AVALIAÇÃO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO …

19 a 21 de setembro de 2017
AVALIAÇÃO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO, CONFORME EUROCODE 2 E NBR 6118:2014
Paulo César Ferreira Dias Filho ([email protected]) Paloma Colmana Martins de Figueiredo ([email protected])
Resumo: O estudo da estimativa de deformações em vigas de concreto armado é uma máxima entre os engenheiros projetistas, que devem quantifi car a magnitude do deslocamento máximo no qual a peça está solicitada, afi m de prever e prevenir possíveis manifestações patológicas que venham causar algum dano aos elementos estruturais e não estruturais, bem como desconforto ao usuário. A presente pesquisa traz uma abordagem teórica entre os métodos de cálculo de deformações segundo duas referências normativas. Através de uma viga simplesmente apoiada de concreto armado, são feitas as estimativas das fl echas segundo o método brasileiro contido na ABNT NBR 6118/2014 e em função da curvatura do elemento estrutural, disposto no EUROCODE 2 (1992). Esse estudo examina a acurácia dos métodos práticos ou simplifi cados para predições das fl echas de vigas em serviço, em relação ao método do EUROCODE 2 (1992), mostrando que modelos que calculam deformações pela curvatura da peça sobressaem sobre modelos práticos por terem uma abordagem mais completa quanto considerações de fatores como a fl uência e retração do concreto. Ao decorrer do trabalho e no fi nal, são feitas considerações quanto ao uso dos métodos. Palavras-chave: Flechas. Vigas. Concreto armado.
Abstract: The study of the estimation of deformations in reinforced concrete beams is a maxim among the design engineers, who must quantify the magnitude of the maximum displacement in which the piece is requested, in order to predict and prevent possible pathological manifestations that may cause some damage to the structural and non-structural elements, as well as discomfort to the user. The present research brings a approach theoretical with two diff erent models of calculation of deformation in reinforced concrete beams. The deformations are estimated through simply supported beam of the brazilian code ABNT NBR 6118:2014 and the behavior of structural element according the EUROCODE 2 (1992).This work check the accuracy of the practical and simplifi ed methods for prediction of deformations for beam performance in service toward the EUROCODE method, showing that models that take into account the curvature get advantage over the models simplifi ed because they have an full approach about to consider the infl uence of creep and shrinkage of the concrete. At the course this work and at the end, considerations are made regarding the use of the methods. Keywords: Defl ections. Beams. Reinforced concrete.
INTRODUÇÃO
Parte do projeto e dimensionamento de estruturas de concreto armado deve-se à consideração dos es- forços levados até a ruína estrutural e parte ao desempenho em serviço da peça projetada. A engenharia do século passado tomava como ótica as estruturas mais robustas e, com isso, mais rígidas, tornando-as menos efi cientes e mais onerosas. Com o decorrer dos anos, graças ao avanço dos estudos e técnicas de análise estrutural, bem como, tecnologias construtivas e dos materiais, pode-se projetar de maneira mais efi ciente, aproveitando ao máximo a capacidade resistente dos materiais tornando, consequentemente, os elementos estruturais mais esbeltos. O resultado disso foi o aparecimento de deformações maiores e, com isso, um estado de fi ssuração mais avançado que podem comprometer a durabilidade e o uso da edifi cação. Destacando-se, neste âmbito, a verifi cação quanto aos estados limites de serviço prescritos nas normas que contemplam essas verifi cações. No contexto da análise estrutural, este trabalho estuda os deslocamentos de vigas de concreto armado, buscando-se avaliar os deslocamentos por meio de formulações que levam em conta a colaboração
Revista FENEC - 1(2): 205-214, setembro, 2017 205
Paulo C. F. D. F.; Paloma C. M. de F. Avaliação de deslocamentos em vigas de concreto armado, conforme Eurocode 2 e NBR 6118:2014.
do concreto tracionado entre zonas fissuradas, com a formulação emitida pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014)[1].
Estados limites Uma estrutura bem projetada deve atender a três hipóteses básicas de dimensionamento: segurança, bom
desempenho e durabilidade, além da estética e economia. Essas hipóteses são verificadas pelos estados limites, que representam situações em que inviabilizam a utilização da estrutura por alguma deficiência quanto à finalidade para qual foi dimensionada, isto significa dizer que ela atingiu um estado limite. Os estados limites são classificados em estado limite último e estado limite de serviço. Dessa forma, as estruturas são dimensio- nadas com relação à capacidade de carga última e à capacidade de carga de uso. Neste trabalho, torna-se fo- co o estado limite de deformações excessivas, em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal.
