Aula Pieri Controle Robos Manipuladores

8/17/2019 Aula Pieri Controle Robos Manipuladores

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Controle de Robˆ os Manipuladores

Edson Roberto De PieriDaniel Martins

Programa de P´ os-Gradua¸cão em Engenharia MecˆanicaUniversidade Federal de Santa Catarina

Florianópolis, Setembro de 2007

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http://goforward/http://find/http://goback/


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Sum´ ario

Sum´ ario

1 Introdu¸ c˜ ao Geral

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Introdu¸ c˜ ao Geral

Sum´ ario

1 Introdu¸ c˜ ao Geral

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Introdu¸ c˜ ao Geral Introdu¸ c˜ ao

Introdu¸ c˜ ao

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Introdu¸ c˜ ao Geral Arquitetura do Manipulador

Arquitetura do Manipulador

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I d ˜ G l R i ˜ M ´ i



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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica

Revis˜ ao Matem´ atica

Alguns dos principais śımbolos usados:

∀ Para qualquer

∃ Existe

∈

Pertence à=⇒ Implica

⇔ Equivale

→ Tende à Igual por denição

R Números reaisC Números Complexos

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Introd c˜ o Ger l Re is˜ o M tem´ tic



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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica

´ Algebra Linear

Vetores:

Rn , corresponde ao espaço Euclidiano de dimensão nSeja x um vetor de n componentes:

x =

x 1

x 2...x n

=⇒ x T = x 1 x 2 . . . x n T

Norma euclidiana

x de um vetor x :

x ni =1

x 2i = √ x T x

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Introdu cão Geral Revis˜ ao Matem´ atica

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´ Algebra Linear

Matrizes:Uma A∈Rn × m corresponde a um arranjo de números reais:

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

... ... . . . ...an1 an2 . . . anm

Para uma matriz quadrada A∈Rn × n , existe n autovalores λ∈C quesão soluções da equação caracteŕıstica:

∆( λ) = det[ λ I −A] = 0

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´ Algebra Linear

Equivalentemente x = 0 é um autovetor associado ao autovalor λ de A se:Ax = λx =⇒ Ax = λ i x , i = 1 , 2, . . . , n

Obs. Quando tratar-se de uma matriz simétrica A = AT , ent ão, todos osautovalores são reais.

Teorema de Rayleigh-Ritz

∀ x ∈R =⇒ λm x 2 ≤x T Ax ≤ λM x 2

Onde,

λM = maxi λ i ; λm = mini λ i , i = 1 , 2, . . . , n

Norma espectral de A∈Rn× m :A λM

{AT A

} 9 / 9 8


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Pontos Fixos

Seja f :

Rn

→ Rn uma função cont́ınua. Um vetor x ∗

∈Rn é um ponto

xo de f (x ) se:f (x ∗) = x ∗

Se x ∗ é um ponto xo de f (x ), ent ão x ∗ é solução da equação:

f (x ) −x = 0Exemplo: f (x ) = sin x

f (0) = 0 =⇒ apenas um ponto xoExemplo: f (x ) = x 3

f (0) = 0 ; f (1) = 1 ; f (−1) = −1 =⇒ 3 pontos xos

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Estabilidade usando Lyapunov

Segundo método de LyapunovSeja o sistema dinâmico descrito por:

ẋ = f (t , x ) ; x (t 0) = x t 0 : uma condição inicial dada

x ∈Rn

corresponde ao estado do sistemat ∈R+ corresponde ao tempox (t ) é a solução do sistema dinâmico, ou seja:

d dt

x (t ) = f (t , x )

x (t 0) = x t 0

OBs. Esse problema é conhecido como problema do valor inicial.

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¸


Vericar as soluções para os seguintes problemas dinâmicos:

Exemplo: ẋ = x 2 ; x (0) =

−1 , t

≥0

Exemplo: ẋ = x 2 ; x (0) = 1 , t ≥0Exemplo: ẋ = Ax ;x (0) = x 0 , t ≥0Procurar uma solução do tipo x (t ) = e

At

x 0

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¸


Ponto de Equiĺıbrio

Denição: Um vetor constante x̄ ∈Rn é um equiĺıbrio do sistemadinâmico se:

f (t , x̄ ) = 0 ∀t ≥0Obs. Normalmente consideramos x̄ = 0, ou seja, a origem como ponto deequiĺıbrio. Quando x = 0, é necess ário fazer uma transformação decoordenadas.

