Área Departamental de Engenharia Civilw3.ualg.pt/~jestevao/AE1SebDiag.pdf · Diagramas de esforços - 3 - 2.2. Ligações interiores Designação usual Representação esquemática

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2005/06

João M. C. Estêvão - EST - UAlg

- 2 -

1. Conceitos básicos Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares. Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo. Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo. 2. Ligações 2.1. Ligações exteriores (apoios)

Designação usual

Representação esquemática

Reacções associadas

Deslocamentos permitidos

Apoio simples

Apoio fixo

Encastramento deslizante

Encastramento

Nenhum

Diagramas de esforços

- 3 -

2.2. Ligações interiores

Designação usual

Representação esquemática

Esforços transmitidos

Deslocamentos permitidos

Rótula N e V

Encastramento deslizante

N e M

Pistão V e M

Continuidade N, V e M Nenhum 3. Equações de equilíbrio estático

Momentos 0 (qualquer ponto)

Forças 0 (resultante nula) 4. Diagramas de esforços Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa. Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M)

NN

x

VV

x MM

x

V p dx M V dx


- 4 -

Diagramas de esforços para cargas usuais

Tipo de carga (p)

Esforço Transverso (V)

Momento Flector (M)

p = 0

V = constante

Linear

V = 0

V > 0

V < 0

Linear

Parábola

Parábola

Eq. do 3º grau

Parábola

Eq. do 3º grau

Linear

Parábola

Parábola

Eq. do 3º grau

Parábola

Eq. do 3º grau

Casos particulares: - O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada.

- O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula.

- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado.

- O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.


- 5 -

Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada MA

VB

p

VA

MB A B

x

L

V V p xx A( )

M M V xp x

x A A( ) 2

2

M M L V p LL

MB A A B 02

VL

M Mp L

A B A

12

2

F V p L VV A B 0 V V p LB A

M V V p xx A max. ( ) 0 M xVpA max. max

M M M VVp

p Vpx A A

A Amax max

2

2

M MV

pAA

max

2

2

M M V xp x

x A A( )

2

20

xx

1

2

xV V p M

pA A A

1

2 2

, 0 1 x L

xV V p M

pA A A

2

2 2

, 0 2 x L

se V p M x xx x

A A2

1 2

1 2

2000

sem zeros

xmax

M(x)

x2

x1 Mmax

V(x)


- 6 -

PROBLEMAS PROPOSTOS

Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe

os diagramas de esforços.

1)

A B

C30 kN/m50 kNm

D

20 kN

2.50 m 2.50

1.50

0.50

2)

4.00 m 2.00 2.00

3.00

1.00

1.00 1.00

AB C

40 kN/m 50 kN

D

E F

20 kN

60 kN/m

3)

AB C D E

F

50 kN40 kN/m

3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50

10 kNm


- 7 -

4)

AB

C DE

F

50 kN

36 kN/m

23 kN

2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.001.00 1.00

1.00

1.00

60 kN/m

G H

5)

AB

C

D

EF

90 kN

125 kN

50 kN/m

G H

1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00

1.50

1.50

80 kN

30 kNm

6)

A

BC

D E F

60 kN

10 kN/m

G

70 kN

1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50

2.00

2.00

30 kN/m


- 8 -

7)

A BC

D E

F

94 kN

G

10 kN/m

2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00

1.50

1.50

40 kN

8)

AB

CD E

F

140 kN

G

23 kN/m

2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00

2.00

2.00

HI J

15 kN/m

20 kN/m

100 kN

35 kN

30 kN

50 kNm


- 9 -

9)

A

B C D

E

5 kN

48 kN/m

4.00 m 3.00

3.00

3.00

250 kN

10)

A B

C

D

E

F

60 kN/m

4.00 m

2.00

3.00

6 kN/m30 kN/m


- 10 -

11)

A

B C D E

F

63 kN

50.2 kN/m

1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00

4.00 30 kN/m

12)

A B

C D

E F

60 kN

20 kN/m

2.00 4.00 m 3.00

3.00

3.00

14 kN/m

30 kN/m

132 kN


- 11 -

13)

A B

CD E F

70 kN

40 kN/m

50 kN

1.50 1.50 3.00 m 3.00

2.00

2.00

30 kN/m

14)

A

BC

DE

F

40 kN

G10 kN/m

H I

35 kN

2.00 m 2.00 2.00 2.00

3.00

2.00

1.00

40 kN/m


- 12 -

15)

A

B C D

E F

10 kN

G

20 kN/m

3.00 4.00 m 3.00 2.00

2.00

4.00

30 kN/m

16)

AB

C D E

F

60 kN

G

H IJ

2.00 2.00 2.00 3.00 m

2.00

4.00

3.00

L

60 kN

75 kN

100 kN


- 13 -

17)

