Aula. 03 - Cap2

Capıtulo 2

Espacos Vetoriais de Dimensao

Infinita

2.1 Espaco de funcoes e o espaco L2

Vide discussao em sala.

2.2 Espaco de Hilbert

Como vimos anteriormente, o espaco L2 tem a estrutura de ℜ∞. Da mesma forma quegeneralizamos as propriedades de ℜn para espacos vetoriais abstratos Vn ditos espacos eucli-deanos e natural perguntar se generalizacao semelhante existe pra ℜ∞, i.e, L2. A resposta esim e os espacos com as propriedades de ℜ∞ sao ditos espacos de Hilbert. Relembremos anocao de espaco completo.

Definicao 2.1. Um espaco vetorial (dotado de uma norma) e dito completo se toda sequenciade Cauchy for convergente i.e o limite e um elemento do respectivo espaco. Note que umasequencia de Cauchy |Vi〉∞i=1 em um e.v. e tal que para qualquer ǫ > 0 existe um N tal que

|Vn − Vm| < ǫ, ∀n,m > N.

Como ja mencionado, as normas de maior interesse sao aquelas derivadas de um produtointerno 〈·|·〉 . Isso sugere que devemos considerar espacos vetoriais com produto interno.

Definicao 2.2. Um espaco de Hilbert e um espaco vetorial com produto interno e que ecompleto.

Da definicao acima, e claro que todo espaco euclideano, isto e, de dimensao finita, e umespaco de Hilbert. Nosso interesse, contudo, sera nos espacos de Hilbert de dimensao infinito.

1

2 CAPITULO 2. ESPACOS VETORIAIS DE DIMENSAO INFINITA

Por isso, sempre que falarmos “espacos de Hilbert”, teremos em mente espacos de Hilbertde dimensao infinita.

Exemplo 2.1. L2 e obviamente um espaco de Hilbert, cuja dimensao e a cardinalidade dosnaturais.

Todo espaco vetorial possui uma base. (Esse e um resultado basico que decorre dosaxiomas de teoria dos conjuntos). Os espacos e Hilbert que interessam na fısica sao aquelesque admitem uma base enumeravel, ou seja, os chamados espacos de Hilbert separaveis.

Definicao 2.3. Um espaco de Hilbert e dito separavel se possuir uma base ortonormal enu-meravel.

Ou seja, um espaco de Hilbert H e separavel se existir um conjunto enumeravel de vetoresortonormais

B = |i〉∞i=1, com 〈i|j〉 = δij

tal que para qualquer vetor |f〉 ∈ H temos

|f〉 =∞∑

i=1

fi |i〉 .

Nesse sentido os coeficientes fi sao as coordenadas (ou componentes) de |f〉 na base |i〉∞i=1.Nessa base, podemos escrever |f〉 como um vetor coluna com infinitos elementos:

|f〉 =

f1f2...fn...

.

O modulo de |f〉 em termos das coordenadas fi, sera

|f |2 = 〈f |f〉 =∞∑

1

|fi|2.

A caracterizacao acima permite construirmos um outro exemplo de espaco de Hilbert.

Exemplo 2.2 (ℜ∞). Considere o espaco de sequencias da forma fi∞i=1 com∑∞

1|fi|2 <∞.

Se denotarmos por |f〉 um elemento desse espaco e escrevermos

|f〉 =

f1f2...fn...

.

2.2. ESPACO DE HILBERT 3

e definirmos o produto vetorial de maneira analoga ao Rn :

〈f |g〉 =∞∑

1

f ∗i gi

bem como a soma |f〉 + |g〉 e a multiplicacao por escalar a |f〉 de maneira usual, entaopodemos facilmente mostrar que o espaco desses vetores infinitos (com modulo finito) e umespaco de Hilbert. Para verificar isso, basta perceber que o espaco acima e isomorfo aoL2. De fato, os coeficientes fi podem ser vistos como os coeficientes de Fourier de f(x) emalguma base ortonormal apropriada.

Note que se |i〉∞i=1 e uma base de um espaco de Hilbert, entao vale a relacao de com-pleteza

∞∑

1

|i〉〈i| = I.

Da discussao acima, ve-se que o conceito de espaco de Hilbert e uma generalizacao deespacos euclideanos para dimensao infinita. Muitas das propriedades e relacoes da algebralinear de e.v. de dimensao finita permanece valida para espacos de Hilbert (separaveis). Porexemplo, pode-se mostrar que dois espacos de Hilbert (separaveis) H1 e H2 sao isomorfosentre si, ou seja, H1 ≈ H2. Esse resultado e uma extensao do fato de que dois espacosvetoriais de dimensao finita sao isomorfos se eles possuem a mesma dimensao, para o casode dimensao infinita enumeravel. Ou seja, se H1 e H2 sao dois espacos de Hilbert separaveiseles tem, por definicao, a mesma dimensao, qual seja, a cardinalidade dos naturais, logo saoisomorfos. Podemos assim enunciar o seguinte teorema.

Teorema 2.1. Todos os espacos de Hilbert separaveis sao isomorfos a L2.

Corolario 2.1. Todos os espacos de Hilbert (separaveis) sao isomorfos a ℜ∞. Vemos entaoque os espacos de Hilbert prototıpicos sao:

i) espaco L2 de funcoes ψ(x) de quadrado integravel.

ii) espaco R∞ de vetores infinitos da forma

|ψ〉 =

ψ1

ψ2

...ψn...