Deformações As cargas que agem transversalmente ao eixo longitudinal das vigas acabam por causarem deformações,
curvando seu eixo longitudinal. Dizer que um elemento estrutural sofreu um deslocamento, significa dizer que os pontos de seu eixo estão deslocados em relação à posição original. Neste sentido, as normas apresentam dois tipos de deslocamentos: imediato e diferido. O deslocamento imediato é aquele que surge logo após a retirada do escoramento, no caso de vigas e lajes. O outro tipo de deslocamento se processa com o passar do tempo e é conhecido também como deslocamento de longa duração. A magnitude dos deslocamentos é função da solici- tação imposta e dos efeitos dependentes do tempo.
1. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
O cálculo de deslocamentos por diversos métodos pressupõe uma abordagem em comum na aplicação de alguns parâmetros: influência das armaduras no momento de inércia e no momento de fissuração.
Para se considerar a influência das armaduras de tração e compressão no cálculo do momento de inér- cia da seção, é possível utilizar uma seção homogeneizada, na qual substitui a área de aço por uma área equivalente de concreto. A homogeneização da seção se faz pela multiplicação da razão modular (Es/Ec), re- presentada pela área de aço da seguinte maneira: As, para a armadura de tração e αe As, para a armadura de compressão.
Considerando-se a seção transversal não fissurada, ilustrada na Figura 1, de um elemento submetido à flexão simples, para o cálculo do momento de inércia da seção homogeneizada, deve-se inicialmente determi- nar a posição da linha neutra. Esta pode ser obtida igualando-se a zero, o momento estático em relação à linha neutra. Desta forma, tem-se:
(Eq. 1)
(Eq. 2)
Sendo b: largura da seção transversal; h: altura da seção transversal; αe: razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; d: a distância do centro de gravidade da armadura de tração até a fibra mais comprimida; d’: a distância do centro de gravidade da armadura de compressão até a fibra mais comprimida; As: a área de aço da armadura de tração; A's: a área de aço da armadura de compressão; x1: a altura da linha neutra, em relação à face comprimida; I1: o momento de inércia da seção não fissurada homogeneizada.
Figura 1. Seção transversal não fissurada
Fonte: Guarda (2005).
Analisando a Figura 2, seção fissurada de um elemento submetido à flexão simples, o cálculo do momento de inércia agora, não considera o concreto sob tração, região tracejada na Figura 2. Assim, a linha neutra no estádio II é obtida a partir de:
(Eq. 3)
(Eq. 4)
Em que xII é a altura da linha neutra da seção fissurada, em relação à face comprimida, e III é o momento de inércia da seção fissurada no Estádio II.
Figura 2. Seção transversal fissurada
Quando a tensão de tração atuante atinge a resistência do concreto à tração, a peça fissura. O momento de fissuração pode ser definido como aquele que provoca a primeira fissura em uma peça de concreto submetida à flexão, e é escrito como:
(Eq. 5)
Na qual, Ic: é o momento de inércia da seção bruta de concreto; fctm: a resistência do concreto à tração na flexão; yt: é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
Em seguida, serão apresentadas as considerações de cálculo segundo as recomendações normativas da ABNT NBR 6118 (2014) e o método de cálculo dos deslocamentos por meio da curvatura média da peça conforme regido no EUROCODE 2 (1992).
1.1 Recomendações da ABNT NBR 6118/2014
Segundo a norma brasileira, para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar a expressão de rigidez equivalente da viga dada a seguir:
(Eq. 6)
Sendo Ma: o momento fletor na seção crítica do vão considerado; Mr: o momento de fissuração do elemento estrutural; Ecs: o módulo de elasticidade secante do concreto.
O cálculo do momento de fissuração é feito com a Equação 5, porém, deve ser avaliado com um coeficiente que correlaciona, aproximadamente, a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta. Neste caso, a Equação 5 pode ser reescrita na forma:
(Eq. 7)
O coeficiente α vale: 1,2 para seções T ou duplo T; 1,3 para seções I ou T invertido; e 1,5 para seções retangulares.
A flecha elástica ou imediata pode ser obtida pelo procedimento padrão de elementos fletidos e não fis- surados, com assunção de que o concreto seja um material de comportamento elástico e linear, da seguinte maneira:
(Eq. 8)
Sendo αi: flecha imediata; Ma: momento fletor máximo no vão; L: comprimento do vão; EIeq: rigidez equivalente, obtida a partir da equação 6; γ: coeficiente adimensional que depende das condições de apoio e do carregamento e vale γ = 5/48, para vigas simplesmente apoiada com carregamento uniformemente dis- tribuído.