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¸


Gracamente temos:

x 1

x 2

x 10x

20

t t 0

x̄

Se o estado inicial x (t 0) é um ponto de equiĺıbrio, isto é x (t 0) = x̄ , ent ãox (t ) = x̄ , 0 ≤ t 0 ≤t ẋ (t ) = 0 , 0 ≤ t 0 ≤t

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Exemplo: Pêndulo Simples

J q̈ + mgl sinq = τ (t )

m massa do pênduloJ momento de inércial comprimento até o centro de massaq posição angular

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Representação de estados

d dt

q q̇ =

q̇ J − 1[τ (t ) −mgl sinq ]

τ (t ) = 0

d dt

q q̇

= 00 =⇒ q̄ ˙̄q =

nπ0

n = 0 , ±1, ±2, · · ·

τ (t ) = τ

d dt

q q̇ =

00 =⇒

q̄ ˙̄q =

arcsin( τ mgl )0

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Exemplo: Equação de Van der Pol

ẋ 1 = x 2ẋ 2 = ẋ 2 = −x 1 + (1 −x 21 )x 2

Exemplo: Equação de um manipulador ŕıgido com n graus de liberdade

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

Exemplo: Equação de um manipulador com exibilidade nas juntas comn graus de liberdade

M (q 1) q̈ 1 + C (q 1, q̇ 1) q̇ 1 + K (q 1 −q 2) = 0J q̈ 2 + K (q 2 −q 1) = τ

onde q 1 é a variável associada ao elo e q 2 a varíavel associada ao atuador17/98


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Estabilidade:A origem é um ponto de equiĺıbrio estável se dado ε > 0, existe

δ

δ (ε, t 0) > 0 tal que:

x (t 0) < δ =⇒ x (t ) < ε 0 ≤ t 0 ≤t

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δε

x 1

x 2

x 0

t x (t )

Obs.: Toda trajet´oria iniciada no ”tubo”de raio δ deve permanecer no”tubo”de raio ε

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Estabilidade Uniforme:A origem é um ponto de equiĺıbrio uniformemente estável se dado ε > 0,existe δ δ (ε) > 0 tal que:

x (t 0) < δ =⇒ x (t ) < ε 0 ≤ t 0 ≤t Obs.: Neste caso, a estabilidade independe de t 0Exemplo:

ẋ = −x 2 sin t

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Estabilidade Assint´ otica:A origem é um ponto de equiĺıbrio assintoticamente est ável se:

Se a origem é estável

Se a origem é um ponto de equiĺıbrio atrativo, isto é, se para cada t 0existe δ (t 0) > 0 tal que:

x (t 0) < δ =

⇒

limt →∞

x (t )

→0 ; t 0 > 0

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δε

x 1

x 2

x 0

t x (t )

Exemplo: ẋ = − x 1 + t ; x 0 = x (t 0)Solu ção: ln(

x (t )x (t 0)

) = ln(1 + t 01 + t

) =⇒ x (t ) = 1 + t 01 + t

x 0

é est ável (assintoticamente) mas n ão é uniformemente estável 22/98


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Estabilidade Assint´ otica Uniforme:A origem é um ponto de equiĺıbrio assintoticamente uniformemente est ável

A origem é uniformemente estável

a origem é atrativa com taxa de convergência independente de t 0.Exemplo:

ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1 −x 2

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Estabilidade Assint´ otica Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente assintoticamente est ável se:

Se a origem é estávelSe a origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente atrativo, isto é:

x (t 0)∈Rn =⇒ limt →∞ x (t ) →0 ; t 0 > 0

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Estabilidade Assint´ otica Uniforme Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente assintoticamenteuniformemente est ável se:

Se a origem é uniformemente estávelSe a origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente uniformementeatrativo, isto é:

x (t 0)

∈Rn =

⇒

limt →∞

x (t )

→0 ; t 0 > 0

com taxa de convergência independente de t 0.

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Estabilidade Exponencial Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente exponencialmente estávelse ∃α, β , independentes de t 0 e x (t 0)∈Rn tais que:

x (t 0) < α x (t 0) e − β (t − t 0 ) ; 0 ≤ t 0 ≤t

Obs. Equivale a dizer que existe uma função exponencial, envolvendo a

resposta x (t )

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Instabilidade:A origem é um ponto de equiĺıbrio instável se não for estável.

