Aulas Mat Fin 2GQ2004-1

FASES

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AULA 28/04/2004SRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS: INTRODUO. MONTANTE (FV)CONCEITO

Essas sries de capitais podem representar na prtica uma seqncia de pagamentos para a constituio de um certo fundo de poupana, pagamento de dvidas, contribuies previdencirias, remuneraes ao trabalho ou ao capital etc.

Exemplo

Um financiamento de casa prpria um caso de renda certa temporria, de termo varivel (sujeito variao da TR) e peridica.

Um financiamento de eletrodomstico um caso de renda certa temporria, de termo constante (voc sabe quanto pagar de juros) e peridica.

J a caderneta de poupana pode se considerar como um caso de renda certa perptua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver disposio para aplicao ), de termo varivel e peridica.

RENDAS CERTAS DE TERMOS CONSTANTES

As rendas certas de termos constantes ou tambm chamadas sries peridicas uniformes podem ser divididas em sries postecipadas, sries antecipadas e sries diferidas.

As sries postecipadas so aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo e no na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de carto de crdito.

Nas sries antecipadas, os pagamentos so feitos no incio de cada perodo respectivo, por exemplo, financiamentos com pagamento vista.

Nas sries diferidas, o perodo de carncia constitui-se em um prazo que separa o incio da operao do perodo de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoes do tipo compre hoje e comece a pagar daqui a x dias. Nas sries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no incio do primeiro perodo aps o trmino da carncia, chama-se srie diferida antecipada; se for no final do primeiro perodo aps o trmino da carncia, chama-se srie diferida postecipada.

Sries Uniformes Postecipadas

Na srie postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada perodo:

PMT (Valor dos termos da srie)

0 1 2 3 4.........................n (nmero de termos da srie)

Sries Uniformes Antecipadas

Na srie antecipada, os pagamentos ocorrem no incio de cada perodo:

PMT

0 1 2 3 4.............................n-1

Sries Uniformes Diferidas

Srie diferida antecipada

PMT

carncia

0 k k+1 k+2 k+3..........................k+n

Srie diferida postecipada

PMT

carncia

0 k k+1 k+2 k+3..................... k+n+1

MONTANTE DAS RENDAS CERTAS, TEMPORRIAS DE TERMOS CONSTANTES

Como voc deve se lembrar , Montante nada mais do que a somatria dos juros com o capital principal.

Definimos montante de uma renda certa como a soma dos montantes de seus respectivos termos.

Para saber se estamos diante de uma srie do modelo bsico, postecipada, ou diante de uma srie antecipada, devemos observar o ltimo intervalo da srie.

Lembrando, a srie postecipada quando a parcela ocorre no final do intervalo. Em srie postecipada o valor futuro ocorre na data do ltimo depsito.

FV Valor Futuro ou Montante

PV Valor Presente

PMT Prestaes ou Valor dos depsitos

n Nmeros de Prestaes ou Depsitos

i Taxa de Juros

POSTECIPADAS

Clculo do valor futuro (FV)

Podemos determinar o montante de sries, basicamente de trs maneiras distintas: pelo somatrio dos montantes de cada depsito, pela frmula ou pela calculadora financeira.

Exemplo 1

Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupana programada o valor de $ 5.000,00. Sabendo que o Banco paga juros de 5,5%a.m., quanto possuir no momento do 5 depsito?

Soluo:

PMT = $5.000,00

i = 5,5% a.m.

n = 5 depsitos mensais

FV = $ ?

PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5

a) Pelo somatrio do montante de cada depsito

Podemos determinar o montante de uma sucesso de pagamentos, recebimentos ou depsitos atravs do somatrio dos montantes de cada anuidade.

A frmula para o valor futuro de cada depsito :

O somatrio dos valores futuros :

b) Pela frmula

Os fatores que determinam o montante de cada prestao PMT mantm entre si uma progresso geomtrica e, por isso, ser usada a frmula do somatrio da progresso geomtrica.

Denominar-se- o resultado do somatrio da progresso geomtrica de FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL de n perodos na taxa i:

Este fator pode ser encontrado na tabela financeira.

Podemos calcular o montante, multiplicando o depsito pelo valor do fator acima encontrado.

Desta maneira a frmula ficar:

c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:

f FIN

5000 CHS PMT

5,5 i

5

n

FV 27.905,46

Obs. Se estiver visvel na parte inferior do visor a expresso BEGIN na HP 12C, pressione

g end antes de solicitar o resultado FV , quando for postecipado.

Como demonstrado nas trs maneiras, o montante de $27.905,46.

Exemplo 2 (Roberto pg. 276 Problema Proposto 1)

Determinar o montante ou capital acumulado pelo depsito peridico postecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos:

Depsito Taxa(a) Mensal 3,5% a. m.

(b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente

(c) Semestral 21% a.a.

(d) Bimestral 3% a.m.