.

com∑∞

1|ψi|2 <∞.


Em mecanica quantica, a escolha de representarmos o estado de uma partıcula por umafuncao ψ(x) corresponde a mecanica ondulatoria de Schrodinger.

A escolha do estado da partıcula como um vetor infinito |ψ〉 ∈ ℜ∞ corresponde a mecanicamatricial de Heisenberg. Os dois formalismos sao obviamente equivalentes. Tal como eme.v. de dimensao finita, tambem para cada ket de |f〉 ∈ H podemos associar um vetor dual,ou bra 〈f | ∈ H∗, pertencente ao dual H∗. Em outras palavras, se |f〉 ∈ H entao podemosdefinir o funcional linear ou bra 〈f | pela relacao

〈f | (|g〉) = 〈f |g〉 , ∀ |g〉 ∈ H

Da mesma forma (como no caso de dimensao finita) todo funcional linear 〈f |·〉 corres-ponde a um ket |f〉 . Isso e garantido pelo teorema abaixo.

Teorema 2.2 (Teorema de Riesz-Frechet). Seja F um funcional linear em um espaco deHilbert H. Entao existe um |f〉 ∈ H tal que

F (|g〉) = 〈f |g〉 , ∀ |g〉 ∈ H.

Isso garante que o funcional F pode ser identificado com o ket |f〉 via a seguinte relacao

F ↔ 〈f |·〉 .

Em outras palavras, o teorema de Riesz-Frechet garante que H e o seu dual H∗ sao isomorfos:

H ∼= H∗.

Nesse sentido, fica ainda mais evidente a nocao de um espaco de Hilbert com uma genera-lizacao de ℜn para n→∞.

Teorema 2.3. Todo espaco de Hilbert (separavel ou nao) possui (pelo menos) uma baseortonormal.

2.3 Espacos das funcoes testes e espaco de Hilbert equi-

pado

Do ponto de vista fısico, e claro que o espaco L2 e muito amplo em escopo: as funcoes deonda ψ(x) alem de serem de quadrado integravel, visto que |ψ(x)|2 possui interpretacao dedensidade de probabilidade, devem tambem possuir certas propriedades de regularidade. Nosdevemos reter, entre todas as funcoes de L2, apenas aquelas que sao definidas em todos ospontos, contınuas e infinitamente diferenciaveis. Alem disso, essas funcoes devem ser “bemcomportadas” tambem no infinito. Aqui ha duas classes principais de funcoes fisicamenterazoaveis.

2.3. ESPACOS DAS FUNCOES TESTES E ESPACO DE HILBERT EQUIPADO 5

i) C∞F : funcoes infinitamente diferenciaveis com suporte composto (ou seja, ψ(x) = 0 se|x| >, a para algum a > 0).

ii) S : funcoes infinitamente diferenciaveis que vao a zero no infinito de maneira mais rapidaque qualquer lei de potencia 1/xn. Esse e o chamado espaco de Schwartz.

Por razoes que ficarao obvias em breve, as funcoes fisicamente admissıveis sao chamadasde “funcoes teste”. O conjunto das funcoes teste, seja ele C∞

F ou S, sera denotado aqui porum sımbolo generico, qual seja,

Φ : espaco de funcoes teste.

E claro que Φ e um subspaco de L2, ou mais propriamente, do espaco de Hilbert H, ou sejaΦ ⊂ H.

(Obs: O livro do Cohen-Tannoudji denota por F ⊂ L2 o espaco das funcoes fisicamenterazoaveis.)

Mencionamos acima sem maiores justificativas que o espaco de Hilbert L2 e “muitoamplo” para as aplicacoes da mecanica quantica. Uma razao para isso e que certos operadoresde interesse para a MQ podem atuar em L2. A discussao sobre operadores no espaco deHilbert sera postergada para mais adiante, mas por enquanto vale a pena fazer uma discussaoqualitativa dos problemas com L2 mencionados acima.

Por exemplo, considere o operador posicao X definido por:

Xf(x) = xf(x).

E claro que havera funcoes f ∈ L2 para as quais Xf /∈ L2. Por exemplo, considere

f(x) =1

x+ i.

Claramente f(x) ∈ L2 (verifique isso), mas

g(x) = Xf(x) =x

x+ i/∈ L2.

O domınio de X, denotado por D(X), e definido como o conjunto das funcoes f(x) ∈ L2

para as quais Xf permanece de quadrado integravel, ou seja,

D(x) =

f(x) ∈ L2 /

∫ ∞

−∞

|xf(x)|2dx <∞.

Da mesma forma, o proprio D(X) nao e invariante pela acao de X ; ou seja, se aplicarmosX a funcoes do conjunto D(X) podemos obter funcoes “fora” de D(X). Por exemplo

h(x) =1

x2 + 1∈ D(X)


masXh(x) =

x

x2 + 1/∈ D(X).

Assim se for relevante para o problema fısico em questao considerar potenciais Xn dooperador X, devemos exigir que as funcoes resultantes Xnf permanecam em L2. Ou seja, osubespaco Φ ⊂ H das funcoes fisicamente invariante pela aplicacao de Xn, para quaisquerpotencias n.