A B

C

D

E F

G

25 kN/m

H

I

40 kNm

4.00 m 2.00 2.00

1.50

1.50

1.50

40 kN/m

18)

A

BC

D

EF

40 kN

G

14 kN/m

H I

25 kNm

2.00 1.50 1.50 4.00 m

2.00

2.00

1.00

5 kN/m

20 kN/m

90 kN


- 14 -

19)

A

BC D

E F

119 kNG

30 kN/m

H I

J

2.00 4.00 m 2.25 1.75

2.00

2.00

3.00

10 kN/m 18 kN/m

30 kN 63 kN

20)

A B

C D E

8 kN/m42 kNm

1.50 m 1.50 1.50 1.50

2.00

72 kN/m


- 15 -

Soluções dos problemas propostos

1)

Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três

ligações ao exterior.

F R RH HA HA 0 20 30 2 40 kN

M R RA VB VB

0 30 22

5 50 15 20 42

. kN

F R RV VA VB 0 4 kN

Reacções de apoio e orientação das barras

A B

C D

4 kN 4 kN

40 kN

Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de

esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das

reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de

esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB

e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando

todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.


- 16 -

A

B

C30 kN/m20 kN

D

C

RVA RVB

50 kNm

D

RHA

F 1

F 1

F 2

F 2

F 3F 5F 6F 4

F 7F 8

F 9M 1

M 1

M 2

A

A

F 9

F 10

F 10

F 11

F 11

F 12

F 12

M 2

F 5 F 3F 4 F 6

B

B

Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer

um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças

internas.

M F FDCD 0 5 50 101 1 kN

F F FVCD 0 102 1 kN

F F FVBD 0 103 2 kN

F F FVAC 0 104 1 kN

F F FVnó B kN 0 4 10 65 5

F F FVAB 0 66 5 kN

M F FBBD 0 2 15 20 157 7. kN

F F FHCD 0 158 7 kN


- 17 -

F F FHBD 0 15 20 59 9 kN

F F FHnó B kN 0 510 9

F F FHAB 0 511 10 kN

F F FHAC 0 15 30 2 4512 12 kN

M M FAAB 0 5 5 6 301 5 kNm

M M MAAC

0 2 15 30 2

2302

2

2 kNm

Valores finais:

A

B

C

30

20

D

C

4 4

50

D

10

10

10

10

106610

1515

530

30

30

A

A

5

5

5

5

5

45

45

30

6 1010 6

B

B

40

Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos

diagramas de esforços.


- 18 -

Esforços axiais

N F FAB 10 11 5 kN

N F FBC 7 8 15 kN

N F FAC 1 4 10 kN

N F FBD 2 3 10 kN

Esforços transversos

V F V FAAB

BAB 6 5 6 kN

V F V FCCD

DCD 1 2 10 kN

V FAAC 12 45 kN

V FCAC 8 45 2 30 15 kN

V FBBD 9 5 kN

V FDBD 7 5 20 15 kN

V xxAC

( ) 45 30

0 45 30 15 x x m.

Momentos flectores

M MAAB 1 30 kNm

M Fm x esqCD

a . . kNm 2 5 251.

M F FdirCDmax. . . . 2 5 2 5 50 252 1 kNm

M MAAC

2

2

2 15 30 22

30 kNm

M ABmax. . . .

30 15 45 30 15

2375

2

kNm

M F FBDmax. . . . 15 05 7 59 7 kNm


- 19 -

Diagrama de esforços axiais (kN)

-15-10 10

-5

Diagrama de esforços transversos (kN)

45

-15

10

-6

-5

15

Diagrama de momentos flectores (kNm)

30

25

-30

3.75 -7.5

-25


- 20 -

2)

Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário

estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível

determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em

quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um

conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos

exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável.

AB C

40 kN/m 50 kNDC

RVA

F 1

F 1

F 2F 3

RHB

RVB

E

F

20 kN

60 kN/m

E

DF 4

F 3

F 5

F 5

F 6RHF

RVF RMF

Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer

as seguintes equações:

M F FEED 0 4 20 3 0 154 4 kN (mudar o sentido do vector)

F F FHED 0 20 15 0 55 5 kN (mudar o sentido do vector)

F RHEF

HF 0 5 kN


- 21 -

F FHCD 0 152 kN (mudar o sentido do vector)

F RHABC

HB 0 15 kN (mudar o sentido do vector)

