Cad EdMat v3 Tabuada

Cadernos do

Volume 1

E por falar em Tabuada...

Núcleo de Educação Matemática .CAPE/GCPF – SMED .

ENSINO FUNDAMENTAL

VOLUME 3

1 NÚCLEO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA – GCPF/SMED-BH

ENSINO FUNDAMENTAL

Cadernos do

Volume 3

E por falar em tabuada...

Núcleo de Educação Matemática – CAPE/GCPF – SMED [email protected]/ 3277-8642

E POR FALAR EM TABUADA... 2

CADERNOS DO – ENSINO FUNDAMENTAL

VOLUME 3 – E POR FALAR EM TABUADA ... Prefeito de Belo Horizonte Fernando da Mata Pimentel Secretário Municipal de Educação Hugo Vocurca Teixeira Gerente da GCPF Marília Sousa Andrade Dias Diretora do CAPE Áurea Regina Damasceno Vice-diretor do CAPE Ricardo Diniz Redação Equipe do Núcleo de Educação Matemática (EdMat) Andréa Silva Gino Auro da Silva Carmem Terezinha Vieira Angelo Nunes Cristine Dantas Jorge Madeira Edmary Aparecida Vieira e Silva Tavares Roberto Antônio Marques Publicação da Secretaria Municipal de Educação

Secretaria Municipal de Educação Centro de Aperfeiçoamento dos Profissionais da Educação (CAPE)

Gerência de Coordenação da Política Pedagógica e de Formação (GCPF)

Belo Horizonte/2008.


APRESENTAÇÃO DOS CADERNOS DO

– ENSINO FUNDAMENTAL

Desde 2005, o Núcleo de Educação Matemática (EdMat ) da SMED-PBH,

composto por professores/as da Rede Municipal de Educação de Belo Horizonte (RME-

BH), vem desenvolvendo, na perspectiva da formação em serviço, diversas ações de

formação que têm como um dos objetivos principais propiciar que o/a professor/a reflita

sobre seu fazer matemático, entendendo que esse fazer inclui a seleção de conteúdos,

as metodologias utilizadas e a relação com o educando (considerando suas

especificidades de formação).

Para apresentar as atividades pensadas para essas ações de formação,

organizamos os Cadernos do – Ensino Fundamental . Apesar dos cadernos

abordarem temas diferentes, suas atividades se pautam em três eixos que têm forte

conexão entre si: a resolução de problemas , os jogos e brincadeiras e a

comunicação nas aulas de matemática (da oralidade ao registro) .

Nesse sentido, acreditamos e esperamos que os Cadernos do possam

ser lidos e discutidos nos planejamentos das aulas, servindo como um material de apoio

à prática e às reflexões do/a professor/a que ensina Matemática nos anos iniciais ou

finais do Ensino Fundamental.

Esperamos também que as sugestões e críticas que surjam no âmbito da escola

possam ser enviadas à equipe do EdMat, visando o enriquecimento das propostas

apresentadas. Salientamos que o EdMat está sempre aberto ao contato e à colaboração

com a ação docente na sala de aula.

Belo Horizonte/2008


ÍNDICE

APRESENTAÇÃO DOS CADERNOS DO – ENSINO FUNDAMENTAL ..3

ÍNDICE ............................................................................................4

APRESENTAÇÃO DESTE CADERNO...................................................6

UM POUCO DE HISTÓRIA .................................................................8

CONSTRUINDO A TABUADA ...........................................................10 1. PARA CONSTRUIR A COMPREENSÃO DE UM CONCEITO ................................. 10

2. CONSTRUINDO O CONCEITO DA MULTIPLICAÇÃO ........................................ 13

3. BOLICHE MULTIPLICATIVO ................................................................... 18

3. EXPLORANDO A TÁBUA DE PITÁGORAS ................................................... 22

MEMORIZANDO A TABUADA ...........................................................27 1. STOP! ........................................................................................... 28

2. PADRÃO GEOMÉTRICO....................................................................... 30

3. JOGANDO COM A MULTIPLICAÇÃO ......................................................... 32


4. EU TENHO, QUEM TEM? .................................................................... 33

5. TRÊS EM LINHA 1 ............................................................................. 35

6. TRÊS EM LINHA 2 ............................................................................. 36

7. O JOGO DA CONQUISTA ..................................................................... 37

8. SALUTE !........................................................................................ 38

9. DESCOBRINDO NÚMEROS OCULTOS ...................................................... 39

10. MULTIPLICAÇÃO NA LINHA ................................................................ 41

CONCLUSÃO .................................................................................. 43

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................... 44

ANEXOS ......................................................................................... 46

ANEXO 1 – TÁBUA DE PITÁGORAS ........................................................................... 47

ANEXO 2 – STOP!.................................................................................................... 48

ANEXO 3 – PADRÃO GEOMÉTRICO........................................................................... 49

ANEXO 4 – EU TENHO, QUEM TEM? ....................................................................... 50

ANEXO 5 – TRÊS-EM-LINHA 1.................................................................................. 51

ANEXO 6 – TRÊS-EM-LINHA 2 .................................................................................. 52

ANEXO 7 – O JOGO DA CONQUISTA ......................................................................... 53

ANEXO 8 – MULTIPLICAÇÃO NA LINHA .......................................................................54


APRESENTAÇÃO DESTE CADERNO

Nos meses de abril e maio de 2007, na Rede de Formação do 2º Ciclo/2007,

organizamos e coordenamos a oficina de Educação Matemática intitulada “E por falar em

tabuada...”. Essa oficina contou com a participação de aproximadamente quatrocentos e

trinta professores/as da Rede Municipal de Educação de Belo Horizonte (RME-BH).

Mas, por que falar em tabuada 1 na formação de professores que ensinam

matemática no 2º ciclo? Esse tema foi muito recorrente em formações anteriores, nas

quais em conversas com as/os professoras/es era possível observar uma associação

direta entre o domínio da tabuada e o saber matemático.

Sabemos que o ensino das operações fundamentais vem sendo desenvolvido,

desde muito tempo, por meio da aplicação de técnicas operatórias (algoritmos). Nesse

contexto, “decorar a tabuada” ganhou destaque, sendo considerada por muitos adultos e

jovens que já freqüentaram as salas de aula como uma atividade que tem a marca da

escola.

No entanto, as pesquisas atuais no campo da Didática da Matemática e da

Psicologia Cognitiva têm demonstrado que decorar mecanicamente os fatos da tabuada

se torna irrelevante do ponto de vista da formação dos sujeitos, pois a aprendizagem

dos/as alunos/as se torna mais efetiva quando os/as mesmos/as realizam atividades

significativas que envolvem a criatividade e a construção de conceitos.

1 O termo tabuada , popularmente, é utilizado para designar uma tabela com os fatos da multiplicação de 1 a 9. Apesar de sabermos que há uma diversidade de outras “tabuadas” – adição, subtração, divisão, quadrados perfeitos, potências de 2, etc. – apresentamos neste caderno uma discussão sobre a tabuada da multiplicação.


Dessa forma, este caderno, apresenta algumas possibilidades de trabalho para

que o/a professor/a possa, a partir das reflexões apontadas, repensar suas práticas com

a tabuada, considerando que o momento atual requer indivíduos que saibam processar e

utilizar as informações mais do que sabê-las de cor.

Desejamos a todas/os uma boa leitura!

Belo Horizonte/2008


UM POUCO DE HISTÓRIA

A palavra tabuada foi originada na Idade Média, quando surgiram as tábuas com

resultados de somas de parcelas iguais. Durante muito tempo, transformou-se num

pesadelo de crianças, por serem obrigadas a decorar as multiplicações para evitar as

possíveis punições nas escolas.

A decoreba da tabuada era freqüente no modelo de educação tradicional, em que

primeiro se aprendia o conteúdo, depois se descobria para o que ele servia.

O Programa Educ@ar – Matemática2 traz um breve histórico sobre a discussão do

ensino da tabuada na escola:

Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da

língua", era ponto de honra para alunos e professores do antigo primário.

Poucas pessoas, talvez, ousassem por em dúvida a necessidade desta

mecanização.

Na década de 60 despontaram movimentos de todos os tipos,

rompendo com tradições seculares: o feminismo, a revolução sexual, os

hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas de

estudantes em Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente

ao clima revolucionário. A Matemática Moderna modificou o ensino da

matemática. Não vamos discutir aqui as características deste movimento

mas, dentre seus aspectos positivos, destacava-se o desejo de

aprendizagem com compreensão.

No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a

mecanização da tabuada. Diversas escolas aboliram e proibiram a

memorização da mesma. A professora ou professor que obrigasse seus

alunos a decorar a tabuada era, muitas vezes, considerado "antiquado",

"retrógrado".

