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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
AULA
32
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
DOMÍNIO E IMAGEM
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Os pontos interiores de uma região, como
um conjunto, compõem o interior da região.
Os pontos de fronteiras da região compõem
sua fronteira.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Uma região é aberta se
consiste inteiramente em
pontos interiores.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Uma região é
fechada se
contém todos os
seus pontos de
fronteira.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
DEFINIÇÕES
Uma região no plano é limitada se está dentro
de um disco de raio fixo.
Caso contrário não é limitada.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplos de conjuntos limitados no plano:
Segmentos de reta;
Triângulos;
Retângulos; e
Circunferências.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplos de conjuntos não limitados no
plano:
As retas;
Os eixos coordenados;
Os gráficos de funções definidas em
intervalos infinitos;
Quadrantes; e
Semi-planos.
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Exemplo
Descreva o domínio da função:
2, xyyxf
SOLUÇÃO
Então o domínio de f é dado por:
.0 22 xyxy
Temos
., 22 xyRyxfD
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como podemos ver, o
domínio é a região fechada,
não limitada, mostrada na
figura.
A parábola y = x2 é fronteira
do domínio.
Os pontos acima da parábola
compõem o interior do
domínio.
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
DEFINIÇÕES
O conjunto de pontos no plano onde uma
função f(x,y) tem um valor constante
f(x,y) = c é denominado curva de nível de f.
O conjunto de todos os pontos (x,y,f(x,y)) no
espaço, para (x,y) no domínio de f, é
chamado gráfico de f.
O gráfico de f também é conhecido como
superfície z = f(x,y).
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Exemplo
Represente graficamente e trace as curvas
de nível, no domínio de f no plano,
solicitadas, para:
.75,
51,,0,
:
100, 22
yxfe
yxfyxf
níveldeCurvas
yxyxf
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
SOLUÇÃO
O domínio de f é o plano xy inteiro, e a
imagem de f é o conjunto de números reais
menores ou iguais a 100.
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
O gráfico é o paraboloide
mostrado ao lado.
A curva de nível f(x,y)=0
é o conjunto de pontos no
plano xy nos quais:
.10
,100
0100,
22
22
origemnacentrado
raiodenciacircunferêuma
équeyxou
yxyxf
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
As demais curvas
de nível são as
circunferências:
EXERCÍCIO 1
Encontre (a) o domínio da função, (b) a
imagem, (c) descreva as curvas de nível, (d)
encontre a fronteira do domínio, (e) determine
se o domínio é uma região aberta, fechada
ou nenhuma das duas e (f) decida se o
domínio é limitado ou ilimitado para
xyyxf ,
Solução (a)
EXERCÍCIO 2
Encontre (a) o domínio da função, (b) a
imagem, (c) descreva as curvas de nível, (d)
encontre a fronteira do domínio, (e) determine
se o domínio é uma região aberta, fechada
ou nenhuma das duas e (f) decida se o
domínio é limitado ou ilimitado para
2216
1,
yxyxf
SOLUÇÃO (a)
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
No plano, os pontos onde uma função de
duas variáveis independentes tem um
valor constante f(x,y)=c perfazem uma
curva no domínio da função.
No espaço, os pontos onde uma função de
três variáveis independentes tem um valor
constante f(x,y,z)=c perfazem uma
superfície no domínio da função.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
DEFINIÇÃO – Superfície de nível
O conjunto de pontos (x,y,z) no espaço
onde uma função de três variáveis
independentes tem um valor constante
f(x,y,z)=c é chamado superfície de nível de
f.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
Como os gráficos de funções de três variáveis
consistem em pontos do tipo:
(x,y,z,f(x,y,z))
em um espaço quadridimensional, não
podemos esboça-los em nosso sistema de
coordenadas tridimensional de referência.
Contudo, podemos ver como a função se
comporta analisando suas superfícies de nível
tridimensionais.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
Exemplo:
Descreva as superfícies de nível da função
222,, zyxzyxf
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
O valor de f é a distância da
origem ao ponto (x,y,z).
Cada superfície de nível
é uma esfera de raio c
centrada na origem.
A figura mostra um corte de
três dessas esferas.
,0,222 cczyx
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
A superfície de nível
0222 zyx
consiste apenas da origem.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
DEFINIÇÕES
Um ponto (x0,y0,z0) em
uma região R no
espaço é um ponto
interior de R se é centro
de uma esfera sólida
que está inteiramente
em R.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
DEFINIÇÕES
Um ponto (x0,y0,z0) em
uma região R no espaço é
um ponto de fronteira de
R se toda esfera centrada
em (x0,y0,z0) contém
pontos que estão fora R
assim como pontos que
estão dentro de R.
FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS
DEFINIÇOES
O interior de R é o conjunto dos pontos
interiores de R.
A fronteira de R é o conjunto dos pontos de
fronteira de R.
Uma região é aberta se consiste inteiramente
de pontos interiores.
Uma região é fechada se ela contém a sua
fronteira.
EXERCÍCIO 3
Encontre uma equação para a curva de nível
da função dada que passa pelo ponto dado.
2,22,16, 22 yxyxf
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 4
Encontre uma equação para a superfície de
nível da função dada que passa pelo ponto
dado.
.1,1,3,ln,, zyxzyxf
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
32
