ento o valor inicial de t significativo, e retornar ao ponto de partida no interromper os clculos, pois a direo da curva pode no ser a mesma que era antes. Se os laos fechados ("closed loops") forem interrompidos porque a trajetria de retorno estava com uma distncia menor que a especificada do ponto inicial--ver item de menu "Misc|Tolerncia|tolerncia fechar loop" para ajustar este valor. Trajetrias raramente encontram um vetor nulo, s vetores pequenos -quo pequeno suficiente para interromper uma trajetria? Ver item "Misc|Tolerncia|Vetor nulo". Outro sinal que a trajetria est perto de um vetor nulo a mudana brusca de direo. Para isto abortar a trajetria o item "Misc|Tolerncia|ngulo abrupto" deve estar selecionado.

Se a cor importa clique "cor" antes de desenhar a trajetria. Cada curva adicionada ao inventrio de equaes diferenciais. Os valores iniciais de seqncias de pontos e trajetrias (dx/dt,dy/dt) podem ser salvos como texto -- basta selecionar esta opo antes de traar a trajetria. Essas trajetrias podem ser alteradas variando-se os parmetros. Plotar lista: Para certas equaes, possvel marcar vrios pontos isolados sobre o grfico. Basta entrar com uma lista de coordenadas numricas, separadas por vrgula. _____________________________________________________________________ Reflexo: A maioria dos grficos pode ser refletida com relao a uma reta. Para maior convenincia, trs casos particulares (os eixos e a bissetriz dos quadrantes mpares) podem ser escolhidos com botes de rdio. Rotao: A maioria dos grficos pode ser girada em volta de um centro e segundo um ngulo (em radianos) dados. Por convenincia, o caso especial de uma rotao de 180 graus (meia-volta) pode ser acessado diretamente. Ciclides: Quando um crculo de um dado tamanho gira sem deslizar ao longo de uma curva (no implcita) do inventrio, um ponto atchado a este crculo descreve uma curva, denominada ciclide. Os valores "min", "max" e "inicial" (de x ou de t) definem os pontos onde o crculo toca a curva; os vetores dirigidos do centro ao ponto traado e do centro ao ponto "inicial" so paralelos. A distino "esquerda" e "direita" tem como referncia a direo positiva da curva. O "brao" descreve o espao entre o centro do crculo e o ponto que traa a ciclide; seu valor padro (default) o "raio" do crculo, mas este pode assumir qualquer valor. Se este valor for zero a ciclide o caminho descrito pelo centro do crculo. Superfcie de revoluo: Este caixa de dilogo similar aos caixas de dilogo "volume de revoluo" e "rea de revoluo", exceto que neste caso o resultado uma janela 3D que mostra o objeto tridimensional.

Menu "Duas"=========== Algumas coisas que voc pode fazer com dois exemplos ao mesmo tempo: Intersees: Esta caixa de dilogo usada para localizar pontos de interseo de duas curvas, bem como o ngulo entre as curvas em cada ponto

de interseo (dado em radianos, a menos que a opo "ngulo de interseo em graus" esteja marcada). Cada par de curvas selecionado escolhendo-se um item de cada menu suspenso. Para marcar um ponto de interseo, clique em "marcar ponto". As coordenadas x e y da interseo, bem como o ngulo z neste ponto, podem ser atribudos s letras A, B, ..., Z para uso posterior. Para isto, primeiro selecione x, y ou z, depois a letra desejada e ento clique em "salvar". As coordenadas da interseo so acrescentadas lista de dados de cada exemplo. No so localizadas intersees se as duas curvas forem paramtricas ou implcitas. Combinaes: Podem ser criados novos exemplos de seis maneiras -- adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao e composio. Existe um boto para cada um deles. O exemplo no topo da lista chamado "f", e o outro de "g". Para quatro dessas construes importa saber quem quem (f ou g). Exceto para o modo "composio", o programa simplesmente adiciona novas equaes ao inventrio. Voce ir notar, porm, que esses exemplos derivados esto associados s funes originais, de modo que elas mudam quando as funes originais mudam, e desaparecem quando as funes so deletadas. Integrao: Esta praticamente igual entrada correspondente do menu "Uma", exceto que neste caso se integra a diferena entre as duas funes f e g. Seces: Dada duas curvas y = f(x) e y = g(x) para a < x < b, a regio entre elas dividida em faixas paralelas ao eixo y, e cada uma delas usada como a base de uma forma ("shape") construda perpendicular ao plano XY. O slido resultante pode ser desenhado ("ver slido") ou pode-se calcular o seu volume ("volume"). O nmero de faixas so "seces x", enquanto que "seces z" referem-se ao outro sistema de linhas na superfcie (nenhum desses itens afeta o clculo do volume). Com exceo das seces elpticas (ou circulares) melhor deixar o valor da "seco z" permanecer igual a 1, mas tem que ser 20 ou mais se voc quiser que as elipses apaream mais suaves. Selecione a opo que escolhe a forma da seo desejada. Nas ltimas trs opes, a altura do plano deve ser especificado como uma funo de x. Em qualquer caso voc pode dobrar o tamanho do slido atravs de uma reflexo do mesmo com relao ao plano XY; Selecione a caixa "duplicar".

