Calculo N..[1]

Universidade Anhanguera-UNIDERP

2011/1

Cálculo Numérico Notas de Aulas Teóricas

Profa. Ma. Cristian Mara Mazzini Medeiros Patrício

Graduação: Curso Superior de Tecnologia Elétrica – Modalidade

Telecomunicações / Centro de Ensino Superior Prof. Plínio Mendes dos Santos – CESUP, Campo Grande, MS/1994.

Graduação: Engenharia Elétrica / Universidade para o Desenvolvimento do Estado e da Região do Pantanal – UNIDERP, Campo Grande, MS/2003.

Mestrado: Engenharia Elétrica / Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

– UFMS, Campo Grande, MS/2005.

Profa. Ma. Cristian Mara Mazzini Medeiros Patrício [email protected]

2 Calculo Numérico – 2011/1

Este material tem por finalidade orientar os acadêmicos dos cursos de Engenharia e Matemática da Universidade Anhanguera – UNIDERP – no que diz respeito ao estudo de Calculo Numérico Computacional. Não pretende substituir a literatura disponível nas bibliotecas e livrarias, ao contrário, pretende apresentar aos acadêmicos em formação, textos produzidos por autores consagrados nesta área de trabalho através de citações e exercícios. Pretende, também, servir como guia na busca de bibliografia disponível nesta Universidade para complementação do conteúdo trabalhado em sala de aula.



INTRODUÇÃO AO CÁLCULO COMPUTACIONAL

1. Cálculo Numérico Computacional

Dentre as inúmeras aplicações do computador destaca-se a mais antiga delas: o cálculo numérico para fins técnicos e científicos.

O objetivo de um método numérico é produzir respostas numéricas a problemas matemáticos. Os métodos numéricos foram desenvolvidos para facilitar a vida daqueles que não são puramente matemáticos, porém tem necessidade de realizar cálculos com muita freqüência. É o caso dos engenheiros que, que nem sempre precisam de valores exatos, mas de valores com uma precisão aceitável.

É importante ter-se em mente que o cálculo numérico apresenta resultados aproximados, devendo-se estabelecer tolerâncias aceitáveis de erros que não comprometam a finalidade dos cálculos.

2. Cálculo Numérico e a Matemática

A matemática computacional pode ser definida como sendo o estudo da matemática sob o ponto de vista computacional, ou ainda, como sendo o ramo da matemática que estuda algoritmos suscetíveis de implementação em máquinas digitais. Ela trata, portanto, da resolução algorítmica de problemas, utilizando o computador.

3. Algoritmos Numéricos

Algoritmo é uma seqüência ordenada e sem ambigüidade, de passos e de operações, estabelecida de modo formal, com o objetivo de resolver um determinado problema ou vários problemas de um mesmo tipo. Se o problema a ser resolvido envolve cálculos e dados numéricos, o algoritmo é dito numérico.

As principais características de um algoritmo numérico são:

� Deve ser logicamente correto; � Deve ser independente de linguagem de

programação e de equipamento; � Deve ser implementado em qualquer

linguagem e em qualquer tipo de máquina; � Deve conter uma quantidade finita de cálculos

(critério de parada bem definidos); � Deve conter critério de exatidão (resultados

tão próximos do exato que for necessário para satisfazer ao fim a que se destina);

� Deve ser eficaz, ou seja, não conter erros e produzir resultados confiáveis;

� Deve ser eficiente, isto é, apresentar rapidez de execução e economia de memória;

� Deve ser bem documentado (comentários) para facilitar entendimento para fins de manutenção.

4. Exemplo de Algoritmos

4.1. Soma e média aritmética de N valores

Fazer um algoritmo para estabelecer a soma e a média aritmética de N valores

Algoritmo SOMA_MEDIA

Início Ler N

SOMA ← 0

MEDIA ← 0

Para I de 1 até N executar

Ler VALOR

SOMA ← SOMA + VALOR

Fim (Para)

MEDIA ← SOMA / N

Escrever “Soma =”; SOMA

Escrever “Média =”; MEDIA

Fim

4.2. Seleção da Pessoa ideal

Fazer um algoritmo que leia o nome, sexo, altura e peso de uma pessoa e escreva o nome que foi lido se a pessoa for do sexo feminino, com mais de 70 kg e no mínimo 1,75 cm de altura

Algoritmo PESSOA_IDEAL

Início Ler NOME, SEXO, ALTURA, PESO

Se SEXO = “feminino” e PESO > 70 e ALTURA ≥ 1,75 então

Escrever “Nome =”; NOME

Fim (Se)

Fim

5. Resolução de Problemas Numéricos

Para resolvermos um problema numérico, do mais



simples ao mais complexo possível, devemos passar pelas seguintes fazes:

� Análise do problema, que visa definir a precisão dos resultados e dos dados a serem coletados ou de medições a serem realizadas, com base na análise de todos os fatores que possam de alguma forma, influenciar o resultado final;

� Modelagem matemática da solução, que visa definir os parâmetros e as equações que melhor representam o fenômeno tratado pelo problema e, os métodos de resolução numérica adequados ao caso;

� Desenvolvimento dos algoritmos numéricos referentes ao modelo de solução concebido;

� Implantação do algoritmo em uma linguagem

de programação adequada; � Execução de testes e análise dos resultados e

dos erros ocorridos; � Em caso de necessidade, retornar a qualquer

fase anterior até que se obtenha resultados considerados satisfatórios pelos critérios adotados;

� Otimização da solução, se possível, e documentação de todo o processo;

� Solução do problema.

Resumidamente, as fases para resolução de problemas numéricos podem ser estruturadas conforme a Figura 1.

Figura 1 – Fases para resolução de problemas numéricos

6. Programação Básica

A partir de agora veremos um conjunto de regras e convenções para o desenvolvimento de algoritmos. Utilizaremos de uma pseudo-linguagem que possui recursos básicos disponíveis em quaisquer linguagens de programação científica.

6.1. Descrição da Pseudo-Linguagem

a. Inicialização e finalização de uma seqüência de comandos:

Início

< seqüência de comandos >

Fim

b. Constantes: Valores que não se modificam ao longo da execução do algoritmo. Uma constante pode ser um valor numérico, lógico ou literal. Exemplo: x = 8,32∙102

c. Variáveis: Uma variável na matemática é a representação simbólica dos elementos de um conjunto. Nos algoritmos, cada variável corresponde a uma posição da memória e o seu conteúdo pode variar durante a execução do algoritmo. As variáveis são identificadas por um

Problema real Levantamento de dados

Construção do modelo

Escolha do método numérico adequado

Implementação computacional do método escolhido

Análise dos resultados obtidos

Se necessário: reformular o modelo

ou esclher novo método numérico



nome composto por um ou mais caracteres, sendo que o primeiro deve ser, obrigatoriamente, uma letra. Não são permitidos símbolos especiais com exceção do sublinhado (_). Exemplos: A, X5, TOT_NOTA, A32B.

d. Atribuição de valores ä variáveis e constantes: < Nome> ← < valor ou expressão >

Exemplos: DELTA ← 3,45

GAMA ← DELTA + 3

e. Operadores aritméticos: operações básicas: Soma ( + ) Subtração ( - ) Multiplicação ( * ) Divisão ( / ) Potencia ( ^n ) ou ( ( )n ) Exemplos: se X = 5 e Y = 2 X + Y = 7 X – Y = 3 X * Y = 10 X / Y = 2,5 X ^Y = 25

f. Expressão lógica: Alguma ação durante a execução do algoritmo pode estar sujeito a uma condição. Esta condição é representada por uma expressão lógica. Os operadores são lógicos e os operandos são relações do tipo lógica.

� Operadores relacionados: são utilizados em expressões lógicas simples. = (igual a ) ≠ (diferente de) > (maior que) < (menor que) >= (maior ou igual a ) <= (menor ou igual a) O resultado é sempre um valor lógico (falso ou verdadeiro)

� Operadores lógicos: são utilizados para formar expressões lógicas compostas: e (ambas as proposições são verdadeiras) ou (pelo menos um das proposições são verdadeiras)

Exemplos: TESTE > 1 ou X*Y < 1.

g. Entrada de dados: Este comando é utilizado para introduzir valores dos dados conhecidos no algoritmo atribuindo-os às variáveis especificadas na lista de variáveis. Os dados são introduzidos

através de dispositivos de entrada (exemplo: teclado). O comando tem a seguinte sintaxe: Ler < lista de variáveis > Exemplos: Ler NOME, SEXO, ALTURA, PESO

h. Saída de resultados: Comando utilizado para fornecer os resultados calculados e armazenados nas variáveis especificadas na lista de variáveis, através de um dispositivo de saída. Sua sintaxe é: Escrever < lista de variáveis >

Exemplos: Escrever < “texto”> Escrever X1, X2 Escrever “Solução Impossível”

i. Estrutura condicional: Estrutura utilizada para definir um caminho a ser seguido, conforme o valor de uma expressão lógica (condição). A sintaxe será:

Se < condição > então

< seqüência de comandos 1 >

Senão

< seqüência de comandos 2 >

Fim (Se)

Exemplos: se X = 5 e Y = 2

Se X >= Y então

Escrever X

Senão

Escrever Y

Fim (Se)

Esta estrutura fará com que seja escrito X (X=5)

j. Estrutura de repetição: A estrutura de repetição permite que um bloco de comando seja executado repetidamente até que uma determinada condição de parada seja satisfeita, finalizando a estrutura de repetição. Estrutura de repetição ENQUANTO Sintaxe: Enquanto < condição > executar


< comandos que modificam a condição >

Fim (Enquanto) Estrutura de repetição PARA Sintaxe: Para < variável > inicio até fim faça


Fim (Para)



k. Subprogramas: Subprogramas são algoritmos que podem ser executados através de comandos de outros algoritmos, chamados de Principais. São conhecidos também como subrotinas. As subrotinas podem estar localizadas em qualquer ponto do algoritmo, ou até mesmo fora dele. Sua sintaxe é:

Rotina < nome > [ ( < lista de parâmetros >

Início < seqüência de comandos >

retornar

Fim

O acionamento (chamada) da rotina no algoritmo principal é feito através do seguinte comando: Executar < nome da rotina > [ ( ,argumento > ) ] Pode-se ter ainda função estruturada que possui um escopo parecido com o da rotina:

Função < nome > [ ( < lista de parâmetros >

Início < seqüência de comandos >

< nome > ← < expressão >

retornar

Fim

l. Comentários: São utilizados para esclarecimentos, identificação de variáveis, de rotinas ou de partes importantes do algoritmo, e são ignorados durante a execução do mesmo. Sua sintaxe é: // < comentários > //

7. Exercícios

7.1. Fazer um algoritmo de armazenamento de uma matriz em um vetor linha.

7.2. Fazer um algoritmo para calcular o fatorial ��! � � � �� 1� � �� 2� �� 2 � 1�



RAÍZES DE EQUAÇÕES – MÉTODO DAS TABELAS

1. Introdução

As raízes são valores da variável dependente que zeram a função, ou seja, valores de x que zeram f(x).

