Aula 2: Teoria dos Erros EAC-042: Ajustamento de …paulo.borges/...IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes 3/30 INTRODUÇÃO: Mesmo cercando-se de precauções e cuidados especiais no

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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes

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EAC-042: Ajustamento de Observações

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

Aula 2: Teoria dos Erros

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INTRODUÇÃO:

As grandezas físicas são determinadas

experimentalmente por medidas ou combinações de

medidas. Essas medidas tem uma incerteza intrínseca

que advém das características dos equipamentos

utilizados na sua determinação e também do operador.

Assim, a experiência mostra que, sendo uma medida

repetida várias vezes com o mesmo cuidado e

procedimento pelo mesmo operador ou por vários

operadores, os resultados obtidos não são, em geral,

idênticos.

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INTRODUÇÃO:

Mesmo cercando-se de precauções e cuidados

especiais no momento da obtenção das observações,

estas vêm eivadas dos inevitáveis erros de medidas,

consequência da imperfeição do equipamento, falha

humana e das condições ambientais nas quais se

processa a mensuração.

A maneira de se obter e manipular os dados

experimentais, com a finalidade de conseguir estimar

com a maior precisão possível o valor da grandeza

medida e o seu erro, exige um tratamento adequado que

é o objetivo da chamada “Teoria dos Erros”.

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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:

Suponha que se deseja medir a distancia AB de

um determinado objeto e que para isso tem-se a

disponibilidade de uma régua graduada em centímetros:

Nesta situação, pode-se afirmar que este objeto possui

pelo menos 8 cm, necessitando definir a fração entre 8 e

9 cm que não podemos afirmar com certeza, sendo esta

estimada pelo observador.

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Se três observadores distintos fossem anotar o

comprimento, todos anotariam 8 cm mais uma fração que

poderia apresentar valores discrepantes:

Observador 1: 8 cm + 0,7 cm = 8,7 cm



Nos três casos as leituras seriam totalmente

satisfatórias. E se um quarto observador anotasse a leitura

de 8,75 cm, poderíamos atribuir a leitura como correta?

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Diante do exemplo apresentado, podemos definir

algarismos significativos como sendo uma medida

composta por todos os algarismos que temos certeza (os

exatos) mais um algarismo duvidoso (onde reside a

incerteza da leitura).

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INCERTEZAS:

É a fração avaliada da menor divisão da escala, ou

seja, a incerteza reside no dígito duvidoso.

Se tomarmos, como exemplos, a medida do objeto

AB como sendo 8,6 cm, sendo o algarismo 6 o duvidoso,

isto significa que a medida AB poderia ser 8,5 ou 8,7 cm;

8,4 ou 8,8 cm. No primeiro caso a amplitude da incerteza é

±0,1cm e no segundo ±0,2cm. De forma geral, a amplitude

da incerteza é fixada pelo experimentador. Caso ele faça

opção para a amplitude de ±0,2, a medida do objeto AB =

(8,6 ±0,2) cm.

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INCERTEZAS:

Desta forma o experimentador nos revela que a

medida é confiável dentro dos limites de 8,4 a 8,8 cm, mas

que o valor mais provável da medida, na sua opinião, é AB

= 8,6 cm.

A incerteza de uma medida pode ser classificada

em dois tipos:

a) Incerteza absoluta;

b) Incerteza relativa.

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INCERTEZAS:

a) Incerteza absoluta: Refere-se à amplitude de incertezas

fixada pelo experimentador, com o sinal ±. A incerteza

absoluta, depende da perícia do experimentador, de sua

segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio

instrumento utilizado na medição. Apesar de não ser

norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta, o valor

da metade da menor divisão da escala tomado em módulo.

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INCERTEZAS:

a) Incerteza relativa: É igual ao quociente entre a incerteza

absoluta e a medida da grandeza e é, freqüentemente

expressa em termos percentuais. Por exemplo, para a

medida AB = (8,6 ± 0,2) cm, temos:

Incerteza absoluta = ±0,2 cm

Incerteza relativa = (±0,2/8,6) = ±0,023 ou 2,3%

Poderíamos dizer que quanto menor a incerteza relativa,

maior a “qualidade” da medida. Quando o valor de uma

grandeza é obtido a partir de uma medida única, costuma-

se exprimi-lo com a respectiva incerteza absoluta.

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FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:

Ao se realizar várias medidas experimentais, de

uma certa grandeza física, temos como objetivo alcançar o

seu “valor verdadeiro” ou “valor real”. Mas atingir este

objetivo é praticamente impossível. Pode-se chegar, após

uma série de medidas, a um valor que mais se aproxima

do valor real, ou seja, ao valor mais provável de uma

grandeza medida. O “valor real” seria aquele obtido

teoricamente por meio de algum modelo “exato” (que

incluísse todos os efeitos físicos) ou então aquele obtido

por meio de uma medida experimental “perfeita”. Ambos os

casos são situações ideais não alcançadas na prática.

