fcatalo 2007/5/3014:37pagei #1Do originalMathematical methods for physicistsTraduc ao autorizada da edic ao publicada por Elsevier Inc.Copyright c 2005c 2007, Elsevier Editora Ltda.Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998.Nenhuma parte deste livro, sem autorizac ao pr evia por escrito da editora,poder a ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados:eletr onicos, mec anicos, fotogr acos, gravac ao ou quaisquer outros.Projeto Gr aco e Editorac ao Eletr onica: Maria do Socorro V.M. de Barros/Francisca Val eria F. GomesRevis ao Gr aca: Marlia Pinto de Oliveira/Renato Ros ario CarvalhoCopidesque: Ivone TeixeiraEditora Campus/ElsevierA Qualidade da Informac aoRua Sete de Setembro, 111 160andar20050-006 Rio de Janeiro RJ BrasilTelefone: (21) 3970-9300 Fax: (021) 2507-1991E-mail: info@elsevier.com.brEscrit orio S ao Paulo:Rua Quintana, 753, 80andar04569-011 Brooklin - S ao Paulo - SPTel.: (11) 5105-8555ISBN 10: 85-352-2050-XISBN 13: 978-85-352-2050-6Nota: Muito zelo e t ecnica foram empregados na edic ao desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitac ao, impress ao oud uvida conceitual. Em qualquer das hip oteses, solicitamos a comunicac ao ` a nossa Central de Atendimentos, para que possamosesclarecer ou encaminhar a quest ao.Nemaeditoranemosautoresassumemqualquerresponsabilidadeporeventuaisdanosouperdasapessoasoubens,originados do uso desta publicac ao.Central de Atendimento:Tel.: 0800-265340Rua Sete de Setembro, 111, 160andar Centro Rio de Janeiroe-mail: info@elsevier.com.brsite: www.campus.com.brCIP-Brasil, catalogac ao-na-fonte.Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.A732f Arfken, George B. (George Brown), 1922.Fsica matem atica: m etodos matem aticos para engenharia e fsica/George Arfken e Hans Weber .traduc ao de Arlete Simille Marques Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.Traduc ao de: Mathematical methods for physicists, 6th edISBN 978-85-352-2050-61. Fsica. 2. Fsica. I. Weber, Hans-Jurgen. II. Ttulo.07-0469. CDD 510CDU 5112.02.07 16.02.07 000480livro 2007/7/2416:04pagev#2Pref acioPorseisedic oesat eagora,M etodosmatem aticosparafsicosforneceutodososm etodosmatem aticosqueospretendentes ` as carreiras de cientistas e engenheiros provavelmente encontrar ao como estudantes e pesquisadores.H a material mais do que suciente para um curso de graduac ao ou p os-graduac ao de dois semestres.O livro e avancado no sentido de que as relac oes matem aticas quase sempre s ao provadas, al em de ilustradasem termos de exemplos. Essas provas n ao s ao o que um matem atico consideraria como rigorosas, mas d ao umesboco das id eias e enfatizam as relac oes que s ao essenciais para o estudo da fsica e campos relacionados. Essaabordagem incorpora teoremas que normalmente n ao s ao citados nas abordagens mais gerais, mas se adaptamperfeitamente bem ` as aplicac oes mais restritas exigidas pela fsica. Por exemplo, um fsico normalmente aplica oteorema de Stokes a uma superfcie partindo do entendimento t acito de que ela e simplesmente conectada. Nestelivro, essas suposic oes cam mais explcitas.Habilidades para Resolver ProbelmasO livro tamb em adota um foco deliberado sobre habilidades para resolver problemas. Esse nvel mais avancadode entendimento e aprendizado ativo e rotineiro em cursos de fsica e requer pr atica da parte do leitor. Seguindoesse princpio, os conjuntos extensivos de problemas apresentados em cada captulo fazem parte integral do livro.Foram revisados e atualizados com cuidado e seu n umero aumentou nesta Sexta Edic ao.Como o Livro deve ser UsadoEstudantes de graduac ao ter ao melhor aproveitamento se comecarem revendo o Captulo 1 de acordo com o nvelde treinamento da classe. A Sec ao 1.2 sobre as propriedades de transformac ao de vetores, o produto cruzado ea invari ancia do produto escalar sob rotac oes pode ser adiada at e o incio da an alise tensorial, para a qual essassec oes funcionam como uma introduc ao e servem como exemplos. Podem continuar seus estudos com algebralinear no Captulo 3 e ent ao, talvez passar para tensores e simetrias (Captulos 2 e 4) e, em seguida, an alise real ecomplexa (Captulos 5 a 7), equac oes diferenciais (Captulos 9 e 10) e func oes especiais (Captulos 11 a 13).Em geral, o n ucleo de um curso de graduac ao de um semestre compreende os Captulos 5 a 10 e 11 a 13, quetratam de an alise real e complexa, equac oes diferenciais e func oes especiais. Dependendo do nvel dos estudantesem um curso, pode-se estudar um pouco de algebra linear no Captulo 3 (eigenvalores, por exemplo,), juntamentecom simetrias (teoria de grupo no Captulo 4). Tensores (Captulo 2) podem ser estudados se necess ario ou sedesejado. A teoria de grupo tamb em pode ser includa com equac oes diferenciais (Captulos 9 e 10). Relac oesadequadas foram includas e discutidas nos Captulos 4 e 9.Um curso de dois semestres pode abordar tensores, teoria de grupo e func oes especiais (Captulos 11 a 13)mais extensivamente e adicionar s eries de Fourier (Captulo 14), transformadas integrais (Captulo 15), equac oesintegrais (Captulo 16) e c alculo de variac oes (Captulo 17).vlivro 2007/7/2416:04pagevi #3vi Fsica Matem atica Arfken WeberMudancas na Sexta Edic aoNesta Sexta Edic ao foram feitas mudancas em quase todos os captulos, acrescentando exemplos e problemas emais derivac oes de resultados. V arios erros de ortograa causados pela digitalizac ao para o sistema LaTeX, umprocesso sujeito a erros ` a taxa de muitos erros por p aginas foram corrigidos, juntamente com erros tais como o dasmatrizes de Dirac no Captulo 3. Alguns captulos mudaram de lugar. A func ao gama agora est a no Captulo 8,logo ap os os Captulos 6 e 7 sobre func oes complexas de uma vari avel, j a que e uma aplicac ao desses m etodos.Equac oes diferencias agora est ao nos Captulos 9 e 10. Foi acrescentado um novo Captulo sobre probabilidade,bemcomonovassubsec oessobreformasdiferenciaiseequac oesdeMathieuatendendoainsistentespedidosde leitores e estudantes ao longo dos anos. As novas subsec oes s ao mais avancadas e escritas no estilo concisodo livro, elevando-as assim ao nvel de p os-graduac ao. Foram acrescentados muitos exemplos, por exemplo nosCaptulos 1 e 2, que costumam ser usados na fsica ou s ao gurinhas carimbadas em cursos de fsica. Foram feitasv arias adic oes no Captulo 3, tais como depend encia linear de vetores, espacos vetoriais duais e decomposic aoespectral de matrizes sim etricas ou Hermitianas. Uma subsec ao sobre a equac ao de difus ao d a destaque especiala m etodos para adaptar soluc oes de equac oes diferenciais parciais a condic oes de fronteira. Foram desenvolvidasnovas f ormulas para polinomiais de Hermite, includas no Captulo 13 e uteis para tratar vibrac oes moleculares;elas s ao de interesse do fsico-qumico.AgradecimentosContamos com o benefcio do conselho e da ajuda de muitas pessoas. Algumas das revis oes atendem a coment ariosfeitos por leitores e ex-alunos, como o Dr. K. Bodoor e J. Hughes. Nossos agradecimentos e eles e aos editoresBarbara Holland e Tom Singer que organizaram os testes de precis ao. Gostaramos de agradecer em particularao Dr. Michael Bozoian e ao Prof. Frank Harris por sua inestim avel ajuda na vericac ao de precis ao e a SimonCrump, Editor de Produc ao por seu gerenciamento especializado de Sexta Edic ao.livro 2007/7/2416:04pagevii #4Sum ario1 An alise Vetorial 11.1 Denic oes, Abordagem Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Rotac ao dos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Produto Escalar ou Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Produto de Vetores ou Produto Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Produto Escalar Triplo, Produto Vetorial Triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Gradiente, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Diverg encia, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8 Rotacional, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9 Aplicac oes Sucessivas de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10 Integrac ao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.13 Teoria do Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.14 Lei de Gauss, Equac ao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.15 Func ao Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.16 Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 An alise Vetorial em Coordenadas Curvas e Tensores 802.1 Coordenadas Ortogonais em R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2 Operadores Vetoriais Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3 Sistemas de Coordenadas Especiais: Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4 Coordenadas Cilndricas Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.5 Coordenadas Polares Esf ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6 An alise Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.7 Contrac ao, Produto Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107viilivro 2007/7/2416:04pageviii #5viii Fsica Matem atica Arfken Weber2.8 Regra do Quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.9 Pseudotensores, Tensores Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.10 Tensores Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.11 Operadores de Derivadas de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 Determinantes e Matrizes 1263.1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.2 Matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.3 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4 Matrizes hermitianas, Matrizes Unit arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.5 Diagonizac ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.6 Matrizes Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754 Teoria dos Grupos 1834.1 Introduc ao ` a Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2 Geradores de Grupos Contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.3 Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.4 Acoplamento de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.5 Grupo Homog eneo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.6 Covari ancia de Lorentz de Equac oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.7 Grupos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.8 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315 S eries Innitas 2455.1 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455.2 Testes de Converg encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.3 S eries Alternantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585.4Algebra de S eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2605.5 S erie de Func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645.6 Expans ao de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.7 S erie de Pot encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.8 Integrais Elpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815.9 N umeros de Bernoulli e F ormula de Euler-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.10 S eries Assint oticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.11 Produtos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300livro 2007/7/2416:04pageix#6SUM ARIO ix6 Func oes de uma Vari avel Complexa I 3056.1Algebra Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3066.2 Condic oes de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126.3 Teorema Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3166.4 F ormula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216.5 Expans ao de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.6 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3326.7 Mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3356.8 Mapeamento Conformal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3427 Func oes de uma Vari avel Complexa II 3457.1 C alculo de Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3457.2 Relac oes de Dispers ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3657.3 M etodo das Inclinac oes mais Acentuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3708 A Func ao Gama (Func ao Fatorial) 3778.1 Denic oes, Propriedades Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778.2 Func oes Digama e Poligama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3868.3 S erie de Stirling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3908.4 A Func ao Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3938.5 Func oes Gama Incompletas e Func oes Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3989 Equac oes Diferenciais 4049.1 Equac oes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4049.2 Equac oes Diferenciais de Primeira Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4109.3 Separac ao de Vari aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4189.4 Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4259.5 Soluc oes de S erie M etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4279.6 Uma Segunda Soluc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4379.7 Equac ao N ao-Homog enea Func ao de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4479.8 EDP de Fluxo de Calor ou de Difus ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46210Teoria de Sturm-Liouville Func oes Ortogonais 46910.1 EDO Auto-Adjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46910.2 Operadores Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479livro 2007/7/2416:04pagex#7x Fsica Matem atica Arfken Weber10.3 Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48410.4 Completude de Autofunc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49010.5 Func ao de GreenExpans ao em Autofunc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49911Func oes de Bessel 51011.1 Func oes de Bessel da Primeira Esp ecie, J(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51011.