Menu "Animao"=============== Parmetros: Cada letra de a, ...,z pode ser associada a um valor numrico, sua escolha. A escolha desses parmetros vai depender, claro, da funo que voc digitar no menu Equao. Por exemplo ao digitar sin(x) + c voc poder animar este grfico usando a opo Anim juntamente com o parmetro C.

Com exceo das letras x, y, e z , as demais podem ser usadas como parmetros em equaes. O valor de uma varivel pode ser alterado usando o menu correspondente. Use a lista de A at Z para escolher um determinado parmetro. Para atribuir um certo valor a um parmetro, digite o este valor na caixa de edio e pressione Enter. Para fixar o intervalo [L, R] de variao do parmetro digite um valor na caixa de dialogo e clique em def L (definir extremo esquerdo). Para definir o extremo direito do intervalo proceda analogamente; digite um nmero e clique def R (definir extremo direito) Quando o valor de um parmetro alterado, todos os grficos que dependem desse parmetro mudam tambm. Individuais: Voc pode tambm abrir caixas de dilogo diferentes, uma para cada parmetro Avaliar parmetros : Este item utilizado quando queremos criar na tela uma ou mais cpias especificadas de uma dada curva, que dependa de um parmetro A, ...W. Se este item for selecionado, se o boto duplicar for clicado no Inventrio, e se o grfico depender de um parmetro que estiver selecionado na opo de dilogo A, ..., W ento este valor do parmetro ser fixado (incorporado) quando a cpia feita. Ou seja, aparecer na tela uma nova curva com o valor do parmetro que foi especificado. Dessa forma, esta duplicao movida para o Inventrio como uma nova curva. Voc pode criar vrias cpias da curva original, variando o valor do parmetro e depois clicando no Inventrio duplicar Curvas criadas dessa forma sero deletadas quando a curva original for deletada. O smbolo @ um parmetro como os demais, exceto que seus valores no esto confinados a um intervalo limitado. Portanto, sua caixa de dilogo no possui uma barra de rolagem. Para modificar o valor de @ , digite um nmero da caixa de edio e d Enter. Se voc clicar no boto auto o parmetro crescer (aproximadamente) uma unidade por segundo. Durante a animao voc pode usar as teclas R para rpido ou L para lento Clique em S para sair da animao. Para animao automtica (o programa varia os valores por voc), existem dois modos de operao -- "auto reverse" e "auto cclico", os quais descrevem os grficos at que o indicador alcance o fim da sua barra. A caixa de dilogo desaparece enquanto a animao est acontecendo -- Pressione S para interromper a animao e fazer reaparecer as janelas. Para figuras que variam lentamente com mudanas de parmetros, pode ser til criar mostras de slides. Leva algum tempo para criar slides e coloc-los na memria, mas eles podem ser exibidos de volta rapidamente. O nmero de slides que voc pode criar depende da memria disponvel e do tamanho da janela. Unidades da barra de rolagem: Como padro, o boto deslizante pode ser colocado em 101 posies discretas atravs de cliques nas setas laterais. Por outras palavras, aps 100 "passos curtos" o boto deslizar de um

extremo ao outro da barra. O boto saltar 10 passos curtos ("passos mdios") de uma s vez quando se clicar na prpria barra (entre o boto e um dos extremos). Os valores padro 100 e 10 podem ser editados. Os parmetros de animao de uma "janela ligada" so controlados na janela pai. Use a opo de animao "Simultnea" para efetuar duas ou mais animaes, quando uma delas acionada no modo automtico. Para fazer isso, digite na caixa de dilogo "barras ligadas" os parmetros que voc deseja vincular e clique "ok" ( Por exemplo, digite as funes "asin(x)" e "bcos(x)" no menu Equa, e escolha os parmetros a, b para animao simultnea.) Ao ativar os parmetros escolhidos (usando novamente o menu "Anim"), voc ver os grficos com animao simultnea.

