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Eleonora Pinto de MOURA
ATRATORES DE DIMENSÃO FINITA: estudo do comportamento assintótico de soluções
de equações diferenciais parciais dissipativas
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Marco Aurélio Palumbo Cabral
Rio de Janeiro
2005
ii
M929a Moura, Eleonora Pinto de.
Atratores de dimensão finita: estudo do comportamento assintótico de soluções de equações diferenciais parciais dissipativas / Eleonora Pinto de Moura. – Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2005.
vii, 60 f.; 29cm. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) – Universidade
Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática, 2005. Orientador: Marco Aurélio Palumbo Cabral Inclui bibliografia
1. Equações Diferenciais Parciais. – Teses. I. Cabral, Marco Aurélio P. (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. III. Título.
iii
“Le regard est un choix. Celui qui regarde décide de se fixer sur telle chose et donc forcément d’exclure de son attention le reste de son champ de vision. C’est en quoi le regard, qui est l’essence de la vie, est d’abord un refus.“ 1 - Amélie Nothomb, Métaphysique des tubes, 2000.
1 “O olhar é uma escolha. Aquele que olha decide se fixar sobre tal coisa e portanto forçosamente excluir de sua atenção o resto de seu campo de visão. É nisto que o olhar, que é a essência da vida, é antes de tudo uma recusa.” (Nothomb, 2000)
iv
Eleonora Pinto de MOURA
ATRATORES DE DIMENSÃO FINITA: estudo do comportamento assintótico de soluções
de equações diferenciais parciais dissipativas
Rio de Janeiro, 26 de setembro de 2005 ________________________ (Prof. Marco Aurélio Palumbo Cabral, PhD, Indiana, EUA) ________________________ (Prof. Rafael José Iório Junior, PhD, Berkeley, EUA) ________________________ (Prof. Rolci Cipolatti, PhD, Paris Sud, França) ________________________ (Prof. Ricardo Martins da Silva Rosa, PhD, Indiana, EUA)
v
RESUMO
ATRATORES DE DIMENSÃO FINITA: ESTUDO DO COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO DE SOLUÇÕES
DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DISSIPATIVAS
Eleonora Pinto de MOURA
Orientador: Prof. Marco Aurélio Palumbo Cabral
Resumo da Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduação em Matemática Aplicada, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática.
Estuda-se, neste trabalho, o comportamento assintótico de soluções de equações diferenciais parciais dissipativas com base em seus atratores. Demonstra-se a existência de atratores globais em alguns sistemas. Observa-se que a dinâmica do atrator permite determinar a dinâmica assintótica do sistema.
São introduzidas as dimensões fractal e de Hausdorff, adequadas ao estudo das dimensões dos atratores. Prova-se que atratores globais de alguns sistemas têm dimensão finita, apesar de serem subconjuntos de um espaço de dimensão infinita. Pretende-se capturar a natureza assintótica do fluxo original resolvendo um sistema de dimensão finita. Em primeiro lugar, apresenta-se sumariamente a teoria de variedades inerciais. Em seguida, mostra-se que o atrator pode ser submergido em um espaço euclidiano de dimensão finita. Chega-se a uma submersão da dinâmica do atrator, mas as soluções das equações obtidas não são únicas.
A construção de um sistema de equações diferenciais ordinárias que reproduza a dinâmica no atrator depende de suas propriedades topológicas. Diversos resultados de topologia são relacionados com a teoria dos atratores globais.
Enfim, constrói-se um sistema dinâmico discreto que reproduz a aplicação de tempo T no atrator global. O atrator deste sistema se encontra em uma vizinhança arbitrariamente pequena do atrator original. O sistema discreto obtido reproduz o comportamento assintótico de uma equação diferencial parcial dissipativa de tal forma que suas complexidades são mantidas.
Finalmente, apresentam-se resultados recentes que mostram a importância dos atratores para a compreensão do comportamento assintótico de alguns sistemas dinâmicos dissipativos. Palavras-chaves: atrator global, equações diferenciais parcias, sistemas dinâmicos em dimensão infinita.
Rio de Janeiro 2005
vi
ABSTRACT
FINITE-DIMENSIONAL ATTRACTORS: STUDY OF THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF
DISSIPATIVE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Eleonora Pinto de MOURA
Supervisor: Prof. Marco Aurélio Palumbo Cabral
Abstract of the Dissertation presented to the Graduate Program in Applied Mathematics, Institute of Mathematics, of the Federal University of Rio de Janeiro – UFRJ, as part of the requirements for the concession of the title of Master in Mathematics.
This text examines the asymptotic behavior of solutions of dissipative partial differential equations based on their attractors. The existence of global attractors is shown for some systems. It is observed that the dynamic of the attractor allows the determination of the asymptotic dynamics of the system.
Fractal and Hausdorff dimensions, appropriate for the study of the dimension of the attractors, are introduced. It is proved that the global attractors of some systems have finite dimension, in spite of being subsets of an infinite-dimensional space. A finite-dimensional system is presented as a form of capturing the asymptotic nature of the original flow. Initially, the theory of inertial manifolds is exposed in its main lines. Next, it is shown that the attractor can be embedded in a finite-dimensional Euclidean space. The embedding of the dynamic of the attractor is arrived at, but the solutions of the equations obtained are not unique.
The construction of a system of ordinary differential equations that reproduces the dynamics of the attractor depends on their topological properties. Several topological results are linked to the theory of global attractors.
Then, a discrete dynamical system is built that reproduces the T map in the global attractor. The attractor of this system remains in an arbitrarily small neighborhood of the original attractor. The discrete system thus obtained reproduces the asymptotic behavior of a dissipative partial differential equation in such a way that its complexities are maintained.
Finally, we present recent results that show the importance of attractors to understand the asymptotic behavior of some dissipative dynamical systems.
Keywords: global attractor, partial diferencial equations, infinite-dimensional dynamical systems.
Rio de Janeiro 2005
vii
AGRADECIMENTOS
Aos Professores Rolci Cipolatti, Gregório Malajovich, Felipe Acker, Ricardo Rosa, Cassio Neri e Flávio Dickstein, pela agradável e instrutiva convivência durante os cursos do Mestrado em Matemática Aplicada. Aos Professores Rafael Iório, Rolci Cipolatti, Ricardo Rosa e Marco Aurélio Cabral, pela participação na banca da defesa da dissertação. Aos Professores Ricardo Kubrusly e Antônio Roberto da Silva, pela influência que exerceram na minha busca pelo equilíbrio entre criatividade e rigor. Ao Professor Marco Aurélio Cabral, meu orientador, pelo estímulo e apoio durante todas as etapas deste trabalho com comentários proveitosos sempre transmitidos com sua tranquilidade característica. Aos meus colegas do mestrado, pelas divertidas conversas na sala de estudo que ajudaram a espairecer. Aos meus tios, tias e primos, pelos inspiradores encontros familiares. Aos meus avós, Heitor Pinto de Moura e Déa Pinto de Moura, pelo carinho e pelas lindas histórias de vida. Aos meus amigos Clara Porto, Clarisse Kubrusly, Elisa Herkenhoff, Rémy de Aratanha, Daniel Simão e Henrique Sá Earp, pela ajuda e compreensão em momentos cruciais. Ao meu pai, Heitor Pinto de Moura Filho, à Ângela Porto, ao Renato Flores e ao Fabiano Siqueira, pela leitura da dissertação e pelas diversas sugestões. Ao Fabiano Siqueira, pelo amor e companhia que me fortaleceram quando mais precisei. A minha mãe, Maria Bárbara Levy e a minha irmã, Djamila Levy, pela eterna presença. Ao meu pai, Heitor, pelo seu carinho e apoio incondicional com os quais me criou.
Conteúdo
1 Introdução 2
2 Atrator Global 62.1 Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Dissipação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Conjuntos Limites e Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Conjuntos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Atrator Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Existência do Atrator Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Estrutura do Atrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Dinâmica Assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Atratores de Dimensão Finita 153.1 Medidas de Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Dimensão Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2 Dimensão de Hausdor¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Dimensão de Hausdor¤ e Fractal . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Estimativa da Dimensão do Atrator . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Variedades Inerciais 25
5 Submersão do Atrator em Rd 305.1 Parametrização do Atrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Teorema de Extensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Submersão da Dinâmica sem Unicidade . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Propriedades Topológicas do Atrator Global 41
7 Sistema Dinâmico Discreto de Dimensão Finita 49
8 Conclusão 52
1
1 Introdução
Modelos matemáticos são essenciais em diversas áreas do conhecimento.
Dentre os modelos determinísticos, destacam-se as equações diferenciais or-
dinárias e as equações diferenciais parciais. As soluções das equações diferenciais
ordinárias são funções que dependem unicamente do tempo. Diferentemente, nas
equações diferenciais parciais, as soluções dependem do tempo e do espaço. Em
modelos de dispersão, cujo exemplo típico são as equações de reação-difusão,
que modelam reações químicas e a difusão por membranas biológicas, as var-
iáveis tanto temporais quanto espaciais devem ser consideradas. Outro exemplo
interessante é a equação de Navier-Stokes, principal modelo da dinâmica de
�uidos. Apesar da questão da análise numérica não ser abordada neste estudo,
deve-se ter em mente sua importância, visto que os avanços computacionais
signi�cativos também enriquecem as discussões sobre esses problemas físicos
complexos.
Na teoria clássica de sistemas dinâmicos, em dimensão �nita, é possível
reconstruir a evolução passada do sistema dado seu estado atual. Para equações
diferenciais parciais, tais como a equação do calor, isto nem sempre é possível.
Nestas, busca-se determinar o comportamento futuro do sistema a partir do seu
estado atual. Não existe, no entanto, uma teoria geral de equações diferenciais
parciais. Em duas dimensões, a equação de Navier-Stokes, está bem compreen-
dida, mas no caso tridimensional ainda estão abertas questões como a existência
de solução para sempre e unicidade desta.
O desejo de compreender melhor as dinâmicas não-lineares se associou, então,
ao surgimento de novos conceitos matemáticos e, em alguns casos, de novas
idéias sobre tais conceitos. Alguns métodos utilizados em sistemas dinâmicos
clássicos foram adaptados e aplicados para estudar equações diferenciais parci-
ais. Muitas questões interessantes surgiram dessa adaptação, estimulando novas
abordagens. Raciocínios geométricos e conceitos usados no estudo de equações
diferenciais ordinárias, em um espaço de fase de dimensão �nita, se aplicam
ao �uxo gerado por uma equação diferencial parcial em um espaço de fase de
dimensão in�nita adequado.
Provou ser extremamente útil concentrar-se no comportamento assintótico
das soluções e nas propriedades de conjuntos atratores no espaço de fase original,
como é feito na análise de sistemas dinâmicos clássicos. Apropriadas para
esse tipo de estudo, as equações diferenciais parciais dissipativas despertam
muito interesse e suas aplicações se estendem desde modelos de turbulência em
2
�uidos e reações químicas à morfogênese em Biologia. Neste trabalho, estuda-
se o comportamento assintótico de soluções de equações diferenciais parciais
dissipativas com base nos seus atratores, que são muitas vezes de dimensão
�nita.
Em problemas físicos, é recorrente o conceito de dissipação de energia. Em
�uidos, por exemplo, os efeitos dissipativos são observados em decorrência de
difusão ou fricção. A equação diferencial parcial que modela estes �uxos re�ete
esse fenômeno atráves do decaimento da norma da solução. Portanto, uma
idéia natural de dissipação, que chamamos de dissipativo pontualmente, é a
existência de um conjunto absorvente � conjunto limitado no espaço de fase
para o qual, em tempo �nito, todas as órbitas eventualmente entram, mas
nunca saem. Freqüentemente, restringe-se a classe de equações que possui a
propriedade de dissipação para restringir o �uxo a um conjunto compacto. As
equações diferenciais parciais são ditas dissipativas se de�nem um �uxo que se
regulariza a longo prazo, em um espaço de fase adequado, contendo um conjunto
absorvente. Pertencem a esta categoria restrita as equações de Navier-Stokes
em duas dimensões, as equações de Kuramoto-Sivashinsky e algumas equações
de reação-difusão.
Dado um conjunto absorvente compacto , pode-se determinar o chamado
conjunto ômega limite de , o único subconjunto compacto do espaço de fases
que é ao mesmo tempo positiva e negativamente invariante e atrai todas as
trajetórias. O conceito de atrator global de um sistema é introduzido, então,
como sendo o maior conjunto que satisfaz as propriedades acima. Parte impor-
tante do comportamento dinâmico do sistema é determinado pelo conjunto de
soluções situado no atrator. Na Seção 2, apresenta-se um resultado geral que
demonstra a existência de atratores globais em vários sistemas. Temam (1988)
e Hale (1981) observaram que se pode garantir a existência de atratores globais
sob condições mais fracas, mas este aspecto não será abordado.
Os atratores são pequenos subconjuntos compactos do espaço de fase que
não têm interior, uma conseqüência direta da não compacidade da bola unitária
em um espaço de dimensão in�nita. Ainda na Seção 2, mostra-se que o atrator
consiste de todas as órbitas limitadas completas e contém a variedade instável
de todos os pontos �xos e órbitas periódicas. Finalmente, observa-se que a
dinâmica no atrator permite determinar todas as possíveis dinâmicas, a longo
prazo, das trajetórias individuais.
Na Seção 3, prova-se que atratores globais de alguns sistemas têm dimensão
�nita, apesar de serem subconjuntos de um espaço de dimensão in�nita. Não
3
se pode utilizar a dimensão usual topológica de uma variedade para limitar
a dimensão do atrator pois este não é, de forma geral, uma variedade suave.
É necessário, portanto, empregar medidas de dimensões com aplicações mais
abrangentes. Dentre várias de�nições de dimensão, utilizam-se as dimensões
fractal e de Hausdor¤, cujas de�nições e propriedades são introduzidas neste
estudo.
