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Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados em Exerccios, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

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Aula 3 - Questes Comentadas e Resolvidas Matrizes, Determinantes e Soluo de Sistemas Lineares. Progresses Aritmtica e Geomtrica Vamos comear a aula resolvendo mais algumas questes das aula 1 e 2? isso a! Voc deve estar preparado para tudo. Agora, prova surpresa. Risos. Repare ainda que, apesar desta aula tratar de progresses aritmtica e geomtrica, j vimos questes sobre o tema na aula passada. Veremos mais algumas nesta aula tambm. (Tcnico de Abastecimento Junior-BR Distribuidora-2010-Cesgranrio) 1. Nos ltimos anos, as reservas provadas de petrleo vm aumentando em vrios estados brasileiros. A tabela abaixo apresenta dados referentes ao Estado do Rio de Janeiro. Reservas provadas de petrleo RJ (milhes de barris)

2004 2009 7.941 10.328

Anurio Exame 2009/2010 Considere que, de 2004 a 2009, as reservas provadas de petrleo do Rio de Janeiro tenham aumentado anualmente, formando uma progresso aritmtica. Desse modo, a razo dessa progresso, em milhes de barris, igual a (A) 477,4 (B) 725,4 (C) 1.025,0 (D) 1.450,8 (E) 2.387,0 Resoluo De acordo com a questo, as reservas provadas de petrleo do Rio de Janeiro aumentaram, de 2004 a 2009, formando uma progresso aritmtica. Vamos relembrar os conceitos: Progresso Aritmtica (PA) toda seqncia numrica cujos termos, a partir do segundo, so iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razo. Exemplos: PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) razo = 4 (PA crescente) PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) razo = 0 (PA constante) PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) razo = -10 (PA decrescente) Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r. De acordo com a definio:

1




a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r (...) an = a1 + (n 1) . r Termo Geral da PA n termo de ordem n (n-simo termo) r razo a1 primeiro termo Voltando questo, teramos: a1 (2004) = 7.941 a2 (2005) = a1 + r = 7.941 + r a3 (2006) = a1 + 2.r = 7.941 + 2.r a4 (2007) = a1 + 3.r = 7.941 + 3.r a5 (2008) = a1 + 4.r = 7.941 + 4.r a6 (2009) = 10.328 = a1 + 5.r = 7.941 + 5.r Ento, da expresso do termo 6 (2009), temos: 10.328 = 7.941 + 5.r 5.r = 10.328 7.941 5.r = 2.387

r = 2.387

5

r = 477,40 GABARITO: A 2. O consumo de energia eltrica no Brasil nunca foi to alto. O grfico abaixo apresenta o pico de consumo, medido sempre na primeira quinta-feira de fevereiro de cada ano, nos ltimos trs anos.

2




Se o aumento linear observado de 2008 para 2009 se mantivesse de 2009 para 2010, o pico de consumo de energia na primeira quinta-feira de fevereiro seria x megawatts menor do que efetivamente foi. Conclui-se que x igual a (A) 1.538 (B) 3.076 (C) 5.629 (D) 7.401 (E) 8.939 Resoluo De acordo com a questo, o clculo do pico de energia na primeira quinta-feira de fevereiro de 2010 deve ser feito considerando o aumento linear de 2008 para 2009, ou seja, considerando a mesma reta (funo do primeiro grau) de 2008 para 2009 e no a reta (funo do primeiro grau) de 2009 para 2010. Nesse caso, precisamos, exatamente, determinar a reta de 2008 para 2009. Isso ser possvel, pois j conhecemos dois pontos dessa reta. Vejamos: Y (Megawatts) = a. X (ano) + b Quando Y = 60.177 megawatts, X = 2.008 60.177 = 2.008.a + b (I) Quando Y = 61.715 megawatts, X = 2.009 61.715 = 2.009.a + b (II) Fazendo (II) (I), para eliminar a varivel b: 61.715 60.177 = 2.009.a + b 2.008.a b 2.009.a 2.008.a = 61.715 60.177 a = 1.538 (III) Substituindo (III) em (I): 60.177 = 2.008.a + b 60.177 = 2.008 x 1.538 + b 60.177 = 3.088.304 + b b = 60.177 3.088.304 b = 3.028.127 Portanto, a funo linear que representa a variao do consumo de energia eltrica de 2008 para 2009 : Y (Megawatts) = 1.538 . X(ano) 3.028.127

3




Substituindo para o ano de 2010: X = 2.010 Y = 1.538 x 2.010 3.028.127 Y = 3.091.380 3.028.127 Y = 63.253 Contudo, repare que a questo que saber o valor x, que corresponde diferena entre o valor do grfico para 2010 e o valor que obtivemos considerando a mesma variao ocorrida de 2008 para 2009. Y (Megawatts), para o ano de 2010, no grfico = 70.654 Y (Megawatts) que calculamos = 63.253 x = 70.654 63.253 = 7.401 GABARITO: D 3. Em uma pesquisa, 8.500 pessoas responderam seguinte pergunta: Existe amizade entre homem e mulher?. Desse total, 6.035 responderam sim, eu at tenho; 2.040 responderam no existe e as demais responderam sim, mas eu no tenho. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de que ela tenha respondido sim, mas eu no tenho? (A) 5% (B) 8% (C) 12% (D) 16% (E) 24% Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Em uma pesquisa, 8.500 pessoas responderam seguinte pergunta: Existe amizade entre homem e mulher?. Desse total, 6.035 responderam sim, eu at tenho; 2.040 responderam no existe e as demais responderam sim, mas eu no tenho. Total de Pessoas = 8.500 Responderam Sim, eu at tenho = 6.035 Responderam No existe = 2.040 De acordo com a questo, as demais responderam Sim, mas eu no tenho. Portanto, corresponde diferena entre o total de pessoas e as que responderam Sim, eu at tenho e No existe. Responderam Sim, mas eu no tenho = 8.500 6.035 2.040 = 425

4




II - Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de que ela tenha respondido sim, mas eu no tenho? Repare que basta calcular o percentual das pessoas que responderam Sim, mas eu no tenho em relao ao total de pessoas:

Percentual = 425

8.500= 0,05 = 5%

GABARITO: A 4. Um navio iniciou uma viagem com 1.970 pessoas a bordo (tripulantes e passageiros). Ao parar no primeiro porto, ningum embarcou no navio e 591 passageiros desembarcaram. Assim, o nmero de passageiros a bordo passou a corresponder ao sxtuplo do nmero de tripulantes. Quantos tripulantes havia nesse navio? (A) 294 (B) 261 (C) 245 (D) 206 (E) 197 Resoluo Vamos interpretar a questo:

I - Um navio iniciou uma viagem com 1.970 pessoas a bordo (tripulantes e passageiros). Total de Pessoas a Bordo (Incio da Viagem) = 1.970 II - Ao parar no primeiro porto, ningum embarcou no navio e 591 passageiros desembarcaram. Portanto, no primeiro porto, no houve embarques, mas houve 591 desembarques: Total de Pessoas a Bordo (Primeiro Porto) = 1.970 591 = 1.379 Rapare que o nmero de pessoas bordo corresponde ao nmero de tripulantes (T) mais o nmero de passageiros (P). Ento, teremos: 1.379 = T + P (I)

5




III - Assim, o nmero de passageiros a bordo passou a corresponder ao sxtuplo do nmero de tripulantes. Quantos tripulantes havia nesse navio? P = 6 x T (II) Substituindo (II) em (I): 1.379 = T + 6 x T 1.379 = 7 x T

Nmero de Tripulantes (T) = 1.379

7 = 197

GABARITO: E (Petrobras-Nvel Mdio-2010-Cesgranrio) 5. O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhes de passageiros em 2009, 4,5 milhes a mais do que em 2004. Supondo-se que o aumento anual no nmero de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 2009, tenha-se dado em progresso aritmtica, qual foi, em milhes de passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007? (A) 14,4 (B) 13,8 (C) 13,1 (D) 12,8 (E) 12,1 Resoluo Repare que, novamente, temos uma questo de progresso aritmtica. Vamos resolv-la: Nmero de Passageiros (2009) = 14,9 milhes, que representa 4,5 milhes a mais do que em 2004. Como a questo fala para considerar que temos uma progresso aritmtica (PA), se considerarmos que a razo da PA r: a1 (2004) = X milhes de passageiros a2 (2005) = X milhes de passageiros + r a3 (2006) = X milhes de passageiros + 2.r a4 (2007) = X milhes de passageiros + 3.r a5 (2008) = X milhes de passageiros + 4.r a6 (2009) = X milhes de passageiros + 5.r

