CÁLCULO III

Cálculo IIIjaneiro 1

2014

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1

Sumário

Funções Reais de Várias Variáveis................................................................................................3

Derivadas Parciais de Funções Reais de Várias Variáveis.............................................................5

Derivadas Parciais de Ordem Superior.........................................................................................6

Derivando Implicitamente............................................................................................................6

Regra da Cadeia para Derivadas Parciais......................................................................................7

Derivadas parciais para funções vetoriais....................................................................................9

1ªLISTA DE EXERCÍCIOS..............................................................................................................10

1. Determine os valores de funções específicos abaixo:....................................................10

2. Expresse o conjunto domínio das funções.....................................................................11

3. Calcule dfdx,dfdy e dfdz nos casos:..............................................................................14

4. Calcule as derivadas parciais dfdt , dfdx ,dfdy e dfdz das funções abaixo:....................15

Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis...................................................................16

Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Variáveis.................................................17

AULA DIA 02/09/2014............................................................................................................18

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS.............................................................................................................18

1. Calcule a derivada fxyefyx das funções contínuas abaixo e comprove o teorema de Clairaut...................................................................................................................................18

AULA 05/09/2014...................................................................................................................19

2. Calcule todas as derivadas segundas das funções dadas abaixo:...................................19

3. Mostre que as funções satisfazem a equação diferencial parcial...................................21

fxx+ fyy=0, chamada de equação de Laplace......................................................................21

4. Expresse implicitamente o valor de dzdx no ponto (2,2,2) se a equação......................22

xy+ ylnx−2 yz=0 define z como uma função de duas variáveis independentes x e y e se a derivada parcial existe.........................................................................................................22

5. Expresse implicitamente o valor de dxdz no ponto (1 ,−1 ,−3) se a...........................22

Equação xz+ ylnx−x2+4=0 define x como uma função de duas variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe............................................................................................22

6. Nas funções abaixo ,dwdu e dwdv utilizando a regra da cadeia nos pontos.................22

dados em cada ítem...............................................................................................................22


4. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os quando possível.......25

EXERCÍCIO AVALIATIVO..........................................................................................................30

1. Dados as funções z=3 x ² y ²+2 y e x=t ²; y=2t+1. Determine dzdt utilizando a regra da cadeia...................................................................................................................30

2

REVISÃO DA 1ª AVALIAÇÃO........................................................................................................31

1. Calcule dzdu e dzdv da função z=x ²− y sec x , x=uv e y=u ² v ².............................31

2. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os quando possível:.....31

3. Determine dzdx e dzdy nos ítens abaixo:......................................................................32

4. Calcule a derivada fxy e fyx da função contínua fx ; y=xy+ yx e comprove o teorema de Clairaut..............................................................................................................................32

5. Expresse implicitamente o valor dxdz no ponto (1 ;−1 ;−3) se a equação xz+ y ln x−x2+4=0 define x como uma função de duas variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe....................................................................................................33

INTEGRAÇÃO DUPLA..................................................................................................................33

Propriedades das Integrais Duplas.........................................................................................35

Integrais Duplas em Regiões Não Retangulares.....................................................................35

A Integral Dupla e o Volume...................................................................................................37

Área calculada como uma Integral dupla...............................................................................38

INTEGRAL TRIPLA.......................................................................................................................39

Propriedades das Integrais Triplas.........................................................................................41

Cálculo de Integrais Triplas em Regiões mais Gerais..............................................................41


3

AULA DIA 05/08/2014

Funções Reais de Várias Variáveis

Existem várias fórmulas que são formadas por funções de várias

variáveis.

1. A função área de um triângulo é função do comprimento “l” e da altura “

h” do polígono.

A=l∗h2

Onde “A” é a variável dependente e “l , h” são variáveis independentes.

2. O volume “V ” do paralelepípedo é função do comprimento “l”, da

largura “b” e da altura “h”.

V=l∗b∗h

3. A medida aritmética simples dos valores x1 , x2 , x3 ,…,xn (n valores) é

função dos valores x1 , x2 , x3 ,…,xn.

x=x1 , x2 , x3 ,…, xn

n

Onde xé uma variável dependente e x1 , x2 , x3 ,…,xnsão variáveis

independentes.

Conclusão:

A=l∗h2

→ (Função de duas variáveis)

V=l∗b∗h → (Função de três variáveis)

x=x1 , x2 , x3 ,…, xn

n → (Função de várias variáveis)

Definição 01: Uma função z=f (x , y ) de duas variáveis é uma regra que

associa a um único número f ( x , y ) um ponto ( x , y ) de um conjunto D do plano

xy.

Ex: Seja z=4 x2 y+3 x+5 y, qual o valor de z (1,2 )?

z (1,2 )=4∗12∗2+3∗1+5∗2

z (1,2 )=8+3+10=21

Definição 02: Uma função w=f (x , y , z ) de três variáveis é uma regra que

associa a um único número f ( x , y , z ) um ponto ( x , y , z ) de um conjunto D do

espaço tridimensional xyz.

Ex: Seja z=4 x3 y+5 xz+2 xy+ z, qual o valor de w (2,1,3 )?

4

z (2,1,3 )=4∗23∗1+5∗2∗3+2∗2∗1+3

z (2,1,3 )=32+30+4+3=69

z (2,1,3 )=69

Assim como nas funções de uma mesma variável, para se obter o

domínio “D” da função de duas variáveis, devemos observar as restrições que

existem na função.

Exemplo: Obtenha o conjunto domínio das funções:

a) z=√ x2− y

x2− y ≥0

x2≥ y

D= {(x , y , z )/x2≥ y }b) w=ln(x2+ y3−z)

x2+ y3−z>0

x2+ y3> z

D= {(x , y , z )/x2+ y3>z }

c) w= x3+4 y+ zx+3 y2+7 z

x+3 y2+7 z ≠0

x≠−3 y2−7 z

D= {(x , y , z )/x ≠−3 y2−7 z }

d) w= 1

√3x2− y

3 x2− y>0

y<3 x2

OBS: A construção do gráfico de funções de duas ou três variáveis não é de

fácil esboço, sendo necessária a utilização de recursos computacionais.

Neste sentido, recomendamos a leitura do referido conteúdo, quando

necessário construiremos tais gráficos.

5

AULA DIA 08/08/2014

Derivadas Parciais de Funções Reais de Várias Variáveis

Se z=f (x , y ), então pode-se perguntar como os valores de zvariam se x

for mantido fixo e a y for permitido variar ou se y for mantido fixado e a x for

permitido variar.

Definiremos uma derivada que descreva tais taxas de variação.

Definição 03: Se z=f (x , y ) e (x0 , y0 ) é um ponto no domínio de f , então a

derivada em x0 da função que resulta quando y= y0for mantido fixo e a x for

permitido variar é:

f x (x0 , y0)= lim∆x→0

f ( x0+∆ x , y0 )−f (x0 , y0)∆x

Analogamente, Se z=f (x , y ) e (x0 , y0 ) é um ponto no domínio de f , então a

derivada em y0 da função que resulta quando y= y0for mantido fixo e a x for

permitido variar é:

f y (x0 , y0)= lim∆ y→0

f (x , y0+∆y )−f (x0 , y0)∆y

Exemplo 01: Determine f x (2,3 ) e f y (2,3 ) da função f ( x , y )=2 x3 y+3 y2+4 x.

f x ( x , y )=6 x2 y+4

f x ( x , y )=6∗2²∗3+4=76

f x ( x , y )=76

f y ( x , y )=2 x3+6 y

f y (2,3 )=2∗2³+6∗3

f y (2,3 )=34

Exemplo 02: Determine f x (1,2 ,3 ) e f y (2 ,1 ,3 ) e f z (0 ,1 ,2 ) da função.

f ( x , y , z )=3 x ² y ³+4 xz+5x ² y+xyz.

f x ( x , y , z )=6 xy ³+4 z+10 xy+ yz

f x (1,2,3 )=6∗1∗2³+4∗3+10∗1∗2+2∗3

f x (1,2,3 )=86

f y ( x , y , z )=9x ² y ²+5 x ²+ xz

f y (2,1,3 )=9∗22∗12+5∗22+2∗3

f y (2,1,3 )=62

f z ( x , y , z )=4 x+xy

f z (0,1,2 )=4∗0+0∗1

6

f z (0,1,2 )=0

Derivadas Parciais de Ordem Superior

Quando derivamos uma função z=f (x , y ) duas vezes temos as

derivadas de 2ª ordem e se as derivadas de forma sucessiva têm as derivadas

parciais de ordem superior, ou seja, f xx ; f xy ; f yy e f yx .

Exemplo 03: Expresse as derivadas parciais de ordem superior da função

f ( x , y )=2 x5 y ³+3 x y4+8 x y2+5 x ² y.

fx=10 x4 y ³+3 y4+8 y2+10 xy

fxx=40 x3 y ³+10 y

fy=6 x5 y ²+12x y3+16 xy+5 x ²

fyy=12 x5 y+36 x y2+16 x

fxy=30 x4 y ²+12 y ³+16 y+5 x ²

fyx=30 x4 y ²+12 y3+16 y+10xOBS: As derivadas parciais mistas serão iguais

apenas se as funções forem contínuas.

Derivando Implicitamente

Vejamos como expressar a derivada implícita por meio de um exemplo e

depois faremos uma generalização.

Exemplo 04: Determine a inclinação da esfera x ²+ y ²+z ²=1 na direção de y

nos pontos ( 23,13,

23 ) e ( 2

3,13,−2

3 ).x ²+ y ²+z ²=1

2 y+2 zdzdy

=0

2 zdzdy

=−2 y

dzdy

=−2 y2 z

dzdy

=− yz

2 xdxdy

+2 y=0

2 xdxdy

=−2 y

d xdy

=−2 y2 x

dxdy

=− yx

Derivando zimplicitamente com relação a y teremos:

dzdy

=

−dfdydfdz

7

AULA DIA 12/08/2014

Regra da Cadeia para Derivadas Parciais

A regra da cadeia para funções de uma variável diz que, quando w=f (x)

é uma função derivável de x e x=g( t) é uma função derivável de t , w é uma

função derivável de t e dwdt

pode ser calculada:

dwdt

=

dwdx

∗dx

dt(1)

Para funções de duas variáveis ou mais, a regra da cadeia possui

diversas formas. A forma depende da quantidade de variáveis envolvidas, mas

uma vez que isso seja levado em conta, ela funciona como a regra (1).

TEOREMA: Se w=f (x , y ) é derivável e se x=x ( t );y= y ( t ) são funções

deriváveis de t , então a composta w=f [ x ( t ) , y ( t )] será uma função derivável de

t é:

dwdt

=

dwdx

∗dx

dt+

dwdy

∗dy

dt(2)

Ex.: Dada a função w=3 x2 y+5 x+2 ye x=t 2, y=2t+2, determine dwdt

.

dwdt

=(6 xy+5 )∗(2 t )+(3 x2+2 )∗2=12 txy+10 t+6 x2+4

dwdt

=12 t∗t 2 (2 t+2 )+10 t+6 (t 2 )2+4=24 t 4+24 t3+10 t+6 t4+4

dwdt

=30 t 4+24 t 3+10 t+4

Fazendo diretamente:

w=3 t 4 (2t+2 )+5 t ²+2 (2 t+2 )=6 t 5+6 t 4+5t ²+4 t+4

w=30 t 4+24 t 3+10 t+4

OBS: Substitua as variáveis primeiramente e depois deriva.

