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IFSULDEMINAS 2018 EAC/Inconfidentes

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EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 3: Introdução à Teoria do Potencial

Gravidade e Gravimetria

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

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Como visto anteriormente, a aceleração da gravidade é dada por:

𝑎𝑔 =𝐺𝑀

𝑟2

Em diferentes situações é comum considerarmos a aceleração

que um corpo em queda livre apresenta (denominado 𝑔), como

sendo a aceleração gravitacional que agora chamamos de 𝑎𝑔.

Em geodésia é comumente utilizado a unidade Gal para medição

da aceleração da gravidade onde:

1𝐺𝑎𝑙 = 10−2 Τ𝑚 𝑠2 = 1 𝑐 Τ𝑚 𝑠2

1𝑚𝐺𝑎𝑙 = 10−5 Τ𝑚 𝑠2

1𝜇𝐺𝑎𝑙 = 10−8 Τ𝑚 𝑠2

Força da Gravidade

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Normalmente, também consideramos que 𝑔 possui um valor

constante sobre a superfície da Terra.

No entanto, o valor de g medido a partir de um gravímetro difere

de 𝑎𝑔 que calcularíamos pela equação anterior. Como exemplo,

medidas de 𝑔 realizadas no pólo (𝑔𝑝 ) e no equador (𝑔𝑒 )

forneceram valores de:

𝑔𝑝 = 9,832177 Τ𝑚 𝑠2 e 𝑔𝑒 = 9,780318 Τ𝑚 𝑠2

o que nos fornece uma diferença de 5,1859 𝐺𝑎𝑙.

Força da Gravidade

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Razões para as diferenças encontradas:

1. A massa da Terra não está uniformemente distribuída, pois

sua massa específica varia com a distância ao centro de

massa, onde a massa específica da crosta terrestre varia de

ponto para ponto da Superfície Física.

Força da Gravidade

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Razões para as diferenças encontradas:

2. A Terra não é uma esfera, apresentando a forma aproximada de

um elipsóide de revolução. A distância ao centro de massa da

Terra é menor nos pólos do que no equador, apresentando uma

diferença da ordem de 21 km, o que produz um aumento da

gravidade em direção aos pólos. Cálculos mostram que este

efeito seria responsável por uma diferença de 6,600 𝐺𝑎𝑙, entre a

gravidade no pólo e a gravidade no equador.

3. Deve-se considerar o movimento de rotação da terra. Um objeto

localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos

pólos, descreve uma circunferência em torno do eixo de

rotação, apresentando assim, uma aceleração centrípeta

dirigida para o centro da Terra.

Força da Gravidade

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Portanto, este efeito produz um aumento de 𝑔 em

direção ao pólo. Cálculos mostram que este

aumento é de 3,375 𝐺𝑎𝑙.

Para um corpo em rotação, a aceleração centrífuga

é igual a:

𝑎𝑐 = 𝜔2 ∙ 𝑟

onde 𝜔 é a velocidade angular da Terra e 𝑟 é a

distância ao eixo de rotação. 𝜔 = Τ2𝜋 𝑇 (𝑇 é o

período de rotação, 24 horas).

Ԧ𝐹𝑁 −𝑚 ∙ 𝑎𝑔 = 𝑚 −𝜔2 ∙ 𝑅

Força da Gravidade

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O módulo Ԧ𝐹𝑁 da força normal é igual ao

peso 𝑚 ∙ 𝑔, logo:

𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑔 −𝑚 𝜔2 ∙ 𝑅

Cancelando m na equação acima temos:

𝑔 = 𝑎𝑔 − 𝜔2 ∙ 𝑅

𝑔 = 𝑎𝑔 − 𝑎𝑐

Os efeitos dois e três descritos acima se

somam, produzindo uma diferença entre os

valores de g no pólo e no equador de:

6,600 𝐺𝑎𝑙 + 3,375 𝐺𝑎𝑙 = 9.975 𝐺𝑎𝑙

Força da Gravidade

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Medidas de 𝑔 nos pólos e no equador

indicam uma diferença menor, de

5,1859 𝐺𝑎𝑙. Isto decorre do fato que a Terra,

tendo um raio equatorial maior do que o raio

polar contém também uma massa maior no

equador, o que faz aumentar a atração

gravitacional nesta região. Entretanto, este

efeito não supera os efeitos produzidos pelo

achatamento da Terra e pela aceleração

centrífuga.

