UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL

Disciplina: Cálculo numérico

Rodrigo Emanuel Rodrigues da Silva

Trabalho computacional 2: Método do ponto fixo

Orientador: ProfºKennedy Morais Fernandes

Barreiras-BA

Abril/2012

SUMÁRIO

1-Introdução......................................................................................................................2

2-Soluções aproximadas: o método do ponto fixo............................................................3

3-Estudo de caso – Aplicação em três funções..................................................................4

4- Implementação computacional......................................................................................7

5-Resultados numéricos.....................................................................................................8

6-conclusão......................................................................................................................14

Referências......................................................................................................................15

Capítulo 1

Introdução

O método do ponto fixo é um método numérico aberto. Diferente dos Métodos da

Bissecção e Regula Falsi, que são métodos onde a busca à raiz deve ser realizada dentro

de um intervalo, os Métodos Abertos utilizam-se de estratégias para encontrar zeros de

funções que não dependam de uma delimitação do local onde se encontra a raiz.

Sendo assim, os métodos abertos não necessitam de um conhecimento prévio da

localização da raiz, o que permite a construção de algoritmos que exijam apenas um

único valor inicial de x para convergir à resposta.

Diferente dos métodos intervalares, os métodos abertos podem divergir da raiz

verdadeira ao longo da execução do programa. Contudo, quando há convergência, os

métodos abertos o fazem com velocidade muito superior aos intervalares.

O método do ponto fixo, assim como os demais métodos numéricos aplicados para a

obtenção de zeros de funções reais, é utilizado principalmente na obtenção de zeros

reais para funções nas quais seria muito difícil ou impossível a sua resolução analítica.

Neste trabalho, será apresentado o método do ponto fixo, a sua aplicação para resolver

algumas funções, bem como o algoritmo utilizado para sua implementação. Para

demostrar a convergência ou divergência dos resultados, alguns parâmetros (como a

condição inicial) são modificados, observando o comportamento da solução, para cada

caso.

Para apresentar as equações de interesse, e a aplicação do método numérico, o trabalho

está organizado da seguinte forma:

No capítulo 2 é apresentado o método do ponto fixo, no capítulo 3 são apresentadas três

funções para as quais procura-se suas raízes reais, no capítulo 4 é apresentado o

algoritmo utilizado para implementar a resolução desses problemas, e o capítulo 5

contém os resultados numéricos obtidos. No capítulo 6 temos as conclusões.

Capítulo 2

Soluções aproximadas para raízes de funções reais: o método do ponto fixo

A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em seu estudo

que em sua eficácia computacional [2], pois há métodos mais eficientes para encontrar

as raízes reais de funções.

Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da equação

f(x)=0. O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x =

p(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 (chute inicial) gerar a seqüência {xk} de

aproximações para ξ(raiz) pela relação pois a função p(x) é tal que f(ξ)=0

se e somente se p(ξ) = ξou seja, ξ é um ponto fixo da função p. Sendo assim, o problema

de encontrar um zero de f(x) se transforma no problema de encontrar p(x).

Uma função p(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para

aequação f(x)=0.

Gráficamente,uma raiz da equação x=p(x) é a abcissa do pontos de intersecção entre a

curvas y = p(x) e a reta y = x.

A forma geral das funções de iteração p(x) é p(x) = x+A(x)f(x), com a condição de que

em ξse tenha A(ξ) ≠ 0.

Assim sendo, existe mais de uma função p(x), tal que f(x) = 0 ↔ x = p(x). Isso é facil de

provar, é só substituir ξ na equação p(x) = x+A(x)f(x).

2.1. Critério de Parada

Como nos métodos intervalares, no Ponto Fixo as sucessivas substituições são feitas até

que a aproximação para a solução esteja dentro de um erro de tolerância aceito.

Um dos problemas deste método, é que nem sempre ele irá convergir para a solução ξ

ou seja, nem sempre teremos .Sendo assim, para certas escolhas de

p(x), o processo iterativo pode gerar uma sequência que diverge de ξ.

2.2.Teorema para a convergência do método.

Há um teorema que estabelece três critérios de convergência [1] para a sequencia :

Seja ξ uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I centrado em ξ.

Seja p(x) uma função de iteração para a equação f(x) = 0.

Se

i) p(x) e p’(x) são contínuas em I,

ii)

iii)

Então a sequência { } gerada pelo processo iterativo converge para ξ.