M F FCCD 0 2 1 50 0 253 3 kN

F FVCD 0 50 25 251 kN

F F FVED 0 256 3 kN

F RVEF

VF

0 25 60 22

85 kN

M RFEF

MF

0 2 25 60 22

23

2 130 kNm

M R RAABC

VB VB 0 4 40 6 62

6 25 0 217 5. kN

F RVABC

VA 0 6 40 25 217 5 47 5. . kN

Valores finais:

AB C

40 50DC

47.5

25

25

15

2515217.5

E

F

20

60

E

D15

25

5

5

25

5

85

130


- 22 -

Reacções de apoio e orientação das barras A

B C D

EF

47.5 kN 217.5 kN

85 kN

5 kN130 kNm

15 kN

Cálculo dos esforços:

Esforços axiais

N AB 0 kN

N R FBC HB 2 15 kN

N F FCD 4 2 15 kN

N F FDE 3 6 25 kN

N R FEF HF 5 5 kN

Esforços transversos

V RAdir

VA. . 47 5 kN

VBesq . . . 47 5 40 4 112 5 kN

VBdir . . . 112 5 217 5 105 kN

V FCesq . 1 105 2 40 25 kN

V FCdir . 1 25 kN

V FDCD 3 25 50 25 kN

V FEED 5 5 kN


- 23 -

V FDED 4 5 20 15 kN

V FEEF 6 25 kN

VFesq .

25 60 2

285 kN

V xxAB

( ) . 47 5 40

0 47 5 40 11875 . .x x m

Momentos flectores

M ABmax. . . . .

11875 47 5 40 11875

228 2

2

kNm

M B

4 47 5 40 42

1302

. kNm

M FCDmax. 1 251 kNm

M FEDmax. 1 154 kNm

M RF MF 130 kNm

Diagrama de esforços axiais (kN) 15

-5

-25


- 24 -


47.5

-112.5

105

25

-25 -15

5

-25

-85


28.2

-130

25

15

-130


- 25 -

3)

DE

F

5040

AB

C

10 40

150

30

5010

40 40 40 40

Equações de equilíbrio:

F RH HF 0 0

M F FCCD

0 2 40 2

2401

2

1 kN

F F FVCD 0 40 40 2 402 2 kN

M R RAABC

VB VB 0 10 3 40 4 50 kN

F R RVABC

VA VA 0 40 50 10 kN

F R RV VE VE 0 40 35 50 10 50 150. kN

M R RDDEF

MF MF

0 40 152

50 3 150 15 302. . kNm

M CDmax.

40 28

202

kNm


AB C D E

F

150 kN

30 kNm

50 kN10 kN


- 26 -



-10

-100

40 50

-40


-30

-105

-40

20

-30


- 27 -

4)

C

E

F

50

36

2360

161

25

70

21

25

100

A

B

C

D E

FG H

C

40

40

25

47

25

25

25

25

25

40

47

40

25

47

17.68

33.23 17.6833.23


M R RFFGH

VG VG

0 1 60 2

21 1

32 100 kN

F F FVFGH

0 60 2

2100 401 1 kN

F F FVEF 0 403 1 kN

M F FEEF 0 2 1 50 252 2 kN

F F FHEF 0 254 2 kN

M R RCCDE

VD VD

0 2 3 40 36 32

212

kN

F F FVCDE 0 36 3 40 21 475 5 kN


- 28 -

F F FHCDE 0 256 4 kN

F R FHABC

HA 0 256 kN

F RVABC

VA 0 23 47 70 kN

M R RAABC

MA MA 0 2 25 1 23 4 47 161 kNm

F R RH HG HG 0 25 50 25 kN

V xxCD

( ) 47 36

0 47 36 130556 x x m.

M CDmax. . . .

130556 47 36 130556

230 68

2

kNm

Corpo ABC, ponto C:

47 45 47 45 3323 cos º sen º . kN

25 45 25 45 17 68 cos º sen º . kN


161 kNm

25 kN

70 kN

21 kN25 kN

100 kN

A B

C DE

F G H


- 29 -


-50.91

-25

-40

-25

25


-40

-25

60-40

-4

-25

25

47

15.5647

70


-161

-44-91

22

-4025

30.68


- 30 -

5)

EF

50

125

137.5

D

G H

C 125

87.5

88.39

61.87 88.3961.87

125

137.5

AB

C125

87.5

87.5

125 125

C

C125

37.5

151

247

30

80

90

9072

54

37.5

37.5

125

75

3022.5100

C

71

109.5

71

109.5

D

4 3 52 2 m

arctan .3

436 869898o

90 72 cos kN

90 54 sen kN


M R RDABCD

VA VA

0 8 7 1

21 50 4 125 5

290 137 5. kN

M R RCABC

HA HA

0 3 50 1 3 1

24 137 5 125. kN

F F RHABC

HA 0 1251 kN


- 31 -

F F FVABC 0 50 1 137 5 87 52 2. . kN

F F FHCnó kN 0 1253 1

F F FVCnó kN 0 87 5 125 37 54 4. .

