Aula 4 - Matemática parte 2

Raciocínio Lógico, Estatística,

Matemática e Matemática Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vítor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 4 – Matemática – parte 2

SUMÁRIO PÁGINA POTÊNCIAS E RADICAIS 2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 6 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 9 LOGARITMOS 19 FUNÇÕES 22 POLINÔMIOS 55 QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA 60 GBABARITO 66



AFRFB e AFT


1. POTENCIAS E RADICAIS

O que você precisa saber

A primeira coisa que você precisa saber é que esses dois tópicos não costumam cair de maneira isolada. Mas são importantes, porque são ferramentas para resolvermos outros tipos de questão.

Por enquanto, não vamos estudar tudo sobre potências e radicais. Vamos ver só as propriedades mais correntes, aquelas que aparecerão mais comumente nos problemas.

Dito isso, vamos iniciar pelas potências.

A maneira mais fácil de entendermos as potências é começarmos por aquelas envolvendo números inteiros.

Exemplo:

2� = 8

Acima dizemos que:

• 2 é a base

• 3 é o expoente

• 8 é a potência

O expoente 3 indica que a base 2 será multiplicada por si própria, três vezes, assim:

2� = 2 × 2 × 2

Outro exemplo:

5� = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Interessante notar que, quando o expoente é “1”, a base é repetida apenas uma vez. Assim, temos o próprio número:

5� = 5

Algumas propriedades das potências:

1ª propriedade: para multiplicarmos duas potências de mesma base, basta manter a base e somar os expoentes.

Vejam:

(2�) × (2�) =?

Dentro do primeiro parêntesis, devemos repetir a base 2 três vezes. No segundo parêntesis, repetimos a base duas vezes:

= �2 × 2 × 2� × �2 × 2�

= �2 × 2 × 2 × 2 × 2�



AFRFB e AFT


Agora multiplicamos o 2 por cinco vezes. Ou seja, temos uma potência de base 2 e expoente 5.

= 2�

Notem que o expoente final (=5) foi a soma dos expoentes inicias (2+3).

2ª propriedade: para dividirmos duas potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes.

Vejam:

(2�) ÷ (2�) =?

= �2 × 2 × 2� ÷ �2 × 2�

= �2�

= 2�

O expoente final (=1) foi a diferença entre os expoentes iniciais (3 - 2).

3ª propriedade: para elevarmos uma potência a um expoente, basta mantermos a base e multiplicarmos os expoentes.

Exemplo:

�2�� =?

O expoente 4 indica que a base será multiplicada por si mesma, quatro vezes:

= (2�) × (2�) × (2�) × (2�)

Agora usamos a 1ª propriedade. Basta manter a base e somar os expoentes:

= 2��

= 2�×�

= 2��

O expoente final (=12) foi o produto dos expoentes iniciais (=3 x 4).

4ª propriedade: para multiplicarmos potências de mesmo expoente, multiplicamos as bases e mantemos o expoente.

Exemplo:

4� × 5� =?

= 4 × 4 × 5 × 5

= �4 × 5� × �4 × 5�

= �4 × 5��

5ª propriedade: para dividirmos potências de mesmo expoente, dividimos as bases e mantemos o expoente.



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5� ÷ 4� =?

= �5 × 5� ÷ �4 × 4�

= �5 ÷ 4� × �5 ÷ 4�

= �5 ÷ 4��

6ª propriedade: Se o expoente for 0, a potência será 1.

Vejam:

5� ÷ 5� =?

Estamos dividindo dois números iguais entre si, concordam? Então o resultado é 1:

5� ÷ 5� = 1

Agora usamos a propriedade 2: na divisão entre potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes:

5� ÷ 5� = 1

5�� = 1

5� = 1

Vimos que 5 elevado a 0 é 1.

Isso vale para qualquer outro número. Qualquer número, quando elevado a 0, resulta em 1.

A única exceção é o próprio 0.

0 elevado a 0 é indeterminado. Isso ocorre porque, no cálculo de 00, teríamos uma divisão por 0, que não é definida.

Vejam:

0� = 0� ÷ 0�

Teríamos uma divisão por 0.

7ª propriedade: 1 elevado a qualquer expoente é sempre igual a 1.

1� =?

= 1 × 1 × 1

= 1

8ª propriedade: Se o expoente for negativo, podemos inverter a base e trocar o sinal do expoente. Assim:

5�� =?

= 5��

A partir da 2ª propriedade, conseguimos separar isso em uma divisão de potências:

=5�

5�

Lembrando da propriedade 6, vemos que o numerador vale 1:



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=1

5�

Aplicando a propriedade 7, sabemos que 1 = 12.

=1�

5�

Agora aplicamos a propriedade 5:

= � 1

5��

Ou seja, partimos de 5�� e chegamos a � ��

�. Invertemos a base (5 virou 1/5) e trocamos o

sinal do expoente.

Resumindo as propriedades que estudamos:

Item Propriedade Exemplo

1ª propriedade Para multiplicarmos duas potências de mesma base,

basta manter a base e somar os expoentes

2� × 2� = 2��

2 ª propriedade Para dividirmos duas potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes.

5� ÷ 5� = 5��

3 ª propriedade Para elevarmos uma potência a um expoente, basta mantermos a base e multiplicarmos os expoentes

�2�� = 2�×�

4 ª propriedade Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, multiplicamos as bases e mantemos o expoente.

5� × 4� = �5 × 4��

5 ª propriedade Para dividirmos potências de mesmo expoente, dividimos as bases e mantemos o expoente

5� ÷ 4� = �5 ÷ 4��

6 ª propriedade Se o expoente for 0, a potência será 1. (exceção: 00 é indefinido)

5,67890� = 1

7 ª propriedade 1 elevado a qualquer expoente é sempre igual a 1�.�,�� = 1

8 ª propriedade Se o expoente for negativo, podemos inverter a base e trocar o sinal do expoente.

3�� = �1

3��

Agora vamos para os radicais:

A raiz quadrada de um número x é representada por: √�.

Esta é a raiz mais comum.

Exemplo:

√16 =?

Para achar a raiz quadrada de 16, basta encontrar o número que, quando elevado ao quadrado, resulta em 16. Até aqui sem problemas, certo?

√16 = 4



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A raiz quadrada de 16 é igual a 4, pois 4 ao quadrado é 16.

Outra raiz muito comum é a raiz cúbica:

√8�

= 2

A raiz cúbica de 8 é igual a 2, porque 23 = 8.

Agora vem a propriedade que eu quero relembrar, e que é a mais utilizada nas questões em geral. Podemos reescrever o número dentro da raiz, assim:

√16 = 4�

Expressamos o número dentro da raiz (chamado de radicando), como uma potência.

Ok, podemos tirar a potência da raiz. Basta dividir seu expoente por 2 (pois a raiz é quadrada). Assim:

4� = 4�/� = 4

Isto vale para qualquer outra raiz.

Exemplo para raiz cúbica:

√512�

= 2�

Podemos tirar a potência da raiz. Basta dividir seu expoente por 3, pois a raiz é cúbica.

√512�

= 2�

= 2÷� = 2� = 8

Genericamente:

�

= ÷�

É por isso que elevar um número a 0,5 é o mesmo que tirar a raiz quadrada. Vejam:

√3 = 3� = 3�÷� = 3�,�

2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)


Para prova a gente precisa saber três coisas:

1 – o que é uma PA;

2 – qual a fórmula do termo geral

3 – como calcular a soma dos termos da PA

Uma PA é uma sequência de números que segue uma determinada regra. Qual a regra?

A diferença entre dois números seguidos é constante. Essa constante é a razão da PA.



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Exemplo:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...

Acima temos uma PA de razão 4.

Notem que esta PA é crescente, pois seus termos vão sempre aumentando, de 4 em 4.

Outro exemplo:

30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3, -6, ...

Agora temos uma PA de razão -3. Trata-se de uma PA decrescente, pois seus termos vão sempre diminuindo (de 3 em 3).

Bom, já sabemos o que é uma PA.

Agora vamos à fórmula do termo geral.

Seja a1 o primeiro termo da PA. Seja a2 o segundo termo. E assim por diante. “an" vai representar o enésimo termo. Seja “r” a razão.

Se partirmos de � e somarmos a razão, obtemos o segundo termo:

� = � + �

Já vimos que, partindo de �, somando �, obtemos �. Se somarmos � novamente, obteremos o próximo termo, que é �.

�� + �� + � = �

� = � + 2�

Se, em seguida, somarmos novamente a razão, obteremos o próximo termo (�)

�� + 2�� + � = �

� = � + 3�

Se, em seguida, somarmos novamente a razão, obteremos o próximo termo (�)

�� + 3�� + � = �

� = � + 4�

E assim por diante.

No enésimo termo, teremos:

� = � + �� − 1� ⋅ �

Esta é a fórmula do termo geral da PA

TOME NOTA!!!

Fórmula do termo geral da PA:

� = � + �� − 1� ⋅ �



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Finalmente, vamos para a soma dos termos da PA.

Em vez de simplesmente decorara a fórmula, acho que compensa entender de onde ela vem, não é difícil.

Reza a lenda que Gauss, quando tinha menos de 10 anos, freqüentava as aulas de um bravo professor que, para manter a classe em silêncio, mandou os alunos calcularem a soma dos números inteiros de 1 a 100.

Quase imediatamente, Gauss já tinha a resposta.

Espantoso, não?

Qual a ideia do jovem matemático?