Soluo:

PMT = $1.000,00

Durao = 3 anos

(a) n = 312 = 36 depsitos mensais

i = 3,5%a.m

Utilizando a calculadora financeira HP 12C:

f FIN

1000 CHS PMT

3,5 i

36

n

FV 70.007,60

(b) n = 34 = 12 depsitos trimestrais

i = = 7% a.t.


f FIN

1000 CHS PMT

7 i

12

n

FV 17.888,45

(c) n = 32 = 6 depsitos semestrais

i = 21% a.a. = -1= 10% a.s.


f FIN

1000 CHS PMT

10 i

6

n

FV 7.715,61

,

(d) n = 36 = 18 depsitos bimestrais

i = 3% a.m. = -1= 6,09% a.b.


f FIN

1000 CHS PMT

6,09 i

18

n

FV 31.170,42 AULA 05/05/2004 Clculo do valor do depsito (PMT)

O valor das prestaes tambm pode ser calculado a partir do montante de anuidades,

apenas posicionando antes da igualdade o PMT que a representao do valor do depsito. Exemplo (Roberto pg. 278 Problema Proposto 6)

Quanto um poupador dever depositar ao fim de cada trimestre durante 3 (trs) anos para formar um capital acumulado de R$ 100.000,00 ao trmino desse prazo, recebendo uma taxa de 18% a.a. capitalizada trimestralmente?

a) R$ 8.333,33

b) R$ 6.466,62

c) R$ 2.862,78

d) R$27.992,39

e) R$ 6.569,91

Soluo:

FV = $100.000,00

i = = 4,5% a.t.

n = 34 = 12 depsitos trimestrais

PMT = $ ?


f FIN

100000 CHS FV

4,5 i

12

n

PMT 6.466,62

Resposta: Letra (b) 6.466,62


g end antes de solicitar o resultado PMT , quando for postecipado.

Clculo da taxa (i)

Como se tem dificuldade em determinar a taxa, pode-se encontr-la pela interpolao, pela tentativa e erro e / ou pela calculadora financeira.

Exemplo

Uma pessoa deposita mensalmente $5.000,00 numa caderneta de poupana e, no momento do 5 depsito, seu saldo era de $28.753,70. Determinar a taxa de juros paga pelo banco.

Soluo:

FV = $28.753,70

PMT = $5.000,00


i = ? %a.m.

Neste caso, procurando na tabela financeira, temos = 5,750739, ou seja i = 7% a.m., que uma diferena com a qual no nos preocuparemos.

Se quisermos saber com exatido a taxa deveremos utilizar a Tentativa e Erro.


f FIN

28753,7 CHS FV

5000 PMT

5

n

i 7% a.m.


g end antes de solicitar o resultado i , quando for postecipado.

Clculo da quantidade de depsito (n)

Podemos determinar a quantidade de depsitos pela frmula:

Exemplo

Quantos depsitos mensais de $5.000,00 devero realizar uma pessoa para que tenha no ato do ltimo depsito o saldo de $27.905,46, recebendo uma taxa de 5,5% a.m.?

Soluo:

FV = $27.905,46

PMT = $5.000,00

I = 5,5% a.m.

n = ? depsitos mensais

Usando a tabela financeira, encontramos que n , aproximadamente 5 depsitos, utilizando o fator como = 5,581091026.

Se no encontrar um valor aproximado na tabela financeira pode ser utilizado o logaritmo:

Vamos agora utilizar o logaritmo:

Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos:



f FIN

27905,46 CHS FV

5000 PMT

5,5

i

n 5 depsitos mensais

AULA 08/05/2004ANTECIPADAS

uma srie antecipada relativa ao montante quando o ltimo depsito da srie ocorrer um intervalo antes do momento em que queremos saber ou sabemos, o montante. Diagrama:

PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... n-1 n

Clculo do valor futuro (FV)

Para calcular o montante utilizaremos a seguinte frmula:

Exemplo (Roberto pg. 277 Problema Proposto 2)

Determinar o montante ou capital acumulado pelo depsito peridico antecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos, com depsitos antecipados:

Depsito Taxa(a) Mensal 3,5% a. m.

(b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente

(c) Semestral 21% a.a.

(d) Bimestral 3% a.m.

Soluo:

PMT = $1.000,00

Durao = 3 anos


i = 3,5%a.m


f FIN

1000 CHS PMT

3,5 i

36

n

g BEG

FV 72.457,87

(b) n = 34 = 12 depsitos trimestrais i = = 7% a.t.


f FIN

1000 CHS PMT

7 i

12

n

g BEG

FV 19.140,64

(c) n = 32 = 6 depsitos semestrais

i = 21% a.a. = -1= 10% a.s.


f FIN

1000 CHS PMT

10 i

6

n

g BEG

FV 8.487,17

(d) n = 36 = 18 depsitos bimestrais

i = 3% a.m. = -1= 6,09% a.s.


f FIN

1000 CHS PMT

6,09 i

18

n

g BEG

FV 33.068,69

DIFERIDAS

Para o montante, carncia no existe antes dos depsitos; se considerarmos alguma carncia, esta dever ser aps o ltimo depsito. Sabemos que, quando no temos valor depositado, no recebemos juros, por este motivo a afirmao acima.

