GN 302 – Contabilidade I - Matemática Financeira

• I Definição de Juros: Simples e Compostos

1

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

2

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; •Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva;•Utilização na HP12C e no Excel;

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; •Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva;•Utilização na HP12C e no Excel;

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

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Juros e Taxa de Juros

Juros: Os juros são a remuneração do capital.

Ao emprestarmos uma quantia, por um determinado período de tempo, cobramos do tomador do empréstimo uma certa importância. Tal importância é chamada de juros.

Os juros correspondem ao dinheiro pago pelo uso do dinheiro tomado emprestado.Os juros são o salário do risco e da paciência.

Juros e Taxa de Juros

Juros: Os juros são a remuneração do capital.

Ao emprestarmos uma quantia, por um determinado período de tempo, cobramos do tomador do empréstimo uma certa importância. Tal importância é chamada de juros.

Os juros correspondem ao dinheiro pago pelo uso do dinheiro tomado emprestado.Os juros são o salário do risco e da paciência.

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

4

Taxa de Juros: A taxa de juros é a forma de se medir os juros. A taxa de juros representa os juros pagos (ou recebidos) pela utilização de 1 unidade de capital pelo prazo de 1 unidade de tempo. A taxa de juros traduz a relação entre os juros e o capital por unidade de tempo.

Taxa de Juros: A taxa de juros é a forma de se medir os juros. A taxa de juros representa os juros pagos (ou recebidos) pela utilização de 1 unidade de capital pelo prazo de 1 unidade de tempo. A taxa de juros traduz a relação entre os juros e o capital por unidade de tempo.

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

5

A taxa de juros refere-se sempre a um determinado período de tempo (o dia, o mês, o trimestre, o semestre, o ano). A taxa de juros, indicada por "i" , pode ser apresentada de duas formas: Forma percentual: 6% a.m ; 12% a.s ; 36% a.aForma decimal: 0,06 ; 0,12 ; 0,36

A taxa de juros refere-se sempre a um determinado período de tempo (o dia, o mês, o trimestre, o semestre, o ano). A taxa de juros, indicada por "i" , pode ser apresentada de duas formas: Forma percentual: 6% a.m ; 12% a.s ; 36% a.aForma decimal: 0,06 ; 0,12 ; 0,36

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

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A forma percentual é a forma usualmente empregada para informar, nos contratos financeiros, a taxa de juros da transação. A forma decimal da taxa de juros é a sua forma de trabalho. É sempre utilizada nos diversos cálculos financeiros.

A forma percentual é a forma usualmente empregada para informar, nos contratos financeiros, a taxa de juros da transação. A forma decimal da taxa de juros é a sua forma de trabalho. É sempre utilizada nos diversos cálculos financeiros.

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

7

Juros Simples: São, por definição, os juros calculados unicamente sobre o Capital Inicial ao longo de todo o prazo da transação financeira: Fórmula: J = P. i . n Exemplo: Quais os juros de um capital de R$500,00 aplicado à taxa de juros de 6% a.a., no fim de 2 anos: J = P. i . n J = 500 x 0,06 x 2 = R$60,00

Juros Simples: São, por definição, os juros calculados unicamente sobre o Capital Inicial ao longo de todo o prazo da transação financeira: Fórmula: J = P. i . n Exemplo: Quais os juros de um capital de R$500,00 aplicado à taxa de juros de 6% a.a., no fim de 2 anos: J = P. i . n J = 500 x 0,06 x 2 = R$60,00

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

8

A fórmula J = P. i . n (como de resto qualquer das fórmulas da Matemática Financeira) só pode ser empregada se o prazo da aplicação estiver expresso na mesma unidade de tempo em que está expressa a taxa de juros da operação financeira. Desse modo, quando a taxa de juros for anual e o prazo da operação estiver indicado em meses ou dias, teremos: (a) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/12 (b) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/360

A fórmula J = P. i . n (como de resto qualquer das fórmulas da Matemática Financeira) só pode ser empregada se o prazo da aplicação estiver expresso na mesma unidade de tempo em que está expressa a taxa de juros da operação financeira. Desse modo, quando a taxa de juros for anual e o prazo da operação estiver indicado em meses ou dias, teremos: (a) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/12 (b) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/360

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

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Montante: Chama-se montante S, de um principal P que foi colocado a render juros, à soma desse principal P com os juros que lhe são devidos ao fim do prazo da aplicação.

Por definição: S = P + J Como no Regime de Juros Simples J = P . i . n , temos que S = P + P . i . n Temos então a Fórmula: S = P. ( 1 + i . n )

Montante: Chama-se montante S, de um principal P que foi colocado a render juros, à soma desse principal P com os juros que lhe são devidos ao fim do prazo da aplicação.

