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2. Limites
2.1. Noção intuitiva:
Considere a função . 2)( 2 xxxfVamos analisar o seu comportamento quando tomamos valores
para cada vez mais próximos de 2 (tanto à esquerda quanto
à direita).
x
Façamos esta análise por meio de duas tabelas de valores,
onde, na primeira, aproximamos de 2 pela esquerda (ou seja,
por valores menores que 2) e, na outra, aproximamos de 2 por
valores maiores que 2, ou seja, pela direita.
1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 1,995 1,999
2 2,75 3,44 3,71 3,852 3,9701 3,985 3,997
x
)(xf
xx
3 2,5 2,2 2,1 2,05 2,01 2,005 2,001
8 5,75 4,64 4,31 4,152 4,0301 4,015 4,003
x
)(xf
Nota-se pelas tabelas que, à medida que x se aproxima de 2
tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores de vão
se tornando cada vez mais próximos de 4.
)(xf
Na verdade, podemos ter os valores de tão próximos de 4
quanto quisermos, bastando para isso escolher próximo de
2 o suficiente.
)(xf
x
Este fato é expresso dizendo que “o Limite de
quando tende a 2 é igual a 4” e denota-se por
2)( 2 xxxfx
4)2(lim 2
2
xx
x
Mais geralmente, podemos definir o limite de uma função como:
Podemos perceber
isto também pelo
gráfico de f:
Se pudermos tornar os valores de tão próximos quanto
quisermos do número , tornando suficientemente próximo
de (por ambos os lados de ), mas não igual a , então diz-
se que o Limite de quando tende a é igual a , e
denotamos isto escrevendo
x
Lxfxx
)(lim0
0x)(xf
)(xfL
0xx 0x L
0x
Obs: A expressão “mas não igual a “ na definição acima
significa que, ao procurarmos o valor do limite de quando
tende a , nunca consideramos , não sendo nem mesmo
necessário que seja definida em .
0xx
0x 0xx )(xf
f 0x Além disso, ainda que a função f esteja definida em , o limite
de quando tende a não depende do valor de . 0x
f x 0x )( 0xf
Tomemos como exemplo destes fatos a função 1
1)(
2
x
xxf
Note que a mesma não está definida para . 1x
No entanto, vejamos o que ocorre com os valores de f(x) à
medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1,
à direita e à esquerda.
Aproximando x de 1 pela esquerda, temos:
0 0,5 0,6 0,8 0,85 0,9 0,99 0,999
1 0,66 0,62 0,555 0,5405 0,5263 0,502 0,5002
x
)(xf
Aproximando x de 1 pela direita, temos:
2 1,5 1,4 1,2 1,15 1,1 1,01 1,001
0,33 0,4 0,416 0,454 0,465 0,4761 0,497 0,4997
x
)(xf
Portanto, as duas tabelas acima nos permitem concluir que
5,01
1lim
21
x
x
x
2.2. Limites laterais:
Se observarmos de qual valor se aproxima quando se
aproxima de apenas por um dos lados (esquerda ou direita),
estaremos determinando o limite lateral à esquerda ou limite
lateral à direita de quando tende a , conforme se
aproxime de pela esquerda ou pela direita.
)(xf x
0x
)(xf x 0x x
0x
Eles são denotados respectivamente por e . )(lim xfxx
0
)(lim xfxx
0
Uma vez que a definição de limite de uma função exige que os
valores de se aproximem do mesmo número quando se
aproxima de tanto pela esquerda como pela direita, isto
estabelece claramente que
)(xf x
0x
Lxfxfxxxx
)(lim)(lim000
lim ( )x x
f x L
se, e só se,
Considere a função f, definida por .
)(lim1
xfx
1,1
1,4
1,12
)(2
xsex
xse
xsex
xf
2.2.1. Exemplos:
)(lim1
xfx
)(lim
1xf
x
-1 0 0,5 0,75 0,9 0,95 0,99 0,995
-1 1 2 2,5 2,8 2,9 2,98 2,99
x
)(xf
Determine , e
Notamos pela tabela acima que, à medida que x se aproxima
de 1 por valores menores que 1, isto é, pela esquerda, os
valores de f(x) vão se tornando cada vez mais próximos de 3.
3)(lim1
xfx
Desta forma, podemos escrever que
Para determinar , devemos observar o que ocorre
com f(x) quando x se aproxima cada vez mais de 1 por valores
à direita de 1, ou seja, maiores que 1 :
)(lim1
xfx
3 2 1,5 1,25 1,1 1,05 1,01 1,005
8 3 1,25 0,5625 0,21 0,10 0,02 0,01
x
)(xf
Pela definição de f, temos que, para x>1, temos . Daí,
temos a tabela:
2( ) 1f x x
Notamos pela tabela acima que, à medida que x se aproxima
de 1 por valores maiores que 1, isto é, pela direita, os valores
de f(x) vão se tornando cada vez mais próximos de 0.
0)(lim1
xfx
Desta forma, podemos escrever que
Concluímos, portanto, que para esta função f, temos
)(lim)(lim11
xfxfxx
e, portanto, que
)(lim1
xfx
pois os limites laterais quando x tende a 1 são diferentes.