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52411.3 Func oes de Neumann e Func oes de Bessel da Segunda Esp ecie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52911.4 Func oes de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53411.5 Func oes Modicadas de Bessel I(x) e K(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53911.6 Expans oes Assint oticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54411.7 Func oes Esf ericas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54812Func oes de Legendre 56012.1 Func ao Geratriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56012.2 Relac oes de Recorr encia e Propriedades Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56612.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57112.4 Denic oes Alternativas de Polin omios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58012.5 Func oes Associadas De Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58212.6 Harm onicos Esf ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59512.7 Operadores de Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60012.8 O Teorema da Adic ao para Harm onicos Esf ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60312.9 Integrais de Produtos de Tr es Harm onicos Esf ericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60712.10Func oes de Legendre da Segunda Esp ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61012.11Harm onicos Esf ericos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61513Mais Func oes Especiais 61813.1 Func oes de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61813.2 Func oes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63313.3 Polin omios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64213.4 Func oes Hipergeom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65013.5 Func oes Hipergeom etricas Conuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65313.6 Func oes de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65814S eries de Fourier 667livro 2007/7/2416:04pagexi #8SUM ARIO xi14.1 Propriedades Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66714.2 Vantagens, Usos da S erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67214.3 Aplicac oes de S eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67514.4 Propriedades da S erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68414.5 Fen omeno de Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68814.6 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69114.7 Expans ao de Fourier de Func oes de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69515Transformadas Integrais 70515.1 Transformadas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70515.2 Desenvolvimento da Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70815.3 Transformadas de FourierTeorema da Invers ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71015.4 Transformada de Fourier de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71615.5 Teorema de Convoluc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72015.6 Representac ao de Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72315.7 Func ao de Transfer encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72815.8 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73115.9 Transformada de Laplace de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73615.10Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74115.11Teorema da Convoluc ao (Faltungs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75015.12 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75316Equac oes Integrais 76316.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76316.2 Transformadas Integrais, Func oes Geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76816.3 S erie de Neumann, N ucleos Separ aveis (Degenerados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77216.4 Teoria de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78117C alculo de Variac oes 78717.1 Uma Vari avel Dependente e uma Vari avel Independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78717.2 Aplicac oes da Equac ao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79217.3 Diversas Vari aveis Dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79817.4 Diversas Vari aveis Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80217.5 Diversas Vari aveis Dependentes e Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80317.6 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804livro 2007/7/2416:04pagexii #9xii Fsica Matem atica Arfken Weber17.7 Variac ao com Vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80817.8 T ecnica Variacional de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81418M etodos N ao-Lineares e Caos 81818.1 Introduc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81818.2 O Mapa Logstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81918.3 Sensibilidade a Condic oes Iniciais e Par ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82218.4 Equac oes Diferenciais N ao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82519Probabilidade 84219.1 Denic oes, Propriedades Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84219.2 Vari aveis Aleat orias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84719.3 Distribuic ao Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85719.4 Distribuic ao de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85919.5 Distribuc ao Normal de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86119.6 Estatstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864livro 2007/7/2416:04page1#111An alise Vetorial1.1 Denic oes, Abordagem ElementarNa ci encia e na engenharia, freq uentemente encontramos quantidades que t em grandeza e apenas grandeza: massa,tempoetemperatura. Denominamosessasgrandezasquantidades escalareseelascontinuamasmesmas, n aoimportandoascoordenadasqueusarmos. Aocontr ario, muitasquantidadesfsicasinteressantest emgrandezae,al emdisso,umadirec aoassociada.Essesegundogrupoincluideslocamento,velocidade,acelerac ao,forca,momentolinear emomentoangular. Quantidadesquet emgrandezaedirec aos aodenominadasquantidadesvetoriais. Em geral, em tratamentos elementares, um vetor e denido como uma quantidade que tem grandezae direc ao. Para distinguir vetores de escalares, identicamos quantidades vetoriais com letras em negrito, isto e, V.Nosso vetor pode ser convenientemente representado por uma seta de comprimento proporcional ` a grandeza. Adirec ao da seta d a a direc ao do vetor, e o sentido positivo de direc ao e indicado pela ponta. Por essa representac ao,a adic ao vetorialC = A+B (1.1)consiste em colocar a extremidade traseira do vetor B na ponta do vetor A. Ent ao o vetor C e representado poruma seta desenhada a partir da extremidade traseira de A at e a ponta de B. Esse procedimento, a lei de adic aodo tri angulo, atribui signicado ` a Equac ao (1.1) e e ilustrado na Figura 1.1. Completando o paralelogramo, vemosqueFigura 1.1: Lei do tri angulo da adic ao vetorial.C = A+B = B+A, (1.2)como mostra a Figura 1.2. Em palavras, a adic ao de vetores e comutativa.Para a soma de tr es vetores, (Figura 1.3),D = A+B+C,podemos primeiro somar Ae B:A+B = E.Ent ao, essa soma e adicionada a C:D = E+C.1livro 2007/7/2416:04page2#122 Fsica Matem atica Arfken WeberFigura 1.2: Lei do paralelogramo da adic ao vetorial.Figura 1.3: A adic ao de vetores e associativa.De modo semelhante, podemos primeiro somar B e C:B+C = F.Ent ao,D = A+F.Em termos da express ao original,(A+B) +C = A+ (B+C).A adic ao de vetores e associativa.Um exemplo fsico direto da lei de adic ao do paralelogramo e dado por um peso suspenso por dois os. Se oponto de junc ao (O na Figura 1.4) estiver em equilbrio, a soma vetorial das duas forcas F1 e F2 deve exatamenteanular a forca da gravidade dirigida para baixo, F3. Nesse caso, a lei de adic ao do paralelogramo est a sujeita` avericac ao experimental imediata.1A subtrac ao pode ser executada denindo o negativo de um vetor como um vetor da mesma grandeza, mas comsentido inverso. Ent ao,AB = A+ (B).Na Figura 1.3,A = EB.Notequeosvetoress aotratadoscomoobjetosgeom etricosques aoindependentesdequalquersistemadecoordenadas.Esseconceitodeindepend enciadeumsistemadecoordenadaspreferencial edesenvolvidocomdetalhes na sec ao seguinte.A representac ao do vetor A por uma seta sugere uma segunda possibilidade. A seta A (Figura 1.5), iniciandonaorigem,2terminanoponto(Ax, Ay, Az).Assim,seconcordarmosqueovetordevecomecarnaorigem,aextremidade positiva pode ser especicada dando as coordenadas cartesianas (Ax, Ay, Az) da ponta da seta.Embora Apossa representar qualquer quantidade vetorial (momento linear, campo el etrico etc.), umaquantidade vetorial particularmente importante, o deslocamento da origem at e o ponto (x, y, z) e denotado pelo1Em termos estritos, a adic ao pela regra do paralelogramo foi introduzida como uma denic ao. Experimentos mostram que, se admitirmosque as forcas s ao quantidades vetoriais e as combinarmos pela adic ao do paralelogramo, a condic ao de equilbrio de forca resultante zero esatisfeita.2Poderamos iniciar em qualquer ponto de nosso sistema cartesiano de refer encia; escolhemos a origem por simplicidade. Essa liberdade dedeslocar a origem do sistema de coordenadas sem afetar a geometria e denominada invari ancia de translac ao.livro 2007/7/2416:04page3#131. AN ALISE VETORIAL 3Figura 1.4: Equilbrio de forcas: F1 +F2 = F3.Figura 1.5: Componentes cartesianas e co-senos diretores de A.livro 2007/7/2416:04page4#144 Fsica Matem atica Arfken Webersmbolo especial r. Ent ao, podemos escolher entre nos referirmos ao deslocamento como o vetor r ou como acolec ao (x, y, z), as coordenadas de sua extremidade:r (x, y, z). (1.3)Usando r para a grandeza do vetor r, constatamos que a Figura 1.5 mostra que as coordenadas da extremidade e agrandeza s ao relacionadas porx = r cos , y = r cos , z = r cos . (1.4)Aqui, cos , cos e cos s ao denominados co-senos diretores, sendo o angulo entre o vetor dado e o eixo xpositivo e assim por diante. Um pouco mais de vocabul ario: as quantidades Ax, Ay e Az s ao conhecidas como ascomponentes (cartesianas) de Aou as projec oes de A, com cos2 + cos2 + cos2 = 1.Assim, qualquer vetor A pode ser resolvido em suas componentes (ou projetado sobre os eixos coordenados)para resultarAx=Acos etc., como na Equac ao (1.4). Podemos escolher entre nos referirmos ao vetor comouma quantidade unica Aou ` as suas componentes (Ax, Ay, Az). Note que o ndice x em Ax denota a componentex e n ao uma depend encia da vari avel x. A decis ao de utilizar Aou suas componentes (Ax, Ay, Az) e, em ess encia,uma escolha entre uma representac ao geom etrica ou uma representac ao alg ebrica. Use qualquer das representac oessegundosuaconveni encia. Arepresentac aogeom etricadasetanoespacopodeajudar navisualizac ao. Oconjunto alg ebrico de componentes em geral e mais adequado para c alculos precisos num ericos ou alg ebricos.Vetores entram na fsica em duas formas distintas: (1) um vetor A pode representar uma unica forca agindosobreum unicoponto. Aforcadagravidadeagindonocentrodegravidadeilustraessaforma; (2)umvetorA pode ser denido sobre uma regi ao estendida, isto e, A e suas componentes podem ser func oes da posic aoAx=Ax(x, y, z) e assim por diante. Exemplos desse tipo s ao a velocidade de um uido variando de ponto aponto em um dado volume e campos el etricos e magn eticos. Esses dois casos podem ser distinguidos referindo-seao vetor denido sobre uma regi ao como um campo vetorial. O conceito do vetor denido sobre uma regi ao esendo uma func ao de posic ao se tornar a de extrema import ancia na diferenciac ao e integrac ao de vetores.Neste est agio e conveniente introduzir vetores unit arios ao longo de cada um dos eixos coordenados. Seja x umvetor de grandeza unit aria apontando na direc ao positiva x, y, um vetor de grandeza unit aria na direc ao positivay, e z um vetor de grandeza unit aria na direc ao positiva z. Ent ao, xAx e um vetor de grandeza igual a [Ax[ e nadirec ao x. Por adic ao de vetores,A = xAx + yAy +zAz. (1.5)Note que, se Ase anular, todas as suas componentes devem se anular individualmente, isto e, seA = 0, ent ao Ax = Ay = Az = 0.Isso signica que esses vetores unit arios servem como uma base ou um conjunto completo de vetores no espacoeuclidiano tridimensional, em termos do qual qualquer vetor pode ser expandido. Assim, a Equac ao (1.5) e umaarmac ao de que os tr es vetores unit arios x, y e z varrem nosso espaco tridimensional real: qualquer vetor podeser escrito como uma combinac ao linear de x, y e z. Visto que x, y e z s ao linearmente independentes (nenhum euma combinac ao linear dos outros dois), eles formam uma base para o espaco euclidiano tridimensional real. Porm, pelo teorema de Pit agoras, o m odulo do vetor A e[A[ =