Um teorema importante, devido a Mallet-Parret (1976), a�rma que o atrator
tem dimensão de Hausdor¤ �nita se o �uxo linearizado decai exponencialmente
no atrator para os modos inferiores. Mañé (1981) generalizou este resultado
para espaços de Banach e o aplicou na equação de reação-difusão e em outras
equações diferenciais parciais dissipativas. Logo, observa-se que a dinâmica
assintótica desses sistemas é determinada por um grau de liberdade �nito.
Diversas equações diferenciais parciais dissipativas, dentre elas a equação de
reação e difusão e a equação de Navier-Stokes em duas dimensões, possuem
atratores globais de dimensão �nita, apesar do espaço de fase ser de dimensão
in�nita. O método utilizado encontra condições que garantam que qualquer
volume n-dimensional no espaço de fase é contraído pela evolução do �uxo,
obtendo uma limitação na dimensão do atrator global.
Depois de se obter atratores globais de dimensão �nita, cabe esperar que eles
possam ser recuperados pela resolução de um sistema su�cientemente grande
de equações diferenciais ordinárias. Em outras palavras, acredita-se que as
soluções no atrator satisfaçam um sistema de equações diferenciais ordinárias e
que, portanto, a dinâmica essencial da equação original seja de dimensão �nita.
Um método indireto de encontrar tal sistema é submergir o atrator em uma
variedade inercial, uma variedade suave de dimensão �nita. Esta abordagem
re�nada produz resultados impressionantes para muitas equações de evolução,
mas é apenas analisada super�cialmente na Seção 4. A variedade inercial foi
introduzido por Foias et al (1988) como uma variedade Lipschitz de dimensão
�nita que atrai exponencialmente as trajetórias e é positivamente invariante
sob o �uxo. Neste caso, os modos superiores são expressos em função dos
modos inferiores, reduzindo a equação diferencial parcial a um sistema �nito
de equações diferenciais ordinárias na variedade inercial, chamado de forma
inercial. Conseqüentemente, a dinâmica assintótica do sistema é determinada
completamente por esse sistema. A variedade inercial compartilha muitas pro-
priedades com o atrator e o contém, mas é suave ao invés de ser um fractal
irregular. No entanto, sua existência não está garantida para diversos casos,
inclusive para a equação de Navier-Stokes em duas dimensões.
4
A existência do atrator global enseja a construção de um sistema de dimensão
�nita para capturar a natureza assintótica do �uxo original. Na Seção 5,
assegura-se que o atrator, um subconjunto de um espaço de dimensão in�nita,
pode ser submergido em um espaço Euclidiano de dimensão �nita su�ciente-
mente grande. Hurewicz & Wallman (1941) provaram um teorema clássico, que
garante que um conjunto compacto com dimensão topológica �nita d pode
ser submergido em R2d+1.Uma generalização do teorema de Mañé (1981) a�rma que, se a dimensão
fractal de é �nita, um conjunto denso de aplicações lineares limitadas de posto
2d+1 é injetivo em . Eden et al (1994) mostraram a existência de um sistema
�nito de equações diferenciais ordinárias que reproduz a dinâmica no atrator
global. No entanto, esta submersão do atrator em um espaço de dimensão �nita
é feita sem unicidade.
A construção de um sistema de equações diferenciais ordinárias que repro-
duza a dinâmica no atrator depende de suas propriedades topológicas. Na Seção
6, diversos resultados de topologia são relacionados com a teoria dos atratores
globais. En�m, observa-se que os atratores de dimensão �nita possuem todas
as propriedades topológicas necessárias para produzir um sistema de equações
diferenciais ordinárias.
Finalmente, constrói-se, na Seção 7, um sistema dinâmico discreto que re-
produz a aplicação de tempo T no atrator global. O atrator deste sistema
se encontra em uma vizinhança arbitrariamente pequena do atrator original.
Este sistema discreto obtido reproduz o comportamento assintótico de uma
equação diferencial parcial dissipativa, de tal forma que suas complexidades são
mantidas; ele é semelhante aos métodos usados para calcular numericamente
suas soluções.
Na Seção 8, apresentam-se resultados recentes motivados pelas discussões
apresentadas neste trabalho. Os novos artigos a�rmam a importância dos
atratores para a compreensão do comportamento assintótico de alguns sistemas
dinâmicos dissipativos. Observa-se, portanto, o desenvolvimento necessário de
instrumentos matemáticos apropriados para obter, com a ajuda de computa-
dores poderosos, uma melhor descrição qualitativa destes sistemas.
5
2 Atrator Global
2.1 Semigrupos
De�nição 1 (Robinson, 2001) Um semigrupo de classe C0 é uma família
fS(t)gt�0 de operadores em um espaço de Hilbert H com as seguintes pro-
priedades:
(i) S(t) : H ! H é contínuo;
(ii) Para todo u0 2 H, t! S(t)u0 é contínuo em R+;
(iii) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(s+ t), t � 0, s � 0; (2:1)
(iv) S(0) = Identidade em H.
O sistema dinâmico (H; fS(t)gt�0) é o semigrupo fS(t)gt�0 no espaço deHilbert H, cujos estados são descritos por elementos de H.
Considera-se, então, uma equação diferencial parcial geral, escrita como uma
equação diferencial ordinária em um espaço de Hilbert H,
du=dt = F (u); (2.2)
que gera um semigrupo fS(t)g de classe C0, de�nido apenas para t � 0, tal queexiste uma única solução u(t;u0), associada a condição inicial u0 2 H, dada por
u(t;u0) = S(t)u0: (2.3)
Denota-se j�j a norma no espaço de Hilbert H. Investiga-se o comportamentoa longo prazo das soluções u(t;u0) de (2.2) � tarefa equivalente a estudar o
comportamento assintótico do semigrupo fS(t)gt�0.
Proposição 2 (Robinson, 2001) Se f : H ! H é contínua e K é um con-
junto compacto, então f é uniformemente contínua perto de K. Isto é, dado
� > 0 existe �K(�) tal que u 2 K, v 2 H, e ju� vj � �K(�) implica que
jf(u)� f(v)j � �
As continuidades de S(t) em u0 e t a�rmam que as soluções variam continu-
amente, de modo uniforme, com respeito às condições iniciais em um conjunto
compacto. Para qualquer conjunto compacto K, tem-se que
jS(t)u� S(t)vj � �K(T; ju� vj); para todo u 2 K; (2.4)
6
onde �K(t; d) satisfaz �K(t; 0) = 0, �K(0; d) = d, e é crescente em relação aos
parâmetros t e d. Assim como algumas propriedades do semigrupo, o espaço de
fase, onde este semigrupo atua, é muito importante, pois certas particularidades
são necessárias para a construção de atratores para semigrupos.
Desprovida de teoremas gerais de existência e unicidade de soluções, a teo-
ria de sistemas dinâmicos em dimensão in�nita utiliza bastante o conceito de
conjuntos invariantes para caracterizar o comportamento assintótico.
De�nição 3 (Temam, 1997) Um conjunto X � H é invariante positiva-
mente para o semigrupo fS(t)g se
S(t)X � X; para todo t � 0: (2.5)
De�nição 4 (Temam, 1997) Um conjunto X � H é invariante negativa-
mente para o semigrupo fS(t)g se
S(t)X � X; para todo t � 0: (2.6)
De�nição 5 (Temam, 1997) Um conjunto X � H é invariante em relação
ao semigrupo fS(t)g se
S(t)X = X; para todo t � 0: (2.7)
Observa-se que todo conjunto invariante é relevante para a dinâmica do
sistema. Quando os operadores S(t) são injetivos, a relação (2.7) implica que
S(�t) está de�nido em H, para todo t � 0 e
S(t)X = X; para todo t 2 R:
De�nição 6 Para u 2 H, a órbita ou trajetória positiva +(u), que passa poru, é o conjunto fS(t)u; t � 0g. A órbita negativa, que passa por u, é a função
� : (�1; 0]! H, tal que �(0) = u e, para qualquer s � 0, S(t)�(s) = �(t+ s),
para 0 � t � �s. A órbita completa, que passa por u, é a função � : R ! H,
tal que �(0) = u e, para qualquer s 2 R, S(t)�(s) = �(t+ s), para t � 0.
A existência de uma órbita negativa ou completa, que passa por u, impõem
restrições sobre u, visto que a imagem do operador S não é, obrigatoriamente,
todo H. Se existir, a órbita negativa não precisa ser única, já que o operador
não necessita ser injetivo.
De�nição 7 (Temam, 1997) Um ponto �xo do semigrupo fS(t)g é um ponto
z 2 H, tal queS(t)z = z; para todo t � 0:
7
2.2 Dissipação
De�nição 8 (Robinson, 2001) Um conjunto A � H é absorvente se para
todo u 2 H existe t0(u) 2 [0;1) tal que
S(t)u 2 A; para todo t � t0(u):
De�nição 9 (Robinson, 2001) Um conjunto A � H é X-absorvente se para
cada conjunto limitado X existe t1(X) 2 [0;1) tal que
S(t)X � A; para todo t � t1(X):
Observa-se que nem todo conjunto absorvente é positivamente invariante,
mas é possível obter um conjunto positivamente invariante a partir de um
conjunto absorvente.
De�nição 10 (Robinson, 2001) O operador S(t) é dissipativo pontualmentese existe um conjunto limitado B � H tal que para todo u0 2 H existe t0(u0)
tal que
S(t)u0 2 B; para todo t � t0(u0): (2.8)
De�nição 11 (Robinson, 2001) O operador S(t) é X-dissipativo se existe
um conjunto limitado B � H tal que para cada conjunto limitado X existe
t1(X) tal que
S(t)X � B; para todo t � t1(X): (2.9)
A seguinte proposição mostra que estas duas propriedades são equivalentes
no Rm.
Proposição 12 (Robinson, 2001) Suponha-se que fS(t)g é um semigrupo
dissipativo pontualmente em Rm. Então, S(t) também é um semigrupo X-
dissipativo. De fato, para qualquer � � 0, o conjunto
B� =[
0�t<1S(t)N(B; �);
onde B é um conjunto da forma (2.8), é um conjunto invariante positivamente
e limitado que absorve qualquer conjunto limitado X em um tempo t1(X).
Proposição 13 (Robinson, 2001) Suponha que S(t) é um semigrupo dissi-
pativo com um conjunto absorvente limitado B. Então,[t�0
S(t)B
8
é um conjunto limitado, positivamente invariante que também é absorvente. Se
B é compacto, então[t�0
S(t)B também é compacto.
De�nição 14 (Robinson, 2001) Um semigrupo fS(t)g é dissipativo se pos-sui um conjunto absorvente compacto B. Isto é, para qualquer conjunto limitado
X � H, existe t1(X) tal que
S(t)X � B; para todo t � t1(X): (2.10)
Pertencem a categoria restrita de equações dissipativas as equações de Navier-
Stokes em duas dimensões, a equação de Kuramoto-Sivashinsky, a equação de
Ginzburg-Landau complexa e algumas equações de reação-difusão.
2.3 Conjuntos Limites e Atratores
2.3.1 Conjuntos Limites
De�nição 15 (Temam, 1997) O conjunto !-limite !(X) de um conjunto X �H é o conjunto dos pontos limites da órbita de X,
!(X) = fy : existe tn !1; un 2 X; tal que S(tn)un ! y quando n!1g:(2.11)
Lema 16 (Ladyzhenskaya, 1991) Uma descrição equivalente de conjuntos!-limites é dada por
!(X) =\t�0
[s�t
S(s)X; (2.12)
com o fecho na topologia do espaço de Hilbert H.
De certa forma, o conjunto !-limite de um conjunto X captura todas as
dinâmicas recorrentes da órbita de X. Além disso, pela proposição abaixo,
observa-se que os conjuntos !-limites das órbitas são uma classe importante de
conjuntos invariantes.
Proposição 17 (Hale, 1988) Seja X � H um conjunto não vazio. Se, para
algum t0 � 0, o conjunto [t�t0
S(t)X (2.13)
é compacto, então !(X) é não vazio, compacto e invariante.
9
Em um espaço de dimensão in�nita, a hipótese pode ser veri�cada se[S(t)X
é limitado em um espaço imerso compactamente em H. A proposição acima
fornece alguns exemplos interessantes de conjuntos invariantes.
Proposição 18 (Robinson, 2001) Se X é um conjunto limitado e X � Y ,
então !(X) � !(Y ). Além do mais, se Y é um conjunto absorvente, então
!(X) = !(Y ):
De�nição 19 (Ladyzhenskaya, 1991) Sejam A e M subconjuntos do espaço
de Hilbert H. Diz-se que A atrai M ou que M é atraído por A pelo semigrupo
fS(t)g sedist(S(t)M; A)! 0; quando t! 1:
Isto é, para cada � > 0, existe t1(�;M) 2 [0;+1), tal que
S(t)M � N(�; A); para todo t � t1(�;M):
De�ne-se N(�; A), a �-vizinhança de A, isto é, a união de todas as bolas
de raio � centradas em pontos de A. Se A atrai todos os conjuntos limita-
dos de H, então A é o atrator global para o semigrupo fS(t)g. Geralmente,um conjunto absorvente é um conjunto limitado no qual a órbita de qualquer
conjunto limitado eventualmente entra, em tempo �nito, e ali permanece. A
existência de um conjunto absorvente compacto A, tal que o conjunto !-limite de
qualquer conjunto limitado pertence a A, pode ser tomada como uma de�nição
de equações diferenciais parciais dissipativas.
2.3.2 Atrator Global
Atratores globais exercem um papel fundamental no estudo do comporta-
mento a longo prazo das soluções de equações diferenciais parciais.
De�nição 20 (Robinson, 2001) O atrator global A � H de um semigrupo
fS(t)g é o conjunto invariante compacto maximal
S(t)A = A; para todo t � 0, (2.14)
e o conjunto minimal que atrai as órbitas de todos os conjuntos limitados em
H:
dist(S(t)X; A)! 0; quando t!1; (2.15)
para qualquer conjunto limitado X � H.
