Calculando o número de observações (tamanho da amostra)

• Após a comparação de duas médias duas e somente duas afirmativas podem ser feitas:– 1. Rejeitamos H0– 2. Não podemos rejeitar H0 ( aceitamos H0)Para cada uma das afirmativas podemos estar

certos ou errados. Fazemos o experimento porque não conhecemos a realidade. O quadro abaixo indica as possibilidades:

Erros na conclusãoTIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. ()

O número é chamado de nível de significância do teste.

TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa ( )

Poder : 1- . O número 1- é chamado poder do teste.

Desejamos testes com alto poder e baixo nível de significância.

Realidade

Decisão

Realidade:

H0 verdadeiraAcusado inocente

Realidade

H0 falsaAcusado culpado

Decisão:Rejeitamos H0Veredito culpado

Probabilidade: alfa- erro do tipo I

Não erramos

Decisão: Aceitamos H0Veredito :inocente

Não erramos Probabilidade: betaErro do tipo II

Realidade

Decisão

Realidade:

H0 verdadeiraRealidade

H0 falsa

Decisão:Rejeitamos H0

Probabilidade: alfa- erro do tipo I

Não erramos

Decisão: Aceitamos H0

Não erramos Probabilidade: betaErro do tipo II

Exemplo• Uma população de cabos deve ter tensão

de ruptura média de 300kN/cm2 e desvio padrão de 24kN/cm2. Verifique se uma amostra com média 310kN/cm2 em 64 observações faz parte desta população. Use o nível de significância de 0,05 e determine o poder deste teste.

• Ho : <x> = H1: <x> ≠ (bi-caudal).

Só podemos cometer erro do tipo II se não

conseguimos rejeitar H0 ( aceitamos H0).

Só podemos cometer erro do tipo I se rejeitamos H0

Calculando beta

Limite Superior

Esta área é beta Esta área é alfa/2

mo m1

Limite inferior

Calculando beta cont.• Observe que temos duas áreas distintas e que

beta NÃO É 1- alfa.• Iremos supor:

– Distribuição normal. – Desvio padrão da população é conhecido.– Amostra selecionada aleatoriamente.– Medidas sem erro sistemático

• Usaremos o desvio igual ao erro padrão (erro Standard) Serro

Calculando beta cont.• Etapas para calcular beta: 1. determine os limites

de confiabilidade para a média a partir da média padrão(alvo) e do valor de alfa escolhido:

M+ = m0 + z *SerroM+ = 300 + 1,96 *

24/8=305,88kN/cm2

M-=300-196 *24/8=294,12kN/cm2

Calculando beta cont.• 2. Calcule área entre estes valores sob a segunda distribuição

normal(valores medidos): Para calcular a área sob a curva de m1 vamos utilizar a

distribuição normal padronizada com o erro standart como desvio padrão, pois estimando valores para a média verdadeira. Para isto precisamos do valor de z associado ao M+ e M- calculados anteriormente a partir da distribuição alvo mas agora usando os parâmetros da distribuição medida.

zm1+= - (m1- M+)/Serro=- (310-305,88)/3= -1,37 zm1-= - (m1- M-)/Serro=- (310-294,12)/3= -5,29beta= área = dist.normp(zm1+)- dist.normp(zm1-)= =0,085- 6 x

10-8 =0,085

Obs.: o segundo termo é quase sempre muito pequeno e nem precisa ser usado.

zm1+= -(m1- M+)/Serro=-(310-305,88)/3= -1,37

zm1-= -(m1- M+)/Serro=-(310-294,12)/3= -5,29

beta= área = dist.normp(zm1+) - dist.normp(zm1-) = =0,085- 6 x 10-8 =0,085

Obs.: o segundo termo é quase sempre muito pequeno e nem precisa ser usado.

Note que: M+= m0 + zcrit x Serrozm1+=-(m1- M+)/Serro=(m1–(m0 + zcrit x Serro)/Serro

zm1+= (m1-m0)/Serro –zcrit = zcalc – zcrit

Esta é a forma operacional para calcular beta!zm1-=-(m1- M-)/Serro=(m1–(m0 - zcrit x Serro)/Serro

zm1-= (m1-m0)/Serro +zcrit = zcalc + zcrit

Calculando beta cont.

Note que usamos o valor negativo para z para facilitar o uso direto do comando dist.norp do excel. Este comando calcula a área sob a distribuição normal de – infinito até o valor de z.

O influencia o valor de beta

• O valor de beta para cada situação experimental depende do s seguintes “fatores”:– 1. diferença entre as médias– 2. valor de alfa escolhido– 3. desvio padrão – 4. número de observações.

– 1. diferença entre as médias• Quanto maior a diferença entre as médias

mais facilmente poderemos identificar diferenças. Por isso, quanto maior a diferença entre as médias menor será beta, menor será o erro do tipo II.

– 2. Valor de alfa.• Quanto maior for alfa, menor será beta. Um

valor grande de alfa( pequeno z crítico) e pequeno limite de confiabilidade para média, significa que iremos identificar diferenças mesmo quando elas não existirem.

– 3. Desvio padrão.• Quanto maior for o desvio padrão, maior

será o valor de beta. Quanto maior o erro padrão mais facilmente deixaremos de identificar diferenças que existem.

– 4. Número de observações• Quanto maior for número de observações , menor

será o erro padrão e menor será beta.. Quanto menor o erro padrão mais facilmente identificaremos diferenças que existem.

• Se o número de observações for muito pequeno a probabilidade de identificar diferenças que existem passa a ser pequena. Isto é, a a chance de aceitar uma hipótese nula que é falsa aumenta.

Aumentando beta

1. diferença entre as médias

diminui

2. valor de alfa escolhido diminui

3. desvio padrão aumenta

4. número de observações. diminui

• Verifique se a média medida atente a especificação e calcule a probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula sendo ela falsa, isto é, qual o poder, para a seguinte situação:

A taxa de queima de combustível para uma aeronave deve ser de 50 cm/s com desvio padrão de 2,5 cm/s. Dez medidas são realizadas e o valor de 52 cm/s é obtido.

• Existem muitas calculadoras de beta ( poder=1-beta ) na internet. Uma delas está em:

• http://www.dssresearch.com/toolkit/spcalc/power.asp