6




De acordo com a questo: a6 (2009) a1 (2004) =4,5 milhes X milhes + 5.r X milhes = 4,5 milhes 5.r = 4,5 milhes

r = 4,5

5 milhes = 0,9 milhes

Tendo r, conseguimos calcular X a partir do nmero de passageiros em 2009: a6 (2009) = X milhes de passageiros + 5.r 14,9 milhes = X+ 5.r 14,9 milhes = X + 4,5 milhes X = 14,9 milhes 4,5 milhes X = 10,4 milhes Tendo r e X, possvel calcular o nmero de passageiros em 2007: a4 (2007) = X milhes de passageiros + 3.r a4 (2007) = 10,4 milhes + 3 x 0,9 milhes a4 (2007) = 10,4 milhes + 2,7 milhes a4 (2007) = 13,1 milhes GABARITO: C 6. A funo g(x) = 84 . x representa o gasto mdio, em reais, com a compra de gua mineral de uma famlia de 4 pessoas em x meses. Essa famlia pretende deixar de comprar gua mineral e instalar em sua residncia um purificador de gua que custa R$ 299,90. Com o dinheiro economizado ao deixar de comprar gua mineral, o tempo para recuperar o valor investido na compra do purificador ficar entre (A) dois e trs meses. (B) trs e quatro meses. (C) quatro e cinco meses. (D) cinco e seis meses. (E) seis e sete meses. Resoluo Vamos interpretar a questo: I - De acordo com a questo, o gasto mdio, em reais, com a compra de gua mineral de uma famlia de 4 pessoas em x meses : g(x) = 84 . x

7




II - A famlia pretende comprar um purificador de gua, no valor de R$ 299,90 e a questo deseja saber o tempo necessrio para recuperar o dinheiro investido no purificador, em virtude do dinheiro economizado com a compra de gua. Portanto, temos que igualar a funo g(x), do gasto mdio, com o valor do purificador de gua e verificar o nmero meses que seriam necessrios para consumir tal valor: 84 . x = 299,90

x = 299,90

84= 3,57

Ou seja, se a famlia comprasse gua mineral, entre o terceiro e o quarto ms de consumo (3,57), seriam gastos R$ 299,90. Portanto, com a compra do purificador de gua, entre o terceiro e o quarto ms a famlia recuperaria o dinheiro investido, pois seria o dinheiro que a referida famlia gastaria com a compra de gua mineral. GABARITO: B 7. H alguns meses, um restaurante de Tquio e um empresrio chins pagaram 175 mil dlares por um atum-rabilho, um peixe ameaado de extino usado no preparo de sushis de excelente qualidade. Se o peixe pesava 232 kg, qual foi, em dlares, o preo mdio aproximado pago por cada quilograma do peixe? (A) 75,44 (B) 132,57 (C) 289,41 (D) 528,67 (E) 754,31 Resoluo A questo deseja saber o valor mdio do quilograma do peixe. Portanto, basta dividir o valor total pago pelo peso total do peixe: Valor Total Pago = 175 mil dlares = 175.000 Peso Total do Peixe = 232 kg

Preo Mdio por Quilograma = 175.000

232= 754,31 dlares

GABARITO: E

8




8. Atualmente, todas as cdulas de real so retangulares e do mesmo tamanho, tendo 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. Em breve, no ser mais assim. As novas cdulas de real continuaro a ser retangulares, mas passaro a ter tamanhos diferentes, dependendo de seu valor. A de dois reais, por exemplo, passar a medir 12,1 cm por 6,5 cm. Qual ser, em cm, a reduo no permetro da cdula de dois reais? (A) 3,80 (B) 4,25 (C) 7,60 (D) 8,25 (E) 12,35 Resoluo Essa questo geometria, assunto que veremos em aula posterior. Mas, como para a prova temos que saber tudo fora de ordem, vamos resolv-la aqui. Permetro: a soma do comprimento de todos os lados de uma figura plana. No caso da cdula da questo, temos um retngulo de lados 12,1 cm e 6,5 cm. O retngulo possui lados iguais, dois a dois. Retngulo: lados iguais dois a dois (a, b) Permetro = 2.(a+b)

Portanto, teramos que o permetro na nova cdula de dois reais seria: a = 12,1 cm b = 6,5 cm Permetro (Cdula Nova) = 2 x (a + b) = 2 x (12,1 + 6,5) Permetro (Cdula Nova) = 2 x 18,6 = 37,2 cm Por outro lado, o permetro da cdula antiga seria: a= 14 cm b= 6,5 cm Permetro (Cdula Antiga) = 2 x (a + b) = 2 x (14 + 6,5) Permetro (Cdula Antiga) = 2 x 20,5 = 41 cm Reduo do permetro: Permetro (Cdula Antiga) - Permetro (Cdula Nova) = 41 37,2 = 3,8 cm

b b

a

a

9




Repare que, como a largura das cdulas nova e antiga so iguais (6,5 cm), bastava calcular o resultado da subtrao dos comprimentos da cdula antiga pela cdula nova e multiplicar por 2 (dois lados iguais). Vejamos: Permetro (Cdula Nova) = 2 x (a + b) = 2 x (12,1 + 6,5) Permetro (Cdula Antiga) = 2 x (a + b) = 2 x (14 + 6,5) Permetro (Cdula Antiga) - Permetro (Cdula Nova) = = 2 x 14 + 2 x 6,5 2 x 12,1 2 x 6,5 = = 2 x 14 2 x 12,1 = = 2 x (14 12,1) = = 2 x 1,90 = 3,8 cm GABARITO: A 9. Em trs meses, certa empresa fez 2.670 converses de veculos para o uso de GNV (Gs Natural Veicular). O nmero de converses realizadas no segundo ms superou em 210 o nmero de converses realizadas no primeiro ms. No terceiro ms, foram feitas 90 converses a menos que no segundo ms. Quantas converses essa empresa realizou no primeiro ms? (A) 990 (B) 900 (C) 870 (D) 810 (E) 780 Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Em trs meses, certa empresa fez 2.670 converses de veculos para o uso de GNV (Gs Natural Veicular). Converses do Primeiro Ms = P1 Converses do Segundo Ms = P2 Converses do Terceiro Ms = P3 Total de Converses em 3 meses = P1 + P2 + P3 = 2.670 (A) II - O nmero de converses realizadas no segundo ms superou em 210 o nmero de converses realizadas no primeiro ms. No terceiro ms, foram feitas 90 converses a menos que no segundo ms. Converses do Primeiro Ms = P1 Converses do Segundo Ms = P2 = P1 + 210 (B) Converses do Terceiro Ms = P3 = P2 90 (C)

10




Substituindo (C) em (B): P3 = P2 90 P3 = P1 + 210 90 P3 = P1 + 120 (D) III - Quantas converses essa empresa realizou no primeiro ms? Substituindo (B) e (D) em (A): P2 = P1 + 210 (B) P3 = P1 + 120 (D) P1 + P2 + P3 = 2.670 (A) P1 + P1 + 210 + P1 + 120 = 2.670 3 x P1 + 330 = 2.670 3 x P1 = 2.670 330 3 x P1 = 2.340

P1 = 2.340

3

P1 = 780 converses GABARITO: E 10. Certo livro de bolso de 12cm de largura e 18cm de comprimento tem 95 pginas, mais a capa e a contracapa. A gramatura do papel utilizado para fazer as folhas desse livro 75g/m2 e a do utilizado para fazer a capa e a contracapa, 180g/m2. Considerando-se esses dados, qual , em gramas, a massa aproximada desse livro? (A) 162 (B) 184 (C) 226 (D) 278 (E) 319 Resoluo Vamos interpretar a questo. Essa mais uma questo de geometria, para que j comecemos a nos familiarizar com o assunto. I - Certo livro de bolso de 12cm de largura e 18cm de comprimento tem 95 pginas, mais a capa e a contracapa. Informaes referentes ao livro de bolso: Largura = 12 cm Comprimento = 18 cm Total de Pginas = 95 + Capa + Contracapa

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II - A gramatura do papel utilizado para fazer as folhas desse livro 75g/m2 e a do utilizado para fazer a capa e a contracapa, 180g/m2. Repare que a questo informa o peso das folhas, da capa e da contracapa por metro quadrado (m2). Portanto, precisamos conhecer a rea das folhas, da capa e da contracapa. Como o livro um retngulo, temos: Retngulo: lados iguais dois a dois (a, b) rea = a.b

Para medir comprimento: metro (m) Quilmetro (km) = 1.000 m = 103 m Hectmetro (hm) = 100 m = 102 m Decmetro (dam) = 10 m = 101 m Metro (m) = 1 m Decmetro (dm) = 0,1 m = 10-1 m Centmetro (cm) = 0,01 m = 10-2 m Milmetro (mm) = 0,001 m = 10-3 m Portanto, a rea de cada uma das folhas, da capa e da contracapa seria: Largura = 12 cm = 12 x 10-2 m (j convertendo para metro) Comprimento = 18 cm = 18 x 10-2 m (j convertendo para metro) rea = Largura x Comprimento = 12 x 10-2 x 18 x 10-2 Lembra da multiplicao das potncias de mesma base? Ax . Ay = Ax+y