Primeiro, vamos escrever a soma que se pretende calcular:

1 + 2 + 3 + ... 98 + 99 + 100 = S

Estamos chamando essa soma de “S”.

Agora vamos escrever os termos ao contrário, assim:

100 + 99 + 98 + ... 3 + 2 + 1 = S

Agora somamos as duas linhas:

1 + 2 + 3 + ... 98 + 99 + 100 = S 100 + 99 + 98 + ... 3 + 2 + 1 = S (+)

101 + 101 + 101 + ... 101 + 101 + 101 = 2S

Obtemos 100 vezes a soma 101.

Logo:

2 = 101 × 100

= 101 ×100

2

E foi assim que Gauss calculou, quase instantaneamente, a soma de todos os números de 1 a 100.

Notem que os números 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100 formam uma PA de razão 1.

O resultado final obtido foi igual ao produto de:

• 100, que era a quantidade de termos na PA

• 101, que é a soma do primeiro com o último termo

Este produto, posteriormente, teve que ser dividido por 2, porque, ao escrevermos a segunda linha, com os termos de trás para frente, duplicamos a soma.

Genericamente, se a PA tiver “n” termos, o primeiro termo for a1 e o último termo for an, a soma fica:

= (� + �) ×�2



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TOME NOTA!!!

Soma dos termos da PA:

= (� + �) ×�2

3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Para prova a gente precisa saber quatro coisas:

1 – o que é uma PG;

2 – qual a fórmula do termo geral

3 – como calcular a soma dos termos da PG

4 – como calcular a soma dos termos de uma PG infinita

Uma PG é uma sequência de números que segue uma determinada regra. Qual a regra?

A razão entre dois números seguidos é constante. Essa constante é a razão da PG.

Exemplo:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

Acima temos uma PG de razão 2.

Notem que esta PG é crescente, pois seus termos vão sempre aumentando, sempre dobrando.

Outro exemplo:

81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...

Agora temos uma PG de razão 1/3. Trata-se de uma PG decrescente, pois seus termos vão sempre diminuindo (sempre sendo multiplicados por 1/3, ou ainda, divididos por 3).

Bom, já sabemos o que é uma PG.

Agora vamos à fórmula do termo geral.

Seja a1 o primeiro termo da PG. Seja a2 o segundo termo. E assim por diante. “an" vai representar o enésimo termo. Seja “q” a razão.

Se partirmos de � e multiplicarmos a razão, obtemos o segundo termo:

� = � × �)



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Já vimos que, partindo de �, multiplicando por �, obtemos �. Se multiplicarmos � novamente, obteremos o próximo termo, que é �.

�� × �� × � = �

� = � × ��

Se, em seguida, multiplicarmos novamente a razão, obteremos o próximo termo (�)

�� × �� × � = �

� = � × ��

Se, em seguida, multiplicarmos novamente a razão, obteremos o próximo termo (�)

�� × �� × � = �

� = � × ��

E assim por diante.

No enésimo termo, teremos:

� = � × ��

Esta é a fórmula do termo geral da PA

TOME NOTA!!!

Fórmula do termo geral da PA:

� = � × ��

Vamos para a soma dos termos da PG.

A exemplo do que fizemos para a PA, em vez de simplesmente decorara a fórmula, acho que compensa entender de onde ela vem, é bem parecido.

Considere que vamos calcular a soma da seguinte PG:

1, 3, 9, 27, 81

São 5 termos (n = 8) e a razão vale 3 (q =3).

Primeiro, vamos escrever a soma que se pretende calcular:

1 + 3 + 9 + 27 + 81 =

Estamos chamando essa soma de “S”.

Agora vamos multiplicar todos os termos pela razão (ou seja, vamos multiplicar todos eles por 3). Depois somamos:

�1 + 3 + 9 + 27 + 81� × 3 = 3

3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 3

Agora subtraímos a primeira linha da segunda:



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3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 3

−(1 + 3 + 9 + 27 + 81 = )

=?

Notem que podemos cancelar todos os termos de sinais opostos:

3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 3

−(1 + 3 + 9 + 27 + 81 = )

243 − 1 = 3 −

× �3 − 1� = 243 − 1

=243 − 1

3 − 1

Notem que 243 é justamente o último termo multiplicado pela razão (=� × �).

“1” é justamente o primeiro termo (� = 1)

No denominador, temos 3 – 1, que corresponde a � − 1

Genericamente, a soma dos termos de uma PG fica:

=� × � − �� − 1

TOME NOTA!!!

Soma dos termos da PG:

=� × � − �� − 1

Finalmente, vamos para a soma dos termos de uma PG infinita.

Quando a PG tem razão entre 0 e 1, é possível calcular a sua soma, ainda que tenhamos infinitos termos.

Exemplo:

8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; ...

Mesmo que essa PG tenha infinitos termos, é possível calcular a sua soma.

Basta pensarmos assim. Como os termos vão sempre diminuindo, sempre sendo divididos por 2, eles vão se aproximando cada vez mais de zero. Ou seja, o “último” termo dessa PG é praticamente igual a zero.

Daí a soma dos termos fica:

=� × � − �� − 1

Substituindo � por 0:



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=0 × � − �� − 1

=−�� − 1

Multiplicando o numerador e o denominador por (-1):

=�

1 − �

Pronto. Esta é a soma dos termos da PG infinita.

TOME NOTA!!!

Soma dos termos da PG infinita (de razão entre 0 e 1):

=�

1 − �

No nosso exemplo, temos:

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,125 + ⋯

O primeiro termo é 8 e a razão é 0,5. A soma dessa PG infinita fica:

=�

1 − �

=8

1 − 0,5

=8

0,5= 16

Há pessoas que têm dificuldade de perceber como uma soma de infinitos números pode ser representada por uma quantidade finita. É estranho, né? Dá a impressão de que se a soma não acaba nunca, se sempre vamos acrescentando mais um número, o resultado deveria sempre ir aumentando, indo para infinito.

Para ajudar a entender isso, vamos pensar na seguinte figura:

Temos um quadrado de lado 4. Logo, sua área será 16, ok?

Vamos então expressar sua área como uma soma de uma PG infinita.

Primeiro dividimos o quadrado em dois retângulos iguais:



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O retângulo da esquerda tem área 8 (indicada na figural). O da direita também tem, mas para esse eu não deixei a área indicada, porque vou dividi-la novamente.

Vamos dividir a área da direita em duas partes iguais:

Agora criamos duas figuras menores, de área 4. Uma delas está indicada na figura. A outra eu deixei em branco, porque vamos dividi-la novamente.

E já deu para perceber que é para sempre irmos dividindo a área restante em duas partes iguais:

Somando todas as áreas, teremos:

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,125 + ⋯

E o resultado deve ser a área total, do quadrado grande, que vale 16.



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Questão 1 STN 2000 [ESAF]

Os números X, Y e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética enquanto a seqüência dada por 2/3, X e Y é uma progressão geométrica. Assim, a razão entre a razão da progressão geométrica e a da aritmética é igual a

a) 0,45

b) 0,75

c) 0,85

d) 0,95

e) 1

Resolução:

Sejam “r” a razão da PA e “q” a razão da PG.

Na PA, a diferença entre dois termos seguidos é igual à razão:

� − � = �

10 − � = �

Logo:

� − � = 10 − �

2� = � + 10 (I)

Na PG, a divisão entre dois termos seguidos é igual à razão:

� ÷2

3= �

� ÷ � = �

Logo:

� ÷2

3= � ÷ �

� ×3

2=

��

3�� = 2� (II)

Substituindo I em II:

3�� = 2�

3�� = � + 10

3�� − � − 10 = 0

Temos uma equação do segundo grau (matéria da aula passada).

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

� =1 ± 1 − 4 × 3 × �−10�

2 × 3



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� =1 ± √121

6

� =1 ± 11

6

� =12

6= 2

� = −10

6= −

5

3

Se x for igual a 2, então y será tal que:

2� = � + 10

2� = 2 + 10 = 12

� = 6

As razões ficam:

� = � − � = 6 − 2 = 4

� =�� =

6

2= 3

Logo:

�� =

3

4= 0,75

Fica a informação de que se tivéssemos trabalhado com a outra solução (x = -5/3), obteríamos outros valores de “q” e “r”, e a divisão entre ambas seria um número negativo, o que não consta de nenhuma das alternativas.

Gabarito: B

Questão 2 ANEEL 2006 [ESAF]

Uma progressão aritmética é uma seqüência de números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir:

� = � + �;

� = � + �;

� = � + �;

…

� = �� + �

onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética.

Uma progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3, ..., gn, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um produto, conforme representação a seguir:

�� = �� × �



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�� = �� × �

�� = �� × 3

…

�� = �� × �

onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica.

Os números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre r e q é igual a:

a) -12

b) -15

c) 10

d) 12

e) 8

Resolução:

Na PA, a diferença entre dois termos seguidos é constante:

� − � = 10 − �

Logo:

2� = 10 + �

� = 5 + 0,5�

Na PG, a divisão entre dois termos seguidos é constante:

�� =

�1

Logo:

� = ��

Substituindo o valor de B:

5 + 0,5� = ��

�� − 0,5� − 5 = 0

Multiplicando todos os termos por 2:

2�� − � − 10 = 0

Aplicando Bhaskara:

� =1 ± 1 − 4 × 2 × �−10�

2 × 2

� =1 ± √81

4



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� =1 ± 9

4

� = 2,5

� = −2

Primeiro vamos testar A = 2,5.

