Embed Size (px)
Citation preview
1
22/Abr/2014 – Aula 15
24/Abr/2014 – Aula 16
Princípio de Incerteza de Heisenberg.
Probabilidade de encontrar uma
partícula numa certa região.
Posição média de uma partícula.
Partícula numa caixa de potencial:
funções de onda e níveis de energia.
Ondas de matéria; comprimento de
onda de de Broglie.
Quantização do momento angular no
modelo de Bohr.
Difracção e interferência.
Função de onda; representação
matemática do pacote de ondas.
2
Ondas de matéria
Aula anterior
Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento
linear p = h/ , então para qualquer partícula com momento p
também se verifica p = h / , ou seja, tem associada uma onda
com comprimento de onda igual a h / p .
O comprimento de onda
de de Broglie para uma
partícula é então
h h
p mv
Ondas de
matéria
Sendo E = h , a
frequência das ondas
de matéria é dada por
E
h
3
Quantização do momento angular no modelo de Bohr
Aula anterior
Substituindo = h / m v na equação acima teremos n h/ m v = 2 r .
Uma corda de guitarra (em regime estacionário) só vibra sob a forma
de ondas estacionárias com nodos em cada extremidade.
Pode-se aplicar o mesmo raciocínio às ondas de matéria electrónicas
formando uma circunferência em torno do núcleo: os electrões só
podem existir em órbitas que correspondam a um número inteiro de
comprimentos de onda em torno do núcleo.
Então, deve-se verificar a condição n = 2 r , em que r é o raio da
órbita, é o comp. de onda de de Broglie do electrão e n = 1, 2, 3…
Postulado de Bohr para a
quantização do momento angular.
nhmv r
2
4
Difracção e interferência de partículas
Aula anterior
Padrões de
interferência
obtidos com
electrões:
A intensidade máxima obtém-se quando a diferença de caminhos é
igual a zero ou múltiplos de um comprimento de onda: D sin = n
Os mínimos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminhos
é igual a múltiplos de metade de um comprimento de onda:
D sin = /2, 3/2, 5/2…
Número de electrões detectados por minuto
Electrões
Detector de electrões
5
Difracção e interferência de partículas (cont.)
Aula anterior
Contagem
por minuto Contagem
acumulada
por minuto
Com ambas as fendas
abertas, obtém-se o padrão
de interferências anterior:
A curva azul no lado direito
representa o nº acumulado
de contagens por unidade
de tempo quando cada uma
das fendas está fechada
metade do tempo.
A curva vermelha
representa o padrão de
interferência com ambas as
fendas abertas
simultaneamente.
Padrão de interferência com ambas as fendas abertas :
6
Função de onda
Aula anterior
Se ambas as fendas estiverem abertas simultaneamente, as funções
de onda dos electrões sobrepõem-se. A função de onda combinada
será igual a 1 + 2 .
O perfil de intensidade é dado por
| 1 + 2 | 2 = | 1 |
2 + | 2 |2 + 2 (1 . 2)
Isto é diferente da situação em que cada fenda está aberta metade do
tempo (| 1 |2 + | 2 |2 ) .
O termo 2 ( 1 . 2 ) é o termo de interferência.
Se as funções de onda
forem complexas, então
| 1 |2 = 1 1* , em que
1* é o complexo
conjugado de 1 .
Contagem
por minuto
Contagem acumulada
por minuto
7
As partículas comportam-se como ondas e as ondas como partículas.
Para representar uma onda/partícula é
necessário uma representação matemática.
A função de onda de uma partícula tem de
ter propriedades de onda e,
simultaneamente, ser localizada no espaço.
Representação “pacote de
ondas” de uma partícula.
Representação matemática do pacote de ondas
Fotão com
energia h
8
9
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
A soma de duas ondas com
frequências ligeiramente
diferentes pode produzir
uma estrutura repetida em
pacotes de onda.
A soma de muitas destas
ondas pode produzir um
pacote de ondas isolado.
Pacotes de ondas
10
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
Um grupo de ondas isolado é o resultado da sobreposição de um
número infinito de ondas com comprimentos de onda diferentes.
Por exemplo, para um dado tempo fixo (ou seja, com o factor
tempo retirado), o grupo de ondas como função do espaço (x)
pode ser representado por
0 1 20 1 2
2 x 2 x 2 xa sen a sen a sen ...
11
Em geral, o grupo de ondas pode ser expresso em termos
do integral de Fourier:
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
0 0 1 1 2 2a sen k x a sen k x a sen k x ... ou
em que k = 2 / é o número de onda e ai são constantes.