Portanto: 10-2 x 10-2 = 10-2+(-2) = 10-4 Continuando: rea = 216 x 10-2-2 rea = 216,0 x 10-4 Como a potncia de 10 igual a menos quatro (-4), temos que andar com a vrgula quatro vezes para a esquerda: rea = 0,0216 m2

b b

a

a

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III - Considerando-se esses dados, qual , em gramas, a massa aproximada desse livro? Gramatura das Folhas do Livro = 75 g/m2 Gramatura da Capa e da Contracapa = 180 g/m2 J calculamos que a rea da folha, da capa da contracapa : rea = 0,0216 m2

Para calcular o peso total do livro, temos que multiplicar o nmero folhas pela rea e pela gramatura e fazer o mesmo para a capa e a contracapa. Vejamos: Peso das Folhas = 95 folhas x rea x Gramatura das Folhas Peso das Folhas = 95 x 0,0216 x 75 = 153,9 gramas Peso da Capa = 1 capa x rea x Gramatura das Folhas Peso da Capa = 1 x 0,0216 x 180 = 3,888 gramas Peso da Contracapa = 1 contracapa x rea x Gramatura das Folhas Peso da Contracapa = 1 x 0,0216 x 180 = 3,888 gramas Peso das Folhas 153,9 Peso da Capa 3,888 Peso da Contracapa 3,888 Peso Total do Livro 161,68 gramas 162 gramas GABARITO: A 11. Um estudo em laboratrio constatou que, depois de se administrar certo medicamento a um indivduo, a concentrao C(t) da substncia ativa do medicamento no organismo reduz em funo do tempo t, em horas, de acordo

com a funo C(t) = Ci.

0,251

2

t

, onde Ci representa a concentrao inicial de

tal substncia no organismo do indivduo ao receber a medicao. De acordo com essas informaes, aps quantas horas a concentrao dessa substncia no organismo de um indivduo equivaler oitava parte da concentrao inicial (Ci)? (A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 16

13




Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Um estudo em laboratrio constatou que, depois de se administrar certo medicamento a um indivduo, a concentrao C(t) da substncia ativa do medicamento no organismo reduz em funo do tempo t, em

horas, de acordo com a funo C(t) = Ci.

0,251

2

t

, onde Ci representa a

concentrao inicial de tal substncia no organismo do indivduo ao receber a medicao. Portanto, temos uma funo que representa a reduo da substncia ativa de um medicamento no organismo de um indivduo em funo do tempo:

C(t) = Ci.

0,251

2

t

(A)

Onde, Ci = concentrao inicial da substncia no organismo do indivduo ao receber a medicao II - De acordo com essas informaes, aps quantas horas a concentrao dessa substncia no organismo de um indivduo equivaler oitava parte da concentrao inicial (Ci)? Portanto, temos que descobrir o tempo t tal que a concentrao da substncia ativa seja a oitava parte da concentrao inicial:

C(t) = 8

iC (B)

Substituindo (B) em (A):

C(t) = Ci.

0,251

2

t

8

iC = Ci.

0,251

2

t

Como temos Ci dos dois lados da igualdade, podemos simplificar:

1

8=

0,251

2

t

(C)

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Alm disso, sabemos que: 23 = 8

Portanto: 1

8 =

3

3

1 1

2 2

=

(D)

Substituindo (D) em (C):

1

8=

0,251

2

t

3

1

2

=

0,251

2

t

Como as bases so iguais a 1

2, para que a igualdade seja verdadeira, os

expoentes tambm devem ser iguais:

3 = 0,25.t t = 3

0,25 t = 12 horas

GABARITO: D 12. No Brasil, a maior parte dos poos produtores de petrleo e gs natural localiza-se no mar. So, ao todo, 8.539 poos, e o nmero de poos localizados no mar corresponde a nove vezes o nmero de poos localizados em terra, mais 749. Quantos so os poos produtores de petrleo e gs natural localizados em terra? (A) 779 (B) 787 (C) 821 (D) 911 (E) 932 Resoluo Vamos interpretar a questo: I - No Brasil, a maior parte dos poos produtores de petrleo e gs natural localiza-se no mar. So, ao todo, 8.539 poos, e o nmero de poos localizados no mar corresponde a nove vezes o nmero de poos localizados em terra, mais 749. Total de Poos = 8.539 Poos Localizados no Mar = Pm Poos Localizado em Terrar = Pt

Pm + Pt = 8.539 (A)

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Alm disso, de acordo com a questo, o nmero de poos localizados no mar corresponde a nove vezes o nmero de poos localizados em terra, mais 749. Pm = 9 x Pt + 749 (B) II - Quantos so os poos produtores de petrleo e gs natural localizados em terra? Substituindo (B) em (A): Pm = 9 x Pt + 749 (B) Pm + Pt = 8.539 (A) 9 x Pt + 749 + Pt = 8.539 10 x Pt = 8.539 749 10 x Pt = 7.790

Pt = 7.790

10

Pt = 779 GABARITO: A 13. Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequncia do uso de automvel. Oitocentas e dez pessoas disseram utilizar automvel em dias de semana, 880 afirmaram que utilizam automvel nos finais de semana e 90 disseram que no utilizam automveis. Do total de entrevistados, quantas pessoas afirmaram que utilizam automvel durante a semana e, tambm, nos fins de semana? (A) 580 (B) 610 (C) 690 (D) 710 (E) 780 Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Mil pessoas responderam a uma pesquisa sobre a frequncia do uso de automvel. Total de Pessoas que responderam a pesquisa = 1.000

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II - Oitocentas e dez pessoas disseram utilizar automvel em dias de semana, 880 afirmaram que utilizam automvel nos finais de semana e 90 disseram que no utilizam automveis. Pessoas que utilizam o automvel em dias de semana = 810 Pessoas que utilizam o automvel em fins de semana = 880 Pessoas que no utilizam automveis = 90 Portanto, podemos deduzir que o nmero de pessoas que utilizam automveis : Total de Pessoas que responderam a pesquisa 1.000 (-) Pessoas que no utilizam automveis (90) (=) Pessoas que utilizam automveis 910 III - Do total de entrevistados, quantas pessoas afirmaram que utilizam automvel durante a semana e, tambm, nos fins de semana? Lembra da frmula que utilizamos na aula passada? Vamos relembrar: Nmero de elementos da unio de dois conjuntos: n (P Q) = n(P) + n(Q) n(P Q) n(P) nmero de elementos de P n(Q) nmero de elementos de Q n(P Q) nmero de elementos de P Q (P unio Q) n(P Q) nmero de elementos de P Q (P interseo Q) Voltando a nossa questo, teramos: n(P) = nmero de pessoas que utilizam o automvel em dias de semana n(P) = 810 n(Q) = nmero de pessoas que utilizam o automvel em fins de semana n(Q) = 880 n(P Q) = nmero de pessoas que utilizam automveis = 910 n(P Q) = nmero de pessoas que utilizam automveis durante a semana e nos finais de semana n (P Q) = n(P) + n(Q) n(P Q) 910 = 810 + 880 n(P Q) n(P Q) = 810 + 880 910 n(P Q) = 780 GABARITO: E

17




14. Em calculadoras cientficas, a tecla log serve para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, o resultado obtido 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com aproximao de trs casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora cientfica. Nmero Digitado Resultado obtido aps

apertar a tecla log 2 0,301 3 0,477 7 0,845

Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a soluo da equao log 6 + x = log 28 (A) 0,563 (B) 0,669 (C) 0,966 (D) 1,623 (E) 2,402 Resoluo Esse uma questo em que utilizaremos as propriedades dos logaritmos. Vamos relembrar: 1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y. Exemplo: log3 (9.27) = log3 243 = x 3x = 243 = 35 x = 5 ou aplicando a propriedade do logaritmo do produto: log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 = log3 32 + log3 33 = 2 + 3 = 5 Logo, log3 (9.27) = log3 9 + log3 27

2) Logaritmo do quociente: logb x

y= logb x - logb y

Exemplo:

log3 (9

27)

(como 27 e 9 so divisveis por 9, podemos dividir o numerador e o denominador por 9 sem alterar a frao)

log3 (9

27) = log3 (

1

3) = x 3x =

1

3= 3-1 x = -1

18




ou aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:

log3 (9

27) = log3 9 - log3 27 = 2 - 3 = -1

Logo, log3 (9

27) = log3 9 - log3 27

3) Logaritmo da potncia: logb xn = n . logb x Exemplo: log3 32 = x 3x = 32 x = 2 ou aplicando a propriedade do logaritmo da potncia: log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2 Logo, log3 32 = 2. log3 3

Nota: logb x1/n = (1

n) . logb x

Vamos resolver a questo: log 6 + x = log 28 Repare que 6 = 3 x 2 e 28 = 2 x 2 x 7 = 22 x 7 log 6 + x = log 28 log (3 x 2) + x = log (22 x 7) Aplicando a propriedade do logaritmo do produto: log 3 + log 2 + x = log 22 + log 7 Aplicando a propriedade do logaritmo da potncia: log 3 + log 2 + x = 2.log 2 + log 7 x = 2.log 2 + log 7 log 3 log 2 x = log 2 + log 7 log 3 Da tabela dada, temos: log 2 = 0,301 log 3 = 0,477 log 7 = 0,845 x = 0,301 + 0,845 0,477 x = 0,669 GABARITO: B

