Apostila_Matematica_Finananceira

MDULO: MATEMTICA FINANCEIRA

ProfProfProfProf....MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro MSc. Dionisio Tadeu Ribeiro 1 dionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@ibestdionisiotadeu@[email protected]

PROF. M.Sc. Dionisio Tadeu Ribeiro

MATEMTICA FINANCEIRA



PLANO DE ENSINO

OBJETIVO

Introduzir o aluno nos clculos financeiros que envolvem recursos monetrios no tempo;

Mostrar sua aplicao nas Calculadoras Financeiras. EMENTA

Juros Simples; Juros Compostos; Descontos; Taxas de Juros Efetivas e Equivalentes; Sequncias Constantes e Gradientes; Sistemas de Amortizaes: Price e SAC; Clculo Financeiro em Contexto Inflacionrio; Anlise de Investimentos e Reposio de Ativos; Ttulos de Renda Fixa.

CANTEDO

Unidade I INTRODUO MATEMTICA FINANCEIRA

1.1. Dinheiro no Tempo;

1.2. Juros e Capital;

1.3. Conceitos Bsicos;

1.4. Regime de Capitalizao.

Unidade II JUROS SIMPLES

2.1. Juros Exatos;

2.2. Juros Comerciais;

Unidade III JUROS COMPOSTOS

3.1. Juros Exatos;

3.2. Juros Comerciais;

3.3. Funes Financeiras da HP 12 c;




3.4. Equivalncia de Fluxo de Caixa;

3.5. Juros Compostos em Prazos Fracionados;

3.6. Conveno Linear;

Unidade IV TAXAS DE JUROS

4.1. Taxa de Juros Nominal;

4.2. Taxa de Juros Proporcional;

4.3. Taxa de Juros Efetiva;

4.4. Equivalncia entre Taxas de Juros;

4.5. Taxa de Juros Over;

4.6. Taxa de Juros Aparente;

4.7. Taxa de Juros Real.

Unidade V - DESCONTOS

5.1. DESCSONTO SIMPLES

5.1.1. Desconto Racional Simples;

5.1.2. Desconto Comercial Simples;

5.1.3. Desconto Bancrio Simples;

5.2. DESCONTO COMPOSTO

5.2.1. Desconto Racional Composto;

5.2.2. Desconto Comercial Composto.

Unidade VI SEQUNCIA DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS

6.1. Classificao;

6.2. Sequncias de Pagamentos Uniformes;

6.2.1 Postecipada Finita;

6.2.2. Antecipada Finita;

6.2.3. Diferidas;



Unidade VII SISTEMAS DE AMORTIZAES

7.1. Sistema de Amortizao Francs Tabela Price;

7.2. Sistema de Amortizaes Constantes SAC;

7.3. Sistemas de Amortizao com Parcelas Intermedirias

Unidade VIII CCULO FINANCEIRO EM CONTEXTO INFLACIONRIO

8.1. ndices de Preos;

8.2. Taxas de Juros Aparente e Real;

8.3. Taxa Efetiva de Moeda Nacional para Operaes em Moeda Estrangeira.

Unidade IX TTULO DE RENDA FIXA

9.1. CDB / RDB;

9.2. Debntures;

9.3. Obrigaes (Bnus).

METODOLOGIA

Aulas expositivas; Aplicao de exerccios/estudos de casos; Resoluo de exerccios individuais e em grupo; Elaborao de trabalhos escritos individuais e em grupo; Leitura de livros da bibliografia Utilizao de multimdia. Quadro magntico branco

SISTEMA DE AVALIAO

Avaliaes escritas; Exerccios; Elaborao de trabalhos escritos; Pontualidade/assiduidade; Participao nas aulas.

BIBLIOGRAFIA

BSICA:



JUER, Milton. Matemtica Financeira: Praticando e Aplicando. Ed. Qualitymark, Rio de Janeiro, 2003.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira: objetiva e aplicada. 7 Edio. So Paulo: Saraiva, 2004.

COMPLEMENTAR:

FARO, Clovis. Fundamentos da Matemtica Financeira. Ed. Saraiva, So Paulo, 2006.

Mathias, W.F. & GOMES, J.M., Matemtica Financeira. 4 Edio. Ed. Atlas, So Paulo, 2004.

SAMANEZ, Carlos Patrcio, Matemtica Financeira Aplicaes Anlise de

Investimento. 4 Edio. Ed. Pearson, So Paulo, 2007. RIBEIRO, Dionsio Tadeu. Matemtica Financeira. Belm 2008.

NETO, Alexandre Assaf, Matemtica Financeira e suas Aplicaes. 11 Edio. Ed. Atlas, So Paulo, 2009.



1. INTRODUO A Matemtica Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicaes e nos pagamentos de emprstimos. Tal definio bem geral; o aluno ter oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemtica Financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliao das formas de aplicao de dinheiro bem como de pagamentos de emprstimos. Voc ter uma viso geral do que feito no nvel bancrio e comercial, com isso voc ir se familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, e bom trabalho!



1. JUROS SIMPLES Antes de comearmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos importantes: a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde a um valor que ser submetido a uma correo dentro de certo perodo. b) Taxa, ser representado pela letra i. A taxa de juro expresso em porcentagem numa determinada unidade de tempo, que servir como um fator de correo. c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do Capital adicionado ao Juro calculado no perodo em questo. d) Juros a remunerao, a qualquer ttulo, atribuda ao capital. O Juro Simples um Regime de Capitalizao, onde apenas o capital inicial rende juro, isto , o juro formado no fim de cada perodo a que se refere a taxa no incorporado ao capital para, tambm, render juro no perodo seguinte; dizemos, neste caso, que os juros no so capitalizados. Ou seja, Juro Simples aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. Por definio, o Juro Simples diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicao, sendo a taxa de juro por perodo o fator de proporcionalidade. ; obs: i e n (perodo) , devem estar na mesma unidade de tempo. NOTA: nos estudos de funes, essa relao representa uma Funo de 1 grau, camada Linear, que uma reta passando pela Origem J(n) = Cin Exemplo 1: Coloquei uma importncia de R$ 12.000,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, uma taxa de 30% ao ano. Qual ser o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, respectivamente? Como J = C.i.n J = 12000 . 0,3 . 2 J = 7.200 O valor resgatado o Montante: M = C + J M = 12000 + 7200 M = 19200 Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ 19.200,00 Exemplo 2: Foi aplicada uma importncia de R$ 30.000,00, pelo prazo de 2 anos, taxa de 1,2% ao ms. Qual o valor do juro a receber? Temos agora, o perodo e a taxa em unidade de tempo diferente, ento devemos fazer: n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses Agora sim, J = C.i.n J = 30000 . 0,012 . 24 J = 8.640,00 Resposta: R$ 8.640,00

J = C.i.n



1) Qual o valor do juro correspondente a um emprstimo de R$ 320.000,00 pelo prazo de 18

meses, sabendo que a taxa cobrada de 3% ao ms?

2) Calcule o juro simples do capital de R$ 360.000,00 colocando taxa de 30% ao ano, de 5 de maro de 2010 a 28 de junho do mesmo ano. 3) Qual a taxa de juro cobrada em um emprstimo de R$ 150.000,00 a ser resgatado por R$ 210.000,00 no final de 2 anos? 4) A que taxa o capital de R$ 2.400.000,00 rende R$ 10.000,00 em 6 meses? 5) Um capital de R$ 300.000,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$ 60.000,00. Determine a taxa correspondente. 6) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, os juros de R$ 28.300,00. Qual foi esse capital. 7) Em quanto tempo um capital triplica de valor taxa de 20% ao ano? 8) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 86.400,00. Qual o valor desse capital? 2. DESCONTO SIMPLES Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, comum que entregue ao credor um ttulo de crdito, que o comprovante dessa dvida. Esse ttulo tem uma data de vencimento, porm o devedor pode resgat-lo antecipadamente, com isso ter direito a um abatimento denominado DESCONTO. Podemos listar alguns ttulos de crdito mais comuns em operaes financeiras: i. DUPLICATA: esse ttulo emitido por uma pessoa jurdica contra o seu cliente (pessoa fsica ou jurdica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos posteriormente, segundo um contrato;

ii. NOTA PROMISRIA: emitida para comprovao da aplicao de um capital com vencimento futuro. Esse ttulo um dos mais populares, muito usando entre pessoas fsicas ou pessoas fsicas e instituies financeiras;

iii. LETRA DE CMBIO: tambm um ttulo que comprova uma aplicao de um capital com vencimento predeterminado; esse ttulo usado exclusivamente por uma instituio financeira, que chamamos de ttulo ao portador.