Podemos então prever a regra da cadeia para uma função w=f (x , y , z )

onde x=x (t), y= y (t) e z=z (t), que será:

8

dwdt

=

dwdx

∗dx

dt+

dwdy

∗dy

dt+

dwdz

∗dz

dt

Exemplo 06: Seja w=5 x2+3 y+4 xz+2 z+3 e x=t ³, y=t ² e z=t−1. Utilizando a

regra da cadeia expresse dwdt

.

dwdt

=

dwdx

∗dx

dt+

dwdy

∗dy

dt+

dwdz

∗dz

dt=

dwdt

=(10 x+4 z )∗(3 t2 )+3∗2 t+ (4 x+2 )∗1

dwdt

=[10 t 3+4 ( t−1 ) ]∗(3 t2 )+6 t+(4 t 3+2)

dwdt

=30 t 5+12t ³−12t 2+6 t+4 t 3+2

dwdt

=30 t 5+16 t ³−12 t2+6 t+2

Agora vejamos o caso em w=f (x , y , z) e x=x (u , v ); y= y (u , v) e.

z=z (u , v ) e teremos dwdu

e dwdv

pela regra da cadeia:

dwdu

=

dwdx

∗dx

du+

dwdy

∗dy

du+

dwdz

∗dz

du

e

dwdv

=

dwdx

∗dx

dv+

dwdy

∗dy

dv+

dwdz

∗dz

dv

Exemplo 08: se w=2 x ³ yz+3x+4 y+5 z+2 e x=uv;y=u−v e z=u+v. Determine

dwdu

e dwdv

, utilizando a regra da cadeia e depois diretamente.

dwdu

=(6 x2 yz+3 )∗v+(2 x3 z+4 )∗1+(2 x3 y+5 )∗1

dwdu

=6 x2 yzv+3v+2 x3 z+4+2 x3 y+5

dwdu

=6 (uv )2∗(u−v ) (u+v ) v+3v+2 (uv )3 (u+v )+4+2 (uv )3∗(u−v)+5

dwdu

=(6u3 v2−6u2 v3 ) (uv+v2 )+3 v+2u4 v3+2u3 v4+2u4 v ³−2u ³ v4+9

9

dwdu

=6u4 v3+6u3 v4−6u3 v4−6u2 v5+3v+4u4 v3+2u3 v4−2u ³ v4+9

dwdu

=6u4 v3+4 u4 v3−6u2 v5+3v+9

dwdu

=10u4 v3−6u2 v5+3v+9

dwdv

=(6 x2 yz+3 )u+(2 x3 z+4 )∗(−1 )+(2x3 y+5 )∗1

dwdv

=6 x2 yzu+3u−2x3 z−4+2 x3 y+5

dwdv

=6 (uv) ²(u−v)(u+v )u+3u−2(uv ) ³(u+v)−4+2 (uv )3(u−v)+5

dwdv

=6u3 v2 (u2−v2 )+3u−2u4 v3−2u3 v4+2u4 v3−2u ³ v 4+1

dwdv

=6u5 v2−6u3 v4−4u3 v4+3u+1

dwdv

=6u5 v2−10u3 v4+3u+1

Aula 15/08/2014

Derivadas parciais para funções vetoriais

Seja uma função vetorial f⃗ (x , y , z) e as derivadas parciais de f⃗ serão:

f⃗ x=f 1

→

dxi⃗+

f 2

→

dxj⃗+

f 3

→

dxk⃗

f⃗ y=f 1

→

dyi⃗+

f 2

→

dyj⃗+

f 3

→

dyk⃗

f⃗ z=f 1

→

dzi⃗+

f 2

→

dzj⃗+

f 3

→

dzk⃗

A única exigência é que todas as funções parciais sejam deriváveis.

Exemplo: Dada a função f⃗ ( x , y , z )=2 x5 y z2 i⃗+x y 4 z7 j⃗+5 x ³ y ³ z ³ k⃗ mostre que

f⃗ xy=f⃗ yx .

f⃗ x=10 x4 y z2 i⃗+ y4 z7 j⃗+15 x ² y ³ z ³ k⃗

f⃗ xy=10x 4 z2 i⃗+4 y3 z7 j⃗+45 x ² y ² z ³ k⃗

f⃗ y=2 x5 z2 i⃗+4 x y3 z7 j⃗+15 x ³ y ² z ³ k⃗

f⃗ yx=10 x4 z2 i⃗+4 y3 z7 j⃗+45 x ² y ² z ³ k⃗

10

Também é possível obter as derivadas parciais de ordem superior de

uma função na forma vetorial, ou seja:

Se f⃗ (x , y , z) é uma função vetorial das variáveis de x , y e z podemos

obter: f⃗ xx, f⃗ yy e f⃗ zz. Na verdade não há limites para a obtenção de derivadas

parciais em ordem superior, desde que as funções envolvidas sejam contínuas.

Exemplo 03: Dada a função f⃗ ( x , y , z )=5 y4 z i⃗+3 x5 y j⃗+2 y z7 k⃗ expresse as

funções f⃗ xx, f⃗ yy e f⃗ zz.

f⃗ x=15 x4 y j⃗ f⃗ xx=60 x3 y j⃗

f⃗ y=20 x3 z i⃗+3 x5 j⃗+2 z7 k⃗ f⃗ yy=60x2 z i⃗

f⃗ z=5 y4 i⃗+14 y z6 k⃗ f⃗ zz=84 y z5 k⃗

É comum denotar uma função vetorial da forma f⃗ ( x , y , z )=(x i; y j; zk ).

Exemplo: f⃗ ( x , y , z )=(6 x ² y ³; 4 y5 z ;3 xyz ).

Aula 19/08/2014

1ªLISTA DE EXERCÍCIOS

1. Determine os valores de funções específicos abaixo:

A.f ( x , y )=sin( xy); nos pontos:

A.1. (2 , π6 )f ( x , y )=sen( 2∗π

6 )=sen( π3 )=√32

f ( x , y )=√32

A.2. (−3 ;π12 )

f ( x , y )=sen(−3∗π12 )=sen(−π

4 )=−sen ( π4 )=−√22

f ( x , y )=−√22

11

A.3. (−π2

;−7)f ( x , y )=sen(−π

2∗−7)=sen (7 π

2 )=−sen630=− (−1 )=1

f ( x , y )=1

B. f ( x , y )= x− yy ²+z ²

; nos pontos:

B.1.(3 ;−1;2)

f ( x , y )= 3−(−1)(−1) ²+2²

=45

f ( x , y )=45

B.2.(1 ; 12;

14 )

f ( x , y , z )=1−1

2

( 12 ) ²+( 1

4 ) ²=

12

14+

116

=

125

16

=

12∗16

5=

85∴ f ( x , y , z )=8

5

B.3.(0 ,−13,0)

f ( x , y , z )=0−(−1

3 )(−1

3 ) ²+0²=

1319

=3∴ f (0 ,−13,0)=3

C.f ( x , y , z )=√49−x2− y2−z2

C.1. (0,0,0)

f (0,0,0 )=√49−02−02−02¿√49=7

f (0,0,0 )=7

C.2.(2 ,−3,6 )

f (2 ,−3,6 )=√49−22−(−3)2−62¿√49−4−9−36=0

f (2 ,−3,6 )=0

C.3.(−1,2,3 )

f (−1,2,3 )=√49−(−1)2−(2)2−32¿√49−1−4−9=0

f (−1,2,3 )=√35

C.4.( 4

√2,

5

√2,

6

√2 )

12

f ( 4

√2,

5

√2,

6

√2 )=√49−( 4

√2 )2

−( 5

√2 )2

−( 6

√2 )2

=√49−162

−252

−362

f ( 4√2

,5√2

,6√2 )=√ 98−16−25−36

2=√ 21

2

f ( 4√2

,5√2

,6√2 )=√ 21

2

D.f ( x , y )=x ²+xy ³

D.1.(3,2 )

f (3,2 )=3²+3∗2³=9+3∗8=9+24=33

f (3,2 )=33

D.2.(2,5 )

f (2,5 )=2²+2∗5³=4+2∗125=4+125=129

f (2,5 )=129

D.3.(4,3 )

f ( 4,3 )=4²+4∗3³=16+4∗27=16+108=124

f ( 4,3 )=124

D.4.(2,1 )

f (2,1 )=2²+2∗1³=4+2=6 f (2,1 )=6

2. Expresse o conjunto domínio das funções.

A. f ( x , y )=√ y−x−2

y−x−2≥0∴ y−x≥2∴ y ≥2+x

D= {( x , y )/ y ≥2+x }

B. f ( x , y )=ln (x2+ y2−4)

x2+ y2−4>0∴x2+ y2>4

D= {( x , y ) / x ²+ y ²≥4 }

C. f ( x , y )= (x−1 ) ( x+2 )( y−x ) ( y−x ³ )

y−x ≠0∴ y ≠xey−x ³≠0∴ y ≠ x ³

D= {( x , y ) / y ≠x e y ≠ x ³ }

D. f ( x , y )= sen(xy )x ²+ y ²−25

13

x ²+ y ²−25≠0∴x ²+ y ²≠25

D= {( x , y )/ x ²+ y ²≠25 }

E. f ( x , y )= 1

ln(4−x2− y2)

4−x2− y2>0∴x2+ y2>4

D={( x , y )/ x2+ y2>4 }

1. Calcule dfdx

e dfdy

, nos casos:

A. f ( x , y )=5 xy−7 x ²− y ²+3x−6 y+2

dfdx

=5 y−14 x6+3 dfdy

=5 x−2 y−6

B. f ( x , y )=(2x−3 y ) ³

dfdx

=3 (2x−3 y )2∗2

dfdx

=6 (2x−3 y )2

dfdy

=3 (2x−3 y )2∗(−3)

dfdy

=−9 (2 x−3 y )2

C. f ( x , y )=√ x2+ y2

dfdx

=12

(x ²+ y ² )−12 ∗2 x= 2 x

2 (x2+ y2)1/2

dfdx

= x

√x ²+ y ²

dfdy

=12

( x ²+ y ² )−12 ∗2 y= 2 y

2(x2+ y2)1 /2

dfdy

= y

√x ²+ y ²

D. f ( x , y )=tan−1( yx )dfdx

= 1

( yx ² )²+1

(− yx ² )= − y

x ² [ y ²x ²

+1]= − y

y ²+x ²∴ df

dx= − y

y ²+x ²

dfdy

= 1

( yx ² ) ²+1

( 1x )= 1

x [ y ²x ²

+1]= 1

y ²x

+x= 1

y ²+x ²x

= xy ²+x ²

∴ dfdy

= xy ²+x ²

E. f ( x , y )=e ( x+ y+1)

dfdx

=e(x + y+1)∗1=e(x+ y+1)∴ dfdx

=e(x+ y +1)

dfdy

=e(x + y+1)∗1=e(x+ y +1)∴ dfdy

=e(x+ y+1)

F. f ( x , y )=e− x sen(x+ y )

14

dfdx

=−e−x sen (x+ y )+e−xcos ( x+ y )∗1

dfdx

=e−x [cos ( x+ y )−sen ( x+ y )]

dfdy

=0∗sen ( x+ y )+e− xcos (x+ y )∗1∴ dfdy

=e−x cos ( x+ y )

G. f ( x , y )=ln (x+ y)

dfdx

= 1x+ y

∗1= 1x+ y

∴ dfdx

= 1x+ y

dfdy

= 1x+ y

∗1= 1x+ y

∴ dfdy

= 1x+ y

H. f ( x , y )=sen2 ( x−3 y )

f ( x , y )=sen2 ( x−3 y )=[sen ( x−3 y )] ²

dfdx

=2 sen ( x−3 y ) cos ( x−3 y )∗1=2 sen ( x−3 y )cos (x−3 y )

dfdx

=2 sen ( x−3 y ) cos ( x−3 y ) ∴ dfdx

=sen2 ( x−3 y )

dfdy

=2 sen ( x−3 y ) cos (x−3 y )3=3 sen2(x−3 y)

dfdy

=−3 sen2 (x−3 y)

