Teste Calc 1

8/7/2019 Teste Calc 1

1/140

TESTE DE MATEMATICAPENTRU ADMITERE

2011

February 6, 2011


2/140

Cuprins

1 Algebr

a 3

2 Analiz

a matematic

a 43

3 Trigonometrie 69

4 Geometrie 77

5 Indicat ii si r

aspunsuri 815.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1


3/140

2 CUPRINS


4/140

Capitolul 1

Algebr

a

1. Fief : R R , f (x) = ax 2 + bx + c,

unde a,b,cR si a 6= 0. Atunci functia este:

(a) injectiv a ; (b) surjectiv a ; (c) monoton a ; (d) marginit a ;

(e) nici injectiv a, nici surjectiv a.

2. Trinomulx2 + 2 ax + b,a,b

R

are r adacinile strict negative dac a:

a) a 0 si a2 b; b) a 0 si b 0; c) 0 < b a2 si a > 0;d) a 0 si b a2; e) 0 b a2 si a > 0.

3. Radacinile ecuatiei

mx 2 + 2( m + 1) x + ( m 2) = 0

au semne contrare daca

(a) m(, 0) ; (b) m14 , ; (c) m(0, 2) ;(d) m(0, ) ; (e) m14 , 2.4. Fie ecuat iax2 + 2( m a)x + 3 am 2 = 0,

n care a si m sunt parametri reali.

3


5/140

4 CAPITOLUL 1. ALGEBR

A

i) Sa se a e a astfel ncat ecuat ia sa aiba radacini reale, oricare ar mR .

ii) Sa se a e m astfel ncat ecuat ia s a aiba radacini reale, oricare ar aR .

(a) |a| < r 821, |m| > r 821;(b) |a| r 821, |m| r 821;(c) |a| r 821, |m| r 821;(d) |a| > r 821, |m| < r 821;(e) |a| > r 821, |m| > r 821.

5. Valorile parametrului real m determinat astfel ncat inegalitatea

mx 2 + ( m + 1) x + m 1 > 0sa nu aiba solutii sunt:

(a) m(1 1 3 , 0); (b) m1 2 3 , 0; (c) m(1 + 2 3 , );(d) m, 1 2 3i; (e) m(1, 0)0, 1 + 2 3.

6. Sa se determine mR astfel ncat inecuat ia

mx 2 + ( m 1) x (m 2) > 0sa nu aiba nici o solutie real a.

(a) mh52 55 , 5+2 55 i; (b) m(, 0);(c) m, 52 55 ; (d) m; (e) m5+2 55 , .

7. Valorile parametrului m pentru care inecuatia

x2 + y2 4x 4y + m > 0


6/140

5

este adev arat a pentru orice x, yR sunt:(a) m(, 0) ; (b) m[0, ] ; (c) m(8, ) ;(d) m(4, ) ; (e) m(0, 4) .

8. Valorile parametrului m pentru care inecuatia

(m 1)x2 (m + 1) x + m + 1 > 0este adev arat a pentru orice xR sunt:

(a) m(1, ) ; (b) m53, ; (c) m1,

53;(d) m1, 53; (e) m1, 53.

9. Sa se determine valorile reale ale lui pentru care

x 2 2 ( 1) x + + 2 > 0, x[0, 3].(a) > 0; (b) 2 < 0; (c) 0; (d) > 2; (e) .

10. Se considera ecuat ia x2 + ax + a = 0, n care a

R . Se noteaza cu x1 six2 radacinile sale (reale sau complexe). S a se determine a astfel ncat

x31 + x32 < x

21 + x

22.

(a) a1 3, 1 + 3; (b) a1 3, ;(c) a(, 1)1, 1 + 3; (d) a1 3, 01 + 3, ;(e) a1 3, 00, 1 + 3.11. Pentru m R \ { 1} se considera ecuat ia de gradul al doilea ale c areiradacini x1 si x2 veri ca relat iile:(4x1x2 5(x1 + x2) + 4 = 0(x1 1)(x2 1) = 11 m .

Atunci 1 < x 1 < x 2 < 1 pentru:(a) m(, 1)(1, + ); (b) m(, 3); (c) m(0, + );(d) m(, 3); (e) m(3, 1)[0, 1).


7/140


A

12. Numarul solut iilor sistemului

x2 3xy + y2 = 13x2 xy + 3 y2 = 13este:(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 4; (e) 8.

13. Solutiile sistemului

xy + x + y = 11x2y + xy2 = 30

sunt:(a) ( x, y){(2, 3), (3, 2)}; (b) (x, y){(1, 5), (5, 1)};(c) (x, y){(2, 3), (1, 5)} (d) ( x, y){(3, 2), (5, 1)};

(e) (x, y){(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)}.

14. Valorile lui xR pentru care are loc inegalitatea:

2x2 1x2

1

< 1.

sunt

(a) x"r 23,r 23#; (b) x 2 3, 2 3; (c) xr 23,r 23!;(d) x 2 3,r 53!; (e) xr 23,r 23!r {0} .

15. Valorile lui xR pentru care are loc inegalitatea:

x2 + 3 x + 2x2 4x + 3 < 1.sunt

(a) x(1, 3) ; (b) x(, 1)(1, 3) ; (c) x17, 3;(d) x, 17(1, 2) ; (e) x, 17.


8/140

7

16. Multimea solut iilor inecuat iei

1 1 4x2x

< 3

este:(a) xR ; (b) x12 , 00, 12; (c) x12 , 12;(d) x13 , 13; (e) x12 , 00, 613.17. Sa se rezolve n R ecuatia:

x a + x b + x c + d = 0 ,a ,b ,cR , d > 0.

(a); (b) np |a c|, p |b|o; (c) (r |a + b|2 ,r |a + b|2 );(d) np |a| , p |c|o; (e) (r |a + b + c|2 ,r |a + b + c|2 ).

18. Multimea valorilor x pentru care

3x 1 3x + 1 > 1este:(a) 512 , + ; (b) 13 , + ; (c) 13 , + ;(d) 13 , 13; (e) , 512.19. Sa se rezolve inecuatia:

r 1 + 4xx < 1.(a) x13, 0; (b) x, 14(0, ) ;(c) x13, 14; (d) x, 14 (0, ) ;(e) x13, 14.


9/140


A

20. Multimea solut iilor inecuat iei

p |x 6| > p |x2 12x + 36 |este:

(a) xR ; (b) x(5, 6)(6, 7); (c) x[1, 2] ;

(d) x(, 3) ; (e) x(2, 1) .21. Care este relat ia dintre numerele:

a =3q 2 + 3, b = q 1 + 2.

(a) numerele nu pot comparate; ( b) a b; (c) a = b;(d) a > b; (e) a < b.

22. Numarul a = 3p 6 3 10 3p 6 3 + 10 apart ine mult imii(a) N ; (b) Z ; (c) Q \ Z ; (d) R \ Z ; (e) R \ Q .23. Se considera functia

f : IR R , f (x) = s 1 + (4 a2)x x2a(1 + x2) , aR.Sa se determne a astfel ncat I sa e un interval de lungime minim a.(a) a = 2; ( b) a = 2; (c) a = 1; (d) a = 3; ( d) a = 4 .

24. Multimea solut iilor sistemului de inecuatii

|x |x 1| + 1 | 2x 12x 1este:

(a) (, 1)15 , + ; (b) (, 2); (c) (1, 1];(d) {1}13 , + ; (e) (1, 0).


10/140

9

25. Sa se determine mR astfel ncat

f : R R ,f (x) = x2 + 2 mx 1, x 0mx 1, x > 0sa e functie injectiv a pe R .(a) m(, 1); (b) m(1, + ); (c) m(, 0);(d) m(0, + ); (e) m(2, + ).

26. Sa se determine m

R astfel ncat

f : R R , f (x) = x + m, x 12mx 1, x > 1sa e functie surjectiv a pe R .(a) m(2, 0); (b) m(0, 2]; (c) m(0, + );(d) m(0, 3); (e) m(, 0).

27. Fief : R R ,f : R R ,f (x) = max(2 x 1, x + 1) .

Atunci(a) f e descrescatoare pe R ; (b) f f e constant a pe [0, 2];(c) f nu e injectiv a pe R ;

(d) g : R R , g(x) = (x + 12 , x 2x 1, x < 2 e inversa funct iei f ;(e) g : R R , g(x) = (x + 12 , x 3x 1, x < 3 e inversa functiei f .

28. Se considera functia

f (x) = x2 + ( m + 1) x + m + 2

x2 + x + m.

Sa se determine parametrul real m, astfel ncat f sa e de nit a pe R sisa avem f (x) 2 pe R .(a) m(1, 3) ; (b) m(3, ) ; (c) m = 3;(d) m(0, 3) ; (e) m1, 3.


11/140


A

29. Fie ecuatia

q 1 x4 x = x 1.Numarul r adacinilor ecuat iei este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

30. Suma H = 3p 20 + 14 2 + 3p 20 14 2 este egala cu:(a) H = 5; (b) H = 16; (c) H = 5 + 2;(d) H = 5

2; (e) H = 4 .

31. Se considera functia f : ZZ

f (n) = k, pentru n = 3 k + 1 , kZn, pentru n = 3 k sau n = 3 k + 2 , kZ ,() nZ . Este f injectiv a? Dar surjectiv a?

(a) f este injectiv a si surjectiv a;

(b) f este injectiv a si nesurjectiv a;

(c) f nu este injectiv a, dar este surjectiv a;

(d) f nu este injectiv a si nici surjectiv a;

(e) f nu este injectiv a si f este surjectiv a daca si numai dac a numarul keste par.

32. Multimea valorilor x pentru care

ex + 1 > 2ex

este:

(a) R ; (b) (, 1) ; (c) (, 0) ; (d) (1, + ) ; (e) (0, + ) .33. Numarul de solut ii reale ale ecuat iei2x + 2 x+1 + 2 x+2 = 6 x + 6 x+1

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.


12/140

11

34. Sa se rezolve ecuatia:52x 3 5x + 2 = 0 .

(a) x = 0si x = log 5 3; (b) x = log 5 2 si x = 0; (c) x = 1 si x = 0;(d) x = 2 si x = 0; (e) x = 1.

35. Multimea solut iilor ecuat iei

2|x+1 | |2x 1| = 2 x + 1este:

(a) (, 1) ; (b) [1, 0] ; (c) (0, + ) ;(d) {2} ; (e) [0, + ){2} .

36. Solutiile ecuat iei

3 + 1x + 3 1x = 4 2xsunt:

(a) x

log 3+1

2 + 5

, log 3+1

2 + 5

;

(b) xlog 3+1 2 + 5;(c) xlog 21 + 3, log 21 + 3;(d) xlog2+ 31 + 3;(e) xlog 3+2 7 + 4 3, log 3+2 7 4 3.37. Daca log12 2 = k, atunci log 6 16 are valoarea:(a)

k1 k

; (b)1 k

k; (c)

4k1 k

; (d)1 k

4k; (e)

3k4

.

38. Sa se determine valorile lui mR astfel ncat inegalitatea

(m 2)4x + (2 m 3)2x+1 + m > 2sa e adevarat a pentru orice xR .

(a) m[2, ); (b) m(2, ); (c) m(2, );(d) m; (e) m(, 0)(2, ) .


13/140


A

39. Sa se rezolve inecuatia

log2a x 3loga x + 2x2 4

> 0,

unde a > 2 este o constant a.

(a) x(2, a2) ; (b) x(a, a

2) ; (c) x(0, a2) ;

(d) x(2, ) ; (e) x(2, a)(a2, ) .40. Numarul solut iilor ecuat iei

x + 2 x + log 2 x = 7 .

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

41. Expresia:

E =lg a

1n + lg a

3n + + lg a

2 n 1n

lg a2n + lg a

4n + + lg a

2 nn

, a > 0, a 6= 1

este egala cu:

(a) n; (b)n + 1

n; (c) nn+1 ; (d) n (n + 1); ( e) 1.

42. Sa se rezolve ecuatia:

loga x + log a 2 x + log a x2 = 212 ,unde aR+ \ { 1} este un parametru real.

(a) x =1

2; (b) x = a2; (c) x = a; (d) x = 1

4; (e) x =

a

2.

43. Sa se rezolve inecuatia:

log3 x > log9(5x 4).(a) x0, 45(1, ) ; (b) x(0, 1)(4, ) ;(c) x45 , 1(4, ) ; (d) xR ; (e) x.


14/140

13

44. Valorile lui xR pentru care este adev arat a inegalitatea

log x +42 log2 2x 1x + 3 < 0

sunt:

(a) x[2, ); (b) x(4, 3)(2, ); (c) x(4, 2);(d) x; (e) x(, 0)(2, ) .

45. Valorile lui a pentru care inegalitatea

log a 1a +1

(x2 + 3) 1este adev arat a, oricare ar xR sunt:

(a) a(, 1); (b) a(, 1)(1, + );(c) a(, 2]; (d) a(, 4]; (e) a.

46. Sa se rezolve inegalitatea

logx2

8 + log x4

8 0,


15/140


A

unde b > a > 1 sunt constante, este:

(a) x1b, 1a; (b) x1b2 , 1a2(a, ) ;(c) x1b2 , 1a2(a2, ) ; (d) x0, 1b2(a, ) ;(e) x a, b (b,) .

49. Multimea solut iilor inecuat iei:

loga x + log ax x > 0

pentru a > 1, este:

(a) x(2, ) ; (b) x(1, 2) ; (c) x(1, a) ;(d) xR ; (e) x1a 2 , 1a(1, ) .

50. Multimea solut iilor inecuat iei:

log5 x > log125(3x 2)este:

(a) x(1, 0) ; (b) x23 , 1; (c) x(1, 1) ;(d) xR ; (e) x23 , 1(1, ) .51. Multimea solut iilor inecuat ieilog1x (x + 1) 2

este:

(a) (, 0)(3, ); (b) (0, 3); (c); (d) (0, 1); (e) (1, 1) .52. Sa se precizeze multimea solut iilor inecuat iei:

logxlog 1x 1 + 1x< 0.(a) (0, ) ; (b) (0, 1) ; (c) (1, ) ; (d) (0, ) \ { 1} ; (e).