A2x +A2y +A2z

1/2. (1.6)Note que os vetores unit arios associados ` as coordenadas n ao s ao o unico conjunto completo ou base. Essa resoluc aodeumvetoremsuascomponentespodeserrealizadaemumavariedadedesistemascoordenados,comoser amostrado no Captulo 2. Aqui, vamos nos restringir ` as coordenadas cartesianas, em que os vetores unit arios t emascoordenadas x=(1, 0, 0), y=(0, 1, 0)e z=(0, 0, 1), etodost emcomprimentoedirec aoconstantes,propriedades caractersticas das coordenadas cartesianas.Em substituic ao ` a t ecnica gr aca, a adic ao e a subtrac ao de vetores agora podem ser realizadas em termos desuas componentes. Para A = xAx + yAy +zAz e B = xBx + yBy +zBz,AB = x(AxBx) + y(AyBy) +z(AzBz). (1.7)Deve-se enfatizar aqui que os vetores unit arios x, y e z s ao usados por conveni encia. Eles n ao s ao essenciais;podemos descrever vetores e us a-los exclusivamente em termos de suas componentes: A (Ax, Ay, Az). Essalivro 2007/7/2416:04page5#151. AN ALISE VETORIAL 5 e a abordagem das duas mais poderosas e mais sosticadas denic oes de vetor que ser ao discutidas na pr oximasec ao. Contudo, x, y e z enfatizam a direc ao.At e aqui denimos as operac oes de adic ao e subtrac ao de vetores. Nas pr oximas sec oes ser ao denidas tr esvariedades de multiplicac ao com base em sua aplicabilidade: um produto escalar, ou interno, um produto vetorialpeculiar ao espaco tridimensional e um produto direto, ou externo, que resulta em um tensor de segunda ordem. Adivis ao por um vetor n ao e denida.Exerccios1.1.1 Mostre como encontrar Ae B, dados A+B e AB.1.1.2 O vetor A, cuja grandeza e 1,732 unidade e faz angulos iguais com os eixos coordenados. AcheAxAy e Az.1.1.3 Calcule as componentes de um vetor unit ario que se encontra no plano xy e faz angulos iguais comas direc oes positivas dos eixos x e y.1.1.4 A velocidade do veleiro A em relac ao ao veleiro B, vrel, e denida pela equac ao vrel = vA vB,onde vA e a velocidade de A e vB e a velocidade de B. Determine a velocidade de A em relac ao aB sevA = 30 km/h no sentido lestevB = 40 km/h no sentido norte.Resposta: vrel = 50 km/h, 53, 1 no sentido sudeste.1.1.5 Um veleiro navega durante 1 h a 4 km/h (em relac ao ` a agua) no rumo constante de b ussola de 40nordeste. O veleiro e levado simultaneamente por uma corrente. Ao nal de uma hora o barco est aa 6,12 km de seu ponto de partida. A reta entre seu ponto de partida e sua localizac ao est a a 60nordeste. Ache as componentes x (rumo leste) e y (rumo norte) da velocidade da agua.Resposta: vleste = 2, 73 km/h, vnorte 0 km/h.1.1.6 Uma equac ao vetorial pode ser reduzida` a forma A=B. A partir disso, mostre que a equac aovetorial unica eequivalentea tr esequac oesescalares. AdmitindoavalidadedasegundaleideNewton, F =ma, como uma equac ao vetorial, isso signica que ax depende somente de Fx e eindependente de Fy e Fz.1.1.7 Osv erticesA, BeCdeumtri angulos aodadospelospontos(1, 0, 2),(0, 1, 0)e(1, 1, 0),respectivamente. Ache o ponto D, tal que a gura ABCD forme um paralelogramo plano.Resposta: (0, 2, 2) ou (2, 0, 2).1.1.8 Um tri angulo e denido pelos v ertices de tr es vetores A, B e C, que se estendem da origem. Emtermos de A, Be C, mostre que a soma vetorial dos lados sucessivos do tri angulo (AB+BC+CA) e zero, sendo que o lado AB vai de A a B etc.1.1.9 Uma esfera de raio a tem centro em um ponto r1.(a) Escreva a equac ao alg ebrica para a esfera.(b) Escreva uma equac ao vetorial para a esfera.Resposta: (a) (x x1)2+ (y y1)2+ (z z1)2= a2.(b) r = r1 +a, com r1 = centro.(a assume todas as direc oes mas tem uma grandeza xa a.)1.1.10 Um reetor de canto e formado por tr es superfcies reetoras mutuamente perpendiculares. Mostreque um raio de luz que incide sobre esse reetor (atingindo todas as tr es superfcies) e reetido devolta ao longo de uma linha paralela ` a linha de incid encia.Sugest ao: Considere o efeito de uma reex ao sobre as componentes de um vetor que descreve adirec ao do raio de luz.1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que gal axias distantes est ao se afastando com uma velocidadeproporcional ` a sua dist ancia do local onde estamos na Terra. Para a i- esima gal axia,vi = H0ri,tendo n os na origem. Mostre que esse afastamento das gal axias em relac ao a n os n ao implica queestamos no centro do universo. Especicamente, considere a gal axia em r1uma nova origem emostre que ainda assim a lei de Hubble e obedecida.livro 2007/7/2416:04page6#166 Fsica Matem atica Arfken Weber1.1.12 Ache os vetores diagonais de um cubo unit ario com um v ertice na origem e seus tr es lados ao longodos eixos cartesianos. Mostre que h a quatro diagonais de comprimento 3. Representando essasdiagonais como vetores, quais s ao suas componentes? Mostre que o comprimento das diagonais dasfaces do cubo e2 e determine suas componentes.1.2 Rotac ao dos Eixos Coordenados3Na sec ao anterior, vetores foram denidos ou representados de dois modos equivalentes: (1) geometricamente,especicando grandeza e direc ao, como uma seta, e (2) algebricamente, especicando as componentes relativasaos eixos cartesianos. Asegundadenic ao eadequadaparaaan alisevetorial destecaptulo. Nestasec ao,s aoapresentadasduasdenic oesmaisrenadassosticadasepoderosas. Aprimeira equeocampovetorial edeterminadoemtermosdocomportamentodesuascomponentessobrotac aodoseixoscoordenados. Essaabordagemdeteoriadetransformac aoleva` aan alisetensorialdoCaptulo2eagruposdetransformac aonoCaptulo 4. A segunda e a denic ao de componente da Sec ao 1.1 renada e generalizada segundo os conceitos dosmatem aticos de vetor e espaco vetorial. Essa abordagem leva a espacos de func ao, incluindo o espaco de Hilbert.A denic ao de vetor como uma quantidade que tem grandeza e direc ao e incompleta. Por um lado, encontramosquantidades, taiscomoconstantesel asticase ndicesderefrac aoemcristaisanisotr opicos, quet emgrandezae direc ao, mas n ao s ao vetores. Por outro lado, nossa abordagem ing enua e inaquedequada para generalizar eestender para quantidades mais complexas. Procuramos uma nova denic ao de campo vetorial usando nosso vetorcoordenada r como um prot otipo.H a uma base fsica para nosso desenvolvimento de uma nova denic ao. Descrevemos nosso mundo fsico pelaMatem atica, mas essa descric ao e quaisquer previs oes fsicas que possamos fazer devem ser independentes denossas convenc oes matem aticas.Em nosso caso especco, admitimos que o espaco e isotr opico; isto e, n ao h a uma direc ao preferencial ou todasas direc oes s ao equivalentes. Ent ao, o sistema fsico que est a sendo analisado ou a lei da fsica que est a sendoenunciada n ao pode e n ao deve depender de nossa escolha ou orientac ao dos eixos coordenados. Especicamente,se uma quantidade S n ao depender da orientac ao dos eixos coordenados, ela e denominada escalar.Agora retornamos ao conceito do vetor r como um objeto geom etrico independente do sistema de coordenadas.Vamos examinar r em dois sistemas diferentes, um rotacionado em relac ao ao outro.Porsimplicidade, emprimeirolugarconsideramosocasobidimensional. Seascoordenadas xeyforemrotacionadas no sentido anti-hor ario por um angulo , mantendo r xo (Figura 1.6), obtemos as seguintes relac oesentre as componentes projetadas no sistema original (sem linha) e projetadas no novo sistema rotacionado (comlinha):xt = xcos +ysen ,yt = xsen +y cos .(1.8)Vimos na Sec ao 1.1 que um vetor pode ser representado pelas coordenadas de um ponto; isto e, as coordenadaseram proporcionais ` as componentes do vetor. Por conseguinte, as componentes de um vetor devem se transformar,sob rotac ao, em coordenadas de um ponto (tal como r). Portanto, sempre que qualquer par de quantidades Ax eAy no sistema de coordenadas xy e transformado em (Atx, Aty) por essa rotac ao do sistema de coordenadas comAtx = Ax cos +Aysen ,Aty = Axsen +Ay cos ,(1.9)denimos4Axe Aycomoas componentes de umvetor A. Nossovetor agora e denidoemtermos datransformac ao de suas componentes sob rotac ao do sistema de coordenadas. Se Ax e Ay se transformam do mesmomodo que x e y, as componentes do vetor geral bidimensional da coordenada r, elas s ao as componentes de umvetor A. SeAx eAyn ao mostrarem essa invari ancia de forma (tamb em denominada covari ancia) quando ascoordenadas forem rotacionadas, elas n ao formam um vetor.As componentes do campo vetorial Ax e Ay que satisfazem as equac oes denidoras, Equac oes (1.9), associamumagrandezaAeumadirec aocomcadapontonoespaco. Agrandeza eumaquantidadeescalar, invarianteemrelac ao` arotac aodosistemadecoordenadas. Adirec ao(relativaaosistemasemlinha) e, damesmamaneira, invariantepelarotac aodosistemacoordenado(vejaoExerccio1.2.1). Oresultadodetudoisso eque as componentes de um vetor podem variar de acordo com a rotac ao do sistema coordenado com linha.3Esta sec ao e opcional aqui. Ser a essencial para o Captulo 2.4Uma quantidade escalar n ao depende da orientac ao de coordenadas;S

=Sexpressa o fato de que ela e invariante sob rotac ao dascoordenadas.livro 2007/7/2416:04page7#171. AN ALISE VETORIAL 7Figura 1.6: Rotac ao de eixos coordenados cartesianos ao redor do eixo z.Eissoquedizemas Equac oes (1.9). Mas avariac aocomo angulo etal queas componentes nosistemacoordenado rotacionado Atx e Aty denem um vetor com a mesma grandeza e a mesma direc ao do vetor denidopelascomponentesAxeAyemrelac aoaoseixoscoordenadosxey(comparecomoExerccio1.2.1). AscomponentesdeAemumdeterminadosistemadecoordenadasconstituemarepresentac aodeAnaquelesistema de coordenadas. As Equac oes (1.9), as relac oes de transformac ao, s ao uma garantia de que a entidadeA e independente da rotac ao do sistema de coordenada.Para passar para tr es e, mais adiante, quatro dimens oes, achamos conveniente usar uma notac ao mais compacta.Sejax x1y x2(1.10)a11 = cos , a12 = sen ,a21 = sen , a22 = cos .(1.11)Ent ao as Equac oes (1.8) tornam-sext1 = a11x1 +a12x2,xt2 = a21x1 +a22x2.(1.12)O coeciente aij pode ser interpretado como um co-seno diretor, o co-seno do angulo entre xti e xj; isto e,a12 = cos(xt1, x2) = sen ,a21 = cos(xt2, x1) = cos

