Estudo Dirigido

Disciplina: Clculo Diferencial e Integral IIAula 01: - FUNES VETORIAIS:

Nesta aula voc ir: Compreender o conceito de funo vetorial descrevendo a trajetria de uma partcula Encontrar os vetores posio, velocidade e acelerao de uma partcula no instante t Determinar a distncia percorrida por uma partcula ao longo de sua trajetria em um intervalo de tempo Encontrar os vetores tangente unitrio, normal unitrio principal, e binomial

FORA DE ESCALATrajetria ideal da flecha que deveria acender a pira olmpica em Atenas

Introduo da aula No Estudo de funes, desde o ensino fundamental e mdio at o Clculo I, tratamos de funo real de uma varivel real, representada graficamente por uma curva no plano. Lembra-se disto, em que e so nmeros reais? a funo (real) e a varivel (real), sendo a funo uma regra que associa a cada elemento de seu domnio um nico elemento de sua imagem. Entretanto, algumas curvas planas no podem ser descritas por funes reais de uma varivel real, e ainda, como descrever curvas espaciais?Estudaremos, agora, funes cujo valor so vetores denominadas funes vetoriais ou funes a valores vetoriais, sendo a varivel um nmero real e veremos como o clculo vetorial usado para descrever a trajetria de uma partcula movendo-se no plano ou no espao. Voc ter a oportunidade de ver a juno de duas disciplinas j estudadas, CVGA e Clculo I, em uma nova unidade do Clculo. Nesta aula ser compreendido como representamos e interpretamos o movimento de uma partcula durante um intervalo de tempo pensando, nas suas coordenadas como funes que variam em relao ao tempo. Ser abordado, tambm, o clculo do comprimento de arcos e o estudo de como uma curva gira ou torce no plano e no espao.

Livro

Nesta aula, iniciamos no material didtico Parte 1 Clculo de George B. Thomas Jr, volume 2 - 100 edio, Captulo 9 p.125 a p.143 e, simultaneamente, acompanharemos no mesmo livro (nosso livro texto), porm, atravs de Biblioteca Virtual, Captulo 10 p.208 a p.237. Eventualmente, sero citados contedos da p.105 a p.124 (material didtico) como reviso de Clculo Vetorial, visto na disciplina CVGA.No se assuste com a quantidade de pginas, nem estranhe o fato das pginas do Captulo 10 no fazerem parte do material didtico. Voc ver que os contedos so semelhantes sendo tratado, no Captulo 9, Funes Vetoriais no plano e no Captulo 10, Funes Vetoriais no espao. 1. MODELANDO O MOVIMENTO DE PROJTEIS Ao lanarmos um projtil, em geral, queremos atingir um alvo ou admirar no ar o efeito de fogos de artifcios. Em ambos os casos, estamos interessados em calcular que distncia o projtil percorrer, para atingir o alvo, quando aterrissar ou que altura alcanar?Obtemos respostas para estas questes a partir do vetor velocidade inicial do projtil e usando a Segunda Lei de Newton para o Movimento. Este tema voc encontra nas pginas 136 a 145 do material didtico. Porm, antes de ler o texto indicado, acesse sites de busca de imagens e vdeos para ver, em movimento, o conceito de lanamento oblquo e trajetrias parablicas, como por exemplo, http://www.youtube.com/watch?v=ZrWp8ngCEPg e, ainda, o alcance de um projtil lanado segundo ngulos complementares acessando: http://www.youtube.com/watch?v=ODYYRG2Xl_8 .Veja, tambm como o piloto Tanner Foust quebrou o recorde mundial de salto distncia: 332 ft (com carro) na Pista Real da Hot Wheels, transformando a energia potencial gravitacional em energia cintica, o piloto chega ao solo com velocidade inicial suficiente para ajust-la ao salto. A trajetria uma parbola quase perfeita. O vdeo falado em ingls e durante, aproximadamente, 1 40explicam como foi planejado o salto , mas no desanime, as imagens so suficientes para compreender o feito. Garanto que o engenheiro que calculou a distncia e a velocidade sabia muito Cculo Vetorial http://www.youtube.com/watch?v=TttHlCd4JTI . Somente aps ver alguns vdeos faa a leitura do texto indicado e, depois, para seu deleite... veja: Shows de guas do Hotel Bellagio de Las Vegas :http://www.youtube.com/watch?v=sJDw_vUXcCs ou Dubai Mail Foutain Show http://www.youtube.com/watch?v=xDcspcA-x9U&feature=fvsrCom certeza, no projeto destes shows e de shows pirotcnicos tem o trabalho de engenheiros que conhecem as aplicaes de funes vetoriais em trajetrias no espao.