16/140

15

53. Sa se rezolve inecuatia

log2(9 2x) > 3 x.(a) x < 8; (b) 0 < x < 3; (c) 2 < x < 4; (d) x > 3;(e) nu exist a solutii.

54. Numarul r adacinilor reale ale ecuat iei

(1 + i)x4 (3 + i)x3 + (5 + i)x2 4x + 2 + 2 i = 0este:(a) 4; (b) 3; (c) 2; (d) 1; (e) 0.

55. Se da ecuat ia3x3 + 2 x2 + ax + b = 0 ,

n care a si b sunt parametri reali. Se cer conditiile pe care trebuie s ale ndeplineasc a a si b astfel ncat ecuat ia sa admit a o radacina egala cu

2, iar celelalte radacini sa e reale si pozitive.(a) a = 8 , b =

13

; (b) 8 a 203

, b = 2 a + 16;

(c) 8 a < 4, b = 1; (d) a 2, a + b > 0; (e) a = 8, b = 2 a + 16 .56. Sa se determine S = a + b + c + d, unde a,b,c,dR sunt coe

cienti aipolinomului

x4 x3 + ax 2 + bx + castfel ca la mpart irea acestuia prin x2 + d sa obtinem restul x, iar lampart irea prin x2 d sa obtinem restul x.(a) S = 2; ( b) S = 1; ( c) S = 0; (d) S = 1; (e) S = 3 .

57. Cele patru r adacini ale polinomului

x4 x 3 x + 1 = 0, unde (1, 1) ,au modulele(a) doua mai mici ca 1 si doua mai mari ca 1 ; (b) toate egale cu 1 ;(c) toate mai mici ca 1 ; (d) toate mai mari ca 1 ;(e) toate negative, deoarece r adacinile sunt complexe.


17/140


A

58. Numarul 1 este pentru polinomul

x2n nx n +1 + nx n1 1, n 3,radacina avand ordinul de multiplicitate egal cu:

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) n + 2 .

59. Fie f Z [X ], f = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3. Sa se determine a0, a1, a2, a3

astfel ncat

f (1) + f (2) + ... + f (n) = n4

,nN , n > 0.

(a) a0 = 1, a1 = 4; a2 = 6, a3 = 4;(b) a0 = 4 , a1 = 6; a2 = 4 , a3 = 6;(c) a0 = 1, a1 = 6; a2 = 4, a3 = 6;(d) a0 = a1 = a2 = a3 = 1;

(e) a0 = a1 = a2 = a3 = 1 .60. Sa se determine S = a2 + b2 unde numerele reale a si b sunt coe cientii

polinomulP (x) = x4 2x3 + x2 + ax + b

determinat i astfel ncat acesta s a se divida cu x2 + 1 .

(a) S = 2; (b) S = 5; (c) S = 1; (d) S = 4; (e) S = 10 .

61. Daca x1 = i este o radacina a ecuatiei

x3 + ( m 1) x + m = 0 , mC,atunci S = x21 + x22 + x23 este:

(a) S = 2; (b) S = 1; (c) S = 2i + 1;(d) S = 2i; (e) S = i.

62. Fie x,y,z Rastfelncat x + y+ z = 0 si

1x

+1y

+1z

= 0 . Sa se precizeze

valoarea lui a pentru care are loc relatia x6 + y6 + z6 = ax 2y2z2.

(a) a = 3; (b) a = 1; (c) a = 0; (d) a = 2; (e) a = 4 .


18/140

17

63. Fie R si pN numarul tripletelor ordonate ( x,y,z )(R)3 care

satisfac relat iile:

x + y + z = 1x

+1y

+1z

=1

xy + yz + xz = 2., 2 6= 2 .

Atunci:

(a) p = 6; (b) p = 3; (c) p = 1; (d) p = 4; (e) p = 2 .

64. Fie polinomul cu coe cienti reali

p(x) = x3 + ax 2 + bx + c.

Sa se precizeze care din urm atoarele condit ii sunt necesare si su cienteca radacinile polinomului p sa aiba aceeasi parte real a.

(a)a2

3 b 0;(b) c =

ab

3 2a3

27,

a2

3 b

0;

(c) c =ab3

2a3

27,

a2

3 b 0;

(d) c ab3

2a3

27,

a2

3 b 0;(e) c =

ab3

2a3

27.

65. Fie S = m + n + p unde m,n,p sunt numere reale astfel ca polinomul

x4

+ mx3

+ nx2

+ px + 8sa e divizibil cu x3 + 5 x2 + 2 x 8. Atunci valoarea lui S este:(a) S = 7; (b) S = 0; ( c) S = 6; (d) S = 9; (d) S = 8.

66. Se considera polinomul

p(x) = x4 + x3 + ax + b.


19/140


A

Valorile parametrilor a si b pentru care restul mpart irii lui p(x + 2) lax + 1 sa e egal cu 18, iar restul mpart irii lui p(x 2) la x 1 sa eegal cu 12 sunt:(a) a = 3, b = 15; (b) a = 3 , b = 15; (c) a = 4, b = 16;(d) a = 4 , b = 16; (e) a = 4, b = 16.

67. Precizat i num arul valorilor lui R pentru care ecuatiile urm atoare aucel putin o radacina comuna

x3

x + 2 = 0

x2 + x + 2 = 0 .

(a) 1; (b) 0; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

68. Sa se determine S = m2 + n2, unde m si n sunt coe cientii polinomuluix2 mx + n determinat i astfel ncat polinomul x4 + 1 sa e divizibil cux2 mx + n.(a) S = 3; (b) S = 9; ( c) S = 2; ( d) S = 13; (e) S = 1 .

69. Precizat i mult imea valorilor lui m pentru care toate r adacinile polino-

mului P (x) = x3 (2m + 1) x2 (4m + 5) x + 2sunt reale, stiind c a polinomul admite o r adacina care nu depinde de m.

(a) , 52 12, ; (b) 52, 12;(c) 32, 12; (d); (e) 52, 0.

70. Se considera ecuat ia2x3 + 3 x2

1 = 0

si e x1, x2, x3 radacinile sale. Ecuat ia n necunoscuta y care are r adaciniley1 =

x2x3x1

, y2 =x2x3x2

, y3 =x2x1x3

este:

(a) y3 2y2 + 3 y 1 = 0; (b) 2y3 9y2 6y 1 = 0;(c) y3 + y2 6y 1 = 0; (d) y3 + 5 y2 1 = 0;(e) 2y3 + 9 y2 6y 1 = 0 .


20/140

19

71. Fie ecuatia

x3 ax 2 + bx c = 0 ( a,b,c numere reale nenule) .Sa se precizeeze valorile lui a,b,c astfel ncat aceste numere s a e solutiiale ecuatiei date.(a) a = 1 , b = 2 , c = 3; (b) a = 2 , b = 1, c = 52 ;(c) a = 13 , b =

25 , c =

34 ; (d) a = 1, b = 1, c = 1;

(e) a = 1 , b = 1 , c = 1.

72. Fie p(x)

R[X ] un polinom de grad 3 cu proprietateaxp (x + 1) + ( x + 2) p (x + 3) = 2 x + 10 ,xR .

Restul mpart irii polinomului p(x) la x2 2x 3 este(a) 2x 1; (b) x2 + 1; (c) 3x + 1; (d) x3; (e) x4 + 1 .


f (x) = x3 x2 + ax 1, aR .Pentru nNde

nim S n = xn1 + xn2 + xn3 , x1, x2, x3C ind radacinile

polinomului. Sa se determine valoarea lui aR astfel ncat S 3 = 1 .

(a) a = 0; ( b) a = 34; (c) a = 43; (d) a = 1; ( e) a = 12.


f (x) = xn + px + q,p,q R .

Pentru nN , n 3 de nim S n = xn1 + xn2 + ... + xnn , x1, x2,...,x n C ind radacinile polinomului. Valoarea lui S n este:(a) S n = 0; ( b) S n = p2 + nq ; (c) S n = p2;(d) S n = nq ; (e) S n = nq.

75. FieP (x) = x2 x loga m + 3 log a m 8,

unde mR , m > 0, iar a > 1 este un num ar xat. S a se a e valorile lui

m pentru care P (x) > 0, oricare ar xR .(a) ; m > a (a + 1) (b) m(

a, a ); (c) m(a4, a8);(d) m(a, 2a); (e) m1a , a3.


21/140


A

76. Valoarea sumei

S n = k +k2C 1n

2+

k3C 2n3

+ ... +kn +1 C nnn + 1

,

pentru kN xat este:

(a) S n =kn 1n + 1

; (b) S n =(k + 1) n+1 1

n + 1;

(c) S n = ( k + 1) n; (d) S n =kn +1 1

n + 1; (e) S n =

(k + 1) n 1n

.

77. Valoarea num arului natural m pentru care al 10-lea termen al dezvolt ariibinomului (5 + m)m este cel mai mare, este:.(a) m = 12; (b) m = 5; ( c) m = 6; ( d) m = 8; ( e) m = 11 .

78. Se considera dezvoltarea(xm +

1x2m

)n .

Sa se determine m si n astfel ncat termenul de rang 12 s a-l contin a pex, termenul de rang 24 s a-l contin a pe x5 si dezvoltarea s a aiba termenliber.(a) m = 1

9, n = 24; (b) m =

1

9, n = 26; (c) m =

1

9, n = 24;

(d) m = 19 , n = 25; (e) problema nu are solutie.

79. In dezvoltarea

9r 1x + 4 x!nsuma coe cientilor binomiali este 128 . Sa se precizeze termenul care lcontine pe 3 x2.(a) T 4; (b) T 5; (c) T 6; (d) T 7; (e) T 3.

80. Sa se determine m astfel ncat al 5-lea termen al dezvolt arii binomului(2 + m)m sa e cel mai mare.(a) m = 3; (b) m = 5; ( c) m = 4; (d) m = 7; ( e) m = 8 .

81. Numarul h al termenilor independenti de x din dezvoltarea binomului:

4q x x + 23 x2000


22/140

21

este egal cu:

(a) h = 1; (b) h = 0; (c) h = 2; (d) h = 3; (e) h = 4 .

82. Sa se determine num arul termenilor rationali din dezvoltarea binomial a:

3 + 3 290 .(a) 15; (b) 14; (c) 17; (d) 16; (e) 10.

83. Sa se determine termenul care l contine pe b2 din dezvoltarea

( a 3 b)n ,

stiind c a n este cel mai mare num ar natural care veri ca inecuat ia:

log 13

n + log n3

n > 0.

(a) T 6; (b) T 7; (c) T 8; (d) T 5;

(e) nu exist a un termen care s a-l contin a pe b2.

84. Fie dezvoltarea binomial a

3r a b + s b3 a!n

,

unde n satisface 22n4 3 2n+1 256 = 0. Sa se a e termenul dezvolt ariin care a si b au puteri egale.(a) T 4; (b) T 5; (c) T 1; (d) T 6; (e)T 8.

85. Se considera binomul

2lg(10

3x )

+5

2(x

2)lg3

n

.

Stiind c a al saselea termen al dezvolt arii binomului este egal cu 21 sicoe cientii binomiali de rang 2 , 3 si 4 sunt respectiv primul, al treilea sial cincilea termen al unei progresii aritmetice, atunci:

(a) x = 3; (b) x = 1; (c) x{1, 2} ;

(d) x{0, 2} ; (e) x{1, 2} .


23/140


24/140

23

91. Valoarea determinantului

2 5 0 11 0 3 73 1 0 52 6 4 1

este:

(a) 27; (b) 37; (c) 47; (d) 57; (e) 67.

92. Sa se rezolve ecuatia

x a a aa x a aa a x aa a a x

= 0 , aR.

(a) x = a sau x = 3a; (b) x = a sau x = 0; ( c) x = a;(d) x = a si x = 0; ( e) x = 3 a sau x = 0 .

93. Sa se calculeze determinantul

x1 x2 x3x2 x3 x1x3 x1 x2

stiind c a x1, x2, x3 sunt r adacinile ecuatiei x3 2x2 + 2 x + p = 0.

(a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 3p; (e) 3p + 4 .

94. Fie p(x) = x + a, q (x) = x2 + bx + c doua polinoame si x1 6= x2 douanumere arbitrare. S a se calculeze D(x)/ (x2 x1), unde

D(x) = 1 p(x1) q (x1)

1 p(x2) q (x2)1 p(x) q (x) .

(a) (x + x1)(x + x2); (b) (x x1)(x + x2);(c) (x + x1)(x x2); (d)

(x x1)(x x2)

; (e) (x x1)(x x2).


25/140


A

95. Se considera polinoamele:

P (x) = x5 + 3 x4 + 7 x 1, Q(x) = x3 x 3.Notam cu x1, x2, x3 radacinile polinomului Q(x). Atunci valoarea luiP (x1) + P (x2) + P (x3) este:(a) 20; (b) 18; (c) 18; (d) 20; (e) 0.

96. Sa se precizeze toate valorile a,b,cR astfel ncat ecuat ia

x a b cc x a bb c xa = 0sa aiba numai r adacini reale.

(a) b = c; (b) a = 1 , b = c; (c) a = b; (d) a = c; (e) a = b = c.

97. Valorile lui xR pentru care este adev arat a inegalitatea

1 1 12 x2 6x + 11 x1 x2 4x + 5 x 2

0

sunt:(a) x[2, ); (b) x(, 0)(2, ); (c) x(0, 2);(d) x; (e) xR .

98. Daca matricea

A =

1 0 10 1 01 0 1

satisface A3 = aA2 + bA atunci S = a2 + b2 este:(a) S = 10; (b) S = 18; (c) S = 8; (d) S = 13; (e) S = 5 .

