ATPS CÁLCULO 2 – Etapa 1 Passo 1 Felipe=8 - André=2 - Marco=8 - Khessy=3 - Somatória dos RA`s = 21 V=lim s(t+∆t)-s(t) V= ds ∆t=>0 ∆t dt Comprovaremos usando as equações do MRUV, função horária da posição e da velocidade, e utilizando os valores iniciais nulos. So = 0 ; Vo = 0 ; a = 21 m/s² , assim teremos: S = So + Vot + 1 at² V = Vo + at 2 S = 1 x 21t² => S = 10,5t² V = 21t 2 Aplicando a derivada: V = ds => V = d (10,5t²) => V = 10,5.2.t => V = 21t dt dt

Passo 2 t(s) | s(m) | (t,s) | v(m/s) | (t,v) | 0 | s=10,5.0²=10,5.0=0 | 0.0 | v=21.0=0 | 0.0 | 1 | s=10,5.1²=10,5.1=10,5 | 1.10,5| v=21.1=21 | 1.21 | 2 | s=10,5.2²=10,5.4=42 | 2.42 | v=21.2=42 | 2.42 | 3 | s=10,5.3²=10,5.9=94,5 | 3.94,5| v=21.3=63 | 3.63 | 4 | s=10,5.4²=10,5.16=168 | 4.168 | v=21.4=84 | 4.84 | 5 | s=10,5.5²=10,5.25=262,5 | 5.175 | v=21.5=105 | 5.105 |

Gráfico s(m) x t(s) Gráfico v(m/s) x t(s) Usando o cálculo da área temos: A = S => S = b.h => S = 5.105 = 525 = 262,5 m 2 2 Sendo assim, se tentarmos obter as áreas ponto – a – ponto chegaremos ao gráfico de s (m) x t (s).

Passo 3 A aceleração instantânea é, a grosso modo, a aceleração que se obtem no momento em que se pressiona o acelerador ou o freio, fisicamente a aceleração instantânea é o limite da função velocidade acrescida de uma variação intencional, ou seja, muito pequena do tempo tendendo a zero, chegando a derivada da velocidade. A = lim v(t+∆t)-v(t) a = dv ∆t=>0 ∆t dt Usando o exemplo anterior temos: V = 21t a = 21m/s² Derivando: a = dv a = d(21t) a = 21m/s² dt dt Passo 4 Gráfico a (m/s²) x t(s) Usando a fórmula da área temos: A = V => V = b.h => V = 5.21 = 105 m/s Sendo assim, se tentarmos obter as áreas ponto – a – ponto chegaremos ao gráfico de v (m/s) x t(s). Bibliografia: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WAT

R68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy&hl= pt_BR>. PLT 178 Cálculo de uma Variável Deborah Halliday , David; Resnick. Robert. Física I.7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. Etapa 2 Passo 1 A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. que pode ser condensada assim : em que E(x) é a parte inteira de x. Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1 1 1 1 ℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1 ℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 Contante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Passo 2 Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados por Pitagoras, revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras (2F, 3F, 4F, etc.). Uma série harmônica alternada é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definirmos o n-ésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que: 1. O único Hn inteiro é H1. 2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro. Passo 3 r*t N(t)=N0 * e N0=1 r=? t=48hs r*8 3=1 * e 1,09=r*8 r=0,137 3= e r*8 Ln3=lne r*8

0,13*t N(t)=N0 * e Tempo (hrs) 1 8 16 24 32 40 48 10 N(48)=3,1 espécies Crescimento populacional (espécies) 3 9 81 2187 177147 43046721 10 3,1

Passo 4 Vamos adotar a população inicial N0=1 Tempo (hrs) 1 4 8 12 16 20 Crescimento populacional (espécies) 3 5,19 15,57 80,9 728,1 11350 Conclusão O final da nossa pesquisa dedicada especialmente a derivada e a constante de Euler, observamos que nossos conhecimentos aumentaram muito, e isso nos ajudou a esclarecer muitas de nossas duvidas e também aumentamos a nossa segurança para realizarmos a nossa avaliação parcial da matéria. Foi uma experiência muito boa, pois notamos além de como a matemática está ligada a física, assim como tudo no universo tem alguma ligação ou relação com a matemática, ela é a nossa base seguirmos o nosso curso de engenharia.