O fato de restringirmos as funcoes de onda ψ(x) a um subespaco Φ ⊂ H apropriado nosgarante que a acao de operadores relevantes nao nos levara para fora de L2 (logo permanecevalida a interpretacao probabilıstica de funcao de onda). Por outro lado, isso cria um grave“problema” como veremos adiante.

Da nossa discussao anterior, sabemos que para todo ket |f〉 ∈ Φ podemos associar umbra (vetor dual) 〈f | ∈ Φ∗ (ou seja, o espaco de funcionais lineares atuando em Φ), a partirdo produto interno

|f〉 ∈ Φ → 〈f | ∈ Φ∗,

onde 〈f | representa o funcional 〈f |·〉 , ou seja,

〈f | (|g〉) = 〈f |g〉 , ∀ |g〉 ∈ Φ.

Entretanto, e possıvel definirmos um bra 〈φ| ∈ Φ∗ para o qual nao existe nenhum ket |φ〉em Φ correspondente. Para ver isso considere a seguinte sequencia de funcoes

ϕn(n) =

0 , |x| > 1/nn/2 , |x| < 1/n, n = 1, 2, 3, . . .

Nesse caso temos ϕn ∈ C0F . Alem disso

∫ ∞

−∞

ϕn(x)dx =

∫

1/n

−1/n

n

2dx = 1, ∀n.

Claramente o limite limn→∞ ϕn(x) nao e sequer uma funcao (logo /∈ C0F ). Entretanto a

sequencia ϕn(x) converge no chamado “sentido de distribuicao”, a saber

limn→∞

∫ ∞

−∞

ϕn(x)f(x)dx = limn→∞

n

2

∫

1/n

−1/n

f(x)dx = f(0).

Ou seja, podemos definir o seguinte funcional linear 〈ϕ| como o limite dos bras 〈ϕn| noseguinte sentido

〈ϕ| = limn→∞

〈ϕn|ou

〈ϕ|f〉 = limn→∞

〈ϕn|f〉 = limn→∞

∫ ∞

−∞

ϕn(x)f(x)dx = f(0).

2.3. ESPACOS DAS FUNCOES TESTES E ESPACO DE HILBERT EQUIPADO 7

Em outras palavras, o funcional 〈ϕ| e formalmente definido por

〈ϕ| (|f〉) = f(0), ∀ |f〉 ∈ Φ. (2.1)

Como mostrado acima, ao bra 〈ϕ| nao esta associado nenhum ket |ϕ〉 , ou seja, nenhumafuncao ϕn(x) ∈ Φ, a partir da qual possamos definir o funcional 〈ϕ|·〉 .

A definicao (2.1) do funcional 〈ϕ| obtido com a sequencia das funcoes ϕn(x) e exatamentea definicao da “funcao” delta de Dirac:

∫ ∞

−∞

δ(x)f(x)dx = f(0).

Isto e, o funcional 〈ϕ| acima e precisamente a chamada delta de Dirac. Assim podemos dizer:

〈ϕ| ≡ 〈δ| .

Em face dessa associacao e conveniente denotarmos o limite da sequencia ϕn(x) pelo sımboloδ(x) e trata-lo como se fosse uma funcao ordinaria, embora seja uma distribuicao ou funcaogeneralizada. Assim escrevemos

limn→∞

ϕn(x) = δ(x)

significando

limn→∞

〈ϕn| = 〈δ| .

De uma maneira geral, funcionais lineares em Φ sao chamados de distribuicoes.

Definicao 2.4 (Distribuicao). Uma distribuicao 〈ϕ| ∈ Φ∗ e um funcional linear sobre oespaco Φ das funcoes teste.

Pode-se mostrar agora que toda distribuicao 〈ϕ| ∈ Φ∗ pode ser definida atraves de umasequencia de funcoes ϕn(x) ∈ Φ∗. Ou seja, se 〈ϕ| ∈ Φ∗ entao existe ϕn(x) ∈ Φ∗ tal que

〈ϕ|f〉 = limn→∞

∫ ∞

−∞

ϕn(x)f(x)dx, ∀f ∈ Φ.

Nesse sentido, definimos a funcao generalizada ϕn como o limite da sequencia

ϕ(x) = limn→∞

ϕn(x)

significando que

〈ϕ|f〉 ≡ limn→∞

∫ ∞

−∞

ϕn(x)f(x)dx.


Exemplo 2.3. A funcao de Heaviside

Θ(x) =

1 , x > 00 , x < 0, n = 1, 2, 3, . . .

Claramente nao e de quadrado integravel, ou seja, Θ(x) /∈ L2. Entretanto e possıvel inter-pretarmos Θ(x) como uma funcao generalizada, ou seja, como um elemento de Φ∗ definidapor

〈Θ|f〉 =∫ ∞

−∞

Θ(x)f(x)dx =

∫ ∞

0

f(x)dx.

Obs.: nesse caso podemos tomar Φ = C0F para garantir que a integral acima converge.

A discussao acima mostrou que Φ∗ e um espaco “maior” do que L2, uma vez que haelementos no primeiro ao qual nao ha correspondente no segundo, mas o contrario e sempreverdadeiro, ou seja, L2 ⊂ Φ∗ (e Φ∗ 6⊂ L2).