99. Se da matriceaA =

1 4 00 3 12 0 1

.

Daca matricea este inversabil a sa se calculeze d = det( A1).(a) d = 1; ( b) d = 0; ( c) d = 111 ;(d) A nu este inversabil a; (e) d = 11 .


26/140

25

100. Fie AM 3(R ),

A =

0 a b

a 0 cb c 0

, a2 + b2 + c2 6= 0 .

Se cere rangul matricei A.(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3;(e) nu este unic determinat, depinz and de valorile a,b,c.

101. Cate solut ii are ecuat ia:

1 2 4 A = 3 1 2unde A este o matrice p atratic a de ordin 3 avand elementele numerenaturale.

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

102. Sa se calculeze An , nN , unde

A =12

2 2

2 2

.

(a) cos n6 sin n6sin n6 cos n6 !; (b) cos(n +1)

4 sin(n +1)

4

sin (n +1) 4 cos (n +1) 4 !;(c) cos (n +1) 6 sin (n +1) 6sin (n +1) 6 cos (n +1) 6 !; (d)

cos n4 sinn4

sin n4 cos n4 !;(e) cos n3 sin n3sin n3 cos n3 !.

103. Fie matricea

A =

1 a + 1 1a 1 11 2 a

si M = {aR | rangul matricei a este egal cu 2} si S = PaM |a| . Atunci:(a) S = 3; ( b) S = 2; ( c) S = 1; (d) S = 5; ( e) S = 4 .


27/140


A

104. Fie R ,

A() =

1 1 11 1 11 1 11 1 1

si M = {R ;rang A() < 4}. Atunci = PM este:(a) = 3; (b) = 2; (c) = 0; (d) = 2; (e) = 3.

105. Solutia ecuat iei matriceale

X

1 2 30 1 2

1 2 3

=

1 5 32 1 13 4 5

.

este:

(a) X =

12 0 121 3 1

12 2 12

; (b) X =

1 12 4

10 6 16 52 1

;

(c) X =

3 9 452

5 12

5 22 8

; (d) X =

2 1 8

6 19

5

8 29 8

;

(e) X =

18 11 201 1 3

10 6 4

.

106. Valorile parametrului real m astfel ncat matricea

A =

2 x 3x 1 x1 2 m

sa e inversabil a pentru orice xR sunt:

(a) m = 1; (b) m12 , 2; (c) m(1, 2);(d) m, 12(2, ); (e) m = 2.107. Fie matriceleA = 2 00 3 si B = nXk=1 Ak .


28/140

27

Atunci, pentru nN , n 1 :(a) B este inversabil a si B1 = 1

(2n + 1) (3 n + 1) 2 00 3 ;(b) B este inversabil a si B1 = 1

2n 3n 1 00 2n ;(c) B nu este inversabil a;

(d) B este inversabil a si B1 = 1

3 (2n

1)3n 00 2n

;

(e) B este inversabil a si B1 =

12 (2n 1)

0

01

32 (3n 1)

.

108. FieM = a bb a

o matrice nenul a cu elemente reale. S a se calculeze M n (s-au folosit

notat iile = a2 + b2 si determinat prin condit iile cos = a, sin =b

).

(a) M n = n sin n cos ncos n sin n ;(b) M n = n cos n sin nsin n cos n ;(c) M

n

= n

cos n sin nsin n cos n ;(d) M n = n cos n cos nsin n sin n ;

(e) M n = n cos n sin nsin n cos n .


29/140


A

109. Precizati matricele A M 2(R ) care satisfac relat ia A2 + A + I = 0 ,

unde I M 2(R ) este matricea unitate iar 0 M 2(R ) este matriceanula. Stabilit i dac a o astfel de matrice este inversabil a. In caz a rmativprecizat i inversa A1.

(a) A = d 1 b1b(d2 + d + 1) d ,exista A1 = d b1b (d + d2 + 1) d 1 .(a) A = d 1

1b(d

2+ d + 1)b d , nu exist a A

1.

(a) A = d 1 b1b(d2 + d + 1) d , nu exist a A1.(a) A = d 1 b1b(d2 + d + 1) d ,exista A1 = d b1b (d + d2 + 1) d 1 .(a) A = d + 1 b1b(d2 + d + 1) d ,exista A1 = d b1b (d + d2 + 1) d 1 .

110. Fie

A =

1 1 11 21 2

,

unde este o radacina a ecuatiei x2 + x + 1 = 0 . Sa se calculeze A2011 .

(a) 31004 I 3; (b) 31008

1 1 11 2 1 2

;

(c) 31000

1 1 11 2 21 2 2

; (d) 31002 A; (e) I 3.


30/140

29

111. Fie R \ { 0} si

A =

1 00 10 0

.

Atunci, nN ,

(a) An =

1 n 00 1 n0 0 1

; (b) An =

n 1 00 n 10 0 n

;

(c) An =

n n n1 00 n n n10 0 n n

;

(d) An =

n n n1 n (n1)2 n20 n n n10 0 n

; (e) An = I 3.

112. Fie matricea AM n (R ), n 2, A = ( a ij ) i=1 ,...,nj =1 ,...,n unde

a ij = 0, i = j1, i 6= j .Sa se calculeze det(A), A1 si det( A1 + I n ).(a) det( A) = n 1, A1 =

2nn1... 1n1... . . . ...

1n1

... 2nn1

si det( A1 + I n ) = 0;

(b) det( A) = ( 1)n1(n 1), A1 =

2nn1... 1n1... . . . ...

1n1 ...

2

n

n1

si

det( A1 + I n ) = 0;

(c) det( A) = ( 1)n (n 1), A1 =

n21n... 11n... . . . ...

11n ...n21n

si

det( A1 + I n ) = 0;


31/140


A

(d) det( A) = n 1, A1 =

2nn1... nn1... . . . ...

nn1

... 2nn1

si det( A1 + I n ) = 0;

(e) det( A) = 1 n, A1 =

2n1n... 11n... . . . ...

11n

... 2n1n

si det( A1 + I n ) = 0 .

113. Pentru ce valori ale lui R , matricea

A =

1 11 11 1

este nesingular a? In acest caz, s a se determine inversa A1.

(a) = 1 , A1 =

1/ 3 1/ 3 1/ 31/ 3 1/ 3 1/ 31/ 3 1/ 3 1/ 3

;

(b) 6= 1 , A1

=

, unde =

+1(1)( 2 +2) , =

1(1)( 2 +2) ;

(c) 6= 1 , 2, A1 =

, unde = +1(1)2 (+2) ,

= 1(1)2 (+2) ;

(d) 6= 1 , 2, A1 =

, unde = (+1)( 2)(1)2 (+2) ,

= +1(1)2 (+2) ;

(e) 6= 1 , 2, A1 =

, unde = +1(1)( +2),

= 1(1)( +2) .


32/140


33/140


A

118. Sa se rezolve sistemul

x + ( + 1) y + ( + 2) z = + 3x + ( + 1) y + ( + 2) z = + 3x + y + 2z = 3

, , , R , 6= , 6= 1 ,

n ipoteza ca acesta are solut ie unic a.(a) x = , y = , z = ; (b) x = , y = , z = ;(c) x = 0 , y = 1, z = 2; (d) x = , y = (2 + 1) , z = + 2;(e) x = 1, y = 1 , z = 1 .

119. Se considera sistemul:

x1 + x2 + 1 = 0mx 1 + 2 x2 + 3 = 0m2x1 + 4 x2 + 9 = 0

si e M = {mR | sistemul este compatibil } . Atunci S = PmM m este:(a) S = 5; (b) S = 1; (c) S = 2; (d) S = 0; ( e) S = 3 .120. Se considera sistemul:

x1

mx 2 + 1 = 0

2x1 + x2 m = 03x1 + ( m 1) x2 + m 1 = 0Fie M = {mR | sistemul este compatibil } atunci S = PmM m este:(a) S = 0; (b) S = 5; ( c) S = 4; (d) S = 2; (e) S = 1.

121. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si s ase precizeze natura sistemului:

x y + z = 32x + y 3z = 108x + 5 y 9z = 11

.

(a) r s = r e = 3 sistem compatibil determinat;(b) r s = 2 , r e = 3 sistem incompatibil;(c) r s = r e = 2 sistem compatibil 1-nedeterminat;(d) r s = r e = 1 sistem compatibil 2-nedeterminat;(e) r s = 3 , r e = 3 sistem incompatibil .


34/140

33

122. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si s ase precizeze natura sistemului:

x y + z = 32x + y 3z = 108x + 5 y 9z = 8.

(a) r s = r e = 3 sistem compatibil determinat;(b) r s = 2 , r e = 3 sistem incompatibil;(c) r s = r e = 2 sistem compatibil 1-nedeterminat;(d) r s = r e = 1 sistem compatibil 2-nedeterminat;(e) r s = 3 , r e = 3 sistem incompatibil .

123. Fie = 12 + i 32 . Precizat i tripletele de numere complexe ( x,y,z ) care

satisfac simultan relatiile:

x + y + 2z = 02x + y + z = 0x + 2y + z = 0

(a) x = 1 , y = 1 , z = 1; (b) x = 0 , y = 0 , z = 0;

(c) {(y 2z,y,z )|y, zC} ; (d) xC, yC, zC;(e) x = y = z.

124. Fie sistemul

ax + ay + z = 1x + ay + az = 1x + y + az = a

si A = {aR | sistemul este compatibil nedeterminat } . Atunci:(a) A = {1, 2} ; (b) A = {0, 1} ; (c) A = {1} ;(d) A = {1, 1} ; (e) A = {1} .

125. Se considera sistemul:

6x my + 3 z = 0mx + 6 y + 3 z = 0mx y + 2 z = 0x2 + y2 + 4 z = 70

.


35/140


A

Sa se precizeze numarul p de valori ale lui mR pentru care sistemuladmite solut ii reale si num arul q de solutii reale ale sistemului.

(a) p = 0 , q = 4; ( b) p = 2 , q = 4; ( c) p = 3 , q = 2;

(d) p = 1 , q = 2; ( e) p = 2 , q = 3 .

126. Fie p numarul solut iilor sistemului n

Z 12

2x + 3y + 3z = 26x + 4y + 2z = 6

3x + 2y + 4z = 3Atunci valoarea lui p este:

(a) p = 1; (b) p = 16; (c) p = 0;

(d) p = 6; (e) p = 12 .

127. Pe R se de neste legea de compozit ie prin relat ia:

xy = xy + ax + 2 by + 1 ,x, yR .

Sa se determine a, b

R astfel ncat legea sa e comutativ a si asociativ a.

(a) a = 1 , b = 12 ; (b) a = 0 , b = 0 sau a = 1 , b =12 ;

(c) a = 1+ 52 , b =1+ 5

4 sau a =1 52 , b =

1 54 ;

(d) a = 4, b = 2 ; (e) nu exist a solutie.

128. Pe multimea R a numerelor reale se consider a legea de compozitiede nit a prin

x y = mx + ny 1,x, yR ,n care m si n sunt constante reale. S a se a e m si n astfel ncat ( M, )sa e grup comutativ.(a) m = 1 , n = 2; (b) m = 1 , n = 1; (c) m = 2 , n = 2;(d) m = 1 , n = 1; ( e) m = 0 , nR .

129. Fie M = {x; xR , x 6= 1} si operat ia de nit a prinx y = 2 ax + by + xy,x, yM.


36/140

35

Sa se determine parametrii a si b reali astfel ncat ( M, ) sa e grupcomutativ. S a se precizeze elementul simetric x0 al elementului arbitrarx.(a) a = 12 , b = 1 , x

0 = xx+1 ; (b) a = 1 , b = 1 , x0 = xx+1 ;(c) a = 12 , b = 1 , x

0 = xx+1 ; (d) a = 1 , b =12 , x

0 = xx+1 ;(e) a = 12 , b = 1 , x

0 = 1x+1 .

130. Pe multimea G = (0 , ) se de neste legea xy =2xy

x + y,x, yG.

Precizat i care din urm atoarele a rmat ii este adev arat a:(a) (G,) este grup comutativ; ( b) (G,) este grup necomutativ;(c) (G,) este monoid; (d) G nu este parte stabil a;(e) legeanu este asociativ a.

131. Pe multimea R a numerelor reale se de neste operatia

xy =3p x3 + y3,x, yRunde pentru radical se ia valoarea real a. Sa se scrie conditia ca o biject ie

f : R

R sa stabileasc a un izomor sm ntre grupurile ( R ,

) si (R , +) .Sa se indice bijectia respectiv a.(a) f (xy) = f (

3 x) + f ( 3 y) si f (x) = x3;(b) f (xy) = f (x) + f (y) si f (x) = x

3;

(c) f (xy) = f (x)f (y) si f (x) = x3;

(d) f (xy) = f (3 x) + f ( 3 y) si f (x) = x;

(e) f (xy) =3p f (x) + 3p f (y) si f (x) = 3 x.132. Pe Z (mult imea numerelor ntregi) se de nesc operat iile:xy = x + y + 1si x

| y = x + y 1.Sa se a e o bijectie f : ZZ , care de neste un izomor sm ntre grupurile(Z ,) si (Z , | ).(a) f (x) = x + a(antreg xat nenul); (b) f (x) = ax + a 1;(c) f (x) = x + 2 a 1; (d) f (x) = x + a 1;(e) f (x) = ax + a + 1 .


37/140


A

133. Pe multimea R a numerelor reale se consider a legea de compozitie ,dat a prin:

x y = ax + by1,x,yRn care a si b sunt constante reale. S a se determine a si b astfel ncatlegea dat a sa de neasca pe R o structur a de grup abelian.

(a) a = 1 , b = 2; (b) a = 1 , b = 1; (c) a = 2 , b = 2;(d) a = 1 , b = 1; (e) a = 2, b = 1.