ATPS Calculo 2 –Etapa 3 Passo 1 O maior algarismo dos RA’s (2504093236, 1158382764, 2504058091, 1135309102, 2504022950 e 2504092437) é 9. Então D= 19

Achando o diâmetro.

D = 2 * R 19 = 2R

Achando o Raio

R = D/2 R = 19/2 R = 9,5 cm

Achando a área de circunferência.

AC = ∏ * r² AC = ∏ * 9,5² cm² AC = 283,3 cm²

Achando o volume.

V = a * h V = 283,3 cm² * 22,6 cm V = 6.402,58 cm³ V = 6.402,58 cm³ / 1000 6,4 dm

Passo 3 Resposta:

3 cm/s = 50 cm ÷ x 3 cm/s .x = 50 cm 50 cm ÷ 3cm/s = 16,6s

V = 50 cm – 20 cm ÷ 17s – 6,64 s V = 30 cm = v = 2,89 cm/s 10,36s

Passo 4 Resposta:

a) V = ab * h 3

V = 283,5 * 50 cm 3

V= 14175 cm³ 3

V = 4725 cm³

b)

3 cm/s = 50 cm ÷ x 3 cm/s .x = 50 cm 50 cm ÷ 3cm/s = 16,6s V = 50 cm – 45 cm ÷ 17s – 6,64 s V = 30 cm = v = 2,89 cm/s 10,36s Etapa 4 Passo 1 Função de Preço (q) P(q)= -0,1q + a P 2.500 P(2500)= -0,1*2500+2500 R$ 2.250 5.000 P(5000)= -0,1*5000+2500 R$ 2.000 7.500 P(7.500)= -0,1*7500+2500 R$ 1.750 10.000 P(10000)=0,1*10000+2500 R$ 1.500 12.500 P(12500)=0,1*12500+2500 R$ 1.250 15.000 P(15000)=0,1*15000+2500 R$ 1.000 Obs.: a = 2.500

Tabela: Função de Custo

Função de Custo (q) C(q) = 0,002q3 - 0,6q2 +100q + a C 2.500 C(q) = 0,002* 25003 - 0,6*25002 +100*2500 + 1000 R$ 27.751.000 5.000 C(q) = 0,002*50003 - 0,6*25002 +100*5000 + 1000 R$ 235.501.000 7.500 C(q) = 0,002*75003 - 0,6*75002 +100*7500 + 1000 R$ 810.751.000 10.000 C(q) = 0,002*100003 - 0,6*100002 +100*10000+ 1000 R$ 1.941.001.000 12.500 C(q) = 0,002*125003 - 0,6*125002 +100*12500 + 1000 R$ 3.813.751.000 15.000 C(q) = 0,002*150003 - 0,6*150002 +100*15000 + 1000 R$ 6.616.501.000

Obs.: a = 1.000 unidades Passo 2 R(q) será sempre maior que C(q), conforme o gráfico de “função de custo”. Quando maior for a produção, maior será o lucro. Passo 3 Receita Marginal é a variação de receita obtida da venda de uma unidade adicional do produto.

[pic] = [pic]

[pic] é de R$ 0,02. A produção, então, feita desta forma, ficou substancialmente desejável.

Resenha Critica Documentário Uma Verdade Inconveniente (An Inconvenient Truth), produzido pelo estúdio Paramount Classics nos Estados Unidos com direção de Davis Guggenheim no ano de 2006, tempo de duração 100min., classificação etária 14 anos. O filme narra um fato verídico sobre a evolução da sociedade e o aquecimento global decorrente das mudanças climáticas. Al Gore vem por meio deste documentário mostrar a todos a situação em que vivemos hoje o aquecimento