Assim, quando queremos saber um montante mais de um intervalo aps o ltimo depsito, calculamos o montante da srie e depois o montante por capitalizao composta.

Frmula para o montante da renda diferida de termos postecipados:

PMT PMT ... PMT FV=?

0 1 2 ... n n+k

Onde: n = nmero de termos

k = diferimento ou prazo de carncia

Exemplo

Uma pessoa efetua 8 depsitos mensais de $ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10%a.m. de juros. Quanto ter esta pessoa 4 meses aps o ltimo depsito?

Soluo:

PMT = $ 20.000,00

i = 10% a.m.


k = 4 meses de carncia

FV = ?


f FIN

20000 CHS PMT

8 n

10

i

FV

CHS PV

CLx PMT

4 n

FV 334.865,68

Frmula para o montante da renda certa diferida de termos antecipados:

PMT PMT ... PMT FV=?

0 1 ... n-1 n n+k



Obs. Usar o exemplo anterior sendo antecipado.

AULA 12/05/2004SRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS: VALOR ATUAL. SRIES INFINITAS (OU POSTECIPADAS)VALOR ATUAL

Valor Atual ou Valor Presente das Rendas Certas pode ser definido como a soma dos valores atuais dos seus respectivos termos.

POSTECIPADAS

Clculo do valor presente (PV)

Para determinarmos o valor atual de uma sucesso de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da srie

Podemos determinar o valor atual de sries, tambm de trs maneiras distintas: pelo somatrio dos valores atuais de cada depsito, pela frmula ou pela calculadora financeira.

Exemplo

Determinar o valor, a vista, de uma srie de 6 prestaes (ttulos) de $20.000,00, vencveis mensalmente, a partir do 1 ms, sabendo que a taxa de 5% a.m.

Soluo:

PMT = $ 20.000,00

i = 5% a.m.


PV= ?

PV=? PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6

a) Pelo somatrio dos valores atuais de cada depsito

Partindo da frmula do desconto racional composto, temos:

Onde o n ser substitudo pelo nmero correspondente prestao, da seguinte maneira: na primeira prestao n ser 1, na segunda n ser 2 e assim por diante.

O FV, quando queremos calcular o valor atual de uma srie de pagamentos, ser o valor de cada prestao.

O somatrio dos valores atuais :

b) Pela frmula

O resultado do somatrio da progresso geomtrica passaremos a denominar de FATOR DE VALOR ATUAL de n perodos na taxa i:

Esse fator pode ser encontrado na tabela financeira.

Podemos calcular o valor atual, multiplicando o depsito pelo valor do fator acima encontrado.

Desta maneira a frmula ficar

c) Utilizando a calculadora financeira HP 12C:

f FIN

20000 CHS PMT

5 i

6

n

PV 101.513,84


g end antes de solicitar o resultado PV , quando for postecipado.

Como demonstrado nas trs maneiras, o valor atual de 101.513,84

ANTECIPADAS

A srie antecipada em relao ao valor atual quando a primeira parcela ocorrer na data zero, de entrada, sendo esta entrada de mesmo valor das demais parcelas. Diagrama:

PMT PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 3 ... n-1 n

Clculo do valor presente (PV)

Para calcular o valor atual utilizaremos a seguinte frmula:

Exemplo

Determinar o valor, a vista, de uma srie de 6 prestaes (ttulos) de $20.000,00, vencveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa de 5% a.m.

Soluo:

PMT = $ 20.000,00

i = 5% a.m.


PV= ?


f FIN

20000 CHS PMT

5 i

6

n

g BEG

PV 106.589,53

DIFERIDAS

Sries diferidas antecipadas em relao a um valor atual so aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a carncia, enquanto sries postecipadas so aquelas em que a primeira parcela vence um perodo aps a carncia.

Frmula para o valor atual da renda diferida de termos postecipados:

PV=? ... PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... k k+1 k+2 ... k+n



Exemplo (Roberto Pgina 279 Problema Proposto 12)

Aproveitando a promoo comercial: Compre hoje e somente comece a pagar depois de 4 meses, uma pessoa adquire uma mercadoria mediante 6 prestaes mensais e iguais a R$ 1.200,00, vencendo a primeira prestao 30 dias aps o vencimento da carncia. Considerando que h no mercado de capitais uma taxa de juros compostos de 4,5%a.m., qual o valor mximo que estaramos dispostos a pagar vista pela referida mercadoria?

Soluo:

PMT = R$ 1.200,00

i = 4,5% a.m.



PV = ?


f FIN

1200 CHS PMT

6 n

4,5

i

PV

CHS FV

CLx PMT

4 n

PV 5.190,23

Frmula para o valor atual da renda certa diferida de termos antecipados:

PV=? ... PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... k k+1 k+2 ... (k+n-1) k+n



VALOR ATUAL DAS RENDAS CERTAS PERPETUA

As sries perptuas so aquelas cujo prazo ilimitado, no tem previso de terminar. No podemos calcular o montante da srie perptua por no termos a quantidade de prestaes definidas.