De uma maneira geral, temos o seguinte tripleto de espacos vetoriais

Φ ⊂ H ∼= H∗ ⊂ Φ∗.

O conjunto dos tres espacos (Φ, H, Φ∗) e chamado de tripleto de Gelfand ou um espacode Hilbert equipado.

Da desigualdade acima decorre que

dim(Φ∗) > dim(H) = card(N).Tem-se entao que

dim(Φ∗) = card(ℜ),logo uma base B de Φ∗ deve conter uma quantidade infinita e nao enumeravel de elementos.

2.4 Bases contınuas

Seja Φ∗ o espaco das distribuicoes definidas em um certo espaco de funcoes teste Φ.Como discutido na secao anterior, podemos representar uma distribuicao 〈ϕ| pela funcaogeneralizada φ(x) definida por

∫ ∞

−∞

ϕ∗(x)f(x)dx ∼= 〈ϕ|f〉 = limn→∞

∫ ∞

−∞

ϕ∗n(x)f(x)dx.

Aqui voltamos a considerr que φ(x) pode assumir valores complexos.Se Φ = S, podemos definir naturalmente um produto interno em Φ∗ da seguinte maneira.

Sejam 〈ϕ| e 〈ψ| duas distribuicoes, entao o produto interno entre elas e

〈ψ|ϕ〉 =∫ ∞

−∞

ψ∗(x)ϕ(x)dx ∼= limn→∞

∫ ∞

−∞

ψ∗n(x)ϕn(x)f(x)dx.

2.4. BASES CONTINUAS 9

Em particular note que

|ϕ|2 = | 〈ϕ|ϕ〉 |2 = limn→∞

∫ ∞

−∞

|ϕ∗n(x)|2dx.

Pode-se mostrar ainda que o espaco das distribuicoes Φ∗ equipado com o produto internoacima e complexo, logo Φ∗ e um espaco de Hilbert. Esse espaco e as vezes chamado de espacodas funcoes generalizadas de quadrado integravel ou L2. Dessa forma podemos escrever otripleto de Gelfond

Φ ⊂ L2 ⊂ L2.

Temos entao que φ∗ ≃ L2 e um espaco de Hilbert nao-separave, logo com a dimensao iguala cardinalidade dos reais.

Vimos acima que podemos associar um bra 〈ϕ| ∈ Φ∗ com uma funcao generalizada ϕ(x).Nesse sentido podemos pensar na funcao generalizada ϕ(x) como o ket |ϕ〉 associada ao bra〈ϕ| . Com essa interpretacao, temos que a cada bra 〈ϕ| corresponde um ket |ϕ〉 e vice versa.(Em outras palavras, com a construcao do espaco de Hilbert equipado sanamos a deficienciaanterior em Φ, onde se tinha bra que nao estava associado a nenhum ket em Φ).

Vimos ainda que o espaco das funcoes generalizadas ϕ(x) (ou ϕ) possui dimensao iguala cardinalidade dos reais. Em analogia com o espaco de Hilbert separaveis cuja base edenotada por |i〉∞i=1, denotaremos por

B = |x〉x∈R

uma base de Φ∗. Entao se |ϕ〉 ∈ Φ∗ e uma funcao generalizada, nessa base teremos

〈x|ϕ〉 ∼= ϕ(x).

Dizemos entao que ϕ(x) sao as coordenadas de |ϕ〉 na base |x〉x∈R.Obs.: rigorosamente deverıamos falar da base |x〉x∈R do espaco Φ∗. Entretanto, como

vimos acima, podemos associar a cada bra 〈x| um ket |x〉 .A decomposicao de um ket |ϕ〉 na base |x〉 pode ser facilmente obtida. Seja |f〉 ∈ Φ,

entao

〈ϕ|(f〉) = 〈ϕ|f〉 =

∫

ϕ∗(x)f(x)dx

=

∫

〈x|ϕ〉∗〈x|f〉 dx

=

∫

〈ϕ|x〉∗〈x|f〉 dx

=

(∫

〈ϕ|x〉∗〈x| dx)

|f〉 .


Donde podemos escrever:

〈x| =∫

dx 〈ϕ|x〉〈x|

ou alternativamente

|x〉 =∫

dx 〈x|ϕ〉 |x〉 =∫ ∞

−∞

ϕ(x) |x〉 dx.

Compare com o caso separavel

|f〉 =∑

i

〈i|f〉 |i〉 =∑

i

fi |i〉 .

O produto interno entre duas distribuicoes |ϕ〉 e |ψ〉 e:

〈ψ|ϕ〉 =

∫ ∞

−∞

ψ∗(x)ϕ(x)dx

=

∫ ∞

−∞

〈ψ|x〉〈x|ϕ〉 dx

= 〈ψ|∫ ∞

−∞

|ψ〉〈x| dx.

Donde∫ ∞

−∞

|x〉〈x| dx = I

e a relacao de completeza da base contınua.Tomando agora o produto interno de |ϕ〉 com outro elemento da base |x′〉 , temos

〈x′|ϕ〉 =∫ ∞

−∞

〈x′| (ϕ(x) |x〉)dx

ou

ϕ(x′) =

∫ ∞

−∞

ϕ(x) 〈x′|x〉 dx,

donde concluimos que

〈x′|x〉 = δ(x− x′). ← relacao de ortogonalidade da base|x〉x∈ℜ.