Menu "Miscelnea"=================

Menu fonte: Voc pode escolher uma fonte para "Escala dos eixos", "Tabelas","Inventrio", e "Coordenadas". Clique em um item para escolher uma fonte diferente. Para fazer o smbolo do nmero pi aparecer nos eixos (veja notas Ver|Grade) selecione o caracter adequado para a fonte que usada para a escala dos eixos. Use por exemplo 112 em MT Symbol). Voc pode solicitar que os hfens sejam substitudos por traos maiores, abrindo a caixa "Sinal menos" __________________________________________________________

Menu cor:As cores so definidas para "Fundo", "Cursor", e "Linhas pontilhadas" (o Adobe Acrobat writer no compatvel com linhas pontilhadas, ento pode ser necessrio substituir linhas pontilhadas por linhas coloridas). Clique no item para escolher uma cor diferente. ___________________________________________________________ Alguns itens do menu Miscelnea referentes a equaes diferenciais: Para equaes que dependem do tempo faz sentido desenhar x e y separadamente como funes de t. Clique "janela x(t)" ou "janela y(t)" para abrir uma janela de tempo. A janela desenha todas as solues que correspondem a trajetrias j desenhados na janela me. A janela tempo automaticamente atualizada quando uma nova trajetria adicionada. Para ver x e y desenhado em um mesmo sistema de eixos clique em "janela xy(t)". ______________________________________________________

Ao invs de plotar curvas solues, possvel plotar pontos isolados em intervalos de tempo especificados. Selecione "Estroboscpio" para ativar este modo e clique "Intervalo" para definir o intervalo de tempo desejado. Para interromper a trajetria pressione Q. ______________________________________________________

Menu dados:Clique "Examinar" para abrir uma janela de texto que mostra todos os dados coletados para cada exemplo no inventrio (interseo, extremos, etc). O menu da janela de texto permite que voc mude de exemplo para outro. Clique "Mouse" se voc quiser que cliques no boto esquerdo sejam gravados como dados (x,y) para um determinado exemplo. Esta opo um interruptor binrio que ativa e desativa esta funo, e a lista abaixo onde voc escolhe o exemplo que ir receber os dados. ________________________________________________________

Menu tolerncia:Vetor nulo: Uma trajetria de uma equao diferencial interrompida quando encontra vetores menores que esta tolerncia. Fechando lao : Uma trajetria interrompida quando ela volta, dentro desta tolerncia, prxima ao seu ponto inicial. Se a tolerncia for muito pequena uma trajetria que deveria ser fechada dar vrias voltas (loop) at interromper. ngulos abruptos: Se uma trajetria dy/dt encontra vetores que mudam subitamente de direo, este item permite finalizar a trajetria, pois isto como se um vetor nulo tenha sido encontrado. Inclinao infinita: Se a trajetria dy/dt encontra grandes inclinaes que repentinamente mudam de sinal, este item permite finalizar a trajetria, pois isto como se que o plotter tenha passado por uma inclinao infinita. __________________________________________________________ Tabelas: tem o mesmo efeito que o boto "tabela" no inventrio. Equaes-home: Quando o mouse est em "modo texto" as equaes podem ser movidas pela tela. Para retornar a equao para sua posio original (home), no canto superior esquerdo, clique neste item. Nmero de decimais: define o nmero de decimais na caixa de dilogo, listas, etc. possvel alterar o tamanho das setas em curvas paramtricas.

Mostrar/ocultar texto: Mostra ou oculta os textos da tela (criados a partir da opo Btns/Texto) Apagar texto: Apaga todos os textos do arquivo. No existe a opo desfazer! Usar padro: Para evitar de usar um arquivo "ini" possivelmente danificado ao abrir uma janela complementar com um grfico (para ver a superfcie de revoluo por exemplo), selecione este item. Simulimprimir: Para imprimir mais de uma figura *.wp2 na mesma folha de papel. Cada figura j deve estar posicionada em Arquivo|Formatar. Aparecer para voc uma srie caixas de dilogo Arquivo Abrir -- de cada vez, selecione uma figura desejada e clique "abrir"; depois que sua lista estiver completa se poder imprimir. O ltimo arquivo da lista permanecer na tela. Espessura: alm dos eixos, voc pode especificar a espessura das curvas ao imprimir. PiCTeX: Para converter a figura atual para um arquivo PiCTex, adequada para incluso em documentos TeX e LaTeX. Sero pedidos um nome para o arquivo, depois a largura da imagem e o "nmero da caixa". Para ver a figura, use o compilador do TeX para colar o arquivo em um documento.