19




15. Em uma caixa h, ao todo, 130 bolas, sendo algumas brancas e as demais, pretas. Se 10 bolas pretas forem retiradas da caixa e 15 bolas brancas forem colocadas, o nmero de bolas pretas dentro da caixa exceder o de bolas brancas em 5 unidades. Quantas bolas brancas h dentro dessa caixa? (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 80 Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Em uma caixa h, ao todo, 130 bolas, sendo algumas brancas e as demais, pretas. Total de Bolas na Caixa = 130 Total de Bolas Brancas = B Total de Bolas Pretas = P B + P = 130 (A) II - Se 10 bolas pretas forem retiradas da caixa e 15 bolas brancas forem colocadas, o nmero de bolas pretas dentro da caixa exceder o de bolas brancas em 5 unidades. Se retirarmos 10 bolas pretas, ficaremos com P 10 bolas pretas. P = P 10 (B) Se colocarmos 15 bolas brancas, ficaremos com B + 15 bolas pretas. B = B + 15 (C) Com isso, o nmero de bolas pretas dentro de caixa (P) exceder o de bolas brancas (B) em 5 unidades. Portanto: P= B+ 5 (D) Substituindo (B) e (C) em (D): P= B + 5 (D) P 10 = B + 15 + 5 P = B + 20 + 10 P = B + 30 (E)

20




III - Quantas bolas brancas h dentro dessa caixa? Substituindo (E) em (A): P = B + 30 (E) B + P = 130 (A) B + B + 30 = 130 2.B = 130 30 2.B = 100

B = 100

2

B = 50 GABARITO: B Vamos resolver as questes relativas a essa aula. (Tcnico em Metrologia e Qualidaderea: Eletrnica-Inmetro-2010-Cespe) 16. Um tcnico incumbido de examinar alguns lotes de instrumentos de medida. Em cada lote, ele separa os instrumentos descalibrados dos sem defeito. Em determinado lote, ele verifica que o nmero de instrumentos sem defeito, x, e o nmero de instrumentos descalibrados, y, so as solues do sistema linear, 3x + 2y = 48 x + ay = 44, em que a um nmero real. Sabendo-se que o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema igual a 7, correto afirmar que o nmero de instrumentos examinados nesse lote foi A 24. B 23. C 22. D 21. E 20. Resoluo Para resolver a questo, precisaremos estudar os conceitos principais sobre resoluo de sistemas lineares utilizando matrizes e determinantes. Vamos l:

21




Determinantes Paraobterrminantedeumamatrizquadrada A (det A), de ordem n (n 3), devemos adotar o seguinte procedimento: 1)n=1.Nestasituao,rminantede A o nico elemento de A. A = [a11] det A = a11 Exemplo: A = [23] det A = 23 2)n=2.Nestasituao,rminantede A ser o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundria.

11 12

21 22

a aA

a a

= det A = a11 . a22 - a12 . a21

Exemplo:

3 1det 3 2 4 ( 1) 10

4 2

cosdet cos .cos . cos( )

cos

A A

x senxB B x y senx seny x y

seny y

= = =

= = = +

3) n = 3. Nesta situao, temos:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 Para memorizar esta frmula, vamos adotar o seguinte procedimento, tambm conhecido como Regra de Sarrus para o clculo de determinantes de ordem 3: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 3231 32 33

a a a a a

A a a a a a

a aa a a

=

+ -

+

22




b) Os termos precedidos do sinal + so obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direo da diagonal principal: a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 c) Os termos precedidos do sinal - so obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direo da diagonal secundria: - a13 . a22 . a31 a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33

Exemplo:

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

=

1 3 4 1 3

det 5 2 3 5 2 1 2 2 3 ( 3) 1 4 5 4 4 2 1 1 ( 3) 4 3 5 2

1 4 2 1 4

det 4 9 80 8 12 30 49

A x x x x x x x x x x x x

A

= = + +

= + + =

Outra forma de memorizar:

I) Os termos precedidos pelo sinal + so obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

a11 x a22 x a33

a12 x a23 x a31

a13 x a21 x a32

23




II) Os termos precedidos pelo sinal - so obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

Soluo de Sistemas Lineares Sistemas lineares so conjuntos de equaes (duas ou mais) em que se deseja encontrar a soluo, ou seja, uma soluo que atende e torne todas as equaes verdadeiras. Exemplos: S1: 2x + 6y = 4 x y = 5 No sistema linear S1, temos duas equaes e duas incgnitas (x e y). S2: 2x + 3y + 3z = 4 x y + z= 2 3x + y 2z = 0 No sistema linear S2, temos trs equaes e trs incgnitas (x, y e z). Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma soluo, ele ser possvel ou compatvel. Caso no tenha nenhuma soluo, S ser impossvel ou incompatvel. Regra de Cramer possvel representar um sistema linear por meio de matrizes: Exemplo: S2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III)

a13 x a22 x a31

a11 x a32 x a23

a12 x a21 x a33

24




1 1 1 4 1. 1. 1. 4

1 1 3 2 1. 1. 3. 2

3 1 2 3 3. 1. 2. 3

x x y z

y x y z

z x y z

=

+ +

= +

+

Aqui, voc deve estar se perguntando: Como feita uma multiplicao de matrizes? Vamos explicar o procedimento logo aps as definies abaixo. Primeira matriz: matriz incompleta ou dos coeficientes (formada pelos coeficientes das variveis) Segunda matriz: matriz das incgnitas Ainda h a matriz completa, que formada pelos coeficientes das variveis e pelos termos independentes (termos aps o sinal de igual), conforme abaixo: 1 1 1 4

1 1 3 2

3 1 2 3

Quando o nmero de equaes do sistema igual ao nmero de variveis, e o determinante da matriz incompleta diferente de zero, o sistema denominado sistema normal. Para todo sistema normal, possvel obter a sua soluo por meio do procedimento abaixo: x = Dx/D; y = Dy/D e z = Dz/D e, assim sucessivamente, para as demais variveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resolues em sistemas normais de duas ou trs variveis. D determinante da matriz incompleta. Dx determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. Dy determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Dz determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes.

25




Exemplo: S2: x + y + z = 4 (I) x y + 2z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) 1 1 1 4

1 1 3 2

3 1 2 3

x

y

z

=

D determinante da matriz incompleta D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 1.(-1).3 1.1.(-2) 1.1.3 D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 3 = 14 Dx determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 4 1 1

2 1 3

3 1 2

Dx = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 1.(-1).3 2.1.(-2) 4.1.3

Dx = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 12 =14 x = Dx/D = 14/14 x = 1 Dy determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 1 4 1

1 2 3

3 3 2

Dy = 1.2.(-2) + 4.3.3 + 1.3.1 1.2.3 4.1.(-2) 1.3.3

Dy = -4 + 36 + 3 6 + 8 9 =28 y = Dy/D = 28/14 y = 2

Matriz Incompleta

ou Matriz dos

Coeficientes

Matriz das Incgnitas

Termos Independentes

26




Dz determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 1 1 4

1 1 2

3 1 3

Dz = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 4.(-1).3 1.1.2 1.1.3

Dz = -3 + 6 + 4 + 12 2 3 =14 z = D/Dz = 14/14 z = 1 Anlise de um sistema:

1) Sistema possvel e determinado: D 0 (uma nica soluo). 2) Possvel e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx,

Dy e Dz forem iguais a zero. 3) Impossvel: D = 0 e (Dx ou Dy ou Dz) forem diferentes de zero.

Para fechar os conceitos, vamos verificar como feita a multiplicao de matrizes: Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp, o produto AB ser uma matriz C = (cij)mxp, tal que cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e k = {1, 2, 3, ..., p}.

Observaes: 1) O produto AB s ir existir se e somente se o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de B. Ou seja, A ter que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, ser uma matriz da ordem m x p (mesmo nmero de linhas da matriz A e mesmo nmero de colunas da matriz B). 3) O elemento cik da matriz C = AB ser obtido de acordo com o seguinte procedimento: (I) Toma-se a linha i da matriz A: ai1; ai2; ai3; ....; ain (n elementos) (II) Toma-se a coluna k da matriz B: b1k

b2k b3k .... bnk (n elementos)

27




(III) Coloca-se a linha i da matriz A na vertical, ao lado da coluna k da matriz B: ai1 b1k ai2 b2k ai3 b3k .... .... ain bnk (n elementos) (IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: ai1 x b1k ai2 x b2k ai3 x b3k .... .... ain x bnk (V) Somam-se esses n produtos, obtendo cik: cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk Exemplos: 1)

0 1

2 3

1 2

3 4

A

B

=

=

Calcular AB. I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B: 0 x 1 = 0 1 x 3 = 3 c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B: 0 x 2 = 0 1 x 4 = 4 c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4 III) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B: 2 x 1 = 2 3 x 3 = 9 c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B: 2 x 2 = 4 3 x 4 = 12 c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16

28




3 4

11 16AB C

= =

2)

0 1

2 3

1 2

3 4

A

B

=

=

Calcular BA. I) Primeira linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A: 1 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c11 = b11 . a11 + b12 . a21 = 1 x 0 + 2 x 2 = 4 II) Primeira linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A: 1 x 1 = 1 2 x 3 = 6 c12 = b11 . a12 + b12 . a22 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 III) Segunda linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A: 3 x 0 = 0 4 x 2 = 8 c21 = b21 . a11 + b22 . a21 = 3 x 0 + 4 x 2 = 8 IV) Segunda linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A: 3 x 1 = 3 4 x 3 = 12 c22 = b21 . a12 + b22 . a22 = 3 x 1 + 4 x 3 = 15

4 7

8 15BA C

= =

Portanto, percebe-se que AB diferente de BA. ATENO!!! A multiplicao de matrizes no possui a propriedade comutativa.