2 O aluno deve aprender tabuada? – Disponível em http://educar.sc.usp.br/matematica/m312.htm – consultado em 29/05/2008.


O argumento dos renovadores, contrário à memorização, era

basicamente este: "não se deve obrigar o aluno a decorar a tabuada;

deve-se, isto sim, criar condições para que ele a compreenda". Os

adeptos das novas tendências alegavam que, se o aluno compreendesse

a tabuada, se ele entendesse o significado de códigos como 3 × 7, 8 × 6,

5 × 9 etc., então, quando precisasse, sozinho, pensando, ele descobriria

os resultados.

Alguns professores rebatiam esta afirmação alegando que, sem

saber a tabuada de cor, um aluno não poderia realizar multiplicações e

divisões. A cada momento, na realização de cálculos e na resolução de

problemas ele "engasgaria" por não saber a tabuada de cor.

É curioso observar que, passados estes anos todos, esta discussão

permanece entre nós.

Nesta discussão, apesar das divergências, há uma opinião unânime:

deve-se condenar a mecanização pura e simples da ta buada . É

absurdo exigir que os alunos recitem: "dois vezes um, dois; dois vezes

dois, quatro;...", sem que eles entendam o significado do que estão

dizendo. A multiplicação (bem como todas as outras operações e a

noção de número e o sistema de numeração decimal) precisa ser

construída e compreendida . Esta construção é o resultado de um

trabalho mental por parte do aluno.

Trabalhando com materiais variados (papel quadriculado, grãos,

palitos), explorando jogos e situações diversas (quantos alunos serão

necessários para formar 4 times de vôlei?), os alunos poderão, aos

poucos, construir e registrar os fatos fundamentais que compõem a

tabuada. (...)

É importante que, uma vez compreendidos os fatos fundamentais,

eles sejam, aos poucos, memorizados pelas crianças. Para isso é

interessante utilizar jogos variados. [grifos nossos]


CONSTRUINDO A TABUADA

É importante memorizar a tabuada para liberar o raciocínio para outras etapas da

matemática. No entanto, como essa memorização não pode ser mecânica, ela deve ser

precedida das primeiras atividades de construção do conceito de multiplicação.

Nesse sentido, considerando que a tabuada é o fim de um processo e não um pré-

requisito para lidar com a matemática, concordamos com SMOLE3 quando afirma que

em primeiro lugar é necessário que os alunos saibam o significado de

multiplicar, tenham clareza das idéias envolvidas na multiplicação e que

sempre, em qualquer fase de escolaridade possam resolver diversas

situações problemas nas quais as multiplicações aparecem.

1. PARA CONSTRUIR A COMPREENSÃO DE UM CONCEITO

Vejam um exemplo, apresentado por CARREHER (1990, p.20 e 21), de como é

possível construir a compreensão de um conceito : vamos aprender os números em

japonês .

Analisando o quadro ao

lado com os números básicos e

sua pronúncia em japonês

escrita em letras romanas, é

possível responder: Como se

diz 35 em japonês? Como se

diz 47? Como se diz 69? E 92?

3 SMOLE (Memorizar sim, mas como? – disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/sala/ memorizar.html – consultado em 29/05/2008).

1 – ICHI 2 – NI 3 – SAN 4 – YON 5 – GO 6 – ROKU 7 – SICHI 8 – HACHI 9 – KU

10 – JU 11 – JUICHI 12 – JUNI 13 – JUSAN 40 – YOJU 80 – HACHIJU

20 – NIJU 21 – NIJUICHI 22 – NIJUNI 23 – NIJUSAN 50 – GOJU 90 – KUJU

30 – SANJU 31 – SANJUICHI 32 – SANJUNI 60 – ROKUJU 70 – SICHIJU


Provavelmente vocês conseguirão responder corretamente a essas perguntas.

Como isso será possível se os números 35, 47, 68 e 92 não constam no quadro? O que

possibilita essa produção é a sua compreensão do sistema de numeração, que nesse

caso é decimal, e das relações entre os rótulos usados.

Observem que vocês aprenderam, pelo que estava disposto no quadro, um total de

26 “fatos básicos” sobre os números em japonês, mas é capaz de produzir 99 números

com auxílio desse quadro.

Esta capacidade que pode ser usada por vocês se deve a dois aspectos da

aprendizagem muito enfatizados no construtivismo:

• o caráter gerativo, isto é, a possibilidade de gerar fatos não aprendidos a partir da

experiência com objetos ou acontecimentos específicos;

• o seu caráter racional, sistemático, estrutural, isto é, o fato de que o sujeito

organiza, ele próprio, os fatos aprendidos, em um sistema lógico.

Vamos ver outro exemplo, também apresentado por CARREHER (1990, p.21 e

22): já sabendo os números em japonês, agora, vocês vão trabalhar com os

números em alemão .

Observe no quadro ao lado que alguns fatos

básicos foram suprimidos. Tentem completar seus

conhecimentos como puderem e respondam:

Como se diz 35, 47, 69 e 92 em alemão?

Se utilizarem a mesma lógica descrita anteriormente, vocês dirão:

� 35 – reissigfunf; � 47 – vierzigsieben;

� 68 – sechzigacht; � 92 – neunzigzwei.

Certo?! Errado. Observem as respostas corretas:

� 35 – funfundreissig; � 47 – siebenundvierzig;

� 68 – achtundsechzig; � 92 – zweiundneunzig.

Por que esse erro aconteceu? Com certeza, vocês não erraram por que não

pensaram, não raciocinaram. Erraram porque pensaram de uma maneira coerente com

seus conhecimentos de sistemas numéricos e, além disso, desconhecem uma

1. EINS 10. ZEHN 2. ZWEI 20. WANZIG 3. DREI 30. REISSIG 4. VIER 40. VIERZIG 5. FUNF 50. FUNFZIG 6. SECHS 60. SECHZIG 7. SIEBEN 70. SIEBZIG 8. ACHT 80. ACHTZIG 9. NEUN 90. NEUNZIG


particularidade do sistema em alemão: o fato de que as unidades são pronunciadas antes

das dezenas.

Quais números deveríamos acrescentar no quadro para que vocês pudessem

perceber essa particularidade do sistema em alemão? Sim, com os números 21, 22, 23,

31 e 32, vocês provavelmente teriam acertado.

Segundo CARREHER (1990, p.21 e 22), através desse exemplo, verifica-se

outro aspecto da aprendizagem salientado pelo construtivismo: a fim de

construir a compreensão correta do sistema, é neces sária a

experiência com todos os aspectos básicos que o car acterizam .

A partir dessas três características do construtivismo, já podemos

fazer algumas reflexões sobre o ensino de matemática. Primeiro, o ensino

de matemática não pode enfatizar apenas a aprendizagem ou

memorização de fatos básicos. Se os alunos apenas memorizam fatos e

não compreendem o sistema lógico-matemático a eles relacionado, não

poderão gerar novos fatos não ensinados pelo professor. Segundo, o

professor precisa compreender muito bem o sistema e saber quais são os

fatos básicos para apresentá-los ao aluno para reflexão. Quanto ao

sistema de numeração por exemplo, a prática habitual em nossas escolas

é fazer com que as crianças escrevam em série todos os números de 1 a

9, depois de 10 a 20, por exemplo, depois de 20 a 30 etc. As dezenas são

introduzidas uma a uma.

No entanto, o padrão do sistema só pode ser compreendido quando

a criança, sabendo as dezenas, percebe a combinação entre dezenas e

unidades.

Um tempo muito grande gasto nos números de 1 a 19 é, na verdade,

desfavorável à aprendizagem do sistema, pois a criança estará lidando

apenas com os aspectos irregulares, não podendo, pois, formar uma

noção de regularidade do sistema. Terceiro, a ênfase do professor precisa

ser sobre a compreensão do sistema e não sobre a memorização. A

compreensão é um processo que leva mais tempo do que a memorização.

O aluno precisa de tempo para pensar. A compreensão, às vezes, requer

o auxílio de situações que salientem os aspectos a serem compreendidos.

A compreensão exige que o aluno perceba as regularidades do sistema,

as quais nem sempre estão claras quando misturamos exemplos

irregulares com os regulares – como no caso dos rótulos do nosso sistema

de numeração. Mas a compreensão não se faz na ausência de exemplos a

serem compreendidos; o aluno precisa, de fato, conhecer a seqüência de

1 a 9 para perceber a regularidade a partir de vinte. Por outro lado, esse


conhecimento não é um pré-requisito: ou seja, não é algo que precisa ser

aprendido primeiro para depois introduzir-se os outros números. Quando a

criança começa a ver a repetição existente em 21, 22, 23, etc. essa

repetição reforça a aprendizagem básica dos números de 1 a 9.