Neste caso, podemos calcular B:

� = ��

� = 2,5� = 6,25

Agora calculamos as razões:

� = � − � = 6,25 − 2,5 = 3,75

� = � ÷ � = 6,25 ÷ 2,5 = 2,5

O produto entre “q” e “r” fica:

3,75 × 2,5 = 9,375

Não há alternativa correta.

Agora vamos para a segunda solução (A = -2).

Neste caso, podemos calcular B:

� = ��

� = �−2�� = 4

Agora calculamos as razões:

� = � − � = 4 − �−2� = 6

� = � ÷ � = 4 ÷ �−2� = −2

O produto entre “q” e “r” fica:

6 × �−2� = −12

Gabarito: A

Questão 3 AFRFB 2009 [ESAF]

Um corredor está treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou?

a) 1

b) 5



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c) 2

d) 4

e) 3

Resolução:

Os tempos das corridas vão sempre diminuindo 10%. Lembrando que diminuir algo em 10% é o mesmo que multiplicar por 0,9.

Assim, os tempos de corrida se comportam como uma progressão geométrica, de razão 0,9.

Vamos converter todos os tempos em segundos.

Na primeira vez em que ele corre, o tempo é de 4 horas e 30 minutos.

4 horas = 60 x 60 x 4 = 14.400 segundos

30 minutos = 30 x 60 = 1.800 segundos

14.400 + 1.800 = 16.200 segundos

O tempo inicial de corrida, que corresponde ao primeiro termo da progressão geométrica, é de 16.200 segundos.

� = 16.200

Na última vez em que ele corre, o tempo é de 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos.

3 horas = 3 x 60 x 60 = 10.800 segundos

16 minutos = 16 x 60 = 960 segundos

10.800 + 960 + 49,8 = 11.809,80

O "enésimo" termo da progressão geométrica vale 11.809,80.

� = 11.809,80

Aplicando a fórmula do termo geral da progressão geométrica:

� = � × ��

Onde “q” é a razão da PG:

11.809,80 = 16.200 × 0,9��

0,9�� =11.809,80

16.200= 0,729

0,9�� = 0,9�

� − 1 = 3

� = 4

Foram 4 corridas, sendo que uma delas ocorreu antes do início do treinamento. Assim, foram três semanas de treinamento.

1ª corrida: domingo imediatamente antes do treinamento

2ª corrida: 1º domingo de treinamento



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Gabarito: E

4. LOGARITMOS


A primeira coisa que você precisa saber é que “logaritmo”, como tópico isolado, pouco cai em prova. De vez em quando ele cai em conjunto com outros tópicos (como funções, ou em matemática financeira, na parte de capitalização contínua, e mesmo assim quem faz tal cobrança é a FCC, não a Esaf).

Ou seja, o logaritmo, para provas da Esaf, tem relação custo benefício ruim.

Para entender o que é esse tal de logaritmo, considere que a, b e c sejam três números tais que:

= �

Neste caso, dizemos que o logaritmo de c, na base a, é igual a b.

log �� = �

Exemplo:

log216 =?

Para calcularmos este logaritmo, basta pensar assim:

2 elevado a qual número resulta em 16?

Resposta: 4.

2� = 16

Logo:

log� 16 = 4

Acima, dizemos que 2 é a base, 16 é o logartimando e 4 é o logaritmo.

O logaritmo apresenta algumas propriedades importantes:



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Propriedade Comentários

1 log�� × �� = log� � + log� � O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos

2 log�� ÷ �� = log� � − log� � O logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos

3 log�� = � × log� � Quando o logaritmo incidir sobre uma potência, podemos retirar o expoente do logaritmo, multiplicando.

4 log� = 1 Se a base for igual ao logaritmando, o logaritmo vale 1.

5 log� 1 = 0 Se o logaritmando for igual a 1, o logaritmo vale 0

Todas estas propriedades decorrem diretamente das propriedades das potências.

Como exemplo, vejamos a primeira propriedade.

log� = �

log� � = �

Portanto:

�� =

�� = �

Agora vamos calcular o logaritmo do produto:

log�( × �) = �

Logo:

�� = × �

Substituindo os valores de “a” e “c”:

�� = �� × ��

Quando temos multiplicação de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes:

�� = �� × �� = ��

�� = ��

Concluímos que:

� = � + �

Ou seja:

log�( × �) = log� + log� �

Quando a base do logaritmo é 10, é usual omitirmos este valor.

Assim:



AFRFB e AFT


log�� 1.00 = log 1.000

Quando a base do logaritmo é o número de Euler, é comum representarmos o logaritmo por “ln”. Estas letras são as iniciais de “logaritmo neperiano”, que é o nome dado ao logaritmo com base igual ao número de Euler.

O número de Euler, representado pela letra “e”, é um número muito importante. Trata-se de um número irracional que vale aproximadamente 2,7.

� ≅ 2,7

Assim, se a base for o número de Euler, temos:

log� 5 = ln 5

Questão 4 CGU 2001 [ESAF]

A seqüência de valores: 1, 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16, forma uma progressão geométrica. A seqüência dos logaritmos de cada um desses números na base 1/2, na ordem em que estão dispostos, forma uma:

a) progressão geométrica de razão 1/2

b) progressão geométrica de razão 1

c) progressão aritmética de razão 1/2

d) progressão aritmética de razão 1

e) progressão aritmética de razão -1

Resolução:

Vamos calcular os logaritmos na base 2:

Primeiro o logaritmo de 1:

log�,� 1 = 0 (propriedade 5)

Agora o logaritmo de 1/2:

log�,� 0,5 = 1 (propriedade 4)


log�,��0,25� = log�,��0,5��

= 2 × log�,� 0,5 (propriedade 3)

= 2 × 1 = 2 (propriedade 4)


log�,��0,125� = log�,��0,5��


= 3 × 1 (propriedade 4)

Por fim, o logaritmo de 1/16:



AFRFB e AFT


log�,��1 ÷ 16� = log�,��0,5��


= 4 × 1 (propriedade 4)

Os logaritmos foram: 0, 1, 2, 3, 4.

Trata-se de uma PA de razão 1.

Gabarito: D

5. FUNÇÕES

Este assunto é extremamente vasto, com muitos detalhes. Veremos só os principais aspectos, considerando os exercícios de prova, ok?

5.1. Conceitos iniciais

Quando temos dois conjuntos, podemos estabelecer relações entre seus elementos.

Exemplo:

Seja A o conjunto das pessoas que está em uma sala:

A = {Alberto, Bianca, Carlos, Daniel}

Seja B o conjunto das frutas em uma cesta:

B = {Abacaxi, Abacate, Banana, Cereja, Limão}

Podemos estabelecer a seguinte relação: cada pessoa vai receber frutas que iniciem com a mesma letra de seu nome.

Com isso, temos:

O conjunto A, em preto, é o conjunto de partida.

O conjunto B, em verde, é o conjunto de chegada.



AFRFB e AFT


Quando uma relação possui certas características, ela é dita uma função.

Que características são essas? O que é que faz com que uma relação seja uma função?

Para que uma relação seja uma função, todo elemento do conjunto de partida deve ser relacionado a um único elemento do conjunto de chegada.

Com isso, concluímos que a relação acima não é função, pois:

- Daniel não está relacionado;

- Alberto está relacionado duas vezes.

O fato de Daniel não estar relacionado faz com que nem todo elemento do conjunto de partida esteja relacionado.

O fato de Alberto estar relacionado duas vezes faz com que exista elemento do conjunto de partida que não está relacionado a um único elemento do conjunto de chegada.

Mudemos de exemplo. Vamos construir outra relação entre A e B, de forma que tenhamos uma função.

Uma possível função envolvendo A e B poderia ser:

Agora, todo elemento do conjunto de partida está relacionado a um único elemento do conjunto de chegada.

Note que, no conjunto de chegada, o elemento “limão” não está relacionado.

Não tem problema.

A exigência é que todos os elementos do conjunto de partida estejam relacionados. Para o conjunto de chegada não há esta exigência.

O conjunto de partida (conjunto A, destacado em preto), é chamado de domínio.

O conjunto de chegada (conjunto B, em verde), é chamado de contradomínio.

Para representar a função que relaciona A e B, escrevemos:

�: � → �

A cada elemento do domínio, relacionamos um elemento do contradomínio, chamado de imagem.



AFRFB e AFT


Assim, a imagem de Alberto é abacate. A imagem de Bianca é abacaxi. E assim por diante.

Agora observem o subconjunto de B, destacado em vermelho:

O conjunto C, em vermelho, corresponde aos elementos do contradomínio que estão relacionados. Ou ainda: corresponde a todas as imagens.

Por este motivo, chamamos o conjunto C e de conjunto imagem.

Uma função pode ser:

• injetora: quando elementos diferentes do domínio são relacionados a elementos diferentes do contradomínio;

• sobrejetora: quando o contradomínio é igual ao conjunto imagem.

• bijetora: quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Acima, para representar a função que relaciona os conjuntos “A” e “B”, listamos todos os elementos dos dois conjuntos e desenhamos flechas para mostrar os elementos que se ligam. No entanto, isso nem sempre é possível ou desejável.

Quando os conjuntos relacionados são numéricos, e existe uma lei matemática que determine como é a relação entre ambos, podemos expressar a função por meio desta lei.