2.3 Considerações sobre o Método do Ponto Fixo

Dada a possibilidade de divergência, devemos ter cuidado ao implementar o Método do

Ponto Fixo. Diferente dos Métodos Intervalares — que dependem apenas do intervalo

dado e da função que deseja se buscar a raiz — o Método do Ponto Fixo é menos

generalizável, pois depende da implementação de quem desenvolve o código na escolha

de cada função p(x) .

Ao selecionar a função de iteração p(x) , o programador deve procurar isolar x na forma

que minimize p′(x) , pois quão menor for esta taxa, maior será a velocidade de

convergência da função.

Por fim, a escolha dos Métodos Abertos deve ser feita quando aplicados à problemas

onde as funções que se deseja buscar os zeros tenham propriedades conhecidas [3].

Capítulo 3

Estudo de caso: aplicação do método do ponto fixo na resolução de três funções

o Exemplo I

a)

Encontrar uma estimativa para a raiz de ,usando o Método da

Iteração Linear (Pontos Fixos).

Sabemos que o intervalo [-1,0] possui uma raiz da equação f(x) = 0.

Escolhendo uma função de iteração p(x):

Escolhendo p(x) = e a aproximação inicial

Então fazemos a aproximação iterativa

O erro estipulado foi de 10-5. Então o processo foi repetido até que f(x) ≤ 10

-5.

Nos capítulo de resultados, veremos que a sequência { } converge para a solução de

f(x) = 0, pois quando K aumenta, f( ) tende a zero (ou seja, tende a ξ).

b)

Após encontrar o zero da função como explicado acima, mudou-se o valor da

aproximação inicial para . Isto foi feito para observar se a sequência continua

convergindo para a solução e se o número de iterações muda ou não (rapidez).

A solução e discussão dos resultados, deste e dos outros dois problemas a seguir, está no

capítulo 5.

o Exemplo II

a)

Encontrar uma estimativa para a raiz de f(x) = x² + x - 6 = 0.

Sabemos que existem várias funções de iteração possíveis, dentre elas:

p1(x) = 6 – x²

p2(x) = ±

p3(x) = 6/x – 1

p4(x) = 6/(x + 1)

escolheremos primeiro a equação p(x) = 6 – x² e o “chute” inicial x0=1,5 e o erro = 10-5

Sabemos que as duas raízes de f(x) = 0 sãoξ =-3 e ξ= 2. Então, fazendo o processo

iterativo , temos:

Podemos ver nesse caso que não está convergindo para ξ = 2. A sequência de

iterações está divergindo.

b)

Escolhendo p(x) = e x0 = 1,5 teremos:

Podemos ver que está convergindo para a solução ξ = 2.

A análise mais completa está no capítulo 5.

o Exemplo III

a) Encontrar uma raiz de f(x) = .Sabendo que uma das

raízes está entre (0; 1) e com erro = 5 x 10-4

e com

Podemos encontrar uma função de iteração fazendo:

ã

assim, aplicamos a formula recursiva e estabelecendo como critério de

parada que: e que o nº máximo de iterações é 100.

Conforme veremos, este processo convergirá para uma raiz da equação f(x) = 0.

b) Será resolvida a mesma equação acima, porém com uma estimativa inicial

diferente: . Esta sequência divergirá da raiz.

Capítulo 4

Implementação computacional

o Exemplo Ia)

Algoritmo 1 – função f (real x)

1:

2: retorna f

Algoritmo 2 – função p (real x)

1:

2: retorna p

Algoritmo 3 – função principal

1: real x0, x, x_anterior, f, p, Erro

2: inteiro i, itmax

3:i=0

4: itmax=20 ! número máx. de iterações

5: x0 = -1.0

6: x_anterior=x0

7: erro = 10.0-5

8: x=x_anterior

9: imprima: i,x,f(x), abs(f(x))

10:i=i+1

11: faça enquanto (abs(f(x)) > erro e i<=itmax)

12: x_anterior = x

13: x = p(x_anterior)

14: imprima: i,x,f(x), abs(f(x))

15: i=i+1

16: fim enquanto

17: fim

Obs: Para os outros dois exemplos (II e III), o algoritmo é o mesmo, é só

mudar os valores de x0 e mudar as funções p(x) e f(x).