Embora tenhamos apresentado exemplos apenas com sistema de

numeração, isto se aplica também a outras situações. Vejamos apenas

mais um exemplo. O aluno que descobre a relação entre adição e

multiplicação descobre que não precisa memorizar toda a tabuada: pode

saber alguns exemplos e gerar outros, a partir da adição. Oito vezes cinco,

por exemplo, é fácil; as crianças memorizam com facilidade a tabuada do

5. Oito vezes seis e oito vezes sete são fatos mais difíceis de memorizar.

Mas o aluno que sabe oito vezes cinco, pode passar rapidamente oito

vezes seis e oito vezes sete se compreender a relação entre a adição e a

multiplicação. Para o aluno que não compreende as relações entre adição

e multiplicação, a tabuada é exclusivamente uma questão de memória; o

que foi aprendido, não pode ser gerado. Para o aluno que compreende as

relações entre adição e multiplicação, existe a possibilidade de maior

flexibilidade; algumas coisas estão memorizadas, outras não, e estas

últimas podem ser geradas, quando for necessário. [grifos nossos]

Outro aspecto da aprendizagem apontado pelo construtivismo, segundo

CARREHER (1990, p.22) é:

a idéia de que ninguém pode transmitir seu conhecim ento

diretamente ao outro . Se tenho um conceito, não posso passá-lo a meu

aluno como posso passar-lhe um lápis ou um livro. O aluno precisa formar

uma compreensão do conceito. Por melhor que eu explique uma coisa,

não posso garantir sua compreensão porque a compreensão é um ato do

aluno e a explicação é um ato do professor. Uma boa explicação pode ser

uma das experiências que levam o aluno à reflexão, e, conseqüentemente,

a uma nova compreensão de algo. Mas certamente uma explicação não é

sempre a melhor maneira de chegar à compreensão. [grifos nossos]

2. CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DA MULTIPLICAÇÃO

Para compreender o trabalho que propomos com a multiplicação, vamos recorrer

aos conceitos abordados por Kamii (1995) sobre a construção do número, por

considerarmos que o trabalho envolvendo a memorização e a agilidade de cálculos,


somente terá sentido se for sucedido por um processo de construção dos conceitos

matemáticos que envolvem esta operação.

Como a criança constrói o conceito de número?

A criança entra em contato e começa a se interessar por situações em que

envolvem números desde muito cedo, no contexto familiar e social através de situações

diversas do dia-a-dia: sua idade, número de sua casa, telefone, roupa, calçado, canal de

televisão, entre outras.

Esse contato embora informal, é de grande importância, pois oferece condições de

familiarização com o conceito de número, e a criança começa a estabelecer suas

primeiras hipóteses a respeito do processo de representação de quantidades.

É importante ressaltar que a numeração escrita existe não só dentro da escola,

mas também fora dela. Estudos como o de Lener e Sadovsky (1996), têm apontado que

o sistema de numeração oferece elementos à indagação das crianças, desde as páginas

dos livros, os endereços, os calendários, etc. Elas crianças começam a pensar e elaborar

hipóteses sobre a representação do sistema de numeração antes de serem introduzidas

ao ensino formal.

Sendo assim, a criança de 4 ou 5 anos já começa a apresentar suas concepções

sobre a representação de quantidades. É comum encontrarmos crianças que utilizam de

registro gráfico para representar quantidades e associam número à numerais. Isso não

significa que ela tenha “construído o número”.

De acordo com Kamii (1990) a idéia de número pode ser representada através de

símbolos ou signos.

Os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos representados e

são criados pela criança. Por exemplo, a criança quer representar a quantidade de

coleguinhas que compõe seu grupo de trabalho. Digamos que sejam 8 (oito) crianças. Ela

poderá criar um símbolo ou desenhar cada criança para representar essa quantidade

� � � � � � � �

Os signos são criados por convenção e não mantêm nenhuma semelhança com os

objetos que representam, por exemplo a palavra falada oito ou o numeral escrito 8. A

representação com signos é muito valorizada na escola. Freqüentemente professores

ou


ensinam as crianças a contar, ler e escrever numerais acreditando que assim estão

ensinando conceitos numéricos. É importante ressaltar que os signos falados ou escritos

representam apenas parte do conhecimento. Embora existam no ambiente da criança,

sua compreensão será decorrência da estrutura mental que ela constrói a partir de das

relações que cria.

O número é uma relação criada mentalmente pela criança. Essa relação se

estabelece por abstração reflexiva, ou seja, abstração que envolve a construção de

relações entre objetos e que, ao invés de representar apenas algo que já existe no objeto

(por exemplo, ser vermelho), indica uma operação ou ação mental de cada criança.

De acordo com Piaget, o número é uma síntese de dois tipos de relações que a

criança elabora entre os objetos. Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.

A ordem diz da ação de colocar objetos numa determinada ordenação para

assegurar-se da contagem. Não é necessário mudar os objetos de lugar nem colocá-los

alinhados para ordená-los. É importante que a criança possa ordenar mentalmente,

conforme a ilustração.

Contudo, a ordenação não garante que a criança considere cada objeto contado

dentro do todo que os integra. Esta integração é garantida pela inclusão hierárquica.

Para quantificar os objetos como um grupo, a criança tem que colocá-los

numa relação de inclusão hierárquica. Significa que terá que incluir mentalmente

um em dois, dois em três, três em quatro, etc. Utilizando o exemplo citado, da

quantidade de coleguinhas que compõe o grupo de trabalho e sendo esta

quantidade 8 (oito), para quantificar o conjunto dos

coleguinhas numericamente, a criança terá que

colocar todos numa única relação que sintetize

ordem e inclusão hierárquica.

Sendo assim a criança diante de oito objetos só estará quantificando-os

numericamente quando puder coordená-los numa relação única de ordem e inclusão

hierárquica.


De acordo com Kamii (1995), a criança constrói o sistema de dezenas com base

no sistema de unidades. Ela cria uma “unidade de dez” (ou uma dezena) baseando-se

em “dez unidades de um” e coordenando relações de ordem e inclusão hierárquica para

esta nova classe.

A figura abaixo representa o sistema de dezenas construído a partir do sistema de

unidades:

A criança pode pensar em uma dezena e dez unidades ao mesmo tempo. A figura

abaixo demonstra como a criança constrói um sistema de centenas, com base no sistema

de unidade e no sistema de dezenas. A nova unidade neste nível é a unidade de

centena. A criança pode agora pensar simultaneamente em centena, dezenas e

unidades.

Essa conceitualização hierárquica é muito diferente daquelas que norteiam o

ensino tradicional. De acordo com a metodologia que utiliza basicamente material de

base dez, (como o material dourado, ou maços de palitos atados com elástico formando

conjuntos de dez unidades, dezenas, centenas), o sistema decimal é visto apenas como

a junção de dez em dez.

Na concepção hierárquica a criança não perde o sistema de unidades ao construir

o sistema de dezenas. Da mesma forma, ela não perde o sistema de unidades nem o de

dezenas, ao construir o sistema de centenas. De acordo com Piaget, as estruturas

previamente construídas ao nível do conhecimento lógico das crianças, permanecem

inteiras e intactas ao serem construídas novas estruturas. As estruturas antigas integram-

se às novas numa estrutura de ordem superior.

Cabe ressaltar que a estrutura lógico-matemática de número não pode ser

ensinada diretamente. A criança tem que construí-la. Cabe ao professor possibilitar às

crianças pensar ativa e autonomamente em todos os tipos de situações, colocando


objetos, eventos, quantidades, em relação. Este trabalho deve considerar os sujeitos

envolvidos no processo, em suas diversidades, o contexto em que se inserem bem como

as práticas sociais de uso em que o conhecimento matemático se insere.

Como a criança constrói o conceito de multiplicação

Tradicionalmente, a multiplicação vem sendo tratada por diversos autores e pelos

livros didáticos, como uma forma mais eficiente/econômica de realizar adições

sucessivas. Encontramos autores que afirmam que a multiplicação pode ser usada como

recurso para abreviar uma soma muito longa. Se assim for entendido, então qual a

diferença entre a adição e a multiplicação?

Consideramos que matematicamente não está incorreta a afirmativa de que

chegamos a mesma resposta somando ou multiplicando: 5 + 5 + 5 + 5 = 20

5 x 4 = 20

Esta afirmativa expressa o conhecimento convencional, mas que não se refere à

operação mental de multiplicar. A multiplicação não está no mesmo nível da adição. Seria

o mesmo que representar desta forma:

Entretanto acreditamos que do ponto de vista do conhecimento lógico-matemático,

a operação mental envolvida na adição é diferente da operação mental envolvida na

multiplicação.

Compartilhamos com Kamii (1995, p.___) quando afirma que a multiplicação

costuma envolver a criação de unidades de uma ordem superior, e dois tipos tipos de

relação que não são necessários à adição. Desse modo ao multiplicar a criança faz dois

tipos de relação.

Afim de tornar mais claro este conceito, vamos observar a figura abaixo que

explicita a concepção de multiplicação que estamos tratando:

Analisando a representação acima podemos observar que existem dois tipos de

relação na operação da multiplicação:


• 1ª relação : É necessário fazer a correspondência de cinco por um ,

ou seja, fazer a correspondência de cinco unidades de um e de

uma unidade de cinco . Isso significa que a bolinha no nível

superior contém cinco unidades.