global. Em vários momentos de sua vida aconteceram eventos que o fizeram a olhar de maneira diferente e se preocupar com meio ambiente, como por exemplo, o acidente que quase matou seu filho, a morte de sua irmã por câncer e a derrota pelas eleições presidências dos EUA em 2000 para W. Busch. Ele passou a apresentar por todo o mundo palestras didáticas, pesquisas cientificas usando uma linguagem simples e fácil de compreender, e ainda como metodologia ele usa slides, gráficos, fotografias, animações tudo isso para envolver e conquistar seus ouvintes. Seu principal foco são as mudanças climáticas em todo o planeta terra, as tempestades, furações, tufões, terremotos, inundações, secas e o derretimento das geleiras do Ártico, enfatizando assim a crise global. Para Al Gore o aquecimento global esta ligado diretamente a questões políticas e econômicas, e todos somos culpados pelas mudanças climáticas. De fato ele esta correto em tudo que diz neste filme, ele explica o que esta acontecendo e como podemos modificar estes eventos causados pelo aquecimento como utilizar a água e a energia de forma sustentável, comprar produtos recicláveis e biodegradáveis. Temos que abrir os olhos logo ou nossas gerações futuras poderão não existir. Logo este documentário funciona como alerta para sociedade mundial

A grande farsa do aquecimento global x Uma Verdade inconveniente

Os dois filmes em questão tratam de um assunto muito importante para a humanidade: A mudança radical do clima da terra, o Aquecimento global antropogênico. Tal mudança tem colocado em check o papel da humanidade como “zeladora” do planeta terra. Duas correntes de pensamento estão norteando os debates a respeito do futuro de nosso planeta e envolvem os maiores especialistas em clima da humanidade. O primeiro a iniciar as discussões foi o presidente “não eleito” norte americano, Al Gore, que, reunindo um farto material multimídia e estatístico sobre as alterações no clima do planeta, percorreu o mundo expondo suas idéias, as quais ele intitula como sendo “Uma verdade inconveniente” sobre a situação climática mundial atual. Tais idéias provocaram uma verdadeira enxurrada de protesto ao redor do globo e levantaram a ira de muitos governantes, organizações não governamentais. Cientistas mais ortodoxos que afirmam que essa linha de pensamento é muito precipitada, pois, mudanças similares ocorreram em eras mais remotas da história do planeta e podem estar se repetindo atualmente. Estes mesmos cientistas afirmam também que o IPCC (painel Intergovernamental de Mudanças Climática), Órgão da ONU que analisa o clima da terra, não passa de um mecanismo utilizado pelos políticos para manipular informações importantes que podem até mesmo proporcionar mudanças na economia de países. Na tabela abaixo podemos visualizar uma comparação entre os principais fatos apresentados nos dois filmes:

|Uma verdade inconveniente |A grande farsa do aquecimento global | |Al Gore alega em sua teoria que o CO2 governa o clima da terra,|Os cientistas alegam que o CO2 nunca governou o clima na terra,| |ou seja, com o aumento do CO2 na atmosfera a temperatura |pelo contrário, o aumento da temperatura é que proporciona o | |aumenta proporcionalmente |aumento do CO2. | |O aquecimento global fará a humanidade ingressar num período de|Os cientistas refutam tal previsão citando um exemplo que |

|grande escassez de víveres devido à perspectiva de temperaturas|aconteceu entre os anos de 1200 a 1500 DC, onde a Europa | |muito altas, quase insuportáveis. |ingressou num período de resfriamento denominado “Pequena idade| | |do gelo”, ilustrado por pinturas da época em que o rio Tâmisa | | |ficava totalmente congelado e foi uma época de grande | | |prosperidade e grande desenvolvimento. | |Os veículos e aviões, por consumirem combustível fóssil, são os|O aquecimento global começou a ocorrer bem antes de 1940, ou | |principais responsáveis pelo aumento do CO2 na atmosfera, e, |seja, antes de existir os primeiros veículos e aviões e | |conseqüentemente, aumento da temperatura na terra. |sofrendo uma queda por quatro décadas após este período. O Co2 | | |é um gás natural produzidos também por todos os seres vivos na | | |terra. | |O Aquecimento global causou o furacão Katrina em 2005. |Não há provas suficientes para efetuar tal afirmação, pois, não| | |é possível estabelecer um vínculo entre um único evento | | |climático e o aquecimento global. | |CO2 está proporcionando desastres ecológicos, como, |Diversos estudos realizados desde 1991 por cientistas em | |derretimento de geleiras, desaparecimento de lagos, elevação |diversas partes do mundo, principalmente na Europa, comprovaram| |dos níveis dos oceanos, evacuação de áreas inundadas, furacões |que as atividades solares ou “manchas