Dizemos entao que a base |x〉 e normalizada a uma delta de Dirac. (Compare com o casodiscreto 〈i|j〉 = δij).

Em particular podemos escrever o ket |x〉 na propria base |x〉 :

|x〉 =∫

dx′ |x′〉〈x′|x〉 =∫

δ(x− x′) |x′〉 dx′.

Compare com |i〉 = ∑

j δij |j〉 .

2.5. OPERADORES EM ESPACOS DE HILBERT 11

Observacao. Tecnicamente ha uma diferenca entre os kets |x〉 e os bras 〈x| . Como men-sionado 〈x| ∈ Φ∗, ou seja, 〈x| e um funcional linear 〈x|·〉 definido por

〈x|f〉 = f(x), ∀ |f〉 ∈ Φ.

Por outro lado |x〉 representa um funcional antilinear 〈·|x〉 definido por

〈f |x〉 = f ′(x), ∀ |f〉 ∈ Φ.

A antilinearidade de |x〉 decorre da antilinearidade do produto interno:

〈αf + βg|x〉 = α∗f ∗(x) + β∗g∗(x)

= α∗ 〈f |x〉+ β∗ 〈g|x〉 .

O espaco dos funcionais antilineares definidos em Φ e denotado por Φ×. Ou seja,

Φ∗ : espaco dos funcionais lineares

Φ× : espaco dos funcionais antilineares

Assim rigorosamente temos

〈x| ∈ Φ∗ e |x〉 ∈ Φ×.

O mesmo valendo para distribuicoes genericas 〈ϕ|

〈ϕ| ∈ Φ∗ e |ϕ〉 ∈ Φ×.

Entretanto, claramente temos que

Φ∗ ∼= Φ×.

Em face desse isomorfismo vamos nos referir tanto aos bras 〈x| quanto aos kets |x〉 comodistribuicoes. Em particular vamos considerar os kets generalizados |x〉 como elementos domesmo espaco dos bras 〈x| , ou seja, Φ∗, quando na verdade os kets |x〉 sao elementos doespaco Φ×.

2.5 Operadores em Espacos de Hilbert

Vimos que em um espaco de Hilbert separavel, i.e., com uma base discreta |i〉∞i=1

um operador A pode ser definido (representado) por uma matriz cujos elementos da baseespecificam a acao de A sobre os elementos da base, ou seja, se

|v〉 ≡ A |u〉


entao contraindo com 〈i| e inserindo a relacao

∞∑

j=1

|j〉〈j| = I

entre A e |u〉 segue que〈i|A|u〉 = 〈i|v〉〈i|A · I|u〉 = 〈i|v〉

〈i|A∑

j

|j〉〈j|u〉 = 〈i|v〉

∑

j

〈i|A|j〉〈j|u〉 = 〈i|v〉

∴∑

j

Aijvj = u;

que e a regra usual de multiplicacao de matriz por vetor.Consideremos agora um operador K atuando em um espaco de Hilbert nao separavel, ou

seja, com uma base contınua. Seja entao

|g〉 = K |f〉 .

Vamos encontrar as coordenadas de |g〉 na base |x〉. Repetindo o procedimento anterior,terıamos

〈x|g〉 = 〈x|K|f〉 = 〈x|K · I|f〉

= 〈x|K(∫ b

a

|x′〉〈x′| dx′)

|f〉

∴

g(x) =

∫ b

a

Kxx′f(x′)dx′, (∗∗)

onde Kxx′ ≡ 〈x|K|x′〉 ”representam os elementos de matriz” do operador K na base contınua|x〉x∈ℜ.

Obs.: poderıamos introduzir uma notacao matricial com ındices contınuos para representarum vetor |f〉 e um operador K :

|f〉 =

|f(x)↓

: vetor coluna com ındice contınuo


|f〉 =(

− f ∗(x)→)

: vetor linha com ındice contınuo

|f〉 =

|− Kxx′ →↓

: matriz com ındices contınuos

A notacao acima nao nos ajuda muito do ponto de vista pratico, mas ilustra a passagem dabase discreta para a base contınua.

Se o operador e local entao o valor dele ja depende do ponto x considerado (e nao da suavizinhanca). Nesse caso devemos ter

Kxx′ = 0, x 6= x′.

Logo a contribuicao deKxx′ para a integral em (∗∗) provem apenas do ponto x′ = x. PortantoKxx deve ter um valor infinito para que essa contribuicao seja nao nula:

Kxx′ =

0 , x 6= x′

∞ , x = x′

Em resumo os elementos de matriz de K devem ter a forma de funcoes delta de Dirac:

Kxx′ ≡ L(x)δ(x− x′),

onde L(x) e as vezes dito a representacao do operador K na base |x〉 . Inserindo a expressaoacima em (∗∗), temos

g(x) =

∫

L(x)δ(x− x′)f(x′)dx′

oug(x) = L(x)f(x).

Em geral L(x) sera um operador diferencial envolvendo o operador derivada d/dx e suaspotencias. Nesse contexto a equacao L(x)f(x) = g(x) representa uma equacao diferencial aser resolvida (se L e g forem conhecidos).

