UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones

Aula 3: lei zero da Termodinâmica; expansão térmica

Introdução

Vamos iniciar o estudo de uma nova área da física, a TERMODINÂMICA, que lida com fenômenos associados aos conceitos de temperatura e calor.

A termodinâmica é muito diferente da mecânica.

número gigantesco (~1024) de variáveis dinâmicas (vi ,xi).

A conexão entre o mundo microscópico e o macroscópico é dada pela: Teoria Cinética dos Gases e pela Mecânica Estatística

Mecânica Termodinâmica

Número pequeno de variáveis macroscópicas (P,V,T)

Leis da Termodinâmica Partindo de um pequeno número de leis básicas, a termodinâmica permite obter conclusões de grande generalidade sobre o comportamento dos sistemas macroscópicos:

•Lei Zero: temperatura e equilíbrio térmico.

•1° lei da termodinâmica: extensão do princípio de conservação da energia, levando em conta o calor como forma de energia.

•2° Lei da Termodinâmica: aparece pela primeira vez na física a "seta do tempo", ou o fato de que existe uma direção espontânea de ocorrência dos fenômenos. A conexão entre a Segunda Lei e a irreversibilidade é um dos problemas mais profundos da física.

•3° lei: Entropia do zero absoluto.

Equilíbrio Térmico entre dois corpos Considere dois sistemas termodinâmicos A e B (e.g. gases confinados) separados por uma parede adiabática, que é um isolante térmico, ou seja, não permite a troca de calor (energia térmica).

Nesta situação, as variações das propriedades termodinâmicas de um sistema não influenciam as propriedades do outro sistema. Ex.: a variação na temperatura TA não acarreta mudança

em TB.

Se agora substituímos as paredes de separação adiabáticas por uma parede de separação diatérmica, que é um condutor térmico, haverá troca de calor, até que o sistema atinja o equilíbrio térmico.

Quando dois sistemas estão em equilíbrio térmico, diz-se que ambos possuem a mesma temperatura.

Enunciado da Lei Zero: Se cada um dos sistemas A e B está em equilíbrio térmico com um terceiro sistema C, então A e B estão em equilíbrio térmico entre si.

Numa situação prática, o sistema C da lei zero pode ser um termômetro. Se o termômetro estiver em equilíbrio com A e B separadamente, e indicar a mesma leitura, então A e B possuem a mesma temperatura.

Lei Zero da Termodinâmica

Termômetros

As propriedades de muitos corpos variam quando alteramos suas temperaturas, por exemplo:

• Em geral, o volume de um líquido aumenta quando sua temperatura T aumenta.

• Uma haste de metal fica um pouco mais longa quando T aumenta.

• A resistência elétrica de um fio aumenta com T. • A pressão exercida por um gás confinado muda com T. • O volume de mercúrio liquido aumenta com T.

Um termômetro é um dispositivo que mede a temperatura de um corpo ou sistema, fazendo uso de alguma propriedade física que exibe uma mudança com a temperatura.

EXEMPLO: um termômetro de mercúrio consiste num tubo capilar de vidro fechado e evacuado, com um bulbo numa extremidade, contendo mercúrio.

O volume V do mercúrio é medido através do comprimento l da coluna líquida.

Na realidade, este comprimento não reflete apenas a dilatação ou contração do mercúrio, mas a diferença entre ela e a dilatação ou contração correspondente do tubo de vidro que contém o mercúrio.

Entretanto, a variação de volume do mercúrio é geralmente bem maior do que a do recipiente.

Temperatura

o Os físicos medem a temperatura na escala Kelvin, que é graduada em unidades chamadas de kelvins.

o Não existe um limite superior aparente para a temperatura de um corpo.

o A temperatura tem um limite inferior; este limite inferior de temperatura é tomado como o zero da escala de temperatura Kelvin.

o A temperatura ambiente está em torno de 290 kelvins, ou 290 K, como a escrevemos, acima deste zero absoluto.

O ponto de partida de nossa discussão da termodinâmica é o conceito de temperatura e como ela é medida.

Aparentemente, não existe um limite superior para a temperatura de um sistema.

Existe um limite de quão baixa ela pode ser (um zero absoluto de temperatura). Define-se esse zero absoluto como sendo zero na escala Kelvin (K).