Capítulo 5

Resultados numéricos

o Exemplo Ia)

i x f(x) erro

0 -1 0,63212 0,63212

1 -0,60653066 -0,177359771 0,177359771

2 -0,73840315 6,73628E-02 6,73628E-02

3 -0,69128605 -2,30550E-02 2,30550E-02

4 -0,707765096 8,18722E-03 8,18722E-03

5 -0,701957409 -2,87003E-03 2,87003E-03

6 -0,703998746 1,01068E-03 1,01068E-03

7 -0,703280563 -3,55343E-04 3,55343E-04

8 -0,70353315 1,25005E-04 1,25005E-04

9 -0,703444304 -4,39661E-05 4,39661E-05

10 -0,703475554 1,54646E-05 1,54646E-05

11 -0,703464562 -5,43939E-06 5,43939E-06

Tabela 1-Exemplo I a

Ao observar os dados da tabela 1acima, pode-se perceber que a sequência de

começando com x0 = -1, está convergindo para que é

uma raiz de .Isto foi feito em 11 iterações, usando a função de

iteração p(x) = . O gráfico1 abaixo mostra o ponto .

Gráfico 1 – Exemplo I a

o Exemplo Ib)

Neste exemplo, a mesma equação f (x) do exemplo I a) foi resolvida, usando a mesma

p(x), mas com o valor inicial . Pelos dados obtidos na tabela 2, vemos que a

sequencia converge para o mesmo resultado, com a diferença de que a convergencia é

mais lenta (demora 14 iterações para que o erro seja menor que o erro estipulado).

i x f(x) erro

0 5,00000 -123,41316 123,41316

1 -12,18249 148,41315 148,41315

2 -0,00226 -0,99773 0,99773

3 -0,99887 0,62944 0,62944

4 -0,60687 -0,17676 0,17676

5 -0,73828 0,06712 0,06712

6 -0,69133 -0,02297 0,02297

7 -0,70775 0,00816 0,00816

8 -0,70196 -0,00286 0,00286

9 -0,70400 0,00101 0,00101

10 -0,70328 -0,00035 0,00035

11 -0,70353 0,00012 0,00012

12 -0,70344 -0,00004 0,00004

13 -0,70348 0,00002 0,00002

14 -0,70346 -0,00001 0,00001

Tabela 2- Exemplo I b

o Exemplo II a)

Para estimar a raiz de f(x) = x² + x - 6 = 0, foi utilizada a função de iteração

p(x) = 6 – x² e o “chute” inicial x0=1,5. Como já vimos no capítulo 3, e na tabela 3

abaixo, a sequência diverge.

i x f(x) erro

0 1,5 -2,25 2,25

1 3,75 11,8125 11,8125

2 -8,0625 50,94140625 50,94140625

3 -59,00390625 3416,457047 3416,457047

4 -3475,460953 12075347,37 12075347,37

5 -12078822,83 1,45898E+14 1,45898E+14

6 -1,45898E+14 2,13E+28 2,13E+28

7 -2,13E+28 4,53E+56 4,53E+56

8 -4,53E+56 2,05E+113 2,05E+113

9 -2,05E+113 4,21E+226 4,21E+226

10 -4,21E+226 (+) infinito (+) infinito

11 (-) infinito NaN NaN

Tabela 3 – Exemplo II a

Gráfico 2 – Exemplo II a

O gráfico2 acima mostra o comportamento de xk que está divergindo da solução quando

k aumenta. As soluções de f(x)=0 são os dois pontos onde a reta y = x encontra a curva

y=p(x), estes são pontos fixos de p.

o Exemplo II b)

Aqui foi resolvida a mesma equação f(x) doexemplo I a acima, mas utilizando a função

de iteração p(x) = e x0 = 1,5. Como vimos, a sequência convergirá para a raiz

ξ = 2. Isto mostra que a função p aqui escolhida satisfaz os requisitos para convergência

do teorema explicado no capítulo 2. Na tabela 4 abaixo temos os valores de i, x, f(x) e o

erro. Quando o erro foi menor que 10-5

o processo iterativo foi finalizado, obtendo-se o

resultado. O gráfico 3 mostra essa convergência.

i x f(x) erro

0 1,5 -2,25 2,25

1 2,12132 0,62132 0,62132

2 1,96944 -1,51884E-01 1,51884E-01

3 2,00763 3,81900E-02 3,81900E-02

4 1,99809 -9,53387E-03 9,53387E-03

5 2,00048 2,38432E-03 2,38432E-03

6 1,99988 -5,96026E-04 5,96026E-04

7 2,00003 1,49010E-04 1,49010E-04

8 1,99999 -3,72523E-05 3,72523E-05

9 2,00000 9,31308E-06 9,31308E-06

Tabela 4 – Exemplo II b

Gráfico 3 – Exemplo II b

Gráfico 4 – Exemplo II b

No gráfico 3, observa-se o processo iterativo convergindo para a raiz (solução) onde as

curvas se encontram. No gráfico 4 vemos que f(x)=0 quando x é aproximadamente 2.