I. f ( x , y )=cos ²(3 x− y2)

f ( x , y )=[cos (3x− y2 ) ]2

dfdx

=2 cos (3 x− y2 ) [−sen (3x− y2 ) ] 3=−2 sen (3 x− y2)cos (3x− y2 )3

dfdx

=−3 sen2(3x− y2)

dfdy

=2 cos (3 x− y2 ) [−sen (3 x− y2 ) ] 2 y=−2 sen (3 x− y2 ) cos ( 3x− y2) (−2 y)

dfdy

=−2 ysen2(3 x− y2)

AULA 22/08/2014

J. f ( x , y )=cos √1+x2 y 4

f ( x , y )=cos [ (1+ x2 y4 )1/2¿ ]¿

dfdx

=(−sen√1+x2 y4 ) 12

(1+x2 y 4 )−1 /2∗2x y4

dfdx

=−2x y4 sen√1+x2 y4

2√1+x2 y4=−x y4 sen √1+x2 y4

√1+x2 y4

15

dfdx

=−x y4 sen √1+x2 y4

√1+x2 y4

dfdy

=(−sen√1+ x2 y4 ) 12

(1+x2 y4 )−1 /2∗x2 4 y3

dfdy

=−4 x ² y3 sen√1+ x2 y4

2√1+ x2 y4=−2 x ² y3 sen √1+x2 y4

√1+x2 y4

dfdy

=−2 x ² y3 sen√1+ x2 y4

√1+x2 y4

K. f ( x , y )=ln ( y2√ x3 )

f ( x , y )=ln ( y2√ x3 )=ln (√x3 y4 )=ln [ (x3 y4 )1 /2¿]¿

dfdx

=

1

y2 √x3∗1

2(x3 y4 )−1 /2

∗3 x2 y4=

3 x2 y4

2∗ 1

y2 √x3∗1

y2 √x3=

3x2 y4

2 y 4 x3 =3

2x

dfdx

= 32 x

dfdy

=

1

y2 √x3∗1

2(x3 y4 )−1/2

∗x3 4 y3=

4 x3 y3

2∗ 1

y2 √x3∗1

y2 √x3=

4 x3 y3

2 y4 x3 =2y

dfdy

=2y

L. f ( x , y )=arcsen√ x ²+ y4

dfdx

=

1

√1−(x2+ y4)∗1

2( x2+ y 4 )−1 /2

∗2 x=

1

√1− (x2+ y 4 )∗2 x

2√x2+ y4= x

√1−(x2+ y 4)√ x2+ y 4

dfdx

= x

√1−(x2+ y4)√ x2+ y4

dfdy

=

1

√1−(x2+ y 4)∗1

2(x2+ y 4 )−1 /2

∗4 y3=

1

√1−(x2+ y4 )∗4 y3

2√x2+ y4= 2 y3

√1−(x2+ y4)√x2+ y4

dfdy

= 2 y3

√1−(x2+ y4)√x2+ y4

3. Calcule dfdx

,dfdy

e dfdz

nos casos:

A. f ( x , y , z )=x−√ y ²+z ²

dfdx

=1

16

dfdy

=−12

[ ( y2+z2 )¿¿−1/2]2 y= − y

√ y2+z2¿ →

dfdy

= − y

√ y2+z2

dfdz

=−12

[ ( y2+z2 )¿¿−1/2]2 z= −z

√ y2+z2¿→

dfdz

= −z

√ y2+z2

B. f ( x , y , z )=(x2+ y2+z2 )−12

dfdx

=−12

(x2+ y2+z2 )−3 /2∗2x= −2x

2√ (x2+ y2+z2 )3= −x

√(x2+ y2+z2 )3

dfdx

= −x

√(x2+ y2+ z2)3

dfdy

=−12

(x2+ y2+z2 )−3 /2∗2 y= −2 y

2√ (x2+ y2+ z2 )3= − y

√ (x2+ y2+z2 )3

dfdy

= − y

√(x2+ y2+z2)3

dfdz

=−12

(x2+ y2+z2 )−3/2∗2 z= −2 z

2√ (x2+ y2+z2 )3= −z

√ (x2+ y2+z2 )3

dfdz

= −z

√(x2+ y2+z2 )3

C. f ( x , y , z )=sin−1(xyz )

dfdx

= 1

√1−(xyz )²∗yz= yz

√1−x ² y ² z ²→

dfdx

= yz

√1−x ² y ² z ²

dfdy

= 1

√1−(xyz)²∗xz= xz

√1−x ² y ² z ²→

dfdy

= xz

√1−x ² y ² z ²

dfdz

= 1

√1−(xyz ) ²∗xy= xy

√1−x ² y ² z ²→

dfdz

= xy

√1−x ² y ² z ²

D. f ( x , y , z )=sec−1 ( x+ yz )

dfdx

= 1

( x+ yz ) √ (x+ yz )2−1∗1= 1

( x+ yz )√ ( x+ yz )2−1∴ dfdx

= 1

( x+ yz )√ ( x+ yz )2−1

dfdy

= 1

(x+ yz ) √ ( x+ yz )2−1∗z= z

(x+ yz ) √ ( x+ yz )2−1∴ dfdy

= z

( x+ yz )√ ( x+ yz )2−1

dfdz

= 1

( x+ yz )√ ( x+ yz )2−1∗y= y

( x+ yz ) √( x+ yz )2−1∴ df

dz= y

( x+ yz ) √ (x+ yz )2−1

E. f ( x , y , z )=ln (x+2 y+3 z )

dfdx

= 1x+2 y+3 z

∗1= 1x+2 y+3 z

∴ dfdx

= 1x+2 y+3 z

17

dfdy

= 1x+2 y+3 z

∗2= 2x+2 y+3 z

∴ dfdy

= 2x+2 y+3 z

dfdz

= 1x+2 y+3 z

∗3= 3x+2 y+3 z

∴ dfdz

= 3x+2 y+3 z

F. f ( x , y , z )=e−(x2+ y2+z 2)

dfdx

=−e−(x2+ y2+ z2)∗2x=−2x e−( x2+ y2+ z2)∴ dfdx

=−2xe−(x2+ y2+z2 )

dfdy

=−e−(x2+ y2+ z2)∗2 y=−2 ye−( x2+ y2+ z2)∴ dfdy

=−2 ye−(x2+ y2+ z2)

dfdz

=−e−(x2+ y2+z2)∗2 z=−2 ze−(x2+ y2+ z2)∴ dfdz

=−2 ze−(x2+ y2+z 2)

4. Calcule as derivadas parciais dfdt

,dfdx

,dfdy

e dfdz

das funções abaixo:

A. w= tx y2 z3

1+x2+ y 4+z6+ t8

dfdt

=(x y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−8t 7(tx y2 z3)

(1+x2+ y4+z6+t 8) ²=

( x y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−8 t 8 x y2 z3

(1+x2+ y4+z6+t 8)²

dfdt

=(x y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−8t 8 x y2 z3

(1+ x2+ y 4+ z6+t 8) ²

dfdx

=(t y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t8 )−2 x( tx y2 z3)

(1+x2+ y4+z6+t 8) ²=

(t y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−2tx ² y2 z3

(1+x2+ y4+z6+t 8)²

dfdx

=(t y2 z3 ) (1+x2+ y4+z6+t8 )−2 tx ² y2 z3

(1+x2+ y 4+z6+ t8) ²

dfdy

=( 2txy z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−4 y ³(tx y2 z3)

(1+x2+ y4+z6+t 8)²=(2 txy z3 ) (1+x2+ y 4+z6+ t8 )−4 tx y5 z3¿ ¿

(1+x2+ y4+z6+t 8)²

dfdy

=(2 txy z3 ) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−4 tx y5 z3¿ ¿(1+x2+ y4+z6+t 8) ²

dfdz

=(3 txy ² z2) (1+x2+ y4+z6+t 8 )−3 z ²(tx y2 z3)

(1+x2+ y4+ z6+t 8)²=

(3 txy ² z2 ) (1+x2+ y4+ z6+t 8 )−3tx y2 z5

(1+x2+ y4+z6+ t8) ²

dfdz

=(1+ x2+ y 4+z6+ t8 )−z ²

(1+x2+ y4+z6+t 8) ²

B. w= x2t 2

√ y2+z2

dfdt

=2t x2 (√ y2+ z2 )−0∗t ² x ²

(√ y2+z2)²=

2t x2 √ y2+z2

y2+z2 ∴ dfdt

=2 t x2√ y2+z2

y2+z2

18

dfdx

=2 t ² x √ y2+z2−0∗t ² x ²

(√ y2+z2) ²=2 t ² x √ y2+z2

y2+z2 ∴ dfdx

=2 t ² x √ y2+z2

y2+z2

dfdy

=0∗√ y2+z2−1

2( y2+z2)−1/22 y∗t ² x ²

(√ y2+z2)²=

−t ² x ² y

( y2+z2 )∗√ y ²+z ²∴ df

dy=

−t ² x ² y

( y2+z2 )∗√ y ²+z ²

dfdz

=0∗√ y2+z2−1

2( y2+z2)−1/22 z∗t ² x ²

(√ y2+z2)²=

−t ² x ² z

( y2+z2 )∗√ y ²+z ²

dfd z

= −t ² x ² z

( y2+z2)∗√ y ²+z ²

Aula dia 26/08/2014

Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis

Se analisarmos o gráfico de uma função “f ” o gráfico de duas

variáveis como sendo uma cadeia de montanhas, então os “cumes”, que

são os pontos mais altos de suas vizinhanças imediatas são chamados

relativos de “f ” e as bases dos vales, que são os pontos mais baixos de

suas vizinhanças imediatas são chamados de números relativos de “f ”.

Estamos interessados em determinar o maior e o menor valor de

f (x , y ) sobre o domínio inteiro de f .

Esses valores são chamados de valores máximo absoluto e

mínimo absoluto de f .

DEFINIÇÃO: Diz-se que a funçãof de duas variáveis tem um máximo relativo

em um ponto (x0 , y0) se há um círculo centrado em (x0 , y0), de modo que

f (x0 , y0)≥ f (x , y ) para todos os pontos (x , y ) do domínio de f .

DEFINIÇÃO: Diz-se que uma função f de duas variáveis tem um mínimo

relativo em um ponto (x0 , y0) se há um círculo centrado em (x0 , y0), de modo

que f (x0 , y0)≤ f (x , y ) para todos os pontos (x , y ) do domínio de f que estão

19

dentro de um círculo e diz-se que f tem um mínimo absoluto em (x0 , y0) se

f (x0 , y0)≤ f (x , y ) para todos os pontos (x , y ) do domínio de f .

Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em (x0 , y0), dizemos que

f tem um extremo relativo em (x0 , y0), dizemos que f tem um extremo

relativo em (x0 , y0), e se f tiver um máximo absoluto em (x0 , y0) dizemos

que f tém um extremo absoluto em (x0 , y0).