Por definição: S = P + J Como no Regime de Juros Simples J = P . i . n , temos que S = P + P . i . n Temos então a Fórmula: S = P. ( 1 + i . n )

•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;

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Valor Atual: É o Valor Presente, a uma determinada taxa de juros, do Valor Final de um compromisso futuro. Nos Juros Simples temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula:P = S (1 + i . n)Exemplo: O Valor Atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma Nota Promissória de R$2.000,00 vencível em 9 meses, corresponde a: P = S. 1 P = 2000 . 1 P = R$1.834,86 (1 + i . n) 1 + 0,12 . 9/12 3

Valor Atual: É o Valor Presente, a uma determinada taxa de juros, do Valor Final de um compromisso futuro. Nos Juros Simples temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula:P = S (1 + i . n)Exemplo: O Valor Atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma Nota Promissória de R$2.000,00 vencível em 9 meses, corresponde a: P = S. 1 P = 2000 . 1 P = R$1.834,86 (1 + i . n) 1 + 0,12 . 9/12 3

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

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Juros Simples e Juros Compostos:

Regime de Capitalização Simples ou Regime de Juros Simples: só o principal rende juros ao longo da vida do investimento.

Regime de Capitalização Composta ou Regime de Juros Compostos: após cada período os juros são incorporados ao principal, e o novo principal passa, por sua vez, a render juros.

Juros Simples e Juros Compostos:

Regime de Capitalização Simples ou Regime de Juros Simples: só o principal rende juros ao longo da vida do investimento.

Regime de Capitalização Composta ou Regime de Juros Compostos: após cada período os juros são incorporados ao principal, e o novo principal passa, por sua vez, a render juros.

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

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Regime de Capitalização Composta :

O período de tempo entre incorporações consecutivas de juros chama-se período de capitalização.

Exemplo: Consideremos R$200,00 aplicados à taxa de juros de 10% a.a. durante 4 anos.

Regime de Capitalização Composta :

O período de tempo entre incorporações consecutivas de juros chama-se período de capitalização.

Exemplo: Consideremos R$200,00 aplicados à taxa de juros de 10% a.a. durante 4 anos. Capital Juros Simples Juros Compostos

No fim do 1°ano 200 + 0,10 x 200 = 220 200 + 0,10 x 200 = 220

No fim do 2°ano 220 + 0,10 x 200 = 240 220 + 0,10 x 220 = 242

No fim do 3°ano 240 + 0,10 x 200 = 260 242 + 0,10 x 242 = 266,2

No fim do 4°ano 260 + 0,10 x 200 = 280 266,2 + 0,10 x 266,2 = 292,8

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

13

Problema: Determinar a quantia S que seria obtida pela aplicação do capital P, à taxa de juros compostos i, durante n períodos.

Problema: Determinar a quantia S que seria obtida pela aplicação do capital P, à taxa de juros compostos i, durante n períodos.

nn

i = 1% a.m i = 1% a.m

PP

1 2 3 ...............................1 2 3 ...............................

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

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Períodos Juros Montante

0 --- P

1 P. i P . (1+i)

2 P . (1+i) . i P . (1+i)2

3 P . (1+i)2 . i P . (1+i)3

... ... ...

n P . (1+i)n-1 . i P . (1+i)n

Logo: S = P x (1+ i)n Montante = Principal x (1 + taxa)nº de capitalizações

Logo: S = P x (1+ i)n Montante = Principal x (1 + taxa)nº de capitalizações

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

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Logo: S = P . (1+i)n

P = S . 1 (1 + i)n

n = log(S/P) log(1+i)

Logo: S = P . (1+i)n

P = S . 1 (1 + i)n

n = log(S/P) log(1+i)

•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

16

O fator (1 + i)n é chamado de Fator de Valor Futuro ou

Fator de Capitalização Composta que permite, dado P (Valor Presente ou Capital Inicial), calcularmos S (Valor Futuro ou Montante).

O fator (1 + i)n é chamado de Fator de Valor Futuro ou

Fator de Capitalização Composta que permite, dado P (Valor Presente ou Capital Inicial), calcularmos S (Valor Futuro ou Montante).

•Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.

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Quando o juro é composto mais frequentemente do que

uma vez por ano, a taxa anual dada é denominada taxa nominal. Taxa Nominal de juros é aquela onde o período de tempo a que se refere a taxa não coincide com o período de capitalização. Exemplos:36% a.a. compostos mensalmente 18% a.a. compostos semestralmente 8% a.a. compostos trimestralmente

Quando o juro é composto mais frequentemente do que

uma vez por ano, a taxa anual dada é denominada taxa nominal. Taxa Nominal de juros é aquela onde o período de tempo a que se refere a taxa não coincide com o período de capitalização. Exemplos:36% a.a. compostos mensalmente 18% a.a. compostos semestralmente 8% a.a. compostos trimestralmente

•Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.