• 2ª relação : Fazer a inclusão das unidades de cinco, ou seja, incluir uma unidade de

cinco em duas unidades de cinco, duas unidades de cinco em três unidades de cinco

e três unidades de cinco em quatro unidades de cinco.

Resumindo, na multiplicação a criança realiza dois tipos de relação: a

correspondência das unidades em outras unidades com um valor relativo ao

número que está sendo multiplicado e a inclusão destas unidades de valor relativo .

As atividades que possibilitam a construção deste conceito devem ser incentivadas

nesta fase da aprendizagem. O boliche multiplicativo é um exemplo que contribui para

esta compreensão.

3. BOLICHE MULTIPLICATIVO

Segundo DINIZ4: Jogar boliche é para as

crianças uma atividade muito

motivadora. Além da organização

necessária, desde a formação das

equipes, das garrafas e para a

marcação de pontos, a criança é

estimulada em sua inteligência

corporal na medida em que precisa

controlar movimentos de pernas e

braços, adequar a força do

arremesso da bola e perceber

distâncias entre ela e as garrafas e

entre as garrafas.

4 Adaptado: DINIZ (Boliche Multiplicativo – disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/ brincadeiras/boliche.html – consultado em 29/05/2008)


Para trabalhar com essa brincadeira pela primeira vez, DINIZ dá as seguintes dicas:

Faça uma roda com os alunos e pergunte a eles:

• Quem conhece o jogo de boliche?

• Como se joga boliche?

• Como podemos organizar essa brincadeira?

• Como se decide quem joga primeiro?

Após levantar o que os alunos sabem sobre esse jogo, o professor

pode deixar que os alunos organizem o espaço, decidam como arrumar as

garrafas e como garantir que todos lancem a bola da mesma distância até

as garrafas. Cada impasse deve ser devolvido aos alunos na forma de

problematização para que eles assumam a responsabilidade pelas

possíveis soluções.

É importante que os alunos tenham várias oportunidades para jogar

de modo a vencer as dificuldades encontradas e para que possam refletir

sobre as quantidades e registros feitos.

Sobre as possibilidades pedagógicas do boliche, DINIZ complementa:

o que pode ser enfatizado através deste jogo é a contagem e as noções

das operações.

Na primeira série, isso pode ser feito pedindo-se às crianças que

encontrem uma forma de saber quantas garrafas derrubaram. Para isso

elas deverão ter à mão palitos, tampinhas, cartões com números escritos

em algarismos, papel branco e canetas, e podem escolher como desejam

fazer a marcação de seus pontos. Em sala de aula o professor estimula o

registro, seja em grupos ou numa tabela coletiva. Este registro pode ser


feito colando-se os palitos ou tampinhas ao lado do nome de cada criança

e para as crianças que já reconhecem os algarismo, com a escrita

convencional, obtendo-se algo semelhante a:

André | | | | 4

Mariana | | | | | | | 7

Pedro | | | | | | 6

A partir daí o professor pode propor oralmente uma série de

problemas:

• Quem derrubou mais garrafas?

• Quantas garrafas o Pedro derrubou a mais que o André?

• O que acontece se o André derrubar mais 3 garrafas?

Esta pode ser a oportunidade do professor mostrar aos alunos os

sinais convencionais das operações:

1ª JOGADA 2ª JOGADA TOTAL DE PONTOS

André | | | | 4 | | | | | | | 7 11 = 4 + 7


À medida que as crianças se familiarizam com o jogo e a marcação

de pontos, podemos propor que elas passem a jogar por equipe de 4 a 8

alunos. Escolher as equipes e nomes para elas é uma atividade muito

motivadora e que permite que as crianças trabalhem com números

maiores, uma vez que a pontuação da equipe é a soma das garrafas

derrubadas por seus integrantes. O registro numérico passa a ser mais

valorizado e se desenvolvem formas pessoais para adicionar quantidades

que envolvem números maiores que 10.

No final da primeira série ou na segunda série, este jogo pode

contribuir para o desenvolvimento da noção de multiplicação e organização

das tabuadas.

Nessa sentido, para trabalhar a construção do conceito da multiplicação, o jogo de

boliche pode ser proposto da seguinte forma:

Objetivos: Reconhecer algarismos; ler e escrever números; contar e comparar

quantidades; desenvolver o cálculo mental; resolver situações-problema envolvendo

adições e multiplicações; memorizar e compreender a idéia da multiplicação; desenvolver

o raciocínio espacial; avaliar e estimar força e distância.

Público Alvo: A partir de 7 anos.

Número de participantes: Grupos de 4 a 8 alunos/as.

Material: 1 jogo de boliche ou 10 garrafas e uma bola para cada grupo. As garrafas

podem ser feitas a partir de vasilhames de refrigerantes e a bola pode ser de borracha ou

feita com meias velhas.

Pontuação: Todas as vezes que a bola (que vale

5 pontos) tocar numa garrafa (que vale 1 unidade)

e derrubá-la, a garrafa ganha o valor da bola.

Regras:

1ª. Cada equipe organiza o seu jogo de boliche e a forma como irá marcar os pontos

(desenho de garrafas, pauzinhos, etc.).

2ª. Em cada rodada, um/a jogador/a tem três chances para derrubar o máximo de

garrafas possível. Quando encerrar suas chances, independente do número de

garrafas derrubadas, passa a vez ao/à próximo/a, que reorganizará as garrafas ao

seu modo.

Assim, se o/a aluno/a derrubar quatro garrafas, terá que incluir

cinco unidades em cada garrafa, fazendo a correspondência de 5

para 1 e depois incluir a quantidade de garrafas derrubadas (quatro

garrafas de cinco unidades).


3ª. A rodada termina quando todos/as da equipe tiverem jogado.

4ª. Ganha a equipe que tiver maior número de pontos ao final.

4. EXPLORANDO A TÁBUA DE PITÁGORAS

Após a construção do conceito da multiplicação, podemos investir na descoberta

de suas propriedades para construir a tabuada com os/as alunos/as. Um recurso muito

interessante para trabalho é a Tábua de Pitágoras.

A Tábua de Pitágoras é uma tabela de dupla entrada que organiza

todos os fatos fundamentais da multiplicação de dois fatores. A maneira

mais interessante de trabalhar com a Tábua de Pitágoras é incentivar as

crianças a construí-la com o apoio de materiais de contagem e registro dos

cálculos na tabela. Depois é importante encontrar as propriedades da

multiplicação estudando as relações entre os números da tabela.

AZEVEDO5 (s.d., p.16 a 18)

A seguir, apresentamos uma proposta de trabalho6 para a Exploração da Tábua

de Pitágoras :

Objetivos : Explorar regularidades nas multi-

plicações com fatores ate 10 x 10; desenvolver o

cálculo mental; favorecer a memorização dos

fatos básicos da multiplicação.

Público Alvo : A partir de 8 anos.

Duração aproximada: A partir de 4 aulas.

Material: Uma Tábua de Pitágoras7 sem preen-

chimento para cada aluno/a e uma cópia grande

(que pode ser um cartaz) para colocar no quadro.

Primeira aula:

Inicialmente, os/as alunos/as observam suas tábuas, procurando levantar

hipóteses de como ela deverá ser preenchida.

5 AZEVEDO (Matemática através de Jogos – Uma Proposta Metodológica – Orientação para o Professor. Disponível em http://www.veronicaweb.com.br/download/manual2.pdf (consultado em 29/05/2008) 6 Adaptado: SMOLE (Explorando a Tábua de Pitágoras – disponível em http://www.mathema.com.br/ e_fund_a/sala/pitagoras.html – consultado em 29/05/2008); Programa Educ@r (O aluno deve aprender tabuada? – Disponível em http:// educar.sc.usp.br/matematica/m312.htm – consultado em 29/05/2008). 7 Anexo 1

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Após uma conversa sobre as observações dos/as alunos/as e as idéias para o

preenchimento da Tábua, peça a eles/as que, em duplas, completem todas as

multiplicações que conhecem até 5 × 5.

Nesse momento, eles/as devem fazer esse preenchimento sozinhos/as,

consultando, se necessário, outros registros de multiplicação que vocês já tenham

construído na turma.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25

6

7

8

9

10

Segunda aula:

Aproveite para contar para os/as alunos/as um pouco da história de Pitágoras.

Você pode utilizar o texto abaixo:

Pitágoras

Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que fundou uma

sociedade mística secreta, que era chamada

Escola Pitagórica.

Os pitagóricos, como eram chamados os

membros dessa seita, pensavam que podiam

explicar tudo que havia no mundo através dos

números.

Eles, os pitagóricos, eram tão fascinados

pelos números que chegaram a lhes atribuir qualidades muito curiosas.

Para ele, os números pares eram considerados femininos e os ímpares,

com exceção do 1, eram masculinos.

O número 1 era gerador de todos os outros. O 5 era símbolo do

casamento, pois é a soma do primeiro número feminino, o 2, com o

primeiro masculino, o 3.