10
A distância em (2.15) é a semidistância entre dois conjuntos X e Y , dada
por
dist(X;Y ) = supx2X
infy2Y
jx� yj :
Esta distância não determina uma métrica, pois dist(X;Y ) = 0 implica apenas
que X está contido no fecho de Y . Para obter uma métrica, deve-se utilizar a
distância de Hausdor¤ simétrica de�nida por
distH(X;Y ) = max(dist(X;Y );dist(Y;X)):
Nota-se que a unicidade do atrator global é facilmente veri�cada. O atrator
global é maximal, pois inclui qualquer conjunto invariante limitado. Além disso,
ele atrai as trajetórias
u(t; u0) = S(t)u0; quando t!1;
uniformemente com respeito ao valor inicial limitado u0.
A propriedade (2.5) implica que os pontos em A representam todas as
possíveis con�gurações a longo prazo do �uxo, tanto estáveis quanto instáveis.
Observa-se que o atrator global contém toda informação relativa à instabilidade
da equação (2.2) e do semigrupo associado. Esta importante característica do
atrator global é descrita pelo teorema abaixo.
Teorema 21 (Babin & Vishik, 1992) Sejam H um espaço de Hilbert e fS(t)gum semigrupo uniformemente contínuo. Suponha que fS(t)g possua um atratorglobal A. Então, para quaisquer conjuntos limitados X1 e X2 de H,
sup distH(S(t)X1 \ A; S(t)X2 \ A))! 0; quando distH(X1; X2)! 0:
2.4 Existência do Atrator Global
Estabelece-se a existência de atratores globais através do conceito de con-
juntos absorventes, que estão relacionados a propriedades dissipativas do sistema
dinâmico.
Proposição 22 (Robinson, 2001) Se B é um conjunto absorvente compacto
de um semigrupo dissipativo, então
!(B) =\t�0
S(t)B: (2.16)
Além disso, se T > 0,
!(B) =
1\n=1
S(nT )B: (2.17)
11
Sabe-se que a existência de atrator global A, para um semigrupo fS(t)g,implica na existência de um conjunto absorvente. Para qualquer conjunto
limitado X � H,
dist(S(t)X; A)! 0; quando t!1:
Logo, para todo � � 0, existe t(�) tal que se t � t(�),
dist(S(t)X; A) � �=2 e S(t)X � N(�;A):
Mostra-se, então, que N(�;A) é um conjunto absorvente. Por outro lado, um
semigrupo que possui um conjunto absorvente terá um atrator global se satis�zer
algumas propriedades básicas.
Teorema 23 (Temam, 1988) Se fS(t)g é dissipativo e B é um conjunto ab-
sorvente compacto, então existe um atrator global A = !(B). Se B é conexo,
então A também é.
A hipótese de dissipação é utilizada para garantir a aplicação da propriedade
(2.14). Como fS(t)gt�0 é um semigrupo de classe C0 em um espaço de Hilbert
H, que possui um atrator global, obtém-se um semigrupo restrito a A de�nido
por
SA(t) : A ! A; onde SA(t)u = S(t)u; u 2 A e t � 0:
O semigrupo SA(t) tem propriedades interessantes que não compartilha com
S(t) e são uma conseqüência da existência do atrator global.
Para muitas equações dissipativas, é possível mostrar a existência de um
atrator global compacto, para o qual todas as soluções tendem. A equação de
reação-difusão é um exemplo clássico tratado por Marion (1987), Temam (1988),
Babin & Vishik (1992) e Evans (1998). A existência de um atrator global para a
equação de Navier-Stokes bidimensional foi provada por Ladyzhenskaya (1975),
Foias & Temam (1979). Nicolaenko, Scheurer & Temam (1985) mostraram este
fato para a equação de Kuramoto-Sivashinsky e para a equação de Cahn-Hilliard.
Hale (1988) e Temam (1988) reuniram vários exemplos muito bem discutidos.
Teorema 24 (Hale, 1981) Se o semigrupo fS(t)g é injetivo em A, então todatrajetória em A está de�nida para todo t 2 R, e (2.14) vale para todo t 2 R.Em particular, (A ; fS(t)gt2R) é um sistema dinâmico.
Neste caso, Hale (1981) mostrou que a aplicação de tempo T , S(T ), no
atrator é um homeomor�smo para todo T 2 R. Este teorema manifesta a
importância da discussão sobre a injetividade do semigrupo fS(t)g restrito aconjuntos compactos invariantes.
12
2.5 Estrutura do Atrator
São apresentados agora alguns resultados sobre a estrutura de atratores
globais de certa classe de semigrupos. Deseja-se, então, obter sua descrição
detalhada.
Teorema 25 (Stuart & Humphries, 1996) Todas as órbitas completas lim-itadas pertencem a A. Se fS(t)g é injetivo em A, então A é a união de todas
as órbitas completas limitadas.
A seguir, lembram-se algumas de�nições. Sejam H um espaço de Hilbert
e fS(t)g um semigrupo de classe C0. Se z é um ponto �xo do semigrupo,
de�nem-se as variedades instáveis e estáveis de z.
De�nição 26 (Robinson, 2001) A variedade instável de z é o conjunto
Wu(z) = fu0 2 H : S(t)u0 de�nido para todo t; S(�t)u0 ! z quando t!1g:
De�nição 27 (Robinson, 2001) A variedade estável de z é o conjunto
W s(z) = fu0 2 H : S(t)u0 ! z quando t!1g:
Suponha-se que o semigrupo fS(t)g possui um atrator global A. Se N é o
conjunto de pontos �xos do sistema, então N � A e Wu(z) � A, para qualquerz 2 N . Estudam-se as variedades instáveis de conjuntos invariantes compactos
com o objetivo de caracterizar a estrutura do atrator global.
Teorema 28 (Temam, 1988) Se X é um conjunto invariante compacto, en-
tão
Wu(X) � A:
2.6 Dinâmica Assintótica
Considera-se uma equação de evolução dissipativa da forma
du
dt+Au+ f(u) = 0; u(0) = u0 (2.18)
em um espaço de Hilbert H separável. O operador linear A é positivo, auto-
adjunto, ilimitado com A�1 compacto. Assume-se que o termo não-linear f é
localmente Lipschitz de D(A�) em D(A�), com 0 � � � � < 1. Neste caso,
Henry (1981) a�rma que um semigrupo de operadores não-lineares fS(t)gt�0 ,contínuo em D(A�) para t � 0, resolve o problema com valores iniciais (2.18).
13
Temam (1988) mostrou a existência de um conjunto absorvente compacto
para (2.18), que implica, pelo Teorema 18, na existência de um atrator global de
dimensão �nita. Sob essas condições, o lema a seguir sobre a continuidade das
soluções em relação aos dados iniciais é um instrumento essencial deste trabalho.
Lema 29 (Langa & Robinson, 1999) Sejam u1(t) e u2(t) duas soluções de
(2.18) correspondendo, respectivamente, aos dados iniciais u1(0) e u2(0). En-
tão, existe k > 0 (dependendo em �, � e na constante de Lipschitz de f em um
conjunto absorvente B) tal que
ju1(t)� u2(t)j� � ju1(0)� u2(0)j ekt; (2.19)
para todo t � 0, com 0 = 1� (� � �).
O comportamento assintótico das soluções deve ser analisado, visto que se
quer submergir a dinâmica apenas no atrator A. Utilizando o resultado anterior,obtêm-se informações sobre a relação entre as trajetórias de (2.19) em H e no
atrator global A, para um intervalo �nito de tempo. São os chamados shadowinglemmas.
Proposição 30 (Langa & Robinson, 1999) Dados uma trajetória u(t) =
S(t)u0 de (2.18), � > 0 e T > 0, existem � = �(�; T ) > 0 e v0 2 A tal
que
ju(� + t)� S(t)v0j � �; para todo 0 � t � T:
Corolário 31 (Langa & Robinson, 1999) Dado uma solução u(t) = S(t)u0
de (2.18), existem uma seqüência de erros f�mg1m=1, �m > 0, com �m ! 0, uma
seqüência de tempos ftmg1m=1, com
tn+1 � tn !1; quando n!1;
e uma seqüência de pontos fvmg1m=1, com vm 2 A , tal que
ju(t)� S(t� tn)vnj � �n; para todo tn � t � tn+1:
Além disso, os saltos jvm+1 � S(tm+1 � tm)vmj decrescem para zero.
Veri�ca-se este corolário usando a continuidade das soluções da equação
(2.18) em relação às condições iniciais e às propriedades de atração de A. Esteresultado instrutivo mostra exatamente como a dinâmica no atrator global Apode determinar o comportamento assintótico das trajetórias em H. Justi�ca-
se, assim, a tentativa de reproduzir a dinâmica da equação diferencial parcial
concentrando-se na dinâmica do atrator.
14
3 Atratores de Dimensão Finita
3.1 Medidas de Dimensão
A complexidade do �uxo no atrator global A, produzido pelas condiçõesiniciais, depende da dimensão e da geometria de A. Existem medidas de
dimensão adequadas a conjuntos cuja estrutura seja irregular, tais como os
atratores globais. Consideram-se a dimensão fractal e a dimensão de Hausdor¤.
3.1.1 Dimensão Fractal
Sejam H um espaço de Hilbert e X � H um subconjunto compacto de H.
A dimensão fractal de um conjunto X decorre da contagem do número de bolas
fechadas de raio � �xado necessárias para cobrir X. Dado � > 0, seja n(X; �) o
número mínimo de bolas para tal cobertura.
De�nição 32 (Falconer, 1990) Se X é compacto, a dimensão fractal de X,
df (X), é dada por
df (X) = lim sup�!0
log n(X; �)
log (1=�); (3.1)
onde o limite (3.1) pode valer +1.
Segue da de�nição que, se d > df (X), então, para � su�cientemente pequeno,
n(X; �) � ��d. Observa-se que a dimensão fractal satisfaz algumas noções
intuitivas de �dimensão�:
(i) df (X) � df (Y ), se X � Y ;
(ii) df (X) = m, se X é um subconjunto aberto não-vazio de Rm.
Além disso, a dimensão fractal possui as seguintes propriedades:
Proposição 33 (Falconer, 1990)
(i) A dimensão fractal é estável sob uniões �nitas:
df
N[k=1
Xk
!� max
kdf (Xk): (3.2)
(ii) Se f : H ! H é Hölder contínua com expoente �, tal que
jf(x)� f(y)j � L jx� yj� ; com x; y 2 H; (3.3)
então df (f(X)) � df (X)=�,
15
(iii) df (X � Y ) � df (X) + df (Y ).
(iv) Se X é o fecho de X em H, então df (X) = df (X).
Corolário 34 (Falconer, 1990)
(i) Se f : H ! H é uma transformação Lipschitz, então df (f(X)) � df (X).
(ii) Se f : H ! H é uma transformação bi-Lipschitz, i.e.,
L1 jx� yj � jf(x)� f(y)j � L2 jx� yj ; com x; y 2 H;
onde 0 < L1 � L2 <1, então df (f(X)) = df (X).
3.1.2 Dimensão de Hausdor¤
Sejam H um espaço de Hilbert e X � H um subconjunto compacto de
H. Dado � > 0, consideram-se as bolas B(xi; ri) com raio ri � � centradas em
xi, tal que[i
B(xi; ri) é uma cobertura de X. Dado d 2 R+, a construção da
dimensão de Hausdor¤ se baseia em uma aproximação do volume d-dimensional
do conjunto X, utilizando coberturas[i
B(xi; ri) de X.
De�nição 35 (Falconer, 1990) O volume d-dimensional do conjunto X, �(X; d; �),é dada por
�(X; d; �) = inf
(Xi
rdi : ri � � e X �[i
B(xi; ri)
); (3.4)
onde B(xi; ri) são bolas com raio ri centradas em xi:
Observa-se que o ín�mo é tomado sobre todas as coberturas[i
B(xi; ri)
de X. Pela de�nição, �(X; d; �) é claramente uma função não-crescente de �.
Quando � decresce, a classe de coberturas[i
B(xi; ri) de X admissíveis em (3.4)
se reduz. Logo, �(X; d; �) cresce quando � ! 0.
De�nição 36 (Falconer, 1990) A medida exterior de Hausdor¤ d-dimensionaldo conjunto X, Hd(X), é de�nida por
Hd(X) = lim�!0
�(X; d; �) = sup�>0
�(X; d; �): (3.5)
16
Utilizando as de�nições acima, nota-se que Hd(X) 2 [0;+1]. É possívelprovar que Hd(X) é uma medida exterior. Sabe-se que medidas exteriores são
úteis, pois sempre existe uma �-álgebra de subconjuntos em que se comportam
como medidas. Falconer (1985) a�rma que a restrição de Hd à �-álgebra dos
conjuntos Hd-mensuráveis, que inclui os conjuntos de Borel, é chamada medida
de Hausdor¤ d-dimensional. Em particular, Hd(;) = 0; se X � Y , então Hd(X)
� Hd(Y ); e se fXig é uma coleção enumerável de conjuntos de Borel disjuntos,então
Hd
1[i=1
Xi
!=
1Xi=1
Hd(Xi):
A medida de Hausdor¤ é uma generalização natural da medida de Lebesgue.
Aplica-se esta medida a variedades para valores não inteiros de d.
Se t > s e fB(xi; ri)g é uma �-cobertura de X, entãoXi
rti � �t�sXi
rsi
e, conseqüentemente, �(X; t; �) � �t�s�(X; s; �): Portanto, seHs(X) <1, entãoHt(X) = 0, para t > s. Existe, então, o valor crítico d 2 [0;1] tal que Hs(X) =
0, para s > d e Hs(X) = +1, para s < d.
De�nição 37 (Falconer, 1990) A dimensão de Hausdor¤ de um conjunto
compacto X, dH(X), é dada por
dH(X) = infd>0fd : Hd(X) = 0g = sup
d>0fd : Hd(X) =1g:
Observa-se que se dH(X) = d, nada se pode a�rmar sobre a medida Hd(X),
que pode assumir qualquer valor.
Analisando exemplos, como o conjunto de Cantor, percebe-se que é mais
fácil obter limites inferiores para a dimensão de Hausdor¤ do que limites superi-
ores. A dimensão de Hausdor¤ satisfaz algumas noções razoáveis para qualquer
de�nição de dimensão:
(i) dH(X) � dH(Y ), se X � Y ;
(ii) dH(X) = m, se X é um subconjunto aberto não-vazio de Rm.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades úteis da dimensão de Haus-
dor¤.
