Matemática no Winplot

Tema: Funções do 2° grau e Construções Gráficas

Curso de Informática Educativa IProjeto de Aprendizagem- ExecuçãoCursista: Sandra de SouzaTutor: Luís Alberto Duncan Rangel

As aulas que antecedem a aula prática no laboratório de Informática, serão utilizadas para apresentação do conteúdo.

1ª aula:

Usando o retroprojetor, farei a apresentação do assunto que se dará da seguinte forma:

Onde aplicamos o conceito de parábolas?

- No lançamento de objetos: ao lançar um objeto (pedra, bola, etc.) almejando alcançar a maior distância horizontal e vertical, a curva descrita pelo objeto é o de uma parábola.

- As antenas parabólicas, também servem de exemplo.

Na sequência, apresentarei a Função do 2° grau e suas construções:

Chama-se Função Quadrática ou polinomial do 2° grau, qual função definida pela forma , onde a, b e c são valores reais e . São todas as funções polinomiais de grau 2.

Exemplos:

a)

b)

c)

:f cbxaxxf 2)(0a

1 e 4 ,3 onde ,143)( 2 cbaxxxf

1 e 0 ,1 onde ,1)( 2 cbaxxf

0 e 8 ,1 onde ,8)( 2 cbaxxxf

Raízes ou Zeros da Função do 2° grau

São os valores de , que anulam a função , ou seja, que tornam .

As raízes x’ e x’’ representam o corte da parábola, que representa a função, com o eixo .

Pontos Notáveis da Parábola

- Os pontos de intersecção da curva com o eixo (se existirem): x’ e x’’.

Para encontrarmos os pontos, resolvemos a equação utilizando a fórmula de Bháskara:

- Se , teremos duas raízes reais e distintas ;- Se , não teremos raízes reais;- Se , temos duas raízes reais e iguais.

cbxaxxfx 2)( de )(xf 0)( xf

ox

ox

acba

bx 4 onde ,2

2

0 ''' xx00

Podemos fazer um resumo das condições do discriminante e do coeficiente a:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

0 e 0: ase 0 e 0: ase

0 e 0: ase 0 e 0: ase

0 e 0: ase 0 e 0: ase

Vértice da Parábola

Vértice da parábola V(xv, yv)

- Se na função a parábola cortará acima da origem do plano cartesiano.

- Se a parábola cortará o eixo na origem do plano cartesiano.

- Se a parábola cortará o eixo abaixo da origem do plano cartesiano.

Fique Ligado

0 ),( cxfoy

,ocoy

,ocoy

O domínio e a Imagem da Função do 2° grau

- O conjunto domínio da função do 2° grau é o conjunto dos números reais .

- O conjunto imagem desta função é aquele formado pelas ordenadas de todos os pontos do gráfico, maiores ou iguais ou menores ou iguais a ordenada do vértice (yv).

D(f)

)0(para 4

/)Im(

)0(para 4

/)Im(

aa

yyf

aa

yyf

Valor Máximo ou Mínimo da função do 2° grau

- Se será o valor mínimo da parábola.

- Se será o valor máximo da parábola.

ayva

4 ,0

ayva

4 ,0

Ponto máximo

Ponto mínimo

Estudo do Sinal da Função do 2° grau

Para estudarmos o sinal da função do 2° grau devemos adotar o seguinte procedimento:

• Determinamos as raízes da função;

• Marcamos as raízes sobre o eixo (caso existam);• Analisamos a concavidade da parábola ;• Estudaremos o sinal da função.

oy

)0 ou 0( aa

Exemplo:

Estude o sinal da função .

Resolução:

65)( 2 xxxf

2'' e 3'01

4b065

2

2

xx

acxx

32para ,0)(3 ou 2para ,0)(3 ou 2para ,0)(

xxfxxxfxxxf

Gráfico da função do 2° grau

O Gráfico de uma função polinomial do 2° graucom é uma curva chamada Parábola. Logo podemos definir que:

• Se , a parábola terá a concavidade para cima.• Se , a parábola terá a concavidade para baixo.

cbxaxxf 2)(0a

0a0a

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função .

Primeiro atribuímos a x alguns valores, entre eles os zeros e o vértice da função, construímos o gráfico.

Resolução:

xxxf 2)(

Resumindo Tudo:

Olha a dica

Para construir uma função do 2° grau, temos que:

1° Determinar as raízes da função, se existirem.

2° Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.

3° Calcular o vértice V(xv,yv) da parábola e marcar no plano cartesiano.

4° Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.

5° Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados e apontar se a mesma possui ponto de máximo ou de mínimo.

Organizando as ideias sobre função quadrática, trabalhando com a forma fatorada (forma canônica).

• Forma Geral ou desenvolvida:

• Forma Canônica:

Exemplo – Vejam:

O gráfico representado terá o vértice deslocado dois para a direita e subira três unidades em relação a y.

Como “a” é positivo, sua concavidade será para cima.

cbxaxxf 2)(

vkxaxf 2)()(

3)2()( 2 xxf

Exemplo:

fatorando:

O gráfico não será deslocado na vertical (v=0), mas apenas na horizontal: se k=-3, desloca três para a direita em relação a origem.

Obs:. Após a explicação detalhada do conteúdo, com a participação ativa dos alunos interagindo com perguntas e contribuições, com exemplos pessoais, farei a proposta de atividade para a aula seguinte. Este trabalho foi desenvolvido em dois tempos de aula de 50 minutos.