29




3)

A =

0 1 1

1 0 2

1 2 0

A2 = A . A =

0 1 1

1 0 2

1 2 0

.

0 1 1

1 0 2

1 2 0

Vamos fazer a multiplicao das matrizes (A.A): I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A: 0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 1 x 1 = 1 c11 = a11 . a11 + a12 . a21 + a13 . a31 = 0 x 0 + 1 x 1 + 1 x 1 = 2 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A: 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 2 = 2 c12 = a11 . a12 + a12 . a22 + a13 . a32 = 0 x 1 + 1 x 0 + 1 x 2 = 2 III) Primeira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A: 0 x 1 = 0 1 x 2 = 2 1 x 0 = 0 c13 = a11 . a13 + a12 . a23 + a13 . a33 = 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 0 = 2 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A: 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 2 x 1 = 1 c21 = a21 . a11 + a22 . a21 + a23 . a31 = 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 1 = 2

30




V) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A: 1 x 1 = 1 0 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c22 = a21 . a12 + a22 . a22 + a23 . a32 = 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 2 = 5 VI) Segunda linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A: 1 x 1 = 1 0 x 2 = 0 2 x 0 = 0 c23 = a21 . a13 + a22 . a23 + a23 . a33 = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 0 = 1 VII) Terceira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A: 1 x 0 = 0 2 x 1 = 2 0 x 1 = 0 c31 = a31 . a11 + a32 . a21 + a33 . a31 = 1 x 0 + 2 x 1 + 0 x 1 = 2 VIII) Terceira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A: 1 x 1 = 1 2 x 0 = 0 0 x 2 = 0 c32 = a31 . a12 + a32 . a22 + a33 . a32 = 1 x 1 + 2 x 0 + 0 x 2 = 1 IX) Terceira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A: 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 0 x 0 = 0 c33 = a31 . a13 + a32 . a23 + a33 . a33 = 1 x 1 + 2 x 2 + 0 x 0 = 5 Portanto, a matriz A2 ficou da seguinte forma:

A2 = A . A =

0 1 1

1 0 2

1 2 0

.

0 1 1

1 0 2

1 2 0

=

2 2 2

2 5 1

2 1 5

31




Vamos resoluo da questo: I - Um tcnico incumbido de examinar alguns lotes de instrumentos de medida. Em cada lote, ele separa os instrumentos descalibrados dos sem defeito. Em determinado lote, ele verifica que o nmero de instrumentos sem defeito, x, e o nmero de instrumentos descalibrados, y, so as solues do sistema linear, 3x + 2y = 48 x + ay = 44, em que a um nmero real. Portanto, temos que: x = nmero de instrumentos sem defeito y = nmero de instrumentos descalibrados IISabendosequerminantedamatrizdoscoeficientesdessesistema igual a 7, correto afirmar que o nmero de instrumentos examinados nesse lote foi... A questo deseja saber o nmero de instrumentos examinados no lote. Para isso, precisamos descobrir os valores de x e de y. Contudo, antes disso, temos que achar o valor de a e, para calcul-lo, foi dada a seguinte informao: ...o determinante da matriz dos coeficientes desse sistema igual a 7... Vamos montar a matriz de coeficientes: Na primeira equao, temos: 3x + 2y = 48. Logo, o coeficiente de x 3 e o coeficiente de y 2. Na segunda equao, temos: x + ay = 44. Logo, o coeficiente de x 1 e o coeficiente de y a. Deacordocomaquestorminantedamatrizdecoeficientesabaixoigual a 7.

Matriz de Coeficientes = 3 2

1 a

Na matriz, temos: a11 = 3 a12 = 2 a21 = 1 a22 = a

32




rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 = 7

Determinante = 3 . a 1 . 2 = 7 3a 2 = 7 3a = 7 + 2

3a = 9 a = 9

3 a = 3

Como temos o valor de a, j podemos calcular os valores de x e y. Vamos ao nosso sistema: 3x + 2y = 48 x + ay = 44 x + 3y = 44 J que comeamos a utilizar determinantes, vamos achar a soluo do sistema tambm por meio de determinantes (Regra de Cramer).

x = xD

D

y = yD

D

D determinante da matriz incompleta.

Matriz Incompleta ou de Coeficientes = 3 2

1 3

Determinante da Matriz Incompleta = D = 7 (dado da questo) Dx determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de x (3 e 1) pelos termos independentes (48 e 44).

Matriz X = 48 2

44 3

Na matriz, temos: a11 = 48 a12 = 2 a21 = 44 a22 = 3 rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 Determinante da Matriz X = Dx = 48 x 3 2 x 44 = 144 88 = 56

33




Portanto, x igual a:

x = 56

87

xD

D= =

Dy determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de y (2 e 3) pelos termos independentes (48 e 44).

Matriz Y = 3 48

1 44

Na matriz, temos: a11 = 3 a12 = 48 a21 = 1 a22 = 44 rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 Determinante da Matriz Y = Dy = 3 x 44 48 x 1 = 132 48 = 84 Portanto, y igual a:

y = 84

127

yD

D= =

Nmero de instrumentos examinados no lote = x + y Nmero de instrumentos examinados no lote = 8 + 12 = 20 GABARITO: E (Administrativa-MPS-2010-Cespe) Considere que x = x0 e y = y0 seja a soluo do sistema de equaes lineares x + 2y = 10 3x y = 2. Nesse caso, 17 se x0 e y0 forem os dois primeiros termos de uma progresso geomtrica crescente, ento o terceiro termo dessa progresso ser igual a 8. Resoluo E a? Agora que voc aprendeu a Regra de Cramer, voc quer resolver o sistema por ela ou pelo mtodo que utilizamos at ento (substituio)? Vamos fazer pelos dois mtodos.

34




x + 2y = 10 x = 10 2y (I) 3x y =2 (II) Substituindo (I) em (II): 3x y = 2 3.(10 2y) y = 2 3 . 10 3 . 2y y = 2 30 6y y = 2 30 2 = 6y + y 7y = 28

y = 28

7

y = 4 (III) Substituindo (III) em (I): x = 10 2y (I) x = 10 2 . 4 x = 10 8 x = 2 Vamos, agora, resolver pela Regra de Cramer: x + 2y = 10 3x y = 2

x = xD

D

y = yD

D

D determinante da matriz incompleta.

Matriz Incompleta ou de Coeficientes = 1 2

3 1

Na matriz, temos: a11 = 1 a12 = 2 a21 = 3 a22 = 1 rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 Determinante da Matriz de Coefientes = D = 1 x (1) 2 x 3 = 1 6 = 7

35




Dx determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de x (1 e 3) pelos termos independentes (10 e 2).

Matriz X = 10 2

2 1

Na matriz, temos: a11 = 10 a12 = 2 a21 = 2 a22 = 1 rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 Determinante da Matriz X = Dx = 10 x (1) 2 x 2 = 10 4 = 14 Portanto, x igual a:

x = 14

27

xD

D

= =

Dy determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Portanto, temos que substituir, na matriz incompleta, os coeficientes de y (2 e 1) pelos termos independentes (10 e 2).