134. Fie M = {x

R ; x > 0} si grupurile ( M, ) , (R , +) . A ati m

R astfelncat:

f : M R , f (x) = ln (m 1) x + m2 4sa e izomor sm ntre cele dou a grupuri.

(a) m = 1; (b) m = 4; (c) m = 2; (d) m = 2; (e) nu exist a m.135. In mult imea M = {x; xR , x 1} se de neste operatia intern a

xy = xy

p (x2 1)(y2 1),x, yM.

Sa se a e elementul neutru si mult imea elementelor care au invers fatade aceast a operat ie.

Sa se calculeze xx x| {z} 2n, unde xM este un element oarecare.

(a) elementul neutru este 1, ecare element are invers, xx x| {z }2n= 1;

(b) elementul neutru este 1, ecare element are invers, xx x| {z }2n= x;

(c) elementul neutru este 1, nici un element nu are invers si

xx x| {z } 2n = xn ;

(d) elementul neutru este 1, numai x = 1 are invers si xx x| {z }2n= x

(e) elementul neutru este 1, pentru x 2 nu exista invers sixx x| {z } 2n

= x.


38/140

37

136. Pe multimea M = {x; xR , x 6= 1 } , consideram legea de compozitie , dat a prinx y = 2 xy 2x 2y + c

n care constanta real a c se va determina, astfel ncat ( M, ) sa e grup.Sa se a e elementul unitate e si inversul xal unui element oarecare x.(a) c = 3 , e = 2 , x= x 1; (b) c = 3 , e =

32

, x=x 34x 1

;

(c) c = 3 , e = 3 , x= x + 2; ( d) c = 2 , e =3

2, x=

x 2x 1

;

(e) c = 3 , e = 1, x= x + 2 .137. Pe C se de neste legea de compozit ie:

z1z2 = z1z2 + i(z1 + z2) 1 i,z1C,z2C.

Fie e elementul neutru si z solutia ecuat iei z(1 i) = 3 + i. Sa sestabileasc a daca:(a) e = 1 + i si z = 3 + i; (b) e = 1 i si z = 3 + i;(c) e = i si z = 3 i; (d) e = 1 i si z = 5 + i;(e) e = 1 i si z = 1 + i.

138. Fie (M3(R ), ) grupul multiplicativ al matricelor p atratice nesingularede ordinul 3 si funct ia

f : R M3(R ), f (t) =

1 t 2t2 + 2 t0 1 4t0 0 1

.

Care din a rmat iile urm atoare e fals a?

(a) ( M3(R ), ) este grup necomutativ;

(b) f este un mor sm de la (R , +) la ( M3(R ), );

(c) f este un izomor sm de la (R , +) la ( M3(R ), );

(d) f (0) = I 3; (e) f nu este injectiv a.


39/140


A

139. Fie (G,) grupul cu G = ( 1, 1) sixy =

x + y1 + xy

,x, yG.

Sa se a e aR , astfel ncat funct ia f : R+ G,

f (x) =ax 1x + 1

sa e un izomor sm de la (R+ , ) la (G,).

(a) a = 0; (b) a = 1; (c) a = 12

; (d) a = 12; (e) a = 23.140. Numarul elementelor inversabile n inelul Z 12 este:

(a) 4; (b) 3; (c) 6; (d) 1; (e) 12.

141. Fie M = {x; xR , x 1} si operat ia intern axy = xy + p (x2 1)(y2 1),x, yM.

Aceast a operat ie are element neutru? Dac a da, care este acesta? Care

sunt elementele din M , care au invers fat

a de aceast

a operat ie?(a) Da, elementul neutru este 1 . Singurul element care are invers este 1 .(b) Da, elementul neutru este 1 . Nici un element nu are invers .

(c) Nu exist a element neutru.(d) Da, elementul neutru este 1 . Toate elementele sunt inversabile .

(e) Da, elementul neutru este 1 . Orice element x are invers, egal cu x.142. Multimea matricelor de forma

M (a) = 2

a a

1

2(1 a) 2a 1 cu a real nenul formeaz a un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul mul-tiplicativ al numerelor reale diferite de zero. S a se precizeze coresponden-ta care realizeaz a acest izomor sm si sa se a e inversa matricei M (a).

(a) M (a) a2, (M (a))1 = 2 1a 1a 12(1 1a ) 2a 1 ;


40/140

39

(b) M (a) a, (M (a))1 = 2 1a 1a 12(1 1a ) 2a 1 ;(c) M (a) 1a 2 , (M (a))1 = 2 1a 1a 12(1 1a ) 2a 1 ;(d) M (a) 1a , (M (a))1 = 2 + a a 12(1 + a) 2a 1 ;(e) M (a)

a + 1a , (M (a))1 =

2 + a a 12(1 + a) 2a 1

.

143. Multimea matricelor de forma

M (a) =

1 0 a

a 1 a2

20 0 1

cu a real formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul aditival numerelor reale diferite de zero. S a se precizeze corespondent a carerealizeaza acest izomor sm si sa se a e inversa matricei ( M (a))n .

(a) M (a) a, (M (a))n = M (an ) ;(b) M (a) a, (M (a))n = M (na ) ;(c) M (a) a, (M (a))n = M ((a)n ) ;(d) M (a) a, (M (a))n = M (an ) ;(e) M (a) a, (M (a))n = M (na )

144. Pe multimea Q+ a numerelor rat ionale strict pozitive se de neste legea

de compozitie internaastfel

ncat:

(1) (xy) (zt) = ( xz)(yt) , () x,y,z, t Q+ ;

(2) xx = 1 , () xQ+ ;

(3) x1 = x, () xQ+ .

Valoarea lui 2743 este:

(a) 27/ 43; (b) 43/ 27; (c) (43/ 27) 1; (d) 1; (e) (27/ 43) + 1 .


41/140


A

145. Se considera multimea

G = {M a,bM 3 (R ) , M a,b =

a b bb a bb b a

, a ,bR , det M a,b = 1 }.

Este nmult irea matricelor o lege de compozit ie intern a pe G? In caza rmativ, ce structur a are (G, )?(a) Inmult irea matricelor nu este o lege de compozitie intern a pe G;(b) Inmult irea matricelor este o lege de compozit ie intern a pe G, (G, )

este grup nit;(c) Inmult irea matricelor este o lege de compozit ie intern a pe G, (G, )este monoid necomutativ;(d) Inmult irea matricelor este o lege de compozit ie intern a pe G, (G, )este grup necomutativ;(e) Inmult irea matricelor este o lege de compozit ie intern a pe G, (G, )este grup comutativ.

146. Pe Z se de nesc operat iile xy = x+ y+1 si xy = x+ y1, () x, yZ .Sunt ( Z ,) , (Z , ) grupuri? In caz a rmativ, sunt ele izomorfe?(a) Ambele sunt grupuri si aceste dou a grupuri sunt izomorfe;(b) ( Z ,) este grup, iar ( Z , ) nu este grup;(c) (Z ,) nu este grup, iar ( Z , ) este grup;(d) Nici unul din ele nu este grup;(e) Ambele sunt grupuri, dar nu sunt izomorfe.

147. Intr-un inel ( A, + , .) , 0 si 1 sunt elementele neutre la adunare si respectivnmult ire. Dac a x6 = x, () xA, atunci valoarea lui x + x + 1 + 1 este:(a) 1; (b) 0; (c) x; (d) x + 1; (e) x2.

148. Legile de compozitie de nite pe R prin xy = ax + by1 six y = 2 ( xy x y) + c, x, y R , induc pe R o structur a de corpcomutativ dac a:(a) a = b = 1 , c = 3; (b) a = 2 , b = 1 , c = 3;(c) a = 1 , b = 2 , c = 6; ( d) a = 2 , b = 1 , c = 3;(e) a = b = 2 , c = 3 .


42/140

41

149. Pe R se de nesc operat iile:

x> y = ax + by2xy = xy cx dy + 6 ,() x, yR , unde a,b,c,dR sunt constante arbitrare. Dac a tripletul(R , > ,) este corp comutativ, atunci:

(a) a = 1 , b = 1, c = 3, d = 3; (b) a = b = 0 , c = d = 3;(c) a = b = 1 , c = d = 2; (d) a = b = 1 , c = d = 3;(e) a = b = 0 , c = d = 6 .

150. Se da corpul (R , | ,) ale carui elemente neutre fata de legile | sisunt3 respectiv 15. Stiind c a exista un izomor sm f : (R , + , ) (R , | ,)de forma f (x) = ax + b se cere simetricul lui 27 fat a de legea.a) 23; b) 9; c) 0; d) 27; e) 3.


43/140


A


44/140

Capitolul 2

Analiz

a matematic

a

1. Fiel = lim

n1n2 + 2n2 + + nn2.Atunci:

(a) l = 1; (b) l = 12 ; (c) l = 0; ( d) l = ; (e) l.2. Limita

limnn(

n + 1 n)este:(a) 1; (b)

12

; (c)34

; (d) ; (e) 1.3. Sa se a e

limns n2 + 1n + 2 ln n + 1n .

(a) 12 ; (b) 1 ; (c) e ; (d) e ; (e) .

4. Daca an =n

Xk=2 ln1 1

k2, n 2, atunci:(a) an +1 < a n , limn

an = ln 2; (b) an +1 < a n , limn

an = ln 12 ;

(c) an < a n +1 , limn

an = 1ln 2 ; (d) an+1 < a n , limnan = 1 ln2;

(e) an < a n +1 , limn

an = 1 + ln 2 .

43


45/140

44 CAPITOLUL 2. ANALIZ

A MATEMATIC

A

5. Daca an =n

Xk=1 k2 + k

n3 + k2, atunci:

(a) limn

an = 0; (b) limn

an = 13 ;

(c) limn

an = 1; (d) limn

an = 12 ;

(e) limn

an = 14 .

6. Sa se a e valorile lui aR astfel ncat:

limnp an (a + 5)( n + 1) + ( a + 9)( n + 3)( n + 5) a2n2 + 1 = 3 .

(a) a32 , 34; (b) a = 9; ( c) a{3, 9} ;(d) a32 , 3; (e) a = 14 .7. Sa se precizeze valoarea lui a = lim

n(b1 + b2 + + bn ) , unde

bk =2k + 1

k2(k + 1) 2.

(a) a = ; (b) a = 0; (c) a = 1; (d) a =12

; (e) a = 2 .

8. Sa se calculeze l = limn

sin2( n2 + n + 1) .(a) l = 1; ( b) l = 12 ; (c) l = 0; ( d) l = ; (e) l.

9. Se considera sirul de numere reale:

xn = ( 1)n1

2 +

3n

,n

N.

Atunci:

(a) limn

xn = 2; (b) ( xn )n

N e sir monoton;

(c) minn

Nxn =

72

si maxn

Nxn = 5; (d) min

n

Nxn = 2 si maxn

N

xn = 2;

(e) (xn )n

N e sir nemarginit.


46/140

45

10. Fie a0, a1,...,a k numere reale astfel ncat a0 + a1 + ... + ak = 0 si

l = limna0 3 n + a1 3 n + 1 + ... + ak 3 n + k.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = + ; (c) l = 1; (d) l nu exist a; (e) l = ln 3 .11. Se considera sirul de numere reale

xn =2 + (1)n

2n + ( 1)n ,

n

N.

Atunci(a) ( xn )n

N este sir cresc ator; (b) @limn

xn ; (c) @limn

xn+1xn

;

(d) maxn

Nxn = 1; (e) ( xn )n

N este sir nem arginit.

12. Fief : (0, + ) R , f (x) = ln 1 2x + 2.

Fie l limita sirului cu termenul general

bn = nan + ln n2 + 12 unde an = f (1) + f (2) + ... + f (n).Atunci:

(a) l = 0; (b) l = ; (c) l = 1; (d) l = 3; (e) l = e.

13. Fie an = limx0

(1 x sin nx )1x2 si bn = a1 + a2 + + an . Sa se precizeze

valoarea lui b = limn

bn .

(a) b = 1; (b) b = ; (c) b = 11 e;

(d) b =e

1 e; (e) b =

1e 1

.

14. Daca (an )n

N este sir real de nit de

a1 = a, a n = a + an1, a > 0,


47/140


A MATEMATIC

A

atunci:(a) (an )n

N este marginit si lim

nan = 12 (a + 1 + 4a),

(b) (an )n

N este nemarginit si limn

an = ,(c) (an )n

N este marginit si lim

nan = 12 1 + 4a,

(d) (an )n

N este marginit si limn

an = 12 (1 + 1 + 4a),(e) (an )n

N este nemarginit si lim

nan = .

15. Domeniul maxim de de nitie al funct iei

f (x) = r ln (x2 + 4)x2 + 4este:(a) x[0, ) ; (b) x 3, 3; (c) x(1, 1] ;(d) x(, 1] ; (e) x(2, 2) .

16. Domeniul maxim de de nitie al funct iei

f (x) = 3 x + r x2

1x + 2 + ln (ln x)este:(a) x(, 0) ; (b) x(0, 1) ; (c) x[1, 1] ;(d) x(2, 2] ; (e) x(1, + ) (, 0) .

17. Multimea punctelor de continuitate ale funct iei f : R R undef (x) = x, daca xQx2, daca xR \ Q

este:(a) {0, 1} ; (b) [0, 1] ; (c) Q; (d) ; (e) {1, 0, 1} .

18. Sa se calculezelimx0

(2x 1) ln (1 + sin x) 1 + x 1tg 2x .(a) 1; (b) ln 2; (c) 0; (d) 14 ; (e) .


48/140

47

19. Fie

l = limx0

esin x etg xesin 2 x etg 2 x

.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = 18 ; (c) l =14 ; (d) l =

12 ; (e) limita nu exist a.

20. Fie l = limxx + xx x

x. Valoarea lui l este:

(a) l = ; (b) l = ; (c) l = 2; (d) l = e2; (e) l = e.