EXEMPLO: Expresse todos os extremos relativos da função:

f ( x , y )=3 x ²−2 xy+ y2−8 y.

dfdx

→6 x−2 y=0

dfdy

→−2 x+2 y−8=0

4 x−8=0

x=2

Ex_2: Expresse todos os extremos relativos da função: f ( x , y )=4 xy−x4− y4

4 y−4 x3=0

4 x−4 y3=0

4 x=4 y3

x= y3

4 y−4 x3=0

4 y−4 ( y3 )3=0

4 y−4 y9−0

4 y (1− y8 )=0

→4 y=0

y=0

→1− y8=0

− y8=−1

y=± 8√1

y=±1

AULA 29/08/2014

Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Variáveis

Determinado os pontos críticos do gráfico de uma função f (x , y ), agora

poderemos analisar os extremantes utilizando o seguinte critério:

Se quisermos analisar um ponto (x0 , y0) na função f (x , y ) devemos

calcular:

1. D (x0 , y0 )=f xx (x0 , y0 )∗f yy (x0 , y0 )−f xy2 (x0 , y0 );

2. Se D (x0 , y0 )>0 e f xx (x0 , y0 )>0, então (x0 , y0 )é o ponto de mínimo relativo;

3. Se D (x0 , y0 )>0 e f xx (x0 , y0 )<0, então (x0 , y0 ) é o ponto de máximo relativo;

6 x−2 y=0

6∗2−2 y=0

y=6

R → Ponto crítico

R → Pontos críticos (−1 ,−1 ) ; (0,0 ) ;(1,1)

20

4. Se D (x0 , y0 )<0 e f xx (x0 , y0 )>0, então (x0 , y0 ) é o ponto de sela;

5. Se D (x0 , y0 )=0, então nada se pode afirmar sobre o ponto.

Exemplo: Determine todos os pontos críticos da função

f ( x , y )=4 x ²−3 xy+ y2−6 y

f x=8 x−3 y=0

f xx=8

f y=−3 x+2 y−6=0

f yy=2

8 x−3 y=0∴8 x=3 y∴ x=3 y8

−3 x+2 y−6=0∴−33 y8

+2 y=6∴−9 y+16 y=48∴ y=487

Substituindo em x temos: x=

3487

8=

14456

=187

∴ x=187

R→ Como D>0 e f xx>0, logo ( 187,

487 ) é ponto de mínimo relativo.

Exemplo: Calcular os pontos críticos da função f ( x , y )=x ²+xy+ y ²−3 x e aplicar

o teste da derivada segunda.

f x=2 x+ y−3

f y=x+2 y

f xy=1

f xx=2

2 x+ y−3=0x=3− y

2

x+2 y=0 3− y2

+2 y=03− y+4 y=0 y=1

D=2∗2−12=3>0 e f xx>0

R → Como D>0 e f xx>0, logo (1,1 ) é ponto de mínimo relativo.

AULA DIA 02/09/2014

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Calcule a derivada fx yefyx das funções contínuas abaixo e

comprove o teorema de Clairaut.

a) f ( x , y )= xy+ yx

x=3− y2

=3−12

=1

x=1

f yy=2

D (x0 , y0 )=f xx (x0 , y0 )∗f yy (x0 , y0 )−f xy2 (x0 , y0 )

D (x0 , y0 )=8∗2−(−3 )2=7>0

f xy=−3

21

f x=1∗ y−x∗0

( y ) ²+ 0∗x− y∗1

(x ) ²= y

y ²+− y

x ²= 1

y− yx ²

∴ f x=1y− yx ²

f xy=0∗y−1∗1

( y ) ²+ 1∗x− y∗0

( x ) ²=−1

y2+−x

x2=−1

y ²−1x∴ f xy=

−1y ²

−1x

f y=0∗ y−x∗1

( y ) ²+1∗x− y∗0

( x ) ²=−x

y ²+ xx ²

=−x

y2+ 1x∴ f y=

−x

y2+ 1x

f yx=−1∗ y2−x∗0

( y2 )2+ 0∗x−1∗1

(x )2= y2

y4 −1x2 =

−1y2 − 1

x ²∴ f yx=

−1y2 − 1

x ²

R → Como f xy=f yxentão se comprova o teorema de Clairaut.

b) f ( x , y )=x ey+ y ex

f x=1∗e y+ y∗e x∗1=e y+ y ex∴ f x=e y+ y ex

f xy=(e y∗1+1∗ex )=ey+ex ∴ f xy=e y+ex

f y=x∗ey+1∗ex=x e y+ex∴ f y=x e y+ex

f yx=1∗e y+ex=e y+ex ∴f yx=e y+ex

c) f ( x , y )=sen (x3− y3 )

f x=cos (x3− y3 ) 3x ²

f xy=−sen ( x3− y3 )∗(−3 y2)∗3 x ²∴ f xy=9 x ² y ² sen (x3− y3)

f y=−3 y ² cos (x3− y3 )

f yx=9 x ² y ² sen (x3− y3)

d) f ( x , y )=x y+ yx

f x= yx y−1+ y x ln y

f xy=(1∗x y−1+ y∗x y−1∗lnx)+(xy x−1ln y+ yx∗1y )

f xy=(x y−1+ yx y−1lnx)+(xy x−1 ln y+ y x∗y−1 )

f xy=x y−1(1+ ylnx)+( xyx−1 ln y+ yx−1 )

f xy=x y−1(1+ ylnx)+ yx−1 ( x ln y+1 )

f y=x y lnx+xyx−1 f yx=( y x y−1lnx+ x y∗1x )+( 1∗y x−1+x∗ yx−1lny )

f yx=( y x y−1lnx+x y∗x−1 )+(1∗ yx−1+ x∗yx−1 lny )

f yx=x y−1 ( ylnx+1 )+ y x−1 (1+ xlny )

R → Como f xy=f yx

então se comprova o

teorema de Clairaut.

22

AULA 05/09/2014

2. Calcule todas as derivadas segundas das funções dadas abaixo:

a) f ( x , y )=ln (xy )

f x=1xy

y= 1x

f xx=0∗x−1∗1

x ²=−1

x ²

f y=1xy

x= 1y

f yy=o∗y−1∗1

y ²=−1

y ²

f xy=0∗x−1∗0

x ²=0 f y x=

0∗y−1∗0y ²

=0

b) f ( x , y )=x y

f x= yx y−1 f xx=0∗x y−1+ y∗( y−1 ) x y−2=( y ²− y) x y−2

f xy=1∗x y−1+ y∗x y−1∗lnx=x y−1+ yx y−1lnx∴ f xy=x y−1( ylnx+1)

f y=x y lnx f yy=x y lnx∗lnx=x y ln ² x

f yx= yx y−1 lnx+x y 1x= yx y−1lnx+x y∗x−1∴ f yx=x y−1( ylnx+1)

c) f ( x , y )=√1−x2− y2

f x=12

(1−x2− y ² )−1 /2∗(−2x )= −x

√1−x2− y ²

f xx=−√1−x2− y2−

(−x)∗12

∗(1−x2− y2 )−1/2∗(−2x )

(√1−x2− y2) ²∴ f xx=

−√1−x2− y2−x ²

(1−x2− y2)√1−x2− y2

f xx=−√1−x2− y2−x ²

√ (1−x2− y2)2∗(1−x2− y2)

=−√1−x2− y2−x ²

√ (1−x2− y2 )3

f xy=−0∗(√1−x2− y2 )− (−x )∗1

2∗(1−x2− y2 )−1 /2

∗(−2 y)

(√1−x2− y2) ²∴ f xy=

−xy

√ (1−x2− y2 )3

f y=12

(1−x2− y ² )−1 /2∗(−2 y )= − y

√1−x2− y ²

f yy=−1∗√1−x2− y2−

(− y )∗12

∗(1−x2− y2 )−1 /2∗(−2 y)

(√1−x2− y2) ²∴f yy=

−√1−x2− y2− y ²

√(1−x2− y2 )3

f yx=−0∗(√1−x2− y2 )− (− y )∗1

2∗(1−x2− y2 )−1/2

∗(−2 x)

(√1−x2− y2) ²∴ f xy=

−xy

√(1−x2− y2 )3

23

d) f ( x , y )=sen(x2− y2)

f x=cos (x2− y2 ) 2x

f xx=−sen (x2− y2) 4 x2+2cos (x2− y2 )=−2 cos (x2− y2 )−4 x2 sen ( x2− y2 )

f xx=−cos (x2− y2 )−2x ² sen (x2− y2 )

f xy=2x [−sen (x2− y2 ) (−2 y )]=4 xysen (x2− y2 )

f xy=4 xysen (x2− y2 )

f y=cos ( x2− y2 )∗(−2 y )=−2 y cos (x2− y2 )

f y=−2 y cos (x2− y2 )

f yy=−2∗cos (x2− y2)+ (−2 y )[−sen (x2− y2 )(−2 y )]

f yy=−cos (x2− y2 )−2 y ² sen (x2− y2 )

f yx=−0∗cos (x2− y2 )+(−2 y ) [−sen (x2− y2 ) 2 x ]=4 xysen (x2− y2 )

f yx=4 xysen (x2− y2 )

3. Mostre que as funções satisfazem a equação diferencial parcial

f xx+ f yy=0, chamada de equação de Laplace.

a) f ( x , y )=ln √ x2+ y2

f ( x , y )=ln √ x ²+ y ²=ln (x ²+ y ² )1 /2

f x=

1

√x ²+ y ²∗1

2∗( x2+ y2 )−1/2

∗2x= xx2+ y2 ∴ f x=

xx2+ y2

f xx=1∗(x2+ y2 )−x∗2 x

( x2+ y2)²= x2+ y2−2 x ²

(x2+ y2) ²= y2−x ²

(x2+ y2) ²∴ f xx=

y2−x ²x4+2x ² y ²+ y4

f y=

1

√x ²+ y ²∗1

2∗(x2+ y2 )−1 /2

∗2 y= xx2+ y2 ∴ f y=

yx2+ y2

f yy=1∗( x2+ y2 )− y∗2 y

( x2+ y2) ²= x2+ y2−2 y ²

(x2+ y2) ²= x ²− y2

(x2+ y2) ²∴ f yy=

x ²− y2

x4+2 x ² y ²+ y 4

f xx+ f yy=y2−x2

x4+2 x2 y2+ y4 + x ²− y2

x4+2x2 y2+ y4 =0

b) f ( x , y )=x ³−3xy ²

f x=3 x ²−3 y ²

f xx=6 x

f y=−6 xy

f y=−6 x

f xx+ f yy=6x+(−6 x )=0

24

c) f ( x , y )=ex cos y

f x=excos y

f xx=excos y

f y=ex (−sin y)

f yy=ex (−cos y )=−ex cos y f xx+ f yy=excos y−ex cos y=0

d) f ( x , y )= yx ²+ y ²

f x=0∗(x2+ y2 )− y∗2x

(x2+ y2) ²= −2xy

(x2+ y2) ²

f xx=−2 y (x2+ y2 )−(−2xy )2 x

(x2+ y2) ²=−2 x2 y−2 y3+4 x2 y

(x2+ y2) ²=2 x2 y−2 y3

(x2+ y2) ²

f xx=2 x2 y−2 y3

(x2+ y2) ²

f y=1∗(x2+ y2 )− y∗2 y

(x2+ y2)²= x2+ y2−2 y ²

(x2+ y2) ²= x2− y2

(x2+ y2) ²

f yy=x2− y2

(x2+ y2)²=

−2 y (x2+ y2 )−2 y (x2− y2 )(x2+ y2) ²

=−2 y [ (x2+ y2 )+( x2− y2 )]

(x2+ y2) ²=

−2 y [ x2+ y2+ x2− y2](x2+ y2) ²

f yy=−4 y x2

(x2+ y2)²

f xx+ f yy≠0

4. Expresse implicitamente o valor de dzdx

no ponto (2,2,2) se a

equação

xy+ ylnx−2 yz=0 define z como uma função de duas variáveis

independentes x e y e se a derivada parcial existe.

xy+ ylnx−2 yz=0

y+yx−2 y

dzdx

=0∴−2 ydzdx

=−xy− y

x∴ dzdx

=

−xy− yx

∗1

−2 y=x+12 x

∴ dzdx

=x+12 x

dzdx

(2,2,2 )=2+12∗2

=34

∴ dzd x

(2,2,2 )=34

5. Expresse implicitamente o valor de dxdz

no ponto (1 ,−1 ,−3) se a

Equação xz+ ylnx−x2+4=0 define x como uma função de duas variáveis

independentes y e z e se a derivada parcial existe.

xz+ ylnx−x2+4=0

25

(x∗1+dxdz

z )+y∗1x

∗dx

dz−2x

dxdz

=0

x+z dxdz

+ yxdxdz

−2 xdxdz

=0

(z+ yx−2x ) dxdz=−x

dxdz

= −x

z+yx−2x

dxdz

(1 ,−1 ,−3 )= −1

−3+−11

−2∗1=−1

−6=1

6

dxdz

(1 ,−1 ,−3 )=16

OBS: Deriva-se todos os itens sendo que os que possuem uma das variáveis

multiplica-se por dxdz

.