Pitágoras fez descobertas importantes na área da Geometria e

inventou, entre outras coisas, uma tábua de multiplicação que ficou

conhecida como "Tábua de Pitágoras".

Voltando à Tabua, peça aos/às alunos/as para identificarem e listarem todas as

semelhanças e diferenças entre as colunas do 2 e do 4. Isso também pode ser feito para

as colunas do 2 e do 3.

É importante destacar algumas observações como, por exemplo:

� Na tabuada do 2 e do 4 só tem números pares.

� Na tabuada do 3 um resultado é par e o outro ímpar.

� Na tabuada do 4 os resultados são o dobro da tabuada do 2.

� 2 × 3 = 3 × 2 → Solicite que eles/as encontrem outros produtos nos quais isso

acontece. Mas, cuidado: ainda não é o momento de falar em propriedade comutativa.

Terceira aula:

Observando a parte vazia da Tábua, os/as alunos/as, ainda em duplas, devem

completar outros produtos. Geralmente, eles/as têm facilidade em completar a primeira

linha e primeira coluna que se referem à multiplicação por 1. O mesmo costuma

acontecer com as últimas linhas e colunas que se referem à multiplicação por 10.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 20

3 3 6 9 12 15 30

4 4 8 12 16 20 40

5 5 10 15 20 25 50

6 6 60

7 7 70

8 8 80

9 9 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Incentive os/as alunos/as a encontrarem quanto dá, por exemplo, 8 × 3. Uma

maneira de encontrarem esse resultado é através de adições sucessivas:


Outra maneira é apresentar a eles/as outra observação sobre as multiplicações. Para

isso, peça que somem o produto de 1 × 3 com o produto de 3 × 3: 1 × 3 + 3 × 3 = 3 + 9 = 12.

A seguir, solicite que encontrem, na tabuada do 3, outra multiplicação com o mesmo

resultado. Ao encontrar 4 × 3 =12, será possível concluir que 4 × 3 = 1 × 3 + 3 × 3.

Assim, a partir das conclusões desse exemplo, eles/as podem utilizar essa idéia para

calcular 8 × 3. Como 8 = 5 + 3, os/as alunos/as podem perceber que: 8 × 3 = 5 × 3 + 3 × 3.

A partir dos produtos 5 × 3 e 3 × 3 que já estão na Tábua, concluirão que: 8 × 3 = 15 + 9 = 24.

Depois, peça que escolham outras multiplicações e experimentem essa idéia. Veja

outros exemplos: 9 × 3 = 5 × 3 + 4 × 3 = 15 + 12 = 27 e 7 × 4 = 3 × 4 + 4 × 4 = 12 + 16 = 28.

Além disso, a partir das observações da aula anterior, eles/as podem completar

outros produtos. Por exemplo, sabendo 8 × 3 = 24, eles/as concluem que 3 × 8 = 24; se

9 × 3 = 27, então 3 × 9 = 27. E, assim, a tabela vai sendo completada.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 20

3 3 6 9 12 15 24 27 30

4 4 8 12 16 20 28 40

5 5 10 15 20 25 50

6 6 60

7 7 28 70

8 8 24 80

9 9 27 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Note que nesta construção, diversas propriedades da multiplicação serão usadas

intuitivamente. Por isso, ao explorar a Tábua de Pitágoras, trabalhamos com a

compreensão do conceito de multiplicação o tempo todo.

A partir da Quarta aula:

Convide os/as alunos a completarem toda a Tábua, utilizando todas as

observações levantadas nas aulas anteriores.


x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Quando a Tábua estiver completa, prossiga explorando-a ainda mais:

• A linha do 1 é igual á coluna do 1. A linha do 2 é igual á coluna do 2 etc. Isto ocorre

porque 3 × 1 = 1 × 3, 2 × 4 = 4 × 2 etc.

• Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.

Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.

E assim por diante. Na linha 9 (e na coluna do 9) os números aumentam de 9 em 9. É

fundamental explorar este ritmo, esta regularidade da tabuada.

• Peça aos/às alunos/ás para localizarem todos os 12 da tabela. Ele aparece quatro

vezes: 3 × 4, 4 × 3, 2 × 6 e 6 × 2. Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc.

Uns aparecem três vezes, outros duas e outros ainda só uma vez.


MEMORIZANDO A TABUADA

Considerando que a memorização da tabuada é necessária para auxiliar no

desenvolvimento de processos mais sofisticados de cálculo, especialmente de cálculo

mental, SMOLE8 apresenta algumas sugestões:

É preciso ensinar a estudar a tabuada. Assim converse com seus

alunos sobre como eles estudam, quais as estratégias que utilizam e faça

com eles uma lista que deve ficar na sala e outra no caderno de cada um.

Caso eles não conheçam nenhuma estratégia, sugira uma ou duas

ou peça que conversem com os pais sobre como eles estudavam. (...)

Depois, faça com eles uma lista coletiva que deve ficar na sala de

aula, em local acessível a todos, e outra no caderno de cada um.

SUGESTÕES PARA ESTUDAR TABUADAS

Nós discutimos e decidimos experimentar estudar tabuada de um desses jeitos:

• Pedir para a mãe tomar a tabuada.

• Fazer uma lista e colocar num lugar que a gente veja sempre: espelho, porta do armário, na escrivaninha, etc.

• Fazer jogos em casa (pode ser um da escola ou do computador).

• Escrever a tabuada algumas vezes.

• Estudar com a calculadora.

• Estudar com a irmã ou o irmão.

• Ler as tabuadas algumas vezes.

Listas (individual e coletiva) feitas por alunos da 2ª série (3º

ano do Ensino Fundamental) do Colégio Marista Santa Maria

em Curitiba.

8 SMOLE (Memorizar sim, mas como? – disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/sala/ memorizar.html – consultado em 29/05/2008).


Como os/as alunos/as iniciam a memorização das tabuadas no início do 2º ciclo e

têm até o final dele para finalizar esse processo, você deve apostar em um trabalho

sistemático.

Lembre que a freqüência é melhor que a quantidade. Assim eles não

devem fazer as tabuadas muitas vezes em um dado período do ano e

depois interromper. O ideal é que tenham propostas desafiadoras toda

semana.

Jogos, problemas e atividades que envolvem regularidades são as

melhores e mais desafiadoras formas de levá-los a perceber como e

porque memorizar as tabuadas. (SMOLE)

Nesse sentido, a seguir apresentamos algumas propostas que contribuem o ensino

da tabuada, aliando compreensão e memorização.

1. STOP! 9

Objetivos: Desenvolver o cálculo mental; favorecer a memorização dos fatos básicos da

multiplicação.


Número de participantes:

Grupos de no máximo 4

alunos/as.

Material: Uma folha com

tabela10 ao lado para cada

aluno/a e um quadro afixado

na parede com todas as

tabuadas. (Segundo SMOLE,

durante o jogo, os alunos vão consultá-la, mas logo perceberão que é pura perda de

tempo. A partir de então, eles vão sentir a necessidade de estudar a tabuada para obter

melhores resultados, mas desde que tenham um bom motivo.)

9 Adaptado: SMOLE (Stop! – Disponível http://www.mathema.com.br/e_fund_a/jogos/stop.html – consultado em 29/05/2008) 10 Anexo 2

Número Falado ×××× __ ×××× __ ×××× __ ×××× __

Total de Acertos


Regras:

1ª. Inicialmente, o/a professor/a completa a primeira linha. Depois, cada grupo decidir

quem inicia o jogo, o/a jogador/a iniciante diz um número de 1 a 10 para ser

colocado na segunda linha da coluna "número falado". Os/as outros/as jogadores/as

então tentam completar o restante da segunda linha da tabela o mais rápido

possível, podendo, se preciso, consultar o grande quadro fixado na parede. Quem

for o/a primeiro/a a colocar todos os produtos diz STOP! , ou seja, Pare!

2ª. Cada jogador/a, então, confere seus produtos com os outros e marca o número de

acertos na coluna correspondente.

3ª. Depois, outro/a jogador/a repete o mesmo procedimento, até a segunda rodada

4ª. Ganha o jogo que tiver o maior número de acertos nas duas rodadas.

Veja algumas produções feitas pelos/as alunos/as após o Stop!

Textos dos alunos Lucas e Fernanda refletindo sobre o desempenho deles após o jogo STOP.


• O jogo foi legal e todo mundo participou, só teve a Danielle que não quis ser a juíza.

Eu acho que a gente deve estudar mais um pouco, e Everaldo precisa parar de conversar é só isso que eu observei. O jogo é jogado assim: fica o juiz e dois jogadores, os dois jogadores têm que saber a multiplicação do resultado que o juiz falou, quem ganhou foi Everaldo e em segundo lugar fui eu. 25/09

• Dessa vez eu fui melhor, eu ganhei duas vezes e a Indiara também ganhou duas vezes, mas o Anderson não ganhou nenhuma vez.