Dada uma condição inicial x (t 0 < δ A solução do sistema

x (t ) não necessariamente tende para innito

Exemplo: Equa¸ cão de Van der Pol

ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −x 1 + (1 −x 21 )x 2

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Fun ções de LyapunovUma função V : Rn → R+ é localmente denida positiva em uma regiãoΩ se:

V (0) = 0V (x ) > 0 para x = 0 , ∀x ∈Ω

Uma função V : Rn → R+ é globalmente denida positiva se:V (0) = 0V (x ) > 0 para x = 0 , ∀x ∈Rn

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Uma função W : Rn → R+ é localmente denida negativa em uma regiãoΩ se:−W (x ) é denida positiva para x ∈Ω

Uma função V : ×R+ ×Rn → R+ é localmente denida positiva em Ω seexiste W : Rn → R+ tal que:V (t , 0) = 0 , ∀t ≥0V (t , x )

≥W (x ) para t

≥0 e

x = 0 ,

∀x

∈Ω

Obs. O resultado é global se Ω = Rn

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Fun ção radialmente ilimitada e decrescente

W : Rn → R+ é radialmente ilimitada se:W (x ) → ∞ quando x → ∞

V (t , x ) é radialmente ilimitada se:

V (t , x ) ≥W (x ) t ≥0V (t , x ) é localmente decrescente se existe W (x ) tal que:

V (t , x ) ≤W (x ) ; ∀t ≥0 ∀x ∈Ωse Ω = Rn ent ão é globalmente decrescente.

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0

0

x

V 1(x )

V 1(x ) é localmente denida positiva mas não é globalmente denidapositiva

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E bilid d d L


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0

0

x

V 3(x )

V 3(x ) é globalmente denida positiva mas não é radialmente ilimitada

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E t bilid d d L

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0

0

x

V 4(x )

V 4(x ) é globalmente denida positiva e radialmente ilimitada

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E t bilid d d L

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Fun ção candidata de LyapunovUma função V : Rn ×R+ → R+ é uma função candidata de Lyapunovpara o sistema dinâmico:

ẋ = f (t , x ) , x̄ = 0 : um ponto de equiĺıbrio

V (t , x ) é localmente denida positiva∂ V (t ,x )

∂ t é cont́ınua com respeito a t e x ∂ V (t ,x )

∂ x é cont́ınua com respeito a t e x

onde

V̇ d dt

V (t , x ) = ∂ V (t , x )

∂ t +

∂ V (t , x )∂ x

ẋ

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Fun ção de Lyapunov

Uma função candidata V (t , x ) é uma fun ção de Lyapunov se:

V̇ (t , x ) =

≤0 ,

∀

t

≥0 ,

∀

x

∈Ω

Resumindo, V (t , x ) é uma fun ção de Lyapunov em uma região Ω se

V (t , x ) é localmente denida positiva∂ V (t ,x )

∂ t é cont́ınua com respeito a t e x

∂ V (t ,x )∂ x é cont́ınua com respeito a t e x V̇ (t , x ) ≤0 ,∀t ≥0 (é localmente semi-denida negativa)

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Estabilidade e estabilidade uniforme

A origem é um ponto de equiĺıbrio estável de ẋ = f (t , x ) se:

V (t , 0) ,∀t ≥0V (t , x ) ≥W 1(x ) > 0 , t ≥0, x ∈ΩV̇ (t , x ) ≤0 ,∀t ≥0, x ∈Ω

se além das condições acima,

V (t , x ) ≤W 2(x )∀t ≥0 , x ∈Ωentão a origem é Uniformemente estávelW 1(x ), W 2(x ) são funções denidas positivas

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Exemplo: Pêndulo simples sem atritoConsidere o modelo dinâmico de um pêndulo sem atrito

J q̈ + mgl sinq = 0

Escolhendo x 1 e x 2 como variáveis de estado:

x 1 = q =⇒ ẋ 1 = x 2

x 2 = q̇ =⇒ ẋ 2 = −mgl

J sinx 1

Portanto, ẋ = f (x ) ; f (x ) = x 2

−mgl J sinx 1O sistema não depende explicitamente de t =

⇒

Sistema Autônomo39/98



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Exemplo: Pêndulo simples sem atritoPontos de equiĺıbrio

d dt

q q̇

= 00 =⇒ q̄ ˙̄q =

nπ0

n = 0 , ±1, ±2, · · ·x ’ = yy ’ = − sin(x)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

y

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Exemplo: Pêndulo simples sem atritoConsidere a representação de estados para j = 1 e mgl = 1

ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1

Modelo linearizado em torno da origem (x̄ , ˙̄x ) = (0 , 0):

δ̇ x = Aδ x

A = J (x̄ , ˙̄x ) = ∂ f ∂ x ( x̄ , ˙̄x )

Analise a estabilidade do sistema não linear usandoV = (1

−cos x 1) + x 2

2 ,

−π < x 1 < π

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Exemplo: Pêndulo simples com atritoConsidere a representação de estados para j = 1 e mgl = 1

ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1 −x 2

Modelo linearizado em torno da origem (x̄ , ˙̄x ) = (0 , 0):

δ̇ x = Aδ x

A = J (x̄ , ˙̄x ) = ∂ f ∂ x ( x̄ , ˙̄x )

Analise a estabilidade do sistema não linear usandoV = (1

−cos x 1) + x 22 ,

−π < x 1 < π

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Teorema de La SalleConsidere um sistema autônomo ẋ = f (x ) com um ponto de equiĺıbriox̄ = 0. Considere uma V (x )

Denida positivaV̇ (x ) ≤0

Considere um conjunto Ω tal queΩ = {x ∈Rn / V̇ (x ) = 0}se dado x (0)

∈

Ω =

⇒

x (t ) permanece em Ωentão x̄ é assintoticamente est´avel.

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Introdu¸ c˜ ao Geral Bibliograa

Bibliograa

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Bibliograa

H. K. Khalil – Nonlinear Systems, 3rd edition, Prentice Hall, 2002

J. J. Slotine, W. Li – Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991R. Kelly, V. Santibáñez, A. Loria – Control of Robot Manipulators inJoint Space, Springer, 2005

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Introdu¸ c˜ ao Geral Exerćıcios

Exerćıcios

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Analise a estabilidade dos seguintes sistemas:

1) ẋ 1 = −x 1 + x 1x 2ẋ 2 = −x 2

3) ẋ 1 = −x 2 −x 1(1 −x 21 −x 22 )ẋ 2 = −x 1 −x 2(1 −x 21 −x 22 )

5) ẋ 1 = −x 2(1 −x 21 )

ẋ 2 = −(x 1 + x 2)(1 −x 21 )

2) ẋ 1 = −x 1 −x 2ẋ 2 = 2x 1 −x 32

4) ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −x 31 −x 32

6) ẋ 1 = −x 1 + x 21

ẋ 2 = −x 2 + x 23ẋ 3 = x 3 −x 21

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Controle de Posi¸ c˜ ao

Sum´ ario

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2 Controle de Posi¸ c˜ ao

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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao

Regula¸c˜ ao

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g ¸

Posicionamento do efetuador nalposições intermediárias são desconsideradastarefas do tipo pick and place

A B

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Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias


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Exemplo: Considere o robô planar de 2 gl

l 1

l 2

θ 1

θ 2

x

y (x , y )

Seja uma trajet ória p (t ) = ( x (t ), y (t )) no espaço cartesiano. Qual atrajet ória correspondente no espaço das juntas?

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Solu ção:

p (t ) = ( x (t ), y (t )) =⇒θ(t ) = ( θ1(t ), θ2(t ))

r 2 = x 2 + y 2

s 2 = sin θ2 ; c 2 = cos θ2 = r 2 −l 21 −l 22

2l 1l 2

d = ± 1 −cos2 θ2 = ± 1 −c 22θ2 = atan 2(d , c 2)θ1 = atan 2(y , x ) −atan 2(l 2s 2, l 1 + l 2c 2)

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Interpola¸ cão Polinomial

Pontos de passagemInterpolação a partir de polinômiosOrdem dos polinômios depende dos pontos de passagem: posição,velocidade, aceleração

Espa¸co das Juntas: Conjunto de pontos q i (t k ) de posição e develocidades fornecidos (i : junta, t k : instantes de tempo igualmenteespaçados.

q d i (t k ) = q i (t k ) ; q d i (t k +1 ) = q i (t k +1 )q̇ d i (t k ) = q̇ i (t k ) ; q̇ d i (t k +1 ) = q̇ i (t k +1 )