Nesta aula, voc:- Compreendeu como representamos e interpretamos o movimento de uma partcula durante um intervalo de tempo.- Aprendeu a calcular a velocidade e acelerao de uma partcula usando a derivada - Aprendeu a calcular o clculo do comprimento de arcos usando a integral. - Analisou como uma curva gira ou torce no plano e no espao.

Prxima aula

Na prxima aula, voc estudar sobre os assuntos seguintes:

- Assunto 1. Curvas definidas p equaes paramtricas

- Assunto 2. Sistema de coordenadas Polares; Plotagem de Pontos; Curvas Notveis em Coordenadas Polares; equivalncias entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas e o sistema de coordenadas polares.

- Assunto 3 . Sistemas de Coordenadas Cilndricas e Esfricas; equivalncias entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas e estes sistemas.

1. Encontre a distncia percorrida pelo mvel que se desloca sobre a curva r(t)= (1 cos t) i + (t sen t) j , de t = 1 at t = 2/3a ( ) 2 uc certa b ( ) 2 uc c ( ) 20 uc d ( ) 2/3 uce ( ) 1 + 2/3 .2. Calcule a velocidade e a acelerao da partcula cujo vetor posio dado por r(t)= (2ln (t+1)) i + t2 j no instante t = 2. a ( ) v= (2/9, 2) ; a=(-2/3,4) b ( ) v= (2/3, 4) ; a=(-2/9,2) certa c ( ) v= 2 ln3 i + 4j ; a= i + 4j d ( ) v= (1, 4) ; a=(4,1) e ( ) v= 2/3 i 4j ; a= 2/9 i + 2j

3. Encontre os vetores tangente unitrio e normal unitrio para a curva

r(t) = t i + (ln cost) j , -/2 /2 a ( ) T= (0, 1) ; N=(-1, 0) b ( ) T= (sen t, cos t) ; N=(-sen t, -cos t) c ( ) T= sen t i - cos t j ; N= -sen t i + cos t j d ( ) T= (cos t, -sen t) ; N=(-sen t,-cos t)certa e ( ) T= 2/3 i 4j ; N= 2/9 i + 2j

Contedo Online

Como foi dito na Introduo desta aula funo vetorial uma funo cuja imagem um conjunto de vetores e o domnio um conjunto de nmeros. Esta caracterstica permite descrever o movimento de uma partcula, no plano ou no espao, ao longo de uma curva em um intervalo de tempo atravs de funes. Como possvel?

Cada ponto desta curva representa a posio da partcula, em um determinado instante do intervalo de tempo. O tempo (nmero real) , ento, a varivel independente da funo representada pela letra t e a cada ponto (posio da partcula) associamos um vetor posio, representada pela letra r , que tambm varia em funo do tempo, sendo a varivel dependente de t .

Assim, as coordenadas do ponto (posio da partcula) so as componentes do vetor posio e, tanto as coordenadas como as componentes, so definidas como funes do tempo, isto , Ateno! Cada uma das duas linhas abaixo deve entrar em animao, uma por vez , Tambm denominadas equaes paramtricas sendo a varivel t tambm denominada parmetro da funo. Escrevemos, ento, Idem = =Veja as ilustraes:

Ocorre que, se r um vetor, escrevemos Idem + Substituindo pelas funes componentes, vem: Idem +

Veja alguns exemplos de funes vetoriais e as curvas representativas dessas funes, definidas pelos vetores posio Figura 9.25, p. 127, do material didtico, onde a abscissa e ordenada de cada ponto so definidas pelas funes componentes. Ateno! entrar com animao, uma por vez

e Observe que, o valor de t =0 Na pgina 126, tambm, do material didtico, a figura 9.24 representa, graficamente, uma Espiral de Arquimedes, definida pela funo vetorial

entrar com animao

j , t 0 Mas no deixe de buscar imagens em vdeos disponibilizados na internet, s para relaxar e ver como a natureza sbia, quer dizer como sabe matemtica!!!! Porem existem outros tipos de expirais que no so da famlia das Espirais de Arquimedes, mesmo assim vale a pena conferir.http://www.youtube.com/watch?v=HVtg7QMGBxE

http://www.youtube.com/watch?v=Ay6H3tUeCC0http://www.youtube.com/watch?v=ZQIgB23QwZU&feature=related

Passando para o espao tridimensional, temos alguns exemplos, gerados por computador, que esto na p.209 e 210 do livro texto.