As vezes eu não aceitava perder, quando a Indiara foi a Juíza, ela estava falando os resultados errados... 10/10

2. PADRÃO GEOMÉTRICO 11


multiplicação.


Número de participantes: Grupos

de no máximo 4 alunos/as.

Material: Uma tabela e um círculo12 para cada aluno/a (vide figura).

Como Fazer:

Cada aluno/a deverá escolher uma tabuada (de 1 a 9) para fazer sua

representação geométrica.

Primeiro, eles/as devem preencher a tabela com os resultados da tabuada

escolhida. Depois, a idéia é distribuir os resultados da tabuada numa circunferência

numerada de 0 a 9, ligando os pontos formados pelo último algarismo de cada resultado

11 Adaptado: SMOLE (Padrão Geométrico – disponível http://www.mathema.com.br – consultado em 20/04/2007) 12 Anexo 3

Texto da aluna Cristiane da 4ª série do colégio Marista Ir. Francisco Rivat, de Brasília refletindo sobre seu desempenho e

dos amigos no jogo Salute Multiplicativo


da tabuada. Após certo intervalo de resultados, será possível perceber que os traços

começarão a coincidir, ou seja, surgirá um padrão geométrico.

Analisando os padrões geométricos:

Comparando os padrões geométricos encontrados, os alunos/as podem chegar a

várias conclusões como, por exemplo:

• Os padrões geométricos de algumas tabuadas coincidem quanto à forma, mas são diferentes

na direção do traçado. Por exemplo, observe as construções das tabuadas do 2 e do 8:

A figura formada nas duas tabuadas é um pentágono, porém a da tabuada do 2 é

traçada no sentido horário e a do 8 no sentido anti-horário.

• O mesmo acontecerá com as tabuadas do 1 e do 9, do 3 e do 7, do 4 e do 6.

• Ainda observando as tabuadas que têm a mesma forma geométrica, verificamos que

sua soma é sempre dez (1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10 e 4 + 6 = 10).


• A tabuada do 5 gera apenas uma reta

que liga os pontos 0 e 5. Como muitos/as

alunos/as escolhem essa tabuada pela

facilidade em calcular seus resultados,

ficam decepcionados/as com o padrão

geométrico gerado.

3. JOGANDO COM A MULTIPLICAÇÃO 13


multiplicação; fazer busca de regularidades envolvendo multiplicações.


Número de participantes: Grupos de 4 alunos/as.

Material: 40 cartas (quatro de cada) de ás à dez. Pode-se utilizar o baralho tradicional,

sem o valete, a dama e o rei (A = 1).

Regras: 1ª. Embaralhem as cartas e coloquem 8 delas no centro da mesa com a face voltada

para cima. Deixam as demais de lado, com os números para baixo.

2ª. Na primeira rodada, um dos/as jogadores/as será o/a árbitro/a. Ele/a deverá dizer o

resultado de uma multiplicação feita com os números de duas das cartas da mesa.

Dos/as outros/as três, o/a que primeiro disser quais são essas cartas fica com elas.

Por exemplo: Suponha que na mesa estejam as cartas A, 2, 8, 6, 6, 3, 7 e 4. Se

ele/a disser 12, o/a primeiro/a que disser 2 e 6 ou 3 e 4, ficará com as cartas, pois

2 × 6 = 12 e 3 × 4 = 12.

3ª. Na próxima rodada, muda o/a árbitro/a e as duas cartas

retiradas são substituídas por outras duas tiradas do

monte.

4ª. O jogo termina quando o monte de cartas acaba. Vence quem tiver mais cartas na mão.

13 Adaptado: IMENES, LELLIS & MILANI (2004, p.145)

Ao final da atividade, a turma pode colorir e preparar uma exposição.

Outros detalhes sobre as regras podem ser

combinados com os/as integrantes do jogo.


4. EU TENHO, QUEM TEM? 14

Objetivos: Explorar e memorizar as tabuadas até 10x10; desenvolver habilidades de

cálculo mental.


Número de participantes: Toda a turma.

Duração da atividade: Mínimo de 4 aulas.

Material: 37 tiras15 com resultado e pergunta.

Eu tenho 54. Quem tem 10 x 6?


Eu tenho 7. Quem tem sete vezes

dois?

Eu tenho 14. Quem tem três vezes

sete?


Eu tenho 28. Quem tem cinco vezes o

sete?

Eu tenho 35. Quem tem sete vezes

sete?

Eu tenho 49 Quem tem 8 x 7?

Eu tenho 56. Quem tem nove vezes

sete?



Eu tenho 8. Quem tem o dobro do

meu número?

Eu tenho 16. Quem tem oito vezes o

quatro?

















Eu tenho 6. Quem tem o dobro do

meu número?








14 SMOLE (Eu tenho, quem tem? – Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/sala/ eutenho.html – consultado em 29/05/2008) 15 Anexo 4


Regras: 1ª. Distribua as 37 tiras ao acaso entre os/as alunos/as da turma.

2ª. O/A aluno/a que estiver com o cartão EU COMEÇO inicia o jogo

lendo sua ficha.

3ª. O/A aluno/a que está com o cartão com a resposta lê sua ficha, assim

sucessivamente até chegar no cartão FIM.

Para trabalhar com esse jogo, SMOLE dá as seguintes orientações:

Para começar:

Distribua a cada dupla de alunos uma cópia das tiras Eu tenho,

quem tem?

Peça aos alunos que analisem as tiras: como começa cada uma;

como terminam; onde podem encontrar a resposta da pergunta de uma

das tiras; há alguma frase nas tiras que eles não saibam o significado?

Leia uma das tiras: Eu tenho 18, quem tem 8x3? Peça que localizem

a tira da resposta para a pergunta e que depois encontrem a tira que tem a

pergunta para o produto 18.

Essa atividade os auxilia a conhecer as tiras com as quais

desenvolverão a atividade.

Peça a eles que estudem as tabuadas porque em uma aula da

semana que vem vocês farão uma atividade na qual todos precisarão

conhecer as tabuadas e que se eles se prepararem é melhor. Converse

com eles sobre formas de estudar as tabuadas e se prepararem para

brincar.

Na primeira aula:

• Recorte as tiras do Eu tenho, quem tem? Distribua aleatoriamente uma

tira para cada aluno, ou duplas de aluno. Se for preciso um aluno pode

ficar com mais de uma tira.

• Combine com os alunos as regras da atividade: um aluno lê sua tira,

começando pela resposta e terminando na pergunta. A classe ouve em

silêncio e o próximo a ler sua tira será aquele que tem a resposta para

a pergunta lida. Assim, se um aluno leu "Eu tenho 28, quem tem o

cinco vezes 7?" O próximo aluno a ler a tira será aquele que tiver o 35.

Ele repete o processo lendo sua resposta e a próxima pergunta. A

leitura prossegue assim até que a última pergunta feita tenha como

resposta o primeiro resultado lido, em nosso caso, seria até que

pergunta lida tivesse como resposta o 28.

• É importante que haja uma pessoa para anotar as respostas no quadro

O jogo funciona como um jogral.


A B

6 7 6 7

8 9 8 9

42 56 63 54

48 72 36 49

54 81 72 42

64 48 63 56

• Nenhum aluno pode dar a resposta no lugar de outro. Se a resposta

não for dada a tira deve ser lida outra vez, e mais uma. Caso haja a 3ª

leitura sem resposta, os alunos devem consultar em uma tabela a

resposta e a atividade prossegue.

Na segunda aula:

• Repita o Eu tenho, quem tem? Após brincarem proponha problemas a

partir das tirinhas:

a. Ester leu sua tirinha: "Eu tenho 24. Quem tem 5 x 6?" Qual deve

ser a próxima tirinha lida?

b. Josenilton leu sua tirinha: "Eu tenho 36. Quem tem 7 x 6?" Pedro

então disse "Eu tenho 48.Quem tem 6 x 9?". Você concorda que

era essa a tirinha a ser lida? Por quê?

c. Invente com um amigo um outro problema para o Eu tenho, quem

tem?

Na terceira aula:

Repita a atividade e veja se dessa vez eles conseguem ir mais

rápido do que nas anteriores. Proponha que façam um texto de dicas para

se prepararem para essa atividade de modo a darem as respostas mais

rapidamente.

Na quarta aula:

Daqui para frente eles podem fazer essa atividade sempre que

tiverem um tempo livre e desejarem estudar mais tabuada.

5. TRÊS-EM-LINHA 1 16

Objetivos: Desenvolver o cálculo mental; favorecer a

memorização dos fatos básicos da multiplicação.


Número de participantes: Duplas.

Material: Folha com o tabuleiro17 do jogo, dois aros, fichas

para marcar de duas cores diferentes.

Regras: 1ª. Cada jogador/a recebe todas as fichas de uma determinada cor.

16 KAMII (_____, p.180). 17 Anexo 5


2ª. Cada um/a, na sua vez, coloca um aro sobre um número da tabela A e outro sobre

um número da tabela B. Então ele/a multiplica um número pelo outro.