Para definir o tamanho do grau na escala Kelvin, selecionamos um fenômeno térmico reprodutível e, arbitrariamente, lhe atribuímos uma certa temperatura Kelvin. Por razões técnicas, selecionamos o ponto triplo da água: T3 = 0.01 °C P3 = 4.58 mm Hg.

Escala Kelvin de Temperatura

Ponto triplo da água: a água (líquido), o gelo (sólido) e o vapor d'água (gás) podem coexistir, em equilíbrio térmico, em apenas um único conjunto de valores de pressão e temperatura.

Por acordo internacional, foi atribuído ao ponto triplo da água o valor de 273,16 K como a temperatura de ponto fixo padrão para a calibragem de termômetros; ou seja,

T3 = 273,16 K

onde o sub-índice 3 significa "ponto triplo". Este acordo também estabelece o tamanho do kelvin como 1/273,16 da diferença entre o zero absoluto e a temperatura do ponto triplo da água.

Escala Celsius de Temperatura

AdefiniçãodaescalaCelsiusdetemperaturaempíricafoiassociadacomaescolhadedoispontosfixoscorrespondentesatemperaturasbemdefinidas,umadelassendoadogeloemfusãoeaoutraadaáguaemebulição.

o Maisprecisamente,opontodegelocorrespondeàtemperaturadeequilíbriotérmicodegeloeáguasaturadadear,àpressãode1atmosfera,

o eopontodevapor éatemperaturadeequilíbriodevapordeáguaeáguapura,àpressãode1atmosfera.

NaescalaCelsius,assinalamosarbitrariamenteastemperaturas:Pontodevapor:T=100°CPontodegelo:T=0°C

Esteéumpadrãoantigo(purezadasubstanciaafetaopontodefusãoeebulição).

O grau Celsius tem o mesmo tamanho do Kelvin. Contudo, o zero da escala Celsius está deslocado, i.e.

TC = TK – 273,16°

Escala Celsius de Temperatura

Isto equivale a dividir a escala entre L100 e L0 em 100 partes iguais,

cada subdivisão correspondendo a 1°C, ou seja, equivale a definir a dilatação da coluna de mercúrio como sendo linear com T.

Para cal ibrar o termômetro de mercúr io nesta escala, convencionamos a seguir que T e o comprimento L da coluna guardam entre si uma relação linear.

Assim, se L100 e L0 são os comprimentos no ponto de vapor e no ponto de gelo, respectivamente, e L é o comprimento quando em equilíbrio térmico com o sistema cuja temperatura queremos medir, assinalamos a T o valor:

T = 100L − L0

L100 − L0(∘C)

O termômetro de gás a volume constante

Exemplo 1

Exercício01Emumtermômetrodegásavolumeconstante,apressãoa20,0°Céde0,980atm.(a)Qualéapressãoa45,0°C?(b)Qualéatemperaturaseapressãofor0,500atm?

!

Em!um!termômetro!a!gás!a!volume!constante,!a!Pressão!varia!linearmente!com!a!Temperatura.

P = aT + b com a = ΔPΔT

T = −273°C→ P = 0!atm ⇒ a = 0,980 − 020 + 273

→ a = 3,34 ×10−3

0 = 3,34 ×10−3 × (−273)+ b → b = 0,91 ⇒ P = 3,34 ×10−3T + 0,91

P = 3, 34 ×10−3 × 45 + 0, 91P = 1, 06!atm

(a)

!

0,5 = 3,34 ×10−3T + 0,91

T = 0,5 − 0,913,34 ×10−3

T = −123°C

(b)

Em um termômetro de gás a volume constante, a pressão a 20°C é de 0,98atm.

(a) Qual é a pressão a 45,0°C? (b) Qual é a temperatura se a pressão for 0,500 atm?

Em um termômetro a gás a volume constante a pressão varia linearmente com a temperatura.

Expansão Térmica

• Para a maioria das substâncias, quando a temperatura aumenta ocorre um aumento em seu volume. Esse é o fenômeno da expansão (ou dilatação) térmica.

• Origem: Aumento da separação média entre os átomos ou moléculas constituintes da substância com o aumento da temperatura (exceções, comportamento anômalo da água. )

• Freqüentemente, podemos afrouxar uma tampa metálica de um pote de vidro segurando-o em fluxo de água quente.

Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandem quando a água quente adiciona energia a seus átomos. (Com a energia adicionada, os átomos podem se afastar mais uns dos outros do que o normal, em oposição às forças elásticas inter-atômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido.) Contudo, como os átomos no metal conseguem se afastar uns dos outros mais do que aqueles do vidro, a tampa se expande mais do que o pote e, portanto, fica frouxa.

• Seções de uma ponte são separadas por juntas de dilatação para que as seções possam se expandir em dias quentes sem provocar rachaduras.

Exemplos de Expansão Térmica (1)

Exemplos de Expansão Térmica

Quando uma cavidade em um dente é preenchida, o material utilizado na restauração deve ter as mesmas propriedades de expansão térmica que o dente ao seu redor; de outro modo, o consumo de um sorvete seguido de um café quente poderia ser bastante doloroso.

Quando o jato Concorde foi construído, o projeto teve que levar em consideração a expansão térmica da fuselagem resultante do aquecimento pelo atrito com o ar durante um vôo supersônico.

ExpansãoTérmicaLinear

Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L foraumentada de uma quantidade ΔT, observamos que seucomprimentoaumentadeumaquantidade:

ΔL=L0αΔT,ouseja,L=L0+L0αΔT

αéumaconstantechamadadecoeficientedeexpansãolinear.

ΔT=T-T0(ouseja,Tfinal–Tinicial)ΔL=L-L0(ouseja,Lfinal–Linicial)

Ocoeficienteαtemunidade"porgrau"ou"porkelvin"edependedomaterial.

Expansão Térmica Linear Embora α varie um pouco com a temperatura, em muitas aplicações ele pode ser considerado constante para um determinado material. Capítulo 17 — Temperatura e calor 207

ATENÇÃO Aquecendo um objeto com um buraco Quando um objeto sólido contém um buraco em seu interior, o que ocorre com o tamanho do buraco quando a temperatura do objeto aumenta? Um erro muito comum é pensar que, quando o objeto se expande, o buraco se contrai, porque o objeto se expande para dentro do buraco. Na verdade, quando o objeto se dilata, o mesmo ocorre com o buraco (Figura 17.10 ); todas as dimensões lineares do objeto se dilatam do mesmo modo quando a temperatura varia. Pense nos átomos da Figura 17.9a como se fossem o contorno de um buraco cúbico. Quando o objeto se expande, os átomos se separam e o buraco aumenta de tamanho. A única situação em que um “buraco” será preenchido em decorrência da dilatação térmica é quando dois objetos distintos se dilatam e fecham a brecha existente entre eles (Figura 17.11).

Figura 17.10 Quando um objeto passa por dilatação térmica, quaisquer buracos existentes no objeto também se dilatam. (A dilatação foi exagerada na gravura.)

FRIO

QU

EN

TE

Uma chapa se dilata quando aquecida...

... então um buraco recortado na chapa também deve se dilatar.

Figura 17.11 Este trilho de linha férrea possui uma lacuna entre os segmentos, para permitir a dilatação térmica. (Os sons de estalos que são familiares aos passageiros de trens vêm das rodas passando sobre essas lacunas.) Em dias quentes, os segmentos se expandem e preenchem a lacuna. Se houvesse menos lacunas, o trilho poderia se deformar sob condições muito quentes.

Lacuna

A proporcionalidade direta expressa na Equação 17.6 não é exata; ela é apro-ximadamente correta apenas quando ocorrem variações de temperatura muito pe-quenas. Em um dado material, a varia ligeiramente com a temperatura inicial T0 e com a amplitude do intervalo de temperatura. Porém, vamos desprezar esse efeito aqui. Valores médios de a para diversos materiais são listados na Tabela 17.1. Dentro da margem de precisão desses valores, não precisamos nos preocupar se T0 é 0 °C ou 20 °C, ou alguma outra temperatura. Note que os valores típicos de a são muito pequenos; mesmo considerando uma variação de temperatura de 100 °C, a variação relativa do comprimento !L/L0 é da ordem de apenas 1

1.000 para os metais listados na tabela.

TABELA 17.1 Coeficientes de dilatação linear.