Quando lidamos com operadores (diferenciais) atuando em um espaco de Hilbert, umagrande classe de novos problemas surgem. POr exemplo, pode ser que a funcao Lf(x) naoseja de quadrado integravel, ou seja

|Lf(x)|2 = 〈g|g〉 =∞.

Nesse caso dizemos que o operador nao e limitado, no sentido de que sua acao em um vetor|f〉 de norma finita (|f〉 ∈ H) produz um vetor de norma infinita. Da mesma forma, aquestao do calculo dos autovalores e autovetores de um operador e uma quastao delicada,particularmente se o operador for “ilimitado”.

Apos a introducao acima, passamos a algumas definicoes e resultados sobre operadoreslimitados em um espaco de Hilbert.


Definicao 2.5 (Operadores limitados). Um operador A em um espaco de Hilbert H e ditolimitado se existir um numero C > 0 tal que

|A |f〉 | < C|f |, ∀ |f〉 ∈ H.

Definimos entao a norma |A| do operador como o menor dos C acima, ou seja,

|A| = sup|f〉6=0

A |f〉|f |

ou de maneira alternativa|A| = sup

|f |=1

A |f〉 .

Se |A| <∞ o operador e dito limitado;Se |A| =∞ o operador e dito ilimitado.

Uma caracterizacao de operadores limitados vem do seguinte resultado.

Teorema 2.4. Um operador A e limitado se, e somente se, ele leva vetores de norma finitaem vetores de norma finita.

Exemplo 2.4 (Operador deslocamento a direita). Considere o espaco C∞, entao

|V 〉 =

v1v2...vn...

, com∞∑

i=1

|vi|2 <∞.

Uma base de C∞ e |ψ〉 conforme vimos:

|1〉 =

10...

, |2〉 =

010...

, · · · , |n〉 =

0...10...

, · · ·

Defina o operadorA |i〉 = |i+ 1〉 .

Entao

|V ′〉 ≡ A |V 〉 = A

∞∑

i=1

vi |i〉 =∞∑

i=1

vi |i+ 1〉 ,


ou seja

|V ′〉 =

0v1v20...

.

E facil verificar que esse operador e linear. Alem disso, A e obviamente limitado, de fato Apreserva a norma:

|A |V 〉 | = |V |, logo |A| = 1.

2.5.1 Decomposicao Espectral de Operadores

Em mecanica quantica e fundamental conhecermos o espectro de autovalores de certosoperadores atuando em um espaco de Hilbert). Em particular, gostarıamos de saber se osautovetores de um dado operador hermiteano define uma base de espaco, e se essa base e dis-creta ou contınua. Essas sao questoes complicadas de analise funcional que nao abordaremosaqui. Tentaremos, contudo, apresental alguns resultados importantes de mdo resumido.

Teorema 2.5. O espectro de autovalores ω de um operador limitado e um subconjuntocompacto (i.e., fechado e limitado) de C.

Isso garante que os autovalores dos operadores limitados sao numeros finitos. De ma-neira reversa, operadores nao limitados frequentemente possuem um espectro ilimitado deautovalores. Como exemplo desse ultimo caso considere o operador posicao X atuando emum espaco Φ apropriado. A equacao de autovalor e

X |x〉 = x |x〉 .

Logo os autovalores x de X ocupam toda a reta real: x ∈ (−∞,∞).Um resultado importante pode ser obtido para operadores hermiteanos limitados e que

satisfazem uma condicao a mais de regularidade, qual seja,

Tr(A†A) =

∞∑

i=1

⟨

i|A†A|i⟩

=

∞∑

i=1

〈Ai|Ai〉 =∞∑

i=1

|A |i〉 |2 <∞.

Operadores com essa propriedade sao ditos operadores de Hilbert-Schmidt e tambem saoditos operadores “compactos”.

Teorema 2.6. Seja Ω um operador hermiteano compacto em um espaco de Hilbert H. EntaoΩ possui um conjunto discreto de autovalores ωi que pode ser ordenado em ordem decrescentede modulo, ou seja

|ω1| > |ω2| > |ω3| > · · · > |ωi| > |ωi+1| > · · · ,


elimi→∞

ωi = 0.

Alem disso, os autovetores |ωi〉 sao multuamente ortogonais e vale a seguinte decomposicaoespectral

Ω =∞∑

i=1

ωiPi, Pi = |ωi〉〈ωi| .

Exemplo 2.5. O operador hamiltoniano do atomo de hidrogenio.

Corolario 2.2. Se Ω e um operador hermiteano compacto em um espaco de Hilbert H, entaoos autovetores de Ω constituem uma base ortonormal de H.

Observacao. Se eliminarmos a exigencia de capacidade (mas mantermos a exigencia deser limitado), entao em geral os autovalores ω do operador serao contınuos (e nao discretos)mas estarao limitados dentro de um subconjunto de C. No caso de operadores infinitos, entaoos autovalores terao uma parte contınua que nao sera, em geral, limitado. Por exemplo, seconsiderarmos o hamiltoniano do atomo de hidrogenio, mas permitirmos funcoes de ondaque nao decaiam suficientemente rapido no infinito, ou seja, permitirmos o caso de “estadosnao ligados”, entao o espectro de energia possui uma parte contınua:

