Aula12-CA-Lajes Maciças-Exemplo

Estruturas em Concreto ArmadoLajes Maciças–Teoria das Placas – Exemplo Numérico

Prof. M.Sc. Antonio de Faria

Prof. D.Sc. Roberto Chust Carvalho

Lajes Maciças

Exemplo numérico

• Calcular e detalhar a armadura do pavimento de lajes maciças cuja

planta de formas está indicada a seguir. Considerar que as salas

serão utilizadas para escritórios, que as lajes deverão ter todas a

mesma espessura e que o revestimento inferior de gesso, para

efeito de cálculo de carga, pode ser desprezado. Serão admitidos os

seguintes dados de projeto:

� Contrapiso com espessura de 2,0 cm e γ = 18 kN/m3;� Contrapiso com espessura de 2,0 cm e γ = 18 kN/m3;

� Piso emborrachado, cujo peso de 0,20 kN/m2 íncluí a cola;

� Cobrimento nominal da armadura de 25 mm, admitindo classe de

agressividade ambiental II;

� Vigas: largura bw = 20 cm e altura h = 50 cm;

� Concreto com resistência característica fck = 20 MPa;

� Aço CA-50;

Lajes Maciças

Exemplo numérico

Lajes Maciças

Exemplo numérico

Lajes Maciças

Dados Preliminares

Revestimento

Fck (MPa) 20 Espessura Argamassa (cm) 2,0

γconcreto (kN/m3) 25 γ

argamassa (kN/m3) 18,0

Aço CA (kN/cm2) 60 Espessura Revestimento (cm) 1,176

d' (cm) 4,0 γrevestimento (kN/m3) 17,0

c1) Cargas permanentes c1) Cargas permanentes

peso próprio: .......... g1 = 0,12 ⋅ 25 kN/m3 = 3,00 kN/m

2

contrapiso: .............. g2 = 0,02 ⋅ 18 kN/m3 = 0,36 kN/m2

piso: ....................... g’2 = 0,20 kN/m

2

total: ...................... g = g1 + g2 + g’2 = 3,56 kN/m

2

c3) Carga total

2/56,500,256,3 mkNqgp =+=+=

c2) Carga acidental

salas para escritório (NBR 6120:1980): q = 2,00 kN/m2.

Lajes Maciças

Verificação da flechaAs flechas, calculadas para as duas combinações, deverão atender aos limites dados na

Tabela 4.7 do Capítulo 4, transcritos a seguir, para a condição de aceitabilidade sensorial, sendo

que l é o menor vão da laje considerada:

• para a totalidade de cargas (combinação rara): l/250

• para a carga acidental: l/350

d2) Módulo de deformação longitudinal do concreto (NBR 6118:2003, item 8.2.8)

O módulo de elasticidade secante, a ser utilizado nas verificações de estados limites de

serviço, deve ser calculado pelas expressões 1.9 e 1.10, Capítulo 1, com os valores em MPa. 2

ckcics m/kN21287000MPa21287204760f560085,0E85,0E ==⋅=⋅⋅=⋅=

d3) Cálculo da flecha elástica

100hE

pf

3

4x α

⋅⋅

⋅=

l

com α dado na tabela 7.2 e )m(16,0)m/kN(21287000hE 323 =⋅=⋅

• Flecha para a carga total (permanente mais acidental, combinação rara)

4x

74x

3

4x

qg 1052,71006,87191

)0,256,4(

100hE

)qg(f l

ll⋅α⋅⋅=

α⋅

⋅+=

α⋅

⋅

⋅+= −

+

Lajes Maciças

Verificação da flecha

Localização hadotado (cm) P.Próprio (kN/m2) Revest. (kN/m2) Outros (kN/m2)Sobrecarga (kN/m2)

NBR 6120Total (kN/m2) Tipo Laje

Laje - L1 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 4

Laje - L2 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 4

Laje - L3 12 3,00 0,56 0,00 2,00 5,560 3

LocalizaçãoVão da Laje Rel.Vãos α Flecha (cm)

Flecha Limite (cm)

Verificação

lx (cm) ly (cm) λ (ly/lx) Centro Laje Centro Laje (L/250) - cm

Laje - L1 6,00 6,00 1,00 2,42 0,47 2,4 Ok!