+2

= sen .(1.13)A vantagem da nova notac ao5 e que ela nos permite usar o smbolo de somat orio e reescrever as Equac oes (1.12)comoxti =2j=1aijxj, i = 1, 2. (1.14)5Voc e talvez estranhe a substituic ao de uma par ametro por quatro par ametros aij.E claro que aij n ao constitui um conjunto mnimo depar ametros. Para duas dimens oes os quatro aijest ao sujeitos ` as tr es limitac oes dadas na Equac oes (1.18). A justicativa para esse conjuntoredundante de co-senos diretores e a conveni encia que ele oferece. Esperamos que essa conveni encia se torne mais evidente nos Captulos 2e 3. Para rotac oes tridimensionais (9aij, mas somente tr es independentes) s ao fornecidas descric oes alternativas por: (1) angulos de Eulerdiscutidos na Sec ao 3.3, (2) quat ernions, e (3) par ametros de Cayley-Klein. Essas alternativas t em suas respectivas vantagens e desvantagens.livro 2007/7/2416:04page8#188 Fsica Matem atica Arfken WeberNote quei continua como um par ametro que d a origem a uma unica equac ao quando for igualado a 1 e a umasegunda equac ao quando for igualado a 2. O ndice j, e claro, e um ndice de somat orio, um ndice ctcio e, comoacontece com uma vari avel de integrac ao, j pode ser substitudo por qualquer outro smbolo conveniente.Agora, a generalizac ao para tr es, quatro ou N dimens oes e simples. Diz-se que o conjunto de N quantidades Vjforma as componentes de um vetor N-dimensional Vse e somente se seus valores relativos aos eixos coordenadosrotacionados forem dados porVti=Nj=1aijVj, i = 1, 2, . . . , N. (1.15)Como antes, aij e o co-seno do angulo entre xti e xj. Muitas vezes o limite superior de N e a faixa correspondentede i n ao ser ao indicados.E dado como certo que voc e sabe quantas dimens oes seu espaco tem.Pela denic ao deaijcomo o co-seno do angulo entre a direc aoxti positiva e a direc aoxjpositiva, podemosescrever (coordenadas cartesianas)6aij =xtixj. (1.16a)Usando a rotac ao inversa ( ) temosxj =2i=1aijxtiouxjxti= aij. (1.16b)Note que essas s ao derivadas parciais. Usando as Equac oes (1.16a) e (1.16b), a Equac ao (1.15) torna-seVti=Nj=1xtixjVj =Nj=1xjxtiVj. (1.17)Os co-senos diretores aij satisfazem uma condic ao de ortogonalidadeiaijaik = jk, (1.18)ou, equivalentemente,iajiaki = jk. (1.19)Aqui, o smbolo jk e o delta de Kronecker denido porjk = 1 para j = k,jk = 0 para j = k.(1.20)E f acil vericar que as Equac oes (1.18) e a Equac ao (1.19) s ao v alidas no caso bidimensional, substituindo osaijespeccos das Equac oes (1.11). O resultado e a bem conhecida identidade sen2 + cos2 = 1 para o casode n ao-nulo. Para vericar a Equac ao (1.18) na forma geral, podemos usar as formas das derivadas parciais dasEquac oes (1.16a) e (1.16b) para obterixjxtixkxti=ixjxtixtixk=xjxk. (1.21)A ultima etapa e obtida usando-se as regras padr oes para a diferenciac ao parcial, admitindo que xj e uma func ao dext1, xt2, xt3 e assim por diante. O resultado nal, xj/xk, e igual a jk, j a que se admite que xj e xk, como eixoscoordenados, s ao perpendiculares (duas ou tr es dimens oes) ou ortogonais (para qualquer n umero de dimens oes).De modo equivalente, podemos admitir que xj e xk (j =k) s ao vari aveis totalmente independentes. Se j=k, aderivada parcial e claramente igual a 1.Ao redenir um vetor em termos do modo como suas componentes se transformam sob uma rotac ao do sistemade coordenadas, devemos enfatizar dois pontos:6Diferencie x

i em relac ao a xj. Veja a discuss ao ap os a Equac ao (1.21).livro 2007/7/2416:04page9#191. AN ALISE VETORIAL 91. Essa denic ao e desenvolvida porque e util e apropriada para descrever nosso mundo fsico. Nossas equac oesvetoriais ser ao independentes de qualquer sistema de coordenadas particular. (O sistema de coordenadas n aoprecisanemaomenossercartesiano.)Aequac aovetorialsemprepodeserexpressaemalgumsistemadecoordenadas particular e, para obter resultados num ericos, devemos, em ultima inst ancia, expressar a equac aoem algum sistema de coordenadas especco.2. Essadenic aoest asujeitaaumageneralizac aoqueabrir aoramodamatem aticaconhecidocomoan alisetensorial (Captulo 2).Aqui, devemos fazer uma qualicac ao. Ocomportamento das componentes do vetor sob rotac ao dascoordenadas e usado na Sec ao 1.3 para provar que um produto escalar e um escalar; na Sec ao 1.4, para provarque um produto vetorial e um vetor; e na Sec ao 1.6, para mostrar que o gradiente de um escalar , , e um vetor.O restante deste captulo prossegue tendo como base as denic oes menos restritivas de vetor dadas na Sec ao 1.1.Resumo: Vetores e Espaco VetorialEm matem atica costuma-se denominar uma tripla ordenada de n umeros reais (x1, x2, x3) vetor x. O n umero xn e denominado a n- esima componente do vetor x. A colec ao de todos esses vetores (obedecendo ` as propriedadesapresentadasaseguir)formaum espaco vetorialtridimensionalreal.Atribumoscincopropriedadesanossosvetores: se x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3),1. Igualdade de vetores: x = y signica xi = yi, i = 1, 2, 3.2. Adic ao de vetores: x +y = z signica xi +yi = zi, i = 1, 2, 3.3. Multiplicac ao escalar: ax (ax1, ax2, ax3) (com a real).4. Negativo de um vetor: x = (1)x (x1, x2, x3).5. Vetor nulo: Existe um vetor nulo 0 (0, 0, 0).Uma vez que as componentes de nosso vetor s ao n umeros reais (ou complexos), as seguintes propriedadestamb em valem:1. A adic ao de vetores e comutativa: x +y = y +x.2. A adic ao de vetores e associativa: (x +y) +z = x + (y +z).3. A multiplicac ao escalar e distributiva:a(x +y) = ax +ay e tamb em (a +b)x = ax +bx.4. A multiplicac ao escalar e associativa: (ab)x = a(bx).Al em disso, o vetor nulo 0 e unico, assim como o negativo de um dado vetor x.No que tange aos vetores em si, essa abordagem e uma mera formalizac ao da discuss ao da componente daSec ao 1.1. A import ancia est a nas extens oes, que ser ao consideradas em captulos posteriores. No Captulo 4,mostramosquevetoresformamumgrupoabelianosobadic aoeumespacolinearcomastransformac oesnoespacolineardescritaspormatrizes.Porm,etalvezmaisimportante,paraaFsicaavancada,oconceitodevetores apresentado aqui pode ser generalizado para: (1) quantidades complexas,7(2) func oes e (3) um n umeroinnito de componentes. Isso leva a espacos de func oes de innitas dimens oes, os espacos de Hilbert, que s aoimportantes na moderna teoria qu antica. Uma breve introduc ao` as expans oes de func oes e ao espaco de Hilbertaparece na Sec ao 10.4.Exerccios1.2.1 (a) Mostre que a grandeza de um vetor A, A = (A2x + A2y)1/2, e independente da orientac ao dosistema de coordenadas rotacionado.

A2x +A2y

1/2=

At2x+At2y

1/2,isto e, e independente do angulo de rotac ao .Essa independ encia do angulo e expressa dizendo que A e invariante sob rotac oes.(b) Em um ponto (x, y) dado, A dene um angulo relativo ao eixox positivo e um angulotrelativo ao eixo xt positivo. O angulo entre x e xt e . Mostre que A=At dene a mesma7Oespacovetorial dendimens oesdenreaiscostumaserdenominado Rn, eoespacovetorial dendimens oesdencomplexas edenominado Cn.livro 2007/7/2416:04page10#2010 Fsica Matem atica Arfken Weberdirec ao no espaco quando expresso em termos de suas componentes linha, bem como quandoexpresso em termos de suas componentes sem linha; isto e,t = .1.2.2 Prove a condic ao de ortogonalidadeiajiaki=jk. Como um caso especial disso, os co-senosdiretores da Sec ao 1.1 satisfazem a relac aocos2 + cos2 + cos2 = 1,um resultado que segue da Equac ao (1.6).1.3 Produto Escalar ou Produto InternoAgora que j a denimos vetores, passaremos a combin a-los. As leis para combinac ao de vetores devemsermatematicamenteconsistentes. Dentreaspossibilidadesques aoconsistentes, selecionamosduasques aointeressantes tanto em termos matem aticos quanto em termos fsicos. Uma terceira possibilidade e apresentadano Captulo 2, no qual formamos tensores.A projec ao de um vetor A sobre um eixo coordenado, que d a suas componentes cartesianas na Equac ao (1.4),dene um caso geom etrico especial do produto escalar entre Ae os vetores unit arios coordenados:Ax = Acos A x, Ay = Acos A y, Az = Acos A z. (1.22)Esse caso especial de um produto escalar em conjunc ao com propriedades gerais do produto escalar e sucientepara compreender o caso geral do produto escalar.Exatamente como a projec ao e linear em A, queremos que o produto escalar de dois vetores seja linear em AeB, isto e, obedeca ` as leis distributiva e associativaA (B+C) = A B+A C (1.23a)A (yB) = (yA)B = yA B, (1.23b)em que y e um n umero. Agora podemos usar a decomposic ao de B em suas componentes cartesianas conforme aEquac ao (1.5), B =Bx x + By y + Bzz, para construir o escalar geral ou o produto escalar dos vetores A e BcomoA B = A (Bx x +By y +Bzz)= BxA x +ByA y +BzA z por aplicac ao das Equac oes (1.23a) e (1.23b)= BxAx +ByAy +BzAzpor substituic ao na Equac ao (1.22).Por conseguinteA B iBiAi =iAiBi = B A. (1.24)Se A= Bna Equac ao(1.24), recuperamos a grandeza A = (A2i)1/2de Ana Equac ao(1.6) pelaEquac ao (1.24).E obvio, pela Equac ao (1.24), que o produto escalar trata A e B da mesma maneira, ou seja, e sim etrico em Ae B e e comutativo. Assim, alternativa e equivalentemente, podemos primeiro generalizar as Equac oes (1.22) paraa projec ao AB de A na direc ao de um vetor B = 0, em que AB = Acos A B, em queB = B/B e o vetorunit ario na direc ao de B e e o angulo entre A e B, como mostra a Figura 1.7. De modo semelhante, projetamosAsobre Bcomo BA = Bcos B A. Em segundo lugar, fazemos essas projec oes sim etricas em Ae B, o queleva ` a denic aoA B ABB = ABA = ABcos . (1.25)A lei distributiva na Equac ao (1.23a) e ilustrada na Figura 1.8, que mostra que a soma das projec oes de B e Csobre A, BA +CA e igual ` a projec ao de B+C sobre A, (B+C)A.Segue das Equac oes (1.22), (1.24) e (1.25) que os vetores unit arios das coordenadas satisfazem ` as relac oes x x = y y = zz = 1, (1.26a)livro 2007/7/2416:04page11#211. AN ALISE VETORIAL 11Figura 1.7: Produto escalar A B = ABcos .Figura 1.8: A lei distributiva A (B+C) = ABA +ACA = A(B+C)A, Equac ao (1.23a).enquanto x y = xz = yz = 0. (1.26b)Se a denic ao de componente, Equac ao (1.24), for rotulada como uma denic ao alg ebrica, ent ao aEquac ao(1.25) eumadenic aogeom etrica. Umadasaplicac oesmaiscomunsdoprodutoescalarnafsica eno c alculo de trabalho = forcadeslocamento cos , que e interpretada como o deslocamento vezes a projec aoda forca ao longo da direc ao de deslocamento, isto e, o produto escalar da forca e do deslocamento, W= FS.Se AB=0 e sabemos que A =0 e B =0, ent ao, pela Equac ao (1.25), cos =0 ou=90, 270eassim por diante. Os vetores A e B devem ser perpendiculares. Alternativamente, podemos dizer que A e B s aoortogonais. Os vetores unit arios x, y e z s ao mutuamente ortogonais. Para desenvolver um pouco mais essa noc aode ortogonalidade, suponha que n seja um vetor unit ario e r um vetor n ao-zero no plano xy, isto e, r = xx + yy(Figura 1.9). Senr = 0para todas as escolhas de r, ent ao n deve ser perpendicular (ortogonal) ao plano xy.Muitas vezes e conveniente substituir x, y e z por vetores unit arios com ndices em, m = 1, 2, 3, com x = e1e assim por diante. Ent ao, as Equac oes (1.26a) e (1.26b) tornam-seem en = mn. (1.26c)Para m =n, os vetores unit arios em e en s ao ortogonais. Para m =n, cada vetor e normalizado ` a unidade, isto e, tem grandeza unit aria. O conjunto em e denominado ortonormal. Uma grande vantagem da Equac ao (1.26c)sobre as Equac oes (1.26a) e (1.26b) e que a Equac ao (1.26c) pode ser imediatamente generalizada para espacoNdimensional: m, n=1, 2, . . . , N.Porm,estamosescolhendoconjuntosdevetoresunit ariosemques aoortonormais por conveni encia uma conveni encia muito grande.Invari ancia do Produto Escalar sob Rotac oesAinda n ao mostramos que a palavra escalar e justicada ou que o produto escalar e, de fato, uma quantidadeescalar. Para fazer isso, investigamos o comportamento de AB sob a rotac ao do sistema de coordenadas. Pelalivro 2007/7/2416:04page12#2212 Fsica Matem atica Arfken WeberFigura 1.9: Um vetor normal.utilizac ao da Equac ao (1.15),AtxBtx +AtyBty +AtzBtz =iaxiAijaxjBj +iayiAijayjBj+iaziAijazjBj. (1.27)Usando os ndices k e l para somar xy e z, obtemoskAtkBtk =lijaliAialjBj, (1.28)e, rearranjando os termos do lado direto, temoskAtkBtk =lij(alialj)AiBj =ijijAiBj =iAiBi. (1.29)As ultimas duas etapas s ao executadas utilizando a Equac ao (1.18), a condic ao de ortogonalidade dos co-senosdiretores e as Equac oes (1.20), que denem o delta de Kronecker. O efeito do delta de Kronecker e cancelar todosos termos de um somat orio para qualquer ndice, exceto para o termo cujos ndices s ao iguais. Na Equac ao (1.29)seu efeito e estabelecerj =i e eliminar o somat orio emj.E claro que tamb em podamos, da mesma forma,estabelecer i = j e eliminar o somat orio em i. A Equac ao (1.29) nos d akAtkBtk =iAiBi, (1.30)que e exatamente a nossa denic ao de uma quantidade escalar, uma quantidade que permanece invariante sob arotac ao do sistema coordenado.Por uma abordagem similar que explora esse conceito de invari ancia, tomamos C = A+B e o multiplicamosescalarmente por ele mesmo:C C = (A+B)(A+B)= A A+B B+ 2A B. (1.31)Uma vez queC C = C2, (1.32)livro 2007/7/2416:04page13#231. AN ALISE VETORIAL 13o quadrado da grandeza do vetor C e, por isso, uma quantidade invariante, vemos queA B =12