EXERCCIOS PROPOSTOS



Antes de estudarmos, as operaes matemticas dos DESCONTOS, devemos conhecer alguns conceitos que aparecero nas operaes com descontos: DIA DE VENCIMENTO: o dia fixado no ttulo para pagamento (ou recebimento) da aplicao; VALOR NOMIMAL: o valor indicado no ttulo (valor de face, valor futuro ou valor de resgate), que ser pago no dia do vencimento; VALOR ATUAL: o lquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do vencimento; TEMPO ou PRAZO: o perodo compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e no o ltimo, ou ento, incluindo o ltimo e no o primeiro. DESCONTO: a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto , a diferena entre o valor Nominal e o valor Atual. NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, denominado de DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto considera como capital o VALOR ATUAL, denominado de DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO). 2.1 Desconto Comercial O desconto comercial, bancrio ou por fora equivale ao juro simples, produzido pelo VALOR NOMINAL do ttulo no perodo de tempo correspondente, e taxa fixada. Onde: d valor do desconto comercial N valor nominal do ttulo A valor atual comercial ou valor descontado comercial n tempo i taxa de desconto Com base nas relaes I e II, temos: N. i. n = N A A = N N. i. n A = N (1 i. n)

d = N - A

d = N. i. n

I

II

VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 i .n)



NOTA: No se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o desconto pode ultrapassar o valor nominal do ttulo. Exemplo1: Uma empresa deve um ttulo de valor nominal igual a $1.500,00. Esse ttulo tem o vencimento marcado para 17/06/2003. S que a empresa antecipar o pagamento com desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto de 2% ao ms, determine: a) O valor do desconto; Temos que : d = N. i. n Onde : N = 1500; i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias

Ento: d = 1500. 30

02,0. 28

Logo: b) o valor atual do ttulo na data de sua liquidao; Temos que: A = N d Ento: A = 1500 28 Logo: Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $6.072,00. Calcule o tempo de antecipao, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao ms. Temos que: A = N(1 i .n) Onde : N = 6.900 A = 6.072 i = 0,04 a.m

Ento: 6072 = 6900(1 0,04. n) 0,88 = 1 0,04.n 0,04n = 0,12 n = 04,0

12,0

n = 3 Logo : A antecipao foi de 3 meses 9) Um ttulo de $6.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando 45 dias para o vencimento do ttulo, determine:

d = $28,00

A = $1.472,00

EXERCCIOS PROPOSTOS



a. O valor do desconto comercial; b. O valor atual comercial. 10) Uma duplicata, cujo valor nominal de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 11) Um ttulo, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado? 12) Um ttulo de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipao do resgate. 2.2 Taxa de Juro Efetiva A taxa de juro efetiva, num perodo n torna o capital A igual ao montante N, ou seja, a taxa que realmente est sendo cobrada na operao de desconto. Na linguagem matemtica teramos: C(1 + if . n) = M , onde if a taxa efetiva e M o montante. Como C = A e M = N , temos:

A(1 + if . n) = N 1 + if .n = A

N if .n =

A

N - 1 if .n =

A

AN

if = n

A

AN

Como N A = d , temos: if = nA

d

. Logo:

Exemplo1: Uma duplicata de $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por $21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva Temos: N = 23000 A = 21068 n = 112 dias = 3,733 meses d = N A = 23000 21068 = 1932 Ento, a taxa de desconto foi: d = N.i.n 1932 = 23000.i.3,733 i =

..%5,20225,085859

1932ma==

Em seguida, calculamos a taxa efetiva: Exemplo2: Um ttulo de $6.000,00 foi descontado taxa de 2,1% ao ms, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, calcule a taxa de juro efetiva.

if = nA

d

.

if = nA

d

.

..%45,202456,0844,78646

1932

733,321068

1932ma

x===



Temos: N = 6000 n = 45 d = 1,5 ms d = 189 Ento, d = N A A = N d A = 6000 189 A = 5811

Logo, a taxa efetiva : if = ..%17,20216867,08715

189

5,15811

189ma

x===

2.3 Equivalncia de Capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos so equivalentes, em certa poca, quando seus valores atuais, nessa poca, so iguais. Resolver problemas dessa natureza consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos ttulos em questo, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos so equivalentes. Vale ressaltar, que capitais diferidos so aqueles cujos vencimentos tm datas diferentes. No regime de juro simples, essa data de comparao deve ser a data zero, isto , a data em que a dvida foi contrada; isto porque, neste regime, no podemos fracionar o prazo de aplicao, j que o juro admitido como sendo formado no fim do perodo de aplicao. Vejamos trs exemplos para ilustrar melhor essa teoria: Exemplo1: Quero substituir um ttulo de $5.000,00, vencvel em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses ttulos podem ser descontados taxa de 3,5% ao ms, qual o valor nominal comercial do novo ttulo? Temos que: N = ? n = 5 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. N = 5000 n = 3 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. Se ocorre equivalncia, temos ento: A = A Ento: A = N(1 i. n) A = N(1 0,035 x 5) A = 0,825N A = N(1 i .n) A = 5000(1 0,035 x 3) A = 4475 Logo, temos: 0,825N = 4475 N = 5.424,24 O valor do novo ttulo ser de : $ 5.424,24



Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois ttulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o outro de $3.600,00, vencveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um nico ttulo vencvel em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao ms, qual ser o valor do novo ttulo? Nesse caso, temos: N1 = 3000; n1 = 2 me N2 = 3600; n2 = 6 me i = i1 = i2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 4 me Para que exista equivalente, temos: A = A1 + A2 Ento: A1 = 3000(1 0,03 x 2) A1 = 2820 A2 = 3600(1 0,03 x 6) A2 = 2952 Como: A = N(1 i .n ) A = N(1 0,03 x 4) A = 0,88N Logo: 0,88N = 2820 + 2952 N = 5772/0,88 N = 6559,09 O valor do novo ttulo ser de : $ 6.559,09 Exemplo3: Desejamos substituir dois ttulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de $12000,00 para 60 dias, por trs outros, com o mesmo valor nominal, vencvel, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3% ao ms. Para que exista equivalncia, temos: A1 + A2 + A3 = A1 + A2 Temos que: N1 = 5000 ; n1 = 90 d = 3 me N2 = 12000; n2 = 60 d = 2 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n1 = 30 d = 1 me; n2 = 60 d = 2 me; n3 = 90 d = 3 me. Ento: A1 = N(1 0,03 x 1) A1 = 0,97N A2 = N(1 0,03 x 2) A2 = 0,94N A3 = N(1 0,03 x 3) A3 = 0,91N A1 = 5000 (1 0,03 x 3) A1 = 4550 A2 = 12000(1 0,03 x 2) A2 = 11280 Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = 4550 + 11280 2,82N = 15830

N = 82,2

15830 N = 5613,47

O valor nominal de cada um dos novos ttulos ser de: $ 5.613,47

EXERCCIOS PROPOSTOS



13) Um ttulo de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias dever ser substitudo por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo ttulo, taxa de 2,5% ao ms. 14) Um industrial deve pagar dois ttulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de $19.200,00 para 3 meses. Entretanto, no podendo resgat-los no vencimento, prope ao credor substitu-lo por um novo ttulo para 4 meses. Qual o valor nominal do novo ttulo, sendo a taxa igual a 3,8% ao ms? 15) Substitua trs ttulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 dias e outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros ttulos de iguais valores nominais, vencveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos ttulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3,5% ao ms?

