Calculo II - Aplicação Derivadas

7/24/2019 Calculo II - Aplicao Derivadas

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Prof. MS. Jos Flaudemir Alves Calculo II Derivadas exerccios de aplicao

A fu!o cus"o me!sal de fa#ricao de um produ"o dada por C(x )=x

3

32x2+10x+1e a fu!o de

dema!da me!sal $D%& do mesmo produ"o& dada por D$x% ' ( x. )ual o preo x *ue deve ser co#radopara maximi+ar o lucro,

- A empresa Sempre Aler"a/ produ+ um de"ermi!ado produ"o& com um cus"o me!sal dado pela fu!o

C(x )=13

x32x2+10x+20 . Cada u!idade des"e produ"o ve!dido por 01 2&((. De"ermi!ar a

*ua!"idade *ue deve ser produ+ida e ve!dida para dar o m3ximo lucro me!sal.

2 A produo de #icicle"as da empresa 0oda 4iva/ de x por m5s& ao cus"o dado por C$x% ' (( 6 2x. Se

a e*uao de dema!da for D(x)=25x

3 & o#"e!7a o !umero de u!idades *ue devem ser produ+idas e

ve!dida para maximi+ar o lucro me!sal.

8IS9A D: :;:0C= D=S C=?C:I9=S

Exerccio: DERIVE RESPOSTA% @ ' se! x cos x-% @ ' cos Bx B se! Bx2% @ ' e2x 2e2x

% f$x% ' cos x se! xB% @ ' se! "2 2"-cos "2

% E$"% ' l! $-"6%

% @ ' ese! " e se! "cos "

% f$x% ' exse! ex

G% @ ' $se! x 6 cos x%2 2$se! x 6 cos x%-$cos x se! x%

(% y=3x+1

% y=3

x1

x+1

-% @ ' eHBx BeHBx

2% @ ' l! $"-62"6G%

% f$x% ' e"E x e"E xsec-xB% @ ' se!$cosx% se! x cos $cos x%% E$"% ' $"-62% " $"-6 2%2

% f$x% ' cos$x-6 2% -x se! $x-6 2%

% y=x+ex

G% @ ' "E 2x 2 sec-2x-(% @ ' sec 2x 2 sec 2x "E 2x-% @ ' xe2x -. e2x$62x%--% @ ' ex. cos -x --. ex$cos -x - se! -x%-2% @ ' eHxse!x -2. eHx$cos x se! x%-% @ ' eH-"se! 2" -. eH-"$2 cos 2" - se! 2"%

-B% f$x% ' 6 l! $-x 6 % -B.

-% f(x )=e

tet

et+et -.

-% y=cos5x

sen2x-.

-% f$x% ' -.-G% @ ' "2eH2" -G. 2"-eH2"$ "%2(% @ ' $se! 2x 6 cos -x%2 2(. 2$se! 2x 6 cos -x%-$2 cos 2x - se! -x%

2% y=x2+ex 2.

exex

2ex+ex

1


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2-% @ ' x l! $-x 6 % 2-. ln (2x+1 )+ 2x

2x+1

22% @ ' l! $x-6 %2 22.6x[ln (x2+1) ]

2

x2+1

2% @ ' l! $sec x 6 "E x% 2. sec x

Calcule as derivadasK% f$x% ' x2 x-6 2-% f$x% ' $x-6 2x 6 2% . $x 6 2%

2% f(x )= 2x

3

4x+2

% f$x% ' l! $x-6 x 6 %

B% f(x )=6x+2

% f$x% ' x. e2x

% f$x% ' se!x% f$x% ' B "E -xG% f$x% ' H Bx26 -x- 2x 6 (% f$x% ' $-x2 2x% $B x-%2

% f(x )=3

3x5

-% f(x )=5 t12t7

2%x

3+x

4

y=

5

x2

4

% y=x

23x+2

x2

x+2

B% y=ex

2+x+1

% @ ' se! -x . cos x% @ ' $-x-H x 6 %

Calcule a derivada das seEui!"es fu!Les !os po!"os dadosK

a% f(x )=2x23x+4 ; P0=(2, 6)

#% f(x )=3

x2; P0=(1, 3)

c% f(x )=3t ; P0=(8, 2)

d% f(x )=cosx;P0=(

2, 0)

e% f(x )=3 senx; P0(2 ,0)

sa!do as reEras de derivao& calcule a derivada das fu!Les a#aixoK

a% f$x% ' x -x26 x 6 - #% f(x )=3

x+2x

1

4x

c% f(x )=4

x2+5

x3 d% f$x% ' $-x- %$ -x%

e% @ ' $x-

2x

%$xB

%

2


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Exerccio 1Kma la"a cil!drica sem "ampa superior "em volume B cm 2. De"ermi!e as dime!sLes da la"a& de modo *ue a*ua!"idade de ma"erial para sua fa#ricao seNa m!ima.