Em trabalhos científicos ocorre freqüentemente o problema de encontrarmos as raízes de equações na forma f(x) = 0.

Resolver esta equação significa achar os valores de x para os quais a equação se verifica. Esta função f(x) pode ser uma equação algébrica, simples polinômio como:

04x5x)x(f 2 ��

Ou pode ser uma função transcendente que envolve outras operações e funções, como:

� � 0x3exf x ��

Discutiremos em nossas aulas vários métodos para encontrarmos as raízes reais de equações, tendo sempre em vista que procuramos soluções numéricas (aproximadas) e não soluções exatas. Essas soluções numéricas devem ser encontradas com precisão suficiente, tal que sirva para qualquer finalidade prática.

2. Análise de uma equação – Método de tabelas com aproximações sucessivas.

Seja f(x) = 0, da qual queremos calcular as raízes. Logo, será necessário fazer uma análise dessa função, visando, principalmente, a localização de intervalos de valores da variável que contenham as raízes. Conhecendo este intervalo, podemos através de aproximações sucessivas, calcular as raízes neles contidas com a precisão que desejarmos.

Na prática, todas as informações de uma função f(x) podem ser obtidas através de um gráfico desta função, elaborado a partir de uma tabela de valores de x e de f(x) variando em um intervalo de um x inicial (xi)

e um x final xf, ou seja, [xi; xf], com incrementos “i”.

Elaboramos a tabela e o gráfico da função em um intervalo relativamente grande que nos dê uma boa representação da função. Em seguida, identificamos um ponto em que o valor de f(x) muda de sinal, que corresponde, no gráfico, a uma intersecção da curva com o eixo x, ou seja, a posição de uma raiz. Diminui-se então o intervalo, ao longo do qual estamos analisando a função, diminuímos o incremento, e repetimos o processo para estes novos valores até atingirmos a precisão desejada.

Exemplo 1: Seja � �xcosx)x(f �� . Desejamos

encontrar o valor de x para o qual f(x) = 0. Por se tratar de uma equação trigonométrica, vamos variar o intervalo entre [-1, 1] com incremento igual a 0,1.

x f(x) x f(x) -1,000 -1,540 0,100 -0,895 -0,900 -1,522 0,200 -0,780 -0,800 -1,497 0,300 -0,655 -0,700 -1,465 0,400 -0,521 -0,600 -1,425 0,500 -0,378 -0,500 -1,378 0,600 -0,255 -0,400 -1,321

Raiz� 0,700 -0,065

-0,300 -1,255 0,800 0,103 -0,200 -1,180 0,900 0,278 -0,100 -1,095 1,000 0,460 0,000 -1,000

Para a tabela acima podemos concluir que existe uma

raiz x , tal que 800,0x700,0 �� radianos, porque f(x)

mudou de sinal neste intervalo.

Continuando o procedimento de localização da raiz da equação, consideremos o novo intervalo [0,700, 0,800] e um incremento igual a 0,01.

x f(x) 0,700 -0,065 0,710 -0,0048 0,720 -0,032 0,730 -0,015

�Raiz 0,740 0,002 0,750 0,018 0,760 0,035

0,770 0,052 0,780 0,069 0,790 0,086 0,800 0,103

Para a tabela acima, podemos observar que a raiz procurada encontra-se entre [0,730, 0,740]. Continuando o procedimento de localização da raiz da



equação, consideremos um incremento igual a 0,001.

x f(x) 0,730 -0,015 0,731 -0,014 0,732 -0,012 0,733 -0,010

0,734 -0,009 0,735 -0,007 0,736 -0,005

0,737 -0,003 0,738 -0,002

�Raiz 0,739 0,000 0,740 0,002

Na tabela acima, podemos observar que a raiz da equação é aproximadamente 0,739.

Exemplo 2: Localizar intervalos para encontrar as

raízes da equação 011x20x5,7x2x 234 ��

� 11x20x5,7x2x)x(f 234 ��

Usando o intervalo [-3, 4] com incremento igual a 1:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 8,5 -1 0,5 -11 -35,5 -49 -

3,5 173

Observamos quatro raízes.

Podemos definir quatro outros intervalos com incremento 0,2 para nos aproximarmos mais de cada raiz.

Raiz 1 � [-3, -2]

Valor de x: Função f(x): -3,000 8,500 -2,800 3,762 -2,600 0,846

�Raiz -2,400 -0,670 -2,200 -1,170 -2,000 -1,000

Raiz 2 � [-2, -1]

Valor de x: Função f(x): -2,000 -1,000 -1,800 -0,466

�Raiz -1,600 0,162 -1,400 0,654 -1,200 0,818

-1,000 0,500

Raiz 3 � [-1, 0]

Valor de x: Função f(x): -1,000 0,500

�Raiz -0,800 -0,414 -0,600 -2,002 -0,400 -4,302 -0,200 -7,314 0,000 -11,000

Raiz 4 � [3, 4]

Valor de x: Função f(x): 3,000 -3,500

�Raiz 3,200 18,594 3,400 46,542 3,600 81,074 3,800 122,958

4,000 173,000

Atividade: Para cada uma das raízes que queremos encontrar, iremos definir novos intervalos e também admitiremos o incremento igual a 0,02. Continuem estas aproximações até encontrar as raízes com incremento 0,001.

3. Exercícios

Definir intervalos para as funções a seguir com a finalidade de encontrar suas raízes, considerando incremento igual a 1.

a) � � 0xcosx3 �� 4,4�

b) 01x3x 3 �� 4,4�

c) 03x9x 3 �� 6,6�



RAÍZES DE EQUAÇÕES - MÉTODO DE UM PONTO OU DE APROXIMAÇÃO

1. Introdução

Os métodos de um ponto necessitam somente de uma aproximação, a qual deve ser obtida através da análise da equação ou através do emprego de um dos métodos de dois pontos, para encontrar a raiz que esteja mais próxima. Tais métodos são, de um modo geral, mais rápidos do que os de dois pontos, porém, não são tão seguros quanto eles. Serão estudados em nossas aulas, dois métodos de um ponto ou de aproximação: Método de Aproximações Sucessivas e o Método de Newton-Raphson.

2. Método de Aproximações Sucessivas

Este método é também conhecido como Método de Iteração Linear (MIL) ou simplesmente Iteração Linear.

Seja encontrar a raiz (ou raízes) da equação,

f(x) = 0 (1)

O objetivo é conseguir isolar a variável x e transportá-la para o outro lado da equação. Isso fornece uma nova forma da equação original, assim,

x = g(x) (2)

onde g(x) é uma nova função, diferente de f(x).

Se substituirmos na equação (2) uma das raízes, por

exemplo, x , então � �xgx � .

Como em geral não temos idéia alguma de onde estão as raízes (ou raiz) da função, chutamos um valor

inicial para x, chamado de 0x e substituímos este

valor no segundo membro da equação (2), obtendo

com isso um novo valor de x, chamado de 1x assim:

� �01 xgx � .

Repetindo este processo, obtemos a seguinte

sucessão de valores: � �12 xgx � ; � �23 xgx � ;

� ��;xgx 34 � � �� 1ii xgx �� ; � � � �i1i xgx �� .

Esta seqüência de valores de x, ou seja, x1, x2, x3, x4, ... xi, x(i+1)., pode estar convergindo para a solução ou divergindo dela.

Como podemos saber se a sucessão de valores dos ix estão convergindo ou divergindo do valor

da raiz?

Faremos isto através de dois critérios de paradas:

� Fixação do número máximo de iterações permitidas (NMI)

� Fixação de TOL - tolerância de erro: Suponhamos que estejamos dentro do número de iterações permitidas. Em algumas vezes a solução pode convergir logo nas primeiras iterações. Neste caso, podemos usar um critério de um erro aceitável. Seja 0TOL � . No processo de iteração, a diferença entre os 1ix � e ix pode se tornar ou

permanecer menor que TOL . Se isto acontecer, podemos dizer que encontramos a solução antes de completar todas as iterações. Logo, o processo pode ser parado e a resposta escrita.

� � TOLxx i1i �� para i < NMI

Exemplo: Encontrar as raízes da equação

4x5x)x(f 2 �� .

Obs.: exemplo desenvolvido na sala.

2.1. Como saber se uma determinada g(x) dará convergência ou não?

Para este exemplo anterior, podemos encontrar algumas g(x) diferentes. E para sabermos se uma determinada g(x) dará ou não convergência utilizamos

o seguinte critério de convergência: � � 1xg 0, � (onde

x0 é o chute inicial).

� �5

x2xg

5

4x)x(g

2

��

�

� � � � ��

��

�� 2

1

4x52

1xg4x5)x(g

� � � �2x

14x5x5xg

x

4x5)x(g

��

��

� � 4x2xg4x4x)x(g 2 ��

“Se o módulo do valor numérico da derivada da g(x) avaliada no chute inicial for menor que 1, certamente o processo convergirá”.



2.2. Algoritmo Aproximações Sucessivas

Início

Função � � �� funçãoxg

Ler 0X // aproximação – chute inicial //

Ler TOL // tolerância de erro desejada //

Ler NMI // número máximo de iterações //

� �0XgX �

0I �

Enquanto � �� TOLXXgouTOL0XX �� e

NMII � executar

X0X �

� �0XgX �

1II ��

Fim (Enquanto)

Se NMII � então escrever “Não Convergiu”

Senão escrever “Raiz = “; X

Fim

3. Exercício

Encontre a raiz da equação 1x3x)x(f 3 ��

através do método de aproximação sucessiva.

4. Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é o mais clássico e que apresenta convergência mais rápida. Existem, no entanto, casos de não convergência.

O método consiste em calcular a interseção da tangente à curva que passa por um ponto suficientemente próximo da raiz procurada, com o eixo x, e tomar a abscissa desta interseção como sedo uma nova aproximação.

A figura a seguir mostra como se dá a convergência.

Observando a figura, podemos deduzir a fórmula de iteração do método:

� � � �� i

1ii

i x'fxx

xftg �

��

�

� �� i

ii1i x'f

xfxx ��

Para o cálculo de � �ix'f , podemos utilizar a

fórmula das diferenças finitas centrais para derivadas de 1ª ordem:

� � � � � �x2

xxfxxfx'f ii

i ��

�

onde x� é um valor muito pequeno (pode-se adotar até o valor de tolerância de erro).

Os critérios de parada que devem ser utilizados no algoritmo são os seguintes:

� � � TOLxx i1i �� (TOL – Tolerância adotada)

� � �� TOLxf 1i �� ;

� Número de Iterações < Número Máximo de iterações (NI < NMI).

Observação: No caso de raiz simples, x , teremos, no

final do processo iterativo, � � 0x'f � e � � 0xf � . E no

caso de raízes duplas, teremos � � 0x'f � e � � 0xf � , o

que acarretará numa divisão 0/0.

O processo não convergirá para um valor desejado, nos seguintes casos:

� A equação não possui raízes reais;

� A f(x) é simétrica em relação a x , como mostra a figura a seguir:

� Existe um ponto de mínimo entre a raiz e a estimativa utilizada, como representado na figura abaixo:



Exemplo: Resolver a equação 0x3ex �� pelo

método de Newton-Raphson.

Usaremos a expressão da derivada da função, porque facilitará o cálculo m,anual, e como primeira aproximação x0 = 1.

Solução:

� � x3exf x �� 3ex'f x ��

� �� i

ii1i x'f

xfxx ��

3e

x3exx

x

x

i1i�

��

Os resultados obtidos são mostrados na tabela a seguir:

i ix � �ixf � �ix'f � �1ix �

0 1,000 -0,282 -0,282 0,000

1 0,000 1,000 -2,000 0,500

2 0,500 0,149 -1,351 0,610

3 0,610 0,010 -1,159 0,619

4 0,619 0,000 -1,143 0,619

Vemos que a raiz calculada, para x0 = 1, é 0,619. Se tomarmos x0 = 2, o valor da raiz convergirá, conforme pode ser observado na tabela a seguir para 1,512.

i ix � �ixf � �ix'f � �1ix �

0 2,000 1,389 4,389 1,684

1 1,684 0,334 2,385 1,543

2 1,543 0,050 1,681 1,513

3 1,513 0,002 1,543 1,512

4 1,512 0,000 1,537 1,512

4.1. Algoritmo Newton-Raphson

Início

Função � � �� funçãoxf

Ler 0X // aproximação – chute inicial //



TOLDX �

Função � � � � � �DX2

DXxfDXxfx'f

��

�

0I �

� �� 0X'f

0Xf0XX ��

Enquanto � �� TOLXfouTOL0XX �� e

NMII � executar

X0X �

� �� 0X'f

0Xf0XX ��

1II ��

Fim (Enquanto)

Se NMII � então escrever “Não Convergiu”

Senão escrever “Raiz = “; X

Fim

5. Exercícios

Encontre a raiz das seguintes equações através do método de Newton-Raphson.

a) � � � �xsenxxf 2 �� chute inicial 0,5; TOL

= 0,01. (Resposta: 0,8768)

b) � � 5x2xxf 3 �� chute inicial 3; TOL =

0,01. (Resposta: 2,0946)

c) � � 2x7x4xf 25 �� chute inicial =

-0,5; TOL = 0,01. (Resposta: -0,5148)

d) � � 1x5x4xf 67 �� chute inicial =

-1; TOL = 0,01. (Resposta: -0,70952)

e) � � 1x3xxf 3 �� chute inicial = -2; TOL

= 0,01. (Resposta: -1,8795) ou chute inicial = 0,5; TOL = 0,01. (Resposta: 0,3472) ou chute inicial = 1,5; TOL = 0,01. (Resposta: -1,5321)



RAÍZES DE EQUAÇÕES - MÉTODO DE DOIS PONTOS OU DE INTERVALO

1. Introdução

Os métodos de intervalo são aqueles que necessitam de dois pontos limites do intervalo onde está contida a raiz que se deseja calcular.

Sejam Xi e Xf as duas aproximações da raiz Xo que

se deseja calcular. Para que se possa afirmar que

neste intervalo [ Xi , Xf ] exista uma raiz, basta verificar

se � �iXf e � �Xff tem sinais contrários, ou testar se

� � � � 0XffXif �� . Caso este teste seja positivo, existe

pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo [

Xi , Xf ].

2. Método da Bisseção.

É um método considerado simples e seguro. Suas principais características são:

� Simplicidade lógica e operacional;

� Convergência garantida;

� Existe duas estimativas que são os limites do intervalo que contém a raiz procurada;

� Se o intervalo for muito grande, a execução do algoritmo pode ser demorada e, por este motivo, muitas vezes é indicado para fornecer uma aproximação melhor para métodos mais rápidos.

Seja o intervalo de valores [ Xi , Xf ] da variável x na

equação f(x) = 0, tal que � � � � 0XffXif �� . Existe então

uma raiz X neste intervalo tal que então � � 0Xf � . O

método consiste em, primeiro dividir o intervalo ao

meio encontrando-se 2

XiXfXm

�� . Se

� � � � 0XmfXif �� , então atribui-se o valor de Xm a Xf ,

senão atribui-se o valor de Xm a iX . Com o novo

intervalo repetir o mesmo procedimento até que atinja

a precisão desejada para Xo e para � �Xf , tal que

TOLXiXf �� e � � TOLXmf � , onde TOL é a

tolerância de erro especificada.

Como o intervalo é sempre dividido ao meio, é possível fazermos uma estimativa do número de iterações a serem realizadas, para um determinado

intervalo [ Xi , Xf ], e com uma tolerância de erro TOL.

Observe. Seja k o número de iterações. Na iteração

de ordem k, o intervalo � �kk Xf ,Xi terá um valor igual a

k2

Xi - Xf, e para que k seja a ultima iteração, é

necessário que este intervalo seja menor ou igual à tolerância especificada, logo:

� � � � � �TOLlog2logkXi - XflogTOL2

Xi - Xfk

��

� � � �� 2log

TOLlogXi - Xflogk

��

A figura 1 mostra como se dá a convergência no Método da Bisseção.

2mX

1iX

X

� �Xff

Y

� �Xf

X

iX

� �Xif

1mX

2fX3mX

Exemplo: Calcular a raiz da equação � � 0xcosx ��

através do Método da Bisseção considerando o intervalo [-1,1], tolerância de erro de 0,001 e com um número máximo de iterações igual a 100.

São apresentados na tabela a seguir, os valores de

Xi , � �Xif , Xf , � �Xff , Xm e � �Xmf calculados em

todas as iterações realizadas.

i Xi � �Xif Xf � �Xff Xm � �Xmf

0 -1,000 -1,540 1,000 0,460 0,000 -1,000

1 0,000 -1,000 1,000 0,460 0,500 -0,378

2 0,500 -0,378 1,000 0,460 0,750 0,018

3 0,500 -0,378 0,750 0,018 0,625 -0,186

4 0,625 -0,186 0,750 0,018 0,688 -0,085

5 0,688 -0,085 0,750 0,018 0,719 -0,034

6 0,719 -0,034 0,750 0,018 0,734 -0,008

7 0,734 -0,008 0,750 0,018 0,742 0,005

8 0,734 -0,008 0,742 0,005 0,738 -0,001

9 0,738 -0,001 0,742 0,005 0,740 0,002

10 0,738 -0,001 0,742 0,002 0,739 0,000



O valor encontrado para a raiz foi de 0,739 com 11 iterações para atingir a precisão especificada.

2.1. Algoritmo Bisseção

Início


Ler Xf,Xi // limites do intervalo //



Se � � � � 0XffXif ��

então

0I �

� � 2/XfXiXm ��

Enquanto ( TOLXiXf �� ou � � TOLXXmf �� )

e NMII � executar

� � 2/XfXiXm ��

Se � � � � 0XifXmf �� então XmXf �

senão XmXi �

Fim (Se)

1II ��

Fim (Enquanto)

Se NMII �

então Escrever “Não Atingiu Precisão”

senão Escrever “Raiz = “; Xm

Fim (Se)

senão

Escrever “Não existe uma raiz no intervalo considerado”

Fim (Se)

Fim

2.2. Exercícios – Método da Bisseção

a) Utilizando o Método da Bisseção, calcule a raiz da

equação 011x20x5,7x2x 234 �� no intervalo [-2, -1,5] e tolerância de erro de 0,01. (Resposta: -1,6523)

b) Utilizando o Método da Bisseção, calcule a raiz da

equação 025xxxx 235 �� no intervalo [1,5;1,8] e tolerância de erro de 0,01. (Resposta: 1,7232)

3. Método da Falsa Posição ou “Regula Falsi”

Basicamente este método da falsa posição difere do método da bisseção na forma de calcular o ponto

intermediário de abscissa Xm , que será a interseção da reta que une os pontos limites do intervalo, com o eixo x, e não mais o ponto médio do intervalo. A

abscissa Xm será, então, calculada através média

ponderada entre os pontos Xi e Xf , conforme a expressão:

� � � �� XifXff

XifXfXffXiXm

��

�

A figura 2 mostra como se dá a convergência no Método da Falsa Posição.

A convergência é mais rápida do que no método da bisseção.

Uma característica interessante deste método é que, se o gráfico da função f(x), no intervalo a ser pesquisado, não mudar o sentido da curvatura, um dos limites manter-se-á fixo enquanto o outro se aproxima da solução. Este fato nos obriga a fazer a

comparação do iX com o Xm e de Xm com Xf para

verificar se o resultado está dentro da tolerância

especificada, e não somente a comparação de iX e

Xf como é feito no método da bisseção.

