UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas:

Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

E

Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 2: Transformação da Deformação

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 2.1 Estado Plano de Deformações

• 2.2 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações

• 2.3 Círculo de Mohr — Estado Plano de Deformações

• 2.4 Deformação por Cisalhamento Máxima Absoluta

• 2.5 Rosetas

• 2.6 Relações Material-Propriedade

OBJETIVOS:

• Mostrar utilização de métodos semelhantes aos de transformação de tensão.

• Apresentar maneiras de medição das deformações

“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

2.1 Estado plano de deformações

O estado geral de deformação também é caracterizado por seis componentes, três normais εx,

εy e εz (adimensionais) que ocorrem nas direções dos eixos x, y e z e três por cisalhamento γ

xy, γ yz e γxz (variação angular [rad] entre os pares de eixos especificados);

No estado plano de deformações desconsideramos as componentes εz, γyz e γxz, teremos;

Convenção: . γ (+) -> (fecha). . γ (-) ->(abre).

As componentes de deformação são avaliadas por extensômetros e tem valores específicos em cada direção observada.

Mas devido ao efeito Poisson, o estado plano de tensões não causa necessariamente um estado plano de deformações e vice-versa.

2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações

Baseado nestas deformações, buscamos as deformações de um elemento em x’y’ rotacionado em relação a xy;

Na direção y’ defasamos = +90º, e teremos;

Consideraremos o elemento infinitesimal com deformações normais εx e εy nas direções x e y e deformações total cisalhantes γxy ;

Para a deformação normal em x’ teremos a equação geral;

Para a deformação cisalhante em x’y’ teremos a equação geral;

Como no estado plano de tensões podemos geometricamente deduzir expressões para obter εx’, εy’, γ x’y’ nos eixos x’y’.

EXEMPLO: O elemento infinitesimal do suporte está sujeito a um estado plano de deformações com os seguintes componentes: εx = 150 (10-6), εy = 200 (10-6), e γxy= -700 (10-6). Usar as equações de transformação e determinar as deformações planas equivalentes em um elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição original. Esquematizar no plano x-y o elemento distorcido em virtude dessas deformações.

Solução:

Vemos que há uma def. cis. Negativa (abre ângulo entre x’ e y’), uma def. normal positiva em x’ (alonga) e negativa em y’ (contrai), logo esboçamos o elemento deformado:

DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS; Obtemos as expressões de maneira análoga as tensões principais

Deformações normais principais também ocorrem em orientações de deformações cisalhantes

nulas.

A deformação cisalhante máxima também ocorre em planos a 45º, onde atua uma deformação normal média.

Em materiais isotrópicos os eixos das deformações principais coincidem com a orientação dos eixos das tensões principais.

Fazer: O estado de deformação no ponto do dente da engrenagem tem

componentes εx=850(10-6), εy=480(10-6), γxy = 650(10-6), Usar as

equações de transformação da deformação para determinar (a) as

deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento

máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso

a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o

distorcem.

2.3 Circulo de Mohr - Estado plano de deformações

A equação do circulo de Mohr de deformações é obtida analogamente às de tensões; Com atenção para o fato do eixo das ordenadas representar metade da deformação por cisalhamento. Centro e raio serão; onde , e o pt de referência pode ser

Exemplo: O estado de deformação no ponto da chave tem componentes εx=260(10-6),

εy=320(10-6) e γxy = 180(10-6). Usar o circulo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o distorcem.

Sol; obtendo metade da def. cis. podemos marcar o pt de referência A, Com a def. normal média obtemos o centro, No próximo slide mostramos o círculo construído com o centro e pt de referência dados,

Dados; εx=260(10-6), εy=320(10-6) e γxy = 180(10-6)

Temos o circulo; O raio será;

B e D dão as deformações principais;

A orientação do plano principal de

def. normal min. por tang. é;

Logo θp2=35.8º no sentido horário, e a máxima defasado

portanto observando o círculo

θp1=90-35.8=54.2º anti-hor. p/ a def.

normal máx.

Com o raio obtemos a def. cis. max.

no circulo, entre AC e CE dá o ângulo da orientação da def. cis máx por tg.;

sentido anti-horário, com fechamento angular (γ+).

Como vemos, a deformação de cisalhamento máxima absoluta será como ela ocorre no plano x’z’, seu elemento está orientado à 45º em torno de y’(σint). Temos ainda a deformação normal média;

2.4 Deformação por cisalhamento máxima absoluta

Em materiais homogêneos e isotrópicos, estas tensões submetem as deformações principais nestas direções; Analisando cada plano separadamente, construímos o círculo de Mohr que cruza o eixo das abcissas nas def. principais dadas (pts de ordenadas def. cis.=0)

Como vimos, um elem. em um estado de tensão tridimensional xyz; terá uma orientação x’y’z’ onde atuam as tensões principais (triaxiais)

ATENÇÂO: Planos onde não há def. cis. estão com as def. normais principais.

