UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSOCampus Universitrio do Araguaia

Instituto de Cincias Exatas e da TerraCursos: Engenharia Civil e Engenharia de Alimentos

5a

Lista de Exerccios

1. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direo indicada pelo ngulo .

a) f(x, y) = x2y3 y4, (2, 1), = /4b) f(x, y) =

5x 4y, (4, 1), = /6c) f(x, y) = x sen(xy), (2, 0), = /3

2. Determine a derivada direcional da funo no ponto dado na direo do vetor v.

a) f(x, y) = 1 + 2xy, (3, 4), v = (4,3)

b) f(x, y) = ln(x2 + y2), (2, 1), v = (1, 2)c) g(s, t) = s2et, (2, 0), v = i+ j

d) g(r, ) = er sen , (0, /3), v = 3i 2je) f(x, y, z) =

x2 + y2 + z2, (1, 2,2), v = (6, 6,3)f) f(x, y, z) =

x

y + z, (4, 1, 1), v = (1, 2, 3)

3. Determine a derivada direcional de f(x, y) =xy em P (2, 8) na direo de Q(5, 4).

4. Estipule a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 em P (2, 1, 3) em direo origem.

5. O potencial V associado a um campo eltrico E dado por V (x, y) =1

x2 + y2. Sabendo

que E = grad(V ), determine E(4, 3). Em que direo, a partir do ponto (4, 3) a taxa devariao do potencial mxima?

6. A temperatura em um ponto (x, y, z) dada por T (x, y, z) = 200ex23y29z2 , onde T

medido em oC e x, y, z em metros.

a) Determine a taxa de variao da temperatura no ponto P (2,1, 2) em direo ao ponto(3,3, 3).

b) Qual a direo de maior crescimento da temperatura em P?

c) Encontre a taxa mxima de variao em P .

7. Nas proximidades de uma bia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas(x, x) z = 200+0, 02x2 0, 001y3, onde x, y e z so medidos em metros. Um pescador queest em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direo boia, que est localizada noponto (0, 0). A gua sob o barco est ficnado mais profunda ou mais rasa quando ele comeaa se mover? Explique.

8. Suponha que voc esteja em uma montanha cuja forma dada pela equao

z = 1000 0, 005x2 0, 01y3,

onde x, y e z so medidos em metros e voc est em um ponto com coordenadas (60, 40, 966).O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte.

a) Se voc andar exatamente para o Sul, comear a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se voc caminhar em direo ao Noroeste, comear a subir ou a descer? Com que taxa?

9. Determine os valores de mximos e mnimos locais e pontos de sela das funes a seguir.

a) f(x, y) = 9 2x+ 4y x2 4y2

b) f(x, y) = x3y + 12x2 8yc) f(x, y) = e4yx

2y2

d) f(x, y) = x3 12xy + 8y3

e) f(x, y) = ex cos y

f) f(x, y) = (x2 + y2)ey2x2

10. Determine os valores de mximo e mnimo absolutos de f no conjunto D.

a) f(x, y) = 1+ 4x 5y, D a regio triangular fechada com vrtices (0, 0), (2, 0) e (0, 3).b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = {(x, y) R2; |x| 1, |y| 1}.c) f(x, y) = x4 + y4 4xy + 2, D = {(x, y) R2; 0 x 3, 0 y 2}.d) f(x, y) = 2x3 + y4, D = {(x, y) R2; x2 + y2 1}.

11. Determine a menor distncia entre o ponto (2, 1,1) e o plano x+ y z = 1.

12. Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que esto mais prximos do ponto (4, 2, 0).

13. Determine trs nmeros positivos cuja soma 100 e cujo produto mximo.

14. Encontre o volume mximo de uma caixa retangular que est inscrita em uma esfera de raioR.

15. A base de um aqurio com volume V feita de ardsia e os lados so de vidro. Se o preo daardsia (por unidade de rea) equivale a cinco vezes o preo do vidro, determine as dimensesdo aqurio para minimizar o custo do material.

16. Uma caixa de papelo sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Determine as dimensesque minimizam a quantidade de papelo utilizado.