X

Y

� �Xf

Xf

iX

� �Xif

� �Xff

X

1mX 2mX

Exemplo 1: Calcular a raiz da equação � � 0xcosx ��

através do Método da Falsa Posição considerando o

intervalo [-1,1], ou seja, 1Xi �� e 1Xf � , tolerância de erro de 0,001 e com um número máximo de iterações igual a 100.

São apresentados na tabela a seguir, os valores de

Xi , � �Xif , Xf , � �Xff , Xm e � �Xmf calculados nas

iterações realizadas.


0 -1,000 -1,540 1,000 0,460 0,540 -0,317

1 0,540 -0,317 1,000 0,460 0,728 -0,018

2 0,728 -0,018 1,000 0,460 0,739 -0,001




Exemplo 2: Calcular a raiz da equação

� � 03xcosex �� através do Método da Falsa

Posição considerando 5,0Xi � e 1Xf � , tolerância de

erro de 0,001 e com um número máximo de iterações igual a 100.


0 0,500 -0,474 1,000 0,259 0,823 -0,042

1 0,823 -0,042 1,000 0,259 0,848 -0,003

2 0,848 -0,003 1,000 0,259 0,850 0,000


3.1. Algoritmo Falsa Posição

Início


Ler Xf,Xi // limites do intervalo //



Se � � � � 0XffXif ��

então

0I �


XifXfXffXiXm

��

�

Enquanto (( eTOLXmXf �� )TOLXmXi ��

ou � � TOLXmf � ) e NMII � executar


XifXfXffXiXm

��

�

Se � � � � 0XifXmf �� então XmXf �

senão XmXi �

Fim (Se)

1II ��

Fim (Enquanto)

Se NMII �

então Escrever “Não Atingiu Precisão”

senão Escrever “Raiz = “; Xm

Fim (Se)

senão

Escrever “Não existe uma raiz no intervalo considerado”

Fim (Se)

Fim

3.2. Exercício – Método da Falsa Posição

a) Utilizando o Método da Falsa Posição, calcule a

raiz da equação 025xxxx 235 �� com 5,1Xi � e 8,1Xf � , TOL de 0,001.

0,7391 0,001 83 0,(8)7363 -0,0047

0,(8)7363 -0,0047 0,1678



MÉTODOS PARA CÁLCULO DE UMA SÓ RAIZ. MÉTODO DE MÚLTIPLOS PASSOS - MÉTODO DAS SECANTES

1. Introdução

Os métodos de múltiplos passos são considerados como sendo uma mistura dos de dois pontos com os de um ponto, apresentados anteriormente.

O método das secantes é uma combinação do Método de Falsa-Posição e o de Newton-Raphson.

2. Método das Secantes

Possui as seguintes características:

� Necessita de duas aproximações, que chamaremos de Xi e Xf

� f(Xi) e f(Xf) não precisam ter sinais contrários;

� Considera a secante que une os dois pontos da abscissa Xi e Xf no lugar da tangente, como é feito no método de Newton-Raphson.

A Figura 1 mostra como se dá esta convergência.

1X2X0X X

0Xf

1Xf

y

Xf

X

2Xf

3X

3Xf

Figura 1 – Método das Secantes.

2.1. Método de Iteração

Com base na Figura 1, podemos deduzir a fórmula de iteração do método:

� �� i

i1i

i1ii1i xf

xfxf

xxxx �

��

��

��

Como o objetivo é evitar divisão por zero e “overflow ”,

devemos realizar modificações na fórmula anterior para obter a seguinte:

� � � � � �� 1ii

1iii1ii1i xf/xf1

xf/xfxxxx

�

��

��

2.2. Critério de Parada

Os critérios de parada são:

� �� i1i xx TOL ;

� � � ��1ixf TOL ;

� Número de iterações � �i ≤ Número Máximo

de Iterações � �NMI .

2.3. Algoritmo do Método das Secantes.

Início


Ler Xi // 1ª aproximação//

Ler Xf // 2ª aproximação //

Ler TOL // Tolerância de erro desejada //

Ler NMI // Número máximo de iterações //

0I �

Enquanto ( TOLXiXf �� ou � � TOLXff � ) e

NMII �

� �� XifXff

F �

� �

� �F1F*XfXi

XfXm�

��

XfXi �

XmXf �

1II ��

Fim (Enquanto)

Se NMII � então escrever “Não convergiu”

senão escrever “RAIZ=”; Xm

Fim

Exemplo.

Use o método da secante para obter as raízes da

equação 0)cos( �� xx , com 0Xi � , 1Xf � ,

001.0TOL � e 200NMI � .

Resposta: 739.0Xm �


0 0,000 -1,000 1,000 0,4597 0,6851 -0,0893

1 1,000 0,4597 0,6851 -0,0893

2 0,6851 -0,089

3 0,7363 -0,0047 0,7391 0,001 0,7391 -0,0000



MATRIZES

1. Introdução

O uso da notação matricial não é apenas conveniente, mas um instrumento poderoso para estabelecer as relações fundamentais para a solução de equações de sistemas lineares. A seguir faremos um resumo das propriedades elementares das matrizes.

2. Matrizes – Propriedades Fundamentais

Uma matriz pode ser considerada como um dispositivo de cálculo e uma estrutura de armazenamento de dados indexados. É um arranjo de elementos distribuídos em linhas e em colunas. As seguintes notações são as mais usadas para representar uma

matriz A de m linhas com n colunas:

��

�

�

��

�

�

�

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

�

��

�

�

�

ou ainda,

� �ijaA � com ��

��

coluna. à relativon,,2,1j

linha, à relativom,,2,1i

�

�

3. Tipos de Matrizes

As matrizes podem ser classificadas, de acordo com as relações entre número de linhas e o número de colunas: retangulares quando nm � e quadradas quando nm � . Podemos ainda ressaltar a matriz linha

(ou vetor) de ordem n1� e, matriz coluna (ou vetor)

de ordem 1m � .

Exemplos:

� matriz linha � �31� � �321�A

� matriz coluna � �13 ��

�

�

��

�

��

321

A

� matriz quadrada � �33 ��

�

�

��

�

��

963852741

A

Obs: chama-se de diagonal principal de uma matriz quadrada a diagonal formada por todos os elementos

ija com ji � .

4. Algumas matrizes quadradas especiais:

� Matriz nula: é aquela em que 0aij � para

qualquer valor de i e j ;

� Matriz diagonal: é aquela que possui todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero, isto é, 0aij � se ji � ;

� Matriz Identidade: normalmente indicada por nI ,

é uma matriz diagonal unitária, isto é, todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (se ji � então 1iij � , senão 0iij � ).

Exemplo: ��

�

�

��

�

��

100

010

001

I3

nnnnn AIA ��

� Matriz triangular superior: se ij � então 0aij � .

Exemplo:

��

�

�

��

�

�

��

5000

3600

3110

3632

A 44

� Matriz triangular inferior: se ij � então 0aij � .

Exemplo:

��

�

�

��

�

�

��

5325

0647

0019

0002

A 44

� Matriz bandas: são aquelas que possuem a diagonal principal e algumas paralelas a ela diferentes de zero e os elementos restantes todos nulos.

Exemplo: Matriz tridiagonal

��

�

�

��

�

�

��

41000

25300

07620

00319

00042

A 55

� Matriz simétrica: quando jiij aa � .



Exemplo:

��

�

�

��

�

�

�

5325

3647

2419

5792

A

� Matriz anti-simétrica: se ji � então 0aij � ,

senão jiij aa ��

Exemplo:

��

�

�

��

�

�

��

��

�

0325304724095790

A

� Matriz hemi-simétrica: se ji � então jiij aa ��

Exemplo:

��

�

�

��

�

�

��

��

�

2325

3647

2449

5791

A

5. Operações com Matrizes

Podemos definir as seguintes operações com matrizes:

5.1. Soma algébrica das matrizes

A soma ou subtração de duas matrizes (só é definida quando as matrizes têm o mesmo tipo) é uma nova matriz na qual cada elemento é a soma ou a subtração dos elementos correspondentes das matrizes operandas. Ou seja:

Se nmnmnm BAC �� então ijijij bac �� .

Exemplo: Calcule BAC �� , considerando que

��

�

�

��

�

��

��

221

112

121

A 33 e ��

�

�

��

�

��

��

221

112

121

B 33

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

��

��

442

224

242

221

112

121

221

112

121

C 33

5.2. Produto de matriz por uma constante � �s

Multiplica-se todos os elementos da matriz pela constante. Assim,

Se nmnm AsD �� então ijij asd �� .

5.3. Produto de duas matrizes

O produto de duas matrizes A e B , nesta ordem, só é

possível quando o número de colunas de A for igual

ao número de linhas de B .

Se knnmkm BAE �� então ��

��n

1jjkijik bae .

Exemplo: Seja ��

�

�

��

�

��

110

021

203

A 33 e ��

�

�

��

�

��

1

0

2

B 13 ,

Calcule 133313 BAC ��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

��

1

0

2

110

021

203

C 13 ��

�

�

��

�

��

1

2

8

C 13

A existência do produto BA � não implica na

existência do produto AB � . Além disso, o produto

ABBA �� .

5.4. Transposta de uma matriz

A transposta de uma matriz A é obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Assim,

Se � �Tnmmn AT �� então ijji at � .

Exemplo:

��

�

�

��

�

�

��

��

��

�

�

��

�

�

��

��

505

333

164

A

531

036

534

A T

5.5. Matriz singular

Uma matriz A é chamada de singular se o seu

determinante é zero � �� 0Adet � . Caso contrário, não

é singular.

Exemplo: ��

�

�

��

�

��

963852741

A

� � � � � � � �� 357762384951Adet

� � � ��168924 �� , � � 0Adet � , logo matriz A é

singular.

5.6. Matriz inversa

A inversa de uma matriz quadrada A é definida por

� �T1 C

Adet

1A ��



Onde TC é a transposta da matriz dos co-fatores.

Cofatores: o cofator (complemento algébrico) do

elemento ija da matriz A é � � ijji M1 �� , em que ijM é o

determinante da submatriz que resulta suprimindo a linha i e a coluna j da matriz original A; os cofatores

são ijC .