Força da Gravidade

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Tanto a direção como a intensidade de 𝑔 variam conforme a posição

sobre a superfície terrestre. Embora a componente gravitacional (𝑎𝑔)

possua intensidade aproximadamente constante, sua direção é

variável, sendo praticamente radial e apontando para o centro da

Terra. Já o componente centrífugo ( 𝑎𝑐 ) tem direção sempre

perpendicular ao eixo de rotação terrestre, mas sua intensidade varia

em função da latitude (𝜑).

𝑎𝑐 = 𝜔2 ∙ 𝑟 = 𝜔2 ∙ 𝑅 ∙ cos𝜑

Força da Gravidade

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Exercício:

Considerando:

• Velocidade angular de rotação 𝜔, uma

volta (2𝜋) a cada 24 horas (86400 s).

• O raio da Terra 𝑅 = 6378137 𝑚.

• 𝑎𝑔 = 9,780318 Τ𝑚 𝑠2

⚫ Calcule a 𝑎𝑐 e 𝑔 para:

a) 𝜑 = −22° 32’ 𝑒 𝐻 = 400 𝑚.

b) 𝜑 = −23° 22’ 𝑒 𝐻 = 1800 𝑚.

c) 𝜑 = 8° 14’ 30,3” 𝑒 𝐻 = 600 𝑚.

Força da Gravidade

𝒂𝒄 = 𝝎𝟐 ∙ 𝒓 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒈 = 𝒂𝒈 − 𝒂𝒄

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Exercício:

a) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑

𝐓

𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟒𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬−𝟐𝟐°𝟑𝟐′ = 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟏𝟓𝟕𝟓𝟗𝟓 Τ𝐦 𝐬𝟐

𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟏𝟏𝟓𝟓𝟔𝟒𝟐 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟗𝟏𝟔𝟎𝟒𝟎𝟒𝟓𝟐𝟒 Τ𝒎 𝒔𝟐

b) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑

𝐓

𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟏𝟖𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬−𝟐𝟑°𝟐𝟐′ = 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟗𝟕𝟑𝟎𝟖𝟔 Τ𝐦 𝐬𝟐

𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟗𝟕𝟑𝟎𝟖𝟔 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟗𝟑𝟒𝟒𝟗𝟏𝟒𝟑𝟒𝟑 Τ𝒎 𝒔𝟐

c) 𝐚𝐜 =𝟐∙𝛑

𝐓

𝟐∙ (𝟔𝟑𝟕𝟖𝟏𝟑𝟕 + 𝟔𝟎𝟎) ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟎𝟖°𝟏𝟒′𝟑𝟎, 𝟑" = 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟑𝟖𝟓𝟓𝟐𝟖 Τ𝐦 𝐬𝟐

𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟎𝟑𝟏𝟖 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟑𝟖𝟓𝟓𝟐𝟖 = 𝟗, 𝟕𝟒𝟔𝟗𝟑𝟐𝟒𝟕𝟐𝟎𝟖𝟔 Τ𝒎 𝒔𝟐

Força da Gravidade

𝒂𝒄 = 𝝎𝟐 ∙ 𝒓 = 𝝎𝟐 ∙ 𝑹 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒈 = 𝒂𝒈 − 𝒂𝒄

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A Fórmula Internacional da Gravidade permite calcular com precisão

valores de 𝑔 próximo à superfície da Terra, na unidade do SI, a partir

de latitude (𝜑) e da altitude ortométrica (𝐻) do local considerado,

conforme a expressão abaixo:

𝑔 = 9,780327 ∗ (1 + 5,3204 ∗ 10−3 ∗ 𝑠𝑒𝑛²(𝜑) – 5,8 ∗ 10−6 ∗ 𝑠𝑒𝑛²(2𝜑)) – 3,086 ∗ 10−6 ∗ 𝐻

onde:

𝑔 = aceleração gravitacional local (em Τ𝑚 𝑠2);

𝜑 = latitude (em graus) do ponto onde se faz a medição;

𝐻 = altura em relação ao nível do mar (em m).