,18122)( 2 xxxf )96(2 2 xx

2)3( 2)( xxf

Pedirei que tragam para aula seguinte, folha de papel milimetrado para construirmos alguns gráficos das funções quadráticas em sala com o meu monitoramento, tirando todas as dúvidas existentes.

Material solicitado:

• Papel milimetrado• lápis• Par de esquadros ou régua• Calculadora

2ª aula em classe

- Construção de gráficos das funções do 2° grau.Com os materiais solicitados que foram trazidos pelos alunos, farei a proposta de construção gráfica da função do 2° grau para iniciar a ação pedagógica em classe, acrescentando em um segundo momento uma constante numérica K a função inicial, chamando a atenção dos alunos para a translação do gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Posteriormente acrescentarei uma constante numérica K a incógnita “x”, formando , fazendo os alunos visualizarem a translação do gráfico no eixo das abscissas.

2)( xxf

kxxf 2)(

2)()( kxxf

A atividade está programada para ser realizada em um tempo de aula de 50 minutos onde a turma será dividida em duplas. Após a construção dos gráficos, eu apresentarei no retroprojetor a imagem de cada construção para que os alunos possam visualizar, comparar e avaliar as suas construções.

1) Função polinomial do 2° grau – análise gráfica:

2) Fazendo gráficos para as funções:

2)( xxf

2 ou 2 onde ,2)( e 2)( 22 kkxxfxxf

3) Trabalhando com a construção gráfica da função:

Analisaremos cada caso, discutindo as construções e comparando com as construções realizadas pelos alunos para alcançarmos a compreensão do que foi construído.

2 ou 2 onde ,)2()( e )2()( 22 kkxxfxxf

3ª aula – No laboratório de Informática

Após a etapa inicial, em que os alunos em dupla estarão reconhecendo o programa Winplot e visualizando todas as etapas de execução do mesmo, farei a proposta de uma atividade para que todas as duplas coloquem em prática a execução do exercício no programa.

As atividades propostas no Winplot:

Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a e b; e em outro, os gráficos das funções c e d.

a)

b)                              c)

d)

)( 2xxf

2)( 2xxf

)( 2xxf

2)( 2xxf

Atividade 1

Gráficos das funções c e d:

Atividade 2Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a, b e c; em outro os gráficos das funções e, f e g.

a)

b)

c)

1)( 2 xxf

3)( 2 xxf

3)( 2 xxf

Atividade 2Gráficos das funções:

e)

f)

g)

12)( 2 xxf

23)( 2 xxf

45,0)( 2 xxf

Atividade 3Construa agora num mesmo gráfico, as funções quadráticas destacadas abaixo, utilizando as mesmas ferramentas do Winplot:

a)

b)

c)

2)1()( xxf

2)3()( xxf

2)1()( xxf

Coleta de dados:Ao término dos trabalho desenvolvidos em sala de aula e no laboratório de informática, pude analisar o grau de interesse e participação de todos os alunos envolvidos nas atividades e, concluí que o trabalho em dupla foi muito colaborativo e possibilitou a maior aplicabilidade das tarefas propostas e execução das mesmas foi além do esperado, em termos de retorno e aceitação por partes do alunos que conseguiram atingir quase 100% do que foi objetivado. Avaliação:Ao final de todas as etapas planejadas e executadas com êxito, pude observar a critério de avaliação que:

• Houve identificação entre as duplas para o desenvolvimento das tarefas;

• O assunto da tarefa proposta foi o foco principal das discussões;

• Utilizaram de forma correta as funções dadas para construir, compreender e comprovar as transformações ocorridas na construção gráfica usando, adequadamente, o programa Winplot como ferramenta;

• As duplas apresentaram a conclusão das tarefas propostas com uma boa análise dos aspectos observados nas construções e suas peculiaridades.

Conclusão: O projeto de aprendizagem-execução, foi integralmente baseado no projeto-planejamento da semana anterior. O mesmo teve como proposta, aproximar os alunos da praticidade que se alcança quando utilizamos o software Winplot, reconhecendo suas ferramentas e sua aplicabilidade nas funções do segundo grau. Para chegarmos ao resultado esperado, trabalhamos em sala de aula com explicações do assunto e com construções gráficas no papel milimetrado. Estas construções e visualização dos slides foram fatores determinantes para que a aula experimental no laboratório de informática ocorresse conforme o planejado. Os alunos se envolveram com o projeto de forma motivadora e puderam perceber a importância do software Winplot como uma grande ferramenta para ampliar a compreensão do assunto estudo.

Referencias bibliográficasLONGEN, Adilson. Uma Atividade Humana, 1ª edição, Curitiba 2003.

Coleção do Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio, SBM.

IME.USP-SP: http: //www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ acessado em 24 de outubro de 2012.

http://guaiba.ulbra.br/seminario/eventos/2009/artigos/matematica/salao/503.pdf acessado em 23 de outubro de 2012.

http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-8716291.pdfacessado em 16 de outubro de 2012.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/114-2.pdf acessado em 17 de outubro de 2012. http://meta-matematica.blogspot.com.br/2008/07/atividade-com-o-winplot.html acessado em 18 de outubro de 2012. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/introducao_winplot.pdf acessado em 19 de outubro de 2012.