Exemplo: ��

�

�

��

�

��

��

221

112

121

A

� � � �� 111122112211Adet

� � � ��121222 ��

� � 15Adet �� , logo matriz A não é singular.

Calculando os co-fatores:

� � 42222

111C 11

11 ��

��

� � � � 33121

121C 21

12 ��

� � � � 51421

121C 31

13 ��

��

� � � � � �� 624122

121C 12

21 ��

��

� � � � 31221

111C 22

22 ��

��

� � � � � � 022121

211C 32

23 ��

� � 11211

111C 13

31 ��

��

� � � � � �� 321112

111C 23

32 ��

��

� � � � 54112

211C 33

33 ��

��

��

�

�

��

�

�

��

��

��

�

�

��

�

��

531

036

534

CCC

CCC

CCC

C

333231

232221

131211

��

�

�

��

�

�

��

��

505

333

164

CT

� � ��

�

�

��

�

�

��

��

��

�

�

��

�

�

��

��

��

3333.0000.0333.0

2000.0200.02000.0

0667.04000.02667.0

505

333

164

15

1A 1

Verifique que n11 IAAAA �� .

6. Cálculo de Determinantes – Eliminação de Gauss

Um método de cálculo numérico do determinante de uma matriz é o método de eliminação de Gauss. Este método consiste em triangularizar a matriz, através de operações com as suas linhas, e obter o produto dos termos da diagonal da matriz, que é o valor procurado.

As operações com linhas, utilizadas no método de eliminação de Gauss, baseiam-se nas seguintes transformações elementares, que não alteram o sistema:

a) Trocar a ordem de duas equações do sistema (permutação de linhas);

b) Multiplicar (ou dividir) uma equação do sistema por uma constante não nula;

c) Substituir uma equação pela soma algébrica desta equação com outra do sistema.

Dada uma matriz A, quadrada, com n linhas e n colunas, da qual se deseja calcular o determinante, pelo método de eliminação de Gauss, o procedimento geral é o seguinte:

� Dividir todos os elementos da linha i � �iL pelo

elemento da diagonal iia (i variando de 1 até n)

iii aL

� Subtrair de cada elemento da linha k � �kja abaixo

da linha i (k variando de � �1i � até n), o produto do

elemento da linha k e da coluna i � �kia pelo

elemento da mesma coluna e da linha i � �ija .

kiik aLL ��

Por exemplo, seja calcular o determinante da matriz

A abaixo, pelo método de eliminação de Gauss:

��

�

�

��

�

��111

113

142

A

Triangularizando a matriz, temos:

��

�

�

��

�

�

��111

113

142

A



Nova 1L → 111 aL � � � �5,0212142 ��

Nova 2L → 2112 aLL ��

� � � � � �5,25035,021113L2 ��

Nova 3L → 3113 aLL ��

� � � � � �5,01015,021111L3 ��

Substituindo as “novas linhas” calculadas, temos,

��

�

�

��

�

�

��

5,010

5,250

5,021

A

Nova 2L → 222 aL � � � �5,01055,250 ��

Nova 3L → 3223 aLL ��

� � � � � � � �10015,0105,010L3 ��


��

�

�

��

�

�

�100

5,010

5,021

A

Assim, o determinante é cálculo através da multiplicação dos “pivôs” de cada linha, ou seja:

� � � � 10152Adet ��

Um problema comum que pode surgir durante este processo, é o aparecimento de um elemento nulo na diagonal principal da matriz, causando erro de divisão por zero. Para isso, realizamos o “pivoteamento” que é colocar, na diagonal principal, os termos de maior valor absoluto, existente na matriz.

6.1. Pivoteamento prévio

O processo de pivoteamento prévio consiste em encontrar o maior valor absoluto da coluna, abaixo do elemento da diagonal de uma determinada linha, e permutar a linha, na qual se encontra este valor, com a do elemento da diagonal.

Exemplo:

� ��

� � ��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

� 221

162

163

162

221

163

162

163

221

A matriz, após o pivoteamento, está melhor condicionada para o processo de cálculo do determinante.

6.2. Pivoteamento durante o processo

O pivoteamento durante o processo do calculo do determinante é mais eficiente.

Exemplo 1: � ��

��

�

�

��

�

� ��

��

�

�

��

�

��

111

142

113

111

113

142

A

Nova 1L → 111 aL � � � �3/13/113113 ��

Nova 2L → 2112 aLL ��

� � � � � �3/53/10023/13/11142L2 ��

Nova 3L → 3113 aLL ��

� � � � � �3/43/2013/13/11111L3 ��


��

�

�

��

�

� �

3/43/20

3/53/100

3/13/11

Nova 2L → 222 aL

� � � �2/1103/103/53/100 ��

Nova 3L → 3223 aLL ��

� � � � � � � �1003/22/1103/43/20L3 ��


��

�

�

��

�

� �

100

2/110

3/13/11

Assim, o cálculo do determinante será:

� � � � � � 10113/1023Adet ��

O fator � �1� que faz parte do cálculo do determinante,

refere-se a troca de sinal em virtude da troca de linha no pivoteamento no início dos cálculos.

Exemplo 2: � ��

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

� 162

221

163

162

163

221

Nova 1L → 111 aL � � � �31213163 /��

Nova 2L → 2112 aLL ��

� � � � � �3/50013/121221L2 ��

Nova 3L → 3113 aLL ��



� � � � � �3/52023/121162L3 ��


� ��

��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

�

� 3/500

3/520

3/121

3/520

3/500

3/121

Nova 2L → 222 aL � � � �6/51023/520 ��

Nova 3L → 3223 aLL ��

� � � � � � � �3/50006/5103/500L3 ��


��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

��

3/500

6/510

3/121

3/500

3/520

3/121

Assim, o cálculo do determinante será:

� � � � � � 1013/523Adet 2 ��

7. Algoritmo da Eliminação de Gauss para Calculo do Determinante

7.1. Algoritmo Determinante � �A

Início

Ler A // Matriz A//

Ler N // Número de linha (ou colunas) de A //

1�DET

1�i

Enquanto Ni � e 0�DET

Executar PIVOTEAMENTO

� �i,iAP �

P*DETDET �

Se 0�P

Para j de 1 até N executar

� � � � P/j,iAj,iA �

Fim j

Para k de � �1�i até N executar

� �i,kAP �


� � � � � �� j,iAPj,kAj,kA ��

Fim j

Fim k

1�� ii

Fim (Se)

Fim (Enquanto)

Escrever DET

Fim

7.2. Algoritmo Pivoteamento

Início

� �i,iAC �

iL �


Se � �i,kAC � então

� �i,kAC �

kL �

Fim (Se)

Fim k

Se iL � então DETDET ��


� �j,iAX �

� � � �j,LAj,iA �

� � Xj,LA �

Fim j

Fim (Se)

Retornar

Fim

8. Exercícios

Calcule o determinante para as seguintes matrizes utilizando o método de Eliminação de Gauss.

a) ��

�

�

��

�

�

��

104

102

110

A Resposta: det(A) = -2



b) ��

�

�

��

�

�

��

1021

0104

2610

A Resposta: det(A) = 724

c) ��

�

�

��

�

�

��

�132

344

132

A Resposta: det(A) = -20



SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – MÉTODO DE ELIMINAÇAO DE GAUSS

1. Introdução

Muitos problemas de cálculo numérico resultam na solução de sistemas de equações lineares. Entre os problemas que recaem em sistemas de equações lineares estão os problemas de circuitos, redes elétricas, redes de gás, redes de água, solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais, pelo método dos elementos finitos ou diferenças finitas, etc.

2. Sistemas Lineares em Notação Matricial

Um sistema linear de n equações com n incógnitas é usualmente escrito como:

��

��

�

��

��

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

�

�

�

�

(1)

O sistema (1) pode ser escrito:

��

�

�

��

�

�

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

n

2

1

x

x

x

�=

��

�

�

��

�

�

n

2

1

b

b

b

� (2)

ou ainda,

jjij bxa �� para n,,2,1j,i ��

ou ainda,

�A x b�

onde A é a matriz principal, x é o vetor das

incógnitas, e b é o vetor dos termos conhecidos.

3. Métodos de Solução Diretos

Os métodos diretos são aqueles que, na ausência de erros de arredondamento ou outros erros, conduzem à solução exata através de um número finito de operações. O método fundamental para as soluções diretas é o Método de Gauss.

4. Método de Eliminação de Gauss.

� É um método direto (isto é, não iterativo) para resolver �A x b� ;

� Consiste em converter um sistema linear geral em um sistema triangular equivalente e mais fácil de resolver.

� Em cada passo, torna triangular superior uma

coluna de � �bAA � .

� Só usa operações elementares.

Exemplo:

Eliminação de Gauss sem pivoteamento.

1323344532

321

321

321

��

xxxxxxxxx

1º Transformação:

a) Dividimos toda a 1º linha por � �112 a�

13233445250511

321

321

321

��

xxxxxx

,x,x,x

b) Transformamos todas as equações restantes

6x2x60

7x1x20

5,2x5,0x5,1x1

32

32

321

��

��

2º Transformação:

a) Dividimos toda a 2º linha por � � � �222 a��

6x2x60

5,3x5,0x0

5,2x5,0x5,1x1

32

32

321

��

b) Transformamos todas as equações restantes

15x500

5,3x5,0x0

5,2x5,0x5,1x1

3

32

321

��

Sistema resultante:

15x5

5,3x5,0x

5,2x5,0x5,1x

3

32

321

��

Para obtermos a solução final, resolveremos o sistema triangular, fazendo a retrosubstituição.