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
(Eq. 9)
Onde: ; Δξ = ξ(t) – ξ(t0);
Sendo ξ um coeficiente em função do tempo: ξ(t) = 0,68(0,996t)t0,32, para t ≤ 70 meses e ξ(t) = 2 para t> 70 meses.
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). Logo:
Wf = We (1 + αf) (Eq. 10)
Onde: Wf é a flecha final e We é a flecha imediata.
1.2 Recomendações do EUROCODE 2 (1992)
O procedimento para a verificação dos deslocamentos segundo o EUROCODE 2 (1992) fornece expres- sões para a determinação do deslocamento imediato em função da curvatura média. Segundo o EUROCODE 2 (1992), para elementos estruturais submetidos à flexão, a curvatura média pode ser escrita como:
(Eq. 11)
Trata-se de uma ponderação entre as curvaturas no estádio I e estádio II. Da equação (11) temos:
(Eq. 12)
Onde β1 é um coeficiente que considera as propriedades de aderência das barras da armadura. Sendo β1 = 1, para barras de alta aderência e β1 = 0,5, para barras lisas. β2 é um coeficiente que considera a duração e o número de ciclos do carregamento, sendo: β2 = 1, para carregamentos de curta duração e β2 = 0,5 para carregamentos de longa duração ou com muitos ciclos.
Para seções não fissuradas, ou seja, quando Mr > Ma, tem-se ς = 0. A estimativa da curvatura devida à fluência pode ser obtida da equação (11), sendo β2 = 0,5 e o módulo
de elasticidade secante do concreto substituído pelo módulo de elasticidade efetivo, dado por:
(Eq. 13)
O coeficiente de fluência φ deve ser calculado conforme o anexo B do Eurocode 2 (1992) para uma estimativa mais exata.
A curvatura devida à retração é incorporada na equação (11) pela seguinte expressão:
(Eq. 14)
S: é o momento estático da armadura em relação ao centróide da seção transversal, calculado para se- ção fissurada e não fissurada; εcs: é deformação devida à retração livre, calculada como especificado no anexo B da referida norma; αe,ef: é a razão modular efetiva, ou seja, a razão entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade efetivo do concreto; I: é a inércia da seção transversal, calculada para seção fissurada e não fissurada.
2. METODOLOGIA
O procedimento para elaboração deste trabalho segue o seguinte raciocínio: a) Elaborar uma planilha para o cálculo dos deslocamentos a partir da curvatura, segundo o método do
EUROCODE 2 (1992); b) Comparar os métodos da NBR 6118/2014 e EUROCODE 2 (1992) para o cálculo de deslocamentos; c) Calcular os deslocamentos pelo método do EUROCODE 2 (1992) a partir dos parâmetros calculados
com as exigências da NBR 6118:2014.
3. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO POR INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
O procedimento para o cálculo da deformação de vigas simplesmente apoiadas por integração numérica não é difícil, embora seja tedioso procedê-lo manualmente. Neste trabalho, será apresentado um roteiro para elaboração de uma planilha capaz de calcular a deformação, levando-se em consideração a curvatura do elemento, conforme apresentado no EUROCODE 2 (1992). O procedimento a ser adotado é o que segue:
Coluna 1: A viga deve ser dividida em seções de comprimentos iguais ao longo do seu comprimento, orientado do apoio esquerdo para o direito;
Coluna 2: Calcula-se o momento fletor para cada seção em questão, dado por:
(Eq. 15)
Colunas 3 e 4: Calcula-se a curvatura para seção não fissurada e fissurada para cada seção, por meio de:
Eq. (16)
Coluna 5: Calcula-se o coeficiente ς, de acordo com a equação (12), com β1 igual a 1 e β2 igual a 0,5, para se considerar barras nervuradas e carregamento de longa duração;
Coluna 6: Aplica-se a equação (11) para o cálculo da curvatura média; Coluna 7: Primeira integração numérica da curvatura na seção considerada usando a regra do trapézio.
Por essa regra, a integral ente a (n-1)-ésima e a n-ésima seção é dada por:
(Eq. 17)
Onde δ é a distância entre as duas seções. Os resultados da primeira integração devem ser acumalados a cada seção, logo o resultado da integração da seção inicial, 0, para n-ésima seção é dado por:
(Eq. 18)
Coluna 8: Segunda integração numérica calculada extamente da maneira da coluna 7, mas operando com os valores da coluna 7.