Material a [K−1 ou (°C)−1]

Alumínio 2,4 × 10−5

Latão 2,0 × 10−5

Cobre 1,7 × 10−5

Vidro 0,4" 0,9 × 10−5

Invar (liga de ferro-níquel) 0,09 × 10−5

Quartzo (fundido) 0,04 × 10−5

Aço 1,2 × 10−5

Dilatação volumétrica

O aumento da temperatura geralmente produz aumento de volume, tanto em líquidos quanto em sólidos. Analogamente ao caso da dilatação linear, a experiên-cia mostra que, quando a variação de temperatura !T for menor do que cerca de 100 °C, o aumento de volume !V é aproximadamente proporcional à variação de temperatura !T e ao volume inicial V0:

!V = bV0 !T (17.8)Volume original

Variação de temperatura

Coeficiente de expansão volumétrica

Dilatação térmica volumétrica: variação no volume

A constante b caracteriza as propriedades da dilatação volumétrica de um dado material; ela é chamada coeficiente de dilatação volumétrica. As unidades de b são K" 1 ou (°C)" 1. Analogamente ao caso da dilatação linear, b varia ligeiramente com a temperatura, e a Equação 17.8 é uma relação aproximada que só vale para pequenas variações de temperatura. Em muitas substâncias, diminui em tempera-turas baixas. Diversos valores de b nas vizinhanças da temperatura ambiente são listados na Tabela 17.2 . Note que os valores para líquidos são geralmente maiores que os valores para sólidos.

TABELA 17.2 Coeficientes de dilatação volumétrica.

Sólidos b [K−1 ou (°C)−1] Líquidos b [K−1 ou (°C)−1]

Alumínio 7,2 × 10−5 Etanol 75 × 10−5

Latão 6,0 × 10−5 Dissulfeto de carbono 115 × 10−5

Cobre 5,1 × 10−5 Glicerina 49 × 10−5

Vidro 1,2"2,7 × 10−5 Mercúrio 18 × 10−5

Invar (liga de ferro-níquel) 0,27 × 10−5

Quartzo (fundido) 0,12 × 10−5

Aço 3 ,6 × 10−5

Em materiais sólidos, existe uma relação simples entre o coeficiente de dilata-ção volumétrica b e o coeficiente de dilatação linear a. Para deduzir essa relação, consideremos um cubo de um material com lado L e volume V # L3 . Na tempera-tura inicial, os valores são L0 e V0. Quando a temperatura aumenta de dT, a aresta aumenta de dL e o volume aumenta de uma quantidade dV dada por:

dV =dVdL

dL = 3 L2 dL

Agora, substituímos L e V pelos valores iniciais L0 e V0. Conforme a Equação 17.6, dL é dado por

dL # aL0 dT

Como V0 # L03 , podemos expressar dV do seguinte modo:

dV # 3 L02aL0 dT # 3 aV0 dT

Esse resultado está de acordo com a forma infinitesimal da Equação 17.8, dV # bV0 dT, somente quando

b # 3 a (17.9)

(Confira essa relação para alguns materiais listados nas tabelas 17.1 e 17.2.)

ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 17.1 DILATAÇÃO TÉRMICA

IDENTIFICAR os conceitos relevantes: verifique se o problema envolve variações em comprimento (dilatação térmica li-near) ou em volume (dilatação térmica volumétrica).

PREPARAR o problema por meio dos seguintes passos:1. Relacione as grandezas conhecidas e desconhecidas, iden-

tificando as variáveis-alvo.2. Escolha a Equação 17.6 para a dilatação linear e a Equação

17.8 para a dilatação volumétrica.

EXECUTAR a solução da seguinte forma:1. Resolva as equações para obter as variáveis-alvo. Se uma

temperatura inicial T0 é fornecida e você deve calcular a tem-peratura final T correspondente a uma dada variação de com-primento ou de volume, calcule !T primeiro e a temperatura

final será T # T0 $ !T. Lembre-se de que as dimensões de um buraco em um material se expandem com o aumento da temperatura do mesmo modo que qualquer outra dimensão linear, e o volume de um buraco (como o volume de um re-cipiente) se dilata do mesmo modo que a dilatação da forma sólida correspondente.