6. Nas funções abaixo ,dwdu

e dwdv

utilizando a regra da cadeia nos

pontos

dados em cada ítem.

a) w=xy+ yz+xz ; x=u−v ;z=uv ; (u , v )=( 12,2)

dwdu

=

dwdx

∗dx

du+

dwdz

∗dz

du=( y+z )∗1+( y+x ) v= y+z+ yv+vx

dwdu

= y+uv+ yv+v (u−v )= y+uv+ yv+vu−v2= y+ yv+2uv−v ²

dwdu

= y+ y∗2+ 2∗12

∗2−22= y+2 y−2∴ dwdu

=3 y−2

dwdv

=

dwdx

∗dx

dv+

dwdz

∗dz

dv=( y+z )∗(−1 )+( y+x )∗u=− y−z+ yu+xu

dwdv

=− y−uv+ yu+(u−v )u=− y−( 12∗2)+ y∗1

2+

(12−2)∗1

2

dwdv

=− y−1+ y2−1

4=−4 y−4+2 y−1

4=−2 y−5

4∴ dw

dv=−2 y−5

4

b) w=ln ( x ²+ y ²+z ² ) ; x=uevsin u ; y=uevcosu ; z=uev ; (u , v )=(−2,0)

dwdu

=

dwdx

∗dx

du+

dwdy

∗dy

du+

dwdz

∗dz

du=

2 x ev (sinu+u cosu)x2+ y2+z2 +

2 y ev (cosu−usen u)x2+ y2+z2 +

2 zev

x2+ y2+z2

dwdu

= 2ev

x2+ y2+z2 [ x (sinu+ucosu)+ y (cosu−u senu)+ z ]

26

dwdu

=2ev [uev sinu (sinu+ucosu)+uev cosu(cosu−usen u)+uev ]

(u evsinu)2+(uev cosu)2+(uev)2

dwdu

=2u e2v [ sin ²u+u sinu cosu+cos ²u−ucosu senu+1 ]

u ² e2v [sin2u+cos2u+1]=

2ue2v [ sin ²u+cos ²u+1 ]u2e2v [sin2u+cos2u+1]

=2u

dwdu

=2u= 2

−2=−1∴ dw

du=−1

dwdv

=

dwdx

∗dx

dv+

dwdy

∗dy

dv+

dwdz

∗dz

dv=

2 xuevsinu

x2+ y2+z2 +2 yu evcosu

x2+ y2+z2 +2 zuev

x2+ y2+z2

dwdv

=2u ev ( x sinu+ ycosu+ z )

x2+ y2+z2 =2uev ¿¿

dwdv

= 2u ² e2v [si n2u+co s2u+1]u ² e2v si n2u+u ² e2v co s2u+u ² e2v=

2u ² e2 v[ sin2u+cos2u+1]u ² e2v [si n2u+cos2u+1]

=2∴ dwdv

=2


1. Seja f ( v ,w , x , y )=2v12 w4 x

12 y

23.Expresse

f v (1 ,−2,4,8 ) ; f w (1 ,−2,4,8 ) ; f x (1 ,−2,4,8 ) ; e f y (1 ,−2,4,8 ).

f v (1 ,−2,4,8 )

dfdv

=2∗1

2¿ v

−12 ∗w4∗√x∗3√ y2=

w4 √ x 3√ y2

√v=

(−2 )4 √43√82

√1=

16∗2∗41

=128

dfdv

(1 ,−2,4,8 )=128

f w (1 ,−2,4,8 )

dfdw

=2v12∗4 w3∗√x∗ 3√ y2=8√v∗¿w3 √x∗ 3√ y2=8√1(−2)3 √4

3√82 ¿

dfdw

=8∗(−8 )∗2∗4=−512∴ dfdw

(1 ,−2,4,8 )=−512

f x (1,−2,4,8 )

dfdx

=2v

12∗w4∗1

2x

−12 ∗

3√ y2=2√v∗¿w4 1

2√ x∗

3√ y2=2√1(−2)4 1

2√43√8

2¿

dfdx

=2∗16∗14

∗4=32∴ dfdx

(1 ,−2,4,8 )=32

f y (1 ,−2,4,8 )

dfdy

=2v

12∗w4∗x

12∗2

3y

−13 =2√v∗w

4 √ x∗2

3 3√ y=2√1(−2)4 √4

2

3 3√8

27

dfdy

=2∗16∗2∗26

=1286

=643

∴ dfdy

(1 ,−2,4,8 )=643

2. Utilize uma forma adequada da regra da cadeia para determinar dzdt

.

a) z=3 x ² y ³ ; x=t 4; y=t ²

dzdt

=

dzdx

∗dx

dt+

dzdy

∗dy

dt=6x y3 4 t 3+6 x23 y22 t=24 x y3t 3+18 x2 y2t

dzdt

=24 t 4 (t2 )3 t 3+18 ( t4 )2 (t 2 )2 t=24 t13+18 t13=42 t13∴ dzdt

=42 t13

b) z=3 cos x−sin (xy ); x=1t; y=3 t

dzdt

=

dzdx

∗dx

dt+

dzdy

∗dy

dt= [3 (−senx )− ycos (xy ) ] −1

t 2 +[−cos ( xy ) x ] 3

dzdt

=3 senx+ y cos ( xy )

t 2−3 xcos (xy )=

3 sen1t+3 t cos ( 1

t3 t)

t 2−3

1t

cos( 1t

3 t)

dzdt

=3 sen

1t+3 t cos3

t 2 −3cos3

t=

3 sen1t+3 t cos3−3 t cos3

t 2 =3 sen

1t

t 2 ∴ dz

dt=

3 sen1t

t 2

c) z=e1−xy ; x=t 1/3; y=t ³

dzdt

=

dzdx

∗dx

dt+

dzdy

∗dy

dt=− y

e1−xy∗t−2 /3

3−3 t 2 x e1− xy

dzdt

=−t−2 /3∗t3∗e1−t 1/3 t3

3−3 t 2t 1/3 e1−t1 /3 t3

=−t−2+9 /3 e1−t1+9/3

3−3 t 6+1 /3 e1−t 1+9/3

dzdt

=−t 7 /3 e1−t 10/3

3−3 t7 /3e1−t10/3

=−t 7 /3 e1−t 10/3

−9t 7 /3 e1−t 10/3

3

dzdt

=−10 t 7 /3 e1−t 10/3

3=

−103√ t 7e1−

3√ t10

3 ∴ dz

dt=

−103√ t 7e1−

3√ t10

3

3. Utilize a forma adequada da regra da cadeia para determinar dzdu

e

dzdv

.

a) z=8 x2 y−2x+3 y , x=uv , y=u−v

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=(16 xy−2 ) v+( 8x2+3 )=16vxy−2v+8 x2+3

28

dzdu

=16 vuv (u−v )−2v+8 (uv )2+3=16u2 v2−16u v3−2v+8u2 v2+3

dzdu

=24u2 v2−16uv3−2v+3

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv= (16 xy−2 )u−8 x2−3=16uxy−2u+8 x2+3

dzdv

=16uuv (u−v )−2u−8 (uv )2−3=16u3 v−16u2 v2−2u−8u2 v2−3

dzdv

=16u3 v−24 u2 v2−2u+3

b) z=x2− y tan x ; x=uv; y=u2 v2

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=(2 x− y sec2 x) 1

v−2uv2 tan x

dzdu

=2u

v2−u2 v sec2 u

v−2uv2 tan

uv

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv= (2x− y sec2 x )( uv2 )−2u2 v tan x

dzdv

=( 2uv

−u2 v2 sec2 uv )( uv2 )−2u2v tan

uv=2u2

v3 −u3 sec2 uv−2u2 v tan

uv

dzdv

=2u2

v3 −u3 sec 2 uv−2u2 v tan

uv

c) z= xy; x=2cosu ; y=3 sin v

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=

−2sinuy

+x∗0

y2 =−2sinu

y ∴

dzdu

=−2 sinu3sin v

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv=

1∗0y

+x∗3 cos v

y2 =3x cos v

y2

∴ dzdv

=3∗2 cosucos v9 sin v sin v

dzdv

=

2cos u3

∗1

sin v∗cos v

sin v=

23

cosu∗csc u∗cot v

dzdv

=23

cosucsc ucot v

29

d) z=cos x sin y ; x=u; y=u2+v2

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=(−sin x sin y ) 1+(cos x cos y ) 2u

dzdu

=−sin x sin y+2ucos x cos y=−sinu sin(u2+v2)+2ucosucos(u2+v2)

dzdu

=−sinu sin(u2+v2)+2ucosucos (u2+v2)

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv= (−sin x sin y )∗0+(cos x cos y ) 2v

dzdv

=2v cos xcos y=2v cosucos (u2+v2) ∴ dzd v

=2v cosucos (u2+v2)

4. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os

quando possível.

a) z=x2+ y2−6 x−2 y+7

f x=2 x−6=0 ∴ 2 x=6 ∴ x=3 f xx=2 f yy=2 f xy=0

f y=2 y−2=0 ∴ 2 y=2 ∴ y=1 Ponto crítico (3,1)

D=f xx∗f yy−( f xy )2=2∗2−02=4∴D=4

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico (3,1) é ponto de mínimo relativo.

b) z=8 x3+2xy−3 x2+ y2+1

f x=24 x2+2 y−6 x=0

f y=2 x+2 y=0

2 x=−2 y∴ x=− y

Substituindo y em f x temos

24 (− y )2+2 y−6(− y )=0

24 y2+2 y+6 y=24 y2+8 y=0

24 y2+8 y=8 y (3 y+1 )=0

8 y=0∴ y=0

3 y+1=0∴ y=−13

Pontos críticos: (0 ;0 )e ( 13;−1

3 )

f xx=48 x−6 f yy=2 f xy=2

Para o ponto crítico (0;0)

30

f xx=48∗0−6=−6 f yy=2 f xy=2

D=f xx∗f yy+ f xy2 =−6∗2+22=−8

Como D<0 então o ponto crítico (0;0) é ponto de sela.

Para o ponto crítico ( 13;−13 ).

f xx=48∗1

3−6=48

3−6

f xx=48−18

3=30

3=10

f yy=2

f xy=2

D=f xx∗f yy+ f xy2 =10∗2+22=24

Como D>0 e f xx=10 então o ponto crítico (0;0) é ponto de mínimo relativo.

c) z=x3+3 x y2−15 x−12 y

f x=3 x2+3 y2−15=0 f xx=6 x f xy=6 y

f y=6 xy−12 f yy=6 x

6 xy−12=0 ∴ 6 xy=12 ∴ xy=2 ∴ x=2y

3 x2+3 y2−15=0

3( 2y )

2

+3 y2−15=0

12

y2+3 y2−15=0

12+3 y4−15 y2=0

Fazendo y ²=t temos:

3 t ²−15 t+12=0

t=15±√ (−15 )2−4∗3∗12

2∗3

t=15±√225−1446

t=15±√816

=15±96

t '=15+96

=4

t ' '=15−96

=1

Como y ²=t substituindo temos:

y '=±2 e y ' '=±1Como x=

2y

substituindo temos:

x '=±1 e x ' '=±2

Pontos Críticos: (-1,-2);(-2,-1); (2,1);(1,2)

→Para o ponto (-1,-2) temos:

D=f xx∗f yy−( f xy )2=6∗(−1 )∗6∗(−1 )−[6∗(−2 ) ]2=36−144=−108

Como D<0 então o ponto crítico (-1;-2) é ponto de sela.