Para uma renda certa perptua, imediata e postecipada, seu valor presente ser:

PMT PMT PMT ...

0 1 2 3 ...

Exemplo

Uma residncia foi alugada por $350,00 mensais. Se a taxa de melhor aplicao no mercado financeiro paga juros de 2,3% a.m., qual seria o provvel preo do imvel?

Soluo:

PMT = $ 350,00

i = 2,3% a.m.

PV = ?

PV = 15.217,39

Para uma renda certa perptua, imediata e antecipada, seu valor presente ser:

PMT PMT PMT PMT ...

0 1 2 3 ...

Para uma renda certa perptua, diferida e postecipada, seu valor presente ser:

PV=? PMT PMT PMT ...

0 k k+1 k+2 k+3 ...

Exemplo

Uma jazida de ouro, com reservas para explorao por mais de cem anos, produz lucros mdios de $4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos prximos dois anos a mina no operar por motivos de renovao de equipamentos. O custo de oportunidade do capital de 15%a.a.

Soluo:

PMT = $ 4.000.000

i = 15 % a.a.

k = 2 anos de carncia

PV = ?

PV = 20.163.831,13

Para uma renda certa perptua, diferida e antecipada, seu valor presente ser:

PV=? PMT PMT PMT PMT ...

0 k k+1 k+2 k+3 ...

Exemplo

Uma sociedade de beneficncia pblica ganhou de um mecenas uma doao de $25.000/ano em forma indefinida, recebidos no incio de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doao. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doao.

Soluo:

PMT = $ 25.000

i = 15 % a.a.

k = 2 anos de carncia

PV = ?

PV = 144.927,54

Aula 15/05/2004EXEMPLOS DE APLICAO

Exemplo 01 (Roberto pg. 277 Problema proposto 3)

Calcular o valor atual ou presente de uma seqncia de depsitos peridicos (periodicidade fornecida abaixo juntamente com a taxa de juros), postecipados, de R$ 10.000,00, durante 2 (dois) anos:

Depsito Taxa(a) Mensal 4% a. m.

(b) Bimestral 30% a. a. capitalizada bimestralmente

(c) Trimestral 3% a.m.

(d) Quadrimestral 33,1% a.a.

Soluo:

PMT = $10.000,00

Durao = 2 anos


i = 4 %a.m


f FIN

10000 CHS PMT

4 i

24

n

PV 152.469,63

(b) n = 26 = 12 depsitos bimestrais

i = = 5% a.b.


f FIN

10000 CHS PMT

5 i

12

n

PV 88.632,52

(c) n = 24 = 8 depsitos trimestrais

im = 3% a.m it. = -1= 9,2727% a.t.


f FIN

10000 CHS PMT

9,2727 i

8

n

PV 54.791,62

(d) n = 23 = 6 depsitos quadrimestrais

ia = 33,1% a.a. iq = -1= 10% a.q.


f FIN

10000 CHS PMT

10 i

6

n

PV 43.552,61


Um automvel vendido a prazo atravs do seguinte plano: R$ 12.000,00 de entrada e mais 6 prestaes mensais de R$ 10.000,00 (cada prestao). Adotando uma taxa de juros compostos de 5% a.m. que preo mximo estaramos dispostos a pagar vista pelo automvel:

(a) R$ 72.000,00

(b) R$ 54.000,00

(c) R$ 62.756,92

(d) R$ 65.294,77

(e) R$ 61.432,87

Soluo:

Entrada = R$ 12.000,00

PMT = R$10.000,00


i = 5 %a.m

12.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

0 1 2 3 4 5 6

PV = ENTRADA + PV(Srie imediata postecipada)

PV = 12000 + 50756,92

PV = 62.756,92


f FIN

10000 CHS PMT

5 i

6

n

PV

ENTER

12000

+ 62.756,92


Um financiamento de R$ 2.400,00 solicitado para ser amortizado mediante um pagamento de R$ 1.000,00 ao fim de 5 meses, seguido de 6 (seis) pagamentos mensais postecipados e iguais. Adotando-se uma taxa de juros compostos de 12% a.a., capitalizada mensalmente, pode-se afirmar que cada pagamento mensal de:

(a) R$ 226,27

(b) R$ 253,73

(c) R$ 262,69

(d) R$ 435,24

(e) R$ 131,62

Soluo:

PV = R$ 2.400,00

k = 5 meses, com um pagamento de R$ 1.000,00


i = = 1 %a.m

1000 PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

PV = PV(Entrada) + PV(Srie diferida postecipada)

2400 = 951,4656876 + 5,514197009PMT

PMT = 262,69


Uma mercadoria vendida vista por R$ 200.000,00 ou a prazo na condio seguinte: entrada de R$ 40.000,00 e mais 5(cinco) parcelas mensais. Determinar o valor mximo de cada parcela mensal se o mercado financeiro oferece juros compostos de 6% a.m.