C2A2B2

, invariante. (1.33)Uma vez que o lado direito da Equac ao (1.33) e invarianteisto e, uma quantidade escalar , o lado esquerdo,A B, tamb em deve ser invariante sob rotac ao do sistema coordenado. Por conseguinte, A B e um escalar.A Equac ao (1.31) e, na realidade, uma outra forma da lei dos co-senos, que eC2= A2+B2+ 2ABcos . (1.34)Comparando as Equac oes (1.31) e (1.34), temos uma outra vericac ao da Equac ao (1.25) ou, se preferirmos, umaderivac ao vetorial da lei dos co-senos (Figura 1.10).Figura 1.10: A lei dos co-senos.O produto escalar, dado pela Equac ao (1.24), pode ser generalizado de duas maneiras. O espaco n ao precisacar restrito a tr es dimens oes. Em um espaco n dimensional, a Equac ao (1.24) se aplica com a soma indo de 1 an. Al em do mais, n pode ser innito, quando ent ao a soma e uma s erie innita convergente (Sec ao 5.2). A outrageneralizac ao estende o conceito de vetor para abranger func oes. A func ao an aloga de um produto escalar, ouinterno, aparece na Sec ao 10.4.Exerccios1.3.1 Dois vetores de grandeza unit aria eie ejdevem ser paralelos ou perpendiculares um ao outro.Mostre que eiejfornece uma interpretac ao da Equac ao (1.18), a relac ao de ortogonalidade doco-seno diretor.1.3.2 Dado que (1) o produto escalar de um vetor unit ario por ele mesmo e a unidade e (2) essa relac ao ev alida em todos os sistemas de coordenadas (rotacionados), mostre que xt xt = 1 (com o sistemalinharotacionadode45aoredordoeixozemrelac aoaosistemasemlinha)implicaque x y = 0.1.3.3 O vetor r, que inicia na origem, termina no ponto no espaco (x, y, z) e especica esse ponto. Achea superfcie abrangida pela extremidade de r se(a) (r a)a = 0. Caracterize a geometricamente.(b) (r a)r = 0. Descreva o papel geom etrico de a.O vetor a e constante (em grandeza e direc ao).1.3.4 A energia de interac ao entre dois dipolos de momentos 1 e 2 pode ser escrita na forma vetorialV= 1 2r3+ 3(1 r)(2 r)r5e na forma escalarV=12r3(2 cos 1 cos 2sen 1sen 2 cos ).Aqui, 1 e 2 s ao os angulos de 1 e 2 em relac ao a r, enquanto e o azimute de 2 em relac aoao plano de 1r (Figura 1.11). Mostre que essas duas formas s ao equivalentes.Sugest ao: A Equac ao (12.178) ser a util.livro 2007/7/2416:04page14#2414 Fsica Matem atica Arfken Weber1.3.5 Umcanodesceemdiagonalpelaparedesuldeumedifcio,fazendoum angulode45comahorizontal.Aochegaraumaquinadaparede,ocanomudadedirec aoecontinuadescendonadiagonal por uma parede leste, ainda fazendo um angulo de 45 com a horizontal. Qual e o anguloentre as sec oes do cano da parede sul e da parede leste?Resposta: 120.Figura 1.11: Dois momentos dipolares.1.3.6 Ache a dist ancia mais curta entre um observador no ponto (2, 1, 3) e um foguete em v oo livre comvelocidade de (1, 2, 3) m/s. O foguete foi lancado do ponto (1, 1, 1) no tempo t = 0. As dist anciasest ao expressas em quil ometros.1.3.7 Prove a lei dos co-senos a partir do tri angulo com v ertices nos pontos C e A da Figura 1.10 e daprojec ao do vetor B sobre o vetor A.1.4 Produto de Vetores ou Produto ExternoUmasegundaformademultiplicac aodevetoresempregaosenodo anguloincludoemvezdoco-seno. Porexemplo, o momento angular de um corpo mostrado na ponta do vetor dist ancia da Figura 1.12 e denido comoFigura 1.12: Momento angular.momento angular = braco do raio momento linear= dist ancia momento linear sen .Por conveni encia no tratamento de problemas relacionados a quantidades tais como momento angular, torque evelocidade angular, denimos o produto vetorial ou produto externo comoC = AB, com C = ABsen . (1.35)livro 2007/7/2416:04page15#251. AN ALISE VETORIAL 15Diferente do caso anterior do produto escalar, Cagora e um vetor e atribumos a ele uma direc ao perpendicular aoplano de Ae B, tal que A, B e C formam um sistema do dextrogiro. Com essa escolha de direc ao temosAB = BA, anticomutac ao. (1.36a)Por essa denic ao de produto externo, temos x x = y y = z z = 0, (1.36b)ao passo que x y = z, y z = x, z x = y, y x = z, z y = x, x z = y.(1.36c)Entreosexemplosdeprodutosexternonafsicamatem aticaest aoarelac aoentreomomentolinearpeomomento angular L, com L denido comoL = r p,relac ao entre velocidade linear v e velocidade angular ,v = r.Os vetores v e p descrevem propriedades da partcula ou sistema fsico. Contudo, o vetor posic ao r e determinadopela escolha da origem das coordenadas. Isso signica que e L dependem da escolha da origem.A familiar induc ao magn etica B costuma ser denida pela equac ao do produto vetorial da forca8FM= qv B (unidades mks).Aqui, v e a velocidade da carga el etrica q e FM e a forca resultante sobre a carga em movimento.O produto externo tem uma importante interpretac ao geom etrica, que utilizaremos em sec oes subseq uentes. Noparalelogramo denido por Ae B(Figura 1.13), Bsen e a altura se A for tomado como o comprimento da base.Ent ao [A B[ =ABsen e a area do paralelogramo. Como vetor, A B e a area do paralelogramo denidopor Ae B, com o vetor de area normal ao plano do paralelogramo. Isso sugere que a area (com sua orientac ao noespaco) pode ser tratada como uma quantidade vetorial.Figura 1.13: Representac ao em paralelogramo do produto vetorial.Uma denic aoalternativa doprodutovetorial pode ser derivada docasoespecial dos vetores unit arioscoordenados nas Equac ao (1.36c) junto com a linearidade do produto externo em ambos os argumentos vetoriais,8Aqui, admite-se que o campo el etrico E e zero.livro 2007/7/2416:04page16#2616 Fsica Matem atica Arfken Weberpor analogia com as Equac oes (1.23) para o produto escalar.A(B+C) = AB+AC, (1.37a)(A+B) C = AC+BC, (1.37b)A(yB) = yAB = (yA) B, (1.37c)em que y e, mais uma vez, um n umero. Usando a decomposic ao de A e B em suas componentes cartesianas deacordo com a Equac ao (1.5), encontramosAB C = (Cx, Cy, Cz) = (Ax x +Ay y +Azz) (Bx x +By y +Bzz)= (AxByAyBx) x y + (AxBzAzBx) x z+ (AyBzAzBy) y z ,aplicando as Equac oes (1.37a) e (1.37b) e substituindo as Equac oes (1.36a), (1.36b) e (1.36c), de modo que ascomponentes cartesianas de AB se tornamCx = AyBzAzBy, Cy = AzBxAxBz, Cz = AxByAyBx, (1.38)ouCi = AjBkAkBj, i, j, k todos diferentes, (1.39)e com permutac ao cclica dos ndices i, j e k correspondendo a x, y e z, respectivamente. O produto vetorial Cpode ser representado mnemonicamente por um determinante9C =