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FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:

Se conhecermos o valor real da grandeza e o

compararmos com o valor medido podemos definir o que

denominamos “Erro”.

“Erro é a diferença entre o valor medido e o

verdadeiro valor da grandeza”

“Erro = valor medido – valor real”

As flutuações que acompanham todas as medidas

são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor

verdadeiro da grandeza. E estas flutuações ou erros são

de origem sistemáticas e de origem acidentais ou

aleatórias.

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A classificação tradicional para a teoria dos erros

indica a ocorrência de três tipos de erros nas medidas:

grosseiro, sistemático e acidental (aleatório ou randômico).

ERRO GROSSEIRO:

Erros grosseiros frequentemente ocorrem na prática,

geralmente estão associadas à desatenção do observador ou

mesmo do anotador. A inversão de dígitos numa leitura, a

contagem errônea do número de trenadas na medida de uma

distância, a troca do bordo visado na medida da distância

zenital do sol, são exemplos clássicos de erros grosseiros.

Mesmo em técnicas automáticas de registro podem ocorrer,

em razão de uma falha de equipamento, porém com menor

freqüência.

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ERRO GROSSEIRO:

Do ponto de vista estatístico, observações com erros

grosseiros não podem ser consideradas como pertencentes à

amostra da distribuição em questão, não podendo ser usada

com outras observações. Desta forma, mas medidas devem

ser planejadas de modo que na coleta de dados, seja

possível detectar erros grosseiros ou evitar a sua ocorrência.

Todas as observações contaminadas de erros

grosseiros devem se simplesmente ser rejeitadas; em alguns

casos a detecção do erro é fácil (erro grande). Entretanto

erros grosseiros de moderadas magnitude são difíceis de

serem detectados, mesmo usando-se de técnicas

estatísticas.

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ERRO SISTEMÁTICO:

Os erros sistemáticos são aqueles oriundos de

causas conhecidas; podem, na maioria das vezes, ser

evitado através de técnicas especiais de observação ou

eliminados a posteriori mediante a aplicação de fórmulas

fornecidas pela teoria.

A minimização dos erros sistemáticos é obtida pela

calibração dos instrumentos, técnicas de observação e de

processamento dos dados para eliminar efeitos

atmosféricos ou outros. Do ponto de vista estatístico, a

repetição de observações não auxiliará na detecção de

erros sistemáticos, pois eles afetam as observações da

mesma forma.

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ERRO SISTEMÁTICO:

A colocação do nível a igual distancia das miras no

nivelamento geométrico, é um exemplo de eliminação de

efeitos sistemáticos (refração, esfericidade e colimação)

durante a medição, ou ainda, o uso da reiteração ou repetição

e leituras conjugadas (CE, CD) nas observações angulares,

com objetivo de eliminar os efeitos sistemáticos.

Os erros sistemáticos também podem estar

associados ao observador; é o caso, por exemplo, do

nivelador que efetua a leitura sempre um pouco abaixo (ou

acima) do traço da mira, ou do topógrafo que efetua a leitura

um pouco a esquerda (ou a direita) do alvo. Esse tipo de erro

é difícil de eliminar.

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ERRO ALEATÓRIO:

Os erros acidentais ou aleatórios, ao contrário dos

erros sistemáticos, ocorrem ora num ora noutro sentido e

não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida.

Uma vez eliminado os erros grosseiros e sistemáticos, o

conjunto de observações repetidas sobre a mesma

grandeza ainda se revelam inconsistentes; as

discrepâncias constatadas são atribuídas aos erros

acidentais. Enquanto que os erros sistemáticos tendem a

se acumular, os erros acidentais tendem a se neutralizar

quando o número de observações crescem.

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ERRO ALEATÓRIO:

Antes de iniciar o ajustamento, as observações

deverão se depuradas de todas as influências sistemáticas,

bem como dos erros grosseiros, uma vez que o

ajustamento prevê que as mesmas se apresentam

contaminadas apenas pelos erros acidentais.

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ERRO VERDADEIRO, APARENTE E RESÍDUO

Designando ത𝑋 o valor estimado de um grandeza

medida, por 𝜇 o seu valor verdadeiro, e por 𝑙𝑖 os valores

observados, pode-se considerar que:

a) Erro verdadeiro: 𝜖 = 𝑙𝑖 − 𝜇

b) Erro aparente : 𝑒𝑖 = 𝑙𝑖 − ത𝑋

c) Resíduo: 𝑣𝑖 = ത𝑋 − 𝑙𝑖 (erro aparente com sinal

trocado)

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CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES

A. Observações Diretas: as medições são efetuadas

diretamente, em relação à grandeza procurada, sem

que existam meios para verificação do erro, uma vez

que não há o conhecimento dos valores reais ou

teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado.