31

→Para o ponto (-2,-1) temos: f xx=6 x=6∗(−2 )=−12

D=f xx∗f yy−( f xy )2=6∗(−2 )∗6∗(−2 )−[6∗(−1 ) ]2=144−36=108

Como D>0 e f xx<0 então o ponto crítico (-1; -2) é ponto de máximo relativo.

→Para o ponto (1,2) temos:

D=f xx∗f yy−( f xy )2=6∗(1 )∗6∗(1 )−[ 6∗2 ]2=36−144=−108


→Para o ponto (2; 1) temos: f xx=6 x=6∗2=12

D=f xx∗f yy−( f xy )2=6∗(2 )∗6∗(2 )−[6∗(1 ) ]2=144−36=108

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico (2; 1) é ponto de mínimo relativo.

d) z=4 x2+3 xy+ y2+12 x+2 y+1

f x=8 x+3 y+12 f xx=8 f xy=3

8 x+3 y+12=0∴ x=−3 y−128

∴ x=

−3207

−12

8=

−60−8478

=−18

7∴ x=

−187

f y=3 x+2 y+2 f yy=2

3 x+2 y+2=0∴3(−3 y−128 )+2 y=−2∴−9 y−36+16 y=−16∴7 y=20∴ y=20

7

Ponto Crítico (−187

;207 )

D=f xx∗f yy−( f xy )2=8∗2−32=7

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico (−187

;207 ) é ponto de mínimo relativo.

e) z= y3

3+xy−9 y−x2

f x= y−2x∴2 x= y∴ x= y2

f xx=−2 f yy=2 y f xy=1

f y= y2+x−9∴ y2+x−9=0∴ y2+ y2−9=0∴2 y2+ y−18=0

y=−1±√1²−4∗2∗(−18)

4=−1±√145

4=−1±√145

4

y '=2,76e y ' '=3,26 x '=1,38e x ' '=1,63

Pontos Críticos (1,38; 2,76) e (-1,63; -3,26).

Para o ponto (1,38; 2,76) temos:

D=f xx∗f yy−f xy2 =−2∗2∗(2,76 )−1=−11,04−1=−12,04

32

Como D<0 então os ponto críticos (1,38; 2,76) são pontos de sela.

Para o ponto (-1,63; -3,26) temos:

D=f xx∗f yy−f xy2 =−2∗2∗(−3,26 )−1=13,04−1=12,04

Como D>0 e f xx=−2 então o ponto crítico (1,38; 2,76) é ponto de máximo

relativo.

f) z=x4−2x2−15+ y2−9

f x=4 x3−4 x f xx=12x2−4 f xy=0

4 x3−4 x=0∴4 x (x2−1 )=0∴4 x=0∴ x '=0

x ²=1∴ x ' '=±1

f y=2 y f yy=2 y=0

D=f xx∗f yy−f xy2 =(12 x2−4 ) 2−0=24 x2−8∴D=24 x2−8

Pontos Críticos (-1;0), (0;0) e (1;0)

→Para o ponto crítico (-1;0) temos:

D=24∗(−1 )2−8=24−8=16∴D=16

f xx=12x2−4=12 (−1 )2−4=12−4=8∴f xx=8

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico (-1;0) é ponto de mínimo relativo.

→Para o ponto crítico (0;0) temos:

D=24∗(0 )2−8=−8∴D=−8


→Para o ponto crítico (1;0) temos:

D=24∗12−8=24−8=16∴D=16

f xx=12x2−4=12 (1 )2−4=12−4=8∴ f xx=8

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico (1;0) é mínimo relativo

g) z=x4+ y5

4+x+ y3

3+15

f x=4 x3+1 f xx=12x2 f xy=0

4 x ³+1=0∴4 x ³=−1∴ x=3√−14

∴ x=−0,63

f y=5 y4

4+ y2=5 y4+4 y f yy=20 y3+4 y

33

5 y4+4 y ²=0∴ y2 (5 y2+4 )=0∴ y ²=0∴ y '=0

5 y ²+4=0∴ y ' '=√−45

∴ y=∄

Ponto crítico (-0,63;0)

Para o ponto crítico (-0,63; 0) então:

D=f xx∗f yy−f xy2 =12 x2∗(20 y3+4 y )−0=12 (−0,63 )2 (20∗03+4∗0 )−0

D=0

Como D=0 então nada se pode afirmar com relação ao ponto crítico (-0,63;0).

h) z=x3+ y3−3 x−12 y+20

f x=3 x ²−3 f xx=6 x f xy=0

f y=3 y ²−12 f yy=6 y

3 x2−3=0 x ²=1 x=±1

3 y ²−12=0 y ²=4 y=±2

Pontos críticos (-1;-2),(-1;2),(1;-2) e (1;2)

Para o ponto (-1;-2) temos:

D=fxx∗fyy−fx y2=6 x∗6 y−02=6∗(−1 )∗6 (−2 )=72

fxx=6 x=−6

Como D>0 e fxx<0 então o ponto (-1;-2) é ponto de máximo relativo

Para o ponto (-1;2) temos:

D=fxx∗fyy−fx y2=6 x∗6 y−02=6∗(−1 )∗6 (2 )=−72

fxx=6 x=−6

Como D<0 então o ponto (-1;2) é ponto de sela.

Para o ponto (1;-2) temos:

D=fxx∗fyy−fx y2=6 x∗6 y−02=6∗(1 )∗6 (−2 )=−72

fxx=6 x=−6

Como D<0 então o ponto (1;-2) é ponto de sela.

Para o ponto (1;2) temos:

D=fxx∗fyy−fx y2=6 x∗6 y−02=6∗(1 )∗6 (2 )=72

fxx=6 x=6

Como D>0 e fxx>0 então o ponto (1;2) é ponto de mínimo relativo.

34

AULA 16/09/2014

EXERCÍCIO AVALIATIVO

1. Dados as funções z=3 x ² y ²+2 y e x=t ²; y=2t+1. Determine dzdt

utilizando a regra da cadeia.

dzdt

=

dzdx

∗dx

dt+

d zdy

∗dy

dt=6 x y2 2t+12 x2 y+4=6 t 2 (2t+1 )22 t+12 t 4 (2t+1 )+4

dzdt

=12t 3 ( 4 t 2+4 t+1 )+24 t 5+12 t4+4=48 t 5+48 t 4+12 t ³+24 t 5+12t 4+4

dzdt

=72t 5+60 t 4+12t ³+4

2. Dada a equação 3 xyz+4 x ² y+5 xz=0, encontre implicitamente dzdx

.

3 xyz+4 x ² y+5 xz=0 ∴ 3 yz+8 xy+5 z+3 xydzdx

+5 xdzdx

=0

(3 xy+5 x) dzdx

=−3 yz−8 xy−5 z ∴ dzdx

=−3 yz−8 xy−5 z3 xy+5x

3. Dadas as funções z=7 x ³ y ²+4 x e x=u ³ v; y=uv ³. Determine dzdu

e dzdv

utilizando a regra da cadeia.

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=(21 x2 y2+4 ) 3u2 v+14 x3 yv ³

dzdu

=63u2 v (u3 v) ²(u v3) ²+12u2 v+14¿

dzdu

=63u10 v9+12u2 v+14u10 v9=77u10v9+12u2 v ∴ dzdu

=77u10 v9+12u2 v

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv= (21x2 y2+4 )u ³+14 x3 y 3uv ²

35

dzdv

=21(u3 v )2(uv ³)2u ³+4u ³+14 (u3 v)3(uv ³)3uv ² ∴ dzdv

=63u11v8+4u ³

4. Se w=6 x1 /2 y z1/3. Determine wx ; wy ; e wz no ponto ( x ; y ; z )=(16 ;3 ;27).

wx=6∗12

∗x−1/2 y z1/3=3 y z1/3

√ x=3∗3∗3√27

√16=3∗3∗3

4=27

4=6,75 ∴ wx=6,75

wy=6 x1 /2 z1 /3=6√x 3√ z=6√16 3√27=6∗4∗3=72 ∴ wy=72

wz=6 x1 /2 y13z−2 /3=2√ x y

3√z ²=2√16∗3

3√27²=2∗4∗3

9=24

9=2,67 ∴ wz=2,67

REVISÃO DA 1ª AVALIAÇÃO

1. Calcule dzdu

e dzdv

da função z=x ²− y sec x, x=uv

e y=u ² v ².

dzdu

=

dzdx

∗dx

du+

dzdy

∗dy

du=(2x− y sec x tan x ) 1

v+ (−sec x )2uv ²

dzdu

=2uv ²

−u ² v secuv

tanuv−2uv ² sec

uv

dzdv

=

dzdx

∗dx

dv+

dzdy

∗dy

dv= (2x− y sec x tan x ) −u

v2 +(−sec x ) 2u ² v ²

dzdv

=( 2uv

−u ² v ² secuv

tanuv )−u

v2+(−sec

uv )2u ² v ²

dzdv

=−2u ²v ³

+u ³ secuv

tanuv−2u ² v ² sec

uv

2. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os

quando possível:

a) z=x ³+3 xy ²−10x−16 y

f x=3 x ²+3 y ²−10 f xx=6 x f xy=6 y

f y=6 xy−16 f yy=6 x

→6 xy−16=0 ∴ 6 xy=16 ∴ x=8

3 y

→3 x ²+3 y ²−10=0 ∴ 3∗( 83 y )

2

+3 y2=10 ∴ 3∗649 y ²

+3 y2=10 ∴ ∴ 64

3 y2+3 y2=10∴64+9 y4=30 y2∴9 y 4−30 y2+64=0

36

9 y4−30 y2+64=0 Fazendo y ²=t temos:

9 t ²−30 t+64=0

t=30±√ (−30 )2−4∗9∗64

18=30±√900−2304

18=30±√−1404

18=∄

R→Como não se pode encontrar o ponto crítico então nada se pode afirmar.

b) z=4 x ²+3 xy+ y ²+8 x+12 y+1

f x=8 x+3 y+8 f xx=8 f xy=3

f y=3 x+2 y+12 f yy=2

8 x+3 y+8=0∴ x=−3 y−88

3 x+2 y+8=0∴3 (−3 y−88 )+2 y+12=0∴−9 y−24+16 y+96=0

7 y=−72∴ y=−727

x=−3(−72

7 )−8

8=

2167

−567

8=

16078

=16056

=207

Ponto crítico ( 207;−72

7 )Para o Ponto crítico ( 20

7;−72

7 ) temos:

D=8∗2−32=7

Como D>0 e f xx>0 então o ponto crítico ( 207;−72

7 ) é ponto de máximo relativo.