2. Usando o Winplot.Srgio de Albuquerque Souza1. 2. 3.Introduo Onde conseguir o Winplot Instalando o Winplot o o 3.1. Janela 3.2. Sobre

4. 5.

Operaes e Funes do Winplot Grficos em 2D o o o o o o o o o o o o 5.1. Explicitas (F1) 5.2. Paramtricas (F2) 5.3. Implcitas (F3) 5.4. Polares (F4) 5.5. Pontos 5.6. Segmentos 5.7. Polinomial 5.8. Inequaes 5.9. Sombreamento 5.10. Inventrio [Ctrl+I] 5.11. Definir funo 5.12. Animao 6.1. Explicitas (F1) 6.2. Paramtricas (F2) 6.3. Implcitas (F3) 6.4. Cilndricas (F4) 6.5. Esfricas (F5)

6.

Grficos em 3D o o o o o

o o o o o

6.6. Curva 6.7. Tubo 6.8. Pontos 6.9. Segmentos 6.10. Plano

7.

Outros

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1. IntroduoO objetivo desse texto introduzir conceitos e as ferramentas bsicas do programa Winplot, que um excelente ferramenta computacional para fazer grficos 2D e 3D de maneira bastante simples e, diria at, intuitivo. A utilizao desse software motivado por 5 "pequenos" motivos: Inteiramente gratuito! Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris "Rick" (rparris@exeter.edu), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Escrito em C, chamava-se PLOT e rodava no antigo DOS. Com o lanamento do Windows 3.1, o programa foi rebatizado de "Winplot". A verso para o Windows 98 surgiu em 2001 e est escrita em linguagem C++. de simples utilizao, pois os menus, so bastante amigveis, existe ajuda em todas partes do programa e aceita as funes matemticas de modo natural. Ex.: 2xcos(Pi) = dobro do valor x multiplicado pelo cosseno de Pi.

muito pequeno e portvel comparado com os programas existentes hoje em dia, menos de 600Kb cabe em um disquete e roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP. Existe uma pretenso de coloca-lo tambm em linux. sempre atualizado, por exemplo a ultima verso de 19/10/2003; Est tambm em portugus, onde o trabalho de traduo resultou da iniciativa e empenho de Professor Adelmo Ribeiro de Jesus (adelmo.jesus@unifacs.br) e com a participao nas verses mais recentes do Professor Carlos Csar de Arajo (cca@gregosetroianos.mat.br)

2. Onde conseguir o WinplotA pgina oficial do Winplot, bem como de toda a famlia de programas do projeto Peanut Software so: Peanut Software Homepage : pgina principal. Winplot Wingeon: para construes geomtricas em duas e trs dimenses. Os desenhos podem ser destacados e animados em uma variedade das maneiras. Winstats : tratamento grfico para dados estatsticos. Winarc: programa com alguns jogos matemticos. Winfeed: programa para gerar fractais. Windisc : programa para trabalhar com matemtica discreta, aproximaes. Winlab: inclui atualmente oito sub programas: sees cnicas, polgonos da estrela, uma utilitrio para encontrar razes de funes elementares, visualizao 2D, grficos funcionais aleatrios para que os estudantes identifiquem. Winmat : permite que o usurio calcule e edite matrizes, e resolvem problemas lineares padro da lgebra. Wincalc:calculadora de alta preciso do inteiro, para nmeros com milhares de dgitos. Existe tambm uma excelente pgina, mantida pelo Professor Carlos Csar de Arajo (cca@gregosetroianos.mat.br), onde se encontram vrios arquivos e textos relacionados com assuntos matemticos: http://www.gregosetroianos.mat.br/

3. Instalando o WinplotAps baixar o programa wppr32z.exe da internet, basta salv-lo em um diretrio qualquer e a partir do gerenciador de arquivos, dar um duplo clique no referido arquivo, comeando o processo de descompactao do arquivo.