Laje - L2 4,00 6,00 1,50 4,38 0,17 1,6 Ok!

Laje - L3 5,00 10,00 2,00 5,66 0,53 2,0 Ok!

Lajes Maciças

Cálculo das Armaduras Longitudinais

Para o cálculo da armadura positiva das lajes existem duas alturas úteis, uma para cada

direção, conforme pode ser visto na Figura 7.17, para as direções s e v. Recomenda-se,

entretanto, que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida

superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva (no caso, ds, que é menor

que dv) possibilitando que, na construção, as barras de cada direção sejam posicionadas em

qualquer uma das camadas. Assim, será empregada no cálculo de todas as armaduras, inclusive

para as negativas, altura útil igual a 8,0 cm, determinada anteriormente.

para as negativas, altura útil igual a 8,0 cm, determinada anteriormente.

Figura 7.17 Direções s e v e as respectivas alturas úteis.

Lajes Maciças

Determinação das ArmadurasAÇO CA-50

Localização Tipo LajeRel.Vãos

µ M (kN.cm/m) Kmd Kx KzAscalc

(cm2/m)λ (ly/lx)

Laje - L1

Mx

4 1,00

2,81 562 0,086 0,134 0,946 2,39

Mx' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 6,61

My 2,81 562 0,086 0,134 0,946 2,39

My' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 6,61

Laje - L2

Mx

4 1,50

4,81 428 0,066 0,100 0,960 1,79

Mx' 10,62 945 0,145 0,235 0,906 4,20

My 2,47 220 0,034 0,050 0,980 0,90

My' 8,06 717 0,110 0,173 0,931 3,10

Laje - L3

Mx

3 2,00

6,51 905 0,139 0,224 0,910 4,00

Mx' 12,34 1715 0,263 0,477 0,809 8,53

My 1,48 206 0,032 0,047 0,981 0,84

AÇO CA-60


µ M (kN.cm/m) Kmd Kx KzAscalc

(cm2/m)λ (ly/lx)

Laje - L1

Mx

4 1,00

2,81 562 0,086 0,134 0,946 1,99

Mx' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 5,51

My 2,81 562 0,086 0,134 0,946 1,99

My' 6,99 1399 0,214 0,370 0,852 5,51

Laje - L2

Mx

4 1,50

4,81 428 0,066 0,100 0,960 1,50

Mx' 10,62 945 0,145 0,235 0,906 3,50

My 2,47 220 0,034 0,050 0,980 0,75

My' 8,06 717 0,110 0,173 0,931 2,58

Laje - L3

Mx

3 2,00

6,51 905 0,139 0,224 0,910 3,33

Mx' 12,34 1715 0,263 0,477 0,809 7,11

My 1,48 206 0,032 0,047 0,981 0,70

Lajes Maciças

Características das Barras de Aço

CA-60 CA-50

φ φ φ φ (mm)massa (kg/m)

Área (cm2) φ φ φ φ (mm)massa (kg/m)

Área (cm2)

4,2 0,109 0,139 6,3 0,245 0,312

5,0 0,154 0,196 8,0 0,395 0,503

6,0 0,222 0,283 10,0 0,617 0,785

7,0 0,302 0,385 12,5 0,963 1,2277,0 0,302 0,385 12,5 0,963 1,227

8,0 0,395 0,503 16,0 1,578 2,011

9,5 0,558 0,709 20,0 2,466 3,142

25,0 3,853 4,909

32,0 6,313 8,042

Lajes Maciças

Determinação das ArmadurasAÇO CA-50

Localização Asmín(cm2/m)Asefet

(cm2/m)smáx (cm) φ (6,3 mm) φ (8,0 mm) φ (10,0 mm) φ (12,5 mm)