Proposição 38 (Falconer, 1990)
17
(i) A dimensão de Hausdor¤ é estável sob uniões enumeráveis:
dH
1[k=1
Xk
!� sup
kdH(Xk): (3.7)
(ii) Se f : H ! H é Hölder contínua com expoente �, satisfazendo (3.3),
então dH(f(X)) � dH(X)=�.
(iii) dH(X � Y ) � df (X) + dH(Y ).
Nota-se que a propriedade (i) vale para uniões enumeráveis, em oposição
à dimensão fractal que vale apenas para uniões �nitas. Conseqüentemente,
qualquer conjunto enumerável X tem dH(X) = 0. A propriedade (iii) é mais
fraca do que a da Proposição 33, visto que involve a dimensão fractal. Observa-
se que não há uma propriedade semelhante ao item (iv) da Proposição 33.
Corolário 39 (Falconer, 1990)
(i) Se f : H ! H é uma transformação Lipschitz, então dH(f(X)) �dH(X).
(ii) Se f : H ! H é uma transformação bi-Lipschitz, i.e.,
L1 jx� yj � jf(x)� f(y)j � L2 jx� yj ; com x; y 2 H;
onde 0 < L1 < L2 <1, então dH(f(X)) = dH(X).
Este corolário mostra que a dimensão de Hausdor¤, como a fractal, é invari-
ante sob transformações bi-Lipschitz.
3.1.3 Dimensão de Hausdor¤ e Fractal
Claramente, as duas de�nições de dimensões dadas acima não são equiva-
lentes, mas a comparação entre elas é relevante.
Lema 40 (Mandelbrot, 1977) De�ne-se a medida fractal aproximada como
�f (X; d; �) = n(X; �)�d
e a medida fractal d-dimensional por
mf (X; d) = lim sup�!0
�f (X; d; �);
então
df (X) = infd>0fd : mf (X; d) = 0g:
18
Corolário 41 (Mandelbrot, 1977) A dimensão de Hausdor¤ de um conjuntoé menor ou igual à sua dimensão fractal dH(X) � df (X).
3.2 Estimativa da Dimensão do Atrator
Em um teorema fundamental, Mallet-Paret (1976) provou que se H é
um espaço de Hilbert separável, então, sob certas condições, todo conjunto
compacto A � H invariante negativamente possui dimensão topológica �nita.
Mañé (1981) generalizou este resultado para espaços de Banach e adequou-o à
dimensão fractal e de Hausdor¤.
Douady & Oesterlé (1980) majoraram a dimensão de Hausdor¤do atrator de
um sistema dinâmico suave gerado por um determinado semigrupo. Em seguida,
Constantin et al (1985) discutiram resultados abstratos sobre as dimensões
fractal e de Hausdor¤ de um atrator e desenvolveram um método de estimá-
las para certas equações dissipativas. Constantin et al (1988) obtiveram uma
melhor estimativa da dimensão fractal do atrator de equações de Navier-Stokes
em duas e três dimensões.
Nesta Seção, estima-se a dimensão fractal do atrator globalA por um métodoanalítico, obtendo, pelo Corolário 34, uma cota superior para sua dimensão
de Hausdor¤. Para isto, estuda-se a evolução de um volume n-dimensional
in�nitesimal sob o �uxo, a �m de descobrir a menor dimensão para a qual esse
n-volume se contrai.
Seja H um espaço de Hilbert, cuja norma se denota j�j. Considera-se o
seguinte problema abstrato, com valores iniciais,
du
dt= F (u(t)) , t > 0, (3.8)
u(0) = u0;
onde u0 2 H. Assume-se que esta equação tem solução única, expressa por
u(t; u0) = S(t)u0, e que a família fS(t)g de operadores de�nidos em H, para
todo t � 0, é um semigrupo de classe C0. Seja A o atrator global compacto do
sistema dinâmico (H; fS(t)gt�0).Seja f�(j)g1�j�n um conjunto ortogonal de deslocamentos perto de um ponto
inicial u0 2 A, onde n 2 N. Seja ^(n)H, n 2 N; o produto n-exterior do espaçoH, cuja norma se denota j�j^(n) . Denota-se
�(1) ^ ::: ^ �(n) 2 ^(n)H
19
o paralelepípedo gerado por esses n vetores, i.e., o conjunto de pontos f�(j)g1�j�nque satifazem �1�
(1) + :::+ �n�(n), 0 � �i � 1, para todo 1 � i � n. Analisa-se
a evolução de seu volume n-dimensional��� �(1) ^ ::: ^ �(n)���^(n)
sob o �uxo descrito por (3.8). Se e(1); :::; e(n) é uma base ortonormal no espaço
n-dimensional gerado por �(1); :::; �(n); tal que (�(1) ^ :::^ �(n)) 6= 0, então
�(i) =nXj=1
aijeij ; 1 � i � n;
e
�(1) ^ ::: ^ �(n) = det(aij)1�i; j�n
�e(1) ^ ::: ^ e(n)
�:
Logo, este volume é dado por��� �(1) ^ ::: ^ �(n)���2 = detM �
�(1), . . . , �(n)�; (3.9)
onde M é uma matriz, cujos componentes obedecem a
M�v(1); :::; v(n)
�i j=�v(i), v(j)
�:
Seja L a matriz que leva os elementos básicos e(k) no novo conjunto dos v(k).
A matriz M é, neste caso, LTL e, conseqüentemente, possui autovalores estri-
tamente positivos.
A partir do conjunto de deslocamentos in�nitesimais �x(i) sobre a trajetória
u(t), estuda-se a evolução do elemento de volume in�nitesimal �x(1) ^ :::^ �x(n)
sob o semigrupo fS(t)g. Para tal, algumas suposições técnicas são necessárias.
De�nição 42 (Robinson, 2001) O operador S(t) é diferenciável uniforme-
mente em A se, para cada u 2 A, existir um operador �(t; u), tal que, para todo
t � 0,
supu; v 2 A; 0<ju�vj��
jS(t)v � S(t)u � �(t; u)(v � u)jjv � uj ! 0; quando �! 0
e
supu2A
k�(t; u)kop <1; para cada t � 0: (3.10)
No caso de equações diferenciais parciais, a veri�cação desta condição é
trabalhosa, pois inclui algumas di�culdades técnicas. Portanto, supõe-se que
20
S(t) seja diferenciável uniformemente em A, para todo t � 0. O problema
linear, com valores iniciais,
dU
dt= F 0(S(t)u0)U(t); U(0) = �; (3.11)
onde F 0 é a derivada de Frechet de F , está bem posto para todo u0; � 2 A. Asolução desta equação linearizada de�ne �(t; u)�, para todo � 2 A. A equação(3.11) é equivalente a
dU
dt= L(t; u0)U(t); U(0) = �: (3.12)
Para u0 �xo em H, cada deslocamento �x(j) evolui segundo
d �x(j)
dt= L(t; u0)�x
(j): (3.13)
Deve-se investigar o comportamento do n-volume
Vn(t) =����x(1) ^ . . . ^ �x(n)
��� :Com esse objetivo, considera-se
d
dtlog Vn(t) =
1
2
d
dtlog V 2n =
1
2
d
dtlog [det M(t)] ;
onde
M(t) =M(�x(1)(t); :::; �x(n)(t));
utilizando (3.9). Decompõe-se a matriz M como
M =X
�jejeTj ; onde Mej = �jej com (ej ; ek) = �ij :
Quando detA 6= 0, logA é a matriz B tal que eB =1Xj=0
(Bj)j! = A. Prova-se,
então, que
log [det M ] = Tr [log M ]
e qued
dtTr [log M ] = Tr
�M�1 d M
dt
�:
Portanto, mostra-se que
d
dtlog Vn(t) =
1
2
d
dtTr [log M ] =
1
2Tr�M�1 d M
dt
�: (3.14)
21
Introduz-se o conjunto f�(j)(t)g de vetores, ortonormais e dependentes dotempo, que gera o mesmo espaço que f�x(j)(t)g, a �m de avaliar o traço da
equação (3.14). A matriz m(t) é de�nida pelos componentes de �x(j) na direção
de �(i),
mij =��(i)(t); �x(j)(t)
�;
tal que
M = mTm e M�1 = m�1(mT )�1:
O operador L da equação linerizada (3.12) se associa a esta base ao se estabelecer
aij =��(i)(t); L�(j)(t)
�: (3.15)
Em seguida, dMdt é expresso em termos de m e a pela igualdade
dMij
dt=
�d
dt�x(i); �x(j)
�+
��x(i);
d
dt�x(j)
�=�L�x(i); �x(j)
�+��x(i); L�x(j)
�;
utilizando (3.13). Se u é um elemento do espaço gerado por f�(j)g, tal que
u =nXj=1
�(j)��(j); u
�; (3.16)
então
dMij
dt=
nXk;l=1
��x(i); �(k)
� h�L�(i); �(l)
�+��(k); L�(l)
�i��(l); �x(j)
�=
nXk;l=1
mki(akl + akl)mlj ;
tal quedM
dt= mT (aT + a)m:
Aplicando este resultado na equação (3.14), juntamente com a representação
de M , obtém-se que
2d
dtlog Vn(t) = Tr
�m�1(mT )�1mT (aT + a)m
�= Tr
�m�1(aT + a)m
�= Tr(aT + a)
= 2Tr (a) ;
pois Tr�AT�= Tr(A). Seja P (n) a projeção no espaço gerado por f�(i)g de�nida
por
P (n) =nXi=1
�(i)��(i); �
�:
22
O traço de a é, então, expresso em termos desta projeção, utilizando as equações
(3.15) e (3.16). Conseqüentemente,
Tr (a) =nXi=1
��(i); L�(i)
�=
nXi;l=1
��(j); L�(i)
���(i); �(j)
�= Tr
hL P (n)
i:
Ao integrar a equação (3.14), veri�ca-se que o n-volume in�nitesimal
Vn(t) = Vn(0) exp
24 tZ0
Tr�L(s; u0) P
(n)(s)�ds
35 :Portanto, a taxa de crescimento assintótica desse volume é
limt!1
exp
241t
tZ0
Tr�L(s; u0) P
(n)(s)�ds
35 :As condições iniciais do problema são o ponto inicial u0 2 H e o n-volume
in�nitesimal inicial. A taxa de crescimento assintótica máxima deve ser tomada
sobre todas as condições iniciais possíveis. De�ne-se
T Rn(A) = supx02A
supP (n)(0)
lim supt!1
1
t
tZ0
Tr�L(s; u0) P
(n)(s)�ds:
Se a média temporal h�i é de�nida por
hf(t)i = lim supt!1
1
t
tZ0
f(s)ds;
então
T Rn(A) = supx02A
supP (n)(0)
DTr�L(s; u0) P
(n)(s)�E
:
Busca-se sempre o menor n para o qual o sinal de T Rn(A) seja negativo, poisse T Rn(A) < 0, então os n-volumes in�nitesimais decaem exponencialmente.
Teorema 43 (Hunt, 1996) Suponha que S(t) seja diferenciável uniformementeem A e que existe t0 tal que �(t; u) seja compacto, para todo t � t0. Se
T Rn(A) < 0, então df (A) � n.
23
Por �m, observa-se que o fato de o atrator ter dimensão fractal �nita não
é uma a�rmação sobre a dinâmica da equação. Esta propriedade se aplica ao
atrator visto como um subconjunto do espaço de fase.
Henry (1983), Hale et al (1984) e Hale (1988) observaram a conexão entre
o comportamento a longo prazo de sistemas dinâmicos em dimensão �nita e
equações diferenciais parciais dissipativas. Estimativas para a dimensão fractal
e de Hausdor¤ do atrator, no caso de equações de Navier-Stokes em duas
dimensões, foram obtidas por Foias & Temam (1979), Babin & Vishik (1983),
Constantin et al (1985), entre outros. Marion (1987) provou o teorema sobre a
diferenciabilidade uniforme no caso da equação de reação-difusão. Nicolaenko et
al (1985) e Foias et al (1988) estimaram a dimensão do atrator para a equação de
Kuramoto-Sivashinsky. Babin & Vishik (1992) encontraram um limite para a di-
mensão de Hausdor¤ do atrator da equação de reação-difusão e observaram que
os atratores das equações de Boussinesq e de magneto-hidrodinâmica também
possuem dimensão �nita. Temam (1997) limitou explicitamente a dimensão de
atratores de algumas equações, como as equações de reação-difusão, de Navier-
Stokes em duas dimensões, de Cahn-Hilliard e de Ginzburg-Landau.
24
4 Variedades Inerciais
Na década de oitenta, procurava-se compreender a dinâmica de dimensão
�nita observada em algumas equações diferenciais parciais dissipativas, quando
o conceito de variedade inercial foi desenvolvido por Foias et al (1985), Foias,
Sell e Temam (1988) e Constantin et al (1989).
Seja H um espaço de Hilbert. Considere a equação dissipativa da forma
du
dt+Au+ f(u) = 0; (4.1)
onde u 2H e o operador A é linear auto-adjunto positivo, com inversa compacta.
Logo, a aplicação u! Au é um isomor�smo de D(A) em H. Sob essas hipótese,
D(A�) é um espaço de Hilbert para o produto escalar
(u; v)D(A�) = (A�u;A�v) ;
onde u; v 2 D(A�) e � 2 R. Para u 2 D(A�), de�ne-se
jujD(A�) = (u; u)1=2D(A�) :
A aplicação f é Lipschitz contínua em conjuntos limitados de D(A�) em D(A�),
com 0 � � � � � 12 . Isto é, para todo u1; u2 2 X, um conjunto limitado em
D(A�), existe uma constante C1, tal que��A� (f(u1)� f(u2))�� � C1 jA� (u1 � u2)j .
Henry (1981) mostrou que a equação dissipativa (4.1) possui solução única,
de�nida para todo t > 0, e gera um semigrupo fS(t)g fortemente contínuo emD(A�). Para qualquer condição inicial u0 2 D(A�), existe uma solução
u(t; u0) = S(t)u0; para todo t > 0.