x y zAxAyAzBxByBz

x

AyAzByBz

y

AxAzBxBz

+z

AxAyBxBy

, (1.40)que deve ser expandido pela linha superior para reproduzir as tr es componentes de Clistadas nas Equac oes (1.38).A Equac ao (1.35) poderia ser denominada denic ao geom etrica do produto vetorial. Ent ao as Equac oes (1.38)seriam uma denic ao alg ebrica.Para mostrar a equival encia entre a Equac ao (1.35) e a denic ao de componente, as Equac oes (1.38), vamosformar os produtos A C e B C, usando as Equac oes (1.38). TemosA C = A (AB)= Ax(AyBzAzBy) +Ay(AzBxAxBz) +Az(AxByAyBx)= 0. (1.41)De modo semelhante,B C = B (AB) = 0. (1.42)As Equac oes (1.41) e (1.42) mostram que C e perpendicular a ambos, A e B (cos = 0, = 90) e, portanto,perpendicular ao plano que eles determinam. A direc ao positiva e determinada considerando casos especiais, taiscomo os vetores unit arios x y = z (Cz = +AxBy).O m odulo e obtido por(AB)(AB) = A2B2(A B)2= A2B2A2B2cos2= A2B2sen2. (1.43)Por conseguinte,C = ABsen . (1.44)9Veja a Sec ao 3.1 para um breve resumo de determinantes.livro 2007/7/2416:04page17#271. AN ALISE VETORIAL 17AprimeiraetapanaEquac ao(1.43)podeservericadapelaexpans aonaformadecomponentesusandoasEquac oes (1.38) para AB e a Equac ao (1.24) para o produto escalar. Pelas Equac oes (1.41), (1.42) e (1.44),vemos a equival encia das Equac oes (1.35) e (1.38), as duas denic oes de produto vetorial.Resta ainda o problema de vericar que C = A B e, de fato, um vetor, isto e, obedece ` a Equac ao (1.15), alei de transformac ao vetorial. Iniciando em um sistema rotacionado (sistema linha),Cti = AtjBtkAtkBtj, i, j, e k em ordem cclica,=lajlAlmakmBmlaklAlmajmBm=l,m(ajlakmaklajm)AlBm. (1.45)Acombinac aodeco-senosdiretoresentrepar entesesdesapareceparam=l. Porconseguinte, temosjekassumindo valores xos, dependendo da escolha de l e seis combinac oes de l e m. Se i = 3, ent ao j = 1, k = 2,(ordem cclica) e temos as seguintes combinac oes de co-senos diretores:10a11a22a21a12 = a33,a13a21a23a11 = a32,a12a23a22a13 = a31(1.46)e seus negativos. As Equac oes (1.46) s ao identidades satisfeitas pelos co-senos diretores. Elas podemser vericadascom a utilizac ao de determinantes e matrizes (veja Exerccio 3.3.3). Substituindo M na Equac ao (1.45),Ct3 = a33A1B2 +a32A3B1 +a31A2B3a33A2B1a32A1B3a31A3B2= a31C1 +a32C2 +a33C3=na3nCn. (1.47)Permutando os ndices para pegarCt1eCt2, vemos que a Equac ao (1.15) e satisfeita, e C e, de fato, um vetor.E preciso mencionar que essa natureza vetorial do produto externo e um acidente associado com a naturezatridimensional do espaco ordin ario.11Veremos, no Captulo 2, que o produto cruzado tamb em pode ser tratadocomo um tensor anti-sim etrico de segunda ordem.Se denirmos um vetor como uma trinca ordenada de n umeros (ou func oes), como na ultima parte da Sec ao1.2, ent ao n ao h a problema algum em identicar o produto cruzado como um vetor. A operac ao de produto externomapeia as duas trincas Ae B para uma terceira trinca, C, que e, por denic ao, um vetor.Agora temos dois modos de multiplicar vetores: uma terceira forma aparece no Captulo 2. Mas, e a divis ao porum vetor? Acontece que a raz ao B/An ao e exclusivamente especicada (Exerccio 3.2.21), a menos que se exijaque Ae B sejam tamb em paralelos. Por conseguinte, a divis ao de um vetor por outro n ao e denida.Exerccios1.4.1 Mostre que as medianas de um tri angulo se interceptam no centro, que est a a 2/3 do comprimentoda mediana a partir de cada v ertice. Construa um exemplo num erico e represente-o em um gr aco.1.4.2 Prove a lei dos co-senos partindo de A2= (BC)2.1.4.3 Comecando com C = A+B, mostre que CC = 0 leva aAB = BA.1.4.4 Mostre que(a) (AB)(A+B) = A2B210As Equac oes (1.46) s ao v alidas para rotac oes porque preservam volumes. Para uma transformac ao ortogonal mais geral, a do lado direitodas Equac oes (1.46) e multiplicada pelo determinante da matriz de transformac ao (veja Captulo 3 para matrizes e determinantes).11Especicamente, as Equac oes (1.46) s ao v alidas apenas para o espaco tridimensional. Veja D. Hestenes e G. Sobczyk, Clifford Algebra toGeometric Calculus (Dordrecht: Reidel, 1984) para uma generalizac ao mais ampla do produto externo.livro 2007/7/2416:04page18#2818 Fsica Matem atica Arfken Weber(b) (AB) (A+B) = 2ABAs leis distributivas necess arias aqui,A (B+C) = A B+A CeA(B+C) = AB+AC,podem ser vericadas com facilidade (se desejado) por expans ao em componentes cartesianas.1.4.5 Dados os tr es vetoresP = 3 x + 2 y z,Q = 6 x 4 y + 2z,R = x 2 y z,determine dois que s ao perpendiculares e dois que s ao paralelos ou antiparalelos.1.4.6 Se P = xPx + yPye Q = xQx + yQys ao dois vetores n ao-paralelos quaisquer (tamb em n ao-antiparalelos) no plano xy, mostre que PQest a na direc ao z.1.4.7 Prove que (AB)(AB) = (AB)2(A B)2.1.4.8 Usando os vetoresP = xcos + ysen ,Q = xcos ysen ,R = xcos + ysen ,prove as familiares identidades trigonom etricassen( +) = sen cos + cos sen ,cos( +) = cos cos sen sen .1.4.9 (a) Ache um vetor Aque e perpendicular aU = 2 x + y z,V = x y +z.(b) O que e A se, al em desse requisito, impusermos que ele tenha m odulo unit ario?1.4.10 Se quatro vetores a, b, c e d estiverem todos no mesmo plano, mostre que(a b) (c d) = 0.Sugest ao: Considere as direc oes dos vetores do produto externo.1.4.11 As coordenadas dos tr es v ertices de um tri angulo s ao (2, 1, 5), (5, 2, 8) e (4, 8, 2). Calcule sua areapor m etodos vetoriais, seu centro e medianas. Comprimentos em centmetros.Sugest ao: Veja o Exerccio 1.4.1.1.4.12 Osv erticesdoparalelogramoABCDs ao(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 1, 1)e(1, 0, 1)naordem.Calculeas areasvetoriaisdotri anguloABDedotri anguloBCD. Asduas areasvetoriaiss aoiguais?Resposta:AreaABD= 12( x + y + 2z).1.4.13 A origem e os tr es vetores A, Be C(todos comecando na origem) denem um tetraedro. Tomandoa direc ao para fora como positiva, calcule a area vetorial total das quatro superfcies tetra edricas.Nota: Na Sec ao 1.11 esse resultado e generalizado para qualquer superfcie fechada.livro 2007/7/2416:04page19#291. AN ALISE VETORIAL 19Figura 1.14: Tri angulo esf erico.1.4.14 Ache os lados e os angulos do tri angulo esf erico ABCdenido pelos tr es vetoresA = (1, 0, 0),B =

12, 0,12

,C =

0,12,12

.Cada vetor tem incio na origem (Figura 1.14).1.4.15 Derive a lei dos senos (Figura 1.15):Figura 1.15: Lei dos senos.livro 2007/7/2416:04page20#3020 Fsica Matem atica Arfken Webersen [A[=sen [B[=sen [C[.1.4.16 A induc ao magn etica B e denida pela equac ao de forca de Lorentz,F = q(v B).Executando tr es experimentos, constatamos que, sev = x,Fq= 2z 4 y,v = y,Fq= 4 x z,v = z,Fq= y 2 x.Pelos resultados desses tr es experimentos separados, calcule a induc ao magn etica B.1.4.17 Denaumprodutoexternosdedoisvetoresemespacobidimensional ed eumainterpretac aogeom etrica de sua construc ao.1.4.18 Ache a dist ancia mais curta entre as trajet orias de dois foguetes em v oo livre. Admita que a trajet oriado primeiro foguete r = r1 + t1v1 com lancamento em r1 = (1, 1, 1) e velocidade v1 = (1, 2, 3)e que a trajet oria do segundo foguete seja r = r2 + t2v2, com r2 = (5, 2, 1) e v2 = (1, 1, 1).Dist ancias em quil ometros; velocidades em quil ometros por hora.1.5 Produto Escalar Triplo, Produto Vetorial TriploProduto Escalar TriploAs Sec oes 1.3 e 1.4 abrangeram os dois tipos de multiplicac ao que nos interessam aqui. Contudo, h a combinac oesde tr es vetores, A (BC) e A(BC), que ocorrem com freq u encia suciente para merecer mais atenc ao.A combinac aoA (BC) e conhecida como produto escalar triplo. BC resulta em um vetor que, multiplicado escalarmente por A,d a um escalar. Notamos que (A B)C representa um escalar multiplicado em produto externo por um vetor,uma operac ao que n ao e denida. Por conseq u encia, se concordarmos em excluir essa interpretac ao indenida, ospar enteses podem ser omitidos e o produto escalar triplo pode ser escrito como A BC.Usando as Equac oes (1.38) para o produto externo e a Equac ao (1.24) para o produto escalar, obtemosA BC = Ax(ByCzBzCy) +Ay(BzCxBxCz) +Az(BxCyByCx)= B CA = C AB= A CB = C BA = B AC, e assim por diante. (1.48)H a um alto grau de simetria na expans ao da componente. Cada termo cont em os fatores Ai, Bj e Ck. Se i, j e kestiverem em ordem cclica (x, y, z), o sinal e positivo. Se a ordem for anticclica, o sinal e negativo. Al em disso,o produto escalar e o produto externo podem ser permutados,A BC = AB C. (1.49)Uma representac ao conveniente da expans ao de componentes da Equac ao (1.48) e dada pelo determinanteA BC =

