CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA

ARQUITETURA E URBANISMO

TECNOLOGIA DAS CONSTRUÇÕES

NOTAS DE AULA

VIGAS DE CONCRETO ARMADO FASCÍCULO III

ROBERTO L. A. BARBATO

SÃO CARLOS

2007

VIGAS DE CONCRETO ARMADO 1. INTRODUÇÃO.

Nas vigas de concreto armado sob flexão simples empregam-se, como se sabe, armadura longitudinal e armadura transversal.

A armadura longitudinal é constituída por barras de aço de eixo retilíneo e seção transversal circular. Estas barras são posicionadas nas regiões tracionadas da viga no caso da chamada armadura simples e nas regiões tracionadas e comprimidas no caso da chamada armadura dupla. Quando se emprega armadura simples, as barras devem absorver todos os esforços (tensões) de tração gerados pelo momento aplicado. No caso de se empregar armadura dupla, parte das barras absorve os esforços de tração produzidos pelo momento e parte colabora com o concreto aumentando a resistência da região comprimida da viga.

A armadura transversal, constituída ou por estribos ou por estribos e barras dobradas (cavalete) deve absorver as tensões de tração que se manifestam na alma da viga. Os estribos, com dois ou mais ramos paralelos, são construídos com barras de aço de seção transversal circular, geralmente de pequeno diâmetro, e dispostos perpendicularmente à armadura longitudinal.

Quando a armadura longitudinal localiza-se apenas na região tracionada da viga é necessário dispor duas barras na região comprimida da viga cuja finalidade é manter os estribos na posição de projeto. Estas barras são chamadas de porta-estribos.

Nas figuras a seguir mostram-se exemplos do detalhamento das armaduras de vigas de concreto armado de seção retangular.

2. DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO E DA ARMADURA LONGITUDINAL.

O dimensionamento da seção transversal e da armadura longitudinal das vigas de concreto armado sob flexão simples, é feito, de acordo com as normas brasileiras, com equações deduzidas a partir de um conjunto de hipóteses formuladas no âmbito do método que se conhece por Estados Limites Últimos (E.L.U.).

Para esse dimensionamento é necessário que se conheçam as resistências características do concreto e do aço, respectivamente, fck e fyk, os coeficientes redutores das resistências fck e fyk, respectivamente, γc e γs, o momento característico Mk e o coeficiente γf majorador do momento Mk.

Dois tipos de dimensionamento podem ocorrer no caso mais comum de vigas de seção transversal retangular.

No primeiro tipo, o que ocorre com maior freqüência, procura-se determinar a armadura da seção ─ a armadura simples As ou a armadura dupla As e As ─ conhecendo-se as dimensões bw e h da seção, as resistências características dos materiais fck e fyk, o momento Mk, e os coeficientes γc , γs e γf .

No segundo tipo, conhecendo-se as resistências características dos materiais fck e fyk, o momento Mk, os coeficientes γc, γs e γf e a largura da seção bw, procura-se determinar a altura h e a armadura As da seção transversal. Os dois tipos de dimensionamento podem ser feitos empregando-se tabelas elaboradas a partir das equações deduzidas no E.L.U. A tabela mostrada no final deste texto, adaptada de J.S.Giongo,SET/ EESC / USP, foi elaborada para concretos das classes C20 e C25, aços das categorias CA-50 e CA-60, e coeficientes redutores das resistências γc e γs 2.1. DIMENSIONAMENTO MEDIANTE TABELA. O dimensionamento da seção transversal é feito empregando-se as expressões dos coeficientes kc e ks dadas por

kf

wc

M

dbk

γ

2

= (cm2/kN)

kf

ss

M

dAk

γ= (cm2/kN)

No primeiro tipo de dimensionamento, calcula-se kc com a primeira equação, obtém-

se o ks correspondente na tabela e determina-se a armadura As com a segunda equação, ou seja

kf

wc

M

dbk

γ

2

= → sk → d

MkA

kf

ss

γ=

No segundo tipo de dimensionamento, arbítra-se kc, tira-se o ks correspondente na

tabela e calculam-se a altura da seção h e a armadura As, isto é

ck → sk → w

kfc

b

Mkd

γ= →

d

MkA

kf

ss

γ=

Os exemplos mostrados a seguir poderão esclarecer possíveis dúvidas.