H |ψ〉 = E |ψ〉 , E > 0

e ilimitada pois E pode em princıpio assumir qualquer valor positivo.O teorema da decomposicao espectral vale para operadores nao compactos. Entretanto

vamos assumir que os operadores relevantes da mecanica quantica que possuem espectroscontınuos admitem uma decomposicao espectral onde somatoria e substituıda por uma inte-gral. Ou seja, se Ω e um operador hermiteano com espectro contınuo:

Ω |ω〉 = ω |ω〉 , ω ∈ ℜ

entao Ω admite a decomposicao

Ω =

∫

ωPωdω

ou

Ω =

∫

ω |ω〉〈ω| dω,

onde a integral da-se sobre o possıvel intervalo para os autovalores ω.Em particular, se Ω possuir um espectro com parte discreta (que se acumula em 0) e uma

parte contınua, teremos

Ω =∞∑

i=1

ωi |ωi〉〈ωi|+∫

ω |ω〉〈ω| dω.

2.6. EXERCICIOS 17

2.6 Exercıcios

1. Seja Φ = PC [x] o espaco de polinomios com coeficientes complexos na variavel real x,restrita ao intervalo x ∈ [−1, 1], e defina o produto interno da maneira usual

〈p(x)|q(x)〉 =∫

1

−1

p∗(x)q(x)dx.

Aplicando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schimdt a base canonica B = xn,n = 0, 1, 2, ..., obtenha explicitamente os tres primeiros elementos p0(x), p1(x) e p3(x)da base ortonormal correspondente. A que famılia de polinomios ortogonais corres-ponde essa base?

2. Operadores posicao e momento linear na representacao de Schrodinger. Considere osoperadores X e P = ~

iD, definidos na base |x〉 por

X [ψ(x)] ≡ 〈x|X|ψ〉 = x〈x|ψ〉 = xψ(x),

D[ψ(x)] ≡ 〈x|D|ψ〉 = d

dx〈x|ψ〉 = d

dxψ(x).

a) Mostre que [D,X ] = 1 e que, portanto, [X,P ] = i~.b) Mostre que o momento linear P e o gerador das translacoes no sentido de que

eiaP/~ψ(x) = eaDψ(x) = ψ(x+ a).

c) Generalize a relacao acima para o caso tridimensional, ou seja, mostre que

ei~a·~P/~ψ(~x) = e~a·

~Dψ(~x) = ψ(~x+ ~a).

3. O objetivo desse exercıcio e mostrar o resultado inverso daquele obtido na questaoanterior, ou seja, que a relacao de comutacao [X,P ] = i~ implica que P e o geradordas rotacoes e que o mesmo pode ser escrito da forma P = −i~ d

dxna base |x〉.

a) Mostre por inducao que [P n, X ] = −i~nP n−1.b) Considere agora o operador unitario Ua = eiaP/~. Mostre que [Ua, X ] = aX. Su-gestao: expanda a exponencial em serie de Taylor.c) Usando o resultado do item anterior, mostre que a acao de Ua sobre os autovetores|x〉 do operador X e tal que

X [Ua |x〉] = (x− a)Ua |x〉 .

Conclua entao que Ua |x〉 = |x− a〉 . Sem calculos adicionais, verifique que U †a |x〉 =

|x+ a〉 , onde U †a = e−iaP/~.

d) Obtenha agora a acao de Ua sobre um vetor |ψ〉 na base |x〉, ou seja, calcule

Ua[ψ(x)] ≡ 〈x|Ua|ψ〉 .


e) Mostre, por fim, que a acao do operador P na base |x〉 e definida por

P [ψ(x)] =~

i

d

dxψ(x).

Sugestao: expanda ambos os lados da equacao obtida no item anterior para a pequeno.

4. a) Refaca o problema anterior considerando agora a acao de X na base dos autovetores|p〉 de P . Em particular, conclua que

Upo |p〉 = |p+ p0〉 ,

onde Up0 = eip0X/~.b) Mostre que os operadores X e P sao conjugados um do outro no sentido de que aacao de um deles sobre vetores expressos na base do outro e essencialmente a mesma,ou seja,

P 〈x|f〉 = −i~ d

dx〈x|f〉 e X 〈p|f〉 = i~

d

dp〈p|f〉.

5. Generalize o resultado do problema anterior para o caso de dois operadores arbitrariosΩ e Λ que satisfazem a relacao [Λ,Ω] = 1, ou seja, obtenha Λ[f(ω)] ≡ Λ 〈ω|f〉 eΩ[f(λ)] ≡ Ω 〈λ|f〉 .

6. Operador posicao e momento na representacao de Heisenberg (notacao matricial).Mostre que na base canonica B = xn os operadores X e D sao dados pelas ma-trizes infinitas

X =

0 0 0 ...1 0 0 ...0 1 0 ...0 0 1 ...

...

D =

0 1 0 0 ...0 0 2 0 ...0 0 0 3 ...

...

Verifique explicitamente a relacao de comutacao entre as matrizes abaixo [D,X ] = 1.

7. Seja Φ = S o espaco de Schwartz, constituıdo das funcoes que vao a zero no infinito maisrapido que qualquer lei de potencia, e considere o operador vetor de onda K = −iD(ou alternativamente K = P/~) e seus autovetores

K |k〉 = k |k〉 .

a) Obtenha as autofuncoes ψk(x) ≡ 〈x|k〉 correspondendo aos autovetores |k〉 de Kexpressos na base |x〉. Mostre que para satisfazer a condicao de ortonormalidade,〈k′|k〉 = δ(k − k′), devemos escolher a normalizacao ψk(0) = 1/

√2π.

