Upload
jean-turet
View
22
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1
Cálculo de integrais indefinidos. Integração por partes. Seja )(xu e )(xv funções diferenciáveis em I Se a função )()( xvxu ⋅′ tem primitiva em I então e a função )()( xvxu ′⋅ tem primitiva em I e tem-se
∫∫ ⋅′⋅−⋅=⋅′⋅ xdxuxvxvxuxdxvxu )()()()()()(
ou
∫∫ ⋅−⋅=⋅ )()()()()()( xudxvxvxuxvdxu ; ∫∫ ⋅−⋅=⋅ udvvuvdu .
►1) ∫ ⋅ xdxnl .
Consideramos xnlu = e xdvd = .
Então ( ) ( ) xdx
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1
e xvxdvd =⇒= .
Portanto temos:
Cxxnlxxdxnlxxdx
xxnlxxdxnl +−⋅=−⋅=⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫1
. ■
►2) ∫ ⋅⋅ xdxnlx2 .
Consideramos xnlu = e xdxvd ⋅= 2 .
Então ( ) ( ) xdx
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1
e
3
322 x
xdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
=⋅−⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdx
xnlx
xdx
xxnl
xxdxnlx
33
1
33
23332
Cx
xnlx
xdxxnlx +−⋅=⋅⋅−⋅= ∫ 933
1
3
332
3
. ■
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2
►3) ∫ ⋅⋅ xdxarctgx .
Consideramos xarctgu = e xdxvd ⋅= .
Então ( ) ( ) xdx
xdxarctgxarctgdudxarctgu ⋅+
=⋅′==⇒=21
1
e
2
2xxdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
=⋅+
⋅−⋅=⋅+
⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdx
xxarctg
xxd
x
xxarctg
xxdxarctgx
2
22
2
22
12
1
21
1
22
=⋅
+−
++⋅−⋅=⋅
+−+⋅−⋅= ∫∫ xd
xx
xxarctg
xxd
x
xxarctg
x22
22
2
22
1
1
1
1
2
1
21
11
2
1
2
=⋅+
⋅+⋅−⋅=⋅
+−⋅−⋅= ∫∫∫ xd
xxdxarctg
xxd
xxarctg
x2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
21
11
2
1
2
Cxxarctgxarctgx
Cxarctgxxarctgx +⋅−⋅+⋅=+⋅+⋅−⋅=
2
1
2
1
22
1
2
1
2
22
. ■
►4) ∫ ⋅⋅ xdarcsenxx .
Consideramos xarcsenu = e xdxvd ⋅= .
Então ( ) ( ) xdx
xdxarcsenxarcsendudxarcsenu ⋅−
=⋅′==⇒=21
1
e
2
2xxdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
=−
⋅⋅−⋅=⋅−
⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ 2
22
2
22
12
1
21
1
22 x
xdxarcsenx
xxd
x
xarcsenx
xxdarcsenxx
=⋅−
−−⋅+⋅=⋅−
−⋅+⋅= ∫∫ xdx
xarcsenx
xxd
x
xarcsenx
x2
22
2
22
1
11
2
1
212
1
2
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
3
=+⋅−
⋅−⋅−
−⋅+⋅= ∫∫ Cxdx
xdx
xarcsenx
x22
22
1
1
2
1
1
1
2
1
2
)*(12
1
2
1
22
2
=+⋅−⋅+⋅−⋅= ∫ Cxdxarcsenxarcsenxx
No último integral fazemos
xddvxu =−= ,1 2 e então
( ) ( ) xdx
xxdxxdduxu ⋅
−−=⋅
′−=−=⇒−=
2
222
1111 ,
xvxddv =⇒= . Então
=⋅−
−−−⋅=⋅
−−⋅−−⋅=⋅− ∫∫∫ dx
x
xxxdx
x
xxxxxdx
2
22
2
22
11
111
=⋅
−−
−
−−−⋅=⋅−
−−−−⋅= ∫∫ dxxx
xxxdx
x
xxx
22
22
2
22
1
1
1
11
1
111
=⋅−
+⋅−−−⋅= ∫∫ dxx
dxxxx2
22
1
111
arcsenxdxxxx +⋅−−−⋅= ∫22 11 .
Temos
arcsenxdxxxxdxx +⋅−−−⋅=⋅− ∫∫222 111
e resolvendo em relação à ∫ ⋅− dxx21 obtemos
arcsenxxxdxx ⋅+−⋅⋅=⋅−∫ 2
11
2
11 22 .