Solução final:

1x

2x

3x

1

2

3

��

�



Observação importante: observe que usamos apenas duas transformações completas pois o sistema era de ordem 3, isto é, o número total de transformações é de

� �1n �

5. Exercícios

Resolver cada sistema linear descrito a seguir através do método de Eliminação de Gauss. Utilize, pelo menos, 4 dígitos significativos.

a) ��

��

�

��

4xx0x4

3xx2x2

2xxx0

321

321

321

Resposta: ��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

�

2,1

8,0

3,1

x

x

x

3

2

1

b) ��

��

�

��

44x10x2x

0x0x10x4

45x2x6x10

321

321

321

Resposta: ��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

�

5,3

2

5

x

x

x

3

2

1

c)

��

��

�

��

��

30,12x2xx5x4

20,10xxxx

60,6xx4xx

90,6xxx3x2

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

2,4

0,3

1,2

9,0

x

x

x

x

4

3

2

1

d)

��

��

�

��

5xx2x3x4

6x2xx2x3

7x3x2xx2

10x4x3x2x

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

2

0

1

0

x

x

x

x

4

3

2

1

e)

��

��

�

��

72,20xx2x6x4

90,14x2xx5x2

02,12x6x5xx

12,7x4x2xx

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

20,0

50,1

12,2

20,1

x

x

x

x

4

3

2

1

6. Aplicação Prática

Determinar o valor da corrente em cada trecho do circuito elétrico:

Leis de Kirchoff:

1. A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem dele.

2. Partindo de um ponto da malha, se percorrermos um ciclo, voltando ao ponto inicial, a soma das quedas de potencial é nula.

Dica: Diferença de potencial provocada por um

resistor: V = -R.i.

Equações:

Nó a: i1 = i2 + i3,

Nó b: i3 = i4 + i5,

Nó c: i4 = i6 + i7,

Ciclo 1: 200 - 20 i2 - 60 i1 = 0,

Ciclo 2: -120 i3 - 50 i5 + 20 i2 = 0,

Ciclo 3: -80 i4 - 20 i6 + 50 i5 = 0,

Ciclo 4: 50 i7 - 100 + 20 i6 = 0.

Na forma matricial: Ax = b, onde,



,

502000000

0205080000

00500120200

000002060

1101000

0011100

0000111

A

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

�

��

�

�

��

�

�

��

��

�

�

��

�

�

�

100

0

0

200

0

0

0

b,

i

i

i

i

i

i

i

x

7

6

5

4

3

2

1

Solução:

i1 = 2,5598

i2 = 2,3206

i3 = 0,2391

i4 = -0,1151

i5 = 0,3543

i6 = 1,3463

i7 = -1,4615.



SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – GAUSS JORDAN

1. Introdução

Para solução de sistemas lineares através do método

de Gauss-Jordan, a Matriz Principal � �A transforma-se

em uma identidade ou na sua própria inversa, através de operações com linhas. Submetendo-se vetor de

termos conhecido � �B às mesmas operações, o

mesmo transformar-se-á no vetor solução.

Assim, se continuarmos a transformar a matriz principal apresentada no Método de Eliminação de Gauss, até que ela se transforme em identidade, teremos imediatamente a solução do problema.

2. Exemplo – Eliminação de Gauss:

Seja o sistema linear a seguir:

4xx0x4

3xx2x2

2xx0

321

321

32

��

Matricialmente, o sistema linear é

��

�

�

��

�

�

��

104

122

110

��

�

�

��

�

�

3

2

1

x

x

x

��

�

�

��

�

�

4

3

2

Ou ainda, o sistema pode ser representado por:

��

�

�

��

�

�

��

4

3

2

104

122

110

Este sistema linear, após a triangularização da Matriz principal (Método de Eliminação de Gauss), através de operações com linhas e pivoteamento, apresenta a seguinte solução:

��

�

��

25,100

25,010

25,001

��

�

�

5,1

5,0

1

Para obtermos a solução final, resolvemos o sistema triangular, fazendo a retrosubstituição:

Solução final:

3,1x

8,0x

2,1x

1

2

3

��

�

3. Exemplo – Gauss Jordan:

Continuando o processo de Eliminação de Gauss , transformaremos a matriz principal em uma matriz identidade:

Dividimos toda a 3º linha por � �33a5 �

��

�

��

25,100

25,010

25,001

333 a/L5,1

5,0

1

��

�

�

Transformamos todas as equações das linhas 1 e 2:

��

�

��

100

25,010

25,001

2332

1331

aLL

aLL

2,1

5,3

5,2

��

��

�

�

Assim, teremos:

��

�

�

100

010

001

��

�

�

2,1

8,0

3,1

Solução final:

2,1x

8,0x

3,1x

3

2

1

��

�

4. Algoritmo do Método Gauss-Jordan

Início

Ler A // Matriz A//

Ler B // Vetor B//

Ler N // Número de linha de A //

1�i

1�P

Enquanto Ni � e 0�P

Executar PIVOTEAMENTO

� �i,iAP �

Se 0�P




� � � � P/j,iAj,iA �

Fim j

� � � � P/iBiB �

Para k de 1 até N executar

Se ik �

� �i,kAQ �


� � � � � �� j,iAQj,kAj,kA ��

Fim j

� � � � � �� iBQkBkB ��

Fim Se

Fim k

1�� ii

Senão

Se � � 0�iB

Escrever “Sistema Indeterminado”

Senão

Escrever “Sistema Impossível”

Fim Se

Fim Se

Fim (Enquanto)

Para i de 1 até N executar

� � � �iBiX �

Fim i

Escrever X

Fim

5. Algoritmo Pivoteamento

Início

� �i,iAC �

iL �


Se � �i,kAC � então

� �i,kAC �

kL �

Fim (Se)

Fim k

Se iL � então


� �j,iAT �

� � � �j,LAj,iA �

� � Tj,LA �

Fim j

� �iBT �

� � � �LBiB �

� � TLB �

Fim (Se)

Retornar

Fim

6. Exercícios

Resolver cada sistema linear descrito a seguir através do Método direto de Gauss Jordan. Utilize, pelo menos, 4 dígitos significativos.

a) ��

��

�

��

44x10x2x

0x0x10x4

45x2x6x10

321

321

321

Resposta: ��

�

�

��

�

��

��

�

�

��

�

�

5,3

2

5

x

x

x

3

2

1

b)

��

��

�

��

��

30,12x2xx5x4

20,10xxxx

60,6xx4xx

90,6xxx3x2

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

2,4

0,3

1,2

9,0

x

x

x

x

4

3

2

1

c)

��

��

�

��

5xx2x3x4

6x2xx2x3

7x3x2xx2

10x4x3x2x

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

2

0

1

0

x

x

x

x

4

3

2

1



d)

��

��

�

��

72,20xx2x6x4

90,14x2xx5x2

02,12x6x5xx

12,7x4x2xx

4321

4321

4321

4321

Resposta:

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

20,0

50,1

12,2

20,1

x

x

x

x

4

3

2

1



SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES – GAUSS JACOBI

1. Introdução

Os métodos diretos estudados até agora, perdem a eficiência à medida que cresce a ordem do sistema. Os métodos iterativos são os ideais, pois não transformam as matrizes dos sistemas, como nos métodos diretos.

No método iterativo é dada uma “aproximação inicial” e, a partir desta obtem-se uma próxima solução. O processo termina quando uma determinada precisão for alcançada.

2. Método de Gauss-Jacobi

Seja o sistema linear.

��

��

�

��

��

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

�

��

�

�

(1)

O método consta em isolar cada variável cujo índice indica a linha correspondente:

� �nn1313212111

1 xaxaxaba

1x ��

� �nn2323121222

2 xaxaxaba

1x ��

� �nn3232131333

3 xaxaxaba

1x ��

� �n1n1nn22n11nnnn

n xaxaxaba

1x ��

Conclui-se, portanto que podemos calcular o valor de

ix na iteração � �1k � , identificando como � �1k

ix�

, em

função dos valores obtidos na iteração k , através da fórmula de recorrência mostrada abaixo:

� � � �

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

� n

ij1j

k

jijiii

1k

i xaba

1x � �n,,2,1,0k ��

2.1. Critério de parada

A solução do sistema é alcançada, quando, a diferença entre o valor de qualquer variável, obtido em uma determinada iteração, e o valor desta mesma variável, calculado na iteração anterior, está dentro de uma tolerância de erro estipulada. O critério de parada

é então:

� � � ��

�1k

ii

k

xx ni1 ��

Isto é, se a diferença entre os módulos se dois valores

sucessivos de TODOS os ix forem menores que um

� pré-fixado, então o processo convergiu.

Uma condição suficiente, mas não necessária para a convergência é que a matiz do coeficiente seja diagonalmente dominante, isto é:

��

�n

ij1j

ijii aa ni1 ��

A precisão também pode ser dada por:

� �

� � � �

� �

ni1

k

i

ni1

k

i

1k

i

k

xmax

xxmax

m

��

��

��

�

2.2. Desenvolvimento de método de Gauss-Jacobi através de exemplo.

Resolver o sistema ��

��

�

��

��

6x10x3x2

8xx5x

7xx2x10

321

321

321

Chute Inicial:

6,0x

6,1x

7,0x

3

02

01

0

�

��

�

05,0��

3. Exercícios

Resolver cada sistema de equações lineares descrito a seguir usando o Método de Gauss-Jacobi com, pelo menos, 4 dígitos significativos.

a) ��

��

�

��

12x6x2x3

20x2x5x

10x3x2x10

321

321

321

Chute Inicial:

46,4x

53,5x

23,1x

3

02

01

0

��

�

�

001,0��



b) ��

��

3x2x

1xx2

21

21

Chute Inicial: 0x

0x

2

01

0

�

� 01,0��



SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES - GAUSS-SEIDEL

1. Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel utiliza, para calcular o valor de uma incógnita em uma determinada iteração, os valores das outras incógnitas já calculadas nesta mesma iteração. Em conseqüência disto, a convergência, comparada ao método de Gauss-Jacobi, é mais rápida.

Seja o sistema linear.

��

��

�

��

��

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

�

��

�

�

(2)

Vamos supor que todos os termos da diagonal, isto é,

nn332211 a,,a,a,a � , sejam não nulos, caso contrário,

as equações podem ser rearranjadas para que todos os termos da diagonal fiquem não nulos (PIVOTEAMENTO).

O método consiste em isolar cada variável cujo índice indica a linha correspondente:

� � � � � � � �� knn1

k313

k2121

11

1k1 xaxaxab

a1

x ��

� � � � � � � �� knn2

k323

1k1212

22

1k2 xaxaxab

a1

x ��

� � � � � � � �� knn3

1k232

1k1313

33

1k3 xaxaxab

a1

x ��

�

� � � � � � � �� 1k1n1n,n

1k22n

1k11nn

nn

1kn xaxaxab

a1

x ��

��

A fórmula de recorrência utilizada neste método será portanto:

� � � � � �

��

�

��

��

��

��

�

��

��

�

� ��

�� 1i

1j

n

1ij

k

jij

1k

jijiii

1k

i xaxaba

1x

� �n,,2,1,0k ��

Como saber, antes de iniciar as iterações, se o sistema convergirá ou não?