T = t k +1 −t k

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Solu ção: Para interpolar os 4 pontos necessitamos de um polinômio de 3aordem:

q d i (t ) = ai + b i (t −t k ) + c i (t −t k )2 + d i (t −t k )3Os coecientes ai , b i , c i , d i são determinados a partir de:

1 0 0 00 1 0 01 T T 2 T 3

0 1 2T 3T 2

a i b i c i d i

=

q i (t k )q̇ i (t k )

q i (t k +1 )q̇ i (t k +1 )

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a i = q i (t k )b i = q̇ i (t k )

c i = 3[q i (t k +1 ) −q i (t k )] −T [2q̇ i (t k ) + q̇ i (t k +1 )]T 2

d i = 2[q i (t k ) −q i (t k +1 )] + T [q̇ i (t k ) + q̇ i (t k +1 )]

T 3

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Problema de Controle

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Regulaçãoq d (t ) = q d : constante

Seguimento de trajet ória

q d (t ): vetor variante no tempo

Seja a equação do manipulador:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ A representação por variáveis de estados é dada por:

q̇ q̈ =

q̇ M − 1(q )[τ

−C (q , q̇ )q̇

−g (q )]

M (q )∈ℜn× n é a matriz de inércia

C (q , q̇ )q̇ ∈ℜn é o vetor de forças centŕıfugas e de Coriolisg (q )∈ℜ

n é o vetor de forças e torques gravitacionaisτ

∈ℜ

n é o vetor de forças e torques externos˙ ¨ re resentam os vetores de osicão velocidade e aceleracão.55/98



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O objetivo da estratégia de controle é encontrar τ tal que:Regulação

limt →∞

q̃ (t ) = 0 =⇒ limt →∞ q (t ) = q d

onde q̃ = q d −q (t ).Controle de trajet órialim

t →∞q̃ (t ) = 0 =⇒ limt →∞ q (t ) = q d (t )

onde q̃ = q d (t ) −q (t ).

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A lei de controle τ depende, em geral, dos seguintes parâmetros:

τ (t ) = τ (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))

Tendo em vista os custos e diculdades de implementação, as medidas deaceleração (q̈ ) devem ser evitadas.Um esquema clássico de controle é dado por:

q d

q̇ d

q̈ d

τ Controlador

q

q̇ Robô

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Analyse de estabilidade:1

Obter a equa ção dinâmica em malha fechada2 Obter a representa ção de estados

q̇ d − q̇ q̈

= f (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))

q d

q̇ d

q̈ d

Controladorq

q̇ Robô

+

3 Encontrar os pontos de equiĺıbrio em malha fechada4 Dada uma função de Lyapunov candidata analisar a estabilidade

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Controle de Posi¸ c˜ ao Revis˜ ao de Controle

Revis˜ ao de Controle

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Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD

Controlador PD

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Lei de controle do tipo PD realimentação de q̃ , q̇ ):

τ = K p q̃ −K v q̇ q d

+ +

− −

K p

K v

q

q̇ Robô

K p , K v são matrizes simétricas denidas positivasq d corresponde à posição desejada da juntaq̃ = q d −q é o erro de posição

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Controlador PD

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Lei de controle do tipo PD (realimentação de q̃ , ˙̃q ):

τ = K p q̃ + K v ˙̃q

q d +

+

+

+q̇ d

−

−

τ

K p

K v

q

q̇ Robô

K p , K v são matrizes simétricas denidas positivas

q d corresponde à posição desejada da juntaq̃ = q d −q é o erro de posição

Obs. Quando q d é constante ambos os controladores PD s ão iguais

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Controlador PD

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Representação de estados em malha fechada para q d constante ˙̃q q̈

= −q̇ M − 1(q )[K p q̃ −K v q̇ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]

Pontos de equiĺıbrio

˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ −g (q ) = 0

Obs. Podem haver vários pontos de equiĺıbrio

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PD - Robˆ os sem termos gravitacionais

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Modelo do sistema:M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ = τ

Para um valor de referência q d constante, a equa ção em malha fechada édada por:

˙̃q

q̈ = −q̇

M − 1

(q d −q̃ )[K p q̃ −K v q̇ −C (q d −q̃ , q̇ )q̇ ]Ponto de equiĺıbrio

˙̃q = 0 =

⇒

q̇ = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ = 0

Obs. Possui um único ponto de equiĺıbrio63/98


PD - Robˆ os sem termos gravitacionais

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Análise de estabilidade:Candidata a fun ção de Lyapunov