AxAyAzBxByBzCxCyCz

. (1.50)As regras para permutar linhas e colunas de umdeterminante12fornecemuma vericac ao imediata das permutac oeslistadas na Equac ao (1.48), enquanto a simetria de A, B e C na forma de determinante sugere a relac ao dada na12Veja a Sec ao 3.1 para um resumo das propriedades de determinantes.livro 2007/7/2416:04page21#311. AN ALISE VETORIAL 21Equac ao 1.49. Os produtos triplos encontrados na Sec ao 1.4, que mostraram que ABera perpendicular a ambos,Ae B, eram casos especiais do resultado geral (Equac ao (1.48)).Oprodutoescalartriplopossuiumainterpretac aogeom etricadireta. Ostr esvetoresA, BeCpodemserinterpretados como denindo um paraleleppedo (Figura 1.16):Figura 1.16: Representac ao em paraleleppedo do produto escalar triplo.[BC[ = BCsen = area da base do paralelogramo. (1.51)A direc ao, e claro, e normal ` a base. Introduzir o produto escalar por Anessa express ao signica multiplicar a areada base pela projec ao de Asobre a normal, ou seja, base vezes altura. Portanto,A BC = volume do paraleleppedo denido por A, B e C.O produto escalar triplo encontra uma aplicac ao interessante e importante na construc ao de um reticulado cristalinorecproco. Admitamos que a, b e c (n ao necessariamente mutuamente perpendiculares) representem os vetores quedenem um reticulado cristalino. Ent ao, o deslocamento de um ponto do reticulado para outro pode ser escritor = naa +nbb +ncc, (1.52)com na, nb e nc assumindo valores inteiros. Com esses vetores podemos formarat =b cab c, bt =c aab c, ct =a bab c. (1.53a)Vemos que at e perpendicular ao plano que cont em b e c, e podemos mostrar com facilidade queat a = bt b = ct c = 1, (1.53b)ao passo queat b = at c = bt a = bt c = ct a = ct b = 0. (1.53c)EporessasEquac oes(1.53b)e(1.53c)queonomereticuladorecproco eassociadocomospontosrt=ntaat +ntbbt +ntcct. O espaco matem atico no qual esse reticulado recproco existe ` as vezes e denominado espacode Fourier, com base em relac oes com a an alise de Fourier apresentada nos Captulos 14 e 15. Esse reticuladorecproco e util em problemas que envolvem a dispers ao de ondas pelos v arios planos de um cristal. Mais detalhespodem ser encontrados em R. B. Leighton, Principles of Modern Physics, pp. 440-448 [Nova York: McGraw-Hill(1959)].Produto Vetorial TriploO segundo produto triplo de interesse e A (BC), que e um vetor. Aqui, os par enteses devem ser mantidos,como se pode vericar por um caso especial ( x x) y = 0, enquanto x ( x y) = x z = y.livro 2007/7/2416:04page22#3222 Fsica Matem atica Arfken WeberExemplo 1.5.1 UM PRODUTO VETORIAL TRIPLOPara os vetoresA = x + 2 y z = (1, 2, 1), B = y +z = (0, 1, 1), C = x y = (0, 1, 1),BC =

x y z0 1 11 1 0

= x + y z,eA(BC) =

x y z1 2 11 1 1

= x z = ( y +z) ( x y)= BC.

Reescrevendo o resultado na ultima linha do Exemplo 1.5.1 como uma combinac ao linear de B e C, notamosque, ao seguirmos uma abordagem geom etrica, o produto vetorial triplo e perpendicular a A e BC. O planodenido por B e C e perpendicular a BC e, assim, o produto triplo est a nesse plano (veja a Figura 1.17)Figura 1.17: B e C est ao no plano xy. BC e perpendicular ao plano xy e e mostrado aqui ao longo do eixo z.Ent ao, A(BC) e perpendicular ao eixo z e, por conseguinte, est a de volta ao plano xy.A(BC) = uB+vC. (1.54)Considerandoqueoprodutoescalar daEquac ao(1.54)comAresultazeroparaoladoesquerdo, portanto,uAB + vAC=0. Por conseguinte, u=wAC ev= wAB para umwadequado. Substituindoesses valores na Equac ao (1.54), temosA(BC) = w

B(A C) C(A B)

; (1.55)queremos mostrar quew = 1na Equac ao (1.55), uma importante relac ao tamb emconhecida como regra BACCAB. Uma vez que aEquac ao (1.55) e linear emA, BeC, w e independente dessas grandezas. Isto e, precisamos apenas mostrarque w = 1 para vetores unit ariosA, B, C. Vamos denotar B C = cos , C A = cos ,A B = cos , e elevarlivro 2007/7/2416:04page23#331. AN ALISE VETORIAL 23a Equac ao (1.55) ao quadrado para obter

A(B C)

2=A2(B C)2

A (B C)

2= 1 cos2

A (B C)

2= w2

(A C)2+ (A B)22(A B)(A C)(B C)

= w2

cos2 + cos2 2 cos cos cos

, (1.56)usando (A B)2=A2B2(A B)2repetidas vezes (veja Equac ao (1.43) para uma prova). Por conseq u encia,o volume (ao quadrado) abrangido porA, B,C que ocorre na Equac ao (1.56) pode ser escrito como

A (B C)

2= 1 cos2 w2

cos2 + cos2 2 cos cos cos

.Aqui, w2= 1, visto que esse volume e sim etrico em , , . Isto e, w = 1 e e independente deA, B, C. Usandomais uma vez o caso especial x( x y) = y na Equac ao (1.55), nalmente temos w= 1. (Uma derivac aoalternativa usando o smbolo de Levi-Civita ijk apresentado no Captulo 2 e o t opico do Exerccio 2.9.8.)Poderamos observar que, exatamente como vetores s ao independentes das coordenadas, tamb em uma equac aovetorial eindependentedosistemadecoordenadasparticular. Osistemadecoordenadasapenasdeterminaascomponentes. Se a equac ao vetorial puder ser estabelecida em coordenadas cartesianas, ela pode ser estabelecidae v alida em qualquer dos sistemas de coordenadas que ser ao apresentados no Captulo 2. Assim, a Equac ao (1.55)pode ser vericada por um m etodo direto, se bem que n ao muito elegante, de expans ao em componentes cartesianas(veja o Exerccio 1.5.2).Exerccios1.5.1 Umdosv erticesdeumparaleleppedodevidroest anaorigem(Figura1.18). Ostr esv erticesadjacentes est ao em (3, 0, 0), (0, 0, 2) e (0, 3, 1). Todos os comprimentos s ao dados em centmetros.Calcule o n umero de centmetros c ubicos de vidro no paraleleppedo usando o produto escalar triplo.Figura 1.18: Paraleleppedo: produto escalar triplo.1.5.2 Verique a expans ao do produto vetorial triploA(BC) = B(A C) C(A B)por expans ao direta em coordenadas cartesianas.livro 2007/7/2416:04page24#3424 Fsica Matem atica Arfken Weber1.5.3 Mostre que a primeira etapa na Equac ao (1.43), que e(AB)(AB) = A2B2(A B)2, e consistente com a regra BACCAB para um produto vetorial triplo.1.5.4 S ao dados os tr es vetores A, B e C,A = x + y,B = y +z,C = x z.(a) Calcule o produto escalar triplo, A BC. Observando que A = B+C, d e uma interpretac aogeom etrica do seu resultado para o produto escalar triplo.(b) Calcule A(BC).1.5.5 O momento angular orbital L de uma partcula e dado por L =rp =mrv, em que p e omomento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por v = r, mostre queL = mr2

r(r)

.Aqui, r e um vetor unit ario na direc ao r. Para r = 0 isso se reduz a L =I, com o momentode in ercia Idado por mr2. Na Sec ao 3.5 esse resultado e generalizado para formar um tensor dein ercia.1.5.6 A energia cin etica de uma unica partcula e dada porT=12mv2. Para o movimento de rotac ao,essa express ao se transforma em12m( r)2. Mostre queT=12m

r22(r)2

.Para r = 0 essa express ao se reduz a T=12I2, com o momento de in ercia I dado por mr2.1.5.7 Mostre que13a (b c) +b (c a) +c (a b) = 0.1.5.8 Um vetor A e decomposto em um vetor radial Are um vetor tangencial At. Se r for um vetorunit ario na direc ao radial, mostre que(a) Ar =r(A r) e(b) At = r (r A).1.5.9 Prove que uma condic ao necess aria e suciente para que os tr es vetores (n ao-nulos) A, Be Csejamcoplanares e que o produto escalar triplo seja nuloA BC = 0.1.5.10 Tr es vetores, A, B e C, s ao dados porA = 3 x 2 y + 2z,B = 6 x + 4 y 2z,C = 3 x 2 y 4z.Calcule os valores de A BC e A(BC), C(AB) e B(CA).1.5.11 O vetor D e uma combinac ao linear de tr es vetores n ao-coplanares (e n ao-ortogonais):D = aA+bB+cC.Mostre que os coecientes s ao dados por uma raz ao de produtos escalares triplos,a =D BCA BC, e assim por diante.13Esta e a identidade de Jacobi para produtos vetoriais; para comutadores, e importante no contexto de algebras de Lie (veja a Equac ao (4.16)na Sec ao 4.2).livro 2007/7/2416:04page25#351. AN ALISE VETORIAL 251.5.12 Mostre que(AB)(CD) = (A C)(B D) (A D)(B C).1.5.13 Mostre que(AB) (CD) = (A BD)C(A BC)D.1.5.14 Para um tri angulo, esf erico, tal como o representado na Figura 1.14, mostre quesen Asen BC=sen Bsen CA=sen Csen AB.Aqui, sen A e o seno do angulo includo em A, enquanto, BC e o lado oposto (em radianos).1.5.15 Dadosat =b cab c, bt =c aab c, ct =a bab c,e ab c = 0, mostre que(a) xyt = xy, (x, y = a, b, c),(b) at btct = (ab c)1,(c) a =btctat btct.1.5.16 Se xyt = xy, (x, y = a, b, c), prove queat =b cab c.(Este problema e o inverso do Problema 1.5.15.)1.5.17 Mostre que qualquer vetor V pode ser expresso em termos dos vetores recprocosat, bt,ct (do Problema 1.5.15) porV = (V a)at + (V b)bt + (V c)ct.1.5.18 Uma carga el etrica q1 movendo-se com velocidade v1 produz uma induc ao magn etica B dada porB =04q1v1rr2(unidades mks),em que r aponta de q1 para o ponto em que B e medido (lei de Biot e Savart).(a) Mostre que a forca magn etica sobre uma segunda carga q2, velocidade v2, e dada pelo produtovetorial triploF2 =04q1q2r2v2(v1r).(b) Escreva a forca magn etica correspondente F1 que q2 exerce sobre q1. Dena seu vetor unit arioradial. Como F1 e F2 se comparam?(c) Calcule F1 e F2 para o caso de q1 e q2 se movimentarem ao longo de trajet orias paralelas ladoa lado.Resposta:(b) F1 = 04q1q2r2v1(v2r).Em geral, n ao h a nenhuma relac ao simples entreF1 and F2. Especicamente, a terceira lei de Newton, F1 = F2, n ao se aplica.(c) F1 =04q1q2r2v2r = F2.Atrac ao m utua.livro 2007/7/2416:04page26#3626 Fsica Matem atica Arfken Weber1.6 Gradiente, Para dar uma motivac ao para a natureza vetorial das derivadas parciais, apresentamos agora a variac ao total deuma func ao F(x, y),dF=Fxdx +Fy dy.Ela consiste em variac oes independentes nas direc oes x e y. Escrevemos dF como uma soma de dois incrementos,um deles exclusivamente na direc ao x e o outro na direc ao y,dF(x, y) F(x +dx, y +dy) F(x, y)=

F(x +dx, y +dy) F(x, y +dy)

+

F(x, y +dy) F(x, y)

=Fxdx +Fy dy,somando e subtraindoF(x, y + dy). O teorema do valor m edio (isto e, a continuidade deF) nos diz que, aqui,F/x F/y s ao avaliadas no mesmo ponto , entre x e x +dx, y e y + dy, respectivamente.`A medida quedx 0 e dy 0, x e y. Esse resultado se generaliza para tr es dimens oes e para mais de tr es dimens oes.Por exemplo, para uma func ao de tr es vari aveis,d(x, y, z)

(x +dx, y +dy, z +dz) (x, y +dy, z +dz)