B. Indiretas: As observações não são feitas diretamente

sobre as grandezas procuradas, mas a outras a elas

ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.:

coordenadas, áreas, etc.

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CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES

C. Diretas Condicionadas: As observações são feitas

diretamente, e são independentes entre si, porém se

prendem a alguma equação de condição conhecida.

Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo

plano, tem-se que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180°.

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VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA

O valor mais provável de uma grandeza, medida

diversas vezes pelo mesmo operador, utilizando o mesmo

equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com

um grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA

ARITMÉTICA dos valores encontrados.

No caso de observações obtidas com diferentes

graus de confiabilidade, o valor mais provável deverá ser

obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao

qual denominamos de PESO.

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Visando a aplicação do Método do Mínimos

Quadrados (MMQ), considerando o caso da medida direta

de uma grandeza 𝑥; sejam 𝑏1, 𝑏2, 𝑏2…𝑏𝑛 os valores obtidos

em uma série de 𝑛 observações. Na impossibilidade de

obter o verdadeiro valor de 𝑥 deve-se se contentar com

uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor 𝑥 com

base em um certo critério e calculando as diferenças

temos:

ൢ

𝑥 − 𝑏1 = 𝑣1𝑥 − 𝑏2 = 𝑣2

⋯𝑥 − 𝑏𝑛 = 𝑣𝑛

ou 𝑥 − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖 para 𝑖 = 1,2,3,⋯ , 𝑛

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Tais diferenças (𝑣𝑖) são resíduos, isto é, os valores,

a priori desconhecidos, que somados às observações

reproduzem o valor escolhido 𝑥.

Mudando-se o critério para eleger um valor diferente

𝑥′; resultaria um novo conjunto de resíduos: 𝑥′ − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖′ eassim por diante 𝑥′′ − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖′′; etc..

Qual dos valores 𝑥 , 𝑥′ , 𝑥′′ deve-se adotar? Em

outras palavras, como escolher um critério que permita,

das observações repetidas 𝑏𝑖, discrepantes entre si, extrair

um valor único para representar a incógnita 𝑥?

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A quase dois séculos o geodesista fez sua opção,

seguindo o caminho indicado por GAUSS e LEGENDRE:

Aceitar como melhor estimativa de 𝒙 o valor que torna

mínima a soma dos quadrados dos resíduos.

O critério supra caracteriza o método dos mínimos

quadrados (M.M.Q) instituído independentemente pelos

dois grandes matemáticos acima citados. Até a bem pouco,

o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original

de Gauss, respeitada universalmente [𝑣. 𝑣] = min , o

colchete indicando somatório, com variações

subentendidas de 1 a 𝑛 e sem utilizar expoentes.

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Quando as observações não oferecem o mesmo

grau de confiança são “homogeneizadas” através de pesos

𝑝𝑖:

𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖 ∙ 𝑣𝑖2 = 𝑚í𝑛

Ou 𝑝 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 = mín

Modernamente prefere-se a linguagem matricial:

ቊ 𝑉𝑇 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛𝑉𝑇 ∙ 𝑃 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛

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MEDIDAS DE PRECISÃO

Precisão é a consistência da medida ou grau de

refinamento de um grupo de medidas. Nas medições os

termos mais comumente usados para expressar a precisão

são a variância e o desvio padrão ou erro quadrático.

A. Variância: Definida como a média do quadrado dos

erros aparentes. No cálculo da variância é comum

adotar o seguinte critério: Se o número de observações

(𝑛) for menor que 30, a variância é obtida por:

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Se o número de observações (𝑛) for maior que 30, a

variância é obtida por:

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B. Desvio Padrão: É obtido através da raiz quadrada da

variância.

Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá

valor científico e técnico, se além de apresentado o valor

para a grandeza desejada, for apresentado também a

precisão com que esta foi obtida.

Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o

desvio padrão como precisão, é comum apresentar o erro

relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias.

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CAMARGO, P. O. Ajustamento de Observações. Presidente

Prudente: Ed. UNESP, 2000. 222p.

GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações:

aplicações geodésicas. Curitiba: Ed. da UFPR, 1994. 319p.

SILVA, A. S.; GRIPP JR., J. Ajustamento de observações.

Material didático: apostila. Viçosa, 1999. 81p.

Referências Bibliográficas

Documents

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