0
x a k sen k x dk
Pacote de ondas
12
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
A representação matemática de uma partícula é dada por
uma função de onda .
Por exemplo, (x) = 0a(k) sen kx dk representa um
pacote de ondas.
A função de onda não tem um significado físico directo mas
o módulo do quadrado da função de onda sim.
A probabilidade de, experimentalmente, encontrar uma
partícula descrita pela função no ponto de coordenadas
(x, y, z) é igual a | | 2 .
Por exemplo, se | | 2 for igual a zero para um certo valor de
(x , y , z) , então a probabilidade de encontar a partícula
nesse ponto é nula .
| | 2 é a densidade de probabilidade.
13
Condição de normalização
Consideremos um sistema uni-dimensional que não varia
com o tempo (a partícula está localizada algures no eixo x );
a probabilidade total (a soma das probabilidades) de
encontrar a partícula no eixo x vai ser, obviamente, igual a 1.
Condição de
normalização
Representação matemática do pacote de ondas (cont.)
2
0
dx 1
Pacote de ondas
14
Princípio de Incerteza de Heisenberg
Considere uma partícula com um tamanho bem definido.
Esta partícula vai ser representada por um pacote de ondas
bem localizado no espaço.
A representação matemática da sua função de onda requer
muitas ondas sobrepostas para uma gama bastante grande
de números de onda k .
x pequeno
p grande
15
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Assim, x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser
pequena e k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser grande.
Quando x é pequeno, p é grande
2
hp
k
2 pk
h
2 pk
h
p k
16
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Considere agora uma partícula com um tamanho não muito
bem definido.
A representação matemática da sua função de onda requer
apenas algumas ondas sobrepostas para uma gama bastante
pequena de números de onda k .
x grande
p pequeno
17
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Assim, x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser
grande e k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser pequena.
( Tal como no caso anterior, como p = h / e k = 2 / ,
então k = 2 p / h ; assim, k = 2 p / h , ou seja, p é
proporcional a k ).
Quando x é grande, p é pequeno
18
Interpretação:
Se a partícula é bem localizada (se a sua posição é bem definida),
não se conhece muito bem o seu momento ( p é grande).
Se a partícula não está localizada (ou seja, muito dispersa no
espaço), conhece-se muito melhor o seu momento ( p é pequeno).
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
x pequeno p grande
x grande p pequeno
19
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
Se uma medição da posição for feita com precisão x e,
simultaneamente, se se medir a componente p x do momento
com precisão p x , então o produto das duas incertezas não
pode ser inferior a h / 2(2) .
com2
h
2
x p Princípio da
Incerteza
Se existe uma incerteza no momento da partícula, também
existirá uma incerteza na sua energia.
Esta relação impõe um limite para a
medição da energia de um sistema. 2E t
20
Antes da
colisão Após a
colisão Fotão
incidente Fotão
difractado
Electrão
Electrão
“de recuo”
Pode-se interpretar o Princípio de Incerteza de Heisenberg
como uma consequência da dificuldade em medir quantidades
extremamente pequenas: quando se tenta usar um fotão para
medir a localização dum electrão, o fotão ao incidir no electrão
transmite-lhe momento e, portanto, interfere na sua posição.
Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.)
21
A velocidade de um electrão é 5.103 ms-1, medida com uma precisão
de 0,0030%. Determine a incerteza na determinação da posição deste
electrão.
-31 3 -1 -27 -1ep m v 9,11.10 kg 5.10 ms 4,56.10 kg ms
Momento linear do electrão :
Incerteza do momento :
-31 1p 0,000030 p 1,37.10 kg ms
A incerteza na posição pode ser calculada a partir de 2
x p
-34-3
-31 -1
1,05.10 J sx 0,38.10 m
2 p 2 1,37.10 kg ms
22
A probabilidade de uma
partícula se encontrar
entre os pontos a e b é
igual à área definida pela
curva entre a e b.
Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região
A probabilidade Pab de encontrar a
partícula no intervalo b x a é igual a
b 2
aba
P dx
Experimentalmente, existe sempre
alguma probabilidade de encontrar a
partícula num ponto para um dado
instante, pelo que a probabilidade vai
estar entre 0 e 1.
Por exemplo, se a probabilidade de
encontrar uma partícula entre dois
pontos for igual a 0,3 , então há 30% de
hipóteses de ela estar nesse intervalo.
23
e é igual ao valor médio da posição da partícula representada
pela função de onda na região delimitada por a e b.
O valor expectável é definido como
Posição média de uma partícula
A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade
de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar
informações de outras quantidades mensuráveis, como o
momento e a energia.
Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de
uma partícula numa dada região: valor expectável.
b 2
a
x x dx
24
Se a velocidade da partícula for v = constante, o seu momento
mv também é constante, tal como a energia cinética (1/2) m v 2.
Do ponto de vista da mecânica quântica, é necessário considerar
as ondas de matéria que lhe estão associadas.
Partícula numa caixa (de potencial)
Considere uma partícula que só se pode mover entre duas paredes
impenetráveis, ao longo do eixo x :
25
Caso (clássico) de ondas estacionárias numa corda esticada: só
podem existir as ondas cuja amplitude nas extremidades seja
nula (ou seja, a amplitude da função de onda = 0).
Esta condição é verificada se
Partícula numa caixa (cont.)
O comprimento de onda
de uma onda estacionária
numa corda é quantizado.
2 L
n L n
2
ou
com n = 1, 2, 3…
26
Partícula numa caixa (cont.)
A função de onda neste caso pode ser descrita como y (x) = A sen (kx)
2 2k
2 L
n
Como
n xy x Asen
L
A partícula pode existir
num número infinito de
estados.
O tratamento quântico de uma partícula numa caixa é semelhante: só
são permitidas as partículas cujas funções de onda satisfazem a
condição de amplitude nula em cada parede.
Por analogia com as ondas estacionárias, as funções de onda para a
partícula na caixa são sinusoidais e expressas por
n x
x AsenL
27
Partícula numa caixa (cont.)
Três primeiros estados
estacionários (funções de onda)
permitidos para uma partícula
com movimento uni-dimensional,
confinada a uma caixa com
paredes infinitas: funções de
onda com n =1, 2, 3.
n x
x AsenL
28
Partícula numa caixa (cont.)
a) funções de onda b) distribuições de probabilidade
A partir da função de onda (x) = A sen (n x / L) que tipo de
informações será possível obter acerca da partícula?
29
Funções de onda Distribuições de
probabilidade
30
Funções de onda
Distribuições de
probabilidade
31
Partícula numa caixa (cont.)
Como os comprimentos de onda na caixa estão quantizados
(e restritos à condição = 2L/n ) , então o momento também
está quantizado:
n hhp2 L
Se o momento está quantizado,
também a energia estará:
2
22
n
n h
2 L1 pE mv
2 m2 2 m
22
n 2
hE n
8m L
com n = 1, 2, 3
32
Partícula numa caixa (cont.)
E2 = 4E1, E3 = 9 E1 , …
22
n 2
hE n
8m L
com n = 1, 2, 3
No estado com menor energia
(n =1) esta tem o valor de
2
1 2
hE
8 m L
Os estados mais energéticos
(n >1) têm energias
Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula
En
erg
ia
A energia mínima é > 0
33
Um electrão está confinado entre duas paredes impenetráveis que
distam 0,2 nm entre si. Determine os níveis de energia para os
estados n = 1, 2 e 3.
-31 -34em 9,11.10 kg , h 6,63.10 J .s
22
n 2
hE n
8m L
2-34
2-18
1 2 2-31 -9
6,63.10hE 1,51.10 J 9,42eV
8 m L 8 9,11.10 0,2.10
2 1E 4 E 37,7 eV
3 1E 9 E 84,8eV
Embora este modelo seja rudimentar,
permite descrever aproximadamente um
electrão confinado num cristal, por exemplo
34
Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas
paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine:
a) a velocidade mínima do objecto
b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3,0.10-2 ms-1, qual seria o
correspondente valor de n ?
a) A velocidade mínima corresponde ao estado caracterizado por n = 1:
2-34
2-58
1 2 2-6 -2
6,63.10hE 5,49.10 J
8 m L 8 10 10
Esta velocidade é tão pequena que o objecto pode ser considerado
em repouso, tal como seria de esperar para um objecto macroscópico
-58-26 -1
-6
2 5,49.10v 3,31.10 ms
10
21E mv
2Como
35
b) A energia cinética é igual a 2
2 -6 -2 -101 1E mv 10 3,0.10 4,5.10 J
2 2
Como e 2n 1E n E -58
1E 5,49.10 J
-1023
1
4,5.10n 9,05.10
E
Este valor é tão elevado que seria praticamente impossível distinguir a
energia de dois estados adjacentes, correspondentes a n1 = 9,05.1023 e
n2 = 9,05.1023 +1
Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas
paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine:
a) a velocidade mínima do objecto
b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3,0.10-2 ms-1, qual seria o
correspondente valor de n ?