+

(x, y +dy, z +dz) (x, y, z +dz)

+

(x, y, z +dz) (x, y, z)

(1.57)=xdx +ydy +z dz.Algebricamente, d na variac ao total e um produto escalar da mudanca na posic ao dr e da mudanca direcional de. E agora estamos prontos para reconhecer a derivada parcial tridimensional como um vetor, o que nos leva aoconceito de gradiente.Suponha que(x, y, z) seja uma func ao escalar pontual, isto e, uma func ao cujo valor depende dos valoresdascoordenadas(x, y, z). Comoumescalar, eladeveteromesmovaloremumdadopontoxonoespaco,independente da rotac ao de nosso sistema de coordenadas, out(xt1, xt2, xt3) = (x1, x2, x3). (1.58)Diferenciando em relac ao a xti obtemost(xt1, xt2, xt3)xti=(x1, x2, x3)xti=jxjxjxti=jaijxj(1.59)pelas regras da diferenciac ao parcial e Equac oes (1.16a) e (1.16b). Mas a comparac ao com a Equac ao (1.17), alei de transformac ao vetorial, agora mostra que construmos um vetor com componentes /xj. Denominamosesse vetor gradiente de .Um simbolismo conveniente e = xx+ yy+zz(1.60)ou= xx + yy +zz. (1.61) (ou del) e nosso gradiente do escalar, enquanto o pr oprio (del) e um operador diferencial vetorial(disponvel para operar sobre um escalar ou diferenci a-lo). Todas as relac oes para (del) podem ser derivadasda natureza hbrida de del em termos das derivadas parciais, bem como de sua natureza vetorial.O gradiente de um escalar e de extrema import ancia em fsica e em engenharia para expressar a relac ao entreum campo de forca e um campo de potencial,forca F = (potencial V ), (1.62)livro 2007/7/2416:04page27#371. AN ALISE VETORIAL 27que vale para campos gravitacionais, bem como para campos eletrost aticos, entre outros. Note que o sinal de menosna Equac ao (1.62) resulta em agua uindo montanha abaixo, em vez de montanha acima! Se uma forca pode serdescrita, como na Equac ao (1.62), por uma unica func ao V (r) em todos os lugares, denominamos a func ao escalarVseu potencial. Como a forca e a derivada direcional do potencial, podemos achar o potencial, se ele existir,integrando a forca ao longo de alguma trajet oria adequada. Como a variac ao totaldV = Vdr= Fdr e o trabalho realizado contra a forca ao longo da trajet oriadr, reconhecemos o signicado fsico do potencial(diferenca) comotrabalhoeenergia. Al emdomais, emumasomadeincrementosdetrajet oria, ospontosintermedi arios se cancelam:

V (r +dr1 +dr2) V (r +dr1)

+

V (r +dr1) V (r)

= V (r +dr2 +dr1) V (r),portanto,otrabalhointegradoaolongodealgumatrajet oriadesdeumpontoinicialriat eumpontonalr edadopeladiferencadepotencial V (r) V (ri)nospontosextremosdatrajet oria. Portanto, essasforcass aoespecialmentesimplesebemcomportadas:s aodenominadas conservativas. Quandohouverperdadeenergiadevido a atrito ao longo da trajet oria, ou a algum outro tipo de dissipac ao, o trabalho depender a da trajet oria,e essas forcas n ao poder ao ser conservativas: n ao existe potencial. Discutiremos forcas conservativas com maisdetalhes na Sec ao 1.13.Exemplo 1.6.1 O GRADIENTE DE UM POTENCIAL V (r)Vamos calcular o gradiente de V (r) = V (

x2+y2+z2), portanto,V (r) = xV (r)x+ yV (r)y+zV (r)z.Agora, V (r) depende de x por meio da depend encia de r de x. Portanto,14V (r)x=dV (r)dr

rx.De r como uma func ao de x, y, z, temosrx=(x2+y2+z2)1/2x=x(x2+y2+z2)1/2=xr.Portanto,V (r)x=dV (r)dr

xr.Permutando as coordenadas (x y, y z, z x) para obter as derivadas de y e z, obtemosV (r) = ( xx + yy +zz)1rdVdr=rrdVdr=rdVdr .Aqui, r eumvetorunit ario(r/r)nadirec aoradial positiva.Ogradientedeumafunc aoder eumvetornadirec ao radial (positiva ou negativa). Na Sec ao 2.5, r e visto como um dos tr es vetores unit arios ortonormais decoordenadas esf ericas polares e r /r como a componente radial de . Uma Interpretac ao Geom etricaUma aplicac ao imediata de resulta de seu produto escalar com um incremento de comprimentodr = xdx + y dy +z dz.14Esse e um caso especial da regra da cadeia da diferenciac ao:V (r, , )x=Vrrx+Vx+Vx,em que V/= V/ = 0, V/r dV/dr.livro 2007/7/2416:04page28#3828 Fsica Matem atica Arfken WeberAssim, obtemosdr =xdx +ydy +z dz = d,a mudanca na func ao escalar correspondente a uma mudanca na posic ao dr. Agora considere Pe Q dois pontossobre uma superfcie(x, y, z)=C, uma constante. Esses pontos s ao escolhidos de modo queQ est a a umadist ancia dr de P. Ent ao, indo de Pa Q, a mudanca em (x, y, z) = C e dada pord = ()dr = 0 , (1.63)desde que continuemos sobre a superfcie (x, y, z) = C. Isso mostra que e perpendicular a dr. Uma vez quedr pode ter qualquer direc ao a partir de P, contanto que permaneca na superfcie de constante e o ponto Q erestrito ` a superfcie mas tem direc ao arbitr aria, e visto como normal ` a superfcie = constante (Figura 1.19).Figura 1.19: O incremento de comprimento dr tem de permanecer sobre a superfcie = C.Seagorapermitirmosquedrnoslevedeumasuperfcie=C1paraumasuperfcieadjacente=C2(Figura 1.20),d = C1C2 = C = ()dr. (1.64)Figura 1.20: Gradiente.Para um dado d, [dr[ e um mnimo quando for escolhido paralelo a (cos = 1) ou, para um dado [dr[, amudanca na func ao escalar e maximizada escolhendo dr paralelo a . Isso identica como um vetor quetem a direc ao da m axima taxa de mudanca espacial de , uma identicac ao que ser a util no Captulo 2 quandoconsiderarmossistemascoordenadosn ao-cartesianos. Essaidenticac aode tamb empodeserdesenvolvidausando o c alculo de variac oes a um vnculo, Exerccio 17.6.9.livro 2007/7/2416:04page29#391. AN ALISE VETORIAL 29Exemplo 1.6.2 FORC A COMO GRADIENTE DE UM POTENCIALComo um exemplo especco do precedente e como uma extens ao do Exemplo 1.6.1, consideramos as superfciesque consistem em cascas esf ericas conc entricas, Figura 1.21. TemosFigura1.21: Gradientepara(x, y, z) =(x2+y2+z2)1/2, cascasesf ericas: (x22+y22+z22)1/2=r2=C2,(x21 +y21 +z21)1/2= r1 = C1.(x, y, z) =

x2+y2+z2

1/2= r = C,em que r e o raio, igual a C, nossa constante. C = = r, a dist ancia entre duas cascas. Pelo Exemplo 1.6.1,(r) =rd(r)dr=r.O gradiente est a na direc ao radial e e normal ` a superfcie esf erica = C.Exemplo 1.6.3 INTEGRAC AO DE GRADIENTE POR PARTESVamos provar a f ormula

A(r)f(r) d3r=

f(r) A(r) d3r, em que A ou fou ambas se anulam noinnito de modo que as partes integradas s ao nulas. Essa condic ao e satisfeita se, por exemplo, A for o potencialvetorial eletromagn etico e f for uma func ao de onda de estado ligado (r).Escrevendo o produto interno em coordenadas cartesianas, integrando cada integral unidimensional por partese desprezando os termos integrados, obtemos

A(r)f(r) d3r = Axf[x=

fAxxdx

dy dz +=

fAxxdxdy dz

fAyydy dxdz

fAzzdz dxdy=

f(r) A(r) d3r.Se A = eikze descreve um f oton saindo na direc ao do vetor unit ario de polarizac ao constante e e f= (r) e umafunc ao de onda de estado ligado que decai exponencialmente, ent ao

eikze(r) d3r = ez

(r)deikzdzd3r = ikez

(r)eikzd3r,porque somente a componente z do gradiente contribui. livro 2007/7/2416:04page30#4030 Fsica Matem atica Arfken WeberExerccios1.6.1 Se S(x, y, z) = (x2+y2+z2)3/2, ache(a) S no ponto (1, 2, 3);(b) o m odulo do gradiente de S, [S[ em (1, 2, 3); e(c) os co-senos diretores de S em (1, 2, 3).1.6.2 (a) Ache um vetor unit ario perpendicular ` a superfciex2+y2+z2= 3no ponto (1, 1, 1). Comprimentos em centmetros.(b) Derive a equac ao do plano tangente ` a superfcie em (1, 1, 1).Resposta: (a) ( x + y +z)/3, (b) x +y +z = 3.1.6.3 Dado um vetor r12= x(x1 x2) + y(y1 y2) +z(z1 z2), mostre que 1r12 (gradiente comrespeito a x1, y1 e z1 da grandeza r12) e um vetor unit ario na direc ao de r12.1.6.4 Se uma func ao vetorial F depender de coordenadas espaciais (x, y, z) e tamb em do tempo t, mostrequedF = (dr)F +Ft dt.1.6.5 Mostre que (uv) = vu +uv, em que u e v s ao func oes escalares diferenci aveis de x, y e z.(a) Mostre que a condic ao necess aria e suciente para que u(x, y, z) e v(x, y, z) sejam relacionadaspor alguma func ao f(u, v) = 0 e que (u) (v) = 0.(b) Se u =u(x, y) e v =v(x, y), mostre que a condic ao (u)(v) = 0 resulta no jacobianobidimensionalJ

u, vx, y

=

uxuyvxvy

= 0.Admite-se que as func oes u e v s ao diferenci aveis.1.7 Diverg encia, Adiferenciac ao de uma func ao vetorial e uma simples extens ao da diferenciac ao de quantidades escalares. Suponhaque r(t) descreva a posic ao de um sat elite em algum tempo t. Ent ao, para diferenciac ao em relac ao ao tempo,dr(t)dt=limtr(t + t) r(t)t= v, velocidade linear.Gracamente, mais uma vez temos a inclinac ao de uma curva orbita, ou trajet oria, como mostra a Figura 1.22.Figura 1.22: Diferenciac ao de um vetor.Seresolvermos r(t) emsuas componentes cartesianas, dr/dt sempresereduzdiretamenteaumasomavetorial den aomaisdoquetr esderivadasescalares(paraoespacotridimensional). Emoutrossistemasdelivro 2007/7/2416:04page31#411. AN ALISE VETORIAL 31coordenadas (Captulo 2), a situac ao e mais complicada, pois a direc ao dos vetores unit arios n ao e mais constante.A diferenciac ao em relac ao ` as coordenadas espaciais e resolvida do mesmo modo que a diferenciac ao em relac aoao tempo, como veremos nos par agrafos seguintes.Na Sec ao 1.6, foi denido como um operador vetorial. Agora, dando atenc ao ` as suas propriedades vetoriaise diferenciais, deixamos que ele opere sobre um vetor. Primeiro, como um vetor, fazemos seu produto escala