Soluo:

Entrada = R$ 40.000,00

PV = R$ 200.000,00


i = 6 %a.m

PMT = ?

40.000 PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5

PV = ENTRADA + PV(Srie imediata postecipada)

160000 = 4,212363785 PMT

PMT = 37.983,42


f FIN

160000 CHS PV

6 i

5

n

PMT 37.983,42


Uma empresa solicita a um banco comercial um emprstimo de R$ 5 milhes, a ser amortizado mediante 6 prestaes semestrais diferidas antecipadas, com 12 meses de carncia. Sabendo-se que a taxa de financiamento de 32,25% a.a. (efetiva), determinar:

(a) O valor das prestaes semestrais;

(b) O pagamento nico que a empresa dever fazer no final do financiamento, caso deixe de amortizar as 3(trs) ltimas parcelas semestrais.

Soluo:

PV = 5.000.000,00

n = 6 prestaes semestrais diferidas antecipadas

k = 2 semestres

i = 32,25% a.a. = 15% a.s.

(a) PMT = ?

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6 7

PMT = R$ 1.519.362,21

(b)

PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6 7

Montante das 3 ltimas parcelas

Considerando como sendo uma srie imediata antecipada, tem-se:

1519362,213,993375

R$ 6.067.383,07Exemplo 06 (Roberto pg. 280 Problema proposto 20)

Se se faz atualmente um depsito de R$ 100.000,00 em uma Caderneta de Poupana, que fornece uma taxa de juros compostos de 4% a.m., pergunta-se: durante quanto tempo se pode fazer retiradas mensais de R$ 8.994,11 a fim de que, com a ltima retirada, nada reste como saldo na conta?

Soluo:

PV = R$ 100.000,00

PMT = R$ 8.994,11

FV = 0

i = 4% a.m.

n = ? depsitos mensais

Vamos agora utilizar o logaritmo:

Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos:



f FIN

100000 CHS PV

8994,11 PMT

4

i

n 15 depsitos mensais


Um financiamento de R$ 100.000,00 foi solicitado para ser resgatado taxa de juros compostos de 4,5% a.m., durante 13 meses, mediante prestaes mensais antecipadas, com uma carncia de 3 (trs) meses antes da primeira prestao. Pedem-se:

(a) Valor da Prestao mensal;

(b) Saldo devedor remanescente no exato momento aps o 6 pagamento.

Soluo:

PV = R$ 100.000,00

i = 4,5%a.m.

n = 10 prestaes mensais antecipadas

k = 3 meses

PMT PMT ... PMT

0 1 2 3 4 ... 12 13

(a) PMT = ?

PMT = R$ 13.800,88(b)

... PMT PMT PMT PMT

0 ... 8 9 10 11 12 13

n = 4 prestaes mensais postecipadas

R$ 49.511,02

AULA 22/05/2004SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS

SISTEMA FRANCS (SFA) TABELA PRICECONCEITO

A amortizao um processo financeiro pelo qual uma dvida ou obrigao paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao trmino do prazo estipulado o dbito seja liquidado. Essas parcelas ou prestaes so a soma de duas partes: a amortizao ou devoluo do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do emprstimo ainda no amortizados.

Essa separao permite discriminar o que representa devoluo do principal (amortizao) do que representa servio da dvida (juros). Ela importante para as necessidades jurdico-contbeis e na anlise de investimentos, em que os juros, por serem dedutveis para efeitos tributveis tm um efeito fiscal.

Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortizao de emprstimos temos: Sistema de Amortizao Francs (conhecido tambm como Sistema Price), Sistema de Amortizao Constante (SAC), Sistema de Amortizao Americano e o Sistema Misto conhecido como Sistema de Amortizao Crescente (Sacre). Muitas vezes os bancos e as instituies financeiras criam sistemas de amortizao especficos, no-convencionais, adequados a determinadas situaes ou caractersticas do mercado ou dos clientes.

Para melhor compreenso dos termos utilizados em emprstimos e amortizaes, apresentaremos a seguir as definies de alguns destes termos:a)Mutuante ou credor: aquele que dispe do dinheiro e concede o emprstimo.

b)Muturio ou devedor: aquele que recebe o emprstimo.

c)Taxa de juros: a taxa contratada entre as partes. Pode referir-se ao custo efetivo do emprstimo ou no, dependendo das condies adotadas, e sempre calculada sobre o saldo devedor.

d) IOF: Imposto sobre Operaes Financeiras.e) IOC: Imposto sobre Operaes de Crdito.f) Crdito: Transao comercial em que um comprador recebe imediatamente um bem ou servio adquirido, mas s far o pagamento depois de algum tempo determinado. Essa transao pode tambm envolver apenas dinheiro. O crdito inclui duas noes fundamentais: confiana, expressa na promessa de pagamento, e tempo entre a aquisio e a liquidao da dvida.

g)Prazo de utilizao: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o emprstimo transferido do credor para o devedor. Caso seja em uma parcela, este prazo dito unitrio.