2.4 Desconto Racional Esse desconto o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do ttulo numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na prtica bancria no utilizado, mas se faz necessrio o seu estudo porque o desconto composto est relacionado a esse conceito. Por definio, temos: Onde: dr corresponde ao valor do desconto racional; A r corresponde ao valor atual ou valor descontado racional Lembremos que: Temos ento: dr = (N dr). i .n dr = N.i.n dr . i. n dr + dr. i. n = N.i.n dr ( 1 + i.n) = N.i.n

Usando as relaes I e II, temos: Ar = N - ni

niN

.1

..

+

Ar = ni

niNniN

.1

..).1.(

+

+

dr = Ar . i . n

Ar = N - dr

dr = ni

niN

.1

..

+

I

II

Ar = ni

N

.1+



Ar = ni

niNniNN

.1

....

++

Exemplo1: Um ttulo de $6.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando 45 dias para o vencimento do ttulo, determine: a) o valor do desconto racional; Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d.

Ento: dr = ni

niN

.1

..

+ dr =

450007,01

450007,06000

x

xx

+ dr = 183,22

Logo, o desconto igual a $183,22 b) o valor atual racional. Como: Ar = N - dr Ento: Ar = 6000 183,22 Ar = 5816,78 Logo, o valor atual racional igual a $5816,78 2.4 Desconto Bancrio Simples desconto simples comercial mais os tributos e as despesas operacionais bancrios. Sero apresentados alguns dos principais impostos cobrados no sistema financeiro: IOF : o juros simples do lquido no prazo de antecipao. cobrado no ato do desconto. calculado como 0,0041% ao dia. ISS : calculado como X% do valor nominal do ttulo. Exemplo1: Um credor de um ttulo de valor nominal de $ 3000,00 fez o desconto do mesmo em um banco, nas seguintes condies: Taxa de desconto: 16% a.a. Despesas operacionais: 6% do valor nominal IOF: 0,0041% a.d. ISS: 5% Calcular o desconto bancrio sofrido pelo ttulo, se o mesmo foi feito 54 dias antes de seu vencimento. Chamemos de Db de desconto bancrio, ou seja, a soma do desconto comercial simples com todos os tributos especificados no problema. Ento:

d = N.i.n d = 3000 . 0,16 . 360

54 d = 72,00

do = 0,06 . 3000 do = 180,00 ISS = 0,05 . 3000 ISS = 150,00



IOF = L.i.n IOF = L . 0,000041 . 54 IOF = 0,002214L Como o valor lquido calculado L = N Db, temos: L = 3000 (d + do + ISS + IOF) L = 3000 (72 + 180 + 150 + 0,002214L) L = 3000 402 0,002214L L = 2598 0,002214L L 0,002214L = 2598 0,997786L = 2598 L = 2.603,76 Logo o desconto bancrio (total) ser: Db = 402 + 0,002214 x 2.603,73 Db = 407,76 Exemplo2: Um ttulo de $ 6.500,00 foi descontado no Banco DTRR, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o ttulo foi descontado 5 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial de 20% a.a., qual o desconto bancrio? Quanto recebeu o proprietrio do ttulo?

Temos que: N = 6500; s = 2% ; n = 5; i = 20% a.a. = ..01666,012

2,0ma=

Ento: Db = N.i.n + N.s = N(in + s) Db = 6500.(0,01666.5 + 0,02) Db = 6500 . 0,1033 Db = 671,45 A = 6500 671,45 A = 5828,55 Logo, o desconto bancrio $ 671,45 e o valor atual igual a $ 5.828,55 16) Uma pessoa pretende resgatar um ttulo de $ 9.500,00, 4 meses antes de seu vencimento.

Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 18% a.a., qual o desconto racional e quanto esta pessoa ir receber?

17) Um ttulo de $ 7.500,00 foi descontado no Banco Bomdegrana, que cobra 3% como

despesa administrativa. Sabendo-se que o ttulo foi descontado 5 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente de desconto comercial de 19% a.a., qual o desconto bancrio? Quanto recebeu o proprietrio do ttulo?

18) Uma empresa necessita de R$12.000,00 para saldar hoje, uma duplicata com vencimento

para 120 dias. Se a taxa corrente for de 22% a.a. e o banco cobrar 1,7% de taxa de servio, qual o valor nominal da duplicata?

19) O Banco Bomdegrana anuncia que a taxa de juros a menor do mercado, cobrando

apenas 2% de taxa administrativa. No anncio, dizia que para 5 meses, se o cliente pedir

EXERCCIOS PROPOSTOS



$40.000,00 , sofrer um desconto de apenas $5.000,00. Qual a taxa de juros comercial considerada?

20) Por um emprstimo de $20.000,00 a 6 meses, Joo recebeu lquido $14.290,00. Tendo

perguntado ao gerente qual fora a taxa de juros empregada, este lhe garantiu que era de 19,5%a.a.. Qual foi a taxa de servio cobrada?

3. JURO COMPOSTO O regime de capitalizao a juro composto difere do juro simples na atualizao do Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correo sempre feita no Capital Inicial, no JURO COMPOSTO a correo feita, a partir do segundo perodo, sobre o MONTANTE relativo ao perodo anterior. o que o mercado conhece vulgarmente como juro sobre juro. Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja como ficaria essa capitalizao:

ANO JURO MOTANTE 0 - 1000,00 1 1000x0,1x1 = 100,00 1100,00 2 1100x0,1x1 = 110,00 1210,00 3 1210x0,1x1 = 121,00 1331,00

Seguindo a lgica matemtica da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, de i a taxa e J o juro de cada perodo, poderamos generalizar esse processo:

PERODO

JURO MONTANTE

1 J1 = C . i M1 = C + J1 M1 = C + C.i M1 = C(1 + i) 2 J2 = M1.i M2 = M1 + J2 M2 = M1 + M1.i

M2 = M1(1 + i) M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C(1 + i)

2 3 J3 = M2.i M3 = C + J3 M3 = C(1 + i)

3

Se continuarmos na construo da tabela, chegaramos a seguinte relao: Que calcula o montante em regime de juro composto, onde (1 + i)n, o fator de acumulao de capital ou fator de capitalizao NOTA: Sugerimos nesse captulo o uso de uma mquina calculadora cientfica, onde a funo xy ser de grande uso.

Mn = C(1 + i)n



Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro composto a 4% ao ms, durante 2 meses. Temos que: M = C(1 + i)n C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. Ento: M = 3000(1 + 0,04)2 M = 3000(1,04)2 M = 3000 x 1,0816 M = 3244,80 Logo, o valor do montante igual a: $3244,80 Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao ms, produziu um montante de $2205,00 no regime de juro composto. Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

Ento: 2205 = C(1 + 0,05)2 2205 = C(1,05)2 C = 1025,1

2205 C = 2000

Logo, o valor do capital inicial igual a: $2.000,00. Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durvel, no valor de $3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i = ?

Ento: 4049 = 3200(1 + i)6 6)1(3200

4049i+= 1,26531 = (1 + i)6 (usando a

calculadora), teramos: (1,26531)1/6 = 1 + i i = 1,040 1 i = 0,040 Logo, a taxa igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m. Exemplo4: Determine em que prazo um emprstimo de $11.000,00 pode ser quitado em um nico pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada de 15% ao semestre em regime de juro composto. Temos que: M = 22125; C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n = ?

