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Aula 21 – Convecção Natural
UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica
Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez
Considerações Gerais• A convecção natural tem lugar quando há movimento de um fluido
resultante de forças de impulsão.
• A impulsão tem lugar num fluido onde há gradientes de densidadee uma força mássica (por exemplo, força gravítica) proporcional àdensidade.densidade.
• Em transmissão de calor, os gradientes de densidade são devidosa gradientes de temperatura e a força mássica é a força gravítica.
• Gradientes de temperatura estáveis e instáveis.
Escoamentos sem superfície adjacente (esteira, jato, mistura)
• Ocorre num meio (em princípio, infinito), em repouso(velocidade nula longe da origem do escoamento).
• Plumas e jatos com impulsão:
Escoamentos com superfície adjacente (camada limite)
• Escoamento de camada limite numa superfície quente ou fria induzido por forças de impulsão.
sT T
Placas verticais
Desenvolvimento da camada limite numa placa vertical aquecida
• Escoamento ascendente com velocidade máxima dentro da camada limitee velocidade nula na superfície da placa e na extremidade (y = δ).
• Quais as diferenças relativamente a convecção forçada?
• Quais as diferenças relativamente a uma placa arrefecida (Ts < T) ?
• Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x(escoamento laminar)
2
2
u u 1 p uu v g
x y x y
Equações de conservação – Camada limite laminar
2u v g
x y x y
dentro da camada limite fora da camada limite
p p
x x
pg
x
p
1 1
T T T
x
2
2
u u g uu v
x y y
p
2
2
u u uu v g T T
x y y
2
u u uu g T T
Equações de conservação – Camada limite laminar
• Equação de balanço de quantidade de movimento na direção x(escoamento laminar)
2 u u uu g T Tx y y
Forças de inércia
Força de impulsão
Força viscosa
• Dado que u (x,y) depende de T (x,y), a solução desta equação tem deser obtida juntamente com a solução para a equação de camada limiteda energia T (x,y).da energia T (x,y).
2
2 T T Tux y y
– As soluções estão acopladas.
21 1 1
p
p
T TRT
Adimensionalização das equações
xx*
L
yy*
L
uu*
vv*
T TT*
Equações de conservação – Similaridade
o
uu*
u
o
vv*
u
s
T TT*
T T
2s
2 2o L
g T T Lu* u* 1 u *u * v * T *
x * y * u Re y *
2
2L
T * T * 1 T *u * v *
x * y * Re Pr y *
L
2
2 3s so
L 2 2o
Re
g T T L g T T Lu LGr
u
2L2 2
L
u * u * Gr 1 u*u * v * T *
x * y * Re Re y *
impulsãodeForçasLTTgGr s
L ~2
3
Parâmetros adimensionais relevantes
• Número de Grashof:
Equações de conservação – Similaridade
viscosasForçasGrL ~
2
• Líquidos: b Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt.
Coeficiente de expansão térmica da superfície (propriedade termodinâmica do fluido)
1
pT
L: dimensão característica da superfície
• Número de Rayleigh:
3
Pr s
L L
g T T LRa Gr
• Gás perfeito: b = 1/T → (K)
• Líquidos: b Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt.
Equações de conservação – Similaridade
Quando os efeitos da convecção forçada e natural são comparáveis temos a seguinte análise:
Em resumo:
- Para tem-seL2L
Gr1
Re L LNu f Re ,Pr
- Para tem-seL2L
Gr1
Re
L
- Para tem-seL2L
Gr1
Re
L L LNu f Re ,Gr ,Pr
L LNu f Gr ,Pr
• O sistema de equações deduzido anteriormente:
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• Pode ser resolvido usando condições de contorno na forma:
• Solução das equações envolve umatransformação de variáveis com o uso doseguinte parâmetro de similaridade:
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• E a representação dos componentes develocidade em termos de uma funçãocorrente:
1/4
4
xGry
x
1/4
, 4
xGrx y f
• Com a definição para a função corrente, o componente de velocidadena direção x pode ser expresso como:
, 44
xGrx y f
1/4 1/4
' 1 2 '1 244 4
x x
x
Gr Gru f Gr f
y y x x
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• Definindo uma temperatura adimensional:
1/2
2
x
s
T Tdf xf Gr u Td T T
• As três equações diferenciais parciaisoriginais podem então, ser reduzidas a duasequações diferenciais ordinárias:
2 sd T T
23 2 0 f ff f T
3Pr 0 T fT
• A condição de contorno transformada necessárias para a solução dasequações de momento e de energia tem as formas:
3Pr 0 T fT
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• A integração numérica das equações conduz aos seguintes resultadospara f ’(η) e T*:
• Espessura da camada limite hidrodinâmica 5 para Pr 0.6
1/41/4
1/4Pr 0.6 : 5 7.07
4
x
x
Gr xx xGr
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• Uma correlação de transferência de calor também pode ser obtida. Da leide resfriamento de Newton:
• Usando a lei de Fourier para obter q”s e expressando o gradiente detemperatura na superfície em termos de η e de T*, tem-se que:
Onde:
1/2
1/41/2
0.75 PrPr 0 Pr
0.609 1.221 Pr 1.238 Pr
g
Convecção natural laminar numa superfície vertical:
Método de Similaridade
• O coeficiente convectivo médio em uma superfície de comprimento L,fica:
Integrando, tem se que:
Ou substituindo a equaçãoOu substituindo a equação
• O número de Nusselt médio é dado por:43
L LNu Nu
Efeitos da turbulência
• Instabilidades podem causar a transição para escoamento turbulento.• A transição na camada limite de convecção natural depende da
magnitude relativa das forças de empuxo e das forças viscosas nofluido.
• É comum correlacionar a sua ocorrência em termos do número de• É comum correlacionar a sua ocorrência em termos do número deRayleigh, que é simplesmente o produto do número de Grashof enúmero de Prandtl.
Para placas verticais, o número deRayleigh crítico é:
Correlações empíricas: Convecção naturalem escoamentos externos
• As correlações mais adequadas para a maioria dos cálculos deengenharia tem a forma:
Escoamento Laminar eEscoamento Laminar e
Escoamento Turbulento e
e Note: a condição de contorno atemperatura definida nasuperfície da placa, Ts.
Correlações empíricas: Convecção naturalem escoamentos externos
Placa vertical
• Correlação para todo o intervalo de RaL proposto por Churchill e Chu:
• Uma precisão ligeiramente superior para escoamento laminar pode serobtida por:
1/49
4/9
0.6700.68 ; 10 L
L L
RaNu Ra
2
1/6
4/99/16
0.3870.825
1 0.492 / Pr
LL
RaNu
• Estes resultados são também podem ser válidos para cilindrosverticais com altura L desde que seja muito menor que D, ou seja,quando:
4/99/16
0.68 ; 101 0.492 / Pr
L LNu Ra
1 435L
DL Gr