h)Prazo de carncia: corresponde ao perodo compreendido entre o prazo de utilizao e o pagamento da primeira amortizao. Caso as amortizaes forem antecipadas, a primeira amortizao acontecer exatamente na data final de carncia; no entanto, se as amortizaes forem postecipadas, temos sempre mais um intervalo, que caracterstica das amortizaes postecipadas. Durante o prazo de carncia, portanto, o tomador do emprstimo pode pagar os juros, quando assim estiver combinado. Considera-se que existe carncia quando este prazo diferente ao perodo de amortizao das parcelas. possvel tambm que as partes concordem em que os juros devidos no prazo de carncia sejam capitalizados e pagos posteriormente, juntamente com o principal, ou numa s parcela na primeira amortizao.i)Parcelas de amortizao: correspondem s parcelas de devoluo do principal, ou seja, do capital emprestado.

j)Prazo de amortizao: o intervalo de tempo durante o qual so pagas as amortizaes.

k)Prestao: o soma da amortizao, juros e outros encargos, pago em dado perodo.

l)Planilha: um quadro, padronizado ou no, onde so colocados os valores referentes ao emprstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento ou de desembolso.

mPrazo total do financiamento: a soma do prazo de carncia com o prazo de amortizao.

n)Saldo devedor: o valor do emprstimo a pagar ou receber em determinado momento. o resultado do saldo anterior (menos) o valor da amortizao ou, durante a carncia, o saldo anterior + (mais) os juros no pagos.

o)Perodo de amortizao: o intervalo de tempo existente entre duas amortizaes sucessivas.

SISTEMTICA GERAL DOS FINANCIAMENTOS

A cada valor financiado (PV) corresponde uma contrapartida de n parcelas (ou pagamentos) ao longo do prazo de contratao do financiamento. Vejamos o diagrama abaixo:

PV PMT1 PMT2 PMT3 ... PMTt ... PMTn

0 1 2 3 ... t ... n

Por sua vez, cada uma dessas parcelas PMTt (t = 1,2,3,...,n), que podem ser constantes ou variveis em termos reais ou nominais, traz intrisecamente um quantum representativo do principal denominado quota de amortizao, e de uma outra parte correspondente aos juros de amortizao. De forma que, se representarmos, respectivamente, por qt e jt, essas partes representativas de cada prestao Pt, teremos:

Alm dessa relao, podemos adiantar que todos os sistemas de amortizao abordados neste estudo levaro em conta relaes bsicas que norteiam os financiamentos no que diz respeito ao:

(a) Somatrio das quotas de amortizao:

= valor financiado

(b) Somatrio dos juros de amortizao:

= juro total do financiamento

(c) Juro de amortizao da prestao PMTt:

Onde: i = taxa de financiamento

SDt-1 = saldo devedor do perodo t-1

(d) Saldo devedor na data t:

ou

SISTEMA FRANCS (SF) - TABELA PRICE

A denominao Sistema de Amortizao Francs vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na Frana, no sculo XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestaes iguais, peridicas e sucessivas. o mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce medida que as prestaes so pagas, eles so decrescentes e, conseqentemente, as amortizaes do principal so crescentes.

O Sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista ingls Richard Price, o qual incorporou a teoria do juro composto s amortizaes de emprstimos, no sculo XVIII. Basicamente a Tabela Price um caso particular do Sistema de Amortizao Francs, em que a taxa de juros dada em termos nominais (na prtica dada em termos anuais) e as prestaes tm perodo menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizaes so pagas em base mensal). Nesse sistema, o clculo das prestaes feito usando-se a taxa proporcional ao perodo a que se refere a prestao, calculada a partir da taxa nominal.

Representao grfica:

PMTt

q1

qn

PMT PMT

J1

jn t

0 1 n

No clculo dos diversos parmetros que compe o sistema, iremos considerar a existncia de um mercado de capitais perfeito, em que somente h uma taxa i para os financiamentos e para os excedentes de poupana postos disposio dos ofertantes de recursos. Desse modo, admitindo o fluxo de caixa a seguir para um valor financiado (PV) e as correspondentes n parcelas de pagamento PMT, nesse sistema teremos:

Valor das prestaes no perodo t

Saldo devedor

Juros

Amortizao


Um financiamento de R$ 120.000,00 solicitado pela Tabela Price para ser amortizado durante 18 meses, sendo os 13 primeiros meses de carncia, taxa de 168% a.a. (nominal). Sabendo-se que as prestaes so mensais antecipadas e que so pagos juros no perodo de carncia, elaborar a planilha de desembolso para o financiamento.

Soluo:

PV = 120.000

n = 6 prestaes mensais antecipadas


j = 168% a.a. cap. mensalmente, ento i = = 14 % a.m.

So pagos juros no perodo de carncia.