21. Valoarea limitei:

L = limx

ln(x2 x + 1)ln(x10 + x + 1)

este:

(a) L = 1; (b) L = 15 ; (c) L = 1;(d) L = 13 ; (e) L =

14 .

22. Valoarea limitei

limx0

ln (1 + x + x2) + ln (1 x + x2)x2

este:

(a) 3; (b) 2; (c) 1; (d) 1; (e) 4.23. Fie ecuatia

t2 + 2( x 1)t + 4 = 0cu radacinile t1(x) respectiv t2(x), x

R si e L1 = limxxt1(x) si

L2 = limx

xt 2(x). Valorile lui L1 si L2 Sunt:

(a) L1 = , L2 = ; (b)L1 = , L2 = ;(c) L1 = , L2 = 2; (d) L1 = 0 , L2 = ;(e) L1 = , L2 = 2.


49/140


A MATEMATIC

A

24. Sa se determine:

L = limx

(sin(ln( x + 1)) sin(ln x)) .(a) L = 22 ; (b) L = 1; (c) L = 1;(d) L = 0; ( e) L = 12 .

25. Pentru c ate valori ale lui nN exist a limita

limx0

x cos x sin xxn

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) o in nitate.

26. Sa se determine valoarea limitei

limxe

ln x 1x e

.

(a) e; (b) 1/ 2; (c) 3; (d) 1/e ; (e) 4.

27. Daca

f (x) = 1 + |x|

x

1 x 1

| x |

, x 6= 0 , x 6= 1 ,

atunci:

(a) limx0,x< 0

f (x) = e, limx0,x> 0

f (x) =1e

;

(b) limx0,x< 0

f (x) =1e

, limx0,x> 0

f (x) = e1e

;

(c) limx0,x< 0

f (x) = e, limx0,x> 0 f (x) = e;(d) lim

x0,x< 0f (x) = e, lim

x0,x> 0f (x) =

e;

(e) limx0

f (x) = e.

28. Sa se calculeze

limx0tg xx

1sin 2 x

(a) 0; (b) ; (c) e; (d) 3 e; (e) nu exist a.


50/140


51/140


A MATEMATIC

A

35. Sa se determine asimptotele (orizontale, oblice si verticale) pentru urm a-toarea funct ie: f : D R , D ind domeniul maxim de de nit ie alfunctiei

f (x) =x

x2 1.

(a) nu admite asimptote; (b) x = 1 , y = 0;

(c) x = 1, x = 1 , y = 0; (d) x = 1 , y = 1; (e) x = 1 , x = 0 .36. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b functia f : R R , de nit aprin:

f (x) = 2x2 + b, x 2,2ax 3 + 11 a, x > 2,

este continu a pe R si derivabil a pe R .

(a) a = 0 , b = 8; (b) a =19

, b = 5; (c) a =23

, b = 2;(d) a =

13

, b = 1; (e) a =13

, b = 1.37. Functia f (x) = xex + e2x , xR , veri

ca egalitatea

f 000(x) + af 00(x) + bf 0(x) + cf (x) = 0 , xR ,

n care:

(a) a = 1 , b = 1, c = 2; (b) a = 1, b = 1, c = 3;(c) a = 0 , b = 3, c = 2; (d) a = 1 , b = 0 , c = 3;(e) a = 0 , b = 2 , c = 3.

38. Pentru functiaf (x) = ln x2 + ln ( x + 1) 2

domeniul maxim de de

nitie, punctele de extrem si natura lor sunt:(a) R \ { 0} , x = 1 punct de maxim;(b) R \ { 1} , x = 1 punct de minim;(c) R , x= 12 punct de minim;

(d) R \ { 1, 0} , x = 1 punct de maxim;(e) R \ { 1, 0} , x = 12 punct de maxim.


52/140

51


f (x) =x2 + mx + 2x2 + 2 x + m

,

unde mR este un parametru. S a se determine m, astfelncat domeniul

ei de de nitie sa e R si sa admit a exact dou a puncte de extrem.(a) m(1, 2)(2, ) ; (b) m(2, ) ; (c) m(3, ) ;(d) m(1, 2); (e) m(, 1).

40. Fie functia

f : R R , f (x) = x2e1x .Sa se determine n

Nstiind ca f (n )(1) = 57 .(a) n = 6; (b) n = 8; (c) n = 7; (d) n = 10; (e) n = 12 .

41. Sa se calculeze derivata funct iei:

f :2 , 2 R , f (x) = arccos(sin x).(a) ctg x; (b) cos x; (c) sin x; (d) 1; (e) 1.

42. Fie functia

f : R R , f (x) = ex x2 1, x 0ex x3 + 1 , x > 0 .Precizat i care din urm atoarele a rmat ii este adev arat a:

(a) x = 0 este punct de extrem relativ si punct de in exiune;

(b) x = 0 nu este punct de extrem relativ dar este punct de in exiune;

(c) x = 0 este punct de extrem relativ dar nu este punct de in exiune;

(d) x = 0 nu este nici punct de extrem relativ si nici punct de in exiune;(e) x = 0 este punct de minim relativ.

43. Daca g(x) = |x| 1, xR si f = g g atunci:(a) x = 1 si x = 1 sunt puncte de minim relativ pentru f ;(b) x = 1 este punct de maxim relativ pentru f si x = 1 este punct deminim relativ pentru f ;


53/140


A MATEMATIC

A

(c) x = 1 si x = 1 sunt puncte de maxim relativ pentru f ;(d) x = 1 este punct de minim relativ pentru f si x = 1 este punct demaxim relativ pentru f ;(e) x = 1 si x = 1 nu sunt puncte de extrem pentru f.

44. Se da functia f : R \ { 2} R , de nit a prin f (x) =x + mx + 2

ex , n carem este parametru real. S a se precizeze valorile lui m pentru care f aredoua puncte de extrem.(a) m

[2, 6]; (b) m

, 2

3

; (c) m

2

3, 6

;

(d) m(, 2)(6, ); (e) m, 23(6, ).45. Dacaf (x) = ex + ax 2 + b, x 0aex + bx3 + 1 , x > 0,

atunci exist a derivata f 0 : R R continu a pe R daca:(a) ( a, b) = ( 1, 1); (b) ( a, b) = ( 1, 1); (c) (a, b) = (1 , 1);(d) ( a, b) = (1 , 1); (e) (a, b) = (2 , 1).

46. Sa se precizeze valorile reale ale lui m astfel ca funct ia

f : R R , f (x) =mex (1 + m) ex

1 + ex

sa e strict monoton a pe R .(a) m[0, ) ; (b) m[0, 1] ; (c) m(, 1][0, ) ;(d) mR ; (e) m{0, 1} .


f : (0, ) R , f (x) = arctg r 1

cos x

1 + cos x .

(a) x; (b) 2x; (c) 12 ; (d) x2; (e) 1.

48. Fie A = {aR | e4x 4x3 + a2x + 1 ,xR } . Atunci:

(a) A = ; (b) A = {2} ; (c) A = {2, 2} ;(d) A = ( 1, 1) ; (e) A = R .


54/140

53


f : (0, ) R , f (x) = arcsin(cos x).(a) x2; (b) sin x; (c) x; (d) 12 ; (e) 1.

50. Functia

f (x) =

(a + b)x + 1bx + 1 1x

, x < 0

1, x = 0

ax2

+ bx + 1bx + 1

1

x2

, x > 0

este continu a n x = 0 dac a:

(a) ( a, b) = (1 , 1); (b) (a, b) = (1 , b), bR ;(c) (a, b) = (0 , b), bR ; (d) (a, b) = ( 1, b), bR ;(e) (a, b) = (1 , 1).

51. Fie A mult imea punctelor de continuitate si B mult imea punctelor dederivabilitate ale functiei:

f (x) =

xx 1

, x(, 0]x ln x, x(0, 1)ex e1, x[1, )

.

Sa se precizeze multimile A si B.

(a) A = R \ { 0, 1} , B = R \ { 0, 1};

(b) A = R \ { 0} , B = R \ { 0, 1};

(c) A = R \ { 1} , B = R \ { 0, 1};

(d) A = R , B = R \ { 0, 1};

(e) A = R , B = R .

52. Precizat i valorile parametrului real m, functia

f (x) =mex + ( m 1)ex

1 + ex


55/140


A MATEMATIC

A

satisface condit iile:

i) f 0(ln2) = 0;

ii) este descrescatoare pe ( , ) .(a) i) m = 12 ; ii ) m[0, 1]; (b) i) m = 17 ; ii ) m[0, 1];(c) i) m = 2; ii ) m[1, 2];(d) i) m = 3; ii ) m[1, 1];(e) i)m = 34 ; ii )m

[1,

) .

53. Fie

f : (1, 1) \ { 0} R ,f (x) = 2 |x| x(x + 1) 21

ln | x |

si l = limx0

f (x) .

Atunci:

(a) l = 1; (b) nu exista limit a ; (c) l = 1;(d) l = e; (e) l = + .

54. Fief : R R ,f (x) = e

x x 1, x 0x3 3x2, x > 0.

Atunci:

(a) f e strict cresc atoare pe (0 , + ) ;(b) x = 0 e punct critic si nu e punct de extrem local;

(c) x = 2 e punct de maxim local

(d) minx

Rf (x) = 3;

(e) f nu e derivabil a n x = 0 .

55. Fie functia

f : R \ { 1, 2, 3, 4} R , f (x) =1

x 1+

1x 2

+1

x 3+

1x 4

+ 5 .

Atunci:

(a) Gra cul lui f nu intersecteaz a axa Ox.


56/140

55

(b) Gra cul lui f intersecteaz a axa Ox ntr-un punct .

(c) Gra cul lui f intersecteaz a axa Ox n doua puncte .

(d) Gra cul lui f intersecteaz a axa Ox n trei puncte .

(e) Gra cul lui f intersecteaz a axa Ox n patru puncte .

56. Fie (xn )n

N si (yn )n

N doua siruri de numere rationale ce veri ca relat ia

3 + 7

n

= xn + yn 7,nN.

Daca l = limn

xnyn

atunci:

(a) l = 1; (b) l = 0; (c) l = 3; (d) l = 7; (e) l = 3 .57. Fie

f : (0, + ) R , f (x) = limn1 + xn (x2 + 4)

x (xn + 1).

Atunci:

(a) f e continu a pe (0, +

) ;

(b) x = 2 este punct critic pentru f dar nu este de extrem local;

(c) x = 1 este punct unghiular;

(d) maxx

(0,+ )f (x) = 1; (e) f e strict descresc atoare pe (0 , 1) .

58. Sa se studieze monotonia funct iei

f : [2, ) R , f (x) = x cosx x, () x 2.

(a) f este strict descrescatoare pe [2, );(b) f este strict cresc atoare pe [2, );

(c) f este strict cresc atoare pe [2, 4] si strict descresc atoare pe [4, );(d) f este strict cresc atoare pe [2, 8] si strict descresc atoare pe [8, );(e) f este strict descresc atoare pe [2k, 2k + 1] si strict cresc atoare pe[2k + 1 , 2k + 2], () k

N.


57/140


A MATEMATIC

A

59. Sa se determine asimptotele funct iei f : R \ { 1, 0} R ,

f (x) =x2

x + 1e1/x .

(a) Asimptote verticale x = 1, x = 0;(b) Asimptot a vertical a x = 1;(c) Asimptote verticale x = 1, x = 0 si asimptot a orizontal a y = 1;(d) Asimptote verticale x = 1, x = 0 si asimptot a oblica y = x;(e) Asimptote verticale x = 1, x = 0 si asimptote oblice y = x + 1 ,y = x 1.

60. Fief : R R , f (x) = 3p x2 + ( a 2) x a + 2 .Valorile parametrului real a pentru care domeniul de derivabilitate al

functiei f coincide cu domeniul de de nitie sunt date de:

(a) aR \ { 2, 2} ; (b) a(, 2)(2, ) ;(c) a(2, 2) ; (d) a(, 2]; (e) a[2, + ).

61. Pentru ce valori ale lui x > 0 are loc inegalitatea

x arctg x > ln1 + x2?(a) x(0, / 2) ; (b) x(0, 2) ; (c) x(1, )(d) x(0, 1)(e, ) ; (e) x(0, ) .

62. Se considera functia f : R R ,

f (x) =

x +212

, x < 1

25xx2 + 1 1, x[1, 2](x + 1) 2

x 1, x(2, 3]

8, x > 3.

Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea lui f pe R .


58/140

57

(a) f este continu a pe R si derivabil a pe R \ { 1, 3} ;(b) f este continu a pe R \ { 3} si derivabil a pe R \ { 1, 3} ;(c) f este continu a pe R \ { 3} si derivabil a pe R \ { 1, 2, 3} ;(d) f este continu a pe R si derivabil a pe R \ { 1} ;(e) f este continu a pe R si derivabil a pe R \ { 1, 2} .


f : R \

2

bR , f (x) =

x2 + ax

bx + 2.

Determinat i a, bR , b 6= 0 , astfel ncat extremele funct iei f sa aiba loc

pentru x = 8 si x = 4 .(a) a = 2 , b = 1; (b) a = 16, b = 1; (c) a = 8 , b = 0;(d) a = 1, b = 2; (e) a = 4, b = 4.


f : R R , f (x) = sin xx , pentru x 6= 0 ,1, pentru x = 0 .si a = f 0(0), b = f 00(0). Atunci:(a) a = 0 , b = 1; (b) a = 0 , b = 13 ; (c) a = 0 , b = ;(d) a = 1 , b = 13 ; (e) a = 0 , b = 0 .

65. Care este cea mai mica valoare a funct iei f : R R , de nit a prin:f (x) = ln 1 + 1 + x2?

(a) 3 ln 2; (b) ln 2, 5; (c) 0; (d) ln 2; (e) ln(1 + e).66. Valoarea integralei de nite:

I =0

Z 1

1 + x(1 x)2

dx.

este:

(a)34

; (b) lne2

; (c) arctg 2; (d)e2

; (e) 1.