Exerccio 2K

)uadrados iEuais so cor"ados de cada ca!"o de um pedao re"a!Eular de car"oli!a& medi!do cm delarEura e B cm de comprime!"o. ma caixa sem "ampa co!s"ruda vira!do os lados para cima. De"ermi!eo comprime!"o dos lados dos *uadrados *ue devem ser cor"ados para a produo de uma caixa de volumem3ximo.

Devemos mi!imi+ar a 3rea.A 3rea do cili!dro e da "ampa i!ferior soK

& respec"ivame!"e& o!dere hso o raio e a al"ura do cili!droO loEo& devemosmi!imi+arK

.

Mas o volume V=5& loEo&

O

Su#s"i"ui!do h!a expresso a mi!imi+ar& "emosK

Deriva!do e igualando a zeroK

o#"mHse r=3

5

& ai!da&A (r)= {20} over {{r} ^ {3}} +2>0 , Assim& r=

3

5

o

po!"o m!imo e h=3

5

3


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8oEo& as dime!sLes da la"a so r=h=3

5

Exerccio 2K

)uadrados iEuais so cor"ados de cada ca!"o de um pedao re"a!Eular de car"oli!a& medi!do cm delarEura e B cm de comprime!"o. ma caixa sem "ampa co!s"ruda vira!do os lados para cima. De"ermi!eo comprime!"o dos lados dos *uadrados *ue devem ser cor"ados para a produo de uma caixa de volumem3ximo.

Exerccio K

Calcule as dime!sLes de um co!e circular de volume m3ximo *ue pode ser i!scri"o !uma esfera de raio a.

Exerccio !K

m "a!*ue c!ico de ao& sem "ampa& "em capacidade de (((m2. De"ermi!e as dime!sLes do "a!*ue *uemi!imi+a a *ua!"idade de ao usada !a sua fa#ricao.

Exerccio 5K

m pescador es"3 a - Qm de um po!"o A de uma praia e deseNa alca!ar um depRsi"o de com#us"vel !opo!"o & a 2 Qm de A. Sua velocidade !a 3Eua de B Qm por 7ora e !a "erra de 2 Qm por 7ora. De"ermi!eo po!"o da praia *ue deve ser alca!ado pelo pescador para c7eEar ao depRsi"o !o "empo m!imo.

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Exerccio "K

ma fol7a de ao de ( me"ros de comprime!"o e me"ros de larEura do#rada ao meio para fa+er umca!al em forma de 4 de ( me"ros de comprime!"o. De"ermi!e a dis"T!cia e!"re as marEe!s do ca!al& para*ue es"e "e!7a capacidade m3xima.

Exerccio #K

:m *ue po!"o da curva @ ' U x-& a re"a "a!Ee!"e V curva !esse po!"o forma !o primeiro *uadra!"e um"riT!Eulo de 3rea m!ima, De"ermi!e a 3rea.

Exerccio $K

m fR"o! $raio de lu+% par"e de um po!"o A para um po!"o so#re um espel7o pla!o& se!do refle"ido *ua!dopassa pelo po!"o P. :s"a#elea co!diLes para *ue o cami!7o AP seNa o mais cur"o possvel.

Exerccio %K

A lu+ se propaEa de um po!"o a ou"ro seEu!do uma "raNe"Rria *ue re*uer "empo m!imo. Supo!7a *ue a lu+"e!7a velocidade de propaEao v!o ar e v-!a 3Eua $vW v-%. Se a lu+ vai de um po!"o P !o ar a um po!"o) !a 3Eua& *ue lei de"ermi!a es"e percurso,

Exerccio 1&K

m *uadro de al"ura a es"3 pe!durado em uma parede ver"ical& de modo *ue sua #orda i!ferior es"3 a umaal"ura 7 acima do !vel do ol7o de um o#servador. A *ue dis"T!cia da parede deve colocarHse o o#servadorpara *ue sua posio seNa a mais va!"aNosa para co!"emplar o *uadro& is"o & para *ue o T!Eulo visual seNam3ximo,

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Exerccio 11K

Supo!7a *ue um cirurEio !ecessi"e impla!"ar um vaso sa!Eu!eo !uma ar"ria& a fim de mel7orar airriEao !uma cer"a 3rea. Como as *ua!"idades e!volvidas so pe*ue!as& podemos co!siderar *ue vasos ear"rias "em forma"o cil!drico !o el3s"ico. De!o"emos por A e o i!cio e o fi!al da ar"ria e supo!7amos*ue se deseNe impla!"ar o vaso !um po!"o da ar"ria& de modo *ue a resis"5!cia ao fluxo sa!Eu!eo e!"re Ae seNa a me!or possvel. A lei de Poiseuille afirma *ue a resis"5!cia 0 do sa!Eue !o vaso K