Força da Gravidade

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Exemplo: Calcule o valor de g para o vértice da RBMC de

Inconfidentes (MGIN) considerando os seguintes dados oficiais da

estação:

Utilize o software MAPGEO 2015 para determinação da altitude

ortométrica da estação, onde:

𝐻 = ℎ − 𝑁

Força da Gravidade

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A partir do software MAPGEO 2015, calculamos o valor da ondulação

geoidal N, obtendo o valor de −2,76 𝑚 . Substituindo na equação

abaixo temos:

𝐻 = 883,720 − −2,76 = 886,480 𝑚

Utilizando-se a Fórmula Internacional da Gravidade obtemos o

seguinte valor para 𝑔:

𝑔 = 9,785067558 Τ𝑚 𝑠2

Força da Gravidade

N = -2,760

h = 883,720

H = 886,480

(MGIN) = -22,31856202778

g = 9,7850675583

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A aceleração da gravidade pode ser determinada por equipamentos

chamados Gravímetros.

Princípio Básico de Funcionamento de um Gravímetro

Medição da Aceleração da Gravidade

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Existem modelos Relativos:


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E modelos Absolutos:

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A aceleração da gravidade pode ser medida por diferentes métodos

tais como:

⚫ Pêndulo Simples, Físico e Reversível;

⚫ Variação do comprimento de uma mola;

⚫ Queda Livre;

⚫ Gravímetros Absolutos;

⚫ Gravímetros Relativos.

Com o trabalho de Huigens (1673), estabelecendo a relação entre o

período de oscilações de um pêndulo e a aceleração de gravidade,

surgiu o método pendular que consiste na medição isolada de

pequenos intervalos de tempo devido ao isocronismo pendular,

descoberto por Galileu (1589).


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O método pendular na medição gravimétrica absoluta consiste

basicamente em medir o período de oscilações de um pêndulo. A

maior aplicação do método pendular em relação ao da queda livre no

passado deve-se ao isocronismo (diz-se dos movimentos que se

realizam com a mesma duração ou com intervalos iguais) pendular.


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⚫ Pêndulo Simples:

Consiste em medir o período de oscilações de um pêndulo. Foi muito

utilizado no passado devido à sua facilidade de implementação. O

período 𝑇 de um pêndulo simples pode ser expresso em função do

seu comprimento 𝐿 e do valor local da aceleração da gravidade 𝑔,

representado pela seguinte expressão:

𝑇 = 2𝜋𝐿

𝑔∙ 1 +

1

2∙ sen2

𝛼

2+⋯

onde 𝛼 a elongação máxima do pêndulo.


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Pêndulo Físico:

Mas o pêndulo simples é puramente teórico. A realização

prática de um pêndulo simples é o pêndulo físico isócrono

e de comprimento:

𝐿 =𝐼

𝑀 ∙ ℎ

Onde 𝐼 é o momento de inércia em relação ao eixo de oscilação, 𝑀 a

massa total do pêndulo e ℎ a distância do centro de massa ao eixo de

oscilação.


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Pêndulo Reversível:

As dificuldades para a obtenção

precisa das grandezas físicas que

aparecem no método físico são

evidentes, mas podem ser

parcialmente contornadas com o

chamado pêndulo reversível,

idealizado por Kater (1818) e que,

por quase um século, serviu de

base para os trabalhos

desenvolvidos na medição pendular.

Esse pêndulo pode oscilar suspenso

pelas duas extremidades

alternadamente.


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Pêndulo Reversível:

Medindo-se o período de oscilação 𝑇 , pode-se chegar a uma

expressão para o cálculo da aceleração 𝑔, dada por:

𝑔 =8𝜋2

𝑇12 +𝑇2

2

ℎ1+ℎ2+𝑇12 −𝑇2

2

ℎ1−ℎ2


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Queda Livre:

O princípio deste método consiste em medir o tempo 𝑡, necessário

para um objeto percorrer a distância 𝑥, onde tanto o intervalo de

tempo como a distância são medidos em relação a uma origem

arbitrária. Temos, assim, a equação do movimento:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 +𝑔 ∙ 𝑡2

2

onde 𝑥 é a distância percorrida pelo objeto até o instante 𝑡 e 𝑣0 é a

velocidade do objeto no instante do lançamento. Do ponto de vista

prático, é conveniente subdividir a distância percorrida e o intervalo de

tempo correspondente. Assim, a distância pode ser dividida em 𝑥1, 𝑥2e 𝑥3 que correspondem aos intervalos de tempo 𝑡1, 𝑡2 e 𝑡3.