Ms

(t) Saldo devedor

Amortizao

Juros

Prestaes

0120.000,00---

1120.000,00-16.800,0016.800,00

2120.000,00-16.800,0016.800,00

3120.000,00-16.800,0016.800,00

4120.000,00-16.800,0016.800,00

5120.000,00-16.800,0016.800,00

6120.000,00-16.800,0016.800,00

7120.000,00-16.800,0016.800,00

8120.000,00-16.800,0016.800,00

9120.000,00-16.800,0016.800,00

10120.000,00-16.800,0016.800,00

11120.000,00-16.800,0016.800,00

12120.000,00-16.800,0016.800,00

13105.941,0014.058,9016.800,0030.858,90

1489.913,9516.027,1514.831,7530.858,90

1571.643,0018.270,9512.587,9530.858,90

1650.814,1220.828,8810.030,0230.858,90

1727.069,2023.744,927.113,9830.858,90

180,0027.069,213.789,6930.858,90

AULA 26/05/2004SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC)

Pelo Sistema de Amortizao Constante (SAC), o principal reembolsado em quotas de amortizao iguais. Dessa maneira, nesse sistema as prestaes so decrescentes, j que os juros diminuem a cada prestao. A amortizao calculada dividindo-se o valor do principal pelo nmero de perodos de pagamento. Esse tipo de sistema as vezes usado pelo Sistema Financeiro de Habitao (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobilirios e tambm, em certos casos, em emprstimos s empresas privadas atravs de entidades governamentais.

Representao grfica:

PMTt

J1 jn

PMT1 PMTn

q q

t

0 1 n

Nesse sistema temos:

Logo,

Amortizao

As quotas de amortizao so constantes e calculadas dividindo-se o valor do principal inicial pelo nmero de perodos de pagamento:

Se PV = nq

Saldo devedor

O saldo devedor em um determinado perodo igual ao principal inicial menos soma das amortizaes j pagas:

SDt = PV - tq

Juros

Os juros em t so calculados sobre o saldo devedor em t-1:

Substituindo expresses, simplificando e destacando Jt:


Os juros em t so calculados sobre o saldo devedor em t-1:

Substituindo qt e Jt na expresso anterior e simplificando, tem-se:

Exemplo 01

Elaborar a planilha de amortizao para o seguinte financiamento: Valor do financiamento de R$ 200.000,00;

Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC; e

Taxa de juros efetivas de 10% a.m.Soluo:

Clculo das amortizaes:

Ms

(t) Saldo devedor

SDt = PV - tqAmortizao

q

Juros

Prestaes

0200.000---

1150.00050.00020.00070.000

2100.00050.00015.00065.000

350.00050.00010.00060.000

4-50.0005.00055.000

Exemplo 02

Um emprstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10%a.m., ser pago em trs prestaes mensais com carncia de trs meses. Construir a planilha de amortizao no sistema SAC.Soluo:

Durante a carncia os juros so capitalizados e incorporados ao principal. Logo, a amortizao deve ser calculada com base no financiamento capitalizado por dois meses (k-1 meses, onde k=3).

Clculo das amortizaes:

Ms

(t) Saldo devedor

SDt = PV - tqAmortizao

q

Juros

Prestaes

0200.000,00---

1220.000,00-20.000,00-

2242.000,00-22.000,00-

3161.333,3380.666,6724.200,00104.866,67

4 80.666,6780.666,6716.133,33 96.800,00

5-80.666,67 8.066,67 88.733,33

Exemplo 03

Um financiamento de $50.000,00 foi contratado a juros efetivos de 12% a.a. e ser pago em 48 prestaes mensais pelo SAC. Calcular o juro a ser pago no 25 ms e o saldo devedor e a amortizao do 30 ms.Soluo: Taxa de juros efetiva mensal

= 0,948879% a.m.

Juros do 25 ms

Jt = $ 237,22

Saldo devedor no 30 ms

SDt = $ 18.750,00

Amortizao do 30 ms

q = $1.041,67

SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAO (SAA)

Neste esquema de amortizao o principal restitudo por meio de uma parcela nica ao fim da operao. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado.

O devedor pode constituir um fundo de amortizao do emprstimo (sinking fund), no qual deposita periodicamente as quotas de amortizao. Essas quotas, por sua vez, devem render juros de tal modo que, na data de pagamento do principal, o saldo desse fundo de amortizao seja igual ao capital a pagar, liquidando, dessa maneira, o emprstimo.

Se a taxa de aplicao do sinking fund for menor que a taxa qual o financiamento foi contratado (i), o dispndio total feito pelo devedor em cada perodo ser maior que a prestao calculada no Sistema Price. Isto , o custo financeiro do Sistema de Amortizao Americano ser maior que o custo financeiro do Sistema Price.

SAA SEM FORMAO DE FUNDO DE AMORTIZAO


Saldo devedorNo sofrer alterao at o final do perodo de amortizao, quando o mesmo zerado.

Juros

Amortizao

Ao final do prazo de emprstimo (data n), juntamente com a ltima parcela de juros (j), devolvido o valor do financiamento (PV).