Matriz Y = 1 10

3 2

Na matriz, temos: a11 = 1 a12 = 10 a21 = 3 a22 = 2 rminanteseria:a 11.a22 a12.a21 Determinante da Matriz Y = Dy = 1 x 2 10 x 3 = 2 30 = 28 Portanto, y igual a:

y = 28

47

yD

D

= =

36




Agora, vamos ver o que o item pede: se x0 e y0 forem os dois primeiros termos de uma progresso geomtrica crescente, ento o terceiro termo dessa progresso ser igual a 8. Vamos relembrar os conceitos de progresso geomtrica. Progresso Geomtrica (PG) toda seqncia numrica cujos termos, a partir do segundo, so iguais ao anterior multiplicado por um valor constante denominado razo (q). Exemplos: PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) razo = 3 (PG crescente) PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) razo = 1 (PG constante ou estacionria) PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) razo = 1/2 (PG decrescente) PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) razo = -3 (PG alternante) Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r. De acordo com a definio: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 (...) an = a1 . qn-1 Termo Geral da PG n termo de ordem n (n-simo termo) q razo a1 primeiro termo Exemplo: Determine o milsimo termo da PG abaixo. PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...) a1= 1 q = 3/1 = 3 a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999

Considere: aj termo de ordem j (j-simo termo) da PA ak termo de ordem k (k-simo termo) da PA aj = ak . q(j-k) Exemplo: Se numa PG, o segundo termo 3 e o sexto termo 243, qual a sua razo? a2 = 3 a6 = 243 a6 = a2 . q6-2 243 = 3 . q4 81 = q4 q = 3

37




Propriedades: I. Cada termo (a partir do segundo) a mdia geomtrica dos termos vizinhos deste. Exemplo:

PG: (x, y, z) y = .x z

Sabe-se que: x = y/q e z = y . q 2. . .y

x z y q y yq

= = =

II. O produto dos termos eqidistantes dos extremos constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) m . t = n . s = r . r = r2 Soma dos n primeiros termos de uma PG Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1.(1 )

, 11

na qq

q

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo. PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, ... )

Sn = 200

2001.(1 ) 1.(1 2 ) 2 11 1 2

na q

q

= =

Nota: 1) Se q = 1 Sn = n.a1

2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) = 11

a

q

3) ( )1.n

n nP a a= produto dos n primeiros termos de uma PG. Voltando questo, sabemos: x = 2 y = 4 Portanto, se eles so os dois primeiros termos de uma progresso geomtrica (PG) (a1 = x = 2 e a2 = y = 4), a razo dessa progresso ser:

q = 2

1

42

2

a y

a x= = =

O terceiro termo da PG ser: a3 = a2 . q = 4 . 2 = 8 GABARITO: Certo

38




18 x0 + y0 = 5. Resoluo x = 2 y = 4 Portanto: x + y = 2 + 4 = 6 GABARITO: Errado (Tcnico em Metrologia e Qualidaderea: Metrologia-Inmetro-2010-Cespe) 19. Trs tcnicos executaram a calibrao de 54 instrumentos de medio. Os nmeros de instrumentos calibrados por cada um dos tcnicos podem ser dispostos em ordem crescente de modo a constituir trs termos de uma progresso aritmtica. Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progresso, ela se transforma em uma progresso geomtrica. Acerca dessa situao, assinale a opo correta. A A razo da progresso aritmtica inferior a 5. B A razo da progresso geomtrica superior a 2. C Um dos tcnicos calibrou menos que 13 instrumentos. D Um dos tcnicos calibrou mais que 25 instrumentos. E Um dos tcnicos calibrou um nmero mpar de instrumentos. Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Trs tcnicos executaram a calibrao de 54 instrumentos de medio. Os nmeros de instrumentos calibrados por cada um dos tcnicos podem ser dispostos em ordem crescente de modo a constituir trs termos de uma progresso aritmtica. Total de Calibraes = 54 De acordo com a questo, o nmero de instrumentos calibrados por cada um dos tcnicos forma uma progresso aritmtica (PA). Nmero de Instrumentos Calibrados pelo Tcnico 1 = T1 Nmero de Instrumentos Calibrados pelo Tcnico 2 = T2 Nmero de Instrumentos Calibrados pelo Tcnico 3 = T3 Se os nmeros formam um PA, considerando que a razo da PA ser r, teremos: T2 = T1 + r T3 = T2 + r = T1 + r + r = T1 + 2r

39




Portanto, a soma dos trs termos da PA (total de calibraes) ser: T1 + T2 + T3 = Total de Calibraes = 54 T1 + T1 + r + T1 + 2r = 54 3T1 + 3r = 54 3.(T1 + r) = 54

T1 + r = 54

3

T1 + r = 18 (repare que T1 + r = T2) Portanto, teremos: T1 = 18 r T2 = 18 T3 = 18 + r III - Adicionando-se 3 ao maior termo dessa progresso, ela se transforma em uma progresso geomtrica. Se somarmos 3 ao valor de T3, transformaremos a progresso aritmtica (PA) em progresso geomtrica (PG). Termos da PG: T1= 18 r T2 = 18 T3= T3 + 3 = 18 + r + 3 = 21 + r Se os termos acima formam um PG, considerando que a razo da PG ser q, teremos:

T2 = 18 = T1.q T1 = 18

q

T3= T3 + 3 = T2.q T3= 18.q Nessa situao, o total dos termos passou a ser 57 (os 54 anteriores mais os 3 somados ao T3, que originaram T3). T1 + T2 + T3 = 57

18

q

+ 18 + 18.q = 57

18

q

+ 18q = 57 18

18

q + 18q = 39

40




Se multiplicarmos os dois lados da igual por q:

18

q.q + 18q.q = 39.q

18 + 18q2 = 39q 18q2 39q + 18 = 0

Simplificando por 3 (dividindo tudo por 3): 6q2 13q + 6 = 0 Portanto, temos uma equao do segundo grau em q. Vamos calcular as razes: 6q2 13q + 6 = 0 a = 6 b = 13 c = 6

q = 22 ( 13) ( 13) 4 6 64

2 2 6

b b ac

a

=

q = 13 169 144 13 25 13 5

12 12 12

= =

Portanto, as razes da equao sero:

q1 =13 5 18 3

12 12 2

+= =

q2 =13 5 8 2

12 12 3

= =

Como a questo fala que o nmero de instrumentos calibrados foi colocado em ordem crescente para chegar na PA, e, depois, na PG, no h sentido em falar em uma razo q menor que 1, pois os termos seriam decrescentes.

Portanto, a razo da PG q = 3

2.

41




Termos da PA:

T1 = 18

q =

18 218 6 2

3 3

2

= = T1 = 12

T2 = 18

T3 + 3 = 18.q T3 =18 x 3

2 3 = 9 x 3 3 = 27 3 T3 = 24

Portanto, a razo da PA ser: r = T2 T1 = 18 12 r = 6 ou r = T3 T2 = 24 18 = 6

Vamos analisar as alternativas: A A razo da progresso aritmtica inferior a 5. r = 6 > 5. A alternativa est incorreta. B A razo da progresso geomtrica superior a 2.

q = 3

2 = 1,5 < 2. A alternativa est incorreta.

C Um dos tcnicos calibrou menos que 13 instrumentos. Um dos tcnicos calibrou 12 instrumentos, que menos que 13. A alternativa est correta. D Um dos tcnicos calibrou mais que 25 instrumentos. Um dos tcnicos calibrou 24 instrumentos, que menos que 25. A alternativa est incorreta. E Um dos tcnicos calibrou um nmero mpar de instrumentos. Todos os tcnicos calibraram nmeros pares de instrumentos (12, 18 e 24). A alternativa est incorreta. GABARITO: C

42




(Administrativa-MPS-2010-Cespe) Trs nmeros reais esto em progresso aritmtica de razo 3 e dois termos dessa progresso so as razes da equao x2 2x 8 = 0. Nesse caso, correto afirmar que 20 o produto dos termos dessa progresso um nmero real positivo. Resoluo De acordo com a questo, temos trs nmeros reais em progresso aritmtica de razo 3. Dois dos nmeros da progresso so as razes da equao x2 2x 8 = 0. Portanto, vamos calcular as razes: a = 1 b = 2 c = 8

x = 22 ( 2) ( 2) 4 1 ( 8)4

2 2 1

b b ac

a

=

x = 2 4 32 2 36 2 6

2 2 2

+ = =


x1 =2 6 8

42 2

+= =

x2 =2 6 4

22 2

= =

Se a razo da PA 3, os termos so crescentes. Alm disso, repare que a diferena entre os valores das razes 6 (4 (2) = 4 + 2 = 6). Portanto, as razes so os primeiro e terceiro termos da PA, pois a diferena entre eles duas vezes o valor da razo. Portanto, teramos: T1 = 2 (valor encontrado como raz da equao) T2 = T1 + r = 2 + 3 = 1 T3 = T2 + r = 1 + 3 = 4 (valor encontrado como raiz da equao) Produto dos Termos = (2) x 1 x 4 = 8 (nmero real negativo) GABARITO: Errado

43




21 a soma dos termos dessa progresso superior a 4 e inferior a 8. Resoluo Soma dos Termos = 2 + 1 + 4 = 3 ( inferior a 4 e inferior a 8) GABARITO: Errado (Polcia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que os tempos de servio, em anos, de 3 servidores pblicos estejam em progresso geomtrica e tenham mdia aritmtica igual a 7 anos, e sabendo que a mdia geomtrica entre o menor e o maior tempo de servio 6 anos, julgue os itens seguintes. 22 O menor tempo de servio igual a 30% do maior tempo de servio. Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Considerando que os tempos de servio, em anos, de 3 servidores pblicos estejam em progresso geomtrica... Os tempos de servio de 3 servidores pblicos esto em progresso geomtrica. Vamos chamar de T1, T2 e T3. Considerando que a razo da progresso geomtrica q, teramos: T2 = T1.q T3 = T2.q II - ...e tenham mdia aritmtica igual a 7 anos,...