Para melhor entendimento, considere que um casal vai levar seus filhos ao cinema. A entrada para os adultos custa R$ 25,00 cada. As crianças pagam meia entrada (R$ 12,50).

Se o casal tiver 1 filho, terá que pagar R$ 50,00 pelas entradas do casal, mais R$ 12,50 pela entrada do filho, totalizando R$ 62,50.

Se o casal tiver 2 filhos, terá que pagar R$ 50,00 pelas entradas do casal, mais R$ 25,00 pelas entradas dos filhos, totalizando R$ 75,00.

Se o casal tiver 3 filhos, terá que pagar R$ 50,00 pelas entradas do casal, mais R$ 37,50 pelas entradas dos filhos, totalizando R$ 87,50.



AFRFB e AFT


E assim por diante.

Se “y” for o gasto total do casal e “x” for a quantidade de crianças, podemos expressar a relação (ou a função) entre os dois conjuntos assim:

� = 50 + 12,50 ⋅ �

Para qualquer valor de x podemos calcular o gasto total (=y). Basta nos dirigirmos à “lei matemática” acima, e substituirmos o valor de “x” pela quantidade de crianças desejada.

Querem checar?

Vamos fazer novamente. Se o casal tiver 2 filhos (x = 2), o gasto “y” será:

� = 50 + 12,50 × 2 = 75

Que é o mesmo valor que obtivemos antes.

É muito comum que, em vez de usar “y”, a gente empregue a letra “f”, de função. Para indicar que o resultado obtido (gasto total no cinema) é função da quantidade de filhos (x).

Ou seja:

� = 50 + 12,5 ⋅ �

É muito comum também que, na frente da letra “f”, a gente coloque a letra “x” entre parêntesis, assim:

�(�) = 50 + 12,5 ⋅ �

Isso é para deixar bem claro que “f” é uma função de “x”, por isso colocamos “x” entre parêntesis.

E se o casal tivesse 5 filhos? Qual seria o gasto total?

Ah, é só substituir x por 5:

��5� = 50 + 12,5 ⋅ 5 = 112,5

E se o gasto total for de 125,00? Quantos filhos tem o casal?

�(�) = 50 + 12,5 ⋅ �

125 = 50 + 12,5 ⋅ � → � =125 − 50

12,5= 6

Estamos entendidos?

Exemplo 1:

Cláudia, quando vai sair, demora 50 minutos no banho e mais 20 minutos para experimentar cada um de seus vestidos. Expresse o tempo total que ela leva para se arrumar como função da quantidade de vestidos que ela experimenta.

Resolução:



AFRFB e AFT


Se ela experimentar “x” vestidos, vai gastar 20� minutos. Além disso, gasta mais 50 minutos no banho. Somando tudo:

�� = 20� + 50

Questão 5 MPOG 2009 [ESAF]

Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês?

a) R$ 50,00

b) R$ 100,00

c) R$ 80,00

d) R$ 115,00

e) R$ 125,00

Resolução:

Se a pessoa utilizar 50 pulsos, então ela extrapolou 30 pulsos da franquia.

Assim, pagará R$ 100,00 de mensalidade, mais R$ 0,50 por pulso extra. O total pago será de:

100 + 0,50 ⋅ 30 = 115

Gabarito: D

Interessante notar que o gasto total é função da quantidade de pulsos utilizada. Se “x” for a quantidade de pulsos, o gasto será expresso por:

�� = 100 + �� − 20� × 0,50

Questão 6 Prefeitura do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]

Considere a função real de variável real �� = ��, onde � > 0, e a função real de variável real �� = �1 + ��, onde � > 0. Fazendo �� = �(�), qual relação decorrente entre � e � ?

a) � =��

b) � = √�

c) � = �

d) � = log� ��

e) � = �� − 1

Resolução:



AFRFB e AFT


�� = ��

�� = �1 + �� Agora usamos a 3ª propriedade que estudamos para as potências. Vimos que �2�� = 2�×�

Logo, �� = ��: �� = �1 + ��

�� = �1 + �� Se as potências são iguais, e os expoentes são iguais, então as bases também são iguais entre si:

�� = 1 + �

� = �� − 1

Gabarito: E


Um modelo para o comportamento do estoque de minério em uma jazida a ser explorada ao longo do tempo é o de uma função real de variável real f(t)=(1-r)t com uma taxa de decréscimo r = 20% ao ano. Assim, ao fim de quatro anos de exploração da jazida, segundo este modelo, qual seria o valor mais próximo do estoque de minério remanescente, como porcentagem do estoque inicial?

a) 41%

b) 51%

c) 20%

d) 35%

e) 64%

Resolução:

�� = �1 − �� A taxa r é igual a 20% ao ano:

�� = �1 − 0,2�� Onde t só pode ser o tempo em anos:

�� = 0,8�

��4� = 0,8� = 0,4096

��4� ≈ 41%



AFRFB e AFT


Gabarito: A

Questão 8 TCE RN 2000 [ESAF]

Se �� = �� e ��2� = 5, então �(6) é igual a:

a) 0

b) 5

c) 15

d) 125

e) 130

Resolução:

�� = ��

Quando x = 2, a função vale 5:

��2� = ��

5 = ��

Ok, agora vamos calcular f(6):

�� = ��

��6� = ��

��6� = ��

Sabemos que �� = 5:

��6� = ��

��6� = �5�� = 5 × 5 × 5 = 125

Gabarito: D

Questão 9 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF]

Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade 3)2()1()( xxfxxf =−×+− , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que

f(0) é igual a:

a) 3/12−−

b) 3/12−

c) 3/12−

d) 3/22−

e) 3/22−−



AFRFB e AFT


Resolução:

Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo x real.

Vamos ver o caso em que x = 0. Substituindo x por 0, temos:

��0� − ��√2� = 0

��0� = �(√2) (equação I)

Agora vejamos outro caso. Façamos� = √2. Temos:

��√2� − �√2 + 1� × ��0� = �√2�

Vamos parar a conta por um instante, e relembrar das propriedades da radiciação, estudadas no começo da aula. Vimos que

�

= ÷�

Foi com essa propriedade que concluímos que extrair a raiz quadrada é o mesmo que elevar o número ao expoente 0,5.

Logo:

√2 = 2�,� = 2�/�

Ok, então o número √2�

pode ser escrito assim:

�√2�

= 2�/��

Agora aplicamos novamente a propriedade que estudamos lá nos radicais:

2�/��

= 2��÷� = 2�/�

Agora podemos continuar o problema, de onde tínhamos parado:

��√2� − �√2 + 1� × ��0� = �√2�

��√2� − �√2 + 1� × ��0� = 2�� (equação II)

Substituindo I em II:

��0� − �√2 + 1� × ��0� = 2��

��0� − √2 ⋅ ��0� − 1 × ��0� = 2��

Agora cancelamos f(0) com –f(0):

−√2 ⋅ ��0� = 2��

−2�� ⋅ ��0� = 2

��



AFRFB e AFT


−��0� = 2�� ÷ �2

��

Para dividir duas potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes:

−��0� = 2��

��

−��0� = 2��

��

−��0� = 2��

−��0� = 2��

��0� = −2��

Gabarito: A

Questão 10 Sefaz MG 2005 [ESAF]

Os valores da função exponencial f ( t)=c(1+r)t ,t real , c>0 e 1+r>0, nos pontos em que t é um número natural, constituem uma progressão geométrica.

Indique a razão desta progressão.

a) c.

b) 1+r.

c) c-1.

d) r.

e) c(1+r).

Resolução:

Foi dada a seguinte função:

�� = � ⋅ �1 + �� Onde “t” é um número natural.

Vamos ver os valores da função para cada valor de “t”:

��0� = � ⋅ �1 + �� = �

��1� = � ⋅ �1 + ��

��2� = � ⋅ �1 + ��

��3� = � ⋅ �1 + ��

Notem que, partindo de um termo, para obter o próximo basta multiplicar por (1+r). Logo, temos uma PG de razão (1+r).

Gabarito: B



AFRFB e AFT


5.2. Função Composta

Exemplo:

A empresa Beta vende uma assinatura mensal para acesso ao conteúdo de seu site.

Cada assinante paga R$ 20,00 por mês. O valor é faturado para uma empresa de cobrança (Empresa Alfa).

Se a quantidade de assinantes for “x”, então o valor pago à empresa Alfa é dado pela seguinte função:

�� = 20�

Para cada real faturado pela empresa Alfa, ela cobra uma taxa de R$ 0,10 pela transação, e repassa R$ 0,90 para a empresa Beta.

Assim, sendo “f” a quantia faturada pela empresa Alfa, a quantia efetivamente recebida por Beta será:

�� = 0,9 × �

Exemplificando, se tivermos um único assinante, então o faturamento será de R$ 20,00, e a quantia recebida por Beta será R$ 18,00.

A função “f” leva o valor 1 (um assinante) para o valor de R$ 20,00 de faturamento.

A função “g” leva o faturamento de R$ 20,00 para a quantia recebida de R$ 18,00.

Para o administrador da empresa Beta, é interessante saber, diretamente, quanto a empresa vai receber, em função do número de assinantes.

Ou seja, queremos uma função que leve a quantidade de assinantes (=1) direto para a quantia recebida por Beta (=18).

Tal função é chamada de função composta de “g” com “f”.

Para tanto, fazemos assim:

�� = 0,9 × �

Mas quem é mesmo “f”?