Sol; para obter as tensões principais vamos utilizar o ciclo de Mohr para deformações, inicialmente no plano xy; Lembrando que; Fazemos; assim teremos as deformações principais no plano x’y’; que serão respectivamente εmax e εint, pois se trata de estado plano com εz’=0=εmin, então fazemos o ciclo simultaneamente com as deformações principais em cada um dos plano x’y´, x´z´e z´ý´; Vemos que a def. cis. máxima no plano x’y’ será; Vemos que def. cis. máxima absoluta ocorre no plano x’z’ (círculo maior) e será;

Exemplo: A deformação no ponto A do suporte tem componentes εx=300(10-6), εy=550(10-6) , γxy = -650(10-6) e εz= 0. Determinar (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.

Lembre-se: Planos que não tiverem def. cis. tem as def. normais principais (xz e yz neste caso)

2.5 Rosetas São extensômetros de resistência elétrica; para padrão de 3 extensômetros;

Em uma superfície xy ela mede as deformações εx’ (εa, εb e εc) respectivamente nas direções θ (θa, θb e θc) representadas acima. Trata-se de um problema inverso (temos (εx’)’s e θ’s, e buscamos εx, εy e γxy) montando um sistema com a equação geral de transformação ; (reescrita sem as identidades trigonométricas; sen 2θ = 2 sen θ cos θ, cos2 θ = (1+ cos 2 θ)/2 e sen2 θ + cos2 θ = 1).

O sistema terá a forma;

Determinados εx, εy e γxy utilizamos Mohr ou Eq. gerais para obter as deformações principais e cisalhante máxima.

Para facilitar convém orientar as rosetas nas formas:

Assim o sistema; Substituindo os valores de sen e cos reescrevemos respectivamente:

θa=0º θb=45º θc=90º

θa=0º θb=60º θc=120º

Exemplo: O estado de deformação no ponto A do suporte da Figura-a é medido com o uso da roseta mostrada na Figura -b. Devido às cargas, as leituras nos aferidores dão εa=60(10-6),

εb=135(10-6) , εc = 264(10-6). Determinar as deformações principais no plano nesse ponto e as direções em que cada uma atua. Sol; poderíamos usar o sistema reescrito mais

simples, mas montando o sistema inteiro;

Cuja solução será;

ou

Por trigonometria (tg) obtemos o menor ângulo principal (2θp2) de AC até a direção da deformação principal mínima no sentido anti-horário; Logo a orientação será;

Montaremos o ciclo de Mohr;

Fazer: A roseta montada no elo da retroescavadeira fez as seguintes aferições; εa=650(10-6),

εb=-300(10-6) , εc = 480(10-6). Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada.

Supondo materiais homogêneos e isotrópicos na região linear elástica; Lei de Hooke Generalizada; Em tensões triaxiais para obter as deformações devemos considerar Poisson , (cada deformação sofre influência da def. perpendicular a ela). Ex: Vamos buscar εx: Pela lei de Hooke uniaxial (Cap 3), quando σx é aplicada o elemento deforma-se ε'x em x; Mas como σy é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’x em x; Mas como σz é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’’x em x; Portanto a deformação final εx será a superposição (soma) das três, ou seja; Analogamente para y e z faremos; LEI DE HOOKE GENERALIZADA TRIAXIAL->

2.6 Relações Material Propriedade

Obs: Não existe efeito Poisson no cisalhamento,

Cada tensão τxy (plano x e direção y), apenas deforma o ângulo γxy , (entre os eixos x e y) assim, para cisalhamento, a lei de Hooke não se altera;

O módulo de elasticidade (E), o módulo de cisalhamento (ou módulo de rigidez) (G) e o coeficiente de Poisson (ν) se relacionam pela Equação:

Deformação Volumétrica (e) (ou dilatação) ; Tensões normais num elemento de volume inicial V0=dV=dxdydz; causam variações de volume δV=V-V0

desprezando os produtos das deformações, Deformação volumétrica ou dilatação é simplesmente a razão adimensional; Substituindo a Lei de Hooke generalizada nas deformações (ε’s):

Módulo de elasticidade do volume (ou compressibilidade) (k); Dado um elemento submetido a uma pressão hidrostática positiva (p) de compressão; Teremos as tensões normais; Substituíndo estas na equação da def. volumétrica, reescrevemos: O termo constante do lado direito é o k; (un: Pa ou ksi) Obs:

, K>0 , (pois pressão hidrostática (p) positiva é compressão, e causa def. vol. (e) negativa)

Isso mostra que Poisson tem valor limitante máximo ν

0.5 (veja o denominador de k) Esse é o valor de ν usado para escoamento plástico, quando o módulo de compressibilidade K é máximo significando não haver mais mudança de volume, só da forma.

Fazer: A barra de cloreto de polivinil (Epvc = 800x103 psi) está sujeita a uma força axial de 900 lb. Supondo que ela tenha as dimensões originais mostradas, se o ângulo θ decrescer Δθ = 0,01° depois que a carga for aplicada, determinar: a)as deformações normais εx, εy em função de (νpvc). b)o coeficiente de Poisson (νpvc). c)o módulo de cisalhamento (G). d)a deformação volumétrica (e). e)o módulo de compressibilidade (k).

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.