Laje - L1

Mx 1,21 2,39

24

13 21 33 51

Mx' 1,80 6,61 5 8 12 19

My 1,21 2,39 13 21 33 51

My' 1,80 6,61 5 8 12 19

Laje - L2

Mx 1,21 1,79

24

17 28 44 68

Mx' 1,80 4,20 7 12 19 29

My 1,21 1,21 26 42 65 102

My' 1,80 3,10 10 16 25 40

Laje - L3

Mx 1,21 4,00

24

8 13 20 31

Mx' 1,80 8,53 4 6 9 14

My 1,21 1,21 26 42 65 102

AÇO CA-60

Localização Asmín(cm2/m)Asefet

(cm2/m)smáx (cm) φ (5,0 mm) φ (6,0 mm) φ (7,0 mm) φ (8,0 mm) φ (9,5 mm)

Laje - L1

Mx 1,21 1,99

24

10 14 19 25 36

Mx' 1,80 5,51 4 5 7 9 13

My 1,21 1,99 10 14 19 25 36

4 5 7 9 13My' 1,80 5,51

Laje - L2

Mx 1,21 1,50

24

13 19 26 34 47

Mx' 1,80 3,50 6 8 11 14 20

My 1,21 1,21 16 23 32 42 59

My' 1,80 2,58 8 11 15 19 27

Laje - L3

Mx 1,21 3,33

24

6 8 12 15 21

Mx' 1,80 7,11 3 4 5 7 10

My 1,21 1,21 16 23 32 42 59

Lajes Maciças

Comprimento e espassamento das barras

POSITIVAS − Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida);

Comprimentos para a laje L1, nas direções x e y:

cm6027262600 =⋅+⋅−=l (N1)

− As barras deverão penetrar nos apoios (vigas) 6 cm ou 10 φ = 10 ⋅0,63 = 6,3 cm; será

adotado o valor de 7 cm;

− Largura das vigas = 20 cm (dado inicial);

− As dimensões das lajes, em planta, estão relacionadas aos eixos das vigas.

Comprimentos para a laje L2:

cm4027262400x =⋅+⋅−=l (N2)

cm6027262600y =⋅+⋅−=l (N1)

Comprimentos para a laje L3:

cm5027262500x =⋅+⋅−=l (N3)

cm100272621000y =⋅+⋅−=l (N4)

Lajes Maciças

Comprimento e espaçamento das barras

NEGATIVAS − Serão colocadas barras em todo o vão das lajes (armadura corrida);

− Todas as barras da armadura negativa têm diâmetro φ = 10 mm.

− Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento. − Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento. Nas lajes adjacentes será considerada a armadura referente ao maior momento.

− Todas as lajes serão consideradas isoladas, e a armadura, para todas as situações de

vinculação, se estenderão no interior da laje a uma distância x25,0 l⋅ , sendo xl o menor

vão da laje, conforme a figura 7.18.

l l

− Ao comprimento anterior deverá ser

acrescentado o comprimento de ancoragem reto

(aço CA-50, boa aderência, fck = 20 MPa,

φ = 10,0 mm):

cmf

f

bd

ydb 44

486,215,1

500

4

0,1

4=

⋅⋅=⋅=

φl

0,75,25,20,12g =−−=l

Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L2:

L1y: φ 10,0 c/12,5 cm

⇒ adota-se φ 10,0 c/12,5 cm

L2x: φ 10,0 c/20 cm

Comprimento na laje L1:

cm20174460025,0 =++⋅

⇒ comprimento total = 352 cm (N5)


cm15174440025,0 =++⋅

cm15174440025,0 =++⋅


L1x: φ 10,0 c/12,5 cm

⇒ adota-se φ 10,0 c/10 cm

L3 : φ 10,0 c/10 cm

Lajes Maciças

Comprimento e espaçamento das barras

L3x: φ 10,0 c/10 cm


cm20174460025,0 =++⋅

⇒ comprimento total = 377 cm (N6)


cm17674450025,0 =++⋅


L2y: φ 10,0 c/20 cm

⇒ adota-se φ 10,0 c/10 cm

L3x: φ 10,0 c/10 cm

Comprimento na laje L2: cm15174440025,0 =++⋅

⇒ comprimento total = 327 cm

Comprimento na laje L3: cm17674450025,0 =++⋅ (adotar mesmo que L1 c/ L3)