A solução u(t) é mais regular, para todo t > 0, que a condição inicial, com
u(t) 2 D(A1+�) e dudt 2 D(A�). Finalmente, observa-se que é natural medir
distâncias com respeito à norma em D(A�), assim como considerar condições
iniciais u0 2 D(A�).Se existir em D(A�) um conjunto B absorvente limitado, o termo não-linear
pode ser anulado em uma região exterior a B, cuja dinâmica é transiente. Supõe-
se que B esteja contido na bola
� = fu 2 D(A�) : jA�uj � �g
25
em D(A�). Para truncar a função f , escolhe-se um função � : R ! [0; 1] de
classe C1, que satisfaça
�(r) = 1; 0 � r < 1;�� �0(r)�� � 2; �(r) = 0; r � 2:
O novo termo R é igual a f em B, mas é nulo para jA�uj > 2� e de�nido por
R(u) = �
�jA�uj�
�f(u):
A equação modi�cadadu
dt+Au+R(u) = 0 (4.2)
possui a mesma dinâmica assintótica que (4.1), porém é linear para jA�ujgrandes. Logo,
supp(R) � �e o termo R é limitado globalmente,
supu2�
��A�R(u)�� � C0; para todo u 2 D(A�)
e Lipschitz contínuo globalmente,��A� (R(u1)�R(u2))�� � C1 jA� (u1 � u2)j ; para todo u1; u2 2 D(A�):
A equação (4.2) é dissipativa, com um conjunto absorvente compacto. Logo,
é possível compreender melhor a evolução assintótica da solução de (4.2) devido
à existência de um atrator global de dimensão �nita. No entanto, a estrutura do
atrator A pode ser complicada e sua taxa de atração pode ser arbitrariamente
lenta. Conseqüentemente, busca-se submergir o atrator global de uma equação
diferencial parcial em uma variedade suave de dimensão �nita M, que atrai
exponencialmente, a �m de trazer uma estrutura adicional para o comporta-
mento assintótico. A descrição da dinâmica na variedade M torna-se, assim,
mais relevante para o �uxo transiente.
De�nição 44 (Foias, Sell e Temam (1988)) Uma variedade inercial M é
uma variedade Lipschitz de dimensão �nita, que é positivamente invariante,
S(t)M�M; para todo t � 0;
e atrai todas as trajetórias exponencialmente, i.e., dado uma constante �, existe
t0 � 0 e uma constante C(X) > 0 tal que, para t � t0,
dist(S(t)u0; M) � C(X)e��t; para todo u0 2 X;
onde X é um conjunto limitado em D(A�) e a distância é medida em D(A�).
26
Vários métodos diferentes, tanto analíticos quanto geométricos, surgiram
para provar a existência dessas variedades.
O operador A tem inversa compacta e auto-adjunta, por conseguinte, pos-
sui uma base ortonormal de autovetores fwig1i=1, com respectivos autovalores
f�ig1i=1 ordenados de maneira não decrescente e contados com suas multiplici-
dades, tal que
Awi = �iwi; �i+1 � �i:
Escolhe-se i > 0 tal que �i+1 6= �i. As projeções ortogonais Pn, sobre o espaço
de dimensão �nita gerado pelos autovetores fwi : 1 � i � ng, são de�nidas por
Pnu =
nXi=1
(u;wi)wi;
onde (�; �) é o produto interno em H, e seus complementos ortogonais Qn por
Qn = I � Pn; Qnu =1X
i=n+1
(u;wi)wi:
Todas as variedades inerciais obtidas, nas diversas aplicações, são grá�cos de
funções sobre subespaços PnH de H de dimensão �nita. Isto é, existe uma
função Lipschitz contínua
� : PnH ! QnH \D(A�);
tal que na variedade
q = Qnu = �(p); onde p = Pnu:
A variedadeM é, então, expressa por
M = G[�] = fp+ �(p) : p 2 PnHg;
com
jA� (�(p1)� �(p2))j � l jA� (p1 � p2)j ; para todo p1; p2 2 PnH:
Como q = �(p) na variedade inercial, a equação (4.2) restrita aM se torna
uma equação diferencial ordinária
dp
dt+Ap+ PR(p+ �(p)) = 0, (4.3)
27
chamada forma inercial. Sabe-se que p 2 PnH e � é Lipschitz contínua, logo a
equação (4.3) tem solução única. As soluções de (4.3) em PnH são exatamente
aquelas projetadas do atrator A, de�nidas por
p(t) = PnS(t)[p(0) + �(p(0))]:
O atrator global de (4.3) é PnA, poisM é uma variedade inercial em H.
A dinâmica na variedade inercial é de dimensão �nita, pois qualquer tra-
jetória emM é dada por u(t) = p(t) + �(p(t)), onde p(t) é a solução da forma
inercial (4.3). Espera-se que a dinâmica em M determine toda a dinâmica
assintótica da equação diferencial parcial. Este fato se veri�ca quando M é
assintoticamente completa, i.e., qualquer trajetória u(t) de (4.2) se aproxima de
uma trajetória u(t) emM, tal que
jA� (u(t) � u(t))j ! 0 quando t!1:
A condição necessária, na maioria dos teoremas atuais, que garantem a ex-
istência de uma variedade inercial, é a existência de um intervalo su�cientemente
grande no espectro do operador A, conforme enunciado no próximo teorema.
Teorema 45 (Robinson, 1995b) Considere a equação dudt + Au+ R(u) = 0,
onde A é um operador autoadjunto positivo com inversa compacta e autovalores
�i, e uma função não-linear R, com R(u) = 0, para jA�uj > 2�, está de�nida
de D(A�) em D(A�), com 0 � �� � � 12 , e satisfaz��A�R(u)�� � C0; u 2 D(A�) e��A� (R(u1)�R(u2))�� � C1 jA� (u1 � u2)j ; para todo u1; u2 2 D(A�):
Então, se a condição
�i+1 � �i > 2C1(����i + ����i+1 )
se veri�ca, existe uma variedade inercial dada pelo grá�co de uma função Lip-
chitz contínua
� : PnH ! QnH \D(A�);
com �(p) = 0 para jA�uj > 2� e a constante de Lipschitz menor ou igual a um.Além disso, para todas as condições iniciais u0 2 X, limitado em D(A�), existe
uma trajetória u(t) em M , tal que
jA� (S(t)u0 � u(t))j � C(X)e��t;
onde � � �i+1 � 2C1����i+1 .
28
Esta condição no espectro, referida na literatura como spectral gap condition,
surgiu em Mañé (1981). A existência de uma variedade inercial prova que há
um sistema de dimensão �nita que reproduz a dinâmica assintótica. Este fato
foi veri�cado para a equação de Kuramoto-Sivashinsky por Temam (1988), Fois,
Nicolaenko, Sell e Temam (1988) e Robinson (1994). Temam (1988) mostrou
a existência de uma variedade inercial para a equação de Ginzburg-Landau e
de reação-difusão, em um dimensão espacial. Para alguns domínios especiais,
Mallet-Paret & Sell (1988) provaram que existe esta variedade para a equação
de reação-difusão, em duas e três dimensões. Usando um método geométrico
bastante �exível, Constantin et al (1989) constroem variedades inerciais para
uma classe de sistemas dissipativos, que inclui a equação de Cahn-Hilliard, a
equação de reação-difusão em uma e duas dimensões e a equação de Kuramoto-
Sivashinky uni-dimensional. Os exemplos apresentados por Eden et al (1994)
sugerem que a teoria de atratores exponenciais se aplica a várias equações.
Entretanto, a abordagem usando variedade inercial apresenta alguns proble-
mas. A existência dessas variedades presupõe uma condição su�ciente bastante
restritiva. Apesar dos exemplos acima, há diversos casos em que ainda não
é possível mostrar a existência de variedades inerciais. A equação de Navier-
Stokes em duas dimensões, por exemplo, possui um atrator global de dimensão
�nita, mas não há indícios da existência de uma variedade inercial. Além disso,
para certas equações, como a equação de Kuramoto-Sivashinsky, a dimensão do
sistema (4.3), a forma inercial, é muito maior que a dimensão do atrator.
Por conseguinte, a criação de um sistema de equações diferenciais ordinárias,
baseado diretamente no atrator global, convém mesmo para sistemas dinâmicos
com variedade inercial. A técnica, apresentada na Seção 5, se concentra no
estudo da dinâmica no atrator global, submergindo-a em um sistema discreto
de dimensão �nita, na Seção 7.
29
5 Submersão do Atrator em Rd
5.1 Parametrização do Atrator
Diversas equações dissipativas possuem atratores globais que, apesar de
pertencerem a um espaço de Hilbert de dimensão in�nita, são de dimensão
fractal �nita. Esta a�rmativa não trata da dinâmica da equação, mas apenas
das propriedades do atrator como um subconjunto do espaço de fase. Deseja-se
construir um sistema de dimensão �nita que reproduza a dinâmica no atrator
global. Para isto, deve-se submergir o atrator global em um espaço de dimensão
�nita apropriado.
Denota-se dimX a dimensão topológica do conjunto X.
Teorema 46 (Hurewicz & Wallman,1941) Suponha que X seja um espaço
arbitrário e dimX � n, com n inteiro e �nito. Então, X é homeomorfo a um
subconjunto de R2n+1. Além disso, o conjunto de homeomor�smos de X em
R2n+1 contém um conjunto denso G� no conjunto de todas as transformações
contínuas de X em R2n+1.
Entretanto, desconhecem-se a forma dessa submersão e as propriedades de
sua inversa. Hurewicz & Wallman (1941) também provaram que se X é um
espaço métrico arbitrário com dimensão de Hausdor¤ dH(X), então dimX �dH(X). Logo, qualquer conjunto com dimensão de Hausdor¤ �nita pode ser
submerso em R[2dH(X)+1] por uma transformação contínua ', onde [k] denotao menor inteiro maior ou igual a k.
Eden et al (1994) e Kan, em Sauer et al (1991) mostraram que, apesar da
dimensão de Hausdor¤possuir propriedades interessantes, existem subconjuntos
de um espaço de Hilbert de dimensão in�nita, com dimensão de Hausdor¤�nita,
que não podem ser submersos por projeções ortogonais em RN , para qualquerN .
Mañé (1981) demonstrou a existência de um conjunto denso de projeções
injetivas de um conjunto compacto de dimensão fractal d em um subconjunto de
dimensão [2dH(X)+1]. Para compreender o quanto projeções, mesmo injetivas,
podem distorcer um conjunto compacto X, observa-se a regularidade da inversa
de tais projeções. A dimensão da imagem do atrator será menor que a do
atrator, muito mais porque a inversa da projeção P�1 deixou de ser Lipschitz
contínua do que porque a projeção P não é injetiva.
Eden et al (1994) contribuiram fornecendo uma prova construtiva para um
espaço de Hilbert separável, com inversa P�1 Hölder contínua, se X � Rk.
30
Ben-Artzi et al (1993) encontraram limites para o expoente Hölder de P�1, se
X � Rk.Sauer et al (1991) introduziram a idéia de prevalência, quando X � Rk, para
mostrar que existe um conjunto denso, no sentido de prevalência, de aplicações
de classe C1 injetivas em A . Sejam Q um subconjunto do espaço de todas as
aplicações lineares limitadas de H em Rk e � uma medida de probabilidade comsuporte compacto. Um conjunto � de aplicações lineares limitadas é prevalente
se, para qualquer aplicação linear limitada L0,
L0 + L 2 �; para �-quase todo L 2 Q:
Logo, um subconjunto prevalente de um espaço vetorial de dimensão �nita é
simplesmente um conjunto cujo complemento tem medida zero. Observa-se
apenas que qualquer conjunto prevalente é denso e que a interseção enumerável
de conjuntos prevalentes é prevalente. Hunt et al (1992) a�rmam que há boas
razões para considerar prevalência a noção apropriada para "quase sempre"em
espaços de dimensão in�nita.
Se H é um espaço de Hilbert de dimensão in�nita e X � H tem dimensão
fractal �nita, Foias & Olson (1996) provaram que existe uma projeção restrita
a X, cuja inversa é Hölder contínua. Historicamente, as projeções ortogonais se
apresentaram mais convenientes e foram o foco de pesquisa em todos os artigos
acima citados, exceto em Sauer et al (1991).
Teorema 47 (Mañé, 1981; Foias & Olson, 1996) Sejam H um espaço de
Hilbert, A um subconjunto compacto de H com df (A) �nita e P0 uma projeçãode posto [2dH(X)+1]. Então, para cada � > 0, existem uma projeção ortogonal
P = P (�) (também de posto [2dH(X) + 1]) e � = �(�) tal que P é injetiva em
A,kP � P0kop � �
e ��P�1x� P�1y�� � C jx� yj� ; para todo x; y 2 PA:
No teorema abaixo, a aplicação linear L retira o atrator global A, de dimen-são �nita, do espaço H de dimensão in�nita e o submerge em um espaço Euclid-
eano Rk, de dimensão su�cientemente grande. A inversa de L, L�1, fornece umaparametrização do atrator utilizando um conjunto �nito de coordenadas.
Teorema 48 (Robinson, 2001) Seja X um subconjunto compacto de H, com
df (X) < d, d um inteiro, e seja k � 2d+1. Então, se L0 é uma aplicação linear
31
limitada em Rk, para qualquer � > 0, existe uma outra aplicação linear limitadaem Rk, L = L(�), tal que L é injetiva em X e
kL� L0kop � �:
Prova. SejaY = fv � w : v; w 2 Xg:
Como Y é a imagem de X � X sob a aplicação Lipschitz contínua (v; w) 7�!v � w, segue da Proposição 33 que df (Y ) � 2df (X) < 2d. De�ne-se
Ar =
�v � w : v; w 2 X; com jv � wj � 1
r
�e
Ar;j;n =
�u 2 Ar : j(ej ; u)j �
1
n
�:
Observa-se que Ar;j;n é compacto. Como 0 =2 Ar,
Ar =1[j=1
1[n=1
Ar;j;n:
Denota-se
Lr;j;n = fL 2 L(H;Rk) : L�1(0) \Ar;j;n = ;g:
Primeiramente, observa-se que
1\j=1
1\n=1
Lr;j;n
consiste das aplicações lineares para as quais L�1(0) \Ar = ;, isto é,
diam(L�1(x) \X) < 1
r; para todo x 2 Rk:
Então,1\r=1
1\j=1
1\n=1
Lr;j;n (5.1)
é conjunto de aplicações lineares injetivas em X.