Bom, sabemos que �� = 20�. Então substituímos isso acima:

�� = 0,9 × �

�� = 0,9 × 20�



AFRFB e AFT


�� = 18�

Esta é a função composta ��, que também pode ser designada por � °�(�). Ela nos dá

a relação direta entre quantidade de assinantes e valor recebido por Beta.


A função composta de duas funções, P(Z) e Q(Z), é definida como (PoQ) (Z) = P[Q(Z)].

Sejam as funções P(Z) = Z3 e Q (Z) = Z1/3. Então, (PoQ) [ ln (x + 1) ] é:

a) 0 se x = 0

b) -1 se x = -1

c) ln 1 se x = -1

d) - ln 1 se x = 1

e) 1 se x = -1

Resolução:

Temos:

�� = ��

Além disso:

�� = ��

Assim, a função composta �(�) fica:

�� = ��

Mas quem é a função Q? Sabemos que �� = ��

�. Podemos substituir esse resultado acima:

��(�)� = (��/�)�

Agora mantemos a base e multiplicamos os expoentes:

�� = ��×� = �

Logo, a função composta P(Q(z)) vale “z”.

Deste modo,

�(��ln�� + 1�� = ln�� + 1�)

Agora testamos cada alternativa:

a) se x = 0, então:

ln�0 + 1� = ln�1� = 0

Alternativa correta.

Gabarito: A

b) se x = -1, então:



AFRFB e AFT


ln�−1 + 1� = ln�0�

Esse logaritmo não está definido.

c) se x = -1, já vimos que obtemos um logaritmo não definido.

d) se x = 1, então:

ln�� + 1� = ln�2�

e) se x = -1, já vimos que o logaritmo não está definido.

Na próxima questão vamos utilizar um resultado prático comum em provas de vestibulares, mas que não é tão freqüente assim em provas de concursos: produtos notáveis.

Existem vários produtos notáveis. Então vamos nos ater ao que será necessário para resolver a próxima questão.

Queremos calcular:

� + ��

Para fazer este cálculo, primeiro expressamos a potência como uma multiplicação do fator (a+b) por si mesmo:

� + �� = � + �� × � + ��

Agora fazemos o produto:

= × + × � + � × + � × �

= � + 2� + ��

E esse é o produto notável que nos interessa.

Para calcular o quadrado da soma, fazemos: o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo:

� + �� = � + �� + 2�

Questão 12 Enap 2006 [ESAF]

Uma função g(x) composta com f(x) - representada por (g o f)(x) - é dada por g(f(x)).

Se g(x) = 3 x – 2 e (f o g) (x) = 9 x2 -3x +1, então f(x) é igual a

a) x2 -3x + 3.

b) x2 + 3x - 3.

c) x2 + x + 3.

d) x2 + 3x + 2.

e) x2 + 2x + 6.



AFRFB e AFT


Resolução:

Temos:

�� = 9�� − 3� + 1

Mas g(x) = 3x – 2:

��3� − 2� = 9�� − 3� + 1

Vamos chamar 3� − 2 de “y”:

�� = 9�� − 3� + 1

Mas sabemos que � = 3� − 2. Logo: � = �� + 2� ÷ 3

�� = 9 × �� + 2�3

�

− 3 × �� + 2

3� + 1

�� = 9 × �� + 2�3

�

− 3 × �� + 2

3� + 1

�� = 9 ×�� + 2��

9− 3 × �� + 2

3� + 1

�� = �� + 2�� − �� + 2� + 1

Agora usamos o produto notável que aprendemos:

�� = �� + 2 × � × 2 + 2� − �� + 2� + 1

�� = �� + 4� + 4 − �� + 2� + 1

�� = �� + 4� + 4 − � − 2 + 1

�� = �� + 3� + 3

Pronto, achamos a função de y.

Se quisermos o valor de f(6), basta substituirmos y por 6.

��6� = 6� + 3 ⋅ 6 + 3

Se quisermos o valor de f(2), basta substituirmos y por 2:

��6� = 2� + 3 ⋅ 2 + 3

E assim por diante.

Se quisermos o valor de f(x), basta substituirmos y por x:

�� = �� + 3� + 3

Não há resposta correta. A questão foi anulada.

Gabarito: anulado



AFRFB e AFT


5.3. Função de primeiro grau

Quando uma função é do tipo:

�� = � + �

Onde “a” e “b” são constantes reais, temos uma função de primeiro grau.

Podemos representar essa função por meio de um gráfico.

Exemplo:

�� = 3� + 4

Considere que o domínio desta função seja o conjunto A = {1, 2, 3}

Para achar as imagens, basta substituirmos x pelos elementos de A.

Quando x vale 1, temos:

��1� = 3 × 1 + 4 = 7

Analogamente:

��2� = 3 × 2 + 4 = 10

��3� = 3 × 3 + 4 = 13

Podemos representar esta função em um gráfico.

Cada pontinho serve para indicar os números relacionados. O ponto destacado em vermelho abaixo indica que a imagem de 1 é 7:



AFRFB e AFT


Para indicar esse ponto, escrevemos assim:

�1, 7�

O primeiro número entre parêntesis indica o valor de “x” – eixo horizontal, e o segundo número indica o valor de f(x) – eixo vertical.

Quando uma função envolve intervalos reais, há infinitos pontinhos que, unidos, formam retas, curvas, etc.

No caso específico da função de primeiro grau, o gráfico é sempre uma reta!

TOME NOTA!!!

O gráfico de uma função de primeiro grau é sempre uma reta.

Como exemplo, vamos retomar a função �� = 3� + 4. Se o domínio for o intervalo real entre 1 e 3, o gráfico passa a ser:



AFRFB e AFT


Assim, basta encontrarmos dois pontinhos por onde a reta passa, e ligarmos esses pontinhos.

Exemplo 2:

Desenhe o gráfico da função �� = 2� − 6

Resolução:

Primeiro encontramos dois pontinhos por onde a reta passa.

Se x = 0, então:

��0� = 2 ⋅ 0 − 6 = −6

A função passa pelo pontinho em que x = 0 e f = -6.

Se x = 3, então:

��3� = 2 ⋅ 3 − 6 = 0

A função passa pelo pontinho em que x = 3 e f = 0.

Agora desenhamos o gráfico:



AFRFB e AFT


Detalhando um pouco mais

Na função �� = � + �, dizemos que “a” é o coeficiente angular e “b” é o coeficiente linear.

O coeficiente angular tem relação com a inclinação da curva. Nos dá uma medida da variação de f(x), conforme aumentamos “x” em uma unidade.

O coeficiente linear nos dá o ponto em que a função corta o eixo vertical.

Chamamos de zero (ou raiz) da função ao valor de “x” que faz com f(x) = 0.

Assim, na função de primeiro grau, o zero da função é tal que:

� + � = 0

� = −�

� = −�

O zero da função é dado por –b/a.


Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda

depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de Dk, onde Dk é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1, 2,..., n, os pontos (k,Dk) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0).

Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação?

a) R$ 12.500,00

b) R$ 15.000,00

c) R$ 10.000,00

d) R$ 17.500,00

e) R$ 20.000,00

Resolução:

Notem que o gráfico é uma reta (conforme dito pelo próprio enunciado), e que passa pelos pontos (0, D) e (n, 0).

Como D = 50.000 e n = 10, então a reta passa pelos pontos (0, 50.000) e (10, 0).

Sabendo dois pontos por onde passa a reta já temos condições de desenhá-la.

Abaixo representamos o gráfico. No eixo vertical temos os valores de Dk, em R$ 1.000,00. No eixo horizontal temos os valores de n:



AFRFB e AFT


Notem que o gráfico delimitou um triângulo de base 10 e altura 50.

Queremos saber o valor de D7.

Para facilitar a escrita, vou chamar D7 de "x".

Agora temos um triângulo menor, destacado em amarelo. Sua altura é x e sua base é 3 (=10 - 7).

Os dois triângulos são semelhantes. Ainda vamos estudar isso na aula de geometria. Mas, por hora, fiquem com a informação de que, quando dois triângulos são semelhantes, a relação entre as alturas é igual à relação entre as bases:



AFRFB e AFT


�50

=3

10

� = 50 ×3

10

� = 15

O valor do equipamento após a sétima depreciação será de R$ 15.000,00.

Gabarito: B

5.4. Função de segundo grau

Uma função de segundo grau é do tipo:

� = �(�) = �� + �� + �

Onde “a”, “b” e “c” são constantes reais.

Exemplo:

� = 3�� + 5� − 20

Nesse exemplo, = 3, � = 5, � = −20.

O gráfico de uma função de segundo grau tem formato de uma parábola. Essa parábola pode ter concavidade para cima (se o coeficiente “a” for maior que zero) ou concavidade para baixo (se “a” for menor que zero).

Vejamos um exemplo de cada:

�(�) = �� − 3� + 4

Gerando esse gráfico com o Excel:



AFRFB e AFT


Note que a concavidade está para cima � = 1 > 0�.

Note ainda que o gráfico não corta o eixo “x”. Ou seja, nem toda função de segundo grau possui uma raiz. Em outras palavras, nem sempre vai existir um valor de “x” que faz com que f(x) = 0.

Outro exemplo:

�(�) = −�� + 3� + 4



AFRFB e AFT


Notem que agora o gráfico tem concavidade para baixo (pois = −1 < 0). E agora o gráfico corta o eixo “x” (ver pontinhos em vermelho). Logo, a função tem raiz.