Ento: 22125 = 11000(1 + 0,15)n (1,15)n = 11000

22125 (1,15)n = 2,01136 (usando

logaritmo, temos) log(1,15)n = log2,01136 n.log1,15 = log2,01136

n = 15,1log

01136,2log n = 5

Logo, o prazo igual a 5 semestres ou 2 anos e 6 meses.



Exemplo5: Qual ser o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos e 3 meses?

Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + a12

3 = aa

4

17

12

51=

Ento: M = 2000(1 + 0,37)17/4 M = 2000 x 1,374,25 M = 2000 x 5,14160 M = 10283,20 Logo, o montante igual a $10.283,20. 21) Calcule o montante de uma aplicao de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, taxa de 1,5% ao ms.

22) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos taxa de 2 4

3%

ao ms, no fim de 6 meses. 23) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, taxa de 3% ao ms durante 40 meses? 24) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, taxa de 2,5% ao ms, durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00, , calcule esse capital. 25) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? 26) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos a taxa de 2,5% ao ms, elevou-se no fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo. 27) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto receber o investidor? 28) Determine o juro de uma aplicao de $20.000,00, a 4,5% ao ms, capitalizado mensalmente durante 8 meses. 29) Calcule o montante de uma aplicao de $8.000,00, taxa de 3% ao ms, pelo prazo de 14 meses. 30) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, taxa de 3,8% ao ms? 31) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao ms, durante 40 meses.

EXERCCIOS PROPOSTOS



32) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao ms, sabendo que aps 8 meses rendeu um montante de $19.752,00. 33) Em que prazo uma aplicao de $100.000,00 produzir um montante de $146.853,00, taxa de 3% ao ms? 34) Um capital de $20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo $3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicao. 35) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de juro. 4 TAXAS 4.1. Taxas Proporcionais Duas taxas so ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporo com os tempos a elas referidos, reduzidos mesma unidade. Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano ia .

is = 2ai ; it =

4ai ; ib =

6ai ; im =

12ai ; id =

360ai

Onde: is: ao semestre; it: ao trimestre; ib: ao bimestre; im: ao dia ; id: ao dia Ento, para um perodo 1/k do ano, a taxa proporcional ser ia / k , ou seja: 4.2. Taxas Equivalentes So taxas que se referindo a perodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Verifique se as taxas proporcionais so equivalentes, calculando o montante, ao aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas condies a seguir: a) durante 1 ano, taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, taxa de 2% ao ms. Consideremos a situao anterior, chamemos de C o capital, ia a taxa anual, tempo de 1 ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, taxa mensal im, equivalente taxa anual ia .

ik = k

ia



Temos que: M1 = C(1 + ia)

1 M12 = C(1 + im)

12 Como: M1 = M12 C(1 + ia)

1 = C(1 + im)12

1 + ia = (1 + im)12

Logo: De modo geral, temos: (1 + i\a) = (1 + im)

12 = (1 + ib)6 = (1 + it)

4 = (1 + iq)3 = (1 + is)

2 = (1 + id)360

Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao ms? Temos que: 1 + ia = (1 + im)

12 Ento: 1 + ia= (1 + 0,02)

12 ia = 1,0212 1 ia = 1,26824 1

ia = 0,26824 Logo a taxa anual equivalente igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? Temos que: 1 + ia = (1 + it)

4 Ento : 1 + 0,2 = (1 + it)

4 1,2 = (1 + it)4 (1,2)1/4 = 1 + it it = 1,04663 1 ia

= 0,04663 Logo, o valor da trimestral equivalente igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t. 4.3. Taxa Nominal Quando a taxa de capitalizao no coincide com aquele a que se refere, denominamos essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a taxa nominal uma taxa anual. Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 26% ao ano capitalizados trimestralmente? Temos que: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a.

Como: i4 = 4

26,0 = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t

1 + ia = (1 + im)12



Ento: M4 = C(1 + it)n M4 = 4000(1 + 0,065)

12 M4 = 4000x2,12909 M4 = 8516,38 Logo o montante ser igual a: $8.516,38 4.4. Taxa Efetiva Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 8% a taxa nominal. A taxa efetiva a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, sendo if a taxa efetiva, temos: 1 + if = (1 + 0,04)

2 if = 1,0816 1 if = 0,0816 Logo a taxa efetiva igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a. De um modo geral podemos escrever essa relao da seguinte forma:

Exemplo1: Uma taxa nominal de 16% ao ano capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. Temos que: i = 16% a.a. = 0,16 a.a. 1 ano = 2 sem => k = 2

ik= 08,02

16,0=

Ento: 1 + if = (1 + 0,08)2 if = 1,1664 1 if = 0,1664

Logo, a taxa efetiva de: 0,1664 a.a. ou 16,64% a.a. Exemplo2: Um banco emprestou a importncia de $35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalizao trimestral: a) qual a taxa efetiva anual; Temos que: i = 36% a.a. = 0,36 a.a. 1 ano = 4 trim k = 4

ik = 09,04

36,0=

Ento: 1 + if = (1 + 0,09)4 if = 1,41158 1 if = 0,41159

Logo, a taxa efetiva ser igual a: 0,4116 a.a. ou 41,16% a.a. b) qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? Temos que: C = 35000; n = 2 anos ; if = 0,4116 a.a.

1 + if = k

k

i

+1 Onde: i => taxa nominal if => taxa efetiva k => o nmero de capitalizao para um perodo da taxa nominal ik => taxa por perodo de

capitalizao

k

i



Ento: M = C(1 + if)

2 M =35000(1 + 0,4116)2 M = 35000x1,9926 M = 69741 Logo, o montante ser igual a: $69.741,00 Exemplo3: Uma aplicao de 144 dias rendeu uma taxa efetiva de 50%. Qual a taxa mensal de juros compostos equivalente? Temos que: i144 = 50% a.a. = 0,50 a.a. Ento: 1 + if = (1 + 0,5)

30 /144 if = 1,0881 1 if = 0,0881 Logo, a taxa efetiva de: 0,0881 a.m. ou 8,81% a.m. 4.5. Taxa Real e Taxa Aparente: A taxa Aparente aquela que ocorre nas operaes correntes. Quando ocorre inflao, a taxa aparente formada por dois componentes: um correspondente inflao e outro correspondente ao juro real. Quando no ocorre a inflao, a taxa aparente coincide com a taxa real. Vamos convencionar que: C => capital inicial r => taxa real i => taxa aparente I => taxa de inflao Veja os casos a seguir: 1. Sendo um perodo sem inflao, igual a zero, e uma taxa r, o capital inicial ficar igual a: C(1 + r) 2. Sendo uma taxa de inflao I, o capital inicial, ao final do perodo, ser dado por: C(1 + I) 3. Sendo um taxa de juros r e uma taxa de inflao I, ao mesmo tempo, o capital inicial equivaler a: C(1 + r).(1 + I) 4. Sendo uma taxa aparente i, o capital inicial se transformar, ao final do perodo, em: C(1 + i) Agora importante lembrar que nos item 3 e 4 as expresses so equivalentes, visto que ambas reportam o valor efetivamente recebido, ento, temos: C(1 + i) = C(1 + r).(1 + I) :C Logo: Exemplo1: Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,6% a.m. e a uma inflao de 0,5% no perodo? Temos que: r = 0,6%a.m. = 0,006 a.m e I = 0,5% = 0,005 1 + i = (1 + r).(1 + I) Ento: 1 + i = (1 + 0,006).(1 + 0,005)

1 + i = (1 + r).(1 + I)



i = 1,01103 1 i = 0,01103 Logo a taxa aparente deve ser de: 0,01103 a.p. ou 1,1% a.p. Exemplo2: Se for adquirida uma letra de cmbio em uma poca A e resgatada na poca B. O juro aparente recebido foi de 28%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflao, nesse perodo, foi de 20%. Temos que: i = 28% a.p = 0,28 a.p e I = 20% = 0,2 1 + i = (1 + r).(1 + I)