Caso Lr;j;n seja aberto e denso em L(H;Rk); pode se aplicar o teorema deBaire. Para provar que Lr;j;n é aberto, mostra-se que se L 2 Lr;j;n, então existeum �, tal que
~L� L � � implica que ~L 2 Lr;j;n. Este fato é equivalente amostrar que, se Lx 6= 0 para todo x 2 Ar;j;n, então ~Lx 6= 0 também. Como
Ar;j;n é compacto, segue que
minx2Ar;j;n
jLxj = � > 0 e maxx2Ar;j;n
jxj � R;
32
para algum 0 < � � R. Escreve-se que���~Lx��� =���Lx� (L� ~L)x���
� jLxj ����(L� ~L)x���
� � � L� ~L
opR:
Logo, escolhe-se � < �2R para que
���~Lx��� 6= 0, como necessário.Para mostrar que Lr;j;n é denso, utiliza-se a dimensão de Hausdor¤. Escolhe-
se L0 2 L(H;Rk) e algum � > 0. Seja � a aplicação de Rk na esfera unitáriaS(0; 1) de�nida por
�(x) =
(xjxj ; x 6= 0;p; x = 0;
onde p é um ponto em S(0; 1). A aplicação � é Lipschitz contínua em Op � fx :jxj � �g para qualquer � > 0. Para qualquer conjunto W , escreve-se que
�(W ) =
( 1[k=1
��W \ O 1
k
�)[p:
A união com p é feita se 0 2 W . Como dH(p) = 0, pela propriedade de
aditividade enumerável da dimensão de Hausdor¤,
dH (�(W )) � supkdH
���W \ O 1
k
��:
Como � é Lipschitz contínua em O1=k,
dH (�(W )) � dH (W ) :
Em particular,
dH (�(L0Ar)) � dH (L0Ar) � dH (Ar) � df (Ar) < 2d:
Como a dimensão de S(0; 1) é k�1 = 2d, existe z 2 S(0; 1) tal que z =2 �(L0Ar).Seja
L = L0 + �ze�j ;
onde e�j é o funcional linear que leva u 7�! (u; ej). Claramente, L 2 L(H;Rk) e
kL� L0k � �:
Falta mostrar que L 2 Lr;j;n. Se este fato não é válido, existe u 2 Ar;j;n com
Lu = 0, i.e.
L0u = � (ej ; u) �z:
33
Como u 2 Ar;j;n implica que j(ej ; u)j � 1r > 0, z é expresso em termos de u:
z = � ((ej ; u) �)�1 L0u:
Usando a de�nição de �, obtém-se
z = �(z) = �(L0u) 2 �(L0Ar);
o que é uma contradição. Conseqüentemente, Lr;j;n é denso.Para cada r; j e n, se mostrou que Lr;j;n é aberto e denso em L(H;Rk).
Segue do teorema de Baire que sua interseção enumerável (5.1) é aberta e densa
em L(H;Rk) também. O resultado é, então, obtido, pois essa interseção consistedas aplicações lineares em X.
A inversa de L�1 é contínua quando restrita a LX; pois X é compacto e L é
injetiva. Então, parametriza-se continuamente um conjunto de dimensão �nita
por um número �nito de coordenadas. No entanto, desconhecem-se algumas
propriedades essenciais dessa representação do atrator, como a linearidade e a
injetividade.
Corolário 49 (Robinson, 2001) Seja X um subconjunto compacto de H, com
df (X) < d, d um inteiro, e seja k � 2d+ 1. Então, existe uma parametrizaçãocontínua de X usando k coordenadas.
Hunt e Kaloshin (1999) introduziram uma noção relacionada à dimensão
fractal: a espessura � de um conjunto é essencialmente a medida de quão bem
um conjunto pode ser aproximado por subespaços lineares de dimensão �nita.
De�nição 50 (Hunt & Kaloshin, 1999) Seja X um conjunto compacto con-
tido em H. Seja d(X; �) a dimensão mínima de qualquer subespaço de dimensão
�nita V � H, tal que todo ponto de X está a � de V ; se tal V não existe, então
d(X; �) =1. A espessura �(X) é de�nida por
�(X) = lim sup�!0
log d(X; �)
log (1=�):
Lema 51 (Hunt & Kaloshin, 1999) Seja X � H um conjunto compacto
com dimensão fractal df (X) e espessura �(X). Então, �(X) � df (X).
Assim como qualquer subconjunto de um espaço de dimensão �nita tem
� = 0, Friz & Robinson (1999) observaram que df (X) pode ser arbritrariamente
grande enquanto � = 0.
34
Finalmente, Hunt e Kaloshin (1999) provaram um teorema poderoso, ex-
presso em termos de prevalência, que evidencia a importância da dimensão
fractal �nita.
Teorema 52 (Hunt & Kaloshin, 1999) Seja X � H um conjunto compacto
com dimensão fractal df (X) e espessura � . Seja k > 2df (X) um inteiro e seja
� um número real com
0 < � <k � 2df (X)k(1 + �(X)
2 ): (5.2)
Então, para quase toda (no sentido de prevalência) aplicação linear limitada L
de H em Rk, existe C > 0,
ju� vj � C jLu� Lvj� ; para todo u; v 2 X: (5.3)
Em particular, quase toda L é injetiva em X e L�1, restrita a L(X), é Hölder
contínua com expoente �.
Este resultado mostra que aplicações lineares, cuja inversa satisfaz��L�1x� L�1y�� � C jx� yj� ; para todo x; y 2 LX;
forma um conjunto denso em L(H;Rk) para qualquer � no intervalo (5.2). Istoé, grande parte das aplicações lineares proporcionam um parametrização k-
dimensional do atrator de dimensão fractal �nita. Observa-se, no entanto,
que estas parametrizações são abstratas, pois não têm conexão alguma com
o domínio físico.
Friz & Robinson (1999) aplicaram a idéia de decomposição de Hunt &
Kaloshin (1997) para o caso de dimensão in�nita.
Corolário 53 (Friz & Robinson, 1999) Seja X um conjunto compacto con-
tido no espaço de Hilbert H com dimensão fractal df (X) e espessura � . Se
k > 2df (X) e � satisfaz
0 < � <k � 2df (X)k(1 + �
2 );
então dada qualquer projeção ortogonal P0 de posto k, e � > 0, existe uma
projeção ortogonal injetiva P, tal que
ju� vj � C jPu� Pvj� ; para todo u; v 2 X;
para algum C que depende de P e �, satisfazendo kP � P0k � �:
35
Apesar de todas as projeções serem Lipschitz contínuas, a continuidade da
inversa dessa projeção é uma questão delicada. O expoente Hölder de P�1
depende de k e de �(A), o expoente de espessura de A. Friz & Robinson
(1999) obtiveram um limite, para a constante de Hölder da inversa da projeção,
que depende da suavidade das soluções no atrator. Um atrator é suave se for
uniformente limitado em Hs, para todo s.
Corolário 54 (Friz & Robinson, 1999) Se o atrator global for suave, então� = 0. Neste caso, a constante Hölder de P�1 em (8.1) simpli�ca, tal que
para submersões em Rk consegue-se qualquer constante Hölder � satisfazendo� < 1� 2df (A)
k .
Obtêm-se, portanto, submersões interessantes quando o atrator consiste de
funções suaves. Há, portanto, um progresso signi�cativo na tentativa de repro-
duzir a dinâmica no atrator em um espaço de dimensão �nita.
5.2 Teorema de Extensão
Considera-se o problema de determinar condições sob as quais uma função
Lipschitz-Hölder contínua de um subconjunto de Rm em Rk pode ser estendidapara uma função de Rm em Rk, com a mesma propriedade, preservando a
constante de Lipschitz-Hölder. Seja X um subconjunto compacto Rm. Se
existir um operador que estende funções de�nidas em X para funções de�nidas
em Rm, deseja-se expressar suas propriedades de continuidade em termos de
espaços de função. Os espaços de função mais apropriados para tal são aqueles
envolvendo o módulo de continuidade, em particular os espaços Lipschitz.
Um módulo de continuidade !(r) é uma função positivamente crescente de
r, onde 0 < r <1. A função ! é regular, i.e., !(r)=r é crescente quando r tendea zero e !(2r) � c!(r), onde c é uma constante. O teorema a seguir garante
que uma função contínua de�nida em um subespaço de Rm tem uma extensão
contínua para todo Rm, com essencialmente o mesmo módulo de continuidade.
Teorema 55 (Stein, 1970) Seja X um subconjunto compacto de Rm, e sejaf uma função contínua de X em Rk tal que
jf(x)� f(y)j � ! (jx� yj) ; (5.4)
onde j:j é a norma euclidiana e ! é convexo:
!(r + s) � !(r) + !(s): (5.5)
36
Então, f tem uma extensão contínua F : Rm ! Rk que satisfaz
jF (x)� F (y)j �pk! (jx� yj) : (5.6)
Prova. Seja!(r) = sup
fx;y2X:jx�yj�rgjf(x)� f(y)j :
Veri�ca-se que ! está bem de�nido para uma função contínua em um conjunto
compacto. A propriedade de convexidade necessária é satisfeita. Segue de (5.4)
que
jfj(x)� fj(y)j � ! (jx� yj) ; (5.7)
para cada componente de f . Estende-se cada componente preservando essa
propriedade. Então, os combinando, obtém-se a extensão de f . Determina-se
Fj(y) = supx2X
[fj(x)� ! (jx� yj)] :
Primeiro, nota-se que, se x; y 2 X, então
Fj(x)� Fj(y) + ! (jx� yj) � jfj(x)� fj(y)j � ! (jx� yj) � 0;
e logo Fj(y) = fj(y). Para mostrar (5.6), usa-se (5.5),
Fj(y)� Fj(z) = supx2X
[fj(x)� ! (jx� yj)]� supw2X
[fj(w)� ! (jw � zj)]
� supx2X
[fj(x)� ! (jx� yj)]� fj(x) + ! (jx� zj)
� supx2X
[! (jx� zj)� ! (jx� zj)]
� ! (jz � yj) :
Portanto, (5.7) vale para cada Fj . Combinando essas desigualdades, se obtém
(5.6) para F .
5.3 Submersão da Dinâmica sem Unicidade
Um conjunto �nito de equações diferenciais ordinárias, com dimensão com-
parável à do atrator global, reproduz a dinâmica no atrator global. No entanto,
essas equações diferenciais ordinárias não têm solução única e, conseqüente-
mente, não geram um sistema dinâmico nem possuem um atrator correspon-
dente.
37
Teorema 56 (Robinson, 2001) Seja S(t) um semigrupo gerado pela equação
diferencial parcialdu
dt= F (u); (5.8)
onde F (u) é (Hölder) contínua de A em H (com expoente Hölder �). Suponha
que S(t) tem um atrator global A, com df (A) < d. Então, para qualquer k �2d+ 1, existem um sistema de equações diferenciais ordinárias em Rk,
dx
dt= f(x); (5.9)
onde f : Rk ! Rk é (Hölder) contínua, e uma aplicação linear limitada
L : H ! Rk;
que é injetiva em A, tal que para cada solução u(t) de (5.8) com u(t) 2 A,existe uma solução x(t) de (5.9), tal que
u(t) = L�1[x(t)]: (5.10)
Prova. O Teorema 48 de parametrização do atrator garante que existe
uma aplicação linear limitada L de H em Rk, que seja injetiva em A e possua
inversa contínua em LA. Considera-se a equação diferencial ordinária para x 2LA obtida da equação em A,
_x = LF (L�1x); x 2 LA:
A função ~f : L A ! Rk de�nida por ~f(x) = LF (L�1x) é contínua. Se F é
Hölder contínua, então ~f também o é. Utiliza-se (5.3),��� ~f(x)� ~f(y)��� =
��LF (L�1x)� LF (L�1y)�� (5.11)
� kLkop��F (L�1x)� F (L�1y)��
� K kLkop��L�1x� L�1y���
� CK kLkop jx� yj�� .
O Teorema 53 é usado para estender ~f para uma função f : Rk ! Rk que éHölder contínua e limitada. Logo, é obtido um sistema de equações diferenciais
ordinárias
_x = f(x); x 2 Rk; (5.12)
onde f é uma função Hölder contínua. As soluções desse sistema existem para
todo tempo, pois f(x) é limitado globalmente.
38
Entretanto, as soluções de (5.12) podem não ser únicas, visto que f é apenas
Hölder contínua e não Lipschitz. No entanto, pela construção, uma das soluções
de (5.9) passando por x0 = Luo, com u0 2 A, é x(t) = Lu(t). Este fato garante
(5.10).
Como freqüentemente F (u) contém um termo Au, não limitado em H, não
é razoável esperar que F seja contínua de H em H. Observa-se que LA é
"fracamente invariante", no sentido de que, para qualquer condição inicial x0 2LA, não é garantido que x(t) permaneça em LA, mas pelo menos uma soluçãox(t; x0) permanece em LA. Portanto, trabalha-se obrigatoriamente com o �uxo
em LA, cujo campo vetorial não é Lipschitz contínuo. Tenta-se estender ~f paraum campo vetorial em RD de tal forma que as soluções sejam únicas, logo as
propriedades ruins de ~f em LA são um problema constante.
Uma elaborada construção permite projetar a equação de evolução (5.8) em
X em um sistema de equações diferenciais ordinárias em um espaço euclideano.