SAA COM FORMAO DE FUNDO DE AMORTIZAO


Saldo devedor

Onde: a taxa de aplicao do sinking fund

Juros

Amortizao


Um financiamento de R$ 500.000,00 solicitado pelo Sistema Americano de Amortizao taxa de 18% a.m. para retorno em 4 meses. Admitindo a taxa de captao de poupana igual a 15% a.m. no perodo do financiamento, elaborar planilhas de desembolso nas condies de se considerar:

a) Sistema Americano sem formao de Fundo de Amortizao

b) Sistema Americano com formao de Fundo de Amortizao

Soluo:

PV = 500.000,00

Prazo do emprstimo: 4 meses

i = 18% a.m.

= 15% a.m.

a) S.A.A. sem formao de fundo de amortizao.

PV FV

J J J J

0 1 2 3 4

J = i PV = 0,18 500,000 = 90.000,00

Ao final do prazo do emprstimo (data 4), juntamente com a ltima parcela de juros (J=90.000,00), devolvido o valor do financiamento (PV=500.000,00).Ms

(t) Saldo devedor

Amortizao

Juros

Prestaes

PMT = q+J

0500.000,00---

1500.000,00-90.000,0090.000,00

2500.000,00-90.000,0090.000,00

3500.000,00-90.000,0090.000,00

40,00500.000,0090.000,00590.000,00

b) S.A.A. com formao de fundo de amortizao.J = i PV = 0,18 500,000 = 90.000,00

Ms

(t) Saldo devedor

Amortizao

Juros

Prestaes

0500.000,00---

1399.867,32100.132,6890.000,00190.132,68

2284.714,74100.132,6890.000,00190.132,68

3152.289,28100.132,6890.000,00190.132,68

40,00100.132,6890.000,00190.132,68

AULA 29/05/2004EXEMPLOS DE APLICAOExemplo 01

Uma dvida de $1.500,00 contratadas a juros nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, ser amortizada pela Tabela Price em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Pede-se determinar:

a) o saldo devedor ao fim do 3 ano;

b) o saldo devedor ao trmino do 14 trimestre;

c) a distribuio do 20 pagamento em juros e amortizao da dvida;

d) o total de juros pagos no perodo.

Soluo:

PV = 1.500.000,00n = 32 prestaes trimestrais

i = 36/4 = 9% a.t.

Ms

(t)Saldo devedor

Amortizao

Juros

Prestaes

01.500.000,00-- 144.144,28

11.490.855,72 9.144,28 135.000,00 144.144,28

21.480.888,46 9.967,26 134.177,01 144.144,28

31.470.024,14 10.864,32 133.279,96 144.144,28

41.458.182,03 11.842,11 132.302,17 144.144,28

51.445.274,14 12.907,90 131.236,38 144.144,28

61.431.204,53 14.069,61 130.074,67 144.144,28

71.415.868,66 15.335,87 128.808,41 144.144,28

81.399.152,56 16.716,10 127.428,18 144.144,28

91.380.932,01 18.220,55 125.923,73 144.144,28

101.361.071,61 19.860,40 124.283,88 144.144,28

111.339.423,77 21.647,83 122.496,44 144.144,28

121.315.827,64 23.596,14 120.548,14 144.144,28

131.290.107,84 25.719,79 118.424,49 144.144,28

141.262.073,27 28.034,57 116.109,71 144.144,28

151.231.515,59 30.557,68 113.586,59 144.144,28

161.198.207,71 33.307,88 110.836,40 144.144,28

171.161.902,12 36.305,59 107.838,69 144.144,28

181.122.329,04 39.573,09 104.571,19 144.144,28

191.079.194,37 43.134,67 101.009,61 144.144,28

201.032.177,58 47.016,79 97.127,49 144.144,28

21 980.929,29 51.248,30 92.895,98 144.144,28

22 925.068,64 55.860,64 88.283,64 144.144,28

23 864.180,54 60.888,10 83.256,18 144.144,28

24 797.812,51 66.368,03 77.776,25 144.144,28

25 725.471,36 72.341,15 71.803,13 144.144,28

26 646.619,50 78.851,86 65.292,42 144.144,28

27 560.670,98 85.948,52 58.195,76 144.144,28

28 466.987,09 93.683,89 50.460,39 144.144,28

29 364.871,65 102.115,44 42.028,84 144.144,28

30 253.565,81 111.305,83 32.838,45 144.144,28

31 132.242,46 121.323,36 22.820,92 144.144,28

32 0,00 132.242,46 11.901,82 144.144,28

Total1.500.000,003.112.616,934.756.761,21

a) Saldo devedor ao fim do 3 ano = 1.315.827,63b) Saldo devedor ao trmino do 14 trimestre = 1.267.073,27

c) Distribuio do 20 pagamento em: juros = 97.127,49 amortizao da dvida = 47.016,79

d) Total de juros pagos no perodo = 3.112.616,93

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PRESTAO = AMORTIZAO + JUROS

EMBED Equation.3

ou

EMBED Equation.2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

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Aulas Mat Fin 2GQ2004-1