Detalhamento

final das

armaduras

7.4.7 Reação das lajes nas vigas

• 45°°°° entre dois apoios do mesmo tipo;

• 60°°°° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente

apoiado;

• 90°°°° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

Lajes Maciças

Reações de Apoio das Lajes

10pkq x

xx

l⋅⋅=

10pkq x

yy

l⋅⋅=

10pkq x'

x'x

l⋅⋅=

10pkq x'

y'y

l⋅⋅=

Lajes Maciças


Reações de Apoio das Lajes Sobre as Vigas


k Reação (kN/m)λ (ly/lx)

Laje - L1

qx

4 1,00

1,83 6,10

qx' 3,17 10,58

qy 1,83 6,10

qy' 3,17 10,58

qx 2,44 5,43

Laje - L2

qx

4 1,50

2,44 5,43

qx' 4,23 9,41

qy 1,83 4,07

qy' 3,17 7,05

Laje - L3

qx

3 2,00

2,99 8,31

qx' 5,18 14,40

qy 1,83 5,09

Lajes Maciças


Verificação da necessidade de armadura de

cisalhamento

• A verificação da necessidade de utilização de armadura de

cisalhamento nas lajes, será feita para a laje L3, que apresenta o

maior valor para a reação de todas as lajes, junto a viga V5;

• Compara-se a força cortante de cálculo Vsd com a força resistente

de projeto VRd1 (se Vsd ≤ VRd1, não há necessidade de armadura de

cisalhamento);

• Para a verificação, são necessárias as seguintes informações:• Para a verificação, são necessárias as seguintes informações:

– Força cortante solicitante: Vs = 14,40 kN/m;

– Toda a armadura inferior se estende ao longo da laje, chegando até o apoio;

– Na laje L3, a armadura longitudinal inferior é composta de barras de φ 10,0 mm

(0,80 cm2) a cada 20 cm, resultando 5 barras por metro;


cisalhamento

kN 20,16 1,4.14,40 .V V sfsd === γ

( )[ ] .db..15,040.1,2.k. V wcp1RdRd1 σρτ ++=

2

3 2Rd

3 2ck

ff

infctk,ctdRd

cm

kN 0,0276 MPa 0,276 200,21..

1,4

0,25

f.3,0.7,0.0,25

f

0,25. 0,25.f

===

===

τ

γγτ

2cm 0,0276 MPa 0,276 200,21..

1,4

1,0 1,52 0,04)-(0,12 - 1,6 d - 1,6 k >===

0,02 cm

cm 0,005

100.8

5.0,8

.db

A

2

2

w

sl1 <===ρ

( )[ ] kN 47,0 .100.80,15.0 40.0,0051,22.0,0276.1,5 VRd1 =++=

σcp = 0 - (não há força de compressão longitudinal na seção)


cisalhamento

• Como Vsd = 20,16 kN < VRd1 = 47,0 kN e não há necessidade de

armadura transversal de cisalhamento;

• Caso essa condição não fosse verificada, deveria ser colocada

armadura calculada como em vigas, ou alterar a dimensão da laje –

aumentar hlaje;

• Verificação da diagonal comprimida – (concreto)

– A verificação da compressão na biela comprimida é feita, comprando-se: V com V ;– A verificação da compressão na biela comprimida é feita, comprando-se: Vsd com VRd2;

kN 20,16 1,4.14,40 .V V sfsd === γ .0,9.d.b.f0,5. V wcdv1Rd2 α=

0,50 0,5 0,60 )200

20,0-(0,7 )

200

f-(0,7 v1

ckv1 =→>=== αα

kN 257,14 4)-12.100.0,9.(1,4

2,00,5.0,5. VRd2 ==

Como Vsd é menor que VRd2, está verificada a resistência da biela comprimida;

Documents

Aula12-CA-Lajes Maciças-Exemplo