Ento: 1 + 0,28 = (1 + r).(1 + 0,28) r=12,1

28,1 r = 0,0666

Logo, a taxa real foi de: 0,0666 ou 6,66% 4.6. Taxa Over No Brasil a expresso Open Market est relacionada a um conjunto de transaes realizadas com Ttulos de Renda Fixa, de emisso pblica ou privada. A taxa over adotada neste mercado. A taxa over uma taxa nominal, geralmente mensal, capitalizada diariamente, apenas nos dias teis. A correspondente taxa efetiva, relativa ao perodo de aplicao, dada por: Exemplo1: Uma operao com durao de 50 dias corridos foi contratada a uma taxa de over de 1,8% a.m. Se durante o perodo houve 35 dias teis, calcular a taxa efetiva mensal e o montante de uma aplicao de R$12.000,00 no perodo. Temos que: tx.over = 1,8% a.m. = 0,018 a.m Dias teis = 50 C = 12.000,00

Ento: iefetiva = 35

30

018,01

+ - 1

iefetiva = 1,0212 - 1 iefetiva = 0,0212 a.p. M = 12000.(1 + 0,0212) M = 12.254,59 Podemos ainda calcular a taxa mensal: im = (1 + 0,0212)

30/50 im = 1,0123 1 im = 0,0123 a.m. ou 1,23 % a.m.

130

1

+=uteisdias

efetiva

overtaxai



Logo a taxa efetiva 1,23 % a.m. e o Montante nesse perodo R$ 12.364,80 36) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? 37) Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalente taxa de: a) 30% a.a. b) 20% a.s. c) 8% a.t. d) 3% a.m. 38) A caderneta de poupana paga juros de 6% ao ano capitalizando trimestralmente. Qual a taxa efetiva de juro? 39) O capital de $18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Qual o montante? 40) Um investidor aplica $25.000,00, em uma poca A, para receber, em uma poca B, a importncia de $34.000,00. Calcule: a) a taxa aparente dessa aplicao; b) a taxa de inflao no perodo da aplicao, sabendo que a taxa real de juro dessa aplicao, nesse perodo, foi de 20%. 41) Uma operao com durao de 45 dias corridos foi contratada a uma taxa de over de 1,6% a.m. Se durante o perodo houve 30 dias teis, calcular a taxa efetiva mensal e o montante de uma aplicao de R$11.000,00 no perodo. 5. DESCONTO COMPOSTO Na realidade o desconto ocorre quando saldamos, antecipadamente ao vencimento, um compromisso financeiro. o que denominamos ABATIMENTO. O desconto composto empregado para operaes em longo prazo, podendo ser de dois tipos: RACIONAL E COMERCIAL. O comercial, na prtica, no muito utilizado, com isso daremos uma ateno maior ao DESCONTO COMPOSTO RACIONAL. J conhecemos a relao: N = A.(1 + i)n Logo vem que o valor Atual ser: Lembrando que (1 + i)n o fator de descapitalizao. Exemplo1: Determine o valor atual de um ttulo de $900,00, saldado 3 meses antes do seu vencimento, taxa de desconto (composto) de 2% ao ms.

EXERCCIOS PROPOSTOS

A = ni

N

)1( +



Temos que: N = 900 ; n = 3 me ; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

Ento: A = 3)02,01(

900

+ A =

061208,1

900 A = 848,09

Logo, o valor atual do ttulo ser de: $848,09 (houve um desconto de $51,90) Exemplo2: Calcule o valor atual de um ttulo de valor nominal de $1.400,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, taxa de 30% ao ano, capitalizados semestralmente. Temos que: N = 1400; n = 2 a e 6 meses = 2x2sem + 1 sem = 5 sem

i = 30% a.a. = 0,3 a.a. = ..15,02

3,0sa=

Ento: A = 5)15,01(

1400

+ A =

01135,2

1400 A = 696,05

Logo, o valor atual do ttulo ser de: $696,05. Exemplo3: Qual o desconto composto que um ttulo de $6000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, taxa de 2,5% ao ms? Temos que: N = 6000; n = 3 me ; i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.

Ento: A = 60,557107689,1

6000

)025,01(

60003

==+

d = N A d = 6000 5571,60 d = 428,40 Logo o valor do desconto igual a: $428,40. Exemplo4: Um ttulo de valor nominal de $1400,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido?

Temos que: N = 1400; n = 3 meses; i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = ..03,012

36,0ma=

Ento: A = 20,1281092727,1

1400

)03,01(

14003

==+

d = N A d = 1400 1281,20 d = 118,80 Logo o valor do desconto igual a: $118,80 42) Em uma operao de desconto composto, o portador do ttulo recebeu $36.954,00 como valor do resgate. Sabendo que a antecipao foi de 4 meses e o desconto de $3.046,00, qual a taxa de juro mensal adotada?

EXERCCIOS PROPOSTOS



43) Desejamos resgatar um ttulo, cujo valor nominal de $7.000,00, faltante ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto de 3% ao ms. 44) Calcule o valor atual de um ttulo de $40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. 45) O valor nominal de um ttulo de $200.000,00. Seu portador deseja descont-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. 46) Determine o valor do desconto composto de um ttulo de valor nominal de $6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento taxa de 3% ao ms. 47) Calcule o desconto obtido em um ttulo de valor nominal de $3.800,00, regatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. 48) A que taxa foi descontada uma dvida de $5.000,00 que, paga 5 bimestres antes do vencimento, se reduziu a $3.736,00? 49) Por um ttulo de $2.300,00 paguei $2.044,00 com um desconto de 3% ao ms. De quanto tempo antecipei o pagamento? 5.1. EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Dizemos que dois ou mais capitais diferidos so equivalente, em certa poca, quando seus valores atuais, nessa poca, so iguais. Assim como foi visto em juro simples. Agora, a data de comparao pode ser qualquer uma, porque os juros compostos so equivalentes aos descontos compostos. Exemplo1: Um ttulo no valor nominal de $8.000,00, com vencimento para 5 meses, trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado de 4% ao ms, qual o valor nominal do novo ttulo? Temos que: N = 8000; n = 5 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. N = ? ; n = 3 me ; i = 4% a.m = 0,04 a.m. Ento, para que exista equivalncia, temos: A = A

53 )04,01(

'

)04,01( +=

+NN

2166,1

8000

12486,1=

N N = 7.396,74

Logo, o valor nominal do novo ttulo ser de $7.795,04. Exemplo2: Um comerciante, devedor de um ttulo de $50.000,00 para 3 anos, deseja restar essa dvida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.



Temos que: N = 50000; n = 3 anos ; i = 40% a.a. = 0,4 a.a. N1 = N ; n1 = 1 ano; i1 = i = 0,4 a.a. N2 = N ; n2 = 2 anos; i2 = i = 0,4 a.a. Ento, para que exista equivalncia, temos: A1 + A2 = A

321 )4,01(

50000

)4,01()4,01( +=

++

+

NN 0,71429N + 0,51020N =

50000x0,36443 1,22449N = 18221,57435 N = 14880,95 Logo, o valor dos pagamentos de: $14.880,95. 50) Duas promissrias, uma de $4.000,00, vencvel em 120 dias, e a outra de $9.000,00, vencvel em 180 dias, dever ser resgatada por um s pagamento, dentro de 90 dias. Qual o valor desse resgate, no regime de juro composto, taxa de 3% ao ms? 51) Calcule o valor atual, taxa de 2,5% ao ms, do capital de $6.000,00 disponvel no fim de 4 meses. 52) Qual o valor atual de um ttulo de $15.000,00 resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto composto de 6% ao bimestre? 53) Um ttulo de valor nominal de $2.000,00 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual? 54) Um ttulo de $75.000,00 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao ms, por $67.646,00. Calcule o tempo de antecipao do resgate. 55) Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao ms, ficou reduzida a $24.658,00. Calcule o valor da letra. 56) Um industrial toma um emprstimo de $5000.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passando algum tempo, o industrial prope saldar a dvida em 3 pagamentos iguais, realizveis no do 2, 3 e 4 anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transao de 36% ao ano com capitalizao semestral. 6. SEQUNCIAS DE CAPITAIS J vimos de que forma os conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros equivalentes para efeito de comparao. Na prtica comum que esses conjuntos tenham algumas caractersticas, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento ou decrescimento, de acordo com certas leis matemticas. Tais conjuntos so chamados de