3. Determine dzdx

e dzdy

nos ítens abaixo:

a) z=√1−x3− y ³

dzdx

=12

(1−x3− y3 )−12 ∗(−3 x2)= −3 x ²

2√1−x3− y3 ∴

dzdx

= −3 x ²

2√1−x3− y3

dzdy

=12

(1−x3− y3 )−12 ∗(−3 y2)= −3 y ²

2√1−x3− y3 ∴

dzdy

= −3 y ²

2√1−x3− y3

b) z=cos (x2− y2 )dzdx

=−sin (x2− y2 )∗2x=−2 x sin ( x2− y2 )∴ dzdx

=−2x sin (x2− y2 )

dzdy

=−sin (x2− y2 )∗(−2 y )=2 y sin (x2− y2 )∴ dzdy

=2 y sin (x2− y2 )

37

4. Calcule a derivada f xy e f yx da função contínua f ( x ; y )=x y+ y x e

comprove o teorema de Clairaut.

f x= y x y−1+ yx ln y

f xy=1∗x y−1+ y∗x y−1∗ln x+x yx−1∗ln y+ y x∗1y

f xy=x y−1+ y x y−1 ln x+x yx−1 ln y+ y x

y

f xy=x y−1+ y x y−1 ln x+x yx−1 ln y+ y x−1

f xy=x y−1(1+ y ln x )+ yx−1(x ln y+1)

f y=x y ln x+x yx−1

f yx= y x y−1∗ln x+ x y∗1x

+1∗yx−1+x∗y x−1∗ln y

f yx= y x y−1 ln x+ x y

x+ y x−1+x yx−1 ln y

f yx=x y−1( y ln x+1)+ y x−1(1+x ln y )

5. Expresse implicitamente o valor dxdz

no ponto (1 ;−1 ;−3) se a

equação xz+ y ln x−x2+4=0 define x como uma função de duas

variáveis independentes y e z e se a derivada parcial existe.

x+z∗dxdz

+

yx∗dx

dz−2x

dxdz

=0 ∴ z∗dx

dz+

yx∗dx

dz−2 x

dxdz

=−x

(z+ yx−2x ) dxdz=−x ∴

dxdz

= −x

z+yx−2x

= −xzx+ y−2x ²

x

= −x ²zx+ y−2x ²

=−1−6

=16

OU

dxdz

=

−dfdzdfdx

=−x

z+yx−2x

=−x

zx+ y−2 x ²x

=−x ²

zx+ y−2 x ²=

−(12)−3∗1+(−1)−2(1) ²

=−1

−3−1−2=

−1−6

=16

dxdz

=16

AULA DIA 19/09/14

INTEGRAÇÃO DUPLA

Com excessão dos casos mais simples é impraticável obter o valor de

uma integral pelo limite. Entretanto vamos mostrar agora como calcular

38

integrais duplas através do cálculo de duas integrais simples sucessivas.

As derivadas parciais de uma função f (x ; y ) são calculadas mantendo-

se uma das variáveis fixa e derivando em relação a outra variável.

Consideremos o processo inverso, na integração parcial . Simbolicamente

teremos:

∫a

b

f ( x ; y )dx; Integral parcial de x.

∫a

b

f ( x ; y )dy; Integral parcial de y.

Estas integrais também podem ser chamadas de integração iterada

(repetida) e usualmente denotamos:

∫c

d

∫a

b

f ( x ; y )dx d y

OBS_1: Integrando primeiro com relação a x e depois com relação a y.

∫a

b

∫c

d

f ( x ; y )d y dx

OBS_2: Integrando primeiro com relação a y e depois com relação a x.

Exemplo: ∫1

3

∫2

4

( 40−2 xy )d y dx

∫1

3

∫2

4

( 40−2 xy )d y dx=∫1

3

( 40 y−xy ² )24dx

∫1

3

¿¿

∫1

3

80−12 xdx=[80 x−6 x2]13=(80∗3−6∗32 )−(80∗1−6∗12 )

¿ (240−54 )−(80−6 )=186−74=112

Resposta →∫1

3

∫2

4

( 40−2 xy )d y dx=112

Agora vamos inverter os intervalos:

∫2

4

∫1

3

( 40−2 xy )dx d y

∫2

4

40 x−x ² y ¿13d y=∫

1

3

( 40∗3− y∗3² )−(40∗1− y∗12)d y

39

∫2

4

(120−9 y )−(40− y )d y=∫2

4

80−8 yd y=80 y−4 y ² ¿24

(80∗4−4∗42 )−( 80∗2−4∗22)=320−64−160+16=112

Resposta →∫2

4

∫1

3

( 40−2 xy )dx d y=112

Essa é a consequência do teorema de Alexis Clairaut para funções

contínuas.

Ex.: Calcule as integrais parciais da função f ( x ; y )=3 xy ²+4 x ,−1≤ x≤2 e

1≤ y ≤3 e comprove a consequência do teorema de Clairaut.

∫1

3

∫−1

2

3x y2+4 x dx d y

∫1

3

[ 3 x2 y2

2+2x2]

−1

2

dy=∫1

3

( 3∗2² y ²2

+2∗2²)−( 3(−1) ² y ²2

+2∗(−1) ²)dy

∫1

3

(6 y ²+8 )−( 3 y ²2

+2)dy=∫1

312 y ²−3 y2+16−4

2dy=∫

1

39 y ²+12

2dy

32∫1

3

3 y ²+4 dy=32 [ 3 y3

3+4 y ]

1

3

=32 [( 3¿33

3+4∗3)−( 3∗13

3+4∗1)]

32

[ (27+12 )−(1+4 ) ]=32

[ 39−5 ]=32∗34=51

∫−1

2

∫1

3

3 x y2+4 xdydx

∫−1

2

∫1

3

3 x y2+4 xdydx=∫−1

2

[ xy ³+4 xy ]13dx=∫

−1

2

[ (27 x+12x )−(x+4 x)] dx

∫−1

2

34 xdx= [17 x2 ]−1

2= [17∗2²−17∗1² ]−1

2=68−17=51

Considere o sólido “S” limitado acima pela superfície z=40−2 xy e

abaixo pelo retângulo definido por 1≤x ≤3 e 2≤x ≤4. Pelo método de fatiamento

do volume “S” é dado por v=∫1

3

∆ ( x )dx onde ∆ (x) é a área da seção transversal

vertical de “S” tomada perpendicularmente ao eixo x.

Para um valor fixado de x com 1≤x ≤3; z=40−2 xy é uma função de y,

portanto a integral: A ( x )=40−2 xydy representa a área sob o gráfico dessa

função de y, assim:

40

Propriedades das Integrais Duplas

As integrais duplas da mesma forma que as simples são definidas como

limites. Elas herdam muitas das propriedades dos limites.

1−∫R

.

∫C∗f ( x ; y )dA=¿C∗∫R

.

∫ f ( x ; y )dA ¿ ( C é constante)

2−∫R

.

∫ [ f ( x ; y )+g(x ; y) ]dA=¿∫R

.

∫ f (x ; y )dA+∫R

.

∫ g ( x ; y )dA ¿

3−∫R

.

∫ [ f ( x ; y )−g ( x ; y ) ] dA=¿∫R

.

∫ f ( x ; y )dA−∫R

.

∫ g ( x ; y )dA ¿

É intuitivamente evidente que se f (x ; y ) for não negativa na região R,

então subdividindo R em duas regiões R1 e R2 traz como efeito a subdivisão

do sólido entre R e z=f (x ; y) em dois sólidos e a soma dos volumes destes

sólidos é igual ao volume do sólido inteiro.

Integrais Duplas em Regiões Não Retangulares

As integrais duplas em regiões não retangulares podem ser calculados

como integrais iteradas dos seguintes tipos:

I−∫a

b

∫g1 ( x )

g2 ( x )

f ( x ; y )dydx

II−∫c

d

∫h1 ( y )

h2 ( y )

f ( x ; y )dxdy

Vamos ilustrar por meio de exemplos:

a) ∫0

1

∫−x

x2

y2 xdydx

A ( x )=80−12x

z=40−2 xy

421

3

41

∫0

1

[ y ³3

x ]− x

x ²

dx=∫0

1 [( (x2 )3

3x)−(−x3

3x)]dx=1

3∫

0

1

x7+x4dx=13 [ x8

8+ x5

5 ]0

1

13 [(18

8+ 15

5 )−( 08

8+ 05

5 )]=13 [( 1

8+ 1

5 )]=13 ( 5+8

40 )= 13120

u . v .

∫0

1

∫−x

x2

y2 xdydx= 13120

u .v .

a) ∫0

π /3

∫0

cos y

xsenydxdy

∫0

π /3

[ x ²2

sin y ]0

cos y

dy=∫0

π /3

[( cos ² y2

sin y )−0²2

sin y ]dy=12∫

0

π /3

cos² y sin y dy

Por substituição fica:

u=cos y du=−sin y dy −du=sin y dy

12 ∫

0

π /3

cos ² y sin y dy=12 ∫

0

π /3

u ²−du=−12 [ u3

3 ]0

π /3

=−16

[ cos ³ y ]0π /3

¿−16

[ cos ³ y ]0π /3=−1

6 [cos3 π3−cos3 0]=−1

6 [cos3 π3−cos3 0]

−16 [(1

2 )3

−13]=−16 [ 1

8−1]=−1

6 [ 1−88 ]=

−16

∗−7

8=

748

u . v

∫0

π /3

∫0

cos y

xsenydxdy= 748

u . v

Uma região do tipo I é limitada à esquerda e a direita por retas verticais

x=a e x=b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=g1( x) e

y=g2( x), onde y=g1( x)≤ y=g2(x) para a≤ x≤b.

42

Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y=c

e y=d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x=h1( y) e

x=h2( y), que satisfazem h1( y )≤h2( y) para c ≤ y ≤d.

Ex.: Calcule ∫R

.

∫ xy dA, na região limitada pelas curvas y=x2

, y=√x, x=2 e x=4

.

∫2

4

∫x/2

√x

xydydx=¿∫2

4 [ x y2

2 ]x/2

√x

dx=¿ 12∫2

4

x (√x )2−x ( x2 )2

dx=¿ 12∫

2

4

x ²− x ³4dx ¿¿¿

y=g2( x)

y=g2( x)

x=h1( y) x=h2( y)

43

12∫

2

4

x ²− x ³4dx=1

2 [ x3

3− x 4

16 ]2

4

=12 [ 16 x3−3 x4

48 ]2

4

=12 [( 16∗43−3∗44

48 )−( 16∗23−3∗24

48 )] 12 [(1024−768

48 )−( 128−4848 )]=1

2 [( 25648 )−( 80

48 )]=8848

=116u . v

A Integral Dupla e o Volume

No caso em que f (x ; y ) é não negativa na região “R”, a integral dupla

pode ser interpretada como o volume do sólido “S” que é limitado acima pela

superfície z=f (x ; y) e abaixo pela região “R”, de modo que é suficiente

mostrar que a integral iterada representa esse volume. Considere, por

exemplo, a integral iterada :

∫R

.

∫ f ( x ; y )dA=∫a

b

∫g1 (x)

g2 (x)

f (x ; y )dydx (1)

Para um valor fixo de x, a função f (x ; y ) é uma função de y e, então, a

integral:

A ( x )= ∫g1 ( x )

g2 ( x )

f ( x ; y )dy

Que mostra a integral iterada (1) como uma área:

EX.:

∫0

π /3

∫0

cos y

x sin y dxdy

∫0

π /3

[ x ²2

sin y ]0

cos y

dy=∫0

π /3cos ² y

2sin y dy=1

2∫0

π /3

cos ² y sin ydy

u=cosy ∴ du=−sen y dy∴−du=sen y dy

−12

∫0

π /3

u2du=−12 [ u ³

3 ]0

π /3

=−12 [ cos ³ y

3 ]0

π /3

=−12 [ cos³

π3

3− cos ³ 0

3 ] −12 [ 1−8

24 ]= 748

u . v .