2. Mantenha a coerência das unidades. Neste caso em parti-cular, L0 e !L (ou V0 e !V) devem possuir as mesmas uni-dades. Se você usar um valor de a ou de b em K−1 ou (°C)−1, então !T deve ser dado em kelvins ou em graus Celsius; pelo Exemplo 17.1, as duas escalas são equivalen-tes para diferenças de temperatura.

AVALIAR sua resposta: verifique se os resultados fazem sentido.

Book_SEARS_Vol2.indb 207 02/10/15 1:51 PM

206 Física II

ATENÇÃO Aquecendo um objeto com um buraco Quando um objeto sólido contém um buraco em seu interior, o que ocorre com o tamanho do buraco quando a temperatura do objeto aumenta? Um erro muito comum é pensar que, quando o objeto se expande, o buraco se contrai, porque o objeto se expande para dentro do buraco. Na verdade, quando o objeto se dilata, o mesmo ocorre com o buraco (Figura 17.10 ); todas as dimensões lineares do objeto se dilatam do mesmo modo quando a temperatura varia. Pense nos átomos da Figura 17.9a como se fossem o contorno de um buraco cúbico. Quando o objeto se expande, os átomos se separam e o buraco aumenta de tamanho. A única situação em que um “buraco” será preenchido em decorrência da dilatação térmica é quando dois objetos distintos se dilatam e fecham a brecha existente entre eles (Figura 17.11).

Figura 17.10 Quando um objeto passa por dilatação térmica, quaisquer buracos existentes no objeto também se dilatam. (A dilatação foi exagerada na gravura.)

FRIO

QU

EN

TE

Uma chapa se dilata quando aquecida...

... então um buraco recortado na chapa também deve se dilatar.

Figura 17.11 Este trilho de linha férrea possui uma lacuna entre os segmentos, para permitir a dilatação térmica. (Os sons de estalos que são familiares aos passageiros de trens vêm das rodas passando sobre essas lacunas.) Em dias quentes, os segmentos se expandem e preenchem a lacuna. Se houvesse menos lacunas, o trilho poderia se deformar sob condições muito quentes.

Lacuna

A proporcionalidade direta expressa na Equação 17.6 não é exata; ela é apro-ximadamente correta apenas quando ocorrem variações de temperatura muito pe-quenas. Em um dado material, a varia ligeiramente com a temperatura inicial T0 e com a amplitude do intervalo de temperatura. Porém, vamos desprezar esse efeito aqui. Valores médios de a para diversos materiais são listados na Tabela 17.1. Dentro da margem de precisão desses valores, não precisamos nos preocupar se T0 é 0 °C ou 20 °C, ou alguma outra temperatura. Note que os valores típicos de a são muito pequenos; mesmo considerando uma variação de temperatura de 100 °C, a variação relativa do comprimento !L/L0 é da ordem de apenas 1

1.000 para os metais listados na tabela.

TABELA 17.1 Coeficientes de dilatação linear.

Material a [K−1 ou (°C)−1]

Alumínio 2,4 × 10−5

Latão 2,0 × 10−5

Cobre 1,7 × 10−5

Vidro 0,4" 0,9 × 10−5

Invar (liga de ferro-níquel) 0,09 × 10−5

Quartzo (fundido) 0,04 × 10−5

Aço 1,2 × 10−5

Dilatação volumétrica

O aumento da temperatura geralmente produz aumento de volume, tanto em líquidos quanto em sólidos. Analogamente ao caso da dilatação linear, a experiên-cia mostra que, quando a variação de temperatura !T for menor do que cerca de 100 °C, o aumento de volume !V é aproximadamente proporcional à variação de temperatura !T e ao volume inicial V0:

!V = bV0 !T (17.8)Volume original

Variação de temperatura

Coeficiente de expansão volumétrica

Dilatação térmica volumétrica: variação no volume

A constante b caracteriza as propriedades da dilatação volumétrica de um dado material; ela é chamada coeficiente de dilatação volumétrica. As unidades de b são K" 1 ou (°C)" 1. Analogamente ao caso da dilatação linear, b varia ligeiramente com a temperatura, e a Equação 17.8 é uma relação aproximada que só vale para pequenas variações de temperatura. Em muitas substâncias, diminui em tempera-turas baixas. Diversos valores de b nas vizinhanças da temperatura ambiente são listados na Tabela 17.2 . Note que os valores para líquidos são geralmente maiores que os valores para sólidos.