59/140


A MATEMATIC

A

67. Fie functia:

f : (1, ) (0, ) , f (x) = r x3 1xsi I (a) =

a

Z 2

1f 2(x)

dx, a > 2. Atunci lima

I (a) este:

(a) 16 3 + 16 ln 7; (b) 1 3 ( 2 arctg 5 3 ) + 16 ln7;(c) 1 3 (

2 + arctg

5 3 ) +16 ln 7; (d)

1 3 (2

arctg 5 3 )

16 ln7;

(e) 1 3 (2 arctg 5 3 ).

68. Valoarea integralei2

Z 0 cos3 x + sin 3 xdx

este:(a) 23 ; (b) 1; (c)

13 ; (d)

23 ; (e)

43 .

69. Valorea integralei 1Z 1

t2 (1 et )1 + et

dt

este:(a) 1; (b) e; (c) e1; (d) 0; (e) ln2.

70. Fie f : R R, f (x) = ex2 si F o primitiv a a lui f. Se cere lim

xxF (x)f (x)

.

(a) ; (b) 0; (c) 12 ; (d) 1; (e) e.71. Valorea integralei

Z xdx(x + a)3/ 2 , x(a, ) , a 6= 0 .este:

(a) 2 x + a + 1 x + a+ c; (b) 2 x + a a x + a+ c;


60/140

59

(c)x 2a x + a + c; (d)

23

x + a + 1 x + a + c ; (e) 2

x + 2 a x + a + c.

72. Valorea integralei

I =

2

Z 0

sin x1 + cos2 x

dx.

este:

(a) I = 1; ( b) I = ln2 ; ( c) I = 2 ; (d) I =4 ; (e) I = 4 .

73. Fie

I =1

Z 0

4x3 6x2 + 8 x 3(x2 x + 1) 3

dx.

Atunci:

(a) I = 6; (b) I = 3; (c) I = 0;

(d) I = 4; (e) I = 2 .


I = Z ln xx2 dx pentru x > 0.este:

(a) I = 12 ln2 x + C ; (b) I = 12 ln

2 x; (c) I = 1x 1x ln x + C ;(d) I = 1x + 1x ln x + C ; (e) I = 1x 1x ln x + C.


I =

Z dx

xp 4 + ln2 x

pentru x > 0.

este:

a) I = ln(ln x + p 4 + ln 2 x) + C ; (b) I = ln( x + 4 + x2) + C ; (c)I = ln(ln x p 4 + ln 2 x) + C ;(d) I =

(2ln x + 8) ln x + 4 + C ; (e) I = ln(ln x + p 4 ln2 x) + C.


61/140


A MATEMATIC

A


I = Z cos xsin x 2cosx dxsi intervalul de lungime maxim a, inclus n2 , 2pe care este adev arat aformula gasit a sunt:(a) I = 15 ln(2 cos x sin x)

25

x + C, intervalul de lungime maxim a

2

, arctg 2

;

(b) I = 15 ln(2 cos x sin x) 25x + C, intervalul de lungime maxim aarctg 2 , 2;(c) I = 15 ln(2 cos x + sin x)

25


arctg 2 , 2;(d) I = 15 ln(2 cos x sin x)

25


2

,2

;

(e) I = 15 ln(2 cos x + sin x) 25x + C, intervalul de lungime maxim a

2 , 2.77. Valorea integralei

I = Z dx(x2 + 1) 2 .este:

(a) I = 12 arctan x +x

2(x2 + 1)+ C ;

(b) I = 12 arctan x x2(x2 + 1) + C ;(c) I = 12 arctan x + C ;

(d) I = 12 arctan x +x

2(x2 + 1);

(e) I = 12 arctan x +x

2(x2 + 1)+ C.


62/140

61


I = Z x + 1(x2 + 2 x + 5) 2 dxeste:

(a) I =12

xx2 + 2 x + 5

+ C ;

(b) I = 12

1x2 + 2 x + 5

+ C ;

(c) I =1

2

x

x2 + 2 x + 5+ C ;

(d) I = 12

1x2 2x + 5

;

(e) I = 12

xx2 2x + 5

+ C.


I = Z 1 x2 + 1 + x dxeste:

(a) I =x2 x

2+ 1 + C ; (b) I =

x2 x

2+ 1 +

12 lnx +

x2 x

2+ 1+ C ;(c) I = x2 x2 + 1 + 12 lnx + x2 x2 + 1 x22 + C ;

(d) I = 12 lnx + x2 x2 + 1 x22 + C ;(e) I =

x2 x2 + 1 + 1

2lnx + x2 x2 + 1+ x22 + C.


I =

Z x + 1

x + 22

dx

este:

(a) I = x + ln( x + 2) + C ; (b) I = x ln (x + 2) + C ;(c) I = ln ( x + 2) 1x+2 + C ;(d) I = x 2ln(x + 2) 1x+2 + C ;(e) I = 2 ln ( x + 2) 1x+2 + C.


63/140


A MATEMATIC

A

81. Fie I =2

Z 0

f (x)dx, unde f : [0, 2] R este de nit a de

f (x) = ex max1, x2.Atunci:

(a) I = e2 1; b) 2(e2 1); (c) e2 2;(d) 3(e2

1); (e) 2e2

1.

82. Fie I =2

Z 0

f (x)dx, unde f : [0, 2] R este de nit a de

f (x) = min x, 21 + x2.Atunci:

(a) I =1

2

+ 2arctg2

2

; b) I =1

2

+ 2 arctg 2; (c) I = 2;

(d) I = 2 arctg 2; (e) I = 2 arctg2 2

.

83. Fie f : [1, 1] R , f (x) = max {ex , ex} .Valoarea integralei

I =1

Z 1

f (x) dx este :

(a) I = 0; ( b) I = 1; ( c) I = 2 ( e 1); (d) I = 3; ( e) I = 4 .84. Valoarea integralei

e

Z 1

ln xx

dx.

este:

(a) 2; (b) 1; (c) 1/ 2; (d) 0; (e) 3.


64/140

63

85. Sa se determine valoarea integralei

3

Z 2

tdt1 + t2

.

(a)ln 22

; (b)13

; (c)ln 33

; (d)32

; (e) 2.

86. Sa se calculeze4

Z 0cos xdx

1 + sin 2 x .

(a)12

; (b)32

; (c) arctg 3; (d) arctg 1 3; (e) arctg 22

.

87. Valoarea integralei4

Z 0

dx1 + x

este:

(a) 3; (b) 2 2 ln 2; (c) 3 + 2 ln 2; (d) 4 2 ln 3; (e) 1.88. Sa se determine valoarea integralei:

I =1

Z 0

(x + 1) x2 + 1 dx.

(a) I = 2 + ln(2 + 2); (b) I = 32 2 + ln(1 + 2);

(c) I =

7

6

2 1

3 +

1

2 ln(1 +

2); (d) I =

7

6

2 +

1

3 ln(1 +

2);

(e) I =34

+76

ln(1 + 2) + 2.89. Sa se calculeze:

I =1

Z 0

x3 x2 x + 1 dx.


65/140


A MATEMATIC

A

(a) 8 2 + 3; (b) 8 2 3; (c)215

(8 2 7);(d) 8

215

(8 2 + 7); (e) 215

(8 2 3).90. Fie functia f : R R , de nit a prin relat ia:

f (x) = x2 + 4 x + 5ex .Daca x1 si x2(x1 < x 2) sunt cele dou a puncte de in exiune ale functiei,sa se a e aria S, cuprins a ntre gra cul functiei f, axa Ox si dreptele deecuatie x = x1, respectiv x = x2.

(a) 6(3 e)e3; (b) 6(e2 3)e5; (c) 5(e2 2)e2;(d) 5(e2 1)e; (e) 18 + 5e3.

91. Sa se calculeze:

I =1

Z 0

x arcsin xdx.

(a)2

3; (b) 1 +

2; (c)

8; (d) 3 +

2; (e) 3 + .

92. Fie (I n )n

N,n 2 sirul cu termenul general

I n =n

Z 1

x 1x + 1

dx,nN,n 2 si l = limn

I nn

.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l =12

; (c) l = 1; (d) l = 1; (e) l = 2 .

93. Fie functia f : R R , f (x) = x2+ |x 1| + |x 3| . Fie F o primitivaa lui f astfel ncat F (2) = 2 . Atunci F (4) este egal cu:

(a) 0; (b) 6; (c) 8; (d) 10; (e) 9.94. Sa se calculeze:

I =1

Z 0

dxx3 + x2 + 4 x + 4

,


66/140

65

(a) I =15ln 85 12 arctg 12; (b) I = 110ln 165 arctg 12;

(c) I =110ln 165 + arctg 12; (d) I = 110ln 165 + arctg 12;

(e) I = ln325

.

95. Sa se determine valoarea integralei I =

Z 0

x sin x

1 + cos2

x

dx.

(a) I =2

4; (b) I = 0; (c) I =

2

; (d) I = 2

2; (e)I =

2

8;

96. Se cosidera functia

f (x) =1

x3 + x + 2 1

4(x + 1); x 6= 1.

Sa se calculeze

I =

1

Z 0 f (x)dx.(a) I =

32 7 arctg

1 7; (b) I =

3 7 arcsin

1 7; (c) I =

72

;

(d) I =1 7 + ln(1 + 7); (e) I =

72

+ arctg2 7.

97. Sa se calculeze

I =a

Z 0xdx

x + a,

unde a > 0 este o constant a.

(a) I = (2 2)a 2; (b) I = 23 (2 + 2)a a;(c) I = 23 (2 2)a a; (d) I = (2 + 2)a2;(e) I = (2 3)(a + a).


67/140


68/140

67


f : [0, ] R , f (x) = limnx2n + x3 + x

x2n1 + x2 + 1.

Atunci valoarea integralei I =2

Z 12

f (x) dx este:

(a) 3/ 2; (b) 15/ 8; (c) 17/ 8; (d) 0; (e) -2/ 3.

103. Valoarea parametrului aR pentru care are loc relatia

Z 0

(x2 + ax)sin nxdx =2

n,n

N,

este:(a) a = 2 ; (b) a = 2; (c) a = 3 ;(d) a = 3; (e) a = 0 .

104. Sa se determine num arul p al perechilor ordonate ( m, n )R2 astfel ncat

P (x) = x3 3mx + n sa aiba o radacina reala dubl a si2

Z 0 P (x)dx = 2 .(a) p = 1; (b) p = 3; (c) p = 0; (d) p = 4; (e) p = 2 .

105. Fie functia f : R {2} R ,f (x) =

x2 1(x 2)2

.

Aria cuprins a ntre gra cul functiei f si dreptele x = 3 si x = 4 este:

(a) ln 2 + 52 ; (b) 4 ln 2 + 52 ; (c) ln 2 + 5; (d) 52 ; (e) 4 ln2.

106. Folosind sume Riemann, s a se calculeze:

limn 1 n2 + n + 1 n2 + 2 n + + 1 n2 + n2.

(a) 2( 2 1); (b) 2 2; (c) 2 1; (d) 22 ; (e) 2 + 2.


69/140


A MATEMATIC

A

107. Aria domeniului plan cuprins ntre parabolele de ecuatii y2 = 2 x si x2 =2y este:

(a) 0; (b) 43 ; (c) 1; (d)13 ; (e) .

108. Aria domeniului plan cuprins ntre parabolele de ecuatii y2 = ax si x2 =by, unde a si b sunt constante reale pozitiv, este:

(a) 2ab; (b) a2b; (c) ab2; (d) ab; (e)ab3

.

109. Fie

f : (0, ) R , f (x) = (cos x) ln(sin x).Aria mult imii cuprinse ntre gra cul lui f, axa Ox si dreptele de ecuatiix = 4 , x =

2 este:

(a) 1 22

24 ln 2; (b) 1 +

22 +

24 ln 2; (c) 1 +

22

24 ln2;

(d) 1 + 22 +

24 ln 2; (e) 1

22 +

24 ln 2.

110. Calculat i volumul corpului de rotatie obt inut prin rotirea n jurul axeiOx a subgra cului asociat funct iei

f : [0, a] R , f (x) =a2e

x/a + ex/a , cu a > 0 dat .(a) V = a 3 (e e1 + 2) / 8;(b) V = a e1/a + e1/a / 2;(c) V = a 2 (2e2/a 2e2/a + 2) / 4;(d) V = a 2e1/a e1/a + 1/ 4;(e) V = a 3 (e2 e2 + 4) / 8.


70/140

Capitolul 3

Trigonometrie

1. Sa se elimine ntre relat iile:

sin + cos = asin5 + cos 5 = b.

(a) a(5 a4) = 4 b; (b) a(3 a4) = 2 b; (c) a4 3 = a3b;(d) a5 + a3 1 = b; (e) a4 + b4 = 2 ab.

2. Fie mR, nR. Sa se elimine xRntre relat iile

sin x cos x = msin3 x cos3 x = n .(a) m3 3m + 2 n = 0; (b) m1 + m2 12 = n;(c) nu se poate elimina x;

(d) m1 + 1 m22 = n; (e) m (m2 3) = 2n.3. Sa se calculeze numarul cos

5.

(a)34

; (b) 10

4; (c)

2 + 34

; (d)1 5

4; (e)

1 + 54

.

4. Valoarea expresiei:

E =1

sin100 3

cos100

69


71/140

70 CAPITOLUL 3. TRIGONOMETRIE

este:(a) E = 3; (b) E = 1; (c) E = 0;(d) E = 2; (e) E = 4 .

5. Sa se precizeze valoarea expresiei:

E = sin 70 0 cos500 + sin 2600 cos2800.