ausando o aumento de temperatura no planeta, concluindo que o | | |Sol é que influencia nas mudanças climáticas. | |Al Gore se apóia em idéias e teorias emitidas por cientistas do|A corrente de cientistas contrária é formada por pesquisadores | |IPCC, que são apoiados pela ONU e organismos não |renomados da ciência moderna e contemporânea, e, atualmente são| |governamentais, como o Greenpeace, por exemplo. |perseguidos por não apoiar Al Gore. |

Apesar de tantas divergências, a teoria do Aquecimento global antropogênico é importante para alertar a humanidade para o seu papel fundamental no planeta, que é o de cuidar de seus recursos e explorá-los de forma sustentável para que as próximas gerações possam usufruir de um mundo preservado e capaz de sustentar a vida, bem precioso, e, que deve ser mantido a qualquer custo por todos nós.

Fonte:

- Filme Uma Verdade Inconveniente, Al gore, 2006

- Filme A Farsa do Aquecimento global, Marin durkin, 2007 - Revista New Scientist, Maio de 2007

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação. Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Aluno) Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com . Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço. Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo

Joao – 0 jotan – 5 joao - 1 jotan – 8 joao – 3 calil - 1 Somatória dos RA`s = 18 a=18m/s2 a=18t-4 s=3t2-2t2 a=18.1,222-4 s`=9t2-4t a=18m/s2 v=9t2-4t v`=18t-4t

Velocidade instantânea É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:

Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo . Aceleração média e instantânea Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como: (aceleração média) (aceleração instantânea) * Velocidade instantânea Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém podería ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e parecería à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a

operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja:

A operação acima descrita é chamada uma "derivada". Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de f(t) no ponto t1 é:

Ou, se definirmos t2 = t1+h,

Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, A velocidade instantânea é a derivada temporal da posição. Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção "Partículas e o movimento sobre uma reta") . Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição. * Relação entre velocidade média e velocidade instantânea Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de integral. A partir da equação

Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obter

Com a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou seja

E sabemos que

Então, integrando os dois últimos membros, temos

Agora, substituindo isso na definição da velocidade média

temos

Também podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea.

Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média.

Série Harmônica A série harmónica é definida conforme:

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral

cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite:

onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que: O único Hn inteiro é H1. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro. Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), páginas 534-543.) A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p. Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Constante de Euler-Mascheroni

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como olimite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x. A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral. As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de As 100 primeiras decimais dessa constante são

γ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

Conclusão

Podemos desenvolver a etapa 1 e 2 para aprimorarmos nossos conhecimentos. Pesquisamos e calculamos a velocidade instantânea, aceleração média e instantânea em nosso trabalho. Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Podemos ver a série harmônica na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG.

Etapa 1 Passo 1 Conceito de velocidade instantânea A velocidade instantânea é, portanto definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a

velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes. Para isso a variação do tempo tem que ser zero , o que só pode ser calculado atravez de limite , tendendo a variação de tempo a zero , você cai numa derivada de primeira ordem; Exemplo: Sendo s(t)=t2+5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo [2,2+Dt], com Dt >0 ou Dt 220 m² Gráfico da área da função da velocidade:

Passo 3 Velocidade e Aceleração Aceleração de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Definimos a aceleração como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se v(t) é a velocidade de um objeto em um instante t, temos: Aceleração média = v(t+h) – v(t) h

Aceleração instantânea = v’(t) = lim v(t+h) – v(t) . h→0 h

Resumindo, como a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada segunda da posição. Se y = s(t) é a posição de um objeto em um instante t, então: Velocidade: v(t) = dy = s’(t) dt Aceleração: a(t) = d’y = s”(t) = v’(t) d’t

Exemplo (utilizando o exemplo do caso acima): f(x) = 8 x2 + 4x - 10 lim f (x+h) - f (x) h→0 h lim 8 (x+h)2 + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10) h→0 h lim 8 (x2+2xh+h2) + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10) h→0 h lim 8x2 + 16xh + 8h2 + 4x - 10 - 8x² - 4x +10 h→0 h lim 16xh + 8h² h→0 h lim h (16x + 8h) h→0 h lim 16x + 8h h→0 lim 16x h→0