V (q̃ , q̇ ) = 12

q̃ q̇

′

K p 00 M (q d −q̃ )

q̃ q̇

= 12

q̇ ′ M (q )q̇ + 12

q̃ ′ K p q̃

Obs. V (q̃ , q̇ ) é denida positiva pois M (q ) > 0 e K p > 0

64/98

Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade

Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade

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Modelo do sistema:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

q d

+

+

+

+ +

q̇ d

g (q )

−

− τ K p

K v

q q̇ Robô

Lei de controle :τ = K p q̃ −K v ˙̃q + g (q )

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˙̃q q̈

= −q̇ M − 1(q d −q̃ )[K p q̃ −K v q̇ −C (q d −q̃ , q̇ )q̇ ]

Ponto de equiĺıbrio

˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =

⇒

K p q̃ = 0

Obs. Possui um único ponto de equiĺıbrio

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V (q̃ , q̇ ) = 12

q̃ q̇

′

K p 00 M (q d −q̃ )

q̃ q̇

= 12

q̇ ′ M (q )q̇ + 12

q̃ ′ K p q̃


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Análise de estabilidade:A derivada temporal de V (q̃ , q̇ )

V̇ (q̃ , q̇ ) = −q̇ ′ K v q̇

= − q̃ q̇ ′

0 00 K v

q̃ q̇ ≤0

A origem é est́avelq̇ e q̃ são limitadas

Usando La Salle temos que a origem é assintoticamente estável.

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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada

PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada

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Modelo do sistema:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

q d

++

++

+

q̇ d

g (q d )

−

−

τ

K p

K v

q

q̇ Robô

Lei de controle :

τ = K p q̃ −K v ˙̃q + g (q d )

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Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada

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˙̃q q̈

= −q̇ M − 1(q )[K p q̃ −K v q̇ −C (q , q̇ )q̇ + g (q d ) −g (q )]

Os pontos de equiĺıbrio são dados por:

˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =

⇒

K p q̃ = g (q d

−q̃ )

−g (q d )

Se K p >> 0 então q̃ = 0 é o único ponto de equiĺıbrio.

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PD + g (q d ) - An´ alise de Estabilidade

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71/98

Controle de Posi¸ c˜ ao PID

Controle PID

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Modelo o sistema:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

q d

+

+

+

+

+

q̇ d

K i t 0 dt

−

−

τ K p

K v

q

q̇ Robô

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Controle PID - Malha Fechada

Lei de controle:

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Lei de controle:

τ = K p q̃ + K v ˙̃q + K i t

0q̃ dt K p , K v , K i > 0

A lei de controle pode ser escrita como:

τ = K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ

ζ̇ = q̃

A equação em malha fechada é dada por:

ζ̇ ˙̃q q̈

=q̃ ˙̃q

q̈ d −M − 1(q )[K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]73/98


Controle PID - Pontos de Equiĺıbrio

Se a trajet ória desejada for constante o equiĺıbrio é dado por:

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74/98

Se a trajet oria desejada for constante, o equilıbrio e dado por:

ζ̇ = 0 =⇒ q̃ = 0˙̃q = 0 =⇒

˙̃q = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ = 0

O que resulta em:

ζ q̃ ˙˜q

=K − 1i g (q d )

0

0Portanto, possui um único ponto de equiĺıbrio fora da origem.Para analisar a origem dene-se uma tranforma ção de variáveis do tipo:

z = ζ −K − 1i g (q d )

74/98


Controle PID - Pontos de Equiĺıbrio

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A equação em malha fechada nas novas variáveis é dada por:

ż ˙̃q q̈

=q̃ ˙̃q

q̈ d

−M − 1(q )[K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ

−C (q , q̇ )q̇

−g (q )]

O único ponto de equiĺıbrio é

z q̃

˙̃q

=00

0

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V (q̃ , q̇ ) = 12

q̃ q̇

′

K p 00 M (q d −q̃ )

q̃ q̇

= 12

q̇ ′ M (q )q̇ + 12

q̃ ′ K p q̃


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Análise de estabilidade:A derivada temporal de V (q̃ , q̇ )

V̇ (q̃ , q̇ ) = −q̇ ′ K v q̇

= − q̃ q̇ ′

0 00 K v q̃ q̇ ≤0

A origem é est́avelq̇ e q̃ são limitadas

Usando La Salle temos que a origem é assintoticamente estável.