o Exemplo III a)

Aqui foi estimada uma raiz de f(x) = . Sabendo que uma das

raízes está entre (0; 1); com erro = 5 x 10-4

e com . Utilizando a função de

iteração

, obteve-se uma sequência convergente, encontrando a seguinte

raiz: x = 0.33762. Este resultado foi obtido após apenas 3 iterações, isso porque o valor

inicial escolhido foi um bom “chute”, e porque a função p escolhida apresentou boa

convergência, preenchendo os critérios de convergência explicados no capítulo 2.

Abaixo, na tabela 5, seguem os resultados.

i x f(x) erro

0 0,5 -1,375 1,375

1 0,347222232 -8,31378E-02 8,31378E-02

2 0,337984704 -3,25311E-03 3,25311E-03

3 0,337623258 -1,23825E-04 1,23825E-04

Tabela 5 – Exemplo III a

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

f(x)

x

f(x)

Gráfico 5-Exemplo III a – veja que f(x)=0 quando x=0,33762.

o Exemplo III b)

Este exemplo é igual ao anterior, mudando apenas a estimativa inicial, que agora é x0=3.

Vemos nos resultados abaixo, que essa pequena mudança fez com que o processo

divergisse (os resultados estão na tabela 6).

i x f(x) erro

0 3 3 3

1 3,333333343 10,03703728 10,03703728

2 4,448559718 50,99855165 50,99855165

3 10,11506547 946,882776 946,882776

4 115,3242628 1532741,518 1532741,518

5 170419,9374 4,9495E+15 4,9495E+15

6 5,49944E+14 1,66E+44 1,66E+44

7 1,85E+43 6,31E+129 6,31E+129

8 7,01E+128 (+) infinito (+) infinito

9 (+) infinito NaN NaN

Tabela 6 – Exemplo III b

-1,6

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 f(

x)

X

f(x)

Capítulo 6

Conclusão

Neste trabalho, foi utilizado o método do ponto fixo (MPF) para encontrar os “zeros”

(raízes) de três funções. Além disso, para cada uma dessas funções, foi mudada a função

de iteração ou a estimativa inicial, para observar o comportamento e a convergência ou

divergência do processo iterativo.

Podemos perceber nos resultados obtidos nas tabelas 1 a 6, que o MPF é um método que

possui suas vantagens e desvantagens. Uma vantagem é a necessidade de escolher

apenas uma estimativa inicial e não um intervalo, e a sequencia pode convergir

rapidamente em alguns casos. O método do ponto fixo é um método numérico aberto,

diferente dos métodos onde a busca à raiz deve ser realizada dentro de um intervalo, os

Métodos Abertos utilizam-se de estratégias para encontrar zeros de funções que não

dependam de uma delimitação do local onde se encontra a raiz.

Sendo assim, os métodos abertos não necessitam de um conhecimento prévio da

localização da raiz, o que permite a construção de algoritmos que exijam apenas um

único valor inicial de x para convergir à resposta.

Diferente dos métodos intervalares, os métodos abertos podem divergir da raiz

verdadeira ao longo da execução do programa. Contudo, quando há convergência, os

métodos abertos o fazem com velocidade muito superior aos intervalares (tabela 5).

Um dos problemas desse método é justamente a sua possibilidade de divergir, como

vimos em dois exemplos aqui abordados. Inclusive em um deles apresentou

convergência para x0=0,5 e divergência para x=3, que são valores bem próximos.

Outro fator ainda mais importante é a escolha da função de iteração p(x), pois existem

várias possibilidades, sendo que algumas convergem e outras não. Sendo assim, para

utilizar este método é bom verificar antes se as condições de convergência (dadas pelo

teorema 2.2) são atendidas.

Referências

o [1] RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo numérico - aspectos

teóricos e computacionais - 2a edição. Pearson Education do Brasil, 1996.

o [2] PILLING,Sérgio. Cálculo numérico Métodos numéricos para encontrar raízes

(zeros) de funções reais. Acessado em 02 de abril de 2012,em:

www.1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt2.pdf

o [3] ASANO C.I.; COLLI E.Cálculo Numérico — Fundamentos e Aplicações IME

USP

Acessado em 02 de abril de 2012,em:

www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/LivroNumerico.pdf