Mdia Aritmtica = 1 2 33

T T T+ + = 7

T1 + T2 +T3 = 3 x 7 T1 + T2 +T3 = 21 (A) III - ..e sabendo que a mdia geomtrica entre o menor e o maior tempo de servio 6 anos. A mdia geomtrica entre dois nmeros a e b obtida da seguinte forma:

Mdia Geomtrica = .a b

44




No nosso caso, teremos:

Mdia Geomtrica = 6 = 1 3.T T

J sabemos que T3 = T1.q2.

6 = 21 1. .T T q

6 = 2 21.T q

6 = 21

( . )T q 6 = T1.q (que igual ao termo T2) Portanto, a mdia geomtrica de T1 e T3 igual a T2. Generalizando, a mdia geomtrica de Tn-1 e Tn+1 igual a Tn (considerando que Tn-1, Tn e Tn+1) so termos de uma progresso geomtrica. Alm disso, temos:

T1 = 2T

q =

6

q

T2 = 6 T3 = T2.q = 6.q Substituindo os valores em (A):

T1 + T2 +T3 = 21 (A) 6

q + 6 +6.q = 21

Se multiplicarmos os dois lados por q a igualdade no se altera:

6

q.q + 6.q +6.q.q= 21.q

6+ 6.q +6.q2 = 21.q 6.q2 +6.q 21.q + 6 = 0 6.q2 15.q + 6 = 0 Simplificando por 3: 2.q2 5.q + 2 = 0 a = 2 b = 5 c = 2

q = 22 ( 5) ( 5) 4 2 24

2 2 2

b b ac

a

=

45




q = 5 25 16 5 9 5 3

4 4 4

= =


q1 =5 3 8

24 4

+= =

q2 =5 3 2 1

4 4 2

= =

Aqui, tanto faz considerarmos q igual a 2 ou igual a 1

2, tendo em vista que a

nica diferena ser obter uma PG crescente ou decrescente, pois os termos tero os mesmos valores. Vejamos: A) q = 2 T2 = 6

T1 = 2T

q =

63

2=

T3 = T2.q = 6 x 2 = 12 Termos da PG: 3, 6, 12

B) q = 1

2

T2 = 6

T1 = 2T

q =

6 26 12

1 1

2

= =

T3 = T2.q = 6 x 1

2 = 3

Termos da PG: 12, 6, 3

46




Analisando o item: IV - O menor tempo de servio igual a 30% do maior tempo de servio. Menor Tempo de Servio = 3 anos Maior Tempo de Servio = 12 anos

Menor Tempo de Servio/Maior Tempo de Servio = 3 1

0,25 25%12 4

= = =

Ou seja, o menor tempo de servio igual a 25% do maior tempo de servio. GABARITO: Errado 23 Se os tempos de servio estiverem em ordem crescente, a razo da progresso geomtrica ser inferior a 2,5. Resoluo Se os tempos de servio estiverem em ordem crescente, teremos: T1 = 3 T2 = 6 T3 = 12 Portanto, a razo da PG ser 2, que inferior a 2,5. GABARITO: Certo 24 O maior tempo de servio superior a 10 anos. Resoluo O maior tempo de servio 12 anos sendo, portanto, superior a 10 anos. GABARITO: Certo (Professor-Secretaria de Educao do Estado da Bahia-2010-Cespe) 25. Em uma atividade, a professora de geografia solicitou que os estudantes observassem a variao da populao de um municpio, que cresceu taxa constante de 20% ao ano, a partir de 2007, quando a populao atingiu 50.000 habitantes. O objetivo da atividade era que eles calculassem a populao do municpio ao fim de cada um dos trs anos subsequentes, a partir daquele ano, analisando o resultado obtido. Nesse caso, os estudantes deveriam concluir que a sequncia numrica correspondente populao desse municpio para os anos de 2008, 2009 e 2010 representa uma progresso

47




A aritmtica de razo 1,2. B geomtrica de razo 1,2. C aritmtica de razo 0,02. D geomtrica de razo 0,02. Resoluo Vamos interpretar a questo: I - Em uma atividade, a professora de geografia solicitou que os estudantes observassem a variao da populao de um municpio, que cresceu taxa constante de 20% ao ano, a partir de 2007, quando a populao atingiu 50.000 habitantes. Variao da populao em um municpio: Aumento a uma taxa constante de 20% ao ano, a partir de 2007. Populao em 2007 = 50.000 habitantes II - O objetivo da atividade era que eles calculassem a populao do municpio ao fim de cada um dos trs anos subsequentes, a partir daquele ano, analisando o resultado obtido. Nesse caso, os estudantes deveriam concluir que a sequncia numrica correspondente populao desse municpio para os anos de 2008, 2009 e 2010 representa uma progresso... A populao em 2008 ser 20% maior que a de 2007: Populao em 2008 = Populao em 2007 + 20% x Populao em 2007 Populao em 2008 = Populao em 2007 + 0,20 x Populao em 2007 Populao em 2008 = 1,20 x Populao em 2007 A populao em 2009 ser 20% maior que a de 2008: Populao em 2009 = Populao em 2008 + 20% x Populao em 2008 Populao em 2009 = Populao em 2008 + 0,20 x Populao em 2008 Populao em 2009 = 1,20 x Populao em 2008 A populao em 2010 ser 20% maior que a de 2009: Populao em 2010 = Populao em 2009 + 20% x Populao em 2009 Populao em 2010 = Populao em 2009 + 0,20 x Populao em 2009 Populao em 2010 = 1,20 x Populao em 2009 Portanto, temos uma progresso geomtrica de razo 1,20. GABARITO: B

48




26.(AFRFB-2009-Esaf) Com relao ao sistema,

1

2 11

3 2 2

x y z

x y z

z x y

+ + =

+= =

+ +

onde 3 z + 2 0 e 2 x + y 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: a) impossvel. b) indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a soluo trivial. e) homogneo. Resoluo Temos um sistema de trs equaes e trs incgnitas, tendo em vista que a segunda equao pode ser dividida em duas. Vejamos:

1

21 2 3 2 2 3 2

3 2

11 1 2 2 1

2

x y z

x yx y z x y z

z

zz x y x y z

x y

+ + =

= = + =

++

= + = + + =+

Sistema: x + y + z = 1 2x y 3z = 2 2x + y z = 1 Calculandorminanteformadopeloscoeficientesdex,yez:

1 1 1

2 1 3 ( 1).( 1).1 1.( 3).2 1.2.1 1.( 1).2 2.1.( 1) 1.1.( 3)

2 1 1

1 1 1

2 1 3 1 6 2 2 2 3 4

2 1 1

D

D

= = + +

= = + + + + =

(alternativa c)

49




Anlise de um sistema:

1) Sistema possvel e determinado: D 0 (uma nica soluo) 2) Possvel e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx, Dy e Dz

forem iguais a zero. 3) Impossvel: D = 0 e (Dx ou Dy ou Dz) forem diferentes de zero.

Logo, como D 0, o sistema possvel e determinado. Com isso, eliminamos as alternativas a e b. A soluo trivial seria: x = y = z = 0, que no soluo do sistema. Logo, o sistema no possui a soluo trivial. Sistema linear Homogneo: os termos independentes de todas as equaes so nulos. Todo sistema linear homogneo admite pelo menos a soluo trivial, que a soluo identicamente nula. No caso no sistema da questo, os termos independentes no so nulos. Portanto, eliminamos a alternativa e. GABARITO: C 27.(Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3. Resoluo Repare que a questo pede o determinante de uma matriz 4 x 4. A, voc poderia indagar: os professores ficaram malucos, pois aprendi apenas o procedimento de clculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 (2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E a? Como fazer? Bom esta questo envolve as propriedades dos determinantes, que so aplicveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. Vamos relembrar a propriedade que ser utilizada na questo: Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um nmero k, o determinante na nova matriz A ser o produto de k pelo determinante de A: det A= k . det A. Tambm vale para a diviso por k: det A= (1/k) . det A. Consideramos a matriz 4 x 4 igual Aerminantede A igual a: det(A)

50




I. Linha 2 da matriz Amultiplicadapor2:logo,onovrminanteser:Novrminante=2xdet(A) II. Linha 3 da matriz Adivididapor3:logo,onovrminanteser:

Novrminante=2xdet(A)x(1

3

) = (

2

3

) x det(A)

Vamos aproveitar a questo e relembrar as propriedades dos determinantes que podem ser cobradas em provas. I) det A = det At Onde, At a matriz transposta. Exemplo:

1 2 1 4

4 3 2 3

det 3 1 ( 2) 4 3 8 11

det 1 3 4 ( 2) 3 8 11

tA A

A

tA

= =

= = + =

= = + =

II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, ento det A = 0. Exemplo:

0 4 2

0 8 7

0 6 5

det 0 8 5 4 7 0 0 6 2 2 8 0 0 6 7 0 4 5 0

A

A

= = + + =

III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um nmero k,rminantenanovamatriz A ser o produto de k pelo determinante de A. det A= k . det A. Tambm vlida para diviso por um nmero k. Neste caso, teramos: det A= (1/k) . det A. Exemplo:

2 1

4 3

det 3 2 1 4 2

2( 1)

2 2 1 4 1

4 2 3 8 3

det 4 3 1 8 4 2 2

A

A

k coluna

A

A x

= = =

=

= =

= = =

51




Nota: Como conseqncia da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um nmero k, det (kA) = kn . det A, onde n a ordem da matriz quadrada A. Exemplo:

2

, 22 1

4 3

det 3 2 1 4 2

4 2 2.