TABELA 17.2 Coeficientes de dilatação volumétrica.

Sólidos b [K−1 ou (°C)−1] Líquidos b [K−1 ou (°C)−1]

Alumínio 7,2 × 10−5 Etanol 75 × 10−5

Latão 6,0 × 10−5 Dissulfeto de carbono 115 × 10−5

Cobre 5,1 × 10−5 Glicerina 49 × 10−5

Vidro 1,2"2,7 × 10−5 Mercúrio 18 × 10−5

Invar (liga de ferro-níquel) 0,27 × 10−5

Quartzo (fundido) 0,12 × 10−5

Aço 3,6 × 10−5

Book_SEARS_Vol2.indb 206 02/10/15 1:51 PM

Este trilho de linha férrea possui uma lacuna entre os segmentos, para permitir a dilatação térmica. Os sons de estalos que são familiares aos passageiros de trens vêm das rodas passando sobre essas lacunas. Em dias quentes, os segmentos se expandem e preenchem a lacuna. Se houvesse menos lacunas, o trilho poderia se deformar sob condições muito quentes.

ExpansãoVolumétricaSe todas as dimensões de um sólido se expandem com a temperatura, ovolume deste sólido também deve se expandir. Para líquidos, a expansãovolumétricaéaúnicaquefazsentido.

Consideremosaexpansãotérmicadeumcubode ladoL. Se cada lado do cubo se expande linearmentesegundoL=L0+L0αΔT,ovolumefinalserá:

V=L3=(L0+L0αΔT)3

=L03(1+αΔT)3

Emgeral,aquantidadeαΔTémuitomenorque1,logopodemosusarumaexpansãobinomial(1+x)n≈1+nx+....Temosentão:V=L3=L03(1+αΔT)3≈L03(1+3αΔT)=V0(1+3αΔT)

Ouseja,emgeral:V=V0(1+βΔT)β=3α=coeficientede expansãovolumétrica

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Capítulo 17 — Temperatura e calor 209

superfície é menos densa que a água abaixo dela. Logo, o movimento para baixo termina, e a água nas proximidades da superfície permanece mais fria que a água embaixo dela. À medida que a superfície se congela, o gelo flutua porque possui densidade menor que a da água. A água no fundo permanece com uma tempera-tura de cerca de 4 °C, até que ocorra o congelamento total do lago. Caso a água se contraísse ao esfriar, como a maior parte das substâncias, lagos começariam a se congelar do fundo para a superfície. A circulação por diferença de densidade faria com que a água quente fosse transportada para a superfície, e os lagos ficariam totalmente congelados mais facilmente. Isso provocaria a destruição de todas as plantas e animais que não suportam o congelamento. Caso a água não tivesse essa propriedade especial, a evolução da vida provavelmente teria seguido um curso muito diferente.

Tensão térmicaCaso você prenda rigidamente as extremidades de uma barra para impedir sua

dilatação ou compressão, e a seguir produza uma variação de temperatura, surgem tensões de dilatação ou de compressão chamadas de tensões térmicas. A barra tenderia a se dilatar ou a se comprimir, mas os dispositivos que seguram suas extremidades impedem que isso ocorra. As tensões resultantes podem se tornar suficientemente elevadas a ponto de deformar a barra de modo irreversível, ou até mesmo quebrá-la. (Talvez você queira rever a discussão a respeito de tensão e deformação na Seção 11.4.)

Os engenheiros precisam levar em conta as tensões térmicas quando projetam estruturas (veja a Figura 17.11). Blocos de concreto em estradas e estruturas das pontes geralmente contêm um espaço vazio entre as seções, preenchido com um material flexível, ou são ligadas por meio de juntas em forma de dentes (Figura 17.13), para permitir a dilatação e a contração do concreto. Os tubos longos que transportam vapor apresentam juntas de dilatação ou seções em forma de U para impedir contrações ou alongamentos com as variações de temperatura. Se uma das extremidades de uma ponte de aço está rigidamente presa a seu suporte, a outra extremidade fica apoiada sobre rolamentos.