A �m de analisar a dinâmica induzida em LA, deseja-se substituir o operadornão-linear F (u) por outro operador não-linear de�nido em LA. Eden et al
(1994) obtêm um sistema diferencial
_x = F(x) = ��(x� �(x)) + ~f(�(x)); (5.13)
para o qual X = LA é o atrator exponencial, com taxa de atração �, e no qual
as dinâmicas estão de acordo com aquelas projetadas de A. A função ~f : X!Rk é de�nida por ~f(y) = LF (L�1y). A função � leva qualquer ponto x 2 Rk
em um dos pontos y 2 X tal que
jx� yj = dist(x;X):
Observa-se que os pontos de continuidade de � formam um subconjunto de Rk
que consiste de todos os pontos cuja distância a X seja alcançada por um único
y em Rk: Conclui-se que o primeiro termo de (5.13) obriga X a ser atrator
e o segundo termo reproduz a dinâmica em A. No entanto, a função F não
necessita ser contínua, logo (5.13) não gera um sistema dinâmico no sentido
clássico. Portanto, as soluções do sistema de equações diferenciais ordinárias
(5.13) são obtidas resolvendo a equação integral correspondente:
x(t) = x0 +
Z t
0
F(x(s))ds:
As soluções são apenas Lipschitz contínuas e satisfazem as equações diferenciais
ordinárias para quase todo tempo. É possível provar que as soluções existem
39
globalmente no tempo e que são atraídas exponencialmente para X. Logo,
a informação sobre a equação diferencial em Rk não garante a unicidade dassoluções diferenciáveis, nem em X. Nota-se, �nalmente, que a situação não é
ideal, pois a falta de unicidade propicia todo tipo de patologia.
40
6 Propriedades Topológicas do Atrator Global
A construção de um sistema suave de equações diferenciais ordinárias, que
possua um conjunto arbitário como atrator, apresenta problemas topológicos.
Um conjunto homeomorfo à n-esfera, por exemplo, não pode ser o atrator de um
�uxo suave. Nesta Seção, caracteriza-se os atratores globais topologicamente.
De�nição 57 (Garay, 1991) Um subconjunto A de H se assemelha a um
ponto se H n A é homeomorfo a H n f0g.
Teorema 58 (Klee, 1956) Suponha que H seja um espaço de Hilbert de di-
mensão in�nita e A é um subconjunto compacto de H. Então, existe um
homeomor�smo de H n A em H.
Com efeito, Klee (1956) provou que, para espaços de Hilbert H de dimensão
in�nita, H n f0g é homemorfo a H e que qualquer conjunto compacto A se
assemelha a um ponto.
De�nição 59 (Mc Coy, 1973) Um subconjunto A de H é negligenciável, se
H n A é homeomorfo a H.
Logo, em dimensão in�nita, a propriedade de se assemelhar a um ponto em
H é equivalente à propriedade de ser negligenciável em H.
Observa-se que o resultado de Klee (1956) é valido mesmo se A não for
conexo. Se A é um atrator global, ele é conexo pela teoria clássica já discutida.
Além disso, Mc Coy (1973) provou que qualquer conjunto que se assemelha a
um ponto é conexo.
O próximo teorema prova que, em sistemas de equações diferenciais or-
dinárias de dimensão �nita, o atrator global X se assemelha a um ponto, isto é,
existe um homeomor�smo de RN nX em RN n f0g.
Teorema 60 (Bhatia & Szegö, 1967) Seja X � RN um atrator de um sis-
tema dinâmico em RN . Então, X é conexo e se assemelha a um ponto, isto é,
existe um homeomor�smo de RN nX em RN n f0g.
A caracterização do atrator global é mais delicada em um espaço de Hilbert
de dimensão de in�nita. Várias noções topológicas são utilizadas para encontrar
um resultado semelhante ao teorema de Bhatia e Szegö (1967) para sistemas
com dimensão in�nita. Algumas técnicas da teoria da forma, shape theory, são
empregadas. Destaca-se, portanto, algumas relações entre a teoria da forma e a
41
estrutura dos atratores, sugerindo uma interessante relação entre esta teoria e
sistemas dinâmicos.
Borsuk (1968) introduziu a teoria da forma quando buscava compreender os
espaços métricos compactos de dimensão �nita, i.e., os compacta, e classi�car
algumas propriedades da homotopia global de compacta arbitrários. Borsuk
(1970) relaciona a noção de forma de um compactum com outras propriedades
topológicas.
Chapman (1972a) descreveu a noção de forma de um conjunto como equiva-
lente ao estudo do complemento do conjunto. Se Q é o cubo de Hilbert [0; 1]1 e
! é o seu pseudo-interior (0; 1)1, dois espaços métricos compactos de dimensão
�nita X e Y têm a mesma forma, Sh(X) =Sh(Y ) se, e somente se, existir um
homeomor�smo de Q n bX em Q n bY , onde bX e bY são imagens homeomorfas de
X e Y em !. Conseqüentemente, espaços com formas equivalentes apresentam
semelhanças topológicas globais. Chapman (1972b) caracterizou a forma de
espaços métricos compactos de dimensão �nita em termos de submersões no
espaço euclideano RN .A teoria da forma complementa a topologia algébrica para espaços métricos
compactos. Utilizam-se algumas técnicas da teoria da forma para obter resul-
tados interessantes em sistemas dinâmicos. O seu objetivo é o mesmo da teoria
de homotopia, o estudo de propriedades topológicas globais dos espaços. No
entanto, a teoria de homotopia não é apropriada para o estudo de atratores,
pois estes podem ter um comportamento topológico local complicado.
Hastings (1978) foi o primeiro a notar as vantagens de utilizar a teoria da
forma para estudar sistemas dinâmicos. Esta teoria suaviza patologias locais
enquanto preserva propriedades de submersão globais. Hastings (1979) desen-
volveu um teorema análogo ao de Poincaré-Bendixson no espaço euclideano n-
dimensional, usando a teoria da forma. O potencial desta teoria foi aproveitado
por Garay (1991), que caracterizou as formas dos espaços métricos compactos
em termos de submersões no espaço euclideano n-dimensional.
Teorema 61 (Garay, 1991) Em dimensão in�nita,
(i) Um atrator global tem a forma de um ponto.
(ii) Qualquer conjunto com a forma de um ponto é o atrator global de algum
sistema dinâmico de dimensão in�nita.
Günther & Segal (1993) mostraram que qualquer conjunto que se assemelha a
um ponto é atrator de algum sistema dinâmico em RN , mas não necessariamente
42
de um sistema de equações diferenciais ordinárias. À primeira vista, imaginar-
se-ía que todo atrator global A seria um retraimento.
De�nição 62 (Dold, 1972) Seja A � H. Então, A é um retraimento de H
se existir uma função contínua r : H ! A, tal que r (a) = a, para cada a 2 A.Qualquer função r com esta propriedade é chamada de uma retração de H em
A.
No entanto, existem atratores globais que não são retraimentos do espaço
de fase. Günther & Segal (1993) ressaltaram que existem espaços métricos
compactos A de forma trivial, tal que qualquer componente do caminho de Aconsiste de um só ponto. Um exemplo é o pseudoarco, estudado por Moïse
(1948). Hocking & Young (1961) descreveram bem este célebre continum in-
decomponível. Tal espaço métrico compacto pode ser um atrator global, mas
todo �uxo em A é necessariamente estacionário. Finalmente, observa-se que o
pseudoarco não é um retraimento de H.
O estudo de sistemas (semi)dinâmicos com conjuntos compactos, não-vazios,
invariantes e globalmente assintoticamente estáveis é um dos principais assuntos
de dinâmicas topológicas em dimensão in�nita. Neste Seção, desenvolve-se uma
caracterização topológica dos atratores globais para sistemas semidinâmicos em
espaços de Hilbert.
Seja H um espaço de Hilbert. Denotam-se B(0; r) e @B(0; r) a bola fechada
e a esfera de raio r centrada na origem.
De�nição 63 (Mc Coy, 1973) Um subconjunto fechado C de um espaço de
Hilbert H é chamado de célula se existir um homeomor�smo de B(0; 1) em C,
tal que @B(0; 1) seja levado em @C.
Teorema 64 (Mc Coy, 1973) Seja C uma célula em H, e seja f um home-
omor�smo de B(0; 1) em C, tal que @B(0; 1) é levado em @C. Então, existe um
homeomor�smo h de H nele mesmo, tal que
h jB(0;1=2)= f jB(0;1=2) :
De�nição 65 (Mc Coy, 1973) Um subconjunto A de H é chamado celular se
existe uma seqüência celular para A, i.e., uma seqüência decrescente fCng1n=1de células em H tal que
1[n=1
Cn = A
e Cn+1 � int(Cn), para cada n 2 N.
43
Em espaços de dimensão �nita, Brown (1960) mostrou que conjuntos celu-
lares são equivalentes a conjuntos conexos, que se assemelham a pontos. No
entanto, este fato não ocorre em dimensão in�nita.
Teorema 66 (Mc Coy, 1973) Se H é um espaço de Hilbert de dimensão in-
�nita, então um subconjunto A de H é celular se e somente se A é fechado e se
assemelha a um ponto em H.
De�nição 67 (Mc Coy, 1973) Um subconjunto A de H é chamado forte-
mente celular se existe uma seqüência celular fCng1n=1, com a propriedade
adicional de, para cada conjunto aberto U em H contendo A, existe um inteiro
n tal que Cn � U .
A celularidade é equivalente à celularidade forte, em espaços de dimensão
�nita. Entretanto, essas propriedades não são, em geral, equivalentes. De fato,
subconjuntos fortemente celular são compactos e conexos.
Teorema 68 (Mc Coy, 1973) Todo conjunto fortemente celular em H é um
compactum que se assemelha a um ponto, no sentido de Borsuk (1970).
Por outro lado, sabe-se que subconjuntos compactos do espaço de Hilbert H
de dimensão in�nita se assemelham a um ponto e são conexos.
A estrutura topológica do atrator global pode, em alguns casos, ser deduzida
da construção feita na Seção 2. Em (2.17), obtém-se que
A =1\n=1
S(nT )B;
para qualquer conjunto absorvente B e qualquer T > 0. Como A é limitado,
B(0; R) é um conjunto absorvente para algum R. Se T é o tempo necessário
para B(0; R) absorver B(0; 2R), então
A =1\n=1
Cn; (6.1)
com Cn = S(nT )B(0; R) uma seqüência de conjuntos satisfazendo
Cn+1 � int(Cn): (6.2)
Para cada � > 0, existe um n0 tal que
C0 � N(A; �): (6.3)
44
Se, além disso, o �uxo tem a propriedade de injetividade, então para cada n,
existe um homeomor�smo hn que leva
(Cn; @Cn) em (B(0; 1); @B(0; 1)): (6.4)
Como A satisfaz (6.1)�(6.4), A é fortemente celular. Alguns resultados da
topologia em dimensão in�nita são, então, utilizados.
Em dimensão in�nita, atratores globais de semi�uxos são fortemente celu-
lares, mesmo se a propriedade de injetividade não se veri�car. As propriedades
da submersão de A no espaço euclideano de dimensão �nita são essenciais, se
A tem dimensão �nita. Prova-se, então, que a propriedade topológica de ser
fortemente celular é invariante sob submersões lineares em espaços de dimensão
�nita.
Teorema 69 (Robinson, 2001) Suponha que A é fortemente celular e que
L : H ! Rké linear e injetiva de A na sua imagem X = LA . Então, X é um
subconjunto fortemente celular de Rk. Em particular, existe um homeomor�smoh : Rk n f0g ! Rk nX tal que, para cada n 2 N, h leva
Rk n B(0; 2�n) em Rk n Cn (6.5)
e @B(0; 2�n) em @Cn:
Este teorema prova que a celularidade forte caracteriza completamente a
topologia dos atratores globais de semi�uxos em espaços de dimensão in�nita
e de �uxos em espaços de dimensão �nita. Conseqüentemente, demonstra-se
a existência de um sistema dinâmico cujo atrator é um conjunto fortemente
celular.
Teorema 70 (Garay, 1991) Se X � Rk é fortemente celular, então existeum sistema dinâmico '(t;x) em Rk para o qual X é um atrator consistindo
inteiramente de pontos �xos.
Prova. Por hipótese, X é fortemente celular em Rk, logo existe um homeomor-
�smo como em (6.5). De�ne-se an = 2�n, n 2 N e S = @B(0; 1).
O homeomor�smo h é uniformemente contínuo no conjunto fechado [an+3; an]�S. Logo, para todo n 2 N, existe bn tal que
jh(�s)� h(�s)j � an (6.6)
quando �, � 2 [an+3; an], j�� �j < bn e s 2 S. Sem perda de generalidade,
assume-se que bn+1 � bn e que bn � an.
45
De�ne-se T0 = 0 e
Tn =nXj=1
1
bj�1:
Como fbng é decrescente, tem-se que Tn ! 1 quando n ! 1. De�ne-se umafunção escalar m : R! (0; 1] por
m(t) =
(1� t; t � 0;
an�1� 1
2 (t� Tn) bn�; Tn < t � Tn+1:
Observa-se que m(0) = 1 e m(Tn) = an. Obtém-se que m(t) converge para 0,
quando t!1, de tal forma que diminui o su�ciente para compensar as grandesmudanças em h(s), quando s! 0.
Utiliza-se m(t) para de�nir um sistema dinâmico �(t;x) em Rk n f0g,
�(t;x) = m(t+ s)x quando y = m(s)x; para algum x 2 S:
Usando �, de�ne-se o sistema dinâmico '(t;x) em Rk por
'(t;x) =
(h � �
�t;h�1 (x)
�; x 2 Rk nX
x; x 2 X:
A função ' é contínua longe de X. Como � é um sistema dinâmico, ' satisfaz
a propriedade de unicidade.
'(t;'(s;x)) = h � ��t;h�1
�h � �
�s;h�1 (x)
���= h � �
�t;��s;h�1 (x)
��= h � �
�t+ s;h�1 (x)
�= '(t+ s;x).