Ela corta o eixo “x” para x = 1 e x = 4. Vejam:

�� = −�� + 3� + 4

��1� = −1� + 3 ⋅ �−1� + 4 = −1 − 3 + 4 = 0

��4� = −4� + 3 ⋅ 4 + 4 = −16 + 12 + 4 = 0

Para achar as raízes da função de segundo grau, basicamente igualamos f(x) a zero.

�� = �� + �� + �

Se “x” for raiz, então:

�� + �� + � = 0

E caímos em uma equação do segundo grau, que estudamos na aula passada.

Vimos que a solução desta equação é da seguinte forma:

� =−� ± √�� − 4�

2

A quantia dentro da raiz quadrada é geralmente chamada de Δ.

É esse Δ quem vai determinar se existe ou não raiz.

Caso Δ seja maior que zero, será possível calcular a raiz quadrada, e com isso acharemos as raízes (valores de “x” que tornam nula a função).

Caso Δ seja negativo, não será possível calcular a raiz quadrada, e com isso não teremos raízes (teremos apenas raízes complexas, mas isso eu nunca vi sendo cobrado em concurso aberto a candidatos de todas as áreas).

Caso Δ seja nulo, então teremos uma única raiz, dada por:

� =−� ± 0

2 =−b

2

É interessante notar ainda que este valor acima coincide com o maximante (ou minimante, conforme o caso) da função.

Se a função tiver concavidade para cima, então ela terá um ponto de mínimo. Esse ponto de mínimo corresponderá a

� =−b

2

Ou seja, esse será o minimante (valor de “x” que minimiza a função).

Se a função tiver concavidade para baixo, então ela terá um ponto de máximo. Esse ponto de máximo corresponderá a:

� =−b

2



AFRFB e AFT


Ou seja, esse será o maximante (valor de “x” que maximiza a função).

TOME NOTA!!!

Maximante (ou minimante, conforme o caso) da função de segundo grau:

� =−b

2

Resumindo:

! Quantidade de raízes reais

= 0 1

Positivo 2

Negativo 0

Exemplo 3:

Considere a função:

�� = −�� + 4� − 4

a) determine os zeros ou raízes da função (se houver)

b) determine o maximante ou minimante

c) esboce o gráfico da função.

Resolução:

Para achar os zeros (raízes) da função, igualamos f(x) a zero:

−�� + 4� − 4 = 0

Δ = 4� − 4 × �−4� × �−1� = 16 − 16 = 0



AFRFB e AFT


Notem que Δ foi nulo, logo, teremos uma única raiz.

Vejam:

� =−� ± √Δ

2

� =−4 ± 0

2 × �−1� = 2

Logo, a função valerá 0 quando x = 2.

Ainda, esse é o único ponto em que a função toca o eixo “x” (pois é a única raiz).

Como = −1 < 0, então a função tem concavidade para baixo. Logo, tem um ponto de máximo.

Seu maximante fica:

� =−b

2

� =−�4�

2 × �−1� = 2

A função terá seu valor máximo quando x = 2.

��2� = −�2�� + 4 × 2 − 4 = 0

O valor máximo da função será igual a 0.

Para esboçar a função, sabemos que:

- é uma parábola com concavidade para baixo

- seu ponto de máximo ocorre para x = 2 e f(x) = 0

- tem uma única raiz, em x = 0.

Para facilitar ainda mais o esboço, podemos ver o valor da função para x = 0.

�� = −�� + 4� − 4

��0� = −0� + 4 × 0 − 4 = −4

O esboço fica:



AFRFB e AFT


Exemplo 4:

Considere a função:

�� = 2�� − 14� + 20

a) determine os zeros ou raízes da função (se houver)

b) determine o maximante ou minimante

c) esboce o gráfico da função.

Resolução:

Determinando as raízes:

2�� − 14� + 20 = 0

Δ = �−14�� − 4 × 2 × 20 = 196 − 160 = 36

� =−� ± √Δ

2

� =−�−14� ± √36

2 × 2

� =14 + 6

4= 5

� =14 − 6

4= 2



AFRFB e AFT


As raízes são 2 e 5.

Como > 0, a função tem concavidade para cima e tem um ponto de mínimo.

O minimante é dado por:

� =−b

2

� =−�−14�

2 × 2= 3,5

Interessante notar que o minimante (ou maximante, conforme o caso), será sempre igual à média aritmética das raízes (desde que elas existam, é claro).

Para auxiliar no esboço, façamos x = 0.

��0� = 2 × 0� − 14 × 0 + 20 = 20

Façamos agora x = 3,5 (minimante):

��3,5� = 2 × 3,5� − 14 × 3,5 + 20 = −4,5

Então a função tem as seguintes características:

- concavidade para cima

- mínimo no ponto (3,5; -4,5)

- raízes iguais a 2 e 5.

- cruza o ponto (0, 20)



AFRFB e AFT



Determinar os valores de x para os quais a função do segundo grau �� = �� − 3� − 10 assume valores positivos.

a) −5 < � < 2

b) � = −5 ou � = 2

c) −2 < � < 5

d) � < −2 ou � > 5

e) � < −5 ou � > 2

Resolução:

Primeiro vamos achar as raízes:

� =−� ± √�� − 4�

2

� =−�−3� ± �−3�� − 4 × 1 × �−10�

2 × 1

� =3 ± √49

2



AFRFB e AFT


� =3 ± 7

2

� = 5

� = −2

As raízes são -2 e 5.

Como a função tem concavidade para cima ( = 1 > 0), então seu esboço fica:

A função assume valores maiores que zero para � < −2 ou � > 5.

Gabarito: D


Um fabricante produz certa mercadoria ao custo unitário de R$ 5,00 e calcula que, se vendê-las a x reais a unidade, os clientes comprarão (20-x) unidades por dia. A fim de que o lucro seja máximo, o fabricante deve vender cada unidade da mercadoria por:

a) R$ 5,50

b) R$ 6,00

c) R$ 6,50

d) R$ 7,00

e) R$ 7,50

Resolução:

O faturamento (F) é dado pelo produto entre a quantidade vendida (20-x) e o preço unitário (x):

" = �20 − �� × �

O custo total (C) é igual à quantidade vendida (20 – x), multiplicada pelo custo unitário (5):

# = 5 × �20 − ��

O lucro é a diferença entre o faturamento e o custo:

$ = " − #

$ = �20 − �� ⋅ � − 5 ⋅ �20 − ��

$ = 20� − �� − 100 + 5�

$ = −�� + 25� − 100

O maximante (valor de x que maximiza o lucro) é igual a:



AFRFB e AFT


� =−�2

� =−25

2 × �−1� = 12,5

Assim, eu responderia R$ 12,50. O gabarito que tenho indica letra E. Não sei se a questão foi anulada. Caso vocês encontrem algum erro na minha solução, por favor me avisem.

Gabarito: E

Questão 16 SEDUC CE 2009 [CESPE]

A partir do gráfico da função �: [−3, 14] → % ilustrado na figura acima, julgue os itens que se seguem.

I A função f é injetora.

II f([8, 14]) = [-2, 7].

III A equação f (x) = 3 tem apenas 4 soluções.

IV A função f tem três zeros.

Estão certos apenas os itens

A I e III.

B I e IV.

C II e III.

D II e IV.

Resolução:

Item I.

Uma função é injetora quando elementos distintos possuem imagens distintas.



AFRFB e AFT


Não é o que ocorre nesta função. Observem que para x = 4 e x = 8 a imagem é a mesma. Em ambos os casos, a função vale 3.

Item II.

O item afirma que os valores das imagens para o intervalo de 8 a 14 estão localizados no intervalo de -2 a 7.

Até ver este item, eu não conhecia esta notação.

Observando a figura, vemos que, realmente, para qualquer x no intervalo entre 8 e 14, a função assume valores de -2 a 7. O item está certo.

Item III.

Queremos descobrir quantos são os valores de x que fazem com que a função assuma o valor 3.

Observem que, para qualquer x entre 4 e 8, a função vale 3.

Assim, há infinitos valores de x que satisfazem à equação �� = 3.

Exemplo de soluções: 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 4,7; ....

O item está errado, pois afirma que há apenas 4 soluções.

Item IV.

O zero da função é o valor de x para o qual �� = 0.

Do gráfico, vemos que há três pontos em que a função cruza o eixo x, assumindo, portanto, o valor zero (ver pontos destacados em vermelho na figura abaixo).

Assim, é correto dizer que há três zeros para a função.

Item correto.



AFRFB e AFT


Gabarito: D


Uma pesquisa de mercado com o público leitor de determinada revista constatou que, para cada R$ 0,01 a menos cobrado no preço de capa, 10 novos exemplares da revista seriam vendidos. Considere que o custo de cada exemplar da revista seja de R$ 10,00 e que, ao preço de capa de R$ 17,00, 3.600 exemplares são fabricados e vendidos. Nessa situação, ao se reajustar o preço da revista nos moldes indicados pela pesquisa, se toda produção for vendida, então o lucro máximo que poderá ser obtido com a venda da revista será igual a

A R$ 28.090,00.

B R$ 37.450,00.

C R$ 106.090,00.

D R$ 133.450,00.

Resolução:

Seja x o preço unitário, em reais, e n a quantidade vendida.

A quantidade vendida pode ser expressa como uma função de x.

� = 3.600 + 1000 × (17 − �)

Se o preço de venda for de 17,00 (x = 17), então n será igual a 3.600.