Para calcular a tensão térmica em uma barra presa, calculamos a dilatação (ou contração) que ocorreria caso ela não estivesse presa, e a seguir achamos a ten-são necessária para comprimi-la (ou esticá-la) até que ela atinja seu comprimento original. Suponha que uma barra de comprimento L0 e seção reta com área A seja mantida com o comprimento constante enquanto sua temperatura se reduz (!T negativa), produzindo uma tensão na barra. Pela Equação 17.6, a variação relativa do comprimento caso a barra estivesse livre e pudesse se contrair seria dada por

a!LL0

btérmica

= a !T (17.10)

As variações !T e !L são negativas. A tensão deve aumentar de um valor F precisamente suficiente para produzir uma variação relativa de comprimento igual e contrária (!L/L0)tensão. De acordo com a definição do módulo de Young, Equação 11.10, temos:

Y =F>A

!L>L0 logo a !L

L0b

tensão=

FAY

(17.11)

Se o comprimento tiver de permanecer constante, a variação relativa total do comprimento deverá ser igual a zero. Pelas equações 17.10 e 17.11, isso significa que

a!LL0

btérmica

+ a!LL0

btensão

= a !T +F

AY= 0

Explicitando a tensão necessária F/A para manter o comprimento da barra cons-tante, achamos

Figura 17.13 Juntas de expansão em pontes são projetadas para acomodar as variações de comprimento oriundas da dilatação térmica.

Uma agrimensora usa uma trena de aço de 50,000 m de compri-mento a uma temperatura de 20 °C. As marcações na trena são calibradas para essa temperatura. (a) Qual é o comprimento da trena quando a temperatura é 35 °C? (b) Quando a temperatura é igual a 35 °C, ela usa a trena para medir uma distância. O valor lido na trena é igual a 35,794 m. Qual é a distância real?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este é um problema de dilatação linear de uma trena de medição. O problema nos fornece o com-primento inicial da trena L0 " 50,000 m em T0 " 20 °C. No item (a), usamos a Equação 17.6 para encontrar a variação !L no comprimento da trena a T " 35°C e a Equação 17.7 para encontrar L. (O valor de a para o aço pode ser encontrado na Tabela 17.1.) Como a trena se dilata, a 35 °C a distância entre duas marcas de metro sucessivas é maior que 1 m. Logo, a dis-tância real no item (b) é maior que a distância lida na trena por um fator igual à razão entre o comprimento da trena L a 35 °C e seu comprimento L0 a 20 °C.EXECUTAR: (a) a variação de temperatura é !T " T − T0 " 15 °C; pelas equações 17.6 e 17.7,

!L = aL0 !T = 11,2 * 10-5 K-12 150 m 2 115 K2 = 9,0 * 10-3 m = 9,0 mm

L = L0 + !L = 50,000 m + 0,009 m = 50,009 m

(b) Nosso resultado do item (a) mostra que, a 35 °C, a trena ligei-ramente dilatada lê uma distância de 50,000 m quando a distância verdadeira é 50,009 m. Podemos reescrever a álgebra do item (a) como L " L0(1 # a !T); a 35 °C, qualquer distância verdadeira será maior que a leitura por um fator de 50,009/50,000 " 1 # a!T " 1 # 1,8 $ 10% 4. A distância verdadeira é, portanto,

11 + 1,8 * 10-42 135,794 m2 = 35,800 m

AVALIAR: no item (a), note que L0 foi dado com cinco algarismos significativos, mas precisamos usar somente dois deles para cal-cular !L. Nosso resultado mostra que os metais se dilatam muito pouco sob variações moderadas de temperatura. No entanto, ape-sar da pequena diferença de 0,009 m " 9 mm, encontrada no item (b) entre a leitura da escala e a verdadeira distância, ela pode ser importante em um trabalho de precisão.

EXEMPLO 17.2 VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO CAUSADA POR UMA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

Um frasco de vidro com volume igual a 200 cm3 a 20 °C está cheio de mercúrio até a borda. Qual é a quantidade de mercúrio que der-rama quando a temperatura do sistema se eleva até 100 °C? O coe-ficiente de dilatação linear do vidro é igual a 0,40 $ 10% 5 K% 1.