Área calculada como uma Integral dupla

Apesar das integrais duplas terem surgido no contexto do cálculo de

volumes elas também podem ser usadas para calcular áreas. Para isso,

lembre-se que um cilindro reto é um sólido gerado quando uma região do plano

é transladada ao longo de uma reta perpendicular à região. Assim o volume “V

44

” de um cilindro reto com área da seção transversal “A” e a altura “h” e “

V=A∗h”.

Agora suponha que estejamos interessados em calcular a área de uma

região “R” do plano xy.

Se transladarmos a região “R” uma unidade para cima, então, o sólido

resultante será um cilindro reto que tem área da seção transversal “A”, base “

R” e o plano z=1 como topo. Desse modo segue-se que ∫R

.

∫1dA=(áreade R )∗1

, o que pode ser escrita como:

A (R )=∫R

.

∫1dA=∫R

.

∫dA

Ex.: Use uma integral dupla para calcular a área da região R2 compreendida

pela parábola y= x2

2 e a reta y=2x.

y= y ∴ x2

2=2 x ∴ x ²=4 x ∴ x ²−4 x=0∴ x ( x−4 )=0 ∴ x '=0 e x ' '=4

∫0

4

∫x2/2

2 x

dydx=∫0

4

[ y ]x2 /22x

dx=∫0

4

2 x− x ²2dx=( x ²− x ³

6 )0

4

∫0

4

2 x− x ²2dx=(x ²− x ³

6 )0

4

=4²−43

6=96−64

6=32

6=16

3u .a

4

8

2xx2

2

0

45

INTEGRAL TRIPLA

Definição: Nosso primeiro objetivo é identificar qual o significado da integral tripla de f (x ; y ; z) numa região sólida fechada G de um sistema de coordenadas xyz. Para assegurar que G não se estenda indefinidamente em alguma direção, vamos supor que ela possa ser “envolvida” por uma caixa apropriadamente grande, cujos lados sejam paralelos aos planos coordenados. Nesse caso dizemos G é um sólido finito.

Para definir a integral tripla de f (x ; y ; z) em G, primeiro dividimos a caixa

em n subcaixas por meio de planos paralelos aos planos coordenados . Depois

descartamos as subcaixas que contenham quaisquer pontos fora de G e

escolhemos um ponto arbitrário em cada uma das subcaixas restantes.

Denotamos o volume da K-ésima subcaixa restante por ∆V k e o ponto

selecionado na K-ésima subcaixa por P(xk¿ ; yk

¿ ; zk¿ ) e em seguida formamos o

produto f (xk¿ ; y k

¿ ; zk¿ )∆V R.

Para cada subcaixa depois somamos os produtos para todos as

subcaixas para obter a soma Riemann.

∑k=1

n

f (xk¿ ; yk¿ ; zk¿ )∗∆V k

Finalmente , chegamos ao resultado para o comprimento, a largura e a

altura de cada subcaixa.

∫∫G

.

∫ f (x ; y ; z )dv=lim∆ v k

∑k=1

n

f (xk¿ ; yk

¿ ; zk¿ )∆vk

Quem é denotado com a integral tripla de f (x ; y ; z) na região G.

y

z

x

46

Teorema: seja “G” a caixa retangular definida pelas desigualdades: a≤ x≤b;

c ≤ y ≤d e k ≤ z≤ l.

Se for contínua na região G então:

∫∫G

.

∫ f (x ; y ; z )dv=¿∫a

b

∫c

d

∫k

l

f ( x ; y ; z )dzdydx ¿

Além disso a integral iterada do membro pode ser substituída por

qualquer uma das outras cinco integrais iteradas resultantes da alteração da

ordem de integração.

Ex.: Calcule a integral tripla ∭12 xy ² z ³ dv na caixa retangular G definida

−1≤x ≤2; 0≤ y≤3; 0≤ z≤2.

∫−1

2

∫0

3

∫0

2

12xy ² z ³dzdydx

∫−1

2

∫0

3

∫0

2

12xy ² z ³dzdydx=∫−1

2

∫0

3

(12 xy ²z4

4 )0

2

dydx=∫−1

2

∫0

3

48xy ²dydx

∫−1

2

∫0

3

48 xy ²dydx=∫−1

2

( 48 xy ³3 )

0

3

dx=∫−1

2

( 48 x273 )

0

3

dx=∫−1

2

432xdx

∫−1

2

432 xdx=[ 216 x ² ]−12

=864−216=648u . v .

Aula 07/10/2014

Propriedades das Integrais Triplas

As integrais triplas conservam muitas das propriedades das integrais

simples e duplas:

I .∫∫G

.

∫cf ( x ; y ; z )dv=¿c∫∫G

.

∫ f ( x ; y ; z )dv¿

(c é uma constante)

II .∫∫G

.

∫ [ f ( x ; y ; z )¿¿¿+g ( x ; y ; z )] dv=∫∫G

.

∫ g (x ; y ;z )dv+∫∫G

.

∫ g ( x ; y ; z )dv ¿¿¿

III .∫∫G

.

∫ g ( x ; y ; z )dv−∫∫G

.

∫ g ( x ; y ; z )dv=∫∫G

.

∫ [ f ( x ; y ; z )¿¿¿−g ( x ; y ; z )]dv ¿¿¿

47

Além disso se G for subdividido em duas sub-regiões G1 e G2, então:

∫∫G

.

∫ f (x ; y ; z )dv=∫∫G1

.

∫ f ( x ; y ; z )dv+∫∫G2

.

∫ f ( x ; y ; z )dv

Cálculo de Integrais Triplas em Regiões mais Gerais

Consideramos, a seguir, como calcular integrais triplas em sólidos que

não são caixas retangulares. Por enquanto vamos analisar sólidos do tipo

mostrado na figura abaixo. Especificamente supomos que o sólido G seja

limitado acima por uma superfície z=g2(x ; y) e abaixo por uma z=g1(x ; y) e

que a projeção do sólido no plano xy seja uma região R do tipo I ou do tipo II.

Adicionalmente vamos supor que g1(x ; y) e g2(x ; y) sejam contínuas em R e

que g1(x ; y)≤g2(x ; y ) em R. Geometricamente, isso significa que as superfícies

podem se tocar, mas não podem se interceptar. Chamamos um sólido desse

tipo de sólido simples em xy.

Teorema: Seja G um sólido simples em xy com superfície superior Z=g2(x ; y )

e superfície inferior z=g1(x ; y) e seja R a projeção de G no plano xy. Se

f (x ; y ; z) for contínua em G, então:

∫∫G

.

∫ f (x ; y ; z )dv=∫∫R

. [ ∫g1 (x ; y)

g2 (x ; y)

f (x ; y ;z )dz ]daEx.: Calcule

a) ∫0

1

∫0

y

∫0

√1− y ²

zdzdxdy

∫0

1

∫0

y [ z2

2 ]0

√1− y ²

dxdy=∫0

1

∫0

y (√1− y ² )2

2dxdy=∫

0

1

∫0

y1− y ²

2dxdy=∫

0

112∫0

y

1− y ²dxdy

z

x

y

z=g1(x ; y)

z=g2(x ; y)

G

48

∫0

112

[ x−xy ² ]0ydy=¿∫

0

1y− y ³

2dy=¿

12∫0

1

y− y ³dy=¿12 [ y ²

2−

y4

4 ]0

1

=12 [ 2−1

4 ]=18u . v .¿¿¿

b) ∫1

2

∫x

x²

∫0

y ²

z3dzdydx

∫1

2

∫0

z

[ z4

4 ]0

y ²

dydx=∫1

2

∫x

x²y8

4dydx=∫

1

2

[ y 9

36 ]x

x ²

dx=∫1

2 [ ( x ² )9

36−

x9

36 ]dx=∫1

2

[ x18−x9

36 ]dx=[ x19

19∗36−

x10

10∗36 ]1

2

=( 219

2∗2∗3∗3∗19−

210

2∗2∗2∗3∗3∗5 )−( 1684

−1

360 )=( 10∗5242886840

−19∗1024

6840 )−( 10−196840 )=(5242880−19456

6840 )+ 106840

=5223434

6840=763,66u . v .

c) ∫0

3

∫0

z

∫0

y

xdxdydz

∫0

3

∫0

z

[ x ²2 ]

0

y

dydz=∫0

3

∫0

zy ²2dydz=∫

0

3

[ y3

6 ]0

z

dz=∫0

3z3

6dz=∫

0

3z3

6dz=[ z4

24 ]0

3

[ z4

24 ]0

3

=34

24=

8124

=3,375u . v .


1. Calcule as integrais iteradas:

a) ∫−1

1

∫0

2

∫0

1

( x ³+ y ³+z ³ )dxdydz

∫−1

1

∫0

2

[ x4

4+x y3+x z3]

0

1

dydz=¿∫−1

1

∫0

2

[ 14+ y3+z3]dydz ¿

∫−1

1

∫0

2

[ 14+ y ³+z ³]dydz=∫

−1

1

[ y4 +y4

4+ yz ³]

0

2

dz=∫−1

1

[ 12+4+2 z ³]dz=¿

∫−1

1

[ 92+2 z ³ ]dz=[ 9 z

2+z4

2 ]−1

1

=( 92+

12 )−(−9

2+

12 )=10

2+

82=9u . v .

b) ∫1 /3

1 /2

∫0

π

∫0

1

zx sin xydzdydx

∫1 /3

1 /2

∫0

π

[ z2

2x sin xy ]

0

1

dydx=12∫1 /3

1 /2

∫0

π

x sin xy dydx=12∫1/3

1/2

∫0

π

x sin xy dydx

u=xy∴du=xdy

12∫1/3

1/2

∫0

π

sinududx=12∫1/3

1 /2

[−cosu ]0πdx=1

2∫1 /3

1 /2

[−cos xy ]0πdx

12∫1/3

1/2

[−cos xπ+cos0 ]0πdx=1

2∫1/3

1/2

1−cos xπ dx=12∫1/3

1/2

1−¿=¿¿

u=πx∴du=πdx∴ duπ

=dx

49

12∫1/3

1/2

1−cos uduπ

=12∫1 /3

1 /2

dx− 12π

∫1 /3

1 /2

cos udu=12

[ x ]1/31/2

− 12π

[ sinu ]1 /31 /2

12 [ 1

2−1

3 ]− 12 π

[ sin πx ]1 /31 /2

=12 [ 3−2

6 ]− 12π [sin

π2−sin

π3 ]=( 1

12− 1

2 π+ √3

4π )u . v . c) ∫

0

2

∫−1

y ²

∫−1

z

yzdxdzdy

∫0

2

∫−1

y ²

[xyz ]−1zdzdy=¿∫

0

2

∫−1

y ²

[ yz ²+ yz ]dzdy=¿∫0

2

[ yz ³3

+ yz ²2 ]

−1

y ²

dy ¿¿

∫0

2 [( y7

3+ y5

2 )−(− y3

+ y2 )] dy=∫

0

2 [( y7

3+ y5

2 )−(−2 y+3 y6 )]dy

∫0

2

[ y7

3+y5

2−

y6 ]dy=[ y8

24+y6

12−

y6 ]

0

2

=32+16−1

3=

473u . v

d) ∫0

3

∫0

√9− z2

∫0

x

xydydxdz

∫0

3

∫0

√9− z2

[ xy ²2 ]

0

x

dxdz=∫0

3

∫0

√9− z2

x ³2dxdz=∫

0

3 [ x4

8 ]0

√9−z 2

dz=¿ 18∫

0

3

81−18 z+z4dz¿

18∫0

3

81−18 z+z4dz=18 [81 z−18

z ²2

+z5

5 ]0

3

=18 [ 243−405+1215

5 ]0

3

=26,325u . v .

50

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CÁLCULO III