2.2. EXIGÊNCIAS NORMATIVAS. A largura da seção transversal das vigas de concreto armado deve ser maior ou igual a 12 cm, isto é bw ≥ 12 cm A porcentagem mínima da armadura de flexão, dada por ρmin = As / bwh, deve ser tal que. ρmin ≥ (0,15/100) para concreto das classes C20 e C25. ρmin ≥ (0,173/100) para concreto da classe C30 ρmin ≥ (0,201/100) para concreto da classe C35 A máxima porcentagem de armadura de flexão não deve superar (4/100), ou seja

ρmáx ≤ (Ast / bwh) + (Asc / bwh) = (4/100) 2.3. APLICAÇÕES NUMÉRICAS. EXEMPLO1. Sendo dados bw = 12 cm, Mk = 24 kNm, concreto C20, aço CA 50 e o coeficiente γf igual a 1,4, determinar a altura d e a armadura As da seção transversal SOLUÇÃO. Escolhendo-se kc = 4,7 tira-se ks = 0,025 e calculam-se

cmxxbMkd wkfc 27,36)12/400.24,17,4()/(2/12/1 === γ

232,2)27,36/400.24,1025,0()/( cmxxdMkA kfss === γ

EXEMPLO 2.

Sendo bw=15 cm, h = 45 cm, d = 42 cm, concreto C25, aço CA 60, Mk = 42 kNm, concreto C25, aço CA 60 e γf =1,4, calcular a armadura As da seção transversal.

SOLUÇÃO. Calcula-se kc, tira-se ks e, em seguida, determina-se a armadura As, ou seja

5,4)200.44,1/4215(2

2

=== xxM

dbk

kf

wc

γ → 021,0=sk

021,0=sk → 294,2)42/200.44,1021,0( cmxx

d

MkA

kf

ss ===γ

EXEMPLO 3.

Para a viga mostrada abaixo, determinar a armadura para as seções de momento máximo. Considerar concreto C20, aço CA50 e γf =1,4.

SOLUÇÃO.

As reações de apoio valem VA = 48 kN e VB = 96 kN. O momento fletor positivo máximo ocorre na seção S1 distante (48/18) m do apoio da esquerda e vale 64 kNm. O momento negativo máximo ocorre na seção S2 sobre o apoio da direita e vale 36 kNm. Para o momento Mk= 64 kNm, têm-se

62,3)400.64,1/5212(2 == xxkc → 026,0=sk

02,0=sk → 248,4)52/400.64,1026,0( cmxxAs ==

Para o momento Mk= 36 kNm, têm-se

44,6)600.34,1/5212(

2 == xxkc → 025,0=sk

025,0=sk → 242,2)52/600.34,1025,0( cmxxAs ==

As armaduras obtidas são mostradas na figura abaixo.

3. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL.

O cálculo da armadura transversal (armadura de cisalhamento) das vigas de concreto armado é feito assimilando-se a viga de concreto fissurada a uma treliça plana de banzos paralelos (analogia de treliça). A alma desta treliça é constituída por diagonais comprimidas de concreto (bielas) e diagonais ou montantes tracionados de aço. As bielas são inclinadas de θ graus em relação ao eixo da viga e as diagonais tracionadas inclinadas de α graus em relação ao mesmo eixo. A armadura longitudinal da viga e a sua região comprimida formam os banzos paralelos da treliça. Figura abaixo.

3.1. ESTUDO DA TRELIÇA.

O estudo da treliça com vistas ao cálculo da armadura transversal das vigas é dividido em três partes. Na primeira parte verifica-se a biela comprimida com relação à sua ruptura. Em seguida, na segunda parte, determinam-se a força cortante gerada pela armadura transversal mínima e pelos mecanismos resistentes que se manifestam no interior do concreto. Na terceira parte, calcula-se armadura transversal. 3.1.1. VERIFICAÇÃO DA BIELA COMPRIMIDA.

Considere-se o segmento de treliça mostrado na figura abaixo:

Sendo

θαθ sendbA wCW )cot(cot95,0 += a área da seção transversal da biela e σcw a tensão normal de compressão, suposta uniformemente distribuída na seção, a força normal Ncw, resultante das tensões, é dada por:

θαθσσ sendbAN WCWCWCWCW )cot(cot9,0 +==

Definindo-se a tensão σcw por

cdcd

cdck

CW ff

ff

x )250

4,11(595,0)

2501(7,085,0 −=−=σ

resulta a força normal que leva a biela à ruptura por compressão.

θαθ sendbff

N Wcdcd

RWd )cot(cot)250

4,11(5355,0 +−=

Projetando-se a força NRwd no plano da sessão obtém-se a força cortante correspondente a força de ruptura da biela

θαθθ 2)cot(cot)

250

4,11(536,0 sendbf

fsenNV wcd

cdRWdRWd +−==

Nesta equação deve-se expressar a tensão fcd em MPa. Lembrando que 1MPa é

igual a 0,1 kN, para que se tenha a força VRWd em kN, é necessário multiplicar o segundo membro da equação acima por 0,1.