Podemos perceber isto também através do gráfico de f. Veja:
Se pudermos tornar os valores de tão próximos quanto
quisermos do número , tornando suficientemente próximo
de (por ambos os lados de ), mas não igual a , então diz-
se que o Limite de quando tende a é igual a , e
denotamos isto por
Já vimos que…
x
Lxfax
)(lim
a)(xf
)(xfL
2.3. Definição formal de limite:
a ax a L
Esta definição pode ser reformulada simbolicamente como
Dizemos que o Limite de quando tende a é igual a ,
e denota-se isto com se, , existir um
número , tal que, para , se tenha
)(xf x a LLxf
ax
)(lim 0
0 ax0 Lxf )(
A figura a seguir nos sugere uma visualização geométrica desta
definição:
Relembremos a definição:
Dizemos que o Limite de quando tende a é igual a ,
e denotamos isto escrevendo se, , existe um
número , tal que, para , se tenha
)(xf x a LLxf
ax
)(lim 0
0 ax0 Lxf )(
Veja que a expressão significa dizer que está no
intervalo (de centro em ), enquanto que a
expressão significa que o valor correspondente de
está no intervalo .
ax0 x),( aa a Lxf )( y
),( LL
A definição dada pode então ser reescrita como:
Dizemos que o Limite de quando tende a é igual a ,
e denotamos isto por se, (por menor que
seja) , existir um número (suficientemente pequeno) de
forma que sempre que .
)(xf x a LLxf
ax
)(lim 0
),( aax0
),()( LLxf
)(xf
x
Esta definição pode ser entendida ainda da seguinte forma
O limite de f(x) quando x tende a é igual a L se você
conseguir obter f(x) tão próximo de L quanto você desejar,
considerando para isso x próximo de o suficiente.
a
a A proximidade qualquer entre f(x) e L é representada pelo 0 A proximidade (suficiente para isto) entre x e é representada
pelo “existe um número , tal que, para ” 0 ax0
Verifique (sem o uso de tabelas) que 10)23(lim4
xx
Solução:
Devemos mostrar que, , podemos obter um de
modo que sempre que .
0 010)(xf 4x
Para encontrar o que satisfaça a condição acima, veja que 010)(xf 1023x 123x )4(3 x 43 x 43 x
Portanto, a condição , equivale a , que
pode ser reescrita como
10)(xf 43 x3/4 x
a
concluímos que, para todo , tomando o , se
tivermos , teremos em consequência que 0
3
4x
Uma vez que devemos obter , um de modo
que sempre que , e
0 010)(xf 4x
( ) 10f x
10)( xf 43 x 33
3
Portanto, temos que . 10)23(lim4
xx
Obs: A afirmação “…para todo , tomando , se
tivermos , teremos em consequência que ”
significa que, por exemplo:
0 / 3 4x ( ) 10f x
Para , tem-se que se , teremos 1 4 1/ 3x ( ) 10 1f x
Para , tem-se que se , teremos 1/ 2 4 1/ 6x ( ) 10 1/ 2f x
Para , tem-se que se , teremos 0,03 4 0,01x ( ) 10 0,03f x
43
x
2.4. Proposição (Unicidade do limite):
Se e , então 1lim ( )x a
f x L
2
lim ( )x a
f x L
1 2
L L
2.5. Proposição:
Se e são números reais, então ,a m nlim( )x a
mx n m a n
3lim(5 2)x
x
5 3 2 13
2.5.1.Casos particulares:
(a) Se é um número real qualquer, então c limx a
c c
(b) limx a
x a
2.6. Propriedades dos limites:
Se e existem e é um número real qualquer,
então
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
g x
c
( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
i f x g x f x g x
( ) lim ( ) lim ( )x a x a
ii c f x c f x
( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
iii f x g x f x g x
lim ( )( )( ) lim
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf xiv
g x g x
, desde que lim ( ) 0x a
g x
( ) lim ( ) lim ( )n
n
x a x av f x f x
, para todo
*n Z
( ) limln ( ) ln lim ( ) , lim ( ) 0x a x a x a
vii f x f x se f x
( ) limcos ( ) cos lim ( )x a x a
viii f x f x
( ) lim ( ) lim ( )x a x a
ix sen f x sen f x
lim ( )( )
( ) lim x af x
f x
x ax e e
Solução:
Calcular os limites: 2
2) lim(2 3 5)
xa x x
33
5) lim
7x
xb
x
4
2) lim 4 1
xc x x
2
2) lim(2 3 5)
xa x x
2
2 2 2lim(2 ) lim(3 ) lim(5)x x x
x x
2
2 2 22lim( ) 3lim( ) lim(5)
x x xx x
2
2 2 22 lim 3lim( ) lim(5)
x x xx x
22 2 3 2 5 8 6 5 19
33
5) lim
7x
xb
x
3
3
3
lim( 5)
lim( 7)
x
x
x
x
3 3
3
3 3
lim( ) lim(5)
lim( ) lim(7)
x x
x x
x
x
3 3
3
3 3
lim( ) lim(5)
lim lim(7)
x x
x x
x
x
3
3 5
3 7
2
20
1
10
4
2) lim 4 1
xc x x
)(lim 144
2
xx
x
1422
4
2
xxxxx lim)(lim)(lim
1422
4
2
xxxxx lim)(lim)lim(
1242 4 )()( 1816 5