Os valores da coluna 8 são as deformações da viga em cada seção relativa à tangente do apoio esquerdo. Uma vez que essa tangente não é horizontal, uma correção deve ser feita nos valores da coluna 8 para produzir as deformações relativas à linha que une os apoios. Reconhecendo que no apoio direito a deformação deve ser zero, é necessário rotacionar o eixo deformado no sentido horário até que este seja alcançado. Matematicamen- te, significa fazer uma transformação linear para ser incorporado aos valores da coluna 8. Assim, os valores da coluna 8 são reduzidos por αLx/L. Onde x é a distância a partir do apoio esquerdo para a seção considerada e αL é a deformação calculada na coluna 8 no apoio direito, isto é, quando x = L. Os valores corrigidos devem ser dados em uma nova coluna, coluna 9, e esses são as deformações calculadas para cada seção.
Coluna 9: Valores das deformação em cada seção são dados por:
(αLx/L) – αn (Eq. 19)
Conforme a teoria da elasticidade, a deformação máxima para uma viga biapoiada, acontece na seção in- termediária do vão, logo, deve-se observar que a máxima deformação dada pela coluna 9, acontecerá no meio do vão da viga.
4. EXEMPLO PRÁTICO
Nesta seção, será apresentado um exemplo prático de estimativa de deslocamento em uma viga simplesmente apoiada submetida à flexão simples. Para a viga da Figura 3, são calculados os deslocamentos imediatos e diferidos de acordo com cada uma das normas supracitadas. Tal viga foi dividida igualmente em 22 seções de 25 cm, para implementar uma maior aproximação.
a) Dados iniciais do exemplo y fck = 30 MPa; y Aço CA-50; y Ações permanente e variável: g = 12 kN/m e q = 4 kN/m; y Vão teórico da viga: 5,5 m; y Seção transversal da viga: b = 15 cm e h = 50 cm; y Armadura de tração: 312,5 mm (3,68 cm²); y Armadura de compressão: 26,3 mm (0,62 cm²); y Diâmetro da armadura transversal: 6,3 mm; y Classe de agressividade ambiental: CAA – I (cnom = 2,5 cm); y Idade de verificação dos deslocamentos: t ≥ 50 anos; y Idade de aplicação dos carregamentos: t0: 28 dias.
Figura 3. Viga do exemplo
b) Parâmetros utilizados Os valores de todos os parâmetros utilizados para o cálculo do deslocamento são mostrados nas tabelas
1 a 4, seguindo rigorosamente as prescrições de cada norma abordada.
Tabela 1. Propriedades geométricas da seção transversal da viga
Propriedades Geométricas Norma
NBR 6618/2014 EUROCODE 2 (1992) Ig (cm³) 156250 156250
I1 (cm³)(1) – 167900 I1 (cm³)(2) – 194900 I2 (cm³)(1) 42680 36050 I2 (cm³)(2) – 104300 Ie (cm³) 60960 –
Propriedades Geométricas Norma
NBR 6618/2014 EUROCODE 2 (1992) S1 (cm³) – 57,95 S2 (cm³) – 100,59 (1/r)cs1 – 3,45 x 10-6
(1/r)cs2 – 1,12 x 10-5
(1) Calculado utilizando-se αe = Es/(Ec ou Ecs); (2) Calculado utilizando-se αe = Es/Ec,ef; (–) Não se aplica à norma em questão. Fontes: ABNT (2014) e EUROCODE (1992).
Tabela 2. Momentos fletores característicos na seção crítica
Combinação de Ações Norma
Frequente (ψ1 = 0,4) − 5143
Tabela 3. Parâmetros utilizados para cálculo do deslocamento diferido
Parâmetros Norma
Parâmetros Norma
NBR 6618:2014 EUROCODE 2 (1992) ξt 2 β2 0,5 ξt0 0,68 Φ 2,25(1)
αf 1,27 εcs 5,8 x 10-4(1)
(1) Calculado para viga interna com umidade relativa do ar 59% (João Pessoa/PB). Fonte: ABNT (2014) e EUROCODE (1992).