Para o intervalo de 0 a 5s:

f(x) = 16x f(0) = 16 . (0) = 0 f(1) = 16 . (1) = 16 f(2) = 16 . (2) = 32 f(3) = 16 . (3) = 48 f(4) = 16 . (4) = 64 f(5) = 16 . (5) = 80

Passo 4 Grafico da função a(m/s²) x t(s)

Etapa 2 Passo 1 A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x. A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral. As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de Valor aproximado As 100 primeiras decimais dessa constante são γ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495 Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante. A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos Tabela dos cálculos n=¬¬¬ 1 h n=1 → 1=1 → 1h=1 → h=1 → h=1 h 1

e = lim (1+h)1/h → (1+1)1 → 2 h→0

n=5 → 5=1 → 5h=1 → h=1 →h=0,2 h 5 e = lim (1+h)1/h → (1+0,2)5 → 2,488 h→0

n=10 → 10=1 → 10h=1 → h=1 → h= 0,1 h 10 e = lim (1+h)1/h → (1+0,1)10 → 2,594 h→0

n=50 → 50=1 → 50h=1 → h=1 → h=0,02 h 50 e = lim (1+h)1/h → (1+0,02)50 → 2,691 h→0

n=100 → 100=1 → 100h=1 → h= 1 → h=0,01 h 100 e = lim (1+h)1/h → (1+0,01)100 → 2,705 h→0

n=500 → 500=1 → 500h=1 → h= 1 → h=0,002 h 500 e = lim (1+h)1/h → (1+0,002)500 → 2,716 h→0

n=1000 → 1000=1 → 1000h=1 → h= 1 → h=0,001 h 1000 e = lim (1+h)1/h → (1+0,001)1000 → 2,717 h→0

n=5000 → 5000=1 → 5000h=1 → h= 1 → h= 0,0002 h 5000 e = lim (1+h)1/h → (1+0,0002)5000 → 2,718 h→0

n=10000 → 10000=1 → 10000h=1 → h= 1 → h=0,0001 h 10000 e = lim (1+h)1/h → (1+0,0001)10000 → 2,718 h→0

n= 100000 → 100000=1 → 100000h=1 → h= 1 → h=0,00001 h 100000 e = lim (1+h)1/h → (1+0,00001)100000 → 2,718 h→0

n= 1000000 → 1000000=1 → 1000000h=1 → h= 1 → h= 0,000001 h 1000000 e = lim (1+h)1/h → (1+0,000001)1000000 → 2,718

h→0 Tabela:

Valores de n Aplicados n=¬¬¬ 1 temos: h Aplicados e = lim (1+h)1/h h→0

1 1 2 5 0,2 2,488 10 0,1 2,594 50 0,02 2,691 100 0,01 2,705 500 0,002 2,716 1000 0,001 2,717 5000 0,0002 2,718 10000 0,0001 2,718 100000 0,00001 2,718 1000000 0,000001 2,718

Passo 2 A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da freqüência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier. Passo 3 Crescimento Populacional Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “ na Essay on the Principle of Population ” apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o numero de indivíduos em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população presente em determinado instante t. N(t) = No . e rt , onde: t = 0, no instante inicial r = uma constante que varia com a espécie da população No = A população existem/presente no instante inicial O gráfico da função depende obviamente de r e de No. Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malyhus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à ultima contagem?

N(t) = 3 No . e 8r ln 3 . 8r ln e 8r ln e = ln 3 r = 1,098 8 r = 0,1373

N(t) = 3 No . e 0,1373 . t ln 3 . 0,1373 t ln e t ln e = 1,098 0,1373 t = 7,997

N(t) = 3 No . e 0,1373 . 8 ln 3 No . 1,098 ln e ln 3 No = 1,098 ln e No = 1,098 ln 3 No = 1,000

N(t) = 3 . 1 . e 48t 1. ln 3 = 48 t ln e t ln e = 1,098 48 t = 0,0228 Passo 4 Gráfico do crescimento populacional em função do tempo