Portanto
=+
⋅+−⋅⋅⋅+⋅−⋅= Carcsenxxxarcsenxarcsenxx
2
11
2
1
2
1
2
1
2)*( 2
2
Cxxarcsenxarcsenxx +−⋅⋅+⋅−⋅= 2
2
14
1
4
1
2)*( . ■
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
4
►5) ∫ ⋅⋅ xdxsen
x2
1.
Consideramos xu = e xdxsen
vd ⋅=2
1.
Então xdudxu =⇒= e xctgxdxsen
vxdxsen
vd −=⋅=⇒⋅= ∫ 22
11.
Portanto temos:
( ) =⋅
−−⋅−=⋅−−⋅−=⋅⋅ ∫∫∫ xd
xsen
xoscxctgxxdctgxxctgxxd
xsenx
2
1
( )
Cxsennlxctgxxsen
xsendxctgx
xdxoscxctgx ++⋅−=+⋅−=⋅+⋅−= ∫∫ . ■
►6) ∫ ⋅ xdx
xnl3
.
Consideramos xnlu = e xdx
vd ⋅=3
1.
Então ( ) ( ) xdx
xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1
e 2
13
33 2
1
13
11
x
xxd
xvxd
xvd
⋅−=
+−=⋅=⇒⋅=
+−
∫ .
Portanto temos:
=⋅⋅+⋅
−=⋅⋅
⋅−−⋅
⋅−=⋅ ∫∫∫ xd
xx
xnlxd
xxxnl
xxd
x
xnl32223
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Cxx
xnlC
x
x
xnl +⋅
−⋅
−=++−
⋅+⋅
−=+−
22
13
2 4
1
2132
1
2. ■
►7) ∫ ⋅⋅⋅ xdxosce x2 .
Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxoscvd ⋅= .
Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2
e xsenxdxoscvxdxoscvd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
( )*22 22222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫⋅⋅⋅⋅⋅ xdsenxesenxexdsenxesenxexdxosce xxxxx
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
5
Integramos por partes no integral obtido. Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxsenvd ⋅= .
Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2
e xoscxdxsenvxdxsenvd −=⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto na continuação temos:
( ) [ ]=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅= ∫⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx )(22* 222
∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅= ⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx 222 42 .
Obtemos
∫∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxexdxosce xxxx 2222 42
e resolvendo em relação ao integral ∫ ⋅⋅⋅ xdxosce x2 vem
Cxoscesenxexdxosce xxx +⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅∫
222
5
2
5
1. ■
►8) ( )∫ ⋅ xdxnlsen .
Consideramos ( )xnlsenu = e xdvd = .
Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xdx
xnloscxdxnlsenxnlsendudxnlsenu ⋅⋅=⋅′==⇒= 1
e xvxdvd =⇒= . Portanto temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*1 =⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫ xdxnloscxnlsenxxdx
xnloscxxnlsenxxdxnlsen
Integramos por partes no integral obtido. Consideramos ( )xnloscu = e xdvd = .
Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xdx
xnlsenxdxnloscxnloscdudxnloscu ⋅⋅−=⋅′==⇒= 1
e xvxdvd =⇒= . Portanto na continuação temos:
( ) ( ) ( ) ( ) =
⋅⋅−⋅−⋅−⋅= ∫ xdx
xnlsenxxnloscxxnlsenx1
*
EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
6
( ) ( ) ( )∫ ⋅−⋅−⋅= xdxnlsenxnloscxxnlsenx .
Obtemos
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−⋅−⋅=⋅ xdxnlsenxnloscxxnlsenxxdxnlsen .
e resolvendo em relação ao integral ( )∫ ⋅ xdxnlsen vem
( ) ( ) ( ) Cxnloscx
xnlsenx
xdxnlsen +⋅−⋅=⋅∫ 22. ■
►9) ∫ ⋅⋅+ xdex x)1( .
Consideramos 1+= xu e xdevd x ⋅= .
Então xdudxu =⇒+= 1 e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
CexCeexxdeexxdex xxxxxx +⋅=+−⋅+=⋅−⋅+=⋅⋅+ ∫∫ )1()1()1( . ■
►10) ∫ ⋅⋅ xdex x2 .
Consideramos 2xu = e xdevd x ⋅= .
Então ( ) ( ) xdxxdxxdudxu ⋅⋅=⋅′==⇒= 2222
e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto temos:
( )*22 222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdexexxdexexxdex xxxxx
Integramos por partes no integral obtido. Consideramos xu = e xdevd x ⋅= .
Então xdudxu =⇒= e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .
Portanto na continuação temos:
( ) [ ] =+⋅−⋅⋅−⋅=⋅−⋅⋅−⋅= ∫ Ceexexxdeexex xxxxxx 222* 22
( ) Cxxex +−⋅−⋅= 222 . ■