3ª. O/A jogador/a cobre, com uma de suas fichas, o resultado no quadrado grande.

4ª. Caso este já esteja coberto ele/a perde a vez.

5ª. O/A primeiro/a que conseguir colocar três fichas em linha, seja na horizontal, vertical

ou diagonal, vence o jogo.

6. TRÊS-EM-LINHA 2 18

Objetivos Desenvolver o cálculo mental; favorecer a memorização dos fatos básicos da

multiplicação.



Material: Folha com o tabuleiro19 do jogo, dois dados, fichas para marcar de duas cores

diferentes.

Regras: 1ª. Cada jogador/a recebe todas as fichas de uma determinada cor.

2ª. Cada um/a, na sua vez lança os dois dados, observa os dois números obtidos e

procura, no tabuleiro, o produto dos mesmos.

3ª. Cobre, com uma de suas fichas, o produto encontrado no tabuleiro. Caso este já

esteja coberto ele perde a vez.

4ª. O primeiro que conseguir colocar três fichas em linha, seja na horizontal, vertical ou

diagonal, vence o jogo.

18 Programa Educ@r (O aluno deve aprender tabuada? – Disponível em http://educar.sc.usp.br/matematica/ m312.htm – consultado em 29/05/2008). 19 Anexo 6

4 6 15 12 5 9 2 1 30 6 3 24 8 12 10 2 20 18

25 4 18 12 30 4 15 3 16 36 8 10 6 24 6 20 5 12


7. JOGO DA CONQUISTA 20


multiplicação; dominar a relação entre multiplicação e organização retangular; percepção

geométrica e raciocínio estratégico.



Material: Folha com o tabuleiro21 do jogo, dois dados, dois lápis de cor de cores

diferentes.

Regras: 1ª. Cada jogador/as da dupla deve ficar com uma cor de lápis de cor diferente.

2ª. Cada dupla recebe uma folha com o tabuleiro do jogo e tira par ou ímpar para

decidir que será o/a primeiro/a.

3ª. O/A primeiro/a jogador/a lança os dois dados e colore um retângulo que tenha a

área igual ao produto dos dois números tirados.

Por exemplo: Se ele/a tirar 3 e 4 nos dados, terá direito a um retângulo de área igual

a 12 quadradinhos, porque 3 × 4 = 12. Por isso, ele pode definir qual será as

melhores medidas para os lados desse retângulo: 1 por 12, 2 por 6 ou 3 por 4.

4ª. O/A outro/a jogadora repetirá o mesmo procedimento.

5ª. Os/as jogadores/as vão alternando as jogadas até preencher todo o tabuleiro.

IMPORTANTE: À medida que o jogo avança, vão se reduzindo os espaços não

conquistados do tabuleiro. Por isso, ele/a deverá diminuir um dos dois números

obtidos e manter o outro. Enfim, será preciso contentar-se com um retângulo ou

quadrado menor.

Por exemplo: Se um/a jogador/a tira 4 e 6 e não tem espaço no tabuleiro para cercar

um retângulo de 24 quadradinhos, ele deverá verificar se é possível obter um

retângulo com área igual menor:

� diminuindo o 6 → 4 × 5 ou 4 × 4 ou 4 × 3 ou 4 × 2 ou 4 × 1;

� diminuindo o 4 → 3 × 6 ou 2 × 6 ou 1 × 6.

6ª. No final, ganha quem conquistou a maior área do tabuleiro, ou seja, quem tem mais

quadradinhos.

20 IMENES, LELLIS & MILANI (2004, p.36)


1ª jogada (jogador/a 1) 2ª jogada (jogador/a 2)

8. SALUTE ! 22

Objetivos: Perceber a relação entre multiplicação e

divisão; realizar cálculo mental; favorecer a memorização

dos fatos básicos da multiplicação.


Número de participantes: Trios.

Material: 40 cartas (quatro de cada) de ás à dez. Pode-se utilizar o baralho tradicional,

sem o valete, a dama e o rei (A = 1).

Regras: 1ª. As cartas são distribuídas entre dois/duas dos/as três jogadores/as, que devem

sentar-se frente a frente, com seus montes de cartas viradas para baixo.

2ª. Ao mesmo tempo os/as dois/duas retiram a carta de cima de seus montes dizendo: -

Salute! e segurando-as na frente testa, de modo que possam ver apenas a carta

do/a adversário/a, mas não a própria.

3ª. O/A terceiro/a jogador/a, nesse momento, anuncia o produto das cartas, e aquele/a,

entre os/as dois/duas, que primeiro descobrir o valor correto de sua própria carta

leva o par para si.

4ª. Ganha aquele/a que conseguir o maior número de cartas.

21 Anexo 7 22 SMOLE (Salute! – Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/jogos/salute.html – consultado em 29/05/2008)


Registros:

Ilustrações de alunas da EMEF Dr. João Pedro de Carvalho Neto – São Paulo - SP

Observações:

• Repetir o jogo, no mínimo 3 vezes, para que todos/as os/as alunos/as possam ocupar

a posição do/a terceiro/a jogador/ª

• Aos poucos, os/as alunos perceberão que a melhor forma de calcular o valor da

própria carta é dividindo o produto falado pelo valor da carta do/a adversário.

• No 1º ciclo, o “Salute!” pode ser jogado com adição.

9. DESCOBRINDO NÚMEROS OCULTOS 23


multiplicação; fazer busca de regularidades envolvendo multiplicações; expressar

regularidades observadas.


Número de participantes: Toda a turma.

Material: Cartaz com as tabuadas do 3 e do 9.

Duração da atividade: 2 a 3 aulas.

23 SMOLE (Descobrindo números ocultos – Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/sala/ num_ocultos.html – consultado em 29/05/2008)

1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 =

1 X 9 = 9 2 x 9 = 18 3 x 9 = 27 4 x 9 = 36 5 x 9 = 45 6 x 9 = 54 7 x 9 = 63 8 x 9 = 72 9 x 9 = 81


Como fazer:

Para trabalhar com esse jogo, SMOLE dá as seguintes orientações:

Para começar:

Na Ao buscar regularidades (padrões) nas tabuadas os alunos

precisam estudar cada uma delas cuidadosamente, o que favorece a

memorização das mesmas.

Na primeira aula:

Apresente a tabuada do 3 para a turma e lance o desafio: "Essa

tabuada esconde um segredo. Vamos descobrir?".

Para encontrar o segredo na tabuada do 3, os alunos precisarão

estudar a tabuada, e investigar seus resultados. Alguns segredos estão

nnas multiplicações de 1 × 3, 2 × 3 e 3 × 3, onde os números 3, 6 e 9,

produtos de 1 × 3, 2 × 3 e 3 × 3, se repetem na soma dos algarismos dos

respectivos produtos. Veja:

4 × 3 = 12 (1 + 2 = 3)

5 × 3 = 15 (1 + 5 = 6)

6 × 3 = 18 (1 + 8 = 9)

Registrem o segredo descoberto.

Na segunda aula:

Apresente então a tabuada do 9, um segredo também está na soma

dos algarismos do resultado, que sempre dá 9.

2 × 9 = 18 (1 + 8 = 9)

3 × 9 = 27 (2 + 7= 9).

Outro segredo: observando os primeiros algarismos dos resultados

de cima para baixo, percebe-se que vão de 0 a 9. Observando os últimos

algarismo dos resultados, agora de baixo para cima, observa-se que

correm de 0 a 9.

Organize com os alunos um registro no caderno dos segredos

encontrados.

Na terceira aula:

Peça a cada grupo de 4 alunos que escolha uma tabuada diferente

para descobrir seus segredos. Eles devem registrar suas observações e

desafiar a classe para descobri-los ficando encarregados de socializar as

descobertas.


10. MULTIPLICAÇÃO NA LINHA 24

Objetivos: Desenvolver estratégias de resolução de problemas; compreender de modo

mais aprofundado a multiplicação; favorecer a memorização dos fatos básicos da

multiplicação.



Material: Um tabuleiro25, dois dados comuns, 9 fichas de

uma cor e 9 fichas de outra cor.

Regras: 1ª. Cada jogador/a começa com 20 pontos.

2ª. Os/as jogadores/as jogam alternadamente lançando os dados, multiplicando os dois

números que saírem, anunciando o produto em voz alta e marcando-o no tabuleiro.

Por exemplo, com os números 2 e 3 o/a jogador/a obtém 2 × 3 e, neste caso, deverá

anunciar 6 e cobrir o espaço marcado com 6 com uma ficha de sua cor.

3ª. A contagem de pontos é feita da seguinte forma:

� Um ponto é ganho por um/a jogador/a quando ele coloca uma ficha num espaço

desocupado que seja vizinho (adjacente) a um com uma outra ficha na vertical,

horizontal ou diagonal, não importando a cor;

� Se colocar uma ficha num espaço adjacente a vários outros,

ganha um ponto para cada espaço ocupado. Por exemplo,

se os espaços 2, 3 e 25 estiverem ocupados, o/a jogador/a

que colocar uma ficha sua no 24 ganha 3 pontos;

� Cada ponto ganho é subtraído de 20.