Assim, tem-se:

θαθθ 2)cot(cot)

250

4,11(0536,0 sendbf

fsenNV Wcd

cd

RWdRWd +−==

No caso de se fazer θ = 45º (treliça clássica) e α = 90º (estribos) da última igualdade resulta

dbff

senNV wcdcd

RWdRWd )250

4,11(0268,0 −== θ

A condição de não ruptura da biela comprimida é dada então por

θαθγ 2

max)cot(cot)

250

4,11(0536,0)( sendbf

fPR wcd

cdf +−≤−∑

ou

dbff

PR wcdcd

f )250

4,11(0268,0)(

max−≤−∑γ

3.1.2. FORÇA CORTANTE GERADA PELA ARMADURA TRANSVERSAL.

Considere-se o segmento de treliça mostrado abaixo

Seja s o espaçamento das barras da armadura transversal, medido segundo a direção do eixo da viga. O numero de barras contidas no trecho de comprimento ∆ℓ é dado por : no de barras = sdsl /)cot(cot9,0)/( αθ +=∆

Sendo fyd a tensão de escoamento de cálculo do aço das barras e Asw a área da sessão transversal de cada barra, a força normal correspondente ao escoamento das barras é dada por

dfsAN ydswswd )cot)(cot/(9,0 αθ +=

Nesta expressão, deve-se considerar fyd em MPa. Para que a força obtida seja dada

em kN é preciso, como já mencionado, introduzir o fator 0,1. Assim tem-se em kN.

dfsAN ydswswd )cot)(cot/(09,0 αθ +=

Definindo-se a porcentagem em armadura por

sbA wswsw /=ρ

a equação anterior se escreve

dbfN wydswswd )cot(cot09,0 αθρ +=

Projetando-se a força Nswd no plano da seção, resulta a força cortante gerada pela

armadura transversal

dbfsensenNV wydswswdswd ααθρα )cot(cot09,0 +==

3.1.3. FORÇA CORTANTE GERADA PELA ARMADURA TRANSVERSAL MÍNIMA.

É interessante obter-se a força cortante gerada pela armadura correspondente à porcentagem mínima de armadura transversal. De acordo com a norma brasileira, essa porcentagem mínima é dada por

)/(0653,0)/(06,03/23/2

minsw, ydcdykck ffff ==ρ

Introduzindo-se esta igualdade na expressão da força cortante e fazendo-se α = 900

e θ = 450 , resulta a expressão da força cortante correspondente à armadura transversal mínima.

dbfV wcdswd )(0588,03/2

min,=

Nesta equação deve-se expressar a tensão fcd em MPa e introduzir o fator 0,1 para

obter-se a força cortante em kN. Assim tem-se:

dbfV wcdswd )(00588,0

3/2

min,=

3.1.4. FORÇA CORTANTE GERADA PELO CONCRETO

Ensaios experimentais em vigas de concreto armado mostram que no interior do concreto manifestam-se esforços resistentes que geram força cortante. De acordo com a norma brasileira, a força cortante gerada pelo concreto é dada por

dbfxdbfV wckwctdcd )(15,06,06,03/2

== ou por

dbfV wcdcd )(113,03/2

=

Nesta equação deve-se expressar fcd em MPa e introduzir o fator 0,1 para que se tenha Vcd em kN. Resulta assim:

dbfV wcdcd )(0113,03/2

= 3.2. CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL

Conhecido o diagrama de esforços solicitantes, a classe do concreto, a categoria do aço da armadura e as dimensões da seção transversal, o cálculo da armadura transversal se faz, essencialmente, em três etapas:

Na primeira etapa verifica-se a condição de ruptura da biela de concreto por meio da desigualdade:

dbff

PR wcd

cd

f )250

4,11(0268,0)(

max−≤−∑γ

Obedecida a condição acima, passa-se para a segunda etapa determinando-se o

trecho da viga que pode ser armado com armadura transversal mínima. Isto é feito por meio da equação

dbfVVPR wcdcdswdf )(0172,0)(3/2

min,min=+=−∑γ

Na terceira etapa determina-se a armadura transversal para os demais trechos da

viga por meio da equação:

[ ] dbffVVPR wcdydswcdswdf )(0113,009,0)(3/2+=+=−∑ ργ

Determinado o valor de ρw, calculam-se área da seção transversal dos estribos Asw e

seu espaçamento s. As aplicações numéricas feitas a diante esclarecerão possíveis dúvidas.