EXERCCIOS PROPOSTOS



seqncias de capitais (os capitais tanto podem se referir a pagamentos como recebimentos). No que segue, vamos supor que o regime de capitalizao composta. 6.1 SEQUNCIA UNIFORME Consideremos a seqncia de capitais y1, y2, y3, ..., yn , respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n (a unidade de tempo pode ser ms, semestre, ano, etc.) Dizemos que esse conjunto constitui uma seqncia uniforme se: y1 = y2 = y3 = ... = yn = R isto , se todos os capitais so iguais. Indicando esse capital por R, a representao grfica da seqncia uniforme seria: Por definio, o valor atual, na data 0, da seqncia uniforme, a uma taxa de juros i na unidade de tempo considerada dado por:

V = ni

R

i

R

i

R

)1(...

)1()1( 21 +++

++

+

V = R

+++

++

+ niii )1(

1...

)1(

1

)1(

121

Observe que os termos entre colchetes, esto numa soma de uma progresso geomtrica dos n

primeiros temos cuja frmula dada por: S = 1

)1(1

q

qa n , no caso que estamos analisando,

temos: q = a1 = i+1

1

Ento, teramos: V = R 1

)1(

1

1)1(

1

)1(

1

+

++

i

ii n

, fazendo as simplificaes matemticas

chegaremos ao seguinte resultado:

R R R R

0 1 2 3 ... n

V = R ii

in

n

)1(

1)1(

+

+

ii

in

n

)1(

1)1(

+

+



O fator chamado fator valor atual e pode ser representado pelo smbolo:

ina

/ , a leitura feita da seguinte forma: a, n, cantoneira i.

Simplificando a frmula anterior, ficaria: Exemplo1: Um eletrodomstico vendido a prazo, em 4 pagamentos mensais e iguais de $550,00, vencendo o primeiro um ms aps a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preo vista? Temos que: n = 4 ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. ; R = 550

V = 5505/4

a Ento:

5/4a = 545951,3

05,0.)05,1(

1)05,1(4

4

=

V = 550 x 3,545951 V = 1.950,27 Logo, o preo vista ser de $1.950,27 Exemplo2: Um automvel usado vendido vista por $30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestaes mensais iguais (antes de serem corrigidas monetariamente), vencendo a primeira um ms aps a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestao antes de serem corrigidas. Temos que: V = 30.000; n = 12 ; i = 2% a.m.= 0,02 a.m.

Ento: 30000 = Rin

a/

2/21

a = 575341,1002,0.)02,1(

1)02,1(12

12

=

30000 = R x 10,575341 R = 2.836,79 Logo, o valor de cada prestao ser de $2.836,79 Exemplo3: Um terreno vendido em 4 prestaes mensais iguais de $15.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento for 4% a.m., qual o preo vista? Temos que: R = 15000; n = 3 ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m.

V = Rin

a/

0 1 2 3

550

4

550 550 550

V = Rin

a/



Ento: V = 15000 + 15000 x 4/3

a 4/3

a = 04,0.)04,1(

1)04,1(3

3 = 2,775091

V = 15000 + 15000 x 2,775091 V = 56626,37 Logo, o preo vista $56.626,37 Exemplo3: Uma calculadora vendida vista por $160,00 ou a prazo em 4 prestaes mensais iguais de $45,49 cada uma, vencendo a primeira um ms aps a compra. Qual a taxa de juros do financiamento? Temos que: V = 160,00; R = 45,49 ; n = 4 Ento: 160 = 45,49.

ia

/4

ia

/4 = 5,35 (clculo feito na HP-12 C)

Logo, a taxa de financiamento de: 5,35 % 6.2 MONTANTE DE UMA SEQUNCIA UNIFORME Chamamos de montante da seqncia, na dada n, a soma dos montantes de cada capital R, aplicado desde a data considerada at a data n. Ento, temos: M = R(1 + i)n-1 + R(1 + i)n-2 + R(1 + i)n-3 +... + R Observe que o segundo membro dessa expresso a soma dos termos de uma PG

finita, em que: q = i+1

1 e a1 = R(1 + i)

n-1

Temos: S = 1

)1(1

q

qa n

Logo: Exemplo1: Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicaes taxa de juros compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer 7 aplicaes, qual o montante no instante do ltimo depsito?

0 1 2 3

15 15 15 15

M = Ri

i n 1)1( +

0 1 2 3

2 2 2 2

4

2 2 2

5 6 7



Temos que: R = 2000; i = 2% a.m. = 0,02 a.m.; n = 7

Ento: M = (2000) x 434283,7200002,0

1)02,1( 7x=

M = 14868,57

Logo, o montante ser de $ 14.868,57 Exemplo2: No caso do exemplo anterior, qual ser o montante se o investidor sacar somente dois meses aps o ltimo depsito? Temos que, o ltimo depsito ocorreu no 7 ms, devemos descobrir o montante M. Ento: M = M(1 + i)2 M= 14868,57(1,02)2 M = 15468,26 Logo, o montante no 9 ms ser de $ 15.468,26 57) Obtenha o preo vista de um automvel financiado taxa de 3% a.m., sendo o nmero de prestaes igual a 10 e $1.500,00 o valor de cada prestao mensal, vencendo a primeira um ms aps a compra. 58) Um produto vendido vista por $40.000,00 ou a prazo em 3 prestaes mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestao, se a taxa de juros do financiamento for de 7% a.m. ? 59) Um aparelho eletrnico vendido vista por $6.000,00, mas pode ser financiado taxa de 2,5% a.m. . Obter o valor de cada prestaes nas seguintes condies de financiamento: a) 12 prestaes mensais iguais sem entrada; b) 18 prestaes mensais iguais sem entrada. 60) Um notebook vendido por $6.000,00, ou ento com 20% de entrada mais 4 prestaes e iguais. Qual o valor de cada prestao, se a taxa de juros for de 6% a.m. ? 61) Um terreno vendido vista por $80.000,00, ou ento a prazo em 24 prestaes mensais (antes da correo monetria) postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,5% a.m. , pede-se: a) o valor de cada prestao antes de serem corrigidas; b) o valor das 3 primeiras prestaes atualizadas, supondo taxas de correo de 1,8%. 2% e 1,9% no 1, 2 e 3 meses, respectivamente.