Observe como a combinao das funes seno e cosseno ,nas funes componentes de funes vetoriais, pode gerar formas to belas.

Mas, deixando a beleza de lado, vejamos uma forma muito usada, a Hlice (do grego antigo hlix que significa espiral), que pode sofrer variaes conforme algumas mudanas em suas funes componentes. Observe

Voc capaz de identificar as diferenas nas funes componentes e associ-las s mudanas no Veja, agora, o exemplo de como foi traada a Hlice, ilustrada abaixo,

Exemplo 1Encontre os pontos da Hlice, definida por: j t , t 0 , para os valores de = 0 , , , 2Soluo: entrar com animao as 3 linhas abaixo, uma linha por vez

t = 0 j 0 = = = t = j = == t = j = -1 =

e, assim, sucessivamente, vamos obtendo pontos da hlice que se enrola ao redor do cilindro circular de base = (circunferncia de centro na origem e raio 1) Na ilustrao, o segmento da trajetria corre sponde a uma volta completa da hlice. Observe com ateno a posio dos pontos.

Outro Exemplo de Hlice (muito famosa) a forma helicoidal de uma molcula do DNA. Aguarde as definies de curvatura e toro e, ento compreender a beleza da matemtica associada vida. Agora que definimos a trajetria de uma partcula como uma funo vetorial, podemos analisar todo o movimento de partculas como analisamos funes em Introduo ao Clculo e Clculo I, isto , pela Teoria dos Limites , Derivao e Integrao das Funes Vetoriais.

E, ainda, estenderemos toda a teoria desenvolvida no estudo de funes vetoriais para analisar caractersticas geomtricas de curvas que no representam, necessariamente, trajetrias de partculas.

Limites e ContinuidadeToda a Teoria dos Limites visto em Introduo ao Clculo aplicada em funes vetoriais, fazendo valer as definies, teoremas e propriedades, simultaneamente, para cada uma das funes componentes, tanto no plano como no espao. Consideraremos funes vetoriais no espao. entrar com animao as 3 linhas abaixo, uma linha por vezSe + = ento

desde que os limites das funes componentes existam.

E, ainda, uma funo vetorial se entrar com animao a linha abaixo Embora estas teorizaes sejam importantes para a construo formal dos conceitos, daremos maior nfase a aspectos prticos da derivao e integrao destas funes.

Derivadas e Integrais de Funes Vetoriais Do mesmo modo como foi feito para funes reais, a derivada de uma funo vetorial definida por: idem se o limite existir, isto , uma funo vetorial ser derivvel se for derivvel em todos ospontos de seu domnio. A curva traada por lisa (sem bicos) se contnua e nunca igual ao vetor nulo O.A interpretao geomtrica desta definio, mostrada nas figuras abaixo, anloga aquela vista em Clculo I

(a) Vetor secante (b) Vetor tangente

Definimos, ento, , quando diferente de O (vetor nulo), como o vetor tangente curva em um ponto, sendo que a reta tangente curva neste ponto, tem como vetor diretor (lembra-se de CVGA ? ) o vetor tangente curva nesse ponto.

Observe que as regras de diferenciao para funes reais so usadas em cada componente das funes vetoriais. hora de procurar seu Formulrio de Derivadas pois j vamos comear a derivar. Lembra-se da Hlice da figura 10.39 ? Ento, vamos us-la como exemplo Exemplo 2: Encontre o vetor tangente Hlice do exemplo anterior, em Soluo: Sendo j t temos que10 passo: Encontrar a derivada (Lembra-se das frmulas de derivao?) entrar com animao a linha abaixo 2o passo: Substituir , pelo valor indicado e calcular os valores das funes componentes entrar com animao as linhas abaixo

Analogamente, a integral definida de uma funo vetorial contnua pode ser definida da mesma forma que para a funo real. Expressamos a integral de como a integral de suas funes f, g e h componentes , como segue abaixo

entrar com animao a linha abaixo

Mas para que serve tanta derivada e integral?