4ª. Se o/a jogador/a der o valor da multiplicação errado, o/a adversário/a pode acusar o

erro, ganhando com isso o direito de colocar sua ficha no tabuleiro.

5ª. Quem colocar, em seguida, três fichas de sua cor em linha reta (diagonal, horizontal

ou vertical) ganha o jogo. Se as fichas acabarem antes que alguém alinhe três

fichas, ganha o jogo quem tiver o menor número de pontos.

24 Adaptado: SMOLE, DINIZ & CÂNDIDO ( 2007, p.81 a 83). 25 Anexo 8

36 1 6 5 8 15

3 25 4 30 16 10

24 2 20 2 8 9

A dupla não deve descuidar da contagem dos pontos.

Nesse sentido, o uso de um

registro pode ajudar.


A respeito do trabalho com esse jogo, SMOLE, DINIZ & CÂNDIDO (2007, p.82 e 83)

sugerem:

Algumas explorações possíveis:

• Peça para os alunos registrarem as operações que fizeram.

• Sugiram que, enquanto jogam, observem em quais tabuadas têm mais

dificuldade e que anotem isso. Combinem que eles terão uma semana

para estudar essas tabuadas e que o jogo será proposto novamente

para que todos avaliem o seu desempenho após o estudo.

• Vocês podem adaptar o jogo para tabuadas maiores, para adição, para

duas operações ou, como na versão elaborada, para as quatro

operações.

Problematizações:

• Por que não aparece o 13? E o 28? Como deveriam ser os dados para

que esses produtos aparecessem?

• Por que o maior produto é 36?

• Quando lançamos dois dados, quais são os produtos que podem

aparecer?

• Júlio quer marcar o 18. Quais números ele precisa tirar nos dados?

• Paula disse que, cada vez que deseja marcar um número terminado

em 0 ou 5, um dos números que precisa sair nos dados deve ser o 5.

Ela está certa ou errada? Por que?

• Como poderíamos modificar os dados do jogo para termos outros

produtos no tabuleiro?

Nessa última problematização, vale a pena discutir as possibilidades e

construir os dados e os tabuleiros modificados para que os alunos utilizem

seus próprios jogos.


CONCLUSÃO

As atividades citadas neste caderno contribuem para a memorização da tabuada.

Mas, concordamos com o Programa Educ@r26 quando afirma que:

é claro que este esforço de memorização não deve ser obsessivo.

Se um aluno, em algum momento, não se lembrar, por exemplo, de quanto

é 7 × 8, é importante que ele tenha a chance de pensar e descobrir por si

próprio. Além disso, vocês devem discutir com os alunos a necessidade

desta memorização. Eles devem saber que ela é necessária para que

possamos apresentar um bom desempenho em situações mais

complexas. A necessidade da memorização justifica-se. Não é á toa que

os fatos fundamentais têm este nome. A fixação dos mesmos é importante

para que o aluno compreenda e domine algumas técnicas de cálculo. Na

exploração de novas idéias matemáticas (frações, geometria, múltiplos,

divisores etc) a multiplicação aparecerá com freqüência. Se a criança não

tiver fixado os fatos fundamentais, a cada momento ela engasgará na

tabuada, desviando sua atenção das novas idéias que estão sendo

trabalhadas.

Respondendo então à pergunta que dá título a essa leitura [O aluno

deve decorar tabuada?], o aluno não deve decorar mecanicamente a

tabuada, mas precisa fazer um certo esforço para memorizar. Insistimos

porém que esta memorização deve ser precedida pela compreensão. A

ênfase do trabalho deve ser posta na construção dos conceitos. A

preocupação com a memorização não deve ser obsessiva e exagerada.

26 O aluno deve aprender tabuada? – Disponível em http://educar.sc.usp.br/matematica/m312.htm – consultado em 29/05/2008.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AZEVEDO, Maria Verônica Rezende de. Matemática através de Jogos – Uma Proposta Metodológica – Orientação para o Professor. Disponível em http://www.veronicaweb.com.br/ download/manual2.pdf (consultado em 29/05/2008).

DINIZ, Maria Ignez. Boliche Multiplicativo. Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/ brincadeiras/boliche.html – consultado em 29/05/2008).

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo & MILANI, Estela. Matemática para todos – 3ª série. São Paulo: Scipione, 2004, p.36 e 145.

KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1990.

KAMII, Constance. Aritmética – Novas Perspectivas. Campinas: Papirus, ??????.

KAMII, Constance e LIVINGSTON, Sally Jones. Desvendando a aritmética – implicações da Teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1995.

O aluno deve aprender tabuada? Programa Educ@ar – Matemática. Disponível em http://educar.sc.usp.br/matematica/m312.htm (consultado em 29/05/2008).

RANGEL, Ana Cristina S. Educação Matemática e a construção do número pela criança. Porto Alegre: Autêntica, 1992.

SMOLE, Kátia Stocco. Descobrindo números ocultos. Disponível em http://www.mathema.com.br/ e_fund_a/ sala/num_ocultos.html (consultado em 29/05/2008).

_____. Eu tenho, quem tem? Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/sala/ eutenho.html (consultado em 29/05/2008).

_____. Explorando a Tábua de Pitágoras. Disponível em http://www.mathema.com.br/ e_fund_a/sala/pitagoras. html (consultado em 29/05/2008).

_____. Memorizar sim, mas como? Disponível em http://www.mathema.com.br/ e_fund_a/sala/ memorizar.html (consultado em 29/05/2008).

_____. Memorizar sim, mas como? Disponível em http://www.mathema.com.br/ e_fund_a/sala/ memorizar.html (consultado em 29/05/2008).

_____. Padrão Geométrico. Disponível http://www.mathema.com.br (consultado em 20/04/2007).

_____. Salute! Disponível em http://www.mathema.com.br/e_fund_a/jogos/salute.html (consultado em 29/05/2008).


_____. Disponível http://www.mathema.com.br/e_fund_a/jogos/stop.html (consultado em 29/05/2008).

SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez & CÂNDIDO, Patrícia. Multiplicação na Linha. In: _____. Cadernos do Mathema – Jogos de Matemática de 1º ao 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007, p.81 a 83.

TOLEDO, Marília & TOLEDO, Mauro. Didática da matemática como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.


ANEXOS

ANEXO 1 – TÁBUA DE PITÁGORAS ............................................................ 47

ANEXO 2 – STOP! ................................................................................ 48

ANEXO 3 – PADRÃO GEOMÉTRICO............................................................ 49

ANEXO 4 – EU TENHO, QUEM TEM? ......................................................... 50

ANEXO 5 – TRÊS-EM-LINHA 1.................................................................. 51

ANEXO 6 – TRÊS-EM-LINHA 2.................................................................. 52

ANEXO 7 – O JOGO DA CONQUISTA .......................................................... 53

ANEXO 8 – MULTIPLICAÇÃO NA LINHA ....................................................... 54


ANEXO 1 – TÁBUA DE PITÁGORAS (p.22 a 26)

EXPLORANDO A TÁBUA DE PITÁGORAS

×××× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


ANEXO 2 – STOP! (p.28 a 30)

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos

Número Falado ×××× 4 ×××× 6 ×××× 7 ×××× 9

Total de Acertos


ANEXO 3 – PADRÃO GEOMÉTRICO (p.30 a 32)

PADRÃO GEOMÉTRICO

TABUADA DO ___

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


ANEXO 4 – EU TENHO, QUEM TEM? (p.33 a 35)




Eu tenho 28. Quem tem cinco vezes o

sete?

Eu tenho 56. Quem tem nove vezes sete?


Eu tenho 16. Quem tem oito vezes o

quatro?









Eu tenho 6. Quem tem o dobro do meu

número?





ANEXO 5 – TRÊS-EM-LINHA 1 (p.35 e 36)

TRÊS-EM-LINHA 1

6 7 6 7 A

8 9 8 9 B

42 56 63 54

48 72 36 49

54 81 72 42

64 48 63 56


ANEXO 6 – TRÊS-EM-LINHA 2 (p.36)

TRÊS-EM-LINHA 2

4 6 15 12 5 9

2 1 30 6 3 24

8 12 10 2 20 18

25 4 18 12 30 4

15 3 16 36 8 10

6 24 6 20 5 12


ANEXO 7 – JOGO DA CONQUISTA (p.37 e 38)

JOG

O D

A

CO

NQ

UIS

TA

JOG

O D

A

CO

NQ

UIS

TA


ANEXO 8 – MULTIPLICAÇÃO NA LINHA (p.41 e 42)

15

10

9

8 16

8

5 30

2

6 4 20

1 25

2

MU

LTIP

LIC

AÇ

ÃO

NA

LIN

HA

36

3 24

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