Escolha um diretrio, caso no queira o padro c:\peanut. Note que o resultado final dessa operao apenas um arquivo wplotpr.exe, com 1,30 Mb de tamanho, no diretrio escolhido anteriormente. Para facilitar futuros acessos ao programa, deve-se criar links do Winplot, no desktop, por exemplo, bastando para tanto, que a partir do gerenciador de arquivos, se d um clique com o boto do lado direito do mouse e arraste at o desktop do seu Windows. Pronto o link j est criado e para comear a utilizar o Winplot basta clicar no link, ou no programa, duas vezes, aparecendo na tela a seguinte imagem:

Essa a janela inicial do Winplot, e contm apenas duas opes:

3.1. JanelaMostra 7 opes: 2-dim F2 = Abrir uma nova janela para grficos em 2D 3-dim F3 = Abrir uma nova janela para grficos em 3D Adivinhar = Uma espcie de jogo, onde o aluno deve tentar descobrir qual a funo, da qual, o grfico faz parte. Mapeador = Basicamente funciona como uma transformao entre dois planos, onde so pedidas as funes u(x,u) e v(x,y). Abrir ltima = se esta opo estiver marcada, assim que o Winplot for aberto novamente ele automaticamente abrir o ltimo arquivo utilizado. Usar padro = usar as configuraes padronizadas do Winplot.

3.2. SobreMostra todas as informaes do programa.

4. Operaes e Funes do WinplotO interpretador de funes deste programa foi projetado para reconhecer a maioria das operaes, constantes e funes elementares, tais como: As operaes: o a+b = adio entre os valores de a e b

o o o o

a-b = subtrao entre os valores de a e b a*b = ab = multiplicao entre os valores de a e b a/b = diviso entre os valores de a e b a^b = a elevado a potncia b

As constantes: o pi = 3,141592654 o o o o e = 2,718281828 deg = pi/180 = fator de converso de radianos para graus ninf representa menos infinito pinf representa mais infinito.

abs(x) = valor absoluto de x, ou mdulo de x sqr(x) = sqrt(x) = raiz quadrada de x log(x) = logaritmo de x na base 10 log(b,x) = ln(x)/ln(b) logaritmo de x na base b ln(x) = logaritmo natural de x exp(x) = exponencial de x Funes trigonomtricas: o sin(x) = seno de x o o o o o cos(x) = cosseno de x tan(x) = tangente de x csc(x) = cossecante de x sec(x) = secante de x cot(x) = cotangente de x

n! = n fatorial int(x) = parte inteira do x frac(x) = x-int(x) = parte fracionria do x Funes trigonomtricas inversas: o arcsin(x) = arco seno de x o o o arccos(x) = arco cosseno de x arctan(x) = arco tangente de x arccot(x) = arco cotangente de x

Funes hiperblicas: o sinh(x) = seno hiperblico de x o o o cosh(x) = cosseno hiperblico de x tanh(x) = tangente hiperblica de x coth(x) = cotangente hiperblico de x

Funes hiperblicas inversas: o argsinh(x) = arco seno hiperblico de x o o o argcosh(x) = arco cosseno hiperblico de x argtahn(x) = arco tangente hiperblico de x argcoth(x) = arco cotangente hiperblico de x

Funes no to elementares:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

floor(x) = maior inteiro menor que x ceil(x) = menor inteiro maior que x root(n,x) = raiz n-sima de x pow(n,x) = power(n,x) = n-sima potncia de x iter(n,f(x)) = n-iterado de f(x), f(f(f(...(f(x))...))) n vezes abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y) = mdulo do vetor (x,y) abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z) = mdulo do vetor (x,y,z) arg(x,y) = ngulo polar entre -pi e pi max(a,b,..) = o valor mximo entre os elementos a, b, ... min(a,b,..) = o valor mnimo entre os elementos a, b, ... mod(x,y) = x - |y|*floor(x/|y|) = x mod y sgn(x) = x/abs(x) = sinal de x (-1, 0 ou 1) hvs(x) = funo Heaviside (1+sgn(x))/2 erf(x) = a funo erro padro , binom(n,r) = n!/r!/(n-r)! = combinao de n r a r sum(b,f(n,x)) = somatrio de f(n,x) para n=1 to n=b prod(b,f(n,x)) = produtrio de f(n,x) para n=1 to n=b rnd(x) = valor aleatrio entre -x e x gauss(x) = exp(-0.5x*x)/sqrt(2*pi) gamma(x) = funo gama de x

Funo definida por vrias sentenas joinx(f|c,g|d,...,h) significa o = f(x) para x