Para isso existe dois critérios de suficiência de

convergência tanto par o método de Gauss-Seidel quanto para o Método de Gauss-Jacobi. Basta que o sistema satisfaça apenas um dos critérios abaixo, para termos a convergência garantida, independente do valor do “Chute Inicial”.

1.1. Critério de convergência das linhas

Uma condição suficiente, mas não necessária para a convergência é que a matriz do coeficiente seja diagonalmente dominante, isto é:

��

�n

ij1j

ijii aa para �i 1, 2, ..., n

1.2. Critério de convergência das colunas

Uma condição suficiente, para que a iteração convirja é:

��

�n

ji1i

ijjj aa para �j 1, 2, ..., n

1.3. Critério de parada

Os critérios da parada são os mesmos que foram apresentados no Método de Gauss-Jacobi:

� � � ��

�1k

ii

k

xx ni1 ��

Isto é, se a diferença entre os módulos de dois valores



1.4. Desenvolvimento de Método Gauss-Seidel Através de Exemplo

Resolver o sistema ��

��

�

��

��

6x10x3x2

8xx5x

7xx2x10

321

321

321

Chute Inicial:

6,0x

6,1x

7,0x

3

02

01

0

�

��

�

05,0��

2. Exercícios

Resolver cada sistema de equações lineares descrito a seguir usando o Método de Gauss-Seidel com, pelo menos, 4 dígitos significativos.



a) ��

��

�

��

12x6x2x3

20x2x5x

10x3x2x10

321

321

321

Chute Inicial:

46,4x

53,5x

23,1x

3

02

01

0

��

�

�

001,0��

b) ��

��

3x2x

1xx2

21

21

Chute Inicial: 0x

0x

2

01

0

�

� 01,0��



SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON

1. Método de Newton

Consideremos inicialmente “n” funções n321 f,,f,f,f �

onde cada uma delas é função das “n” variáveis

n321 x,,x,x,x � . Queremos encontrar os valores de

n321 x,,x,x,x �� tais que:

� ��

� ��

��

�

�

�

�

0x,,x,x,xf

0x,,x,x,xf

0x,,x,x,xf

n321n

n3212

n3211

��

�

��

��

(1)

Por exemplo, no sistema não-linear

� ��

��

��

256x1x

18x21xx2

22

1

211

procura-se 1x� e 2x� tais que:

� � � �� 0256x1xx,xf

018x21xxx,xf2

22

1212

211211

��

��

��

Com o intuito de simplificar, usaremos a seguinte notação vetorial: x é um vetor com “n”

componentes e � �xF é uma função vetorial da variável

vetorial, isto é,

� �n321 x,,x,x,x ��x

e

� � � � � � � � � �� xxxxx n321 f,,f,f,fF ��

Com esta notação podemos admitir que o sistema (1) pode ser escrito da seguinte forma:

� � 0F �x

Como já vimos em aulas anteriores, o método de Newton para uma única função e uma variável é dado por:

� �� Xif

XifXiXm

�� (2)

Seguindo este mesmo princípio, só que agora para um conjunto de equações não-lineares, podemos escrever (2) da seguinte forma:

� �� 0FF KKK �� xxxx (3)

Onde � �Kx é o vetor de aproximação da k-ésima iteração.

Devemos destacar � �� KF x� na (3). � �xF� é uma matriz

contendo todas as derivadas parciais de todas as

componentes da função � �xF que é denotada por � �xJ

(matriz Jacobiana de � �xF ):

� � � � � �i

iiij

fJFJ

xx

xx�

��

Assim, rearranjando (3) temos:

� �� 0JF KKK �� xxxx (4)

Para estabelecer o método iterativo, a aproximação

ma iteração � �1K � será definida pelo vetor x . De

agora em diante o novo valor do vetor x será

denotado de � �1K �x , então de (4) temos:

� �� 0JF K1KKK �� xxxx (5)

Chamando de s a operação realizada entre os

valores � �1K �x e � �Kx , podemos escrever (5) da seguinte forma:

� �� 0sJF KK �� xx

� �� KK FsJ xx ��

� �� K

K

J

Fs

x

x��

ou seja,

� �� KK1 FJs xx �� (6)

Ou seja, o cálculo do novo valor de s requer uma

inversão da matriz Jacobiana, o que torna o método caro.

Como � � � �� K1Ks xx �� , então

� � � � sK1K �� xx (7)

definindo assim o valor da próxima aproximação.

O critério da parada é o mesmo que foi apresentado nos métodos anteriores:

� � � � �� Ki

1Ki xx ni1 ��

Isto é, se a diferença entre os módulos de dois valores





2. Desenvolvimento de Método Através de Exemplo

Resolver o sistema:

� �� 04xxxx,xf

01xx2x,xf

23

21212

22

31211

��

Chute Inicial: � � � �'7,1;2,1X 0 � 01,0��

Solução:

Seja ��

��

��

2

1

x

xX

Assim,

� � ��

��

��

2

1

f

fXF � � �

��

�

��

�

��

��

4xxx

1xx2XF

23

21

22

31

1º Passo: calcular as derivadas parciais de cada função para formarmos a matriz Jacobiana:

� ��

� � � � �

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

�

2

22

1

12

2

21

1

11

ff

ff

XJ

xx

xx

xx

xx

� ��

�

��

�

��

�1xx3x1

x2x6XJ

22

21

32

22

1

2º Passo: Tomando como aproximação inicial (chute

inicial) ��

��

��

7,1

2,1X )0( , temos:

� ��

�

��

��

��

�

��

�

��

��

1956,0

4340,0

47,17,12,1

17,12,12XF

3

230

� ��

�

��

� ��

��

�

��

�

��

4,991,4

4,364,8

17,12,137,11

7,122,16XJ

223

20

� ��

��

��

��

0882,00501,0

0347,00960,0XJ 01

� �� 001 FJS XX ��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�0390,0

0349,0

1956,0

4340,0

0882,00501,0

0347,00960,0S

� � � � S01 �� XX

� ��

��

��

�

��

��

��

��

��

6610,1

2349,1

0390,0

0349,0

7,1

2,1X 1

O critério da parada :

� � � � 01,0XX 01 ��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

0390,0

0349,0

7,1

2,1

6610,1

2349,1erro

� � 0390,0erroMax � erro maior que 0,01

Próxima Iteração:

Para o cálculo da nova aproximação, recalculamos o F

e a matriz Jacobiana (J) em � �1X . Assim, teremos:

� ��

��

��

0020,0

0075,0XF 1

� ��

��

� ��

5600,85826,4

322,31499,9XJ 1

� ��

��

��

��

0978,00490,0

0355,00915,0XJ 11

��

��

��

�

��

��

��

��

��

�00017,0

00075,0

0020,0

0075,0

0978,00490,0

0355,00915,0S

� � � � S12 �� XX

� ��

��

��

�

��

��

�

��

��

6611,1

2341,1

00017,0

00075,0

6610,1

2349,1X 2

O critério da parada :

� � � � 01,0XX 12 ��

��

��

��

�

��

��

�

��

��

00017,0

00075,0

6610,1

2349,1

6612,1

2341,1erro

� � 00075,0erroMax � erro menor que 0,01

Sistema Convergiu: Solução: ��

��

��

6611,1

2341,1X



INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - MÉTODO DOS TRAPÉZIOS.

1. Introdução

Existem basicamente dois tipos de integrais: indefinidas e definidas.

Uma integral indefinida é do tipo

C3x

dxx3

2 �� ,

ou seja, a integração indefinida nos fornece uma família de funções em x , onde uma solução difere da

outra através do valor da constante C .

Uma integral definida é do tipo

31

C30

C31

C3x

dxx331

0

31

0

2 ��

��

��

�

��

��

�

��

�� ,

ou seja, a integração definida fornece como solução um número.

Como a solução de uma integral indefinida é uma família de funções e não apenas um número, deve ser obtido pelas técnicas do cálculo diferencial e integral e não por métodos numéricos.

O cálculo de integrais definidas, por outro lado, pode ser realizado por técnicas computacionais.

Abordaremos nesta aula, o método de integração numérica através da interpolação, Método dos Trapézios.

2. Interpolação

Seja uma função � �xfy � , com um conjunto de n+1

pontos de coordenadas � �ii y,x , i variando de 0 até n ,

tal que � �ii xfy � , e um intervalo � �b,a , tal que ax0 �

e bxn � , conforme figura abaixo.

x0=a

y0

x1

y1

x2 xn=b

yn

y2

xi

yi

......

y

x

Figura 1 – Integral da curva y=f(x) entre a e b.

A área limitada pela curva da equação � �xfy � , pelo

eixo “x”, e pelos pontos extremos do intervalo considerado, é igual a:

� �dxxfsb

a��

A primeira idéia que surge quando se pensa em calcular uma área qualquer, é a de dividi-la em áreas menores, mais fáceis de serem calculadas, e depois somar os resultados desse cálculo.

3. Método dos Trapézios

Este método consiste em aproximar a área sob a curva por uma séria de trapézios (Figura 2).

Para usarmos o método dos trapézios dividimos o intervalo desde “a” até “b” em “n” partes iguais, formando “n” trapézios.

x0=a

y0

x1

y1

x2 xn=b

yn

y2

xi

yi

...... x

y

Figura 2 – Método dos Trapézios.

Consideremos o ésimoi � trapézio que está entre 1ix �

e ix . Sua altura é dada por:

nab

h�

�

Portanto sua área é dada por:

� � � �� i1ii xfxf2h

A �� ,

sendo h uma constante.