8 6

det 4 6 2 8 24 16 8 2 2

nA

A

A A

A

=

=

= =

= =

= = = =

IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posio duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A= - det A. Exemplo:

1 4 2

2 8 7

3 6 5

det 1 8 5 4 7 3 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5

det 40 84 24 48 42 40 18

1 4 2

3 6 5

2 8 7

det 1 6 7 3 8 2 4 5 2 2 6 2 1 8 5 3 4 7

det 42 48 40 24 40 84 18

A

A

A

A

A

A

=

= + + = + + =

=

= + + = + + =

V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. Exemplo:

1 4 1

2 1 2

3 6 3

det 1 1 3 4 2 3 2 6 1 1 1 3 1 2 6 2 4 3

det 3 24 12 3 12 24 0

A

A

A

=

= + + = + + =

52




VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. Exemplo:

,

1 4 1

2 8 2 2 2 1

3 6 1

det 1 8 1 4 2 3 2 6 1 1 8 3 1 2 6 2 4 1

det 8 24 12 24 12 8 0

A linha linha

A

A

= =

= + + = + + =

VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que uma combinao linear das outras filas. Portanto, det A = 0. Exemplo:

,

1 2 1

2 5 3 3 2 1 2

4 9 5

det 1 5 5 2 3 4 2 9 1 1 5 4 1 3 9 2 2 5

det 25 24 18 20 27 20 0

A linha xlinha linha

A

A

= = +

= + + = + + =

VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A o produto dos elementos dessa diagonal. Exemplo:

1 0 0

2 5 0

4 9 5

det 1 5 5 0 0 4 2 9 0 0 5 4 1 0 9 2 0 5 det 1 5 5 25

A

A A

=

= + + = =

53




IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundria iguais a zero. Neste caso, o determinante de A o produto dos elementos dessa diagonal (secundria) multiplicado por: (-1)n.(n-1)/2, onde n a ordem da matriz quadrada. Exemplo:

3.(3 1)

2

1 4 2

2 5 0

4 0 0

det 1 5 0 4 0 4 2 0 ( 2) ( 2) 5 4 1 0 0 2 4 0 det 2 5 4 40

det ( 1) ( 2) 5 4 40

A

A A

ou

A

=

= + + = =

= =

X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Exemplo:

2 0

2 1

det 2 1 0 2 2

1 2

3 4

det 1 4 3 2 2

det det 2 ( 2) 4

2 0 1 2 2 1 0 3 2 2 0 4 2 4. .

2 1 3 4 2 1 1 3 2 2 1 4 5 8

det 2 8 5 4 16 20 4

A

A

B

B

A B

AB

AB

=

= =

=

= = = =

+ + = = =

+ + = = =

Nota: Como A . A-1 = In, pela propriedade acima, temos: det(A.A-1)= det(In) det A . det A-1 = 1 det A-1 = 1/det A rminantedamatrizinversaoinversodrminantedamatriz. uma outra conseqncia que uma matriz somente ter matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. GABARITO: E

54




28.(ANA-2009-Esaf) rminantedamatriz

2 1 0

4 2

B a b c

a b c

=

+ +

a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 Resoluo Determinante de uma matriz de ordem 3:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 Para memorizar esta frmula, vamos adotar o seguinte procedimento, tambm conhecido como Regra de Sarrus para o clculo de determinantes de ordem 3: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 3231 32 33

a a a a a

A a a a a a

a aa a a

=

b) Os termos precedidos do sinal + so obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direo da diagonal principal: a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32

+

55




c) Os termos precedidos do sinal - so obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direo da diagonal secundria: - a13 . a22 . a31 a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33

Exemplo:

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

=

1 3 4 1 3

det 5 2 3 5 2 1 2 2 3 ( 3) 1 4 5 4 4 2 1 1 ( 3) 4 3 5 2

1 4 2 1 4

det 4 9 80 8 12 30 49

A x x x x x x x x x x x x

A

= = + +

= + + =

Outra forma de memorizar:

I) Os termos precedidos pelo sinal + so obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

II) Os termos precedidos pelo sinal - so obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

a11 x a22 x a33

a12 x a23 x a31

a13 x a21 x a32

a13 x a22 x a31

a11 x a32 x a23

a12 x a21 x a33

56




Clculodrminantedeumamatrizdeordem3:

2 1 0 2 1

4 2 4 2

B a b c a b

a b c a b

=

+ + + +

det B = 2.b.c + 1.c.(4+a) + 0.a.(2+b) 0.b.(4+a) 2.c.(2+b) 1.a.c det B = 2bc + 4c + ca 4c 2bc ac = 2bc 2bc + 4c 4c + ca ca det B = 0 GABARITO: E 29.(Tcnico de Finanas e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, ento a potncia dada por (a22)a12erminantedamatrizXso,respectivamente,iguaisa:

) 2 2

) 2 0

) 2 1

)2 0

) 2 0

a e

b e

c e

d e

e e

Resoluo Vamos estudar os conceitos: Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em linhas e colunas. Cada elemento da matriz est associado a uma posio, que identificada da seguinte forma: m = nmero de linhas da matriz n = nmero de colunas da matriz aij = elemento da matriz. O ndice i indica a linha e o ndice j indica a coluna s quais o elemento pertence. a11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. a12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. a13 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 3. a14 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 4.

57




(...) a31 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 1. a32 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 2. a33 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 3. a34 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 4. (...) amn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. A representao de uma matriz, ento, ficaria do seguinte modo: a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n

a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn Adio de Matrizes Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a soma A + B ser uma matriz C = (cij)mxn, tal que cij = aij + bij, para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n ser uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento ser a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. S possvel somar matrizes de mesmo nmero de linhas e mesmo nmero de colunas. Exemplo:

1 2 2 0 1 2 2 0 3 2

3 4 4 5 3 4 4 5 7 9

+ ++ = =

+ +

1 4 1 4 3

2 3 2 3 5

3 1 3 1 2

+ = + =

Vamos resoluo da questo: A = (aij), de terceira ordem A = X + Y X = (xij)

Representao de uma matriz de m linhas e n colunas

58




Y=(yij) xij = i1/2 yij = (i-j)2 I Clculo da (a22)a12: Como a matriz A soma das matrizes X e Y, cada elemento de A corresponde soma dos elementos correspondentes de X e Y. Logo: a22 = x22 + y22 x22 (i=2) = i1/2 = 21/2

y22 (i=2;j=2) = (i-j)2 = (2-2)2 = 02 = 0 a22 = x22 + y22 = 21/2 + 0 = 21/2 a12 = x12 + y12 x12 (i=1) = i1/2 = 11/2 = 1 y12 (i=1;j=2) = (i-j)2 = (1-2)2 = (-1)2 = 1 a12 = x12 + y12 = 1 + 1 = 2 (a22)a12 = (21/2)2 = 2 IIClculodrminantedamatrizX:comoAdeordem3eoresultadoda soma de X e Y, tanto X quanto Y tambm possuem ordem 3. Matriz X: 1 linha (i=1): x11 = x12 = x13 = 11/2 = 1; 2 linha (i=2): x21 = x22 = x23 = 2(1/2); e 3 linha (i=3): x31 = x32 = x23 = 3(1/2). Vamos relembrar outra propriedade dos determinantes: Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. Logo, como a linha 2 da matriz X proporcional a linha 1:

Linha 2 = 2(1/2) x Linha 1 Ento, det (X) = 0 GABARITO: D

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30.(Tcnico de Finanas e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o sistema de equaes lineares, x1 x2 = 2 2x1 + px2 = q pode-se corretamente afirmar que: a) se p = -2 e q 4, ento o sistema impossvel. b) se p -2 e q = 4, ento o sistema possvel e indeterminado. c) se p = -2, ento o sistema possvel e determinado. d) se p = -2 e q 4, ento o sistema possvel e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, ento o sistema impossvel. Resoluo De acordo com a Regra de Cramer, temos: D determinante da matriz incompleta. Dx determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. Dy determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Sistema possvel e determinado: D 0 (uma nica soluo) Possvel e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy forem iguais a zero. Impossvel: D = 0 e (Dx ou Dy) forem diferentes de zero. Escrevendo o sistema em forma de matriz, teramos:

1

2

1 1 2.

2

x

xp q

=

D = 1.p (-1) x 2 = p + 2 rminanteDdamatrizincompletaserzeroquando:D = p + 2 = 0 p = -2 2 1

2 ( 1). 2D p q p qxq p

= = +

Dx = 0, quando: 2p + q = 0 => p = -q/2 ou q = -2p

60


Profs. Alexandre Lima e Mo

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