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Exemplos:

Qual a taxa efetiva anual correspondente a 24% a.a. compostos:a) mensalmente ie = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,268 i = 26,8%aab) trimestralmente ie = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,262 i = 26,2%aac) semestralmente ie = (1 + 0,12)2 - 1 = 0,254 i = 25,4%aa

Exemplos:

Qual a taxa efetiva anual correspondente a 24% a.a. compostos:a) mensalmente ie = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,268 i = 26,8%aab) trimestralmente ie = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,262 i = 26,2%aac) semestralmente ie = (1 + 0,12)2 - 1 = 0,254 i = 25,4%aa

•Utilização na HP12C e no Excel.

19

Utilização no Excel Mais completo do que a HP12c, o Excel possui uma gama de funções que nos auxiliam na montagem de planilhas, aberturas de cálculos e simulações agilizando a análise do profissional.

Abordaremos as seguintes fórmulas financeiras:=PGTO()=NPER()=VP()=VF()=TAXA()

Utilização no Excel Mais completo do que a HP12c, o Excel possui uma gama de funções que nos auxiliam na montagem de planilhas, aberturas de cálculos e simulações agilizando a análise do profissional.

Abordaremos as seguintes fórmulas financeiras:=PGTO()=NPER()=VP()=VF()=TAXA()

•Utilização na HP12C e no Excel.

20

Utilização no Excel Para cálculo da prestação, (Price) usaremos a “=PGTO”Utilização no Excel Para cálculo da prestação, (Price) usaremos a “=PGTO”

•Utilização na HP12C e no Excel.

21

Utilização no Excel A “=PGTO” é composta por: Utilização no Excel A “=PGTO” é composta por:

•Utilização na HP12C e no Excel.

22

Utilização no ExcelPara acharmos n ou o número de prestações, “=nper”Utilização no ExcelPara acharmos n ou o número de prestações, “=nper”

•Utilização na HP12C e no Excel.

23

Utilização no Excel A “=nper” é composta por: Utilização no Excel A “=nper” é composta por:

•Utilização na HP12C e no Excel.

24

Utilização no ExcelE assim para VP, VF e Taxa o mesmo mecanismo.

O mais complexo não está no uso das fórmulas, mas sim em bolar estruturas de cálculo que cheguem o mais próximo da realidade possível.

Utilização no ExcelE assim para VP, VF e Taxa o mesmo mecanismo.

O mais complexo não está no uso das fórmulas, mas sim em bolar estruturas de cálculo que cheguem o mais próximo da realidade possível.

•Utilização na HP12C e no Excel.

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Utilização no ExcelComposição da tabela Price:Utilização no ExcelComposição da tabela Price:

•Utilização na HP12C e no Excel.

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•Utilização na HP12C e no Excel.

27

•Utilização na HP12C e no Excel.

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Resolução de Problemas Com HP12C:

1 – O banco me oferece duas opções de investimentos: a primeira remunera 6,5% a.a. capitalizados semestralmente, a segunda 1,1% a.m capitalizados mensalmente. Qual a mais atrativa em 12 meses?

Resolução de Problemas Com HP12C:

1 – O banco me oferece duas opções de investimentos: a primeira remunera 6,5% a.a. capitalizados semestralmente, a segunda 1,1% a.m capitalizados mensalmente. Qual a mais atrativa em 12 meses?

6,5% a.a. 13,4225%1,1% a.m. 14,0286%

•Utilização na HP12C e no Excel.

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Resolução de Problemas Com HP12C:

2 – Resolvo comprar um carro no valor de R$ 30.000,00, em 48 vezes, a uma taxa de 1,5% a.m, sem entrada e primeira para 90 dias. Qual o valor da prestação?

Resolução de Problemas Com HP12C:

2 – Resolvo comprar um carro no valor de R$ 30.000,00, em 48 vezes, a uma taxa de 1,5% a.m, sem entrada e primeira para 90 dias. Qual o valor da prestação?

30.000,00 31.370,35PMT1,5;48 921,50

•Utilização na HP12C e no Excel.

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Resolução de Problemas Com HP12C:

3 – Qual o valor de PI no fluxo de caixa abaixo:

Resolução de Problemas Com HP12C:

3 – Qual o valor de PI no fluxo de caixa abaixo:

n=12n=12

00

PIPI

i=1,5%i=1,5%

PIIPII

n=6n=6

PIIPII

i= 2%i= 2%

8.751,998.751,99

•Utilização na HP12C e no Excel.

31

Resolução de Problemas Com HP12C:

4 – Qual o equivalente em 48 meses de uma taxa 7% a.a capitalizados semestralmente?

Resolução de Problemas Com HP12C:

4 – Qual o equivalente em 48 meses de uma taxa 7% a.a capitalizados semestralmente?

7% a.a 1,0351,0358 31,68%

•Utilização na HP12C e no Excel.

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Resolução de Problemas Com HP12C:

5 – Qual o tempo necessário para juntar R$ 60.000, efetuando depósitos de 3.000 e remunerados 0,5% a.m?

Resolução de Problemas Com HP12C:

5 – Qual o tempo necessário para juntar R$ 60.000, efetuando depósitos de 3.000 e remunerados 0,5% a.m?

20 meses