A soma das áreas de todos os trapézios fornece a aproximação para a integral:

n1n321T AAAAAA ��

� � � �� 2110T xfxf2h

xfxf2h

A

� � � �� n1n1n2n xfxf2h

xfxf2h

��

Colocando o fator comum 2h em evidência, resulta:

� � � � � � � � � �� n1n210T xfxf2xf2xf2xf2h

A ��

Podemos então generalizar a equação para o cálculo



da integral pelo método dos trapézios, da seguinte forma:

� � � � � ��

��

��

�

�n

1n

1ii0T xfxf2xf

2h

A (1)

(Obs.: a exigência da divisão do intervalo de integração ser em partes iguais é apenas por comodidade computacional e não uma exigência do método).


Calcular � �dx3x8

2

4� � com 6n � subintervalos.



INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - MÉTODO DE SIMPSON.

1. Método de Simpson (1ª Regra)

No método de Simpson, 1º regra, tentamos aproximar a curva de uma dada função por uma série de segmentos parabólicos, esperando que a parábola se ajuste melhor para descrever a curva dada, do que as retas do método trapezoidal.

Resumidamente, no método, emprega-se interpolação quadrática (parábola do 2º grau) para cada conjunto de 3 pontos em seqüência, do intervalo dividido em “n” subintervalos, sendo “n” par.

A Figura 1, mostra como podemos construir a parábola.

x0=a

f(a)

x1=c

f(c)

x2=b

f(b)

y

x

hh

f(x)

Parábolacbxaxy �� 2

Figura 1– Método de Simpson (1ª Regra).

Vamos supor que o que se deseja é integrar a função

f(x) desde ax �0 até bx �2 . Escolhemos o ponto c

como ponto médio entre a e b , isto é, 2

bac

�� e

obtemos na curva f(x) os pontos referentes aos

seguintes pares ordenados: � �� af,a , � �� cf,c e

� �� bf,b . Estes três pontos definem uma parábola

cbxaxy �� 2 , que passa pelos três pontos. Nossa

esperança é que a área da parábola seja mais fácil de achar do que a área sob a curva f(x) e que as duas áreas sejam aproximadamente iguais.

Generalizando, podemos deduzir a fórmula de integração do método de Simpson, tomando-se três

pontos consecutivos: ix , 1�ix e 2�ix , onde

hxx ii ��1 e hxx ii 22 �� , e supondo-se que a

parábola de 2º grau que passa por esses pontos,

tenha por equação cbxaxy �� 2 , a área sob a

curva correspondente ao intervalo � �2�ii x,x , será:

� �dxxfsix

ixk ��

�2 � �dxcbxaxix

ix� ��2

2 �

223

23

�

��

��

��

ix

ix

k cxbxax

s

Resolvendo algebricamente esta igualdade, temos:

� �� chxbhxacbxaxh

s iiiik22 4

3

� � � � �chxbhxa ii �� 22 2

Analisando as parcelas da expressão acima, verifica-se que:

� � cbxaxxfy iiii �� 2

� � � � � � chxbhxaxfy iiii �� 2

11

� � � � � � chxbhxaxfy iiii �� 22 222

Substituindo na expressão anterior, temos:

� �2143 �� iiik yyyh

s

sendo 2

2��

ik .

A área total procurada é o somatório de todos os resultados obtidos para cada subintervalo, ou seja:

� �� 654432210 4443

yyyyyyyyyh

s

� � � ��nnniii yyyyyy �� 1221 44 ��

Podemos formalizar a equação para o cálculo da integral pelo método de Simpson (1º Regra), da seguinte forma:

��

�

�

��

�

��

�

�

�

�� n

n

ii

n

ii yyyy

hs

2

2

12

2

2

0120 24

3 (1)

1.1. Desenvolvimento de Método Através de Exemplo

Calcular � �dxxx� �6

0

3 , com 6�n subintervalos.

2. Método de Simpson (2ª Regra)

No método de Simpson, 2º regra, emprega-se um



polinômio de grau 3 � �� dcxbxaxxP �� 23 , 0�a .

Esta função é chamada de cúbica e, em geral, o gráfico de uma função cúbica possui uma das duas formas seguintes (Figura 1):

Figura 1 – Formas gráficas de uma função cúbica

Logo, na segunda regra de Simpson, utiliza-se a interpolação cúbica, com um conjunto de 4 pontos no intervalo de integração. O número de intervalos deve ser múltiplo de 3 e são necessários, portanto, no mínimo, 4 pontos para aplicação da regra.

Generalizando, podemos deduzir a fórmula de integração para a 2ª regra de Simpson, tomando-se

quatro pontos consecutivos: ix , 1�ix , 2�ix e 3�ix onde

hxx ii ��1 , hxx ii 22 �� e hxx ii 33 �� , e

supondo-se que esses pontos passe pelo polinômio de 3º grau, a área sob a curva correspondente ao

intervalo � �3�ii x,x , será:

� �dxxfsi

i

x

xk �

�

�3

� �dxdcxbxaxi

i

x

x��

��3

23 �

3

234

234 �

��

��

��

i

i

x

x

k dxcxbxax

s

Aplicando estes limites, e resolvendo algébrica-mente esta equação, temos:

� �321 338

3�� iiiik yyyy

hs , sendo

3

3��

ik

A integral, no limite de integração � �b,a , subdividido

em “n” subintervalos (agora o número de “n” deverá

ser múltiplo de 3), com comprimento nabh �� , é

dada pela seguinte regra composta:

� �� 65433210 33338

3yyyyyyyy

hs

� � � ��nnnniiii yyyyyyyy �� 123321 3333 �

Podemos formalizar a equação para o cálculo da integral pelo método de Simpson (2º Regra), da seguinte forma:

� ��

�

�

��

�

��

�

�� n

n

ii

n

iii yyyyy

hs

3

3

13

3

113230 23

8

3 (1)

2.1. Desenvolvimento de Método Através de Exemplo

Calcular � �dxxx� �6

0

3 , com 6�n subintervalos.

Solução:

� � iiii xxxfy �� 3 , 16

06�

��h

i ix iy

0 0 0 0y

1 1 2 1y

2 2 10 2y

3 3 30 3y

4 4 68 4y

5 5 130 5y

6 6 222 6y

� � ��

��

3

6

11323

iii yy � � � �� 5421 yyyy �� 210�

��

�

3

36

13

iiy 303 �� y

� �222302210308

13��

��s 342�

342�s



INTEGRAÇÃO NUMÉRICA - INTEGRAÇÃO DUPLA

1. Introdução

Seja a integral dupla � ��

dxdyy,xf� �b

a

xh

xg, onde os

valores de “a” e “b” são os limites de integração referentes a variável “ x ”, as funções “g( x )” e “h( x )” são os limites de integração referentes à variável “ y ”

e “ � �y,xf ” é a função a ser integrada.

2. Método de Resolução Analítica

O método de resolução analítica consiste em integrar

a função � �y,xf em relação a y , nos limites g( x ) e

h( x ), gerando-se uma função que chamaremos de

� �xf1 e, em seguida integrar a função � �xf1 em relação

a x , nos limites de integração a e b, obtendo-se o

resultado que chamaremos de 0f .

Em resumo:

� ��

dxdyy,xff � ��b

a

xh

xg0

� � � ��

dyy,xfxf ��xh

xg1

� �� dyy,xf xh

xg

� ��b

a 10 dxxff � �� dxxf b

a1

Por exemplo, seja resolver � � dxdyyxf � � �� 4

0

2x

x0

� � � �dyyxxf � �� 2xx1 � �� dyyx x

x

2

2

5 2x�

��4

0

2

0 2

5dx

xf 33353

6

5 34

0

,x ��

��

3. Método de Resolução Numérico

A solução por método numérico, consiste em atribuir determinados valores a variável x dentro do intervalo

de integração � �b,a e, para cada um destes valores,

calcula-se os valores das funções g( x ) e h( x ). A seguir atribui-se determinados valores à variável y ,

dentro dos limites de integração � � � �� xh,xg e, para

cada um destes valores, calcula-se a função � �y,xf .

Com estes resultados, podemos obter o valor da

função � �xf1 , empregando um dos métodos de

integração já conhecidos. Finalmente, com todos os

valores de � �xf1 calculados, podemos, empregando-se

o mesmo método, obter o valor final 0f .


Calcular � � dxdyyx� � �40

2xx , com 4�n subintervalos

de dimensão, usando o método de Simpson (1º Regra).

Solução:

Referente à integração de intervalo � �40, teremos

14

041 �

��h e, conseqüentemente � �43210 ,,,,i � e

� �43210 ,,,,xi � .

Referente à integração de intervalo � �x,x 2 , termos um

novo h , aqui denominado de 2h para cada intervalo

obtido após a substituição de x . Assim, 4

22

xxh

�� ,

com 4 subintervalo, � �43210 ,,,,j � , gerando um

� ,hx,hx,hx,xy j 222 32 �� 24hx � .

A partir dos valores de ix e jy calculados, podemos

então calcular a � � iiii yxy,xf �� , gerando um valor

de � �ixf1 para cada i existente. Veja a resolução na

tabela abaixo.

Os valores de � �ixf1 são obtidos através da expressão

do método de Simpson (1º regra):

� � � � � � � �� 3102

1 43

y,xfy,xfy,xfh

xf iiii

� � � ��422 y,xfy,xf ii �� (Para n=4 subintervalos)



i xi g(xi) h(xi) j yj f(xi,yj)= xi+ yj

f1(xi)

0 0 0 0

0 0.00 0.00 0.00 � � 4002 ��h

1 1

1 2 0 1.00 2.00

2.50 � � 4122 ��h

2502 .h �

1 1.25 2.25

2 1.50 2.50

3 1.75 2.75

4 2.00 3.00

2 2

2 4 0 2.00 4.00

10.00 � � 4242 ��h

5002 .h �

1 2.50 4.50

2 3.00 5.00

3 3.50 5.50

4 4.00 6.00

3 3

3 6 0 3.00 6.00

22.50 � � 4362 ��h

7502 .h �

1 3.75 6.75

2 4.50 7.50

3 5.25 8.25

4 6.00 9,00

4 4

4 8 0 4.00 8.00

40,00 � � 4482 ��h

12 �h

1 5.00 9.00

2 6.00 10.00

3 7.00 11.00

4 8.00 12.00

� � � � � �� 41213111011

0 243

xfxfxfxfxfh

f ��

� �� 3335340102522524033300 ....f ��

��

Documents

Calculo N..[1]