77/98

Seguimento de Trajet´ oria

Sum´ ario

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3 Seguimento de Trajet´ oria

78/98 Seguimento de Trajet´ oria Introdu¸ c˜ ao

Introdu¸ c˜ ao

S j ˜ d i l d

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79/98

Seja a equação do manipulador:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

A representação por variáveis de estados é dada por:

q̇ q̈ =

q̇ M − 1(q )[τ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]

M (q )∈ℜn× n é a matriz de inércia

C (q , q̇ )q̇

∈ℜn é o vetor de forças centŕıfugas e de Coriolis

g (q )∈ℜn é o vetor de forças e torques gravitacionais

τ ∈ℜn é o vetor de forças e torques externosq , q̇ , q̈ representam os vetores de posição, velocidade e aceleração.


Introdu¸ c˜ ao

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80/98

Dado um conjunto de trajet órias desejadas q d (t ), q̇ d (t ), q̈ d (t ), o controle

de trajet ória consiste em encontrar τ tal que:

limt →∞

q̃ (t ) = 0

onde

q̃ (t ) = q d (t ) −q (t ) é o erro de posição˙̃q (t ) = q̇ d (t ) − q̇ (t ) é o erro de velocidade

O problema de controle é mais complexo pois:

O sistema em malha fechada, em geral, é não aut ônomo (oscoecientes dependem do tempo)A análise de estabilidade é mais complexa que no caso de regulação


Introdu¸ c˜ ao

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81/98

A lei de controle τ depende, em geral, dos seguintes parâmetros:

τ (t ) = τ (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))

Tendo em vista os custos e diculdades de implementação, as medidas deaceleração (q̈ ) devem ser evitadas.

Um esquema clássico de controle de trajetória é dado por:

q d

q̇ d

q̈ d

τ Controlador

q

q̇ Robô



Analyse de estabilidade:

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y1 Obter a equa ção dinâmica em malha fechada2 Obter a representa ção de estados

q̇ d − q̇ q̈ d −q̈

= f (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))

q d

q̇ d

q̈ d

Controladorq

q̇ Robô

+

3 Encontrar os pontos de equiĺıbrio em malha fechada4 Dada uma função de Lyapunov candidata analisar a estabilidade

82/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado

Torque Computado

Esquema de controle:

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u

++

+

+q̈ d

g (q )

−

τ

C (q , q̇ ) q̇

M (q )

Controlador

Sistema Linear

q

q̇ Robô

O controlador torque computado compensa as n ão linearidades e a novavariável de controle u pode ser gerada livremente usando técnicas deprojeto de sistemas lineares.


Torque Computado

Dada a equação do manipulador:

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q ¸ p

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

Da denição de q̃ temos:

q̃ = q d −q ˙̃q = q̇ d − q̇ ¨̃q = q̈ d −q̈

Do esquema de controle temos que τ é denido por:τ = M (q )[q̈ d −u ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )

onde u (t ) é uma nova entrada de controle, refer ente à malha externa.


Controle Torque Computado - Malha Fechada

A equacão em malha fechada é dada por:

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A equaçao em malha fechada e dada por:

M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −u ]Ou equivalentemente,

¨̃q = u

Na representa ção por variáveis de estado: ˙̃q ¨̃q =

˙̃q u

= 0 I

0 0 q̃ ˙̃q +

0I

u

O sistema resultante é linearA forma resultante é um banco de integradores conhecida como formade Brunovski

85/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes

Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes

Dada a equação do manipulador sujeito a perturba ções externas:

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86/98

ada a equaçao do a pu ado suje to a pe tu ba çoes e te as:

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q )τ d = τ

onde τ d representa as perturba ções externas, normalmente, desconhecidas.O controle τ é denido por:

τ = M (q )[q̈ d −u ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )onde u (t ) é uma nova entrada de controle, referente à malha externa.A equação em malha fechada é dada por:

M (q )q̈ τ d = M (q )[q̈ d −u ]Ou equivalentemente,

¨̃q = u + M − 1(q )τ d

86/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes

Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes

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87/98

Na representa ção por variáveis de estado: ˙̃q ¨̃q =

˙̃q u + M − 1(q )τ d

˙̃q ¨̃q =

0 I 0 0

q̃ ˙̃q +

0I u +

0I w

onde,w = M − 1(q )τ d

A lei de controle u deverá ser projetada para compensar as perturba çõesexternas.