Se baixarmos 1 centavo no preço (ou seja, se x = 16,99), n será igual a:

� = 3.600 + 1000 × 0,01 = 3.610

Aumentamos em 10 a quantidade de revistas vendidas.

Se baixarmos mais 1 centavo no preço (ou seja, se x = 16,98), n subirá mais 10 unidades:

� = 3.600 + 1000 × 0,02 = 3.620

E assim por diante.

Podemos desenvolver um pouco mais esta função.

� = 3.600 + 1000 × (17 − �)

� = 3.600 + 17.000 − 1000�

� = −1000� + 20.600

O lucro conseguido será igual ao faturamento obtido (=��), subtraído do custo das revistas (=10�)

Lucro (L):

$ = �� − 10�

Colocando n em evidência:

$ = � × (� − 10)

Substituindo o valor de n:



AFRFB e AFT


$ = �−1.000� + 20.600� × �� − 10�

$ = −1.000�� + 10.000� + 20.600� − 206.000

$ = −1.000�� + 30.600� − 206.000

O lucro é uma função de x. Além disso, trata-se de uma função de segundo grau (pois o maior expoente de x é 2).

Queremos achar o valor de x que maximiza o lucro.

Uma função de segundo grau do tipo:

�� = �� + �� + �

em que a, b, e c são constantes reais e x é uma variável, pode ter ou um ponto de máximo ou um ponto de mínimo.

Isto ocorre porque o gráfico desta função tem uma forma de parábola. Esta parábola pode ter concavidade para baixo ou para cima.

No nosso caso, o coeficiente a é negativo (-1.000,00). A função tem um ponto de máximo.

O valor de x que maximiza (ou minimiza, conforme o caso) a função é dado por:

−�

2

Aplicando este resultado à nossa função, temos que o valor de x que maximiza o lucro é dado por:

−30.600

−2.000= 15,30

Ou seja, para que o lucro seja máximo, a revista deve ser vendida por R$ 15,30.

A quantidade de revistas vendidas será igual a:

� = −1000� + 20.600

� = −15.300 + 20.600 = 5.300

Se cada revista custa R$ 10,00 e é vendida por R$ 15,30, então o lucro em cada revista vendida será de R$ 5,30.

O lucro total será de:

L = 5,30 × 5.300 = 28.090

Gabarito: A

Questão 18 SEDUC ES 2010 [CESPE]

A respeito da função �� = −0,02�� − 5�(� − 205), em que x é um número real, julgue os itens seguintes:

1. Se 110 ≤ � < � ≤ 200, então �� > �(�)

2. �(�) ≤ 200, para todo x.

3. Se 10 ≤ � < � ≤ 107, então �� < �(�)



AFRFB e AFT


Resolução.

Vamos desenvolver a função:

�� = −0,02�� − 5�� − 205�

�� = −0,02 × �� − 5� − 205� + 1.025�

�� = −0,02 × �� − 210� + 1.025�

�� = −0,02�� + 0,02 × 210� − 0,02 × 1.025

Temos uma função de segundo grau, cujo coeficiente a é negativo.

Esta função assume um valor máximo.

Ele ocorre quando:

� = −�

2 = −0,02 × 210

2 × (−0,02)= 105

O valor máximo da função ocorre para x = 105. Dizemos que 105 é o maximante da função.

Outra forma de achar o maximante da função, de forma mais rápida, é lembrar que este ponto está exatamente no meio entre as duas raízes.

As raízes de uma função são os valores de x que a tornam nula.

No caso, a função é:

�� = −0,02�� − 5�� − 205�

Temos um produto. Para que ele seja nulo, uma das parcelas deve ser nula.

Logo, as raízes são:

� = 5;

� = 205

O ponto médio entre estes valores é 105, que é o maximante.

Vamos calcular o valor da função neste ponto:

�� = −0,02�� − 5�� − 205�

��105� = −0,02 × �105 − 5� × �105 − 205�

��105� = −0,02 × �100� × �−100�

��105� =200

O valor máximo da função é 200.

Com isso, podemos traçar um gráfico da função.

Sabemos que ela assume o valor 0 em x = 5 e x = 205.

E ela assume o valor máximo de 200, para x = 105.



AFRFB e AFT


Ficamos com:

Agora podemos julgar os itens.

No intervalo de 110 a 200 a função é decrescente. Quanto maior o valor do elemento do domínio, menor a sua imagem.

O item I afirmou justamente isso. O enunciado diz que, se x for menor que y, sua imagem será maior. Item correto.

O item 2 afirma que a função é, no máximo, igual a 200. Isto também está de acordo com nossos cálculos. Vimos que o valor máximo da função é justamente 200. Item certo.

No intervalo de 10 a 107, a função apresenta dois comportamentos distintos:



AFRFB e AFT


- ela é crescente de 10 a 105, quando assume seu valor máximo;

- a partir de 105, ela começa a decrescer.

O item III afirma que a função é sempre crescente neste intervalo, o que está errado.

Gabarito: certo, certo, errado

6. POLINÔMIOS

Exemplo de polinômio:

4�� + 27�� + 6� + 49

Em um polinômio temos números multiplicando variáveis, variáveis estas que podem estar elevadas a algum expoente.

Há uma infinidade de propriedades relativas a polinômios, a matéria é extensa, mas, pelo histórico da Esaf, é algo com baixa relação custo-benefício.

Por isso, vamos direto para o exercício da última prova do AFRFB, vendo, no próprio exercício, a teoria necessária para resolução.

Questão 19 ARFB 2009 [ESAF]

Se um polinômio f for divisível separadamente por )( ax − e )( bx − , com ba ≠ , então f é

divisível pelo produto entre )( ax − e )( bx − . Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão

de um polinômio f por )1( −x e )3( +x , respectivamente, então o resto da divisão desse

polinômio pelo produto entre )1( −x e )3( +x é igual a:

a) 4

7

4

13 +x

b) 4

13

4

7 −x

c) 4

13

4

7 +x

d) 4

13

4

13 −− x

e) 4

7

4

13 −− x

Resolução:

Para resolvermos a questão, é importante estudarmos algumas propriedades específicas da divisão entre polinômios.



AFRFB e AFT


Antes, vamos relembrar a divisão entre números naturais.

Exemplo: vamos dividir 85 por 4.

Começamos a divisão.

Dividimos 8 por 4. O resultado é 2.

Duas vezes quatro é 8.

Subtraímos 8 de 8, o que dá zero.

Agora podemos “descer” o algarismo 5.

Pergunta: a divisão acabou?

Não, ainda não. 5 é maior que 4. Logo, ainda podemos dividir 5 por 4.

E agora, a divisão acabou?

Agora sim, pois o resto é 1, que é menor que 4. Dentro do conjunto dos números naturais, não dá para dividir um número pequeno por outro, que seja maior. Não dá para dividir 1 por 4 (isso dentro dos números naturais)

Assim, o resto será sempre menor que o divisor.

A divisão de polinômios tem certa semelhança com a dos números naturais.

Exemplo: vamos dividir xxx 234 23 ++ por 32 +x .



AFRFB e AFT


Nos polinômios, focamos nos expoentes.

No primeiro polinômio, o termo de maior expoente é 4x3. Como o maior expoente é 3, dizemos que se trata de um polinômio de grau 3.

No segundo polinômio, o termo de maior expoente é x2. Como o maior expoente é 2, dizemos que se trata de um polinômio de grau 2.

Iniciamos dividindo os termos de maior expoente. No caso, 4x3 dividido por x2 é igual a x4 .

Agora multiplicamos o quociente pelo divisor, para subtraímos do dividendo.

Agora podemos fazer a subtração.

A divisão acabou?

Não, porque o expoente de 23x não é menor que o expoente de 2x . Então ainda dá pra dividir.

Agora a divisão acabou. O grau do resto (que possui expoente 1) é menor que o grau do divisor (expoente 2).



AFRFB e AFT


Assim, sejam D(x) e d(x) dois polinômios, de graus 3 e 2, respectivamente.

Usamos as letras “D” e “d” para indicar Dividendo e divisor.

Quando dividimos o polinômio D por d, teremos um quociente e um resto.

O grau do quociente será dado pela subtração entre os graus do dividendo e do divisor. No exemplo acima, o quociente teve grau 1 ( 34 +x )

O grau do resto será sempre menor que o grau do divisor. No exemplo acima, o resto teve grau 1 ( 910 −− x ).

Outro exemplo. Agora vamos mudar os graus do dividendo e do divisor:

9254)( 234 ++++= xxxxxD (grau 4)

23)( 2 ++= xxxd (grau 2)

Efetuando-se a divisão, o quociente será:

q(x) = 24x x11− 30+ (grau 2)

Usamos a letra “q” para representar o quociente.

O resto será:

r(x) = 5466 −− x (grau 1)

Usamos a letra “r” para representar o resto.

Observem que o grau do quociente foi justamente igual a 2 (correspondente à subtração entre os graus de D e d).

O grau do resto foi 1, que é menor que o grau do divisor.

Observem que a divisão entre polinômios é semelhante à divisão entre números naturais.

O resto da divisão de 9 por 4 é 1.

O que isto significa?

Significa que existe um número natural k que, multiplicado por 4 e somado com 1, resulta em 9. Ou seja,

914 =+k

No caso, sabemos que 2=k .

Para os polinômios, é muito parecido.

No exemplo acima, estamos dizendo que:

)()()()( xrxqxdxD +×=

Visto isso, vamos à questão da ESAF.