R=kd

r4

o!de d o comprime!"o do vaso& r o raio do vaso e Q uma co!s"a!"e posi"iva *ue depe!de da viscosidadedo sa!Eue. ?ossa es"ra"Eia ser3 de"ermi!ar o mel7or T!Eulo do impla!"e. Para is"o& co!sideremos oseEui!"e diaEramaK

A'lica()e* di+er*a* da* Deri+ada*

ma ar"es produ+ cer"o ar"iEo com um cus"o me!sal dado pela fu!o C(x )=1

3

x32x

2+10x+20 .

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= preo de ve!da de uma u!idade de "al ar"iEo 01 2&((. Assi!ale a al"er!a"iva correspo!de!"e V*ua!"idade *ue deve ser produ+ida e ve!dida para *ue ela o#"e!7a o lucro m3ximo me!sal.a% 2 #% c% d% e% G

- m pacie!"e com cT!cer aprese!"a um "umor com forma"o esfrico. Sa#e!doHse *ue o raio do "umorcresce a uma "axa de (&(( cm por dia& *ual ser3 a "axa de aume!"o do volume do "umor !o i!s"a!"e em *ueseu raio for de (&B cm,a% (p cm2Xdia #% p cm2Xdia c% (&p cm2Xdia d% (&(p cm2Xdia e% (&((p cm2Xdia

2 m pecuaris"a possui -(( ca#eas de Eado& se!do *ue cada a!imal pesa& a"ualme!"e& 2(( QE. A"aEora& ele Eas"ou 01 2(.(((&(( com a criao dos #ois e co!"i!uar3 Eas"a!do 01 -&(( por dia para ma!"ercada um deles. =s a!imais aume!"am seu peso a uma "axa de &B QEXdia. = preo de ve!da& !o dia de 7oNe& de 01 &(( o *uilo& mas sa#eHse *ue dimi!uir3 01 (&(B por dia.)ua!"os dias o pecuaris"a deveria aEuardar para ve!der seu Eado a fim de o#"er o lucro m3ximo,a% ( dias. #% dias. c% - dias. d% G dias. e% dias.

ma f3#rica de la"as rece#eu uma e!come!da de la"as cil!dricas cuNos volumes devem ser iEuais a B((cm2. As dime!sLes $al"ura e raio das #ases& respec"ivame!"e% com as *uais possvel fa#ricarHse la"asu"ili+a!doHse o m!imo de ma"erial soKa% & cm e &2 cm #% &2 cm e & cm c% B& cm e B& cm d% &2 cm e B& cm e% B& cm e &2 cm

B m !avio pe"roleiro de Era!des proporLes descarreEa pe"rRleo !um a"racadouro dis"a!"e Qm da cos"a.A refi!aria mais prRxima e!co!"raHse G Qm V direi"a do po!"o da cos"a *ue es"3 mais prRximo do a"racadouro&co!forme i!dicado !a fiEura a seEuir. DeseNaHse co!s"ruir uma "u#ulao *ue co!ec"e o a"racadouro Vrefi!aria.= *uilme"ro de du"o su#a*u3"ico cus"a 01 2((.(((&((O N3 os du"os "erres"res cus"am 01 -((.(((&((& por*uilme"ro. Admi"i!do *ue a cos"a seNa re"il!ea& de"ermi!e a dis"T!cia do po!"o ao po!"o A *ue mi!imi+aos cus"os de co!s"ruo e mar*ue a al"er!a"iva correspo!de!"e.a% & Qm#% -&-- Qmc% 2&B Qmd% &2 Qme% B&- Qm

A fim de se preparar para possveis perodos de recesso& um empres3rio *ue fa#rica e ve!de um ar"iEopopular co!"ra"a um a!alis"a para de"ermi!ar *ua!do as ve!das de seu produ"o comearo a cair. = a!alis"averificou *ue& a" o prese!"e mome!"o& as ve!das podem ser modeladas pela e*uao 4$"% ' " X26 ((& em*ue t o !Ymero de dias apRs o i!cio das ve!das e V o !Ymero de ve!das por sema!a. Admi"i!do *uees"a "e!d5!cia co!"i!uar3 !o fu"uro& o a!alis"a respo!deu *ueKa% as ve!das comearo a cair da*ui a (( dias.

#% as ve!das comearo a cair da*ui a ( dias.c% as ve!das comearo a cair da*ui a -(( dias.d% as ve!das comearo a cair da*ui a 2( dias.e% as ve!das Namais comearo a cair.

Za#ari"oK CO - :O 2 O AO B CO :

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