(a) E =12

; (b) E = 32

; (c) E = 34

;

(d) E = 1; (e) E = 0 .6. Pentru x 6= k

2

, kZ, valoarea expresiei:

E (x) =3 + cos 2x2 + tg 2 x

+3 cos2x2 + ctg 2 x

este:(a) 4 sin x; (b) 4 cos x; (c) 2 sin 2x; (d) 2; (e) 2(sin x + cos x).(c) x = 2 + k,k

Z; (d) x = 2 + k,kZ; (e) x.

7. Sa se calculeze valoarea expresiei

E (x) =sin x + sin3 x + sin5 xcos x + cos3x + cos5x

n x =12

.

(a) 2/ 2; (b) 2/ 2; (c) 1; (d) 1; (e) cos12

.

8. Fie x = sin 1, y = cos 1, z = tg 1. Atunci:(a) x < y < z ; (b) y < z < x ; (c) z < x < y ;(d) x < z < y ; (e) y < x < z.

9. Se dau numerele x = cos3, y = tg 3 , z = ctg 3 Atunci

(a) x < y < z ; (b) y < x < z ; (c) z < y < x ;(d) x < z < y ; (e) z < x < y.

10. Se considera unghiurile ascut ite , , a caror sum a este / 2. Stiind c anumerele ctg , ctg , ctg sunt n progresie aritmetic a, sa se calculezevaloarea produsului ctg ctg .(a) sin + cos ; (b) tg ; (c) ctg ; (d) 3; (e) 1.


72/140

71

11. Fie

f : R R, f (x) = sin x + cos xsi A = {y

R|xR : f (x) = y} . Atunci:(a) A = [2, 2] ; (b) A = [1, 1] ; (c) A = ;(d) A = 2, 2; (e) A = [0, 1].12. Multimea solut iilor ecuat iei

sin2 x(1 + tg x)cos x

cos2 x(1 + ctg x)sin x = 2

este:

(a)4

+ 2 k,kZ; (b) 3

4+ 2 k,k

Z; (c);

(d) 4

+ k,kZ; (e)

3+ 2 k,k

Z.

13. Sa se rezolve ecuatia:cos2 x + sin 2 2x = 2 .

(a) x = k,k

Z; (b) x = (2 k + 1) 4 , k

Z;

(c) x = 2 + k,kZ; (d) x = 2 + k,kZ; (e) x.

14. Precizat i valorile lui pR pentru care ecuatia admite cel putin o solutie:

sin x + p cos x = 2 p.

(a) |p| 1; (b) |p| 1

2 2; (c) |p| 1 3;

(d) p 12

; (e) p 1 3.


3sin4x + 8 sin 2 x cos2 x = 1este:

(a) x = (2 k + 1)6

; (b) x =2

+k6

; (c) x =24

+k4

;

(d) x =12

+k4

; (e) x = 24

+k4

.


73/140


16. Numarul solut iilor reale ale ecuat iei

arctg1

x 1+ arctg

1x + 1 arctg

1x2 1

=4

este:(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.


(sin2x cos2x)

1 + tg 2 x

= 2

este:(a) xk + 3 | kZ; (b) x{2k | kZ} ;(c) xk + 4 | kZ{arctg( 3) + k | kZ} ;(d) xk + 6 | kZ{arctg( 3) + k | kZ} ;(e) xk + 2 | kZ{arctg( 3) + k | kZ} .18. Multimea solut iilor ecuat iei

cos x

sin x + 2 = 2 cos 2 x + sin2 x

este:(a) xn4 + k | kZon(1)k 6 + k | kZo;(b) xn2k + 2 | kZo; (c) xnk + 3 | kZo;(d) x{k | k

Z} ; (e) xn2k 2 | kZo.19. Multimea solut iilor ecuat iei

8cos6 x

8cos4 x + 4 cos 2 x

1 = 0

este:(a) xn4 + k 2 | kZo; (b) xnk + 4 | kZo;(c) xnk + 3 | kZo; (d) x{k | kZ} ;(e) xn2k 6 | kZo


74/140

73


ctg2 x =1 + sin x1 + cos x

este:

(a) xn4 + k | kZo{k | kZ} ;(b) xnk + 4 | kZon2 + 2 k | kZo;(c) xn2k 3 | kZo; (d) x = n(2k + 1) 2 | kZo;(e) nx = 2k 6 | kZo.

21. Precizat i solut iile ecuat iei:

tg x + tg( x + a) = 0 , a 6= k,kZ.

(a) x = k a2 ; (b) x = k a; (c) x = k2 a2 ;(d) x = a2 ; (c) x = a2 .

22. Solutiile ecuat iei

sin3 x cos3x + cos 3 x sin3x =38

sunt:

(a)24

+ k2

, kZ; (b) 11

24+ k

2

, kZ; (c)

24;

(d) (1)k24

+ k4

, kZ; (e)

24

+ k2

, kZ.

23. Sa se rezolve:sin2 x + sin 2 2x = 2 .

(a) x = k,kZ; (b) x = (2 k + 1) , kZ;

(c) ecuat ia nu are solut ii; (d) x =2

+ k,kZ;

(e) x = k 2

, kZ.


75/140



cos(cos x) = sin(sin x)

este:

(a) (0, ); (b) [0, ]; (c) R; (d); (e) 0, 2.25. Sa se rezolve ecuatia trigonometric a

cos2

x + cos2

2x = 2 .(a) x = 2 k,k

Z; (b) x = (2 k + 1) , kZ;

(c) x = k2

, kZ; (d) x = k,kZ; (e) x =

2

+ 2 k,kZ.

26. Sa se rezolve ecuatia trigonometric a

sin x + sin2 x + sin3 x = 0 .

(a) x = ( 1)k3

+ k,kZ; (b) x = 2 k,kZ; (c) x = k,kZ;

(d) x =k2

sau x = 2 k 23

, kZ; (e) x = (2 k + 1)

2, k

Z.

27. Sa se gaseasca solutiile din intervalul [0 , 2] ale ecuatiei

log 2sin x (1 + cos x) = 2 .

(a) xn3 , o; (b) x3 , 23 ; (c) x3 , 23 , 53 ;(d) xn3o; (e) x, 23 , 53 ;28. Sa se precizeze multimea solut iilor ecuat iei

arcsin(1 + x) = arccos(1 x).(a) R; (b); (c) {0} ; (d) [0, 2] ; (e) [2, 2].


76/140

75

29. Se considera ecuatia:

8cos2x + 8 p cos2 x + p = 0n care x este necunoscuta, iar p este un parametru real. S a se precizezevalorile lui p pentru care ecuatia admite solutii.(a) p(2, 8) ; (b) p(2, 8] ; (c) p2, 89;(d) p89 , 8; (e) p(, 2)2, 89.30. Multimea solut iilor ecuat iei

cos3x cos3 x + sin3 x sin3 x = 0este:(a) ( / 4) + 2 k ; (b) (/ 4) 2k ; (c) ( / 4) + k ;(d) ( / 4) k ; (e) (/ 4) + k.

31. Multimea solut iilor sistemului de ecuat ii

(x y = 6tg 3x + tg3 y = 0este:

(a) x = (2 k + 1)6

, y = (2 k0 + 1)6

; (b) x =2

+k6

, y =3

+k06

;

(c) x =6

+k3

, y = 6

+k03

; (d) x =12

+k6

, y = 12

+k06

;

(e) x = 2

+k6

, y = 2

+k06

.Pentru k, k0Z.

32. Multimea solut iilor sistemului

cosx cos y = 34

sin x sin y =

14

este:(a) x =

6

+ m,y = 6

+ n ; (b) ; x = 2

+ m,y = 3

+ n

(c) x = 6

+ 2 m,y = 6

+k3

; (d) x =12

+m6

, y = 12

+n6

;

(e) x = 12

+m6

, y = 12

+n6

. Pentru m, n Z.


77/140


78/140

Capitolul 4

Geometrie

1. Precizat i mR pentru care distant a dintre punctele A (4, m) si B (0, 4)

s a e 5:(a) 5; (b) {1, 7} ; (c) 10; (d) {2, 5}; (e) {0, 5} .

2. Coordonatele a dou a varfuri a unui triunghi echilateral sunt A(1, 0) siB(1, 0). Coordonatele celui de al treilea varf sunt:(a)

( 3, 0), ( 3, 0)

; (b)

(0, 3), (0, 3)

;

(c) {(0, 1), (0, 1)}; (d) {(0, 2), (0, 2)}; (e) {(1, 0), (1, 0)} .3. Se considera punctul A de coordonate (4 , 2) . Punctele situate pe axa Ox

a ate la distanta d = 2 5 au coordonatele(a) (2 5, 0), (2 5, 0); (b) (0, 2 5), (0, 2 5);(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)}; (e) {(0, 0), (4, 0)} .

4. Se considera punctul A de coordonate (4 , 2) . Punctele situate pe axa Oya ate la distanta d = 2 5 au coordonatele(a)

(2 5, 0), (2 5, 0)

; (b)

(0, 2 5), (0, 2 5)

;

(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)}; (e) {(0, 0), (4, 0)} .

5. Doua varfuri consecutive ale unui paralelogram au coordonatele (1 , 4) si(1, 2) iar punctul de intersectie al diagonalelor are coordonatele (3 , 3) .Coordonatele celorlalte dou a varfuri sunt:(a) {(2, 6), (0, 2)} ; (b) {(4, 7), (4, 5)} ;(c) {(5, 2), (5, 4)}; (d) {(4, 5), (2, 5)}; (e) {(2, 1), (2, 1)} .

77


79/140


80/140

79

(c) y x 3 = 7 2 3; (d) y x 1 3 = 7 2 3;(e) y x 3 = 7 + 2 3.

13. Dreptele y = 0 , x + y = 1 , x + y = 2 formeaz a un triunghi . Coordonatelevarfurilor triunghiului sunt:(a) (2, 0), (1, 0),12 , 32; (b) {(0, 2), (4, 4), (0, 0)} ;(c) (0, 2), (1, 1),12 , 32; (d) (0, 2), (0, 1),2, 32;(e) {(2, 1), (2, 1), (0, 0)} .

14. Dreptele (d1) : 3x y + 6 = 0 , (d2) : 2x + y6 = 0, (d3) : y = 0 formeaz aun triunghi. Aria triunghiului este:(a) 30; (b) 10; (c) 20; (d) 25; (e) 15.

15. Dreptele 12x + my + n = 0 si nx 5y + 3 = 0 reprezint a aceeasi dreapt apentru valorile:(a) {(m = 10, n = 6) , (m = 10 , n = 6)} ;(b) {(m = 10, n = 6), (m = 10 , n = 6)} ;(c) {(m = 10, n = 6) , (m = 10, n = 6)};(d) {(m = 10 , n = 6) , (m = 10, n = 6)};(e) {(m = 10, n = 6) , (m = 10 , n = 6) } .

16. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 4) astfel ncat acest punctsa divida n part i egale port iunea dreptei cuprins a ntre axe este:(a) y 2x = 8; (b) y x = 2; (c) y + 2 x = 7;(d) y + 2 x = 8; (e) y x = 7 + 2 3.

17. Valoarile lui m pentru care dreptele 3 x 2my + 6 = 0 , x 2 = 0, y =mx 1 sunt concurente sunt:(a) m = 2; m =

32 (b) m = 2; m =

32 ;

(c) m = 2; m = 32 ; (d) m = 2; m = 12 ; (e) m = 2; m = 32 .18. Coordonatele punctului comun dreptelor 2 x 3y5 = 0 , 3x + 4 y16 =0, 4x 23y + 7 = 0 sunt:

(a) (4 , 1); (b) (4, 1);(c) (1, 1); (d) (2, 2); (e) (2, 1).


81/140

80 CAPITOLUL 4. GEOMETRIE

19. Ecuat ia dreptei care este perpendicular a pe dreapta care trece ce treceprin punctele A (4, 2) si B (3, 5) si trece prin punctul C (4, 2) este:(a) x + 7 y = 18; (b) 2 x 7y = 6;(c) x 7y = 10; (d) x + 7 y = 18; (e) x + y = 18 .

20. Ecuat ia dreptei care trece prin punctul de intersect ie al dreptelor 2 x 3y 12 = 0, x + y 11 = 0 si prin punctul de coordonate (1 , 1) este:(a) 18 x + y + 78 = 0; (b) 8 x y 7 = 0;(c) 18x

y + 78 = 0; (d)

18 x

y

78 = 0; (e)

18 x + y +

78 = 0 .

21. Ecuat ia dreptei care trece prin punctul de intersect ie al dreptelor 2 x 3y12 = 0, x + y11 = 0 si este perpendicular a pe dreapta 2 x3y+5 =0.(a) 3x + y + 7 = 0; (b) 3 x y 7 = 0;(c) 3x + y + 31 = 0; (d) 3 x 2y 31 = 0; (e) 3x + 2 y 31 = 0.

22. Valoarea lui kR pentru care dreptele 4 x ky = 6 si 6x + 3 y + 2 = 0sunt perpendiculare este:

(a) k = 8; (b) k =

8;

(c) k = 18 ; (d) k = 18 ; (e) k = 4 .23. Distant a de la punctul (5 , 6) la dreapta 2x + 3 y + 4 = 0 este:

(a) 1213 12; (b) 1213 13;(c) 1213 ; (d) 12; (e) 13.

24. Cosinusul unghiului dintre vectorii a = 3i + 4 j si b = 4i + 6 jeste:(a) 0; (b) 4 ; (c)

32 ; (d)

4 ; (e) .

25. Fie drepta ( d) : x + y +1 = 0 si punctul P (1, 2) . Coordonatele punctuluiQ(d) astfel

ncat |PQ | = 4 sunt:

(a) {(2, 1), (2, 1)} ; (b) {(1, 2), (3, 2)} ;(c) {(2, 1), (2, 3)}; (d) {(1, 0), (3, 4)}; (e) {(0, 1), (4, 5)} .