Se o resto da divisão de f por )1( −x é 5, é porque existe um polinômio p tal que:



AFRFB e AFT


)(5)()1( xfxpx =+×−

Fazendo x = 1, temos:

)(5)()1( xfxpx =+×−

)1(5)1()11( fp =+×−

5)1( =f

Se o resto da divisão de f(x) por )3( +x é 2− , então existe um polinômio s(x) tal que:

)(2)3()( xfxxs =−+×

Fazendo x = 3− , temos:

)3(2)33()3( −=−+−×− fs

2)3( −=−f

Sejam q(x) e r(x) o quociente e o resto da divisão de f(x) pelo produto entre )1( −x e )3( +x

.

Como o divisor tem grau 2, o resto terá, no máximo, grau 1. Ou seja, o resto será do tipo:

baxxr +=)(

Onde, a e b são números reais.

Temos:

)()3()1()()( xrxxxqxf ++×−×=

baxxxxqxf +++×−×= )3()1()()(

Fazendo 1=x .

baqf +++×−×= )31()11()1()1(

Sabemos que 5)1( =f .

baq +++××= )31(0)1(5

5=+ ba (equação I)

Fazendo 3−=x .

baqf +−+−×−−×−=− 3)33()13()3()3(

Sabemos que 2)3( −=−f

baq +−×−−×−=− 30)13()3(2

23 −=+− ba (equação II).

Subtraindo a equação I da equação II, temos:

4/774 =⇒= aa

Sabendo o valor de a, podemos voltar em I para encontrar b.

4/1354/7 =⇒=+ bb



AFRFB e AFT


Logo, o resto é do tipo:

4/134/7)( += xxr

Gabarito: C

7. QUESTÕES APRESENTADAS EM AULA


Os números X, Y e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética enquanto a seqüência dada por 2/3, X e Y é uma progressão geométrica. Assim, a razão entre a razão da progressão geométrica e a da aritmética é igual a

a) 0,45

b) 0,75

c) 0,85

d) 0,95

e) 1

Questão 2 ANEEL 2006 [ESAF]

Uma progressão aritmética é uma seqüência de números a1, a2, a3,...., an, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por uma soma, conforme representação a seguir:

�� = �� + �;

�� = �� + �;

�� = �� + �;

…

�� = �� + �

onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética.

Uma progressão geométrica é uma seqüência de números g1, g2, g3, ..., gn, cuja lei de formação de cada um dos termos desta seqüência é dada por um produto, conforme representação a seguir:

�� = �� × �

�� = �� × �

�� = �� × 3

…

�� = �� × �

onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica.



AFRFB e AFT


Os números A, B e 10 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Com estas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre r e q é igual a:

a) -12

b) -15

c) 10

d) 12

e) 8

Questão 3 AFRFB 2009 [ESAF]

Um corredor está treinando diariamente para correr a maratona em uma competição, sendo que a cada domingo ele corre a distância da maratona em treinamento e assim observou que, a cada domingo, o seu tempo diminui exatamente 10% em relação ao tempo do domingo anterior. Dado que no primeiro domingo imediatamente antes do início do treinamento, ele fez o percurso em 4 horas e 30 minutos e, no último domingo de treinamento, ele correu a distância da maratona em 3 horas, 16 minutos e 49,8 segundos, por quantas semanas ele treinou?

a) 1

b) 5

c) 2

d) 4

e) 3


A seqüência de valores: 1, 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16, forma uma progressão geométrica. A seqüência dos logaritmos de cada um desses números na base 1/2, na ordem em que estão dispostos, forma uma:

a) progressão geométrica de razão 1/2

b) progressão geométrica de razão 1

c) progressão aritmética de razão 1/2

d) progressão aritmética de razão 1

e) progressão aritmética de razão -1

Questão 5 MPOG 2009 [ESAF]

Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês?

a) R$ 50,00

b) R$ 100,00

c) R$ 80,00



AFRFB e AFT


d) R$ 115,00

e) R$ 125,00


Considere a função real de variável real �� = ��, onde > 0, e a função real de variável real �� = �1 + ��, onde � > 0. Fazendo �� = �(�), qual relação decorrente entre � e ?

a) � =�

�

b) � = √

c) � =

d) � = log� �

e) � = �� − 1


Um modelo para o comportamento do estoque de minério em uma jazida a ser explorada ao longo do tempo é o de uma função real de variável real f(t)=(1-r)t com uma taxa de decréscimo r = 20% ao ano. Assim, ao fim de quatro anos de exploração da jazida, segundo este modelo, qual seria o valor mais próximo do estoque de minério remanescente, como porcentagem do estoque inicial?

a) 41%

b) 51%

c) 20%

d) 35%

e) 64%


Se �� = � e ��2� = 5, então �(6) é igual a:

a) 0

b) 5

c) 15

d) 125

e) 130

Questão 9 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF]

Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade 3)2()1()( xxfxxf =−×+− , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que

f(0) é igual a:

a) 3/12−−

b) 3/12−



AFRFB e AFT


c) 3/12−

d) 3/22−

e) 3/22−−

Questão 10 Sefaz MG 2005 [ESAF]

Os valores da função exponencial f ( t)=c(1+r)t ,t real , c>0 e 1+r>0, nos pontos em que t é um número natural, constituem uma progressão geométrica.

Indique a razão desta progressão.

a) c.

b) 1+r.

c) c-1.

d) r.

e) c(1+r).


A função composta de duas funções, P(Z) e Q(Z), é definida como (PoQ) (Z) = P[Q(Z)].

Sejam as funções P(Z) = Z3 e Q (Z) = Z1/3. Então, (PoQ) [ ln (x + 1) ] é:

a) 0 se x = 0

b) -1 se x = -1

c) ln 1 se x = -1

d) - ln 1 se x = 1

e) 1 se x = -1

Questão 12 Enap 2006 [ESAF]

Uma função g(x) composta com f(x) - representada por (g o f)(x) - é dada por g(f(x)).

Se g(x) = 3 x – 2 e (f o g) (x) = 9 x2 -3x +1, então f(x) é igual a

a) x2 -3x + 3.

b) x2 + 3x - 3.

c) x2 + x + 3.

d) x2 + 3x + 2.

e) x2 + 2x + 6.


Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda

depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de Dk, onde Dk é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1, 2,..., n, os pontos (k,Dk) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0).



AFRFB e AFT


Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação?

a) R$ 12.500,00

b) R$ 15.000,00

c) R$ 10.000,00

d) R$ 17.500,00

e) R$ 20.000,00


Determinar os valores de x para os quais a função do segundo grau �� = �� − 3� − 10 assume valores positivos.

a) −5 < � < 2

b) � = −5 ou � = 2

c) −2 < � < 5

d) � < −2 ou � > 5

e) � < −5 ou � > 2


Um fabricante produz certa mercadoria ao custo unitário de R$ 5,00 e calcula que, se vendê-las a x reais a unidade, os clientes comprarão (20-x) unidades por dia. A fim de que o lucro seja máximo, o fabricante deve vender cada unidade da mercadoria por:

a) R$ 5,50

b) R$ 6,00

c) R$ 6,50

d) R$ 7,00

e) R$ 7,50




AFRFB e AFT


A partir do gráfico da função �: [−3, 14] → � ilustrado na figura acima, julgue os itens que se seguem.

I A função f é injetora.

II f([8, 14]) = [-2, 7].

III A equação f (x) = 3 tem apenas 4 soluções.

IV A função f tem três zeros.

Estão certos apenas os itens

A I e III.

B I e IV.

C II e III.

D II e IV.


Uma pesquisa de mercado com o público leitor de determinada revista constatou que, para cada R$ 0,01 a menos cobrado no preço de capa, 10 novos exemplares da revista seriam vendidos. Considere que o custo de cada exemplar da revista seja de R$ 10,00 e que, ao preço de capa de R$ 17,00, 3.600 exemplares são fabricados e vendidos. Nessa situação, ao se reajustar o preço da revista nos moldes indicados pela pesquisa, se toda produção for vendida, então o lucro máximo que poderá ser obtido com a venda da revista será igual a

A R$ 28.090,00.

B R$ 37.450,00.

C R$ 106.090,00.

D R$ 133.450,00.

Questão 18 SEDUC ES 2010 [CESPE]

A respeito da função �� = −0,02�� − 5�(� − 205), em que x é um número real, julgue os itens seguintes:



AFRFB e AFT


1. Se 110 ≤ � < ≤ 200, então �� > �( )

2. �(�) ≤ 200, para todo x.

3. Se 10 ≤ � < ≤ 107, então �� < �( )

Questão 19 ARFB 2009 [ESAF]

Se um polinômio f for divisível separadamente por )( ax − e )( bx − , com ba ≠ , então f é

divisível pelo produto entre )( ax − e )( bx − . Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão

de um polinômio f por )1( −x e )3( +x , respectivamente, então o resto da divisão desse

polinômio pelo produto entre )1( −x e )3( +x é igual a:

a) 4

7

4

13 +x

b) 4

13

4

7 −x

c) 4

13

4

7 +x

d) 4

13

4

13 −− x

e) 4

7

4

13 −− x

8. GABARITO

1 b

2 a

3 e

4 d

5 d

6 e

7 a

8 d

9 a

10 b

11 a

12 anulado

13 b

14 d

15 e

16 d

17 a

18 certo certo errado

19 c

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Aula 4 - Matemática parte 2