3.3. EXIGÊNCIAS NORMATIVAS.

No dimensionamento da armadura transversal das vigas de concreto armado devem-se obedecer, de acordo com as normas brasileiras, as seguintes recomendações: a)Diâmetro do estribo: 10/5 west bmm ≤≤ φ b)Espaçamento máximo dos estribos: cmds 203,0

max≤=

c)Distância máxima entre ramos dos estribos: cmdst 356,0max, ≤=

d)Porcentagem mínima de armadura: 3/2

min,)(2,0

yd

ctmsw

f

f=ρ

e)Tensão nas barras da armadura: 2

/5,43435 cmkNMPaf yd =≤

4. APLICAÇÃO NUMÉRICA. EXEMPLO 1.

Determinar as armaduras longitudinal e transversal da viga representada abaixo. Considerar bw =15 cm, h = 60 cm, d = 55 cm, C20, CA 50 e γf = 1,4.

Cálculo dos Esforços.

kNxplRR ba 75)2/625()2/( ====

kNxcmkNxmxplM 112505,112)8/3625()8/(2

max====

Cálculo da Armadura Longitudinal.

88,2)250.114,1/5515(2 == xxkc → 028,0=sK

)161202(02,8)55/250.114,1028,0(2 φφ +== cmxxAs

Cálculo da Armadura Transversal. a) Verificação da Biela Comprimida.

kNxxxPRf 59,2905515)4,1/20)(250/201(0268,0754,1)(

max=−<=−∑γ

Este resultado mostra que não haverá ruptura da biela comprimida. Caso contrário

seria necessário, por exemplo, alterar as dimensões da seção transversal. b) Cálculo da Armadura Transversal Mínima.

kNxxPRf 54,835515)4,1/20(0172,0)(3/2

min==−∑γ

ou

kNPR 674,59)4,1/54,83()(min

==−∑

O trecho da viga com força cortante com valor menor ou igual a 59,67 kN é o trecho

central de 4,77m (2x2,385).. Sendo

000884,0435

)4,1/20(0653,015/

3/2

min,min, === sAswswρ

tira-se

0133,0/min,

=sAsw

Adotando-se estribo mm5φ tem-se 2

min,393,0 cmAsw = e portanto

cms 64,29)0133,0/393,0( ==

Tendo em vista que o espaçamento encontrado ultrapassa o valor máximo de cmx 5,16553,0 = , deve-se adotar para todo o trecho de m77,4 estribos espaçados de

)5,16/5(5,16 cmmcm φ

c) Cálculo da Armadura Transversal.

Os trechos de m62,0 medidos a partir dos apoios deverão ter armadura transversal diferente da mínima.

Esta armadura é dada por

4515))4,1/20(0113,043509,0(754,1)(3/2

maxxxxPR swf +==−∑ ργ

donde

00155,015/ == sAswswρ

Adotando-se novamente estribos de mm5φ com 2393,0 cmAsw = , da última igualdade

obtém-se:

cmxs 90,16)00155,015/393,0( == Este resultado mostra que os dois trechos de 0,62m terão estribos de

mm5φ espaçados de 16,5cm. Pode-se adotar, então, para toda a viga a armadura transversal constituída por

estribos mm5φ a cada 15 cm. Detalhamento das Armaduras.

As figuras a seguir mostram o detalhamento das armaduras longitudinal e transversal da vida simplesmente apoiada.

.

5. TABELA DE Kc e Ks

Na tabela abaixo para os concretos da classe C20 e C25 e aços daS categorias CA-50 e CA-60 os valores de Kc e Ks.

kf

wc

M

dbk

γ

2

=

kf

ss

M

dAk

γ=

C20 C25 CA-50 CA-60

51,90 41,50 0,023 0,019 26,20 20,90 0,023 0,019 17,60 14,10 0,024 0,020 13,30 10,60 0,024 0,020 10,70 8,60 0,024 0,020 9,00 7,20 0,024 0,020 7,80 6,20 0,024 0,020 6,90 6,50 0,025 0,020 6,20 4,90 0,025 0,021 5,60 4,50 0,025 0,021 5,10 4,10 0,025 0,021 4,70 3,80 0,025 0,021 4,40 3,60 0,026 0,021 4,10 3,30 0,026 0,022 3,90 3,10 0,026 0,022 3,70 3,00 0,027 0,022 3,50 2,80 0,027 0,022 3,30 2,70 0,027 0,022 3,20 2,60 0,027 0,023 3,10 2,50 0,028 0,023 2,90 2,40 0,028 0,023 2,80 2,30 0,028 0,023 2,70 2,20 0,028 0,023 2,70 2,10 0,028 0,024 2,60 2,10 0,029 0,024

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

Barbato,R.L.A., Concreto Armado. Notas de Aula. Engenharia Civil, UFSCar 1986. Debs,A.L.H.C., Concreto Armado. Notas de Aula. SET/EESC/USP, Arquitetura, 2006. Giongo,J.S., Concreto Armado. Notas de Aula, SET/EESC/USP, Engenharia Civil – 2006.