82/140

Capitolul 5

Indicat ii si r

aspunsuri

5.1 Algebr

a

1. Privim gra cul unei functii de grad 2, adic a o parabol a cu axa de simetrieparalel a cu Oy.

Raspuns corect: ( e).

2. Impunem condit iile = 4( a2 b) 0, S = 2a < 0, P = b > 0.Raspuns corect (c).

3. Impunem condit iile x1x2 = m2m < 0, x1 + x2 = m +1m < 0, 0 = ( m +1)2 m(m 2) = 4 m + 1 > 0.Raspuns corect: (c).

4. Calculam = 4( m2 5am + a2 + 2) . i) 0,mR |a| q 821 ,ii) 0,aR |m| q 821 ,Raspuns corect: ( b).

5. Conditia implic a mx 2 + ( m + 1) x + m 1 0,xR . Rezult a m < 0si 03m2 + 6 m + 1 0, m, 1 23 3(1 + 23 3, )Raspuns corect ( d).6. Varianta I. Echivalent avem mx 2 + ( m 1) x (m 2) 0, xR .Este necesar ca m < 0 ceea ce elimina raspunsurile a, c si e. Dar pentru

m = 1 obtinem x2 2x + 3 0 care nu se veri ca daca x = 0.81


83/140

82 CAPITOLUL 5. INDICATII SI R

ASPUNSURI

Raspuns corect: ( d).

Varianta II. Se pun condit iile echivalente m < 0 si 0 care conduc laun sistem incompatibil.7. Se studiaza ca o inecuatie n x si se pune condit ia < 0 pentru orice y

real.

Raspuns corect: ( c).

8. Se impun conditiile m 1 > 0, < 0.R

aspuns corect ( b).

9. Varianta I. Dac a x = 1 inegalitatea este veri cat a R . Daca x 6=1 inegalitatea este echivalent a cu > 2 x+1(x1)2 , x [0, 1)(1, 3].Studiem variatia funct iei din membrul drept si constat am ca valorileacesteia constituie intervalul ( , 2].Varianta II. Pentru = 0 inegalitatea se veri cax[0, 3]. Daca 6= 0,interpret am membrul stang ca o functie de grad 2 si problema se reducela una din variantele:

i) > 0 si ecuatia atasat a nu are r adacini reale;

ii ) > 0 si ecuat ia are ambele r adacini negative;iii ) > 0 si ecuat ia are r adacinile mai mari ca 3 sauiv) < 0 si ecuat ia are o r adacina negativ a, iar cealalt a mai mare ca 3.

Raspuns corect: ( d) .

10. Din relatiile lui Viete rezult a x21 + x22 = a2 2a, x31 + x32 = a3 + 3 a2.Condit ia devine a3 + 3 a2 < a 2 2a a(a2 2a 2) > 0, ceea ceimplica a1 3, 01 + 3, .Raspuns corect: ( d) .11. Notam x1 + x2 = s, x1x2 = p si atunci relatiile date conduc la sistemul

4p 5s = 4p s = m1m .Obtinem s = 41m

, p = m +41m, iar ecuat ia de gradul al doilea este

(1 m)x2 4x + m + 4 = 0 , mR \ { 1}.Pentru ca 1 < x 1 < x 2 < 1 impunem


84/140

5.1. ALGEBR

A 83

> 0

1 < b2a < 1a f (1) > 0a f (1) > 0

m(m + 3) > 0

1 < 21m < 19(1 m) > 01 m > 0, de unde m(, 3).

Raspuns corect: (d).

12. Membrii stangi ai ecuatiilor ind polinoame omogene, ampli cam primaecuatie cu 13 si o adun am la a doua de unde obt inem:

2

xy

2

5

xy

+ 2 = 0 etc.

Raspuns corect: ( d).

13. Notam x + y = s si xy = p. Se obtine p + s = 11 si ps = 30 de undes = 5 , p = 6 sau s = 6 , p = 5 etc.

Raspuns corect: (e).

14. Inegalitatea este echivalent a cu 1 0.

Raspuns corect ( e).

Varianta II. Observ am ca pentru x = 2 inegalitatea devine 129 < 1, fals,deci raspunsurile (a), (b), (c) sunt excluse. Pentru x = 32 inegalitateadevine 73 < 1, fals, deci raspunsul (d) este exclus. Cum un singur r aspunseste corect, rezult a ca acesta este (e).

16. Impunem condit iile x 6= 0 , 1 4x2 0x

12 , 0

0, 12

. Pentru

x

12 , 0

fractia este negativ a, deci inferioar a lui 3. Pentru x

0, 12

inecuat ia devine 1 3x < 1 4x2. Pentru x

13 , 12inegalitatea esteveri cat a deoarece 1 3x 0. Pentru x 13 inecuat ia este echivalent acu 13x2 6x < 0x0, 613.Raspuns corect ( b).17. Se observa ca x a 0, x b 0, x c 0 si d > 0.

Raspuns corect (a).


85/140


ASPUNSURI

18. Varianta I. Existenta radicalilor impune x > 13 . Cum, pentru x 13 ,x < 512 , avem f (x) 2 < 1 putem alege solut ia corect a.Raspuns corect: ( a) .

Varianta II. Scriem echivalent 3x 1 + 1 > 3x + 1 si elimin am radi-calii ridicand la patrat.19. Se rezolva inegalit atile:

1 + 4xx 0,

1 + 4xx

< 1.

Raspuns corect (e).

20. Inecuat ia se scrie: p |x 6| > |x 6| si deoarece |x 6| 0, ecuatiedevine |x 6| > |x 6|20 < |x 6| < 1x(5, 7) .Raspuns corect ( b).

21. a = 6p 7 + 48 < b = 6p 7 + 50.Raspuns corect (e).22. Varianta I. Observ am ca a = 3q 1 + 33 3q 1 + 33 = 2.Raspuns corect: ( b) .

Varianta II. Evident, aR si, elimin and radicalii, obt inem:

a3 + 6 a + 20 = 0 (a + 2) ( a2 2a + 10) = 0.

23. Expresia de sub radical trebuie s a e 0. Consider am doua situat ii:i) a > 01 + (4 a2)x x2 0x4a 2 (a 2 4) 2 +42 , 4a 2 + (a 2 4) 2 +42 , caz n care l = p (a2 4)2 + 4care este minim pentru a2 = 4 a = 2;

ii) a < 0

interval in nit de lungime in nit a.

Raspuns corect: ( a).

24. Sistemul dat este echivalent cu:

2 x |x 1| + 1 21 x12x 1

x |x 1| 1x |x 1| 3x12x 03x12x 0,


86/140

5.1. ALGEBR

A 85

de unde x{1}13 , + .Raspuns corect: ( d).25. Fie f 1 : R R ,f 1(x) = x2 + 2 mx 1. Se observa ca f 1 este strictdescrescatoare pe intervalul ( , m] si strict cresc atoare pe inter-valul [m, + ). Pentru ca functia f sa e injectiva pe R e necesar carestrict ia funct iei f 1 pe intervalul ( , 0] sa e injectiva, deci m 0,adica m 0. Daca m = 0 atunci functia f 2 : R R ,f 2(x) = mx 1 esteconstant a pe R si atunci restrict ia funct iei f 2 pe intervalul [0 , + ) nupoate injectiv a. Daca m < 0 atunci funct ia f 2 este strict descresc atoare

pe R ,deci si pe intervalul [0 , + ). Cum f 1(0) = 1 1 = f 2(0)rezult a ca, pentru m(, 0) , f este strict descresc atoare pe R , deciinjectiv a. Prin urmare m(, 0).Raspuns corect: ( c).

26. Varianta I.

Utilizam gra cul functiei f . Acesta se compune din dou a semidrepte deecuatie y = x+ m pentru x 1 si y = 2 mx1 pentru x > 1. Este evident aconditia m > 0, altfel mult imea valorilor lui f nu ar acoperi R . Daca2m

1 > 1 + m, f ar avea un salt n punctul x = 1 si f nu ar lua valorile

cuprinse ntre m +1 si 2 m 1. Se impune deci 2m 1 1+ mm 2.Deci daca 0 < m 2 functia f este surjectiv a.Varianta II. Se observ a ca f este continu a pe (, 1], deci imaginea in-tervalului ( , 1] prin functia f este intervalul ( , 1 + m]. De aseme-nea, f este continu a pe (1, + ), deci imaginea intervalului (1 , + )prin funct ia f este intervalul ( , 2m 1) daca m < 0, intervalul(2m 1, + ) daca m > 0 si mult imea {1} daca m = 0. Atunci,


87/140


ASPUNSURI

daca m > 0 si 2m 1 1 + m, adica m(0, 2], functia f este surjectiv ape R cu valori n R .Raspuns corect: (b).

27. Din reprezentarea gra ca a lui f se deduce ca f este strict descresc atoarepe R , ca este injectiv a si surjectiv a, deci inversabil a. Pentru y Rcaut am unicul xR astfel

ncat f (x) = y. Caut am x 2 astfel ncat2x 1 = y x = y+12 , pentru y 3. Caut am x < 2 astfel ncatx + 1 = yx = y 1, pentru y < 3. Atuncif 1 : R R , f 1(y) =

y+12 , y 3y 1, y < 3


28. x2 + x + m 6= 0 ,xR = 1 4m < 0m > 14 .

f (x) 2x2 +( m +1) x+ m +2

x2 + x+ m 2x2 (m 1)x + m 2 0,xR . 0 = ( m 1)2 4(m 2) 0(m 3)2 0m = 3 .Raspuns corect: ( c) .

29. Conditii: x

1

0, x4

x

0, x4

x

1. Prin ridicare la p atrat

si efectu and calculele obt inem ecuat ia 4x3 4x2 x = 0 x1 = 0 ,x2 = 1 22 , x3 = 1+ 22 . Numai x3 veri ca ecuat ia dat a.Raspuns corect: ( b) .

30. Observam ca 20 + 14 220 14 2= 8 , de unde 20 14 2 =820 + 14 2. Not am t =

3p 20 + 14 2. Se observa ca 2 + 23 = 20 +14 2, deci t = 2+ 2. Atunci H = t+ 2

t= 2+ 2+ 22 2

2 + 2

2 2

=

4.


31. Cum f (0) = f (1) = 0 , f nu este injectiv a. Dar f este surjectiv a deoarece() mZ , () nZ astfel ca f (n) = m, anume n = 3 m + 1 .

Intr-adev ar, conform primei forme a lui f avem f (n) = f (3m + 1) = m.

Raspuns corect: (c)


88/140

5.1. ALGEBR

A 87

32. Varianta I. Observ am ca membrul st ang este crescator, cel drept estedescrescator iar pentru x = 0 avem egalitate.Raspuns corect: ( e)Varianta II. Transform am echivalent inecuatia n

e2x + ex 2 > 0(ex 1)(ex + 2) > 0ex > 1.33. Ecuat ia se mai scrie 2x + 2 .2x + 2 2.2x = 6 x + 6 .6x sau 7.2x = 7 .6x , adica

2x (1 3x ) = 0 . Cum 2x 6= 0 , () xR , rezult a ca 3x = 1 , deci singurasolutie este x = 0 .Raspuns corect: ( b).

34. Se noteaza 5x = y si se obtine ecuat ia de gradul doi cu solut iile 1 si 2.Raspuns corect ( b).

35. Explicitarea celor dou a module conduce la rezolvarea ecuatiei pentru:i) x(, 1) : 2x1 + 2 x 1 = 2x + 1 2x1 = 2 x = 2(, 1) ;ii) x[1, 0] : 2x+1 + 2 x 1 = 2 x + 12x+1 = 2 x = 0[1, 0] ;iii) x(0, + ) : 2x+1 2x + 1 = 2 x + 1 2x+1 = 2 x+1 x(0, + ) .Deci x[0, + ){2} .Raspuns corect: ( e).

36. Cum 3 + 1x 3 1x = 2 x , ecuat ia devine 3 + 1x + 3 1x = 4r 3 + 1x 3 1x .

Ridicam la patrat:

3 + 1

2x

+

3 1

2x

14

3 + 1

x

3 1

x

=

0. Notand z = 3 + 1x

, y = 3 1x

, ajungem la ( z/y )2

14 (z/y )+1 = 0, care are solut iile 7 4 3. Rezolvand ecuat iile 3+1 31x = 7 4 3sau echivalent 2 + 3x = 7 4 3, obtinem solut iilex1 = log 3+2 7 + 4 3, x2 = log 3+2 7 4 3.

Raspuns corect: ( e).


89/140


ASPUNSURI

37. k = log 12 2 = 1log2 12 =1

log2 (26)= 11+log 2 6 ; log6 16 = log6 2

4 = 4 log 6 2 =4

log2 6.

Raspuns corect: ( c).

38. Notam y = 2 x si f (y) = ( m2)y2 +2(2 m3)y+ m si impunem condit ia:f (y) > 0 pentru y > 0. Avem urm atoarele cazuri posibile:a) m = 2 2y > 0 pentru y > 0, adevarat a.b) m 2 > 0 si = (2 m 3)2 (m 2)2 = ( m 1)(3m 5) < 0m1,

53. Rezult a m(2, ) 1,

53m.c) m 2 > 0, = 0 imposibil

d) m 2 > 0, = ( m 1)(3m 5) > 0, S = 2m 3m 2

< 0,

P =m

m 2 0, unde S si P se refera la radacinile ecuatiei f (y) = 0 ,

m(2, ) (, 1]53, ((, 0)(2, ))

,3

2(2,

)

m

(2,

) .

Raspuns corect ( a).

39. log2a x 3loga x + 2 = 0 x1 = a, x 2 = a2.x 0 2 a a2

log2a x 3loga x + 2 + + + + + + + + + 0 0 + + + +x2 4 0 + + + + + + + + + + + + + ++fractia | ++ + + 0 0 + + + +Raspuns corect: ( e) .

40. Conditii:

Documents

Teste Calc 1