Falta mostrar que '(t;x) é contínua para todo (t; z) com z 2 X. Assume-seque x 2 Cn+1 n Cn+2. Então, h�1(x) = m(s)�, para algum � 2 S, e
m(s) 2 [an+2; an+1] :
Se jtj < 1an, então jtj < 1
bn, logo
m(t+ s) 2 [an+3; an] : (6.7)
Como jtj < 1an, usando a de�nição de m(t), tem-se que
jm(t+ s)�m(t)j < bn: (6.8)
46
Sabe-se que
��t;h�1 (x)
�= � (t;m(s)�) = m(t+ s)�:
Graças a (6.7), (6.8) e (6.6),
j'(t;x)� xj =��h � � �t;h�1 (x)�� h �h�1 (x)���
� jh (m (t+ s) �)j
� an;
quando x 2 Cn+1 n Cn+2 e jtj < 1an. Como fang é decrescente, obtém-se que
j'(t;x)� zj � j'(t;x)� xj+ jx� zj � ak + jx� zj ;
quando z 2 X, x 2 Ck+1 e jtj < 1ak. Observa-se que conjunto X é um atrator
por construção.
Corolário 71 (Robinson, 2001) Se X é um subconjunto fortemente celular
de Rk, então existe uma aplicação �: Rk ! Rk para o qual X é um atrator, e
�(x) = x para todos x 2 X.
Prova. Basta de�nir �(x) = '(1;x) no teorema acima para provar este corolário.
Para garantir que a submersão '(A) de A em RN é um atrator de um
sistema de equações diferenciais ordinárias de dimensão �nita, são necessárias
outras condições além deX = '(A) ser conexo, tal que RN nX seja homeomorfo
a RN nf0g. Chapman (1972b) foi o primeiro a analisar a submersão do atrator dedimensão �nita em um espaço euclideano de dimensão �nita, grande o su�ciente.
Seu resultado, no entanto, não é su�cientemente geral.
Deseja-se obter para qualquer conjunto que é submergido em RN por uma
projeção ortogonal, por exemplo, um homeomor�smo interessante envolvendo
o complementar da submersão. Utilizando resultados de Borsuk (1969, 1970),
Geoghegan & Summerhill (1973) deram condições explícitas para a submersão
de um conjunto em RN para que exista tal homeomor�smo.
Busca-se, então, produzir um conjunto de equações diferenciais ordinárias,
com X = '(A) como atrator. Considera-se para tal a submersão ', dada peloteorema de Geoghegan & Summerhill (1973), de um atrator global de dimensão
�nita em RN , com N � [2d+ 2].A partir dos estudos de Bogatyj & Gutsu (1989) e Garay (1991), Günther
& Segal (1993) construiram um �uxo, não necessariamente diferenciável, em
47
um espaço euclideano com um atrator homeomorfo ao atrator A de um sistema
dinâmico.
Finalmente, Günther (1995) mostrou que esse �uxo pode ser diferenciável
de classe Cr, com r arbitrariamente grande. Produz-se, portanto, um sistema
de equações diferenciais ordinárias
_x = �r�(x); x 2 RN ; (6.9)
onde
� = 0; r� = 0; em X
e
� > 0; r� 6= 0; em RNnX;
cujo atrator global é X = '(A). Observa-se, no entanto, que as dinâmicas emX são triviais. Denota-se o operador de solução deste sistema �, tal que
x(t;x0) = �(x0):
Corolário 72 (Robinson, 1999) Se A é o atrator global de um sistema dinâmicono espaço de Hilbert H, com dH(A) <1, então existe uma equação diferencialordinária de dimensão �nita com o atrator global X homeomorfo a A. Por outrolado, se X é um atrator global de um sistema �nito de equações diferenciais
ordinárias, então existe um sistema dinâmico de dimensão in�nita em H com
o atrator global A homeomorfo a X :
Prova. Se A tem dH(A) � d, então existe uma submersão ' em R[2d+1],descrita por Geoghegan & Summerhill (1973), tal que X = '(A) seja o atratorglobal em R[2d+2] para o sistema de equações diferenciais ordinárias (6.9). Poroutro lado, se X é um atrator global em RN , então X tem a forma de um
ponto. Graças a Mc Coy (1973), qualquer imagem (X) em H, A, tem a forma
de um ponto. O resultado de Garay (1991) garante, portanto, a existência de
um sistema dinâmico de dimensão in�nita em H cujo atrator global é A. Se é Lipschitz contínua, então dH(A) � N .
Portanto, a topologia dos atratores globais e os teoremas de submersão
topológicos mostram que toda a informação topológica dos atratores globais
pode ser obtida a partir de um sistema �nito de equações diferenciais ordinárias.
48
7 Sistema Dinâmico Discreto de Dimensão Finita
A construção de um sistema de equações diferenciais ordinárias em Rk, cujoatrator global seja X = LA, onde L é uma aplicação linear limitada de�nidaem A, se depara com algumas di�culdades. O fato de a função ~f : X!Rk,de�nida por ~f(y) = LF (L�1y), ser apenas Hölder contínua di�culta a tentativa
de estender ~f para um campo vetorial em todo Rk com solução única. Portanto,apresenta-se um teorema que garante a existência de um sistema dinâmico
discreto em Rk que reproduz a aplicação de tempo T , S(T ), em A e possui
um atrator global arbitrariamente perto de X.
Teorema 73 (Robinson, 2001) Suponha que A tem dimensão fractal, df (A),menor que um inteiro d. Então, dados T > 0 e � > 0, para qualquer k � 2d+1,existem uma aplicação linear limitada L : A ! Rk, injetiva em A, e umaaplicação contínua f de Rk nele mesmo, tal que se X = L A, então
(i) a dinâmica em A e em X são conjugadas sob L :
f jX= L � S(T ) � L�1;
e
(ii) o sistema dinâmico discreto gerado por f , ffng, possui um atrator global
Xf que satisfaz
Xf � N(X; �);
e tem X como um conjunto invariante.
Prova. Primeiro, utiliza-se o Teorema 48 para encontrar uma aplicação linearL : H ! Rk tal que L seja injetiva em A. Seja X = LA.Seja � a aplicação em Rk do Corolário 71. Sabe-se que X é o atrator global
do sistema dinâmico em Rk, gerado por iterações de �. Logo, dado � > 0 existe� > 0, tal que
se x 2 N(X; �); então �j(x) 2 N(X; �); para todo j � 0: (7.1)
Usando a continuidade uniforme de L em um conjunto compactoA, encontra-se � > 0 tal que se
ju� vj � �; u; v 2 A;
então
jL(u)� L(v)j � �
2:
49
A seguir, um inteiro M é escolhido tal que����S � T
M
�u� u
���� � �; u 2 A:
Considera-se aplicação ~g : X ! X de�nida por
~g = L � S�T
M
�� L�1.
Como M foi escolhido de tal forma que����S � T
M
��L�1(x)
�� L�1(x)
���� � �; x 2 X;
a continuidade uniforme de L implica que����L � S � T
M
�� L�1(x)� x
���� � �
2; x 2 X:
Logo, o homeomor�smo ~g satisfaz
j~g(x)� xj � �
2; para todo x 2 X.
De�ne-se a função
p1(x) =
(~g(x)� x; x 2 X0; x =2 N
�X; �2
� :
Como esta função está de�nida em um conjunto não compacto, estabelece-se a
função
~p1(x) =
(~g(x)� x; x 2 X0; x 2 @N
�X; �2
� :
Usando o Teorema 55, encontra-se a extensão ~p2 da função ~p1. Então, de�ne-se
p2(x) =
(~p2(x); x 2 N
�X; �2
�0; x =2 N
�X; �2
� :
Seja � : [0;1)! [0; 1] uma função contínua que satisfaz
�(r) =
(1; 0 � r � 10; r � 2
:
Finalmente, de�ne-se uma extensão
p(x) = p2(x)�
jp2(x)j
�4
!
50
da função p1(x), com jp(x)j � �2 , para todo x 2 X.
Conseqüentemente, estende-se a função ~g para um homeomor�smo g(x) =
x + p(x), que é igual a ~g em X, e é a identidade fora de N�X; �2
�. A função
g tem a propriedade se x 2 N�X; �2
�, então g(x) 2 N (X; �). Considera-se
h(x) = gM (x), tal que
h(x) =
(L � S (T ) � L�1(x); x 2 X
x; x =2 N�X; �2
� :
A função h tem propriedades similares a g, tal que se x 2 N�X; �2
�, então
h(x) 2 N (X; �).A seguir, de�ne-se o homeomor�smo f de Rk nele mesmo, como a composição
de h com �,
f = � � h:
Como � é a identidade em X, então
f jX= L � S(T ) � L�1:
Além disso, h é a identidade em Rk nN�X; �2
�, logo
f jRknN(X; �2 )= �:
Este fato garante que N (X; �) seja um conjunto absorvente para o sistema
dinâmico discreto ffng, pois f = � até a trajetória entrar em N�X; �2
�. A
partir daí, as iterações sob f 6= � ou permanecem em N�X; �2
�ou vazam para
N (X; �). Como f = � neste domínio, as iterações sob f permanecem em
N (X; �) devido a (7.1).
Portanto, o atrator global Xf desse sistema dinâmico pertence a N(X; �).
Finalmente, observa-se que X é invariante e que X � Xf .
Nota-se que o teorema acima pode ser generalizado para projeções ortogo-
nais, utilizando o teorema de Mañé (1981), Foias e Olson (1996) e o teorema de
Geoghegan e Summerhill (1973). Este último garante que a projeção ortogonal
P é uma submersão pseudo-poliedral. Usando o mesmo argumento, é construído
um sistema dinâmico discreto em Rk, onde k � [2df (A) + 1].A dinâmica no atrator global pode ser submersa em um sistema dinâmico
discreto, cujo atrator global seja arbitrariamente perto do atrator original. Este
resultado promove importantes avanços no estudo computacional de equações
diferenciais parciais.
51
8 Conclusão
O comportamento a longo prazo de equações diferenciais parciais dissipa-
tivas é caracterizado pela presença de um atrator global para o qual todas as
trajetórias convergem. Estes atratores têm dimensão fractal �nita apesar do
espaço de fase ser um espaço de Hilbert de dimensão in�nita. Para reproduzir
a dinâmica no atrator em um sistema de dimensão �nita, busca-se submergí-lo
adequadamente em um espaço de dimensão �nita.
A teoria de variedades inerciais, desenvolvida por Foias et al (1988) e Temam
(1988), reduz a dinâmica assintótica para um sistema de dimensão �nita de
equações diferenciais ordinárias, a chamada forma inercial. No entanto, as
condições necessárias para aplicar esta teoria são muito restritivas, excluindo
até o momento, por exemplo, a equação de Navier Stokes bidimensional. A
utilização da variedade inercial fornece uma solução indireta, que depende essen-
cialmente da existência de uma projeção com inversa Lipschitz contínua, quando
restrita à imagem do atrator.
Atualmente há duas abordagens mais diretas que usam o atrator global. A
primeira busca construir um sistema de dimensão �nita que reproduz a dinâmica
no atrator, aplicando a forma inercial sem utilizar a variedade inercial. Esta
abordagem, no entanto, possui alguns problemas, como no trabalho de Eden
et al (1994), onde a unicidade das soluções não é garantida, ou como no de
Robinson (1999), que se restringe ao caso de tempo discreto. Ambos os artigos
rea�rmam a necessidade de projetar o atrator em algum espaço de dimensão
�nita com inversa suave.
A segunda abordagem não fornece informações sobre a dinâmica em si, mas
sugere a existência de um sistema de dimensão �nita, tal que o atrator seja
parametrizado por um conjunto �nito de coordenadas. Desde o trabalho de
Mañé (1981), esta teoria foi desenvolvida por Eden et al (1994), Foias & Olson
(1996) e Hunt & Kaloshin (1999), fazendo uso de parametrizações abstratas
cujos parâmetros não correspondem a nenhuma quantidade física.
Portanto, a existência de atratores em espaços de fase abstratos não esclarece
muito as situações físicas originais que os modelos supostamente representam.
É necessária uma maneira de deduzir conseqüências físicas de suas existências,
para que tais atratores não permaneçam meras curiosidades matemáticas.
Ao analisar dados experimentais, busca-se um sistema modelo com o grau
de liberdade mínimo necessário para que represente a dinâmica no atrator. Sob
certas condições, Takens (1981) mostrou que, repetindo a mesma observação
52
em uma série com os tempos espaçados igualmente, a dinâmica de um sistema
de dimensão �nita se reconstrói. No caso de dimensão in�nita, Titi provou que
é impossível obter o mesmo resultado. Entretanto, Robinson (2001a) deduziu
uma versão parecida com o teorema de Takens (1981) e provou, para a equação
de Navier-Stokes em duas dimensões, que um conjunto �nito de observações
pontuais determina completamente a dinâmica. Este resultado, sem dúvida,
é signi�cativo para a análise numérica de sistemas modelados por equações
dissipativas.
A partir da existência de um atrator global de dimensão �nita, consistindo
inteiramente de funções analíticas, Friz & Robinson (2001) mostraram que,
para a equação de Navier-Stokes, um número �nito de observações pontuais
determinam completamente o �uxo não-autônomo de um �uido. Kukavica &
Robinson (2004) mostraram que um número �nito de medições em um número
pequeno de pontos são su�cientes para distinguir diferentes elementos do atrator.
Finalmente, provaram uma versão em dimensão in�nita do teorema de submer-
são com time-delay de Takens (1981) tanto para a equação de Ginzburg-Landau
complexa unidimensional quanto para a equação de Kuramoto-Sivashinsky.
Há, portanto, um desenvolvimento de novos instrumentos matemáticos, ad-
equados ao estudo do comportamento assintótico de soluções de equações difer-
enciais parciais dissipativas. A existência, sob certas restrições, de uma parame-
trização baseada no domínio físico, ao invés do espaço de fase, faz-se necessária,
para que se possa deduzir do sistema dinâmico abstrato conseqüências válidas
no domínio físico original. Questiona-se, desta forma, se o estado de um sistema
pode ser determinado completamente a partir de observações experimentais.
Por conseguinte, é indispensável se concentrar nas implicações físicas diretas da
existência de atrator global de dimensão �nita, a �m de aproveitar ao máximo
a abordagem qualitativa de sistemas dinâmicos em problemas de dimensão
in�nita.
53
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