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este problema envolve a dilatação volumétrica do vidro e do mercúrio. A quantidade que transborda depende da diferença entre os valores de !V desses dois mate-riais, ambos dados pela Equação 17.8. Para o mercúrio trans-bordar, seu coeficiente de dilatação volumétrica b (ver Tabela 17.2) deve ser maior que o do vidro, que encontramos a partir da Equação 17.9 usando o valor indicado de a.EXECUTAR: pela Tabela 17.2, bHg " 18 $ 10% 5 K% 1. Este é re-almente maior que bvidro " 3avidro " 3(0,40 $ 10% 5 K% 1) " 1,2 $ 10% 5 K% 1, pela Equação 17.9. O aumento do volume é, então,

!VHg - !Vvidro = bHgV0 !T - bvidroV0 !T

= V0 !T 1bHg - bvidro2= 1200 cm3 2 180 °C2 118 * 10-5 - 1,2 * 10-5 2= 2,7 cm3

AVALIAR: isso é basicamente o que ocorre em um termômetro de vidro com mercúrio; a coluna dentro de um tubo lacrado au-menta à medida que T aumenta, pois o mercúrio se expande mais rapidamente que o vidro.Como pode ser visto nas tabelas 17.1 e 17.2, o vidro possui coeficientes de dilatação a e b menores que os coeficientes de dilatação dos metais. Isso explica por que você pode afrouxar a tampa metálica de um recipiente de vidro jogando água quente sobre ela: o metal se dilata mais que o vidro.

EXEMPLO 17.3 VARIAÇÃO DO VOLUME CAUSADA POR UMA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

Dilatação térmica da água

A água, no intervalo de temperaturas entre 0 °C e 4 °C, diminui de volume quando a temperatura aumenta. Nesse intervalo, o coeficiente de dilatação volu-métrica da água é negativo. Acima de 4 °C, a água se expande quando aquecida (Figura 17.12). Portanto, a densidade da água apresenta seu valor mais elevado a 4 °C. A água também se expande quando congela, sendo essa a razão pela qual ela se curva para cima no meio dos compartimentos cúbicos de formas para fazer gelo. Em contraste, quase todos os materiais se contraem quando congelam.

Esse comportamento anômalo da água tem um efeito importante na vida de animais e plantas em lagos. Um lago se congela da superfície para baixo; acima de 4 °C, a água fria flui para a parte inferior por causa de sua maior densidade. Porém, quando a temperatura da superfície se torna menor que 4 °C, a água próxima da

Figura 17.12 O volume de um grama de água no intervalo de 0 °C até 100 °C. A 100 °C, o volume aumentou para 1,043 cm3. Se o coeficiente de dilatação volumétrica fosse constante, a curva seria uma linha reta.

...entre 0 °C e 4 °C, o volume diminui com o aumento da temperatura.

A água é mais densa a 4 °C

Embora a água geralmente se expanda com o aumento da temperatura...

1,0004

1,0003

1,0002

1,0001

1,0000 T (°C)

V (cm3 )

0 2 4 6 8 10

1,04

1,02

1,00

T (°C)

V (cm3 )

0 20 40 60 80 100

Book_SEARS_Vol2.indb 209 02/10/15 1:51 PM

O volume de um grama de água no intervalo de 0 °c até 100 °c.

A 100 °c, o volume aumenta para 1,043 cm3.

Se o coeficiente de dilatação volumétrica fosse constante, a curva seria uma linha reta.

Comportamento anômalo da água

A água, não se comporta como outros líquidos. Acima de 4°C, a água se expande à medida que T aumenta, como esperado.

Entre 0 e 4°C, contudo, a água se contrai com o aumento de T. Em torno de 4°C, a densidade da água passa por um máximo. Para qualquer outra T a densidade da água é menor do que este valor máximo.

O comportamento anómalo da água é a razão pela qual os lagos congelam da superfície para o fundo e não o contrário.

Quando a água na superfície é resfriada a partir de ~ 10 °C, em direção ao ponto de congelamento, ela fica mais densa do que a água abaixo dela e afunda.

Abaixo de 4°C, contudo, um resfriamento adicional faz com que a água que está na superfície fique menos densa do que a água abaixo dela, e então ela fica na superfície até congelar.