F F FHCD 0 54 125 715 5 kN

F FVCD 0 72 37 5 109 56 . . kN

F RHDFGH

HH 0 71 80 151 kN

M R REDFGH

VH VH 0 3 15 80 30 3 151 1 109 5 137 5. . . kN

F R RV VE VE 0 137 5 137 5 72 125 50 1 247. . kN

Corpo ABC, ponto C:

87 5 45 87 5 45 6187. cos º . sen º . kN

125 45 125 45 88 39 cos º sen º . kN

Corpo CD, ponto C:

37 5 30. cos kN e 37 5 22 5. s . en kN

125 100 cos kN e 125 75 sen kN


A B

C

D

EF

G H

125 kN

137.5 kN 247 kN

151 kN

137.5 kN


- 32 -


-150.26

-125-71

-122.5-137.5

-151


-45

-26.5287.5

-71

-151

-109.5

137.5137.5

45

137.5


-305

112.5

-78.5

-137.5

-109.5

28

-167.5

112.5

112.528

-305


- 33 -

6)

E F

30

G

C

120

90

42.43

60

A

B

90

D

90

12060

42.43

90

120

150

120

150

375

63.6463.64

84.85

84.85

C C

D

10

120

180 70

70

120

60 45 60 45 42 43 cos º sen º . kN


F FHABC 0 30 4 1201 kN

F F FHCD 0 1203 1 kN

M F FDCD 0 4 2 60 4 120 902 2 kN

F R FVABC

VA 0 902 kN

M R RCABC

MA MA

0 15 90 30 42

3752

. kNm


- 34 -

F FVCD 0 90 60 1504 kN

M R RDDEFG

VE VE

0 3 1 150 4 5 70 10 32

702

. kN

F R RV VE VE 0 70 90 60 10 3 70 180 kN

Corpo CD, ponto C:

90 45 90 45 63 64 cos º sen º . kN

120 45 120 45 84 85 cos º sen º . kN


A

B C

D

EG

375 kNm

90 kN70 kN

120 kN

180 kN

F


- 35 -


-120

90

-190.92

-148.49

-120


21.21

-150

30-21.21

-120

70

-90


375

-150-105

135

135

60


- 36 -

7)


114 kNm

15 kN

151 kN

24 kN

A BC

DE

F G


-60

36-60

-24

-20

-5


60

-20

2036

-52

-15

99

20

-20

5


- 37 -


-208

114

20

54

-10

50-90

144

8)


46 kNm

70 kN400 kN

194.5 kN

47.5 kN

AB

CD E

F

GH

I J


-194.5

-153.5

200 -70

-82.5

100


- 38 -


Diagrama de momentos flectores (kNm) -300

65

290

15

80

46

260

320

290

260

95

-200

-46

10

128

200

-82.5110

-1270

-47.5

-130-160


- 39 -

9)


C

A

D

E

336 kN

B

309 kNm 245 kN


392

490

294

336


- 40 -


150

142

245

14442


216

309

426 18.375


- 41 -

10)

E

A B

D C

F

120 kN

195 kN 45 kN


75

120

45 125

195

125


- 42 -


60

120

65 132

25

120

120

75

93


120

60 252

10.42

11)

RVA HF VF 434 60 25 4 kN ; R kN ; R kN . ; RMF 66 2. kNm


- 43 -

12)

RHA VA VB 117 208 66 kN ; R kN ; R kN

RHE ME 27 40 kN ; R kNm

13)

RHA VA HB 27 5 100 17 5. . kN ; R kN ; R kN

RVB VC 85 30 kN ; R kN

14)

RHA VA HB 58 43 5 81 kN ; R kN ; R kN .

RVB MB 76 5 351. kN ; R kNm ; R kN HI 28

15)

RHA VA VB 120 285 5 kN ; R kN ; R kN

16)

RHA VA HB 60 340 115 kN ; R kN ; R kN

RVB MB 220 690 kN ; R kNm

17)

RHD VD HI VI 60 40 0 60 kN ; R kN ; R ; R kN

18)

RVA HE VE HI 179 13 83 128 kN ; R kN ; R kN ; R kN

19)

kNm 67R ; kN 75.12R MAVA ; R kN VE 68

kN 75.137R ; kN 83R VJHJ

20)

RHA VA HB VB 45 22 27 48 kN ; R kN ; R kN ; R kN

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Área Departamental de Engenharia Civilw3.ualg.pt/~jestevao/AE1SebDiag.pdf · Diagramas de esforços - 3 - 2.2. Ligações interiores Designação usual Representação esquemática