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Queda Livre:

Com isso, as constantes 𝑥0 e 𝑣0 podem ser eliminadas da equação do

movimento, resultando em:

g = 2 ∙𝑥3 − 𝑥1 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑥2 − 𝑥1 𝑡3 − 𝑡1

𝑡3 − 𝑡1 𝑡3 − 𝑡2 𝑡2 − 𝑡1


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Queda Livre:

Na prática realizam-se observações superabundantes que conduzem

às equações de observação:

𝑧𝑖 + 𝑟𝑖 = 𝑧1 + 𝑣1 ∙ 𝑡𝑖 − 𝑡1 +𝑔 ∙ 𝑡𝑖 − 𝑡1

2

2

com 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛. Se 𝑣1 = 𝑡1 = 𝑧1 = 0

𝑔 =2 ∙ 𝑧2

𝑡22

ou

𝑧 =𝑔 ∙ 𝑡2

2


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Queda Livre:

Aplicando a lei de propagação de variâncias para a equação 𝑧 em

relação às incógnitas 𝑔 e 𝑡 temos:

𝜎𝑧2 =

𝛿𝑧

𝛿𝑔

2

∙ 𝜎𝑔2 +

𝛿𝑧

𝛿𝑡

2

∙ 𝜎𝑡2 =

𝑡2

2

2

∙ 𝜎𝑔2 + 𝑔𝑡 2 ∙ 𝜎𝑡

2

Logo, para se obter uma precisão de 0,01 𝑚𝐺𝑎𝑙 em g, é necessário

que se conheça uma distância de 1m com precisão de 10𝑛𝑚 (10−8 𝑚)

um intervalo de 0,5𝑠 com uma precisão de centésimo milionésimo de

segundo (10−8𝑠 )


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Gravímetros:

Os gravímetros consistem basicamente numa

massa suspensa por um sistema elástico (molas)

tal que a tensão da mola seja proporcional ao seu

comprimento.

O peso da massa (𝑚𝑔) está equilibrado pela força

elástica da mola. Seja 𝑙0 o comprimento inicial da

massa e 𝑙 o comprimento quando carregada. Pela

lei de Hooke, a deformação é proporcional a força

que a produz.

𝑚 ∙ 𝑔 = 𝑘 ∙ 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘 ∙ ∆𝑙

O coeficiente 𝑘 depende das características

elásticas da mola.


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Gravímetros:

Numa segunda estação teremos 𝑔 + 𝛿𝑔 e,

consequentemente, ∆𝑙 + 𝛿𝑙 , onde a deformação

𝛿𝑙 pode ser medida pela diferença das leituras na

escala 𝐸, nas duas estações. Com a variação da

deformação, pode-se calcular a variação da

gravidade. Assim, para a estação 1, tem-se:

𝑚 ∙ 𝑔1 = 𝑘 ∙ ∆𝑙 → 𝑔1 =𝑘

𝑚∙ ∆𝑙

Na estação 2, tem-se:

𝑚 ∙ 𝑔2 = 𝑘 ∙ ∆𝑙 + 𝛿𝑙 → 𝑔2 =𝑘

𝑚∙ ∆𝑙 + 𝛿𝑙


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Gravímetros:

Logo, como 𝛿𝑔 = 𝑔2 − 𝑔1 temos:

𝛿𝑔 = 𝑔2 − 𝑔1 =𝑘

𝑚∙ 𝛿𝑙

ou ainda:

𝛿𝑔 = 𝐶 ∙ 𝛿𝑙 = 𝐶 ∙ 𝐸2 − 𝐸1

onde 𝐶 é uma constante de calibração previamente

determinada.


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Referências Bibliográficas

Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,

Curitiba, 1999.

Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e

astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.

Halliday, D., Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física,

volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução e

revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Cientifico S.A - LTC, 2009.

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