EXERCCIOS PROPOSTOS



62) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, $3.500,00 num fundo que remunera seus depsitos taxa de 2,1% a.m. . Qual o montante no instante do ltimo depsito? 63) No problema anterior, qual o montante, 3 meses aps ser efetivado o ltimo depsito? 64) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimentos que rende 1,8% a.m. , para que no instante do ltimo depsito tenha um montante de $60.000,00? 65) Tadeu deposita nos meses 1, 2, 3, ..., 25 a quantia de 600 UR numa caderneta de poupana que rende 0,5% a.m. . Supondo que o indexador da UR seja o ndice de atualizao da poupana, obtenha: a) o montante no instante do ltimo depsito em UR; b) o montante no instante do ltimo depsito em $, supondo que nessa data a UR seja equivalente a $175,00; c) o valor do 5 depsito em $, sabendo que nessa data a UR equivalente a $82,00. 7. AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS Frequentemente, nas operaes de mdio e longo prazo, por razes metodolgicas ou contbeis, as operaes de emprstimos so analisadas perodo por perodo, no que diz respeito ao pagamento dos juros e devoluo propriamente dita do principal. Um conceito importante para esse processo o saldo devedor (ou estado da dvida). Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3, ..., n, na unidade expressa pela taxa de juros (admitindo regime de capitalizao composta). Seja P o valor principal (ou capital inicial emprestado). O saldo devedor no instante zero (0) indicado por S0 o prprio principal P, e o saldo devedor no instante t igual ao saldo devedor no instante anterior (t 1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. Considerando: St => saldo devedor no instante t; St-1 => saldo devedor no instante (t 1); i => taxa de juros; Rt => pagamento efetivado no instante t; Jt => juros no perodo que vai de (t 1) a t; Ento: Graficamente, teramos: Se os juros produzidos em cada perodo so pagos no final do mesmo e se chamamos de amortizao no instante t (indicada por At) diferena entre Rt e Jt , teremos: At = Rt Jt At + Jt = Rt onde: Jt = i.St-1 Comparando as expresses, vem: St = St-1 + Jt (At + Jt) Logo,

St = St-1 + Jt Rt

St

St-1 Jt Rt

St = St-1 - At



Usando essa ltima relao para: t = 1 S1 = S0 A1 t = 2 S2 = S1 A2 t = 3 S3 = S2 A3 .... ....... t = n Sn = Sn-1 An

SOMANDO-SE MEMBRO A MEMBRO, OBTEREMOS: S1 + S2 + S3 + ... + Sn = S0 + S1 + S2 + ... + Sn-1 - (A1 + A2 + A3 + ... + An) Tendo em conta que Sn

= 0 e S0 = P , temos: Sn = P (A1 + A2 + A3 + ... + An) 0= P - (A1 + A2 + A3 + ... + An) A relao nos mostra que, quando os juros so pagos nos instantes 1, 2, 3, ..,.n, a soma das amortizaes igual ao Principal. Assim, existem vrias seqncias de amortizaes que tm por soma o principal. importante observar que o nome prestao utilizado para representar o pagamento, acrescido de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se esses impostos e encargos, a prestao se reduz ao pagamento R, que igual soma da amortizao com o juro em cada perodo. Finalmente, damos nome de planilha a um quadro demonstrativo no qual comparecem, em cada instante de tempo, o juro, a amortizao, o saldo devedor, a prestao, os impostos e outros encargos. Exemplo1: Um emprstimo de $50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestaes semestrais e taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizaes so semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000; A2 = 10.000 ; A3 = 15.000; A4 = 20.000 Temos que: P = S0 = 50.000 J1 = 50.000(0,05) = 2.500 A1 = 5000 R1 = 5000 + 2500 = 7500 S1 = 50000 5000 = 45.000 J2 = 45.000(0,05) = 2.250 A2 = 10000 R2 = 10000 + 2250 = 12250

P = A1 + A2 + A3 + ... + An



S2 = 45000 10000 = 35.000 J3 = 35.000(0,05) = 1.750 A3 = 15000 R3 = 15000 + 1750 = 16.750 S3 = 35000 15000 = 20.000 J4 = 20.000(0,05) = 1000 A4 = 20.000 R4 = 20000 + 1000 = 21.000 S4 = 20000 20000 = 0

Exemplo2: Um emprstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestaes semestrais taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as amortizaes semestrais so iguais:

Temos que: A1 = A2 = A3 = A4 = 500.124

000.50=

Semestre Saldo

Devedor St

Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 50.000 - - - 1 37.500 12.500 2.500 15.000 2 25.000 12.500 1.875 14.375 3 12.500 12.500 1.250 13.750

Semestre Saldo Devedor

St

Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 50.000 - - - 1 45.000 5.000 2.500 7.500 2 35.000 10.000 2.250 12.250 3 20.000 15.000 1.750 16.750 4 - 20.000 1.000 21.000

Total 50.000 7.500 57.500



4 - 12.500 625 13.125 Total 50.000 6.250 56.250

Exemplo3: Um emprstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestaes semestrais e taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000

Exemplo4: Um emprstimo de 50.000 UR deve ser pago ao final de 4 semestres, taxa de 5% a.s.. Contudo, tanto os juros como as amortizaes tm dois semestres de carncia (isto , s comeam no 3 semestre). Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizaes do 3 e 4 semestres so iguais. Neste caso, como os juros no so pagos no 1 e 2 semestres, eles so incorporados ao saldo devedor. S0 = 50.000 S1 = 50.000 + 0,05(50.000) = 52.500 S2 = 52.500 + 0,05(52.500) = 55.125

A3 = A4 = 50,562.272

1250.55=

Semestre Saldo

Devedor St

Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 50.000 - - - 1 52.500 - - - 2 55.125 - - - 3 27.562,50 27.562,50 2.756,25 30.318,75 4 - 27.562,50 1.378,13 28.940,63

Total 55.125 4.134,38 59.259,38 66) Um emprstimo de 21.000 UR deve ser pago em 6 prestaes semestrais taxa de 8%

a.s., pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizaes so

Semestre Saldo Devedor St

Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 50.000 - - - 1 50.000 - 2.500 2.500 2 50.000 - 2.500 2.500 3 50.000 - 2.500 2.500 4 - 50.000 2.500 52.000

Total 50.000 10.000 60.000

EXERCCIOS PROPOSTOS



semestrais, de valores: A1 = 1.000 UR ; A2 = 2.000 UR; A3 = 3.000 UR; A4 = 4.000 UR; A5 = 5.000 UR; A6 = 6.000 UR.

67) Resolva o problema anterior, considerando iguais as amortizaes. 68) Um emprstimo de 600 mil dlares deve ser pago em 4 prestaes trimestrais, taxa de

juros de 4% a.t., pagos trimestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0.

69) Um emprstimo de 100 mil dlares deve ser pago ao final de 4 anos e taxa de 10% a.a..

Tanto os juros como as amortizaes tm 2 anos de carncia. Sabendo-se que as amortizaes do 3 e 4 anos so iguais, obtenha a planilha.

7.1 SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC) Na prtica, um sistema bastante utilizado o SAC. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortizao sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas A1, A2, A3, ..., An e supondo pagamento dos juros em todos os perodos, teremos:

(Valor da amortizao constante)

Exemplo1: Um emprstimo de 800 mil dlares deve ser devolvido em 5 prestaes semestralmente pelo SAC taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha.

Temos que: A = 1605

800=

Exemplo2: Um emprstimo de 800 mil dlares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortizao, com 2 semestres de carncia, isto , a primeira parcela s devida no 3 semestre. Sabendo-se que no h carncia para os juros e que a taxa de 5% a.s., obtenha a planilha.

Temos que: A = 1605

800=


Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 800 - - - 1 640 160 32,00 192,00 2 480 160 25,60 185,60 3 320 160 19,20 179,20 4 160 160 12,80 172,80 5 - 160 6,40 166,40

Total 800 96,00 896,00

A1 = A2 = A3 = ... = An = n

P =



70) Um banco libera para uma empresa um crdito de 120.000 UR para ser devolvido pelo

SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha.

71) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carncia somente para as amortizaes.

72) Um banco libera um crdito para uma empresa no valor de $50.000.000,00. Esse emprstimo dever ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, s que os valores tm de ser convertidos numa unidade de referncia tal que seu valor na data de liberao do crdito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando uma taxa de 1% a.m..

73) Um emprstimo de 250.000 dlares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestaes mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se:

a) o valor da primeira prestao; b) o valor da segunda prestao; c) o valor da 37 prestao; d) a soma das 20 primeiras amortizaes; e) a soma das 20 primeiras prestaes. 74) Um emprstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestaes mensais.