Tabela 4. Propriedades dos Materiais e Momento de Fissuração
Propriedades dos Materiais Norma
NBR 6618:2014 EUROCODE 2 (1992) Ec (MPa) 30670 32840 Ecs (MPa) 26840 – Ec,ef (MPa) – 10110
αe 7,83 6,4(1) 20,76(2)
fctm (MPa) 2,9 2,9 Mr (kNcm) 2715 (3) 1945
(1) αe = Es/Ecs; (2) αe = Es/Ec,ef; (3) α = 1,5. Fonte: ABNT (2014) e EUROCODE (1992).
c) Valores dos deslocamentos A seguir apresentam-se, nas tabelas 5 a 7, os valores dos deslocamentos segundo as recomendações das
normas abordadas.
Os deslocamentos são classificados de acordo com o carregamento de serviço que a peça está solicitada. Sendo assim:
ai,g: Deslocamento imediato devido a carga permanente “g”; ai,g + ψ q: Deslocamento imediato devido à combinação de serviço da norma abordada; ad,g: Deslocamento diferido devido à carga permanente “g”; at,g + ψ q: Deslocamento total devido à combinação de serviço da norma abordada.
Tabela 5. Deslocamentos NBR 6118
Tipo Deslocamento (cm)
Imediato ai,g 0,79
ai,g + 0,3q 0,96
Diferido ad,g 1,00
Fonte: ABNT, 2014.
Imediato ai,g 0,95
Fonte: EUROCODE, 1992.
Tabela 7. Deslocamentos calculados com parâmetros da NBR pelo método do EUROCODE 2
Imediato ai,g 0,79
Total at,g + 0,3q 1,66
5. ANÁLISE DOS RESULTADOS
Com os resultados dos deslocamentos da viga do exemplo pode-se notar que, se tratando de deslocamentos finais, o método da NBR 6118 apresentou o maior valor.
Comparando os valores dos deslocamentos obtidos segundo a NBR 6118 com os dados pelo método do EUROCODE 2, temos que a maior discrepância se apresenta na avaliação dos deslocamentos diferidos, tendo uma diferença de 35% entre o valor da flecha total encontrada com a NBR 6118 e a flecha total calculada com o EUROCODE 2.
A Tabela 7 traz uma comparação dos valores de deslocamentos obtidos utilizando-se o método do EU- ROCODE 2 (1992), mas com parâmetros calculados segundo a NBR 6118. Novamente não há concordância entre os valores dos deslocamentos diferidos dados pelo método da norma brasileira em relação aos obtidos pela curvatura da peça. No entanto, para deslocamentos imediatos, o método da NBR 6118 obteve resultados próximos.
O método do EUROCODE 2 (1992) sempre considera os efeitos da fluência e retração, portanto, para se obter os deslocamentos imediatos basta fazer = 0 e εcs = 0.
CONCLUSÕES
Com base nos resultados obtidos, observa-se que a NBR 6118 fornece subsídio para a estimativa da flecha inicial e a flecha total, porém, peca ao sugerir que o cálculo da flecha diferida no tempo, devido fluência, seja calculada de maneira aproximada por um coeficiente em função do tempo que independe do valor do coeficiente de fluência. A recomendação é que se calcule um coeficiente (αf), que leva em conta cargas de longa duração em função da fluência, e multiplica-lo pela flecha inicial. Tal recomendação superestima os deslocamentos, tornando o dimensionamento oneroso.
Por se tratar de uma estimativa, nenhuma metodologia de cálculo, para qualquer aspecto de comportamento, é perfeita e todos introduzem um grau de incerteza no resultado. O método a ser utilizado pelo pro- jetista vai depender do grau de acurácia que se deseja alcançar com os resultados. O ideal é que se apliquem métodos de análises não-linear, ou que levem em conta o concreto tracionado entre as fissuras, como o do cál- culo segundo a curvatura apresentado pelo EUROCODE 2, pois métodos simplistas sempre trazem limitações.
Outra fonte de incerteza que deve ser ressaltada é na determinação das propriedades do concreto, como exemplo do módulo de deformação, há divergência entre as recomendações normativas na sua determinação. Demais fatores, como processos construtivos, cura do concreto, desforma e idade de aplicação das cargas, con- tribuem para fissuração prematura da peça e consequente aumento nos deslocamentos finais.
Por fim, destaca-se que os resultados aqui apresentados cabem apenas para o caso estudado, não sendo válidos para outras configurações de vigas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
[2] BEEBY, A. W. Deformation. FIB Bulletin, v. 2, p. 103-139, 1999.
[3] COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990: Design Code. London, Thomas Telford, 1991.
[4] EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. Eurocode 2: Design of concrete structures. Part 1: general rules and rules for buildings. Brussels-Belgium, CEN, 1992.

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