2.6. EXERCICIOS 19

b) Em que espaco vivem as autofuncoes ψk(x)?c) Seja f(x) = 〈x|f〉 e f(k) = 〈k|f〉 as componentes de |f〉 ∈ Φ nas bases |x〉e |k〉, respectivamente. Expresse f(k) em termos de f(x), e vice-versa. Comentesobre a relacao entre essas duas funcoes.d) Em particular, mostre, sem calcular nenhuma integral, a relacao de Parseval

∫ ∞

−∞

|f(x)|2dx =

∫ ∞

−∞

|f(k)|2dk.

8. A partir do resultado do problema anterior obtenha as autofuncoes ψp(x) = 〈x|p〉 dooperador momento linear P na base |x〉, onde P |p〉 = p |p〉. Determine a norma-lizacao apropriada de modo a satisfazer a relacao de ortonormalidade 〈p′|p〉 = δ(p−p′).

9. Como mencionado em sala, o oscilador harmonico e o sistema fısico representado pelosoperadores X , P e H , onde

H =P 2

2m+

1

2mω2X2.

Determine as relacoes de comutacao [X,H ] e [P,H ] e mostre que os tres operadoresacima (acrescido do operador identidade I) definem uma algebra (ou seja, o conjuntoe fechado sob operacao de comutacao).

10. Em uma certa base, os operadores X e P para o oscilador harmonico sao dados pelasmatrizes infinitas abaixo

X =

√

~

2mω

0√1 0 0 ...√

1 0√2 0 ...

0√2 0

√3 ...

0 0√3 0 ...

......

......

. . .

, P = −i√

mω~

2

0√1 0 0 ...

−√1 0

√2 0 ...

0 −√2 0

√3 ...

0 0 −√3 0 ...

......

......

. . .

a) Verifique que matrizes acima satisfazem a relacao de comutacao [P,X ] = i~.b) Calcule X2 e P 2, e mostre que o operador hamiltoniano

H =P 2

2m+

1

2mω2X2

corresponde a uma matriz diagonal. Determine dessa forma as autoenergias En dosistema.

11. Sequencias δ de funcoes. Mostre que as sequencias de funcoes ϕn(x) abaixo convergemfracamente (ou seja, no sentido de distribuicoes) para a funcao generalizada delta deDirac δ(x), ou seja,

ϕn(x)frac.−→ δ(x) ⇐⇒ lim

n→∞

∫

ϕn(x)f(x)dx = f(0).


a) ϕn(x) =n√πe−n2x2

. b) ϕn(x) =n

π

1

1 + n2x2.

Sugestao: Faca uma mudanca de coordenadas apropriada, tome o limite n→∞ dentroda integral e depois calcule a integral resultante.

12. Mostre as seguintes identidades (no sentido de distribuicoes)

a)d

dxθ(x) = δ(x), onde θ(x) e a funcao de Heaviside: θ(x) =

1, x > 00, x < 0

b)d

dxϕ(x) = sgn(x), onde ϕ(x) = |x| e sgn(x) e a funcao sinal: sgn(x) =

1, x > 0−1, x < 0

13. Operador de Deslocamento a Direita. Seja o espaco C∞ formado por sequencias |V 〉 =(v1, v2, ..., vn, ...) de “quadrado somavel”, ou seja,

∑∞i=1|vi|2 < ∞. Como vimos em

sala, C∞ dotado do produto interno 〈U |V 〉 =∑∞

i=1u∗i vi e um espaco de Hilbert, com

uma base canonica dada por |ei〉∞i=1, com |e1〉 = (1, 0, 0, ...), |e2〉 = (0, 1, 0, ...), etc.Considere agora o operador Ω definido por

Ω |V 〉 = (0, v1, v2, ..., vn, ...),

ou seja, Ω desloca as coordenadas do vetor original para a direita e insere um zero naposicao inicial.a) Verifique que Ω e um operador linear.b) Mostre que o operador Ω e limitado. Mais exatamente, mostre que a norma de Ω eunitaria, ou seja, |Ω| = 1.c) Mostre que Ω nao possui autovalores. Sugestao: suponha o contrario e chegue auma contradicao.d∗) Nesse caso definimos o espectro de Ω como o conjunto de valores ω para os quaiso operador Ω − ωI nao e inversıvel, ou seja, isso e o quivalente a dizer em espaco dedimensao finita que det(Ω− ωI) = 0. Mostre que o operador Ω − ωI nao e inversıvelpara para 0 < |ω| < 1. (Sugestao: suponha o contrario, logo deve existir um vetor |V 〉tal que (Ω − ωI) |V 〉 = |e1〉; mostre entao que isso leva a uma contradicao pois, para|ω| < 1, tal vetor |V 〉 nao seria de quadrado somavel.) Isso demonstra que, mesmonao possuindo autovalor, o espectro de Ω existe, e contınuo, mas limitado (de fato,corresponde ao interior do cırculo unitario) como deveria ser para um operador limi-tado. [Operadores nao limitados, por outro lado, como os operadores X e P , em geralpossuem espectro contınuo nao limitado.]

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Aula. 03 - Cap2