87/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD

Torque Computado com Controlador PD


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88/98

++ +

+

+

+

++

q d

q̇ d

q̈ d g (q )

−

−

K p

K v C (q , q̇ )

M (q )

q

q̇ Robô

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

O controle τ é denido por:

τ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )88/98

Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD


A ˜ lh f h d ´ d d

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89/98

A equaçao em malha fechada e dada por:

M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q ]Ou equivalentemente,

¨̃q = −K p q̃ −K v ˙̃q Na representa ção por variáveis de estado:

˙̃q ¨̃q =

˙̃q

−K p q̃ −K v ˙̃q = 0

I

−K p −K v q̃ ˙̃q

Possui um único ponto de equiĺıbrio na origemK p > 0 e K v > 0 podem ser escolhidos livremente

89/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD

Torque Computado e PD - An´ alise de Estabilidade

Denindo as seguintes variáveis:

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x = q̃ ˙̃q ; A = 0 I −K p −K v Função de Lyapunov candidata:

V (x ) = x ′

Px V (x ) é denida positiva desde que P > 0. A derivada temporal de V :

V̇ = ẋ ′ Px + x ′ P ẋ = x ′ [A′ P + PA]x

V̇ ≤0 =⇒ x ′

[A′

P + PA]x ≤0V̇ = −x ′ Qx ≤0 ; Q < 0

90/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PID

Torque Computado com Controlador PID

Esquema de controle:q̈d

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+

+

+

++

+

+

+

+

q d

q̇ d

q d

g (q )

−

−

K p

K v

K i t 0 dt

C (q , q̇ )

M (q )

q

q̇ Robô

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ O controle τ é denido por:

τ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K i t

0q̃ dt −K v ˙̃q ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )



A equação em malha fechada é dada por:

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92/98

M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q −K i t

0 q̃ dt ]Ou equivalentemente,

¨̃q = −K p q̃ −K v ˙̃q −K i t

0q̃ dt

Na representa ção por variáveis de estado:

ζ̇ ˙̃q ¨̃q

=q̃ ˙̃q

−K i ζ −K p q̃ −K v ˙̃q =

0 I 00 0 I

−K i −K p −K v ζ q̃ ˙̃q

Possui um único ponto de equiĺıbrio na origemK i , K p > 0 e K v > 0 podem ser escolhidos livremente


Torque Computado e PID - An´ alise de Estabilidade

Denindo as seguintes variáveis:

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93/98

x =ζ q̃ ˙̃q

; A =0 I 00 0 I

−K i −K p −K v Função de Lyapunov candidata:

V (x ) = x ′ Px

V (x ) é denida positiva desde que P > 0. A derivada temporal de V :

V̇ = ẋ ′ Px + x ′ P ẋ = x ′ [A′ P + PA]x

V̇ ≤0 =⇒ x ′ [A′ P + PA]x ≤0V̇ = −x

′ Qx ≤0 ; Q < 0

93/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador Feedforward

Torque Computado com Controlador Feedforward

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94/98 Seguimento de Trajet´ oria Estudos de Casos

Estudos de Casos

Dado um robô de dois graus de liberdade:

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95/98

M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ

M (q ) = (m1 + m2)a21 + m2a22 + 2m2a1a2 cosq 2 m2a22 + m2a1a2 cosq 2

m2a22 + m2a1a2 cosq 2 m2a22

C (q , q̇ )q̇ = −m2a1a2(2q̇ 1q̇ 2 + q̇ 22 ) sin q̇ 2m2a1a2q̇ 21 sin q 2

g (q ) = (m1 + m2)ga1 cos q 1 + m2ga2 cos(q 1 + q 2)m2ga 2 cos(q 1 + q 2) ; τ = τ 1τ 2

Trajet órias desejadas: q 1d = g 1 sin(2π t T

) ; q 2d = g 2 cos(2π t T

)

onde, a1 = a2 = 1 m,m1 = m2 = 1 kg , T = 2 s , g 1 = 0 .1 rad e g 2 = 0 .1 rad


Controle Torque Computado + PD

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Controle Torque Computado + PID

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Seguimento de Trajet´ oria Exerćıcios

Exerćıcios

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Documents

Aula Pieri Controle Robos Manipuladores