Em particular, a integral definida tem como aplicao til o clculo do comprimento de curvas ou arcos ou a distncia percorrida por uma partcula em um intervalo de tempo. Lembra-se das Hlices ? Ento, vamos calcular o comprimento de uma delas? Para calcul-lo, necessitamos da definio de comprimento de uma curva, e equaes paramtricas , no intervalo a t b , quando as funes componentes so contnuas. Temos, ento:entrar com animao a linha abaixo

Note que esta definio pode ser escrita de uma forma mais compacta. Lembrando de CVGA em que mdulo (comprimento) de um vetor dado por

entrar com animao as linhas abaixo Temos que:

= . Logo, Exemplo 3: (adaptao do exemplo 1, p. 221, do livro texto) Um planador est voando para cima ao longo da Hlice dos exemplos 1 e 2. Calcule a distncia percorrida pelo planador ao longo de sua trajetria de t = 0 at t = 2 s (aproximadamente 6,28 segundos). Soluo: entrar com animao as expresses analticas das funes abaixo j t a funo vetorial que descreve a trajetria (ver exemplo 1), encontrando vem: (j determinada no exemplo 2) Aplicando a definio de comprimento de curva temos a distncia percorrida pelo planador . Da trigonometria, sabemos que Substituindo, vem: = u.c. (unidades de comprimento)

claro que a integral de uma funo no serve s para clculo de comprimento de curvas, este foi apenas um exemplo de aplicao. O prprio conceito de integral como anti derivada muito til na resoluo de Problemas de valor inicial , que pode ser visto em documento anexado, muito usado em Equaes Diferenciais em Clculo III. No deixe de ver.

Ainda em relao Geometria das Curvas seguem definies teis para analisar trajetrias como, tambm, para descrever movimento de veculos espaciais. Resumindo estas definies (sem delongas) e sem perda de contedo, temos: Versor do Vetor Tangente: T (t ) (lembra-se de versor em CVGA? entrar com animao as linhas abaixo Tambm chamado de Vetor Tangente Unitrio

Curvatura: , Vetor Normal Principal Unitrio: ou

Vetor Binormal: Produto Vetorial dos vetores (tambm de CVGA) Tangente Unitrio e Normal Lembra-se do significado do vetor resultante deste produto ? entrar com animao a linha abaixo Simultaneamente ortogonal aos outros dois

Sendo todos estes vetores obtidos por derivada , nos do informaes como em Clculo I, em que a derivada usada para determinar a forma do grfico da funo (crescimento, decrescimento, concavidade, pontos crticos). O Vetor Tangente Unitrio indica a direo da curva Vetor Tangente Unitrio indica a direo da curva,a Curvatura mede quo rapidamente a curva muda de direo em um ponto, o Vetor Normal Unitrio Principal aponta para o lado cncavo da curva e o Vetor Binormal um vetor unitrio ortogonal tanto a T quanto a N e juntos, os 3 vetores ortogonais, formam um triedro que se move ao longo da curva junto com o ponto definindo a Toro da curva.Este triedro chamado Triedro de Frenet tem papel importante na Geometria Diferencial e suas aplicaes em movimento de naves espaciais. Mas isto uma outra histria (ou estria?) que fica para outro momento.

Agora, na p.235 do livro texto, voc entender a forma helicoidal, em duas hlices entrelaadas, da molcula de DNA, bloco bsico da construo da vida. E para admirar como a natureza sbia, isto sabe muita matemtica, no deixe de entrar neste arquivo em pdf. Tendo visto a interpretao geomtrica, veremos, agora, a interpretao fsica da derivada de uma funo vetorial.Sendo r a trajetria, isto , o espao percorrido ao longo do tempo, e a derivada a taxa de variao de espao em relao ao tempo, r (t ) mede a velocidade v (t) da partcula, como na Fsica, e consequentemente, r (t ) medir a acelerao a (t) desta partcula que correspondente v (t).Organizando estas concluses em definies, vem o quadro da p. 130 do material didtico e p.212 do livro texto. Neste momento, no deixe de ver em Aprenda Mais o tema MODELANDO O MOVIMENTO DE PROJTEIS. Voc ver a aplicao destes contedos apresentada de uma forma muito bacana.Agora, hora de fazer os exerccios do material didtico e livro texto, listados abaixo, lembrando que, as questes propostas para registrar sua freqncia no so suficientes para a assimilao dos contedos desta aula. Exerccios: Material didtico p.133 e 134, nos : 1 ao 8; 19 ao 24; 31 e 32. Livro texto p.217, nos : 1 ao 12; 19 ao 25; p.228, nos 1 ao 10; 15 ao 18.