Sabendo-se que a taxa de juros de 2% a.m., obtenha a amortizao, juros, prestao e saldo devedor correspondente ao 21 ms.

75) Um imvel vendido por 43.750 UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com 1,5% a.m. de taxa de juros. Calcule:


Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 800 - - - 1 800 - 40,00 40,00 2 800 - 40,00 40,00 3 640 160 40,00 200,00 4 480 160 32,00 192,00 5 320 160 24,00 184,00 6 160 160 16,00 176,00 7 - 160 8,00 168,00

Total 800 200,00 1.000,00

S = 2

).( 1 kaa k+

Soma dos k primeiros termos em PA

EXERCCIOS PROPOSTOS



a) o valor da primeira e ltima prestaes; b) a soma das 30 primeiras prestaes; c) a soma da 36 at a 65 prestaes (inclusive); d) a soma dos juros pagos at a liquidao do dbito. 71) (Concurso Controlador da Arrecadao Federal) Um emprstimo no valor de $2.000.000,00 concedido taxa de juros compostos de 10% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestaes anuais, sendo a primeira vencvel ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortizao contido na prestao paga ao final do 3 ano. a) $200.000 b) $300.000 c) $400.000 d) $600.000 7.2. SISTEMA FRANCS (OU SISTEMA PRICE) Apesar de o sistema ser dito francs, quem concebeu tal sistema foi o matemtico ingls Richard Price, no sculo XVIII. No sculo XIX o sistema PRICE foi desenvolvido na Frana. Nesse sistema as prestaes so iguais e consecutivas (a partir do instante em que comeam a serem pagas as amortizaes). Assim, considerando P o principal a ser amortizado nos instantes 1, 2, 3, ..., n, a uma taxa de juros i (no perodo), as prestaes, sendo constantes, constituem um seqncia uniforme ( na qual cada parcela indicada por R). Vimos anteriormente que P = R.

ina

/ , podemos ter ento:

Por outro lado, os juros J1, J2, ..., Jn formam uma sequncia decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) e as amortizaes A1, A2, ..., An formam uma sequncia crescente, pois em qualquer instante tem-se: Rt = Jt + At. importe ressaltar que, quando se utiliza a denominao Tabela Price e o perodo de pagamentos dos juros no coincide com o perodo da taxa, conveno a converso desta para a taxa do perodo de capitalizao, pelos critrios dos juros simples. Assim, uma taxa de 12% a.a. com pagamentos mensais dos juros, correspondem a uma taxa mensal de 1% a.m.

isto , 12

%12.

0 1 2 3 ... n

R R R R

R = in

a

P

/



Exemplo1: Um emprstimo de 900.000 dlares deve ser devolvido pelo sistema francs em 5 prestaes semestrais taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha.

Temos que: R = 42,164.202451822,4

000.900000.900

4/5

==a

, onde: 04,0.)04,1(

1)04,1(5

5

4/5

=a

1 Semestre: Prestao: 202.164,42 Juros: 900.000(0,04) = 36.000,00 Amortizao: 202.164,42 36.000,00 = 166.164,42 Saldo devedor: 900.000 166.164,42 = 733.835,58 2 Semestre: Prestao: 202.164,42 Juros: 733.835,42(0,04) = 29.353,42 Amortizao: 202.164,42 29.353,42 = 172.811,00 Saldo devedor: 733.835,58 172.811,00 = 561.024,58 3 Semestre: Prestao: 202.164,42 Juros: 561.024,58(0,04) = 22.441,00 Amortizao: 202.164,42 22.441,00 = 179.723,42 Saldo devedor: 561.024,58 179.723,42 = 381.301,16 4 Semestre: Prestao: 202.164,42 Juros: 381.301,16(0,04) = 15.252,05 Amortizao: 202.164,42 15.252,05 = 186.912,37 Saldo devedor: 381.301,16 186.912,37 = 194.388,79 5 Semestre: Prestao: 202.164,42 Juros: 194.388,79(0,04) = 7.775,55 Amortizao: 202.164,42 7.775,55 = 194.388,87 Saldo devedor: 194.388,79 194.388,87 = -0,08 (observe que esse resultado devido aos arredondamentos que foram feitos durante todo o processo de clculo, na realidade o saldo devedor igual a zero)

Semestre Saldo Devedor

St

Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 900.000,00 - - - 1 733.835,58 166.164,42 36.000,00 202.164,42 2 561.024,58 172.811,00 29.353,42 202.164,42 3 381.301,16 179.723,42 22.441,00 202.164,42 4 194.388,79 186.912,37 15.252,05 202.164,42 5 - 194.388,87 7.775,55 202.164,42

Total 900.000,00 110.822,02 1.010.822,10



7.2.1. CLCULO DO SALDO DEVEDOR NO SISTEMA FRANCS Para calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema francs, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestaes a vencer; com isso eliminamos o valor dos contidos nas prestaes. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, o saldo devedor. Exemplo1: Num emprstimo de $100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francs, em 30 meses e taxa de 2% a.m., qual o saldo devedor no 20 ms? (supondo que seja paga a prestao desse ms.)

Temos que: R = 34,992.464.4396455,22

000.000.100000.000.100

2/30

==a

O saldo devedor no 20 ms o valor atual da seqncia uniforme das prestaes a vencer (10 prestaes). S20 = 4.464.992,34 x 2/10a S20 = 4.464.992,34 x 8,982585 = 40.107.173,24

Logo o saldo devedor ser de $40.107.173,24. 7.3. SISTEMA AMERICANO

Neste tipo de Sistema de Amortizao o Principal pago com um nico pagamento ao final do perodo. Durante todo o perodo apenas o juros so pagos. Portanto o Saldo Devedor permanece inalterado, e igual ao Principal, durante todo o perodo de financiamento.

Exemplo1: Um emprstimo de 900.000 dlares deve ser devolvido pelo sistema americano em 5 prestaes semestrais taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha.


Amortizao At

Juros Jt

Prestaes Rt

0 900.000,00 - - - 1 900.000,00 - 36.000,00 36.000,00 2 900.000,00 - 36.000,00 36.000,00 3 900.000,00 - 36.000,00 36.000,00 4 900.000,00 - 36.000,00 36.000,00 5 - 900.000,00 36.000,00 936.000,00

0 ... 19 20 21 ... 30



Total 900.000,00 180.000,00 1.080.000,00 7.4. SISTEMA MISTO (S.A.M.)

Esse Sistema foi adotado pelo Sistema Financeiro de Habitao - SFH. uma mistura dos Sistemas S.A.C. e PRICE. Para o clculo das prestaes podem ser utilizadas duas metodologias: 1) Calculam-se as prestaes do sistema SAC e PRICE e, faz-se a mdia aritmtica simples entre essas prestaes; 2) A prestao uma mdia ponderada das prestaes da Tabela SAC e PRICE para iguais taxas e perodos de amortizao. Nesse caso necessria a utilizao das frmulas:

Onde: q o percentual correspondente da prestao da tabela SAC; (1 q) o percentual correspondente da prestao da tabela PRICE; r o fator de decremento que incidir nas prestaes Rt. R1 a primeira prestao do SAM; Exemplo1: Um emprstimo de 100.000 dlares deve ser devolvido pelo sistema misto em 8 prestaes semestrais taxa de 10% a.p.. Obtenha a planilha. Usaremos a segunda metodologia com 50% para o PRICE e 50% para o SAC.

R1 = (1 0,5). 100000. 100000.1,08

1.5,0

1)1,1(

)1,1.(1,08

8

++

R1 = 20.622,20

r = q.n

Ci. r = 0,5.

8

100000.1,0 r = 625,00

Perodo Saldo Devedor

St Amortizao

At Juros

Jt Prestaes

Rt

rRR

n

Ciqr

Cin

qi

iiCqR

tt

n

n